Векторные расслоения на арифметической проективной прямой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Поляков Владимир Михайлович

• Поляков Владимир Михайлович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Поляков Владимир Михайлович

Введение

Глава 1. Предварительные сведения о векторных расслоениях над проектив-

и и А

нои прямой

1.1. Основные обозначения

1.2. Подскоки

1.3. Матрицы склейки

1.4. Фильтрация расслоений

1.5. Невырожденные сечения

1.5.1. Построение невырожденных сечений высших степеней

1.5.2. Пример

1.6. Сиектралытя последовательность Бейлнисоиа

1.7. Род векторного расслоения

Глава 2. Векторные расслоения ранга 2 с простыми подскоками

2.1. Предварительные сведения

2.1.1. Теорема классификации расслоений с простыми подскоками

2.1.2. Фильтруемоеть расслоений с простыми подскоками

2.2. Расслоения с простыми подскоками, Ext1(0(2), 0(-2)) и действие группы SL2(Z)

2.2.1. Соответствие между формами и элементами Ext1 (0(2), 0(—2))

2.2.2. Действие GL2(Z) на Ext1 (0(2), 0(-2))

2.2.3. Вычисление действия SL2(Z) на Ext1 (0(2), 0(-2))

2.3. Структура Н0(Е(1))х

2.4. Кручение расслоений

2.4.1. Кручение комплекса свободных модулей

2.4.2. Кручение Рейдемейстера расслоений на PZ ранга 2 с тривиальным общим слоем

2.4.3. Кручение Рейдемейстера расслоений с простыми подскоками

2.4.4. Кручение Рейдемейстера расслоения Е(п)

Глава 3. Векторные расслоения с подскоками высоты 2, теорема конечности

3.1. Предварительные сведения

3.2, Подскоки расслоения, заданного как Сокег (р

3.3, Морфизмы расслоений с подскоками высоты

3.4, Изоморфизмы расслоений с подскоками высоты

3.5, Теорема конечности дня расслоений с подскоками высоты

Глава 4. Векторные расслоения ранга 3 с простыми подскоками

4.1, Представление расслоения в виде коядра 0(—2)3 —у 0(-1)6

4.2, Морфизмы расслоений ранга 3 с простыми подскоками

4.3, Теорема классификации расслоений ранга 3 с простыми подскоками

Глава 5. Асимптотика количества невырожденных сечений

5.1, Основные обозначения геометрии Аракелова

5.2, Вычисление классов Черна расслоений с простыми подскоками

5.2.1, Предварительные сведения

5.2.2, Вычисление классов Черна Е

5.3, Асимптотика количества невырожденных сечений

5.3.1, Гиперболическая проблема круга

5.3.2, Основная теорема

5.4, Случай пеипвариаптпой относительно комплексного сопряжения метрики , ,

5.4.1, Симплектическая форма расслоения Е

5.4.2, Вычисление определителя симилектичеекой формы и итоговая формула

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Векторные расслоения на арифметической проективной прямой»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Под векторными расслоениями мы будем понимать локально свободные Ох —модули. Хорошо известно, как устроены векторные расслоения па аффинных пространствах над областью главных идеалов, но теореме Квиллена — Суелина все они являются свободными. Также, все известно upo расслоения над проективной прямой над нолем. А именно, имеется теорема Гротепдика, которая говорит о том, что все они раскладываются в прямую сумму линейных (одномерных) расслоений. Будем называть расслоение перасщенимым, если его нельзя представить в виде прямой суммы линейных расслоений, В случае, когда проективная прямая определена не над нолем, а над кольцом, ситуация кардинально усложняется — размерность соответствующей схемы становится больше 1, и расслоения теперь могут по-разному ограничиваться па различные прямые. Так, например, в случае, когда А является областью главных идеалов, схема PA имеет размерность 2 (то есть является арифметической поверхностью), и мы можем рассматривать ограничения расслоений па вертикальные дивизоры (прообразы точки у £ Spec А относительно структурной проекции). Отсюда возникает понятие точек подскока, для его описания нам достаточно рассмотреть простейший случай. Пусть расслоение Е ранга 2 на PZ над общим слоем изоморфно тривиальному О2, тогда почти над всеми специальными слоями оно тоже изоморфно тривиальному, однако над некоторыми специальными слоями оно будет иметь вид О(-п) ф О(п), оде п > 0, Точки Spec Z, для которых верно последнее будем называть точками подскока высоты п. Понятие подскока является ключевым для данной работы и будет фигурировать в формулировках всех интересующих пас вопросов.

Как правило вопросы, связанные с арифметическими многообразиями, оказываются сложнее и интереснее их геометрических аналогов, однако уже в геометрическом случае имеется богатая и далекая от своего завершения теория векторных расслоений па простейшей геометрической поверхности P^, оде F — поле. Ознакомиться с теорией векторных расслоений на комплексных проективных пространствах можно в книге |3|. Останавливаться па конкретных результатах этой теории мы не будем ввиду ее обширности, однако кратко обсудим известные результаты, связанные с расслоениями па проективной прямой в случае, когда базой является спектр кольца, поскольку это ближе к основной теме работы, Роберте в работе [ ] построил один из первых примеров нерасщепимых векторных расслоений на P\, где А — кольцо Крулля размерности > 0, причем эти расслоения были стабильно нерасщепи-мы. Будем называть расслоение Е на P\ равномерным, если ограничение на вертикальные дивизоры Еу раскладывается в одну и ту же сумму линейных расслоений для любой точки

у G Spec А. Аналогично определяется понятие равномерного расслоения в геометрическом случае, только вместо Еу нужно рассматривать ограничения на все прямые I С PC- В работе Ханны [ ] доказывается, что для нетерова приведенного кольца А со связным спектром расслоение на P\ равномерно тогда и только тогда, когда оно расщепимо. Отметим, что в геометрическом случае, то есть когда векторные расслоения определены на PC, аналогичное утверждение верно для расслоений ранга меньше п, в качестве простейшего примера нерасще-нимого равномерного расслоения большего ранга можно привести кокасателыюе расслоение на PC- Интересным также является вопрос о фильтруемое™ векторных расслоений линейными, Так, в работе [27] Хоррокс доказал, что любое расслоение на P\, оде А — локальное кольцо, допускает фильтрацию, все факторы которой линейные, поело этого, в работе |25| Ханна доказан то же самое дня случая евклидова кольца, однако вопрос о степенях этих линейных расслоений не изучался. Не так давно в работе |8| Смирнов уточни,:: результат Ханны для случая расслоений ранга 2 на PZ с тривиальным общим слоем и подскоками вида ö(-1) ф 0(1) и доказал, что некоторый класс таких расслоений обладает фильтрацией линейными степени -1, по при этом все такие расслоения обладают фильтрацией линейными расслоениями степени -2, то есть встраиваются в короткую точную последовательность вида 0 —у 0(—2) —у Е —у 0(2) —у 0, Также стоит упомянуть, что ранее в работе [ ] была дана классификация таких расслоений. Вопрос о минимальной степени линейных факторов уже дня расслоений с подскоками высоты 2 па данный момент остается открытым, как и вопрос о классификации таких расслоений.

Spec Z

является полным многообразием, в то время как общая паука говорит нам, что удобнее и правильное работать с компактными многообразиями. Одним из способов компактификации арифметических многообразий является компактификация но Аракелову (см, |1|), Соответствующая теория строится, например, в книге |16|, и далее мы будем следовать именно ей. Суть этой компактификации состоит в том, что мы формально присоединяем к пашей схеме X, определенной над Z, слои над бесконечной точкой — X (C) и фиксируем там кэлерову метрику, Расслоения над X продолжаются на пополненную по Аракелову схему X с помощью выбора на Е ® C эрмитовой метрики. Двигаясь по этому пути, удается сформулировать и доказать арифметический аналог теоремы Римапа — Роха — Хирцебруха — Гротопдика (см. Супе — Жилле |21|), Также, одним из самых ярких результатов этой пауки, применительно к классическим проблемам, можно считать доказательство Фантингса теоремы Морделла |17|. Отметим еще несколько ключевых работ в этой области. Фалтингс, в своей работе |18|, развивает теорию арифметических поверхностей и доказывает дня них ряд аналогов классических

теорем, таких как, например, теорема Римана — Роха и теорема Ходжа об индексе, В работе |40| был сформулирован и доказан арифметический аналог критерия Накаи — Мойшезона, Также отметим статью Мориваки |30|, в которой доказывается арифметический аналог неравенства Богомолова, а также статью |31|, в которой доказывается существование фильтрации Хард ера — Нарасимхана для Ох —модулей без кручения на арифметических многообразиях, В приведенных выше работах расслоения изучаются в очень большой общности, в то время как в настоящей работе мы будем заниматься явными вычислениями дня конкретных расслоений на Р^ (ранга 2, с тривиальным общим слоем и подскоками высоты 1), вычислим их арифметические классы Черна и изучим асимптотику их глобальных сечений, не имеющих нулей.

Цели и задачи работы. Первой цслыо диссертационной работы является изучение структуры и свойств расслоений на Р^ ранга 2 с тривиальным общим слоем и простыми подскоками, В работе решаются следующие задачи, связанные с этой цслыо: описание действия автоморфизмов Р^ на классы изоморфизма расслоений с простыми подскоками, изучение структуры множества невырожденных сечений степени 1 таких расслоений, а также нахождение инвариантного описания параметров из классификации расслоений с простыми иод-скоками, Соответствующие результаты содержатся в главе 2,

Второй цслыо работы является доказательство конечности множества классов изоморфизма расслоений на Р^ ранга 2 с тривиальным общим слоем и подскоками высоты 2 с фиксированными ограничениями на для всех простых р. Этому вопросу посвящена гла-

Третья цель диссертационной работы состоит в классификации расслоений на Р^ ранга 3 с тривиальным общим слоем и простыми подскоками. Этому вопросу посвящена глава 4,

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертационной работы могут быть использованы дня дальнейшего изучения расслоений па проективной прямой над областью главных идеалов и па пополненной но Аракелову проективной прямой.

Методология и методы исследования. В работе используются методы алгебраической и арифметической геометрии. Дня получения классификации расслоений ранга 3 с простыми подскоками, построения инварианта кручения расслоений ранга 2, а также дня доказа-

тельства теоремы конечности расслоений с подскоками высоты 2 используется спектральная последовательность Бей.нинсона, а также развиваются связанные с ней методы теории приведения, разработанные в работах Смирнова,

Положения, выносимые на защиту.

• Теорема о конечности множества классов изоморфизма векторных расслоений на Р^ ранга 2 с тривиальным общим слоем и подскоками высоты не больше 2 с фиксированными ограничениями на для всех простых р.

• Классификация векторных расслоений на Р^ ранга 3 с тривиальным общим слоем и простыми подскоками, а также следствие из этой классификации о стабильной изо-морфности расслоений ранга 2 с простыми подскоками одного дискриминанта,

• Теорема об инвариантности классов изоморфизма векторных расслоений на Р^ ранга 2 с тривиальным общим слоем и простыми подскоками относительно действия группы

ЯЬ2 (Ъ).

• Построение инварианта кручения векторных расслоений на Р^ ранга 2 с тривиальным общим слоем, вычисление кручения расслоений с простыми подскоками и переформулировка теоремы о классификации таких расслоений в инвариантных терминах.

Достоверность результатов и апробация работы. Основные результаты настоящей диссертации снабжены подробными доказательствами и опубликованы в статьях |4|, |5|, |6| и |7| в рецензируемых научных изданиях, входящих в список ВАК,

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• II Всероссийская научно-практическая конференция "Математика в современном мире", посвященная 160-летию со дня рождения выдающегося российского математика Д. А. Граве, Секция "Алгебраическая геометрия и теория чисел" 2023 г. Доклад «Векторные расслоения ранга 2 на Р^»

• Весенняя школа-конференция Института Эйлера но теории чисел, алгебре и алгебраической геометрии БРШХС А^Ен1ег 2024, Доклад «Векторные расслоения на проективной прямой над Z и квадратичные формы»

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения. Глава 1 содержит общие сведения о векторных расслоениях над проективной прямой над областью главных идеалов. Глава 2 посвящена векторным расслоениям ранга 2 с простыми подскоками и тривиальным общим слоем, В ней приводится обзор известных результатов, вводится и изучается действие группы на Ех1Р|(О(2), О(—2)) и на классах изоморфизма рассло-

ений ранга 2 с простыми подскоками. Также в этой главе изучается структура множества невырожденных сечений степени 1 таких расслоений и строится инвариант кручения дня расслоений ранга 2 с тривиальным общим слоем, В главе 3 доказывается теорема о конечности множества классов изоморфизма расслоений на Р^ ранга 2 с тривиальным общим слоем и подскоками высоты 2 с фиксированными ограничениями на Р^ для всех простых р. Глава посвящена классификации расслоений на Р^ ранга 3 с тривиальным общим слоем и простыми подскоками, В главе 5 приводятся базовые конструкции из теории Аракелова и изучаются продолжения расслоений ранга 2 с тривиальным общим слоем и простыми подскоками на пополненную по Аракелову проективную прямую Р^. Также в этой главе вычисляются арифметические классы Черна таких расслоений и находится формула для главного члена асимптотики количества невырожденных сечений степени 1 ограниченной нормы.

Благодарности. Автор выражает благодарность своему научному руководителю Александру Леонидовичу Смирнову,

Глава 1

Предварительные сведения о векторных расслоениях над

проективной прямой

1.1. Основные обозначения

В этой главе А будет обозначать коммутативное нетерово кольцо с единицей. Мы будем работать с векторными расслоениями, то есть с локально свободными пучками на схеме Pa = Proj A[t0,ti], оде deg t0 = deg tl = 1. В обозначениях структурно го пучка Ох и Ох (п) будем опускать схему X и писать про сто О и О(п) соответственно. Как о бычно, Ui — дополнение к нулям ti, U0l = U0 П [Д, х = tl/t0, у = ¿оДъ а также O(U0) = А[х], 0(Ul) = А[у], O(U0l) = А[х,у]/(ху — 1), Также в обозначениях групп когомологий Нг(Х,Е) мы будем опускать первый аргумент, когда понятно, о какой схеме идет речь, и писать просто Нг (Е).

1.2. Подскоки

Явление подскока будет играть дня пас ключевую роль, и во всех основных вопросах этой работы мы будем накладывать условия па подскоки изучаемого класса расслоений. Дня определения подскоков нам потребуется следующая классическая теорема о векторных расслоениях па проективной прямой над полом.

Теорема 1 (Гротендик, [ ]). Всякое векторное расслоение на PlF, где F — поле, может быть представлено суммой линейных расслоений, причем слагаемые определены, однозначно.

Также хорошо известна структура линейных расслоений на проективных пространствах над петеровым кольцом:

Теорема 2 (Серр, [23]). Всякое линейное расслоение на ¥д изоморфно расслоению вида, р*L® O(d), где L — линейное расслоение на, Spec Д, а, р — структурная проекция, W\ ^ Spec А.

В частности, в случае, когда А = F — поле, любое линейное расслоение на P^ имеет вид О(п) для некоторого п G Z.

Пусть iy : P^ ^ P^ — замкнутое вложение слоя, соответствующего точке у G Spec А, где F — поле вычетов точки у. Тогда расслоение Е над P\, оде А — область главных идеалов, индуцирует расслоение Еу = i*yЕ над P^, Ввиду теорем 1 и 2 верно следующее: пусть Е — расслоение ранга п на P\, у — точка Spec A, a Еу — ограничение расслоения на P^, где

F — поле вычетов точки у. Тогда Еу ~ 0(di) ф • • • ф G(dn), оде d\,...,dn — однозначно определенный набор целых чисел с точностью до перестановок.

Определение 1. Будем говорить, что расслоение Е над P\, оде А — область главных идеалов, имеет тип расщепления (di,..., dn) над точкой у е Spec А, если Еу ~ 0(d\) ф • • • ф 0(dn) и di < • • • < dn.

Пусть у — общая то чка Spec А, и Ev ~ 0(d\) ф ••• ф 0(dn). Предположим, что над некоторой замкнутой точкой у е Spec А имеется изоморфизм Еу ~ 0(г\) ф ••• ф 0(гп), тогда, после взятия определителя расслоения Е (максимальной внешней степени), получаем условие на разложение нашего расслоения над замкнутыми точками: г\ + • • •+гп = d\ + • • •Ф^ Далее будем говорить, что расслоение Е имеет тривиальный общий слой, если Ev ~ О

п-

Определение 2. Пусть расслоение Е имеет ранг 2 и над общей точкой имеет тип расщепления (т, к), то есть изоморфно О(т) фО(к), т < к. Будем говорить, что расслоение Е имеет подскок высоты п в точке у е Spec А, если Еу ~ 0(т — п) ф 0(к Ф п).

Дня целой пашей работы будет достаточно определить понятие подскока дня расслоений ранга 2, а также дать определение понятия простого подскока дня расслоений ранга 3 с тривиальным общим слоем (но аналогии с определением простого подскока расслоений ранга 2 (см. [37])),

Определение 3. Пусть расслоение Е имеет ранг 3 и над общей точкой изоморфно О3. Будем говорить, что расслоение Е имеет простой подскок в точке у е Spec А, если Еу ~ 0(—1) фОфО(1).

Определение 4. Расслоение ранга 2 на P\ будем называть расслоением с подскоками высоты не больше га, езди найдется хотя бы одна точка с подскоком высоты т, а во всех остальных точках высота подскоков не больше т.

Из теоремы но.нуиепрорывпости (см, 112, гл. III, 12,8|) следует, что множество точек подскока замкнуто но Зарисскому, а значит конечно. Также, допуская вольность речи, иногда мы будем называть расслоения с подскоками не выше п просто расслоениями с подскоками высоты п.

1.3. Матрицы склейки

Зачастую нам будет удобно работать с расслоениями используя матрицы склейки. Кратко напомним о чем идет речь. По произвольной матрице о е GLra А[х,у\ можно постро-

ить некоторое векторное расслоение Е ранга п на P\ следующим образом. Выберем базисы тривиального расслоения Оп над U0 и U\. [el,... ,еп] a [fl,..., fn] соответственно, тогда Е\Uo = О el + ••• + О еп, Е\Ul = О fl + ••• + О fn к [eh...,en]a = [fl,..., fn] на uol Если кольцо А таково, что над А[х] все проективные модули свободны, то тогда так получаются все векторные расслоения на P\, Это верно, например, в случае, когда А — область главных идеалов (по теореме Квиллепа - Суслипа).

Теорема 3 (Квиллен [33], Суслин[11]). Пусть R — область главных идеалов и А = R[xl,... хп] — кольцо многочленов над R от п переменных, тогда, конечнопорожденные проективные модули над А свободны.

Таким образом, если кольцо А удовлетворяет указанным выше условиям, то множество классов изоморфизма векторных расслоений ранга п над P\ отождествляется с двойным фактором:

Vectn(P\) = GLn А[ж]\ GLn а[х,х-1]/GLn Д[ж-1].

Пример 1. Линейное расслоение О(п) на P| задается матрицей склейки и = (хп) G GLl z[x,x-1].

Пример 2. Пусть Е — ^^^^даение на PZ имеет ранг 2 и задается матрицей склейки

(х-1 л l

а = I I G GL2z[x,x-1].

У 0 х)

Несложно видеть, что с помощью элементарных преобразований, соответствующих заменам базисов над U0 и U^ можно привести матрицу а к единичной. Таким образом, расслоение Е изоморфно тривиальному.

Пример 3. Пусть Е — расслоение на PZ имеет ранг 2 и задается матрицей склейки

(х-1 р 0 х/

Данное расс.ноепие инторосно тем, что оно не раскладывается в прямую сумму линейных расслоений, поскольку простыми вычислениями можно проверить, что над слоем над точкой р G Spec Z оно изоморфно 0(—1) фО(1), а над общим слоем оно изоморфно тривиальному. Таким образом, оно имеет подскок в точке р.

1.4. Фильтрация расслоений

Особенно интересным представляется вопрос о фильтрации изучаемых расслоений линейными, поскольку не каждое расслоение на P\ раскладывается в сумму линейных,

В случае, когда кольцо А локально, вопрос о фильтруемое™ расслоений на P\ полностью решен Хорроксом:

Теорема 4 (Horrocks, [ ]). Всякое векторное расслоение на где А — локальное кольцо, допускает фильтрацию, все факторы которой линейные расслоения. То есть для, произвольного расслоения Е над P\ существует цепочка вложенных расслоений

0 = Е0 С Ех С • • • С Et = Е

такая, что Ei/Ei-\ ~ 0(щ) для, некоторых целых щ, 1 < г < t.

Аналогично обстоит ситуация, когда кольцо А евклидово:

Теорема 5 (Hanna, [ ]). Всякое векторное расслоение на P\, где А — евклидово кольцо, допускает фильтрацию, все факторы, которой линейные расслоения.

Однако уже когда кольцо А является произвольным нетеровым, то известен только следующий, более слабый результат:

Теорема 6 (Hanna, [ ]). Всякое векторное расслоение на P\, где А — нетерово кольцо, допускает фильтрацию, все факторы, которой либо линейные расслоения, либо расслоения, ранга два.

Определение 5. Пусть Е — расслоение ранга 2 на P\, Будем говорить, что Е имеет n-фильтрацию, если существует вложение О(-п) ^ Е такое, что фактор локально свободен.

Определение 6. Пусть s G Н°(Е(п)) — сечение степени п G Z. Будем называть s невырожденным, если оно не имеет нулей на P\, Также Н°(Е(п))х будем обозначать множество всех невырожденных сечений степени п.

1.5. Невырожденные сечения

Фильтрация расслоений тесно связана с невырожденными сечениями, а также позволяет работать с расслоениями, используя достаточно простые матрицы склейки. Для простоты рассмотрим случай, когда расслоение Е над PZ имеет ранг 2 и тривиальный общий слой. Предположим, что имеется невырожденное сечение s G Н°(Е(п)). Тогда Е встраивается в

следующую короткую точную последовательность: 0 —у О(-п) —— Е -— О(п) —у 0. Последнее расслоение действительно изоморфно О(п), поскольку го невырожденности 5 следует, что фактор локально свободен, а из рассмотрения определителя Бе1(Е) ~ О следует,

п

тельности можно построить базисы Е над иг, для которых матрица склейки будет иметь следующий вид:

_ /уп т(х, у) ^0 хп

Для этого зафиксируем расщепления г0, г1 : О(п) —у Е стрелки р над и0 и и1 соответственно (их существование следует из проективности ограничения О(п) на иг) и положим е1 = в(£-п), е2 = г0(€П), /1 = з(£-п), /2 = 1\(¿П). Также отметим, что мы можем добиться того, чтобы степень многочлена т(х, х-1) по х и по у была меньше п, убив соответствующие члены высших степеней первым столбцом и второй строчкой матрицы а.

Таким образом, существование невырожденных сечений позволяет нам работать с расслоениями с помощью матриц склейки определенной структуры, однако чем выше степень

т

данного подхода,

1.5.1. Построение невырожденных сечений высших степеней

Теперь обсудим конструкцию, с помощью которой можно строить невырожденные сече-

Е

а = / Уп а-п+1 Уп-1 + ... + ао + ... + ап-1хп-Л = / уп т(х, у)\ ^0 хп I у0 хп У

связывающей [е 1; е2] — базис на и0 и [/2] — базис на и1 равенством [е 1; е2]а = [/2], Как было сказано выше, это равносильно тому, что у расслоения имеется невырожденное сечение 5 : О —У Е (п), заданное на и0 отображен нем 1м- ^е ь а на и1 отображен нем 1 — ^ /ь

Из теоремы следует, что у каждого расслоения на Р^ существует невырожденное сечение некоторой степени В работе [ ] был построен алгоритм, который по данному расслоению строит дня пего некоторую линейную фильтрацию. Основная проблема состоит в отыскании невырожденных сечений наименьшей степени. В работе |9| было показано, что у таких расслоений существуют невырожденные сечения почти всех степеней выше минимальной, Там же ставится вопрос: верно ли, что у данного расслоения существуют невырожденные сечения всех степеней выше минимальной. Следующая теорема дает ответ па этот вопрос.

Теорема 7. Если у расслоения ранга 2 с тривиальным общим слоем, на, Р^ имеется, невырожденное сечение степени п, то у него существуют невырожденные сечения, всех высших степеней.

Доказательство. Поскольку у расслоения существует невырожденное сечение степени п, то расслоение можно задать с помощью матрицы склейки (1.1). Предъявим явно дня данного п сечение на единицу большей степени. Зададим его на и0 следующим образом:

г|% :1м С1^ + С^.

Тогда на и1 это сечение будет выглядеть так:

Ли1 : 1 ^ гп+1 (1 - уП+1т{х,у))/1 + ¿п+1(у2п+1)/2.

Расписав т, получим

г^ : 1 м П+1(1 - ап-1У2 - ап-2У3 - ... - а-п+1 у2п)Ь + П+1(у2п+1) ¡2-

Легко заметить, что на и0 у данного сечения нет нулей, поскольку множитель у е2 не обращается в 0 на и0. Также легко заметить, что у сечения г нет нулей и на и1, поскольку множитель у ¡2 обращается в 0 толь ко при у = 0, однако в этом случае множи тель при /1 будет а он не обращается в 0 на и1. Таким образом, построенное сечение не имеет нулей на Р^. □

1.5.2. Пример

Покажем, как с помощью данного сечения но 2-фильтрации расслоения построить 3-фильтрацию. То есть по матрице склейки, у которой па диагонали стоят вторые степени, построить матрицу склейки с третьими степенями па диагонали. Пусть векторное расслоение Е на Р^ задано матрицей склейки

(у2 ау + Ь + сх 0 ж2

В данном случае указанное выше сечение будет выглядеть так:

г1и0 : 1 м- Г^хе1 + ^2, г1и1 :1м Г{(1 - у2с - у% - у4а)Н + у5¡2.

Зададим на и0 новый базис так, чтобы его первый вектор был ё1 = хе1 + е2. Тогда в качестве второго вектора мы можем взять е'2 = (— 1 — х)е 1 — е2. Тогда

(х —(1 + х) 1 —1

будет матрицей перехода и [е 1, е2]А = [е 1, е'2]- Аналогично поступим с ир. в качестве нового первого базисного элемента возьмем /1 = (1 — у2с — у3Ь — у4а)¡1 + у5/2. Второй элемент нового базиса ¡'2 = а (у) ¡1 + @ (у) /2 так просто угадать, как это было в случае на и0, не удастся, но его несложно построить, последовательно находя коэффициенты полиномов а(у)

(1 — у2с — у3Ь — у4а а (у) \

— матрица перехода

У5 Р(У))

о [/1, /2] к [/1, /2]. Цаким образом, наша задача свелась к задаче о дополнении столбца 1 — у2с — у3Ь — у4а \

до матрицы из ЯЬ2^[у]), разрешимость этой задачи гарантирована

5

приити к матрице

, 1 _ ( 07^ („3 I о™ I I („2 \

в

у5 1 + су2 + by3 + (а + с2) у4

Тогда матрица склейки, соответствующая базисам [е 1, е2] и [f[, /2], будет

,у3 (с2 + а) у2 + by + с + х2 + хд (у3 (с2 + а) у2 + by + с + х2 а = А а В = I ~

0 х3 / \0 х3

1.6. Спектральная последовательность Бейлинсона

Основным средством для работы с расслоениями над PZ у нас будет спектральная последовательность Бейлинеона, С ее помощью мы сможем сводить паши задачи о расслоениях к изучению целочисленных матриц относительно небольшого размера.

Теорема 8 (Бейлинсон [2],[3]). Пусть F — векторное расслоение на P\, а р : P\ м Spec А — структурная проекция. Существует спектральная последовательность с первым членом Е\ч = Rpqq(F(р)) ® Q-P(p), сходящаяся, к

{F, если г = 0; 0, иначе.

Е]^-член спектральной последовательности расположен во втором квадранте, а его ненулевая часть в нулевой и первой строках:

н^(-1)) 0 о(-1) -М н 1(^) 0 о

Н°(Е(-1)) 0 0(-1) -М Н°(Е) 0 о

Применим эту теорему для расслоений ранга 2 с тривиальным общим слоем, но не напрямую, а сначала немного подкрутив расслоение, чтобы первая строчка спектральной последовательности занулилась. Тогда мы получим представление нашего расслоения в виде фактора, с которым уже можно работать методами линейной алгебры.

Пусть Е — векторное расслоение на Р\ ранга 2 с тривиальным общим слоем и подскоками высоты п. Тогда по теореме о замене базы Н 1(Е(п)) = Н1 (Е(п - 1)) = 0, а также Н°(Е(п)) — А2п+2,Н°(Е(п - 1)) — А2п. Тогда из спектральной последовательности Бейлин-еона следует, что для расслоения Е(п) существует короткая точная последовательность

0 -м С2п(-1) -м 02п+2 -м Е(п) -м 0.

После ее открутки на п получаем

0 -м 02п(-1 - п) -м 02п+2(-п) -м Е -м 0. (1.2)

Для явного задания стрелки <р зафиксируем базисы рае слоений 02п и 02п+2: [е1,... ,е2п] и . . . , ¡2п+2] соответственно. Отсюда получаем отождествление

^(^(-1 - п), 02п+2(-п)) - M2n+2)2n(Hom(0, 0(1))).

Таким образом, стрелка задающая наше расслоение Е как коядро, записывается следующим образом: р = + ¿^ь где € М2п+2>2п(А). Эти матрицы определены с точностью до замены базисов, то есть эквивалентные матрицы будут давать изоморфные расслоения, В нашем случае условие эквивалентности выглядит следующим образом: <р ~ если р' = арр, для некоторых о € 0>Ъ2п+2(А),р € 0>Ъ2п(А). Наша ближайшая цель — привести матриц}^ р к наиболее простому виду.

Определение 7. Стрелку р : 02п(-1 - п) —> 02п+2(-п) мы будем называть невырожденной, если ее коядро является расслоением ранга 2,

Из спектральной последовательности Бейлинсона мы получили, что каждое векторное расслоение на Р^ ранга 2 с тривиальным общим слоем и подскоками высоты п является

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Поляков Владимир Михайлович, 2026 год

Список литературы

1. Аракелов С, Ю, Теория пересечений дивизоров на арифметической поверхности // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1974. - Т. 38, № 6.-С. 1179-1192.

2. Бейлинсон А. А. Когерентные лучки на, Pra и проблемы линейной алгебры, // Функц, анализ и его прил. — 1978. — Т. 12, № 3. — С. 68-69.

3. Оконек К., Шнайдер М,, Шпиндлер X. Векторные расслоения, па, комплексных проективных пространствах. — Москва, Мир, 1984.

4. Поляков В. М. Конечность числа классов векторных расслоений на PZ с подскоками высоты 2 // Зап. научи, сем. ПОМИ.-2022.-Т. 511.-С. 137-160.

5. Поляков В. М. Векторные расслоения, ранга 2 на PZ и квадратичные формы, // Зап. научи, сем. ПОМИ. - 2023. - Т. 523.-С. 121-134.

6. Поляков В. М. Расслоения, на, PZ ранг а, 3 и невырожденные сечения, расслоений ранга 2 // Зап. научи, сем. ПОМИ.-2023.-Т. 523.-С. 135-146.

7. Поляков В. М. Кручение Рей,дем,ей,стера, для, векторных расслоений на PZ // Тр. ИММ УрО РАН. - 2024. - Т. 30, № 1. - С. 156-169.

8. Смирнов А. Л. Векторные расслоения, на, PZ с простыми подскоками // Вопросы теории представлений алгебр и групп. 30, Зап. научи, сем. ПОМИ. — 2016. — Т. 452. — С. 202-217.

9. Смирнов А. Л. О степенях невырожденных сечений // Алгебра и теория чисел. 5, Зап. научи, сем. ПОМИ.-2022.-Т. 511.-С. 171-180.

10. Смирнов А. Л., Яковенко С. С. Построение линейной фильтрации, для, расслоений ранга 2 на PZ // Матем. сб. -2017. - Т. 208, № 4. - С. 111-128.

11. ('ус. шн А. А. Проективные модули над кольцом многочленов свободны, // Докл. АН СССР. - 1976. - Т. 229, № 5. - С. 1063-1066.

12. Хартсхорн Р. Алгебраическая, геометрия. — Москва, Мир, 1981.

13. Cassels J. W. Rational Quadratic Forms.—London : New York : Academic Press, 1978.

14. Cox D. A. Primes of the Form x2 + Ny2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication. — Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, 1989.

15. Deligne P. Le determinant de la cohomologie // Contemp. Mathematics. — 1987. — Vol. 67. — P. 93-177.

16. Lectures on Arakelov Geometry / Soule C., Abramovich D., Burnol J. F., and Kramer J. K. — Cambridge University Press, 1992.

17. Faltings G. Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern // Inventiones mathe-maticae. —1983.—Vol. 73. —P. 349-366.

18. Faltings G. Calculus on Arithmetic Surfaces // Annals of Mathematics. — 1984.—Vol. 119, no. 2. —P. 387-424.

19. Gillet H., Souie C. Characteristic Classes for Algebraic Vector Bundles with Hermitian Metric,

I // Annals of Mathematics. —1990.—Vol. 131, no. 1.—P. 163-203.

20. Gillet H., Soule C. Characteristic Classes for Algebraic Vector Bundles with Hermitian Metric,

II // Annals of Mathematics. —1990. —Vol. 131, no. 2.—P. 205-238.

21. Gillet H., Soule C. An arithmetic Riemann-Roch theorem // Invent Math. — 1992.—Vol. 110. —P. 473-543.

22. Grothendieck A. Sur la classification des fibres holomorphes sur la sphere de Riemann // American Journal of Mathematics. — 1957. — Vol. 79, no. 1.

23. Grothendieck A. Elements de géométrie algébrique : II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes // Publications Mathematiques de l'IHES. — 1961. — Vol. 8.

24. Hanna C. C. Decomposing Algebraic Vector Bundles on the Projective Line // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1976.—Vol. 61, no. 2. — P. 196-200.

25. Hanna C. C. Subbundles of vector bundles on the projective line //J. Algebra. — 1978.— Vol. 52, no. 2.—P. 322-327.

26. Hanna C. C. Basic elements in graded rings // Communications in Algebra. — 1981. —Vol. 9, no. 14. —P. 1547-1563.

27. Horrocks G. Projective modules over an extension of a local ring // Proc. London Math. Sot. —1964. —Vol. 14, no. 3. —P. 714-718.

28. Iwaniec H. Spectral methods of automorphic forms (Second Edition).—American Mathematical Society, 2002.

29. Milnor J. Whitehead torsion // Bull. Amer. Math. Soc. —1966.—Vol. 72, no. 3.—P. 358426.

30. Moriwaki A. Arithmetic Bogomolov-Gieseker's Inequality // American Journal of Mathematics. — 1995.—Vol. 117, no. 5. —P. 1325-1347.

31. Moriwaki A. Subsheaves of a hermitian torsion free coherent sheaf on an arithmetic variety // J. Math. Kyoto Univ. —2008. —Vol. 48, no. 1. —P. 7-26.

32. Nicolaescu L. I. The Reidemeister Torsion of 3-Manifolds. — Berlin, New York : De Gruyter, 2003.

33. Quillen D. Projetive modules over polynomial rings // Invent. Math. — 1976.—Vol. 36.— P. 167-171.

34. Ranicki A. The algebraic theory of torsion I. Foundations.—In: Ranicki, A., Levitt, N., Quinn, F. (eds) Algebraic and Geometric Topology. Lecture Notes in Mathematics, vol 1126,

Springer, Berlin, Heidelberg, 1985.

35. Reidemeister K. Homotopieringe und Linsenräume // Abh. Math. Sem. Hamburg. — 1935.—Vol. 11.—P. 102-109.

36. Roberts L. G. Indecomposable vector bundles on the projective line // Can. J. Math. — 1972.—Vol. 24, no. 1. —P. 149-154.

37. Smirnov A. L. On filtrations of vector bundles over PZ // Arithmetic and Geometry, London Math. Soc. Lect. Note Series. — 2015.—Vol. 420.—P. 436-457.

38. Soule C. A vanishing theorem on arithmetic surfaces // Inventiones mathematicae. — 1994. — Vol. 116, no. 1-3.—P. 577-600.

39. Tamvakis H. Bott-Chern forms and arithmetic intersections // Enseign. Math. — 1997.— Vol. 43. — P. 34-54.

40. Zhang S. Positive Line Bundles on Arithmetic Surfaces // Annals of Mathematics. — 1992. — Vol. 136, no. 3.—P. 569-587.