Вероятностные и когомологические характеристики квантовых динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Амосов, Григорий Геннадьевич

• Амосов, Григорий Геннадьевич
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Амосов, Григорий Геннадьевич

Введение

1 Квантовые томограммы и их динамика

1.1 Общая статистическая модель квантовой механики

1.2 Стандартная статистическая модель квантовой механики для случая гильбертова пространства.

1.3 Квантовая механика и оснащенные гильбертовы пространства

1.4 Томографическое представление квантовой механики

1.5 Вероятностные меры, связанные с возбужденными и когерентными состояниями квантового осциллятора.

1.6 Параметрический осциллятор и связанные с ним распределения вероятностей.

1.7 Эволюционное уравнение для характеристических функций в линейном случае.

1.8 Нелинейное эволюционное уравнение.

1.9 Квантовая томография для большого числа степеней свободы. Центральная предельная теорема.

2 Марковские коциклы в одночастичном гильбертовом пространстве

2.1 Коциклы однопараметрических групп.

2.2 Общие свойства марковских коциклов.

2.3 Разложение Вольда. Классические процессы с некоррелированными приращениями.

2.4 Модель унитарного марковского коцикла группы сдвигов.

2.5 Существование и единственность дилатации.

2.6 Возмущения оператора сдвига операторами класса со следом и класса Гильберта-Шмидта.

2.7 Коциклические возмущения группы сдвигов на прямой.

2.7.1 Постановка задачи.

2.7.2 Теорема о триангуляции усеченного сдвига.

2.7.3 Доказательство теоремы 2.7.1.

2.7.4 Неконструктивное улучшение результата.

2.8 Уравнение марковского коцикла группы сдвигов в модельной ситуации.

2.9 Марковские коциклы, порождаемые оператором Шредин-гера с вырождением на двух полупрямых.

2.9.1 Постановка задачи.

2.9.2 Основные результаты о корректной разрешимости вырожденной задачи.

2.9.3 Унитарные марковские коциклы, порождаемые задачей (2.9.1),(2.9.2).

3 Квантовый белый шум над алгеброй и его возмущения марковскими коциклами

3.1 Классические и квантовые случайные процессы, порождаемые ими фильтрации и марковские коциклы.

3.2 Броуновское движение и марковские коциклы группы сдвигов на прямой.

3.3 Эквивалентность мер и квазиэквивалентность состояний.

3.4 Алгебра канонических коммутационных соотношений в симметричном пространстве Фока. Квантовый белый шум.

3.5 Вполне недетерминированные квантовые стохастические процессы и колмогоровские потоки.

3.6 Представление функционалов от случайного процесса в виде кольца когомологий. Квантовый белый шум.

3.6.1 Винеровский процесс.

3.6.2 Квантовый белый шум.

3.7 Марковские коциклы квантовых белых шумов.

3.8 Уравнение марковского коцикла, полученного вторичным квантованием, в модельной ситуации

4 Квазисвободные эволюции на алгебрах канонических антикоммутационных соотношениях и на алгебре квадрата квантового белого шума

4.1 Построение алгебр фон Неймана, отвечающих физическим системам.

4.2 Квазисвободные эволюции на алгебре канонических антикоммутационных соотношений (КАС).

4.2.1 Антисимметричное пространство Фока. Алгебра канонических антикоммутационных соотношений

4.2.2 Расширение на В(Н) квазисвободных автоморфизмов гиперфинитных факторов фон Неймана Л4 С В(Н), порожденных алгеброй КАС

4.2.3 Коциклические возмущения колмогоровских потоков на гиперфинитных факторах, порожденных алгеброй КАС.

4.3 Квазисвободные эволюции на алгебре квадрата квантового белого шума.

4.3.1 Метод Шурмана построения квантовых случайных процессов с независимыми приращениями.

4.3.2 Квадрат квантового белого шума и его представления.

4.3.3 Эндоморфизмы алгебры квадрата квантового белого шума.

4.3.4 Состояния КМШ, связанные с квазисвободными эво-люциями на алгебре квадрата квантового белого шума.

5 Квантовая передача информации

5.1 Передача информации через бесконечномерный квантовый канал

5.1.1 Инвариантные кудиты и подканалы.

5.1.2 Надежность каналов, демпфирующих фазу и амплитуду.

5.2 Характеристики максимальной чистоты выхода квантового канала.

5.3 Каналы Вейля, ковариантные относительно максимальной коммутативной группы унитарных операторов.

5.3.1 Оценка энтропии выхода квантового канала демпфирующего фазу.

5.3.2 Каналы Вейля

5.3.3 Орбиты максимальной коммутативной группы унитарных операторов.

5.3.4 Ковариантность по отношению к максимальной группе унитарных операторов.

5.3.5 Оценка выходной энтропии квантового деполяризующего канала.

5.3.6 Гипотеза сильной супераддитивности для квантовых каналов Вейля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вероятностные и когомологические характеристики квантовых динамических систем»

Согласно вероятностной интерпретации квантовой механики, предложенной Дж. фон Нейманом в 1932 году ([186]), каждой паре (а,р), состоящей из наблюдаемой а и состояния (оператора плотности) р квантовой системы отвечает некоторое распределение вероятностей Р на действительной прямой, интепретируемое, как показания прибора, измеряющего наблюдаемую а в состоянии р. На таком подходе основывается, в частности, одна из возможных формулировок квантовой механики, называемая вероятностным или томографическим представлением. В рамках такого подхода, интенсивно развиваемого в последнее время, квантовые состояния связываются со стандартными плотностями распределений вероятностей (так называемыми томографическими плотностями или томограммами). Квантовые томограммы дают такую же информацию о состоянии системы как волновая функция или матрица плотности. Подобный формализм основан на томографическом подходе к измерению квантовых состояний ([111, 211, 208]). Томограмма может быть определена как набор плотностей распределения вероятностных мер, отвечающих некоторому достаточно богатому набору наблюдаемых. В частности, для симплектических томограмм в качестве таких наблюдаемых выступают линейные комбинации операторов координаты и импульса fix + vp.

В первой главе изучаются свойства вероятностного представления квантовых состояний. Эволюция симплектических квантовых томограмм л построена для случая гамильтонианов вида Н = U(p) + V^rc), для параметрического квантового осциллятора и для нелинейного уравнения Шредингера типа Гросса-Питаевского ([141,192]). Кроме того, центральная предельная теорема применяется для исследования томограммы центра масс системы. Главной задачей является вывод эволюционных уравнений для распределений вероятностей, связанных с различными квантовыми системами. Заметим, что эволюционные уравнения для распределений вероятностей, которые мы выводим, принадлежат к типу, не встречавшемуся в теории классических случайных процессов. Тем самым, мы не можем определить немедленно такие специфические свойства введенных нами случайных процессов, как стационарность, марковость и т.п. Тем не менее, основное достоинство нашего подхода заключается в возможности использования техники классической теории вероятностей для изучения квантовых эффектов, при помощи введенных нами классических случайных процессов. Для квантовой эволюции в линейном случае такое уравнение было найдено в [83] - [85]. Для томографических плотностей распределений вероятностей эволюционное уравнение для солитонов в нелинейном уравнении Шредингера и для конденсата Бозе-Эйнштейна получено в [187, 188]. В этой же главе мы опираемся на характеристические функции, определяющие распределение вероятностей, по аналогии с подходом [117]. Мы выводим эволюционное уравнение для характеристических функций, отвечающих симплектическим томограммам. В разделе 1.5 приведены распределения вероятностей,,отвечающие стационарному квантовому осциллятору. В разделе 1.6 получены динамические уравнения для распределений вероятностей, отвечающих осциллятору с переменной частотой. Там же приведены решения этих уравнений для случая, отвечающего когерентным и возбужденным состояниям. В разделе 1.7 выведены уравнения эволюции характеристических функций томографических распределений для случая гамильтониана вида Н = W{p) + V(&). Отдельно рассмотрена ситуация, когда W[p) = у. В разделе 1.8 выведено эволюционное уравнение для характеристических функций, отвечающее нелинейному уравнению Шредингера. В разделе 1.9 производится исследование томограммы центра масс. С помощью центральной предельной теоремы доказывается, что, при определенных условиях, при возрастании числа степеней свободы, томограмма центра масс стремится к плотности гауссовского распределения. Результаты главы 1 опубликованы в работах [83, 84, 85, 87, 16, 88].

Предположим, что, в отсутствии взаимодействия динамика квантовой системы определяется уравнением Шредингера йоф' (0'0,1) а при взаимодействии Нф. (0.0.2) at

Пусть эволюция квантовой системы (0.0.1) описывается группой унитарных операторов U = {Ut = е~гШ°, t G Ж}, а квантовой системы (0.0.2) группой унитарных операторов U — {Ut = e~ltH, t 6 R}. Тогда семейство унитарных операторов W = {Wt — UtU-t, t G t} описывает динамику квантовой системы в так называемом представлении взаимодействия. Заметим, что если ф{€) является решением уравнения (0.0.1), отвечающим начальному данному ^(0) = фо, тогда решением уравнения (0.0.2), отвечающим тому же начальному данному будет ip(t) = Wtip(t), t > 0. Семейство W удовлетворяет тождеству

Wt+a = WtUtWaU-U s,teR, и является, тем самым, коциклом группы U. Если пределы W± = s — lim Wt существуют, тогда они называются волновыми операторами. t-*±oо

Оператор S = W+W* называется оператором рассеяния (5-матрица). Оператор S был впервые введен в [144]. Математическая теория S построена в [182]. Общая теория рассеяния строится в [153] (см. также ссылки в [40]). В главах 2-4 диссертационной работы представление взаимодействия исследуется с других позиций, нежели в цитированных выше работах. Пионерской работой является [69], где было введено понятие марковского коцикла. В дальнейшем различные варианты этого понятия были выведены в работах [77, 14, 87]. Предположим, что для уравнения (0.0.1) задана "фильтрация", состоящая из семейства подпространств (Ht), Ht С Hs для t < з, таких, что в момент времени t все решения (0.0.1), отвечающие начальным данным фо 6 Щ, удовлетворяют свойству ф{Ь) Е Ht. Коцикл W называется марковским, если

Wt\Ht =Id,t> 0.

В главе 2 подробно изучаются коциклы однопараметрических групп, сдвигов. В разделе 2.2 проводится исследование самых общих свойств унитарных марковских коциклов группы унитарных операторов в гильбертовом пространстве, определяющей сдвиги во времени приращений некоторого случайного процесса. В разделе 2.3 разбирается случай процессов с некоррелированными приращениями. В разделе 2.4 строится модель, описывающая все унитарные марковские коциклы группы сдвигов с точностью до унитарной эквивалентности возмущений этими коциклами. Тем самым, описывается множество некоммутативных когомологий Л1 (5) группы сдвигов S. В разделе 2.5 исследуются дилатации сжимающих коциклов. Устанавливается, в каком смысле единственна минимальная унитарная дилатация. Кроме того, с помощью модели унитарного марковского коцикла, построенной в разделе 2.4, доказывается существование дилатации для случая, когда коциклическое возмущеиие является группой "усеченных сдвигов". В разделе 2.6 приводятся основные сведения о возмущениях дискретных операторов сдвига ядерными операторами и операторами класса со следом. В разделе 2.7 мы рассматриваем возмущения группы сдвигов на прямой унитарными марковскими коциклами W и формулируем утверждение, позволяющее описать класс всех возмущений коциклами, удовлетворяющими дополнительному условию Wt — I 6 <S2 (класс Гильберта-Шмидта). Доказательство этого утверждения существенно опирается на модель, построенную в разделе 2.4 и теорему о триангуляции полугруппы усеченных сдвигов, доказательство которой приведено в тексте. Раздел 2.8 посвящен выводу уравнения, которому удовлетворяет унитарный марковский коцикл группы сдвигов в простейшей ситуации. В разделе 2.9 показано, что решение уравнения Шредингера с вырождением на прямой порождает унитарный марковский коцикл. Применение полученных результатов к некоторым конкретным квантовым системам будет осуществлено в главах 3 и 4. Результаты главы 2 опубликованы в работах [4] - [9], [78, 14, 15, 19, 82, 86].

В работе [128] было введено понятие квантового колмогоровского потока. Обобщение понятия меры белого шума для случая квантовых мер белого шума, заложенное пионерской работой [150], привело к возникновению нового взгляда на теорию квантовых колмогоровских потоков, который мы приводим в главе 3. В разделе 3.5 определяются классические и квантовые колмогоровские потоки и выводится условие, при котором квантовый случайный процесс порождает колмогоровский поток. В разделе 3.6 вводится представление функционалов от квантовых случайных процессов в виде кольца когомологий. Подобное представление является абстрактной версией разложения Винера-Ито £2-функционалов от броуновского движения. Введены марковские возмущения такого кольца. Материал поясняется на примере броуновского движения и квантового белого шума. В разделе 3.7 исследуются марковские возмущения квантовых белых шумов и связанных с ними колмогоровских потоков. При этом получен аналог разложения Вольда, позволяющий выделять часть марковского возмущения колмогоровского потока, изоморфную исходному колмогоровскому потоку. И, наконец, в разделе 3.8 производится вторичное квантование марковского коцикла группы сдвигов, построенного в главе 2, в одном частном случае. Выведено квантовое стохастическое дифференциальное уравнение в симметричном пространстве Фока, которому этот коцикл удовлетворяет. Результаты главы 3 опубликованы в работах [87, 18], [80] - [82].

Каждое представление алгебры наблюдаемых некоторой квантовой системы, отвечающее фиксирванному состоянию этой системы, порождает некоторую алгебру фон Неймана, то есть алгебру замкнутую не только по норме, но и в любой более слабой операторной топологии. Алгебры фон Неймана порождаются принадлежащими им ортогональными проекторами, которые интепретируются как некоторые "события"в квантовой теории вероятностей. Построение алгебр фон Неймана, отвечающих конкретным квантовым системам стало возможно благодаря пионерской работе И.М. Гельфанда, М.А. Наймарка и И.Е. Сигала ([31, 204]), разработавших представление, сейчас называемое "Гельфанда-Наймарка-Сигала"или "ГНС"алгебры с инволюцией по заданному на ней состоянию. В контексте построения квантовых белых шумов развитие теории представлений ГНС привело к созданию метода [202]. В главе 4 подробно изучены представления ГНС алгебры канонических антикоммутационных соотношений и алгебры квадрата квантового белого шума, отвечающие некоторому специальному классу состояний на этих алгебрах. Материал четвертой главы состоит из двух независимых частей, касающихся квазисвободных эволюций на алгебре канонических антикоммутационных соотношений и алгебры квадрата квантового белого шума. В первой части показывается как условие возмущения операторами класса Гильберта-Шмидта действует в приложениях. Таким образом, первая часть 4.2 главы непосредственно связана с главой 2. В части 4.3 метод Шурмана используется для построения алгебры квадрата квантового белого шума (ККБШ). Далее определяются квазисвободные эволюции алгебры квадрата квантового белого шума и связанные с ними состояния Кубо-Мартина-Швингера (см. Приложение). Представления алгебры ККБШ, связанные с этмим состояниями построены в явном виде. Результаты главы 4 опубликованы в работах [7, 8, 11, 78, 77, 78].

Пусть Н есть комплексное гильбертово пространство конечной или бесконечной размерности dimH = I < -foo. Обозначим о~(Н), Proj(H) и 1н множество всех состояний, то есть положительных операторов с единичным следом, множество всех одномерных проекторов и тождественный оператор в Н, соответственно. Пусть К есть другое гильбертово пространство. Квантовым каналом (передачи информации) Ф в Н называется ([60]) афинное (линейное на выпуклых линейных комбинациях элементов) отображение о(Н) —> сг(К), такое что сопряженное линейное отображение Ф*, определенное на алгебре В (К) всех ограниченных операторов в К, является вполне положительным и унитальным (оставляющим на месте тождественный оператор). Любой квантовый канал Ф можно расширить до линейного вполне положительного отображения В(Н) —> В(К). Если такое продолжение, которое мы будем обозначать той же буквой Ф унитально, то есть Ф(/#) = //<-, тогда канал Ф называется бистохастическим. Отметим, что для конечномерных пространств (I < -foo) унитальность эквивалентна условию сохранения хаотического состояния: Ф(у/#) = jIr.

Обыкновенно предполагается, что за счет шумового окружения, квантовый канал Ф искажает информацию. Это, с одной стороны, может проявляться в том, что чистое состояние \ф >< ф\ переводится им в смешанное, например, так что

Ф(|ф >< ф\) = а\фг >< 1 + (1 - а)\ф2 ><

О < а < 1. С другой стороны, поскольку для кодирования информации нужно больше, чем одно состояние, искажение информации может проявляться в том, что Ф переводит ортогональные чистые состояния \ф{ >< ф{\, г — 1, 2, в также чистые, но уже неортогональные состояния \ф{ >< фг| = Ф(|^г >< ф{D) г = 1, 2, что может не позволить уже точно их различить. Переход от передачи "букв"к передаче "слов", состоящих из п букв соответствует операции взятия тензорного произведения ф®п. С другой стороны, множество а{Н®п) содержит так называемые "сцепленные состояния", то есть такие состояния р € сг(Н®п), которые не могут быть представлены в виде р = & • • • ® р^ к где Pks £ Одной из важнейших задач квантовой теории передачи информации является определение, может ли кодирование сцепленными состояниями увеличить пропускную способность канала.

Существует много различных характеристик, позволяющих определить, насколько точно можно передать информацию через квантовый канал Ф. Все такие числовые характеристики ь'(Ф) должны удовлетворять условию ^(а-Ф) = г/(Ф) для произвольного ^-автоморфизма а(-) = U-U* алгебры всех ограниченных операторов В(Н), выполняемого унитарным оператором U. Действительно, квантовый канал, осуществляемый автоморфизмом, ни при каких условиях не искажает информацию. Возмущение Ф = а • Ф квантового канала Ф естественно считать аналогом коциклических возмущений унитарными коциклами в дискретном случае. С этой точки зрения, характеристики ^(Ф) являются инвариантами коциклических возмущений.

Основной задачей, встречающейся в приложениях теории квантовой передачи информации, является нахождение оптимального для данного канала кодирования и, отвечающего ему, оптимального декодирования, приводящего к наименьшему искажению информации. Кодирование предполагает выбор определенного набора состояний в пространстве Я, которые будут представлять некий исходный алфавит, передающийся через канал. Исходный канал может действовать в бесконечномерном пространстве. В частности, мы рассматриваем в первой части главы 5 пространство Н состояний квантового осциллятора с базисом основного и возбужденных состояний \п >, п = 0,1,2,. Одной из важных задач является оценивание выигрыша от использования при кодировании состояний, в ортогональное разложение которых по базису {|п >} входят возбужденные состояния с большими номерами п. В первой части главы 5 предложен общий подход к этой задаче. Кроме того, для частного случая канала, демпфирующего амплитуду, мы показываем что использование возбужденных состояний с большими номерами, в некотором смысле, выигрыша не дает.

Целый класс задач в квантовой теории информации, просто формулируемых, но почти не поддающихся решению, касается аддитивности ряда характеристик квантового канала связи типа "классической пропускной способности "или "максимальной чистоты выходного состояния" по отношению к операции тензорного произведения каналов. Все известные результаты, включая численную проверку, находятся в согласии с этой гипотезой. Положительное решение этой проблемы означало бы, в частности, что использование сцепленных состояний не увеличивает классической пропускной способности квантового канала и имело бы важное значение для приложений (см. [64]).

Верхняя энтропийная граница для канала Ф определяется следующей формулой г г

С!(Ф)= SUP ^ТГ^^-Е^^М)' XjEo(H), тг j=1 j=1 где S(x) = —Trxlogx есть энтропия фон Неймана х и супремум берется г по всем распределениям вероятностей 7г = 0 < -kj < 1, J2 nj = 1. i=i

Гипотеза аддитивности утверждает, что для любых двух каналов ФиФ

Сг(Ф <g> Ф) = Ci(<£) + С^Ф).

Если гипотеза аддитивности справедлива, становится возможным без труда найти классическую пропускную способность С(Ф) канала Ф по формуле С(Ф) = lim = С^Ф) (см. [64]). В [64] гипотеза аддиn-Я-оо п тивности была доказана для так называемых классически-квантовых и квантово-классических каналов. Как следует из определения Ci,

Сх(Ф) < 5(у/я) - inf' S(*(x)).

I хбо\Н)

Равенство в предыдущей формуле было установлено в [79] для бисто-хастических двоичных каналов, в [121] для так называемых кудитных каналов и в [147] для ковариантных каналов. Более того в [206] доказано, что справедливость гипотезы аддитивности величины С\ для всех каналов эквивалентна справедливости гипотезы аддитивности для минимума выходной энтропии для всех каналов, mf 5(Ф ® Щх)) = inf 5(Ф(Ж1))+ inf 5(Ф(Ж2)). хеи(Н1®Н2) xiEu(Hi) х2еа(н2)

Фиксируем число р > 1. Тогда можно определить 1р-нормы канала Ф по формуле ||Ф||р == ( sup Тг^(х)р)р. В [10] показано, что гипотеза xeProj(H) аддитивности тесно связана со следующей гипотезой мультипликативности, которая утверждает что для двух каналов ФиФ

1|Ф®Ф|1р = 1|ф||р1|ф||„.

В частности, если гипотеза мультипликативности верна для р близких к 1, гипотеза аддитивности также верна. Гипотеза мультипликативности для деполяризующего канала доказана в [13] в случае целых значений р. Гипотезы аддитивности и мультипликативности доказаны для унитальных двоичных каналов в [158], для квантового деполяризующего канала в [159], для каналов разрушающих сцепленность в [205], для каналов, представляющих смесь транспонирования и операции взятия следа, в [131, 122]. В [149] была установлена связь гипотез аддитивности для произвольных каналов и для каналов с ограничениями. Тем не менее, не было еще найдено пути для проверки гипотез для произвольного канала. В [148] приведен контрпример к гипотезе мультипликативности. Следовательно, можно ожидать, что гипотеза аддитивности может быть не справедливой для некоторых каналов.

Во второй части главы 5 мы вводим мультипликативные Zp-нормы канала, показываем, как из справедливости гипотезы мультипликативности для р близких к единице следует справедливость гипотезы аддитивности (см. [10, 79]). С другой стороны, с помощью доказательства специального неравенства, касающегося следа произведения операторов, мы расчитываем впрямую Zp-иормы квантового деполяризующего канала и доказываем гипотезу мультипликативности для натуральных значений р= 2,3,4,. ([13]).

Фиксируем квантовый канал Ф в гильбертовом пространстве Н. Для каждого р £ <у(Н) можно ввести характеристику ([149]) к

Н$(р) = тт^тг,-5(Ф(^)),

Pav=P

3 = i к где pav = KjPj и минимум берется по всем распределениям вероятно-i=i стей 7г = {7Г^} и состояниям pj £ о-(Н). Гипотеза сильной супераддитивности утверждает, что

Яфвф(р) > НФ(ТгК(р)) + ЯФ(ТгяМ), р 6 а(Н <Э К) для двух каналов Ф и Ф, действующих в гильбертовых пространствах Н и К, соответственно. В работе ([149]) показано, что гипотеза сильной супераддитивности эквивалентна гипотезе аддитивности для произвольных каналов с ограничениями. Тем самым, гипотеза сильной супераддитивности является более сильным утверждением, чем гипотеза аддитивности. В третьей части главы 5 мы доказываем гипотезу сильной супераддитивности для квантового деполяризующего канала, основываясь на свойстве убывания относительной энтропии.

Результаты, представленные в главе 5, опубликованы в работах [10, 13, 21, 79, 88].

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Получены уравнения эволюции симплектических квантовых томограмм для параметрического осциллятора (с выписыванием пропага-тора, дающего решение), квантовых систем с гамильтонианом формы Н == F(q) + G(p) и нелинейного уравнения Шредингера. При дополнительном условии "факторизуемости" состояния доказано, что при стремлении числа степеней свободы к бесконечности, симплектическая томограмма центра масс стремится к плотности гауссовского распределения.

2. Построена модель, позволяющая строить марковские коциклы группы сдвигов на прямой, удовлетворяющие заданным свойствам. На ее основе полностью исследован класс коциклической сопряженности группы сдвигов на прямой марковскими коциклами W, удовлетворяющими условию Wf—I £ S2 (класс Гильберта-Шмидта). Выведено динамическое уравнение унитарного марковского коцикла в модельной ситуации.

3. Множество всех функционалов от квантового белого шума интерпретировано как кольцо когомологий группы автоморфизмов, порожденной колмогоровским потоком. Показано, что марковское возмущение колмогоровского потока приводит к тому, что кольцо когомологий, отвечающее возмущенному потоку, изоморфно исходному. Аналог классического разложения Вольда, позволяющего выделить недетерминированную часть случайного процесса, вводится для квантовых случайных процессов, являющихся марковскими возмущениями колмогоровских потоков.

4. Показано, что вторичное квантование коцикла W со свойством Wt — I Е £>2, Для представлений алгебры канонических антикоммутационных соотношений (КАС), порождает коцикл Г(МК) колмогоровского потока на КАС с марковским свойством вида Г(И^ Е Мф t > 0 (согласованный с фильтрацией (Мф t > 0), состоящей из алгебр фон Неймана, образующих колмогоровский поток). Выведена классификация квазисвободных эволюций алгебры квадрата квантового белого шума (ККБШ). Построены состояния Кубо-Мартина-Швиигера алгебры

ККБШ и ассоциированные с ними динамические полугруппы.

5. Введено понятие инвариантных кубитов, кудитов и подканала квантового канала передачи информации. Оптимизация надежности (fidelity) разобрана на примере канала, демпфирующего амплитуду. Получена оценка энтропии выходных состояний вейлевских каналов, ковариантных относительно максимальной коммутативной группы унитарных операторов, из которой вытекает справедливость гипотезы сильной супераддитивности для деполяризующего канала.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. Конференция, посвященная столетию Б.М. Гагаева (г. Казань, 1996 г.)

2. Ежегодная научная конференция МФТИ (г. Долгопрудный, 1997 г.)

3. Международный конгресс математиков (г. Берлин, 1998 г.)

4. "Проблемы устойчивости в стохастических моделях"(г. Налечев,

1999 г.)

5. "Теория операторов и ее приложения "(г. Бородо, 2000 г.)

6. Международный конгресс по математической физике (г. Лондон,

2000 г.)

7. Европейский математический конгресс (г. Барселона, 2000 г.)

8. Ежегодная конференция по математическому анализу (г. С.-Петербург, 2000-2006 гг.)

9. "Квантовая вероятность и бесконечномерный анализ"(г. Коттбус,

2001 г.)

10. Конференция, посвященная столетию И.Г. Петровского (г. Москва, 2001 г.)

11. Зимняя школа "Квантовые марковские цепи и их приложения в физике и квантовой информации"(г. Левико-Терме, 2001 г.)

12. "Квантовые процессы Леви"(г. Охен, 2002 г.)

13. "Квантовая информация"(г. Сан Фелю де Гисоль, 2002 г.)

14. "Колмогоров и современная математика" (г. Москва, 2003 г.)

15. "Актуальные вопросы математики и механики"(г. Казань, 2004 г.)

16. "Классические и квантовые интегрируемые системы"(г. Дубна, 2004-2005 гг.)

Материалы диссертации докладывались на многих научных семинарах, включая:

1. Семинар "Математические проблемы теорфизики и механики" Московского физико-технического института (рук. С.П. Аллилуев, В.Б. Лидский)

2. Семинар по математической физике института прикладной математики им. Келдыша (рук. В.В. Веденяпин)

3. Семинар лаборатории математического анализа ПОМИ им. В.А. Стеклова (рук. В.П. Хавин)

4. Семинар по теории представлений и динамическим системам ПОМИ им. В.А. Стеклова (рук. A.M. Вершик)

5. Q-семинар Копенгагенского университета (рук. Ф. Топсе)

6. Семинар кафедры квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ (рук. A.M. Чеботарев)

7. Семинар Международного института Солвея, г. Брюссель (рук. Я. Антониу)

8. Семинар по теории операторов механико-математического факультета МГУ (рук. А.Д. Костюченко)

9. Семинар "Алгебра в анализе"механико-математического факультета МГУ (рук. А.Я. Хелемский)

10. Семинар по алгебре и теории операторов Казанского государственного университета (рук. А.Н. Шерстнев)

11. Семинар по квантовой теории поля ФИАН им. Лебедева (рук. М.А. Васильев)

12. Семинар кафедры высшей математики МФТИ (рук. Е.С. Поло-винкин)

По теме диссертации опубликовано 33 работы, из них 17 - в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов докторских диссертаций.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Амосов, Григорий Геннадьевич

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

В первой главе рассмотрено томографическое представление некоторых квантовых систем, а именно, параметрический осциллятор, система с гамильтонианом вида Н = F(x) + G(p), уравнение Шредингера с нелинейностью вида Для параметрического осциллятора выведено уравнение эволюции для томографических распределений вероятностей, выписан пропагатор дающий решение этого уравнения и решения, отвечающие когерентным и возбужденным состояниям осциллятора. Для квантовых систем гамильтонианом формы Н = F(x) + G(p) выведено уравнение эволюции функций распределения, отвечающих квантовым томограммам. Отдельно рассмотрен случай G(p) = у. Также выведено эволюционное уравнение для функций распределения и томографических вероятностных мер в случае нелинейного уравнения Шредингера. Кроме того, симплектическая томограмма центра масс системы исследована с точки зрения центральной предельной теоремы. При дополнительном условии "факторизуемости"состояния доказывается, что при стремлении числа степеней свободы к бесконечности, томограмма центра масс стремится к плотности гауссовского распределения.

Вторая глава носит чисто математический характер. Все результаты, полученные в ней, применяются для приложений к физическим системам, рассмотренным в главах 3 и 4. Исследованы общие свойства марковских коциклов произвольных групп унитарных операторов. Далее построена модель, позволяющая строить марковские коциклы группы сдвигов на прямой, удовлетворяющие заданным свойствам. С помощью этой модели доказана конструктивная теорема существования и единственности дилатации сжимающего коцикла до марковского унитарного коцикла группы сдвигов на прямой. Кроме того, с помощью введенной модели полностью исследован класс коциклической сопряженности группы сдвигов на прямой марковскими коциклами W = {Wt, t G R}, удовлетворяющими условию Wt — / G £2 (класс Гильберта-Шмидта). В завершении главы выведено динамическое уравнение унитарного марковского коцикла в модельной ситуации.

В третьей главе исследуются марковские возмущения классических и квантовых колмогоровских потоков, порожденных квантовым белым шумом. Множество всех функционалов от квантового белого шума интерпретируется как кольцо когомологий группы автоморфизмов, порожденной колмогоровским потоком. Показано, что марковское возмущение колмогоровского потока приводит к тому, что кольцо когомологий, отвечающее возмущенному потоку, изоморфно исходному. Аналог классического разложения Вольда, позволяющего выделить недетерминированную часть случайного процесса, вводится для квантовых случайных процессов, являющихся марковскими возмущениями колмогоровских потоков.

В четвертой главе исследуются квазисвободные эволюции на алгебре канонических антикоммутационных соотношений и на алгебре квадрата квантового белого шума. Показано, что условие Ut — Vt G S2 (класс Гильберта-Шмидта) необходимо и достаточно для построения динамических групп на алгебре всех ограниченных операторов В(Н) = Л4 V Л4', где М есть фактор фон Неймана, порожденный представлением алгебры канонических антикоммутационных соотношений. Причем динамика на Л4 и Л4' получена вторичным квантованием унитарных групп U = {Ut, t G R} и V = {Vt, t £ I}, соответственно. Для колмогоровского потока на М., полученного вторичным квантованием группы сдвигов на прямой S, доказано, что коциклическое возмущение S марковским коциклом W порождает колмогоровский поток, изомофный исходному. Более того, вторичное квантование коцикла W со свойством Wt — I G £2, £ G R, порождает коцикл W колмогоровского потока с марковским свойством вида Wt € Л4ф t > 0 (согласованный с фильтрацией {Л4ф t > 0} отвечающей колмогоровскому потоку). Во второй части четвертой главы выведена классификация квазисвободных эволю-ций алгебры квадрата квантового белого шума (ККБШ). Построены состояния Кубо-Мартина-Швингера алгебры ККБШ и ассоциированные с ними динамические полугруппы.

В пятой главе исследуются характеристики максимально возможной чистоты выхода квантовых каналов передачи информации. Введено понятие инвариантных кубитов, кудитов и подканала. Показано, что исследование надежности (fidelity) квантового канала сводится к рассмотрению его кубитных подканалов. Оптимизация надежности разобрана на примерах каналов, демпфирующих фазу и демпфирующих амплитуду. При этом показывается, что бесконечномерность канала, приводящая к его бесконечной емкости не позволяет увеличить надежность, которая оптимальна при использовании только конечного числа фоков-ских состояний с минимальными номерами. Далее гипотеза сильной супераддитивности доказывается для квантового деполяризующего канала с использованием свойства убывния относительной энтропии. Для каналов Вейля, ковариантных относительно максимальной группы унитарных операторов получена оценка снизу энтропии выходных состояний.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Амосов, Григорий Геннадьевич, 2008 год

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Наука, 1966.

2. Адамян В.М., Аров Д.З. Об одном классе операторов рассеяния и характеристических оператор функций сжатий // ДАН. - 1965. -Т. 160, N 1. - С. 9-12.

3. Адамян В.М., Аров Д.З. Об операторах рассеяния и полугруппах сжатий в гильбертовом пространстве // ДАН. 1965. - Т. 165, N 1. - С. 9-12.

4. Амосов Г.Г., Булинский А.В. О некоторых полугруппах вполне положительных отображений алгебр фон Неймана // Некоторые проблемы современной математики и их приложения к задачам физики и механики. М.: Изд-во МФТИ, 1995. С. 4-11.

5. Амосов Г.Г., Булинский А.В. Сопряженные полугруппы сдвигов гиперфинитных факторов типа II I\ j j Некоторые проблемы современной математики и их приложения к задачам физики и механики. М.: Изд-во МФТИ, 1995. С. 12-15.

6. Амосов Г.Г. К теории индекса непрерывных полугрупп изометрических операторов в гильбертовом пространстве // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.: Изд-во МФТИ, 1996. С. 14-24.

7. Амосов Г.Г. О классах коциклической сопряженности квазисвободных К-систем // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.: Изд-во МФТИ, 1997. С. 4-16.

8. Амосов Г.Г., Булинский А.В. Индекс Пауэрса-Арвесона для квазисвободных динамических полугрупп // Математические Заметки.- 1997. Т. 62, в. 6. - С. 933-936.

9. Амосов Г.Г. Об аппроксимации полугрупп изометрий в гильбертовом пространстве // Известия Высших Учебных Заведений. Математика. 2000. - N 2. - С. 7-12.

10. Амосов Г.Г., Холево А.С., Вернер Р.Ф. О некоторых проблемах аддитивности в квантовой теории информации // Проблемы передачи информации. 2000. - Т. 36, N 4. - С. 25-34.

11. Амосов Г.Г., Булинский А.В., Широков М.Е. Регулярные полугруппы эндоморфизмов факторов Неймана // Математические Заметки. 2001. - Т. 70, в. 5. - С. 643-659.

12. Амосов Г.Г. Аппроксимация по модулю s2 изометрических операторов и коциклическая сопряженность эндоморфизмов алгебры КАС // Фундаментальная и прикладная математика. 2001. - Т.7, в. 3.- С. 925-930.

13. Амосов Г.Г., Холево А.С. О гипотезе мультипликативности для квантовых каналов // Теория вероятностей и ее применения. 2002.- Т. 47, в. 1. С. 143-146.

14. Амосов Г.Г. О марковских возмущениях группы унитарных операторов, ассоциированной со случайным процессом со стационарными приращениями // Теория вероятностей и ее применения. 2004.- Т. 49, в. 1. С. 145-155.

15. Амосов Г.Г., Сакбаев В.Ж. О самосопряженных расширениях оператора Шредингера с вырождением на двух полупрямых и определяемых ими марковских коциклах // Математические заметки.- 2004. Т. 76, в. 3. - С. 335-343.

16. Амосов Г.Г., Манько В.И. Эволюция вероятностных мер, связанных с квантовыми системами // Теоретическая и математическая физика. 2005. - Т. 142, N 2. - С. 365-370.

17. Амосов Г.Г. О марковских возмущениях квантовых случайных процессов со стационарными приращениями // Теория вероятностей и ее применения. 2005. - Т. 50, в. 4. - С. 754-763.

18. Амосов Г.Г. Эволюционное уравнение для марковских коциклов, полученных вторичным квантованием в симметричном пространстве Фока // Теоретическая и математическая физика. 2006. - Т. 146, N 1. - С. 186-192.

19. Амосов Г.Г., Баранов А.Д. Дилатация сжимающих коциклов и ко-циклические возмущения группы сдвигов на прямой // Математические заметки. 2006. - Т.79, в. 1. - С. 3-18.

20. Амосов Г.Г., Баранов А.Д. Дилатация сжимающих коциклов и ко-циклические возмущения группы сдвигов на прямой, II // Математические заметки. 2006. - Т.79, в. 5. - С. 779-780.

21. Амосов Г.Г. Замечание о гипотезе аддитивности для квантового деполяризующего канала // Проблемы передачи информации. 2006.- Т. 42, N 2. С. 3-11

22. Баранов АД. Изометрические вложения пространств Kq в верхней полуплоскости // Проблемы математического анализа. 2000. - Т. 21. - С. 30-44; англ. перевод в J. Math. Sci. - 2001. - V. 105. - P. 2319-2329.

23. Белавкин В.П. О квантовых стохастических дифференциальных уравнениях как краевых задачах Дирака //Матем. Заметки. 2001.- Т. 69. С. 735-748.

24. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1986.

25. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982, 512 С.

26. Браун К.С. Когомологии групп. М.: Наука, 1987, 384 С.

27. Булинский А.В. Алгебраические К-системы и полупотоки сдвигов Пауэрса // Успехи математических наук. 1996. - Т.51, N 2. - С. 145-148.

28. Булинский А.В. Некоторые асимптотические свойства Нединамических систем // Функциональный анализ и его приложения. 1995. - Т.29, в.2. - С. 64-67.

29. Булинский А.В. Неизоморфные потоки сдвигов на гиперфинитных факторах // Проблемы математики в физических и технических задачах. М: МФТИ, 1994. С. 211-220.

30. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

31. Гельфанд И.М., Наймарк М.А. О вложении нормированных колец в кольца операторов в гильбертовом пространстве // Мат. сб. 1943. - Т. 12. - С. 197.

32. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. М.: Наука, 1961.

33. Гохберг И.Ц., Крейн М.А. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов // УМН. -1957. Т. 12. - С. 43-118.

34. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Ч. 1, Общая теория. М.: Мир, 1962; Ч. 2, Спектральная теория. - М.:Мир, 1966.

35. Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979.

36. Додонов В.В., Манько В.И. Инварианты и коррелированные состояния нестационарных квантовых систем // Труды ФИАН им. П.Н. Лебедева. 1987. - Т.183. - С. 71-181.

37. Гишарде А. Когомологии топологических групп и алгебр Ли. М.: Мир, 1984, 262 С.

38. Ибрагимов И.А., Розанов Ю.А. Гауссовские случайные процессы. -М.: Наука, 1970, 384 С.

39. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

40. Като Т. Теория возмущений линейных операторов // М.: Мир, 1972.

41. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. М.: Мир, 1970.

42. Колмогоров А.Н. Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные по отношению к однопараметрической группе движений // ДАН. 1940. - Т. 26, N 1. - С. 6-9.

43. Колмогоров А.Н. Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовом пространстве // ДАН. 1940. - Т. 26, N 2.- С. 115-118.

44. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега // ДАН.- 1958. Т. 119, N 5. - С. 861-864.

45. Крейн М.А. О самосопряженных расширениях ограниченных и полуограниченных эрмитовых операторов // ДАН. 1945. - Т. 48. -С. 323-386.

46. Крейн М.А. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения. II // Матем. сб. 1947.- Т. 29. С. 431-498.

47. Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М.: Наука, 1979.

48. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М.: Наука, 1968.

49. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980, 384 С.

50. Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. М.: Физмат-гиз, 1963, 284 С.

51. Рид М., Саймон Б. Современные методы математической физики. Т. 1. М.: Мир, 1977.

52. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: ИЛ, 1954.

53. Сакбаев В.Ж. О постановке задачи Коши для уравнения Шредин-гера, вырождающегося на полупространстве // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2002. - Т. 42, N 11. - С. 1718-1729.

54. Сакбаев В.Ж. О свойствах решений задачи Коши для уравнения Шредингера, вырождающегося на полупрямой // Современная математика и ее приложения. Труды конференции "Суздаль-411. -2003. Т. 10. - С. 176-192.

55. Секефальви-Надь В., Фойаш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир. 1970.

56. Соловьев М.А. Алгебры пробных функций со звездочным произведением // Теоретическая и математическая физика. 2007. - Т. 153, N 1. - С. 3-17.

57. Тютин И.В. Общий вид *-произведения на алгебре Грассмана // Теоретическая и математическая физика. 2001. - Т. 127, N 2. - С. 253-267.

58. Фок В.А. Работы по квантовой теории поля. Ленинград, 1957.

59. Хида Т. Броуновское движение. М.: Наука, 1987, 304 С.

60. Холево А.С. О математической теории квантовых каналов передачи информации // Проблемы передачи информации. 1972. - Т. 8, в.1. - С. 62-71.

61. Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1980.

62. Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 83, М.: ВИНИТИ, 1991, С. 5-132.

63. Холево А.С. О формуле Леви Хинчина в некоммутативной теории вероятностей // Теория вероятностей и ее применения. - 1993. - Т. 38, No 4. - С. 842-857.

64. Холево А.С. Квантовые теоремы кодирования // УМН. 1998. - Т. 53. N 6. - С. 193-230; LANL e-print quant-ph/9808023.

65. Чеботарев A.M. Что такое квантовое стохастическое дифференциальное уравнение с точки зрения функционального анализа // Ма-тем. Заметки. 2002. - Т. 71. - С. 408-427.

66. Чеботарев A.M. Квантовое стохастическое уравнение унитарно эквивалентно симметричной краевой задаче для уравнения Шредин-гера // Матем. Заметки. 1997. - Т. 61. - С. 510-518.

67. Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976.

68. Accardi L. On the quantum Feynmann Kac formula // Rendiconti del seminario matematico e fisico Milano. - 1978. - V. 48. - P. 135-180.

69. Accardi L., Frigerio A., Lewis J.T. Quantum stochastic processes // Publications RIMS Kyoto Univ. 1982. - V. 18. - P. 97-133.

70. Accardi L., Lu Y.G., Volovich I.V. White noise approach to classical and quantum stochastic calculi // Centra Vito Volterra, Universita di Roma "Tor Vergata", Preprint 375, 1999.

71. Accardi L., Amosov G.G., Franz U. KMS states on the square of white noise algebra // LANL e-print quant-ph/0208070 (2002).

72. Accardi L., Amosov G.G., Franz U. Second quantized automorphisms of the renormalized square of white noise (RSWN) algebra // Infin. Dimen. Anal. Quantum Probab. and Rel. Top. 2004. - V. 7, N 1. - P. 183-194.

73. Accardi L., Schurmann M., von Waldenfels W. Quantum independent increment processes on superalgebras // Math. Z. 1988. - V. 198. - P. 451-477.

74. Ahern P.R., Clark D.N. On functions orthogonal to invariant subspaces // Acta Math. 1970. V. 124. P. 191-204.

75. Ahern P.R., Clark D.N. Radial limits and invariant subspaces // Amer. J. Math. 1970. - V.92. - P. 332-342.

76. Amosov G.G. Cocycle perturbation of quasifree algebraic K-flow leads to required asymptotic dynamics of associated completely positive semigroup // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Rel. Top. 2000. - V. 3. - P. 237-246.

77. Amosov G.G. On cocycle conjugacy of quasifree endomorphism semigroups on the CAR algebra // J. Math. Sci. 2001. - V. 105, N 6. - P. 2496-2503.

78. Amosov G.G., Holevo A.S., Werner R.F. On additivity/multiplicativity problems for quantum channels // Quantum communications, measurement and computing 3, Edited by O. Hirota and P. Tombesi, Kluwer Academic/Plenum Publishers, 2001, 502 P.

79. Amosov G.G. On the Wold decomposition for cocycle perturbations of a quantum Levy process // MaPhySto Miscellanea. 2002. - N 22. - P. 10-11.

80. Amosov G.G. Stationary quantum stochastic processes from the cohomological point of view // Quantum Probability and White Noise Analysis XV, Edited by W.Freudenberg, World Sci. Publ. Co., 2003, 260 P. P. 29-40.

81. Amosov G.G. On Markovian cocycle perturbations in classical and quantum probability // Internat. J. Math, and Math. Sci. 2003. -N 54. - P. 3443-3468.

82. Amosov G.G., Man'ko V.I. Quantum probability measure for parametric oscillators // Physics Letters A. 2003. - V. 318, N 4-5.- P. 287-291.

83. Amosov G.G., Man'ko V.I. Quantum tomograms as von Neumann probaility distributions // Squeezed states and uncertainty relations, Rinton Press, 2003. P. 7-16.

84. Amosov G.G., Man'ko V.I. Quantum probability measures and tomographic probability densities // J. Russian Laser Research. 2004.- V.25, N 3. P. 253-266.

85. Amosov G.G., Baranov A.D. On perturbations of the group of shifts on the line by unitary cocycles // Proceed. Amer. Math. Soc. 2004. -V.132, N 11. - P. 3269-3273.

86. Amosov G.G., Man'ko V.I. Tomographic probability measure for many degrees of freedom and the central limit theorem // J. Physics A. -2005. V. 38, N 10. - P. 2173-2177.

87. Amosov G.G., Mancicni S., Man'ko V.I. Transmitting qudits through larger quantum channels // J. Physics A. 2006. - V. 39. - P. 3375-3380.

88. Amosov G.G. On the Weyl channels being covariant with respect to the maximum commutative group of unitaries // J. Mathematical Physics. 2007. - V. 48, N1. - P. 012104.

89. Amosov G.G. On strong superadditivity for a class of quantum channels // e-print quant-ph/0610098.

90. Amosov G.G. Strong superadditivity conjecture holds for the quantum depolarizing channel in any dimension // Physical Review A. 2007. -V. 75, N 6. - P. 060304.

91. Applebaum D.B., Hudson R.L. Fermion's Ito formula and stochastic evolutions //Commun. Math. Phys. 1984. - V. 96. - P. 473-496.

92. Araki H., Woods E.J. Representation of the canonical commutation relations describing a nonrelativistic infinite free Bose gas // J. Math. Phys. 1963. - V. 4. - P. 637.

93. Araki H. On quasifree states of CAR and Bogoliubov automorphisms // Publ. RIMS Kyoto Univ. 1971. - V.6. - P. 385-442.

94. Araki H. Representations of the canonical commutation relations // Commun. Math. Phys. 1971. - V. 20. - P. 9.

95. Araki H. Expansional in Banach algebras // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1973. - V. 6. - P. 67-84.

96. Araki H., Yamagami S. On quasi-equivalence of quasifree states of the CCR // Publications RIMS Kyoto Univ. 1982. - V. 18. - P. 283-338.

97. Araki H. Bogolyubov automorphisms and Fock representations of canonical anticommutation relations // Contemp. Math. 1985. - V. 62. - P. 21-141.

98. D'Ariano G.M., Mancini S., Man'ko V.I., Tombesi P. Reconstructing the density operator by using generalized field quadratures // Quantum Semiclass. Opt. 1996. - V. 8. - P. 1017-1028.

99. Arkhipov A.S., Lozovik Yu.E., Manko V.I., Sharapov V.A. Center-of-mass tomography and probability representation of quantum states for tunneling // Theor. Math. Phys. 2005. - V. 142. - P. 311-323.

100. Arkhipov A.S., Lozovik Y.E., Man'ko V.I. Center of mass tomography for reconstructing quantum states of multipartite systems // Physics Letters A. 2004. - V. 328. - P. 419-431.

101. Arkhipov A.S., Man'ko V.I. Quantum transitions in the center-of-mass tomographic probability representation // Physical Review A. 2005. - V. 71. - P. 012101.

102. Arveson W. Continuous analogues of Fock space // Mem. Amer. Math. Soc. 1989. - V. 80. - P. 1-66.

103. Arveson W. The index of a quantum dynamical semigroup //J. Funct. Anal. 1997. - V. 146. - P. 557-588.

104. Barreto S.D., Bhat B.V.R., Liebscher V., Skeide M. Type I product systems of Hilbert modules //J. Funct. Anal. 2004. - V. 212: - P. 121-181.

105. Bayen F., Flato M., Fronsdal C, Lichnerowicz A., Sternheimer D. Quantum mechanics as a deformation of classical mechanics // Lett. Math. Phys. 1975. - V. 1. - P. 521-530.

106. Beckner W. Inequalities in Fourier analysis // Ann. Math. 1975. - V. 102. - P. 159-182.

107. Belavkin V.P. Quantum stochastics, Dirac boundary value problem and the ultrarelativistic limit // Rep. on Math. Phys. 2000. - V. 46. - P. 359-382.

108. Belavkin V.P., Kolokol'tsov V.N. Stochastic evolution as a quasiclassical limit of a boundary value problem for Schrodinger equations // Infin. Dimen. Anal. Quantum Probab. and Rel. Top. -2002. V. 5. - P. 61-91.110111112113114115116117118

109. Bennett C.H., Shor P.W. Quantum information theory // IEEE Trans. Inform. Theory. 1998. - V. 44. - P. 2724-2742.

110. Bertrand J., Bertrand P. A tomographic approach to Wigner's function // Found. Phys. 1987. - V. 17. - P. 397-405.

111. Bhat B.V.R. Minimal isometric dilations of operator cocycles // Int. Equat. Oper. Theory. 2002. - V. 42. - P. 125-141.

112. Bhat B.V.R. An index theory for quantum dynamical semigroups // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. - V.348. - P. 561-583.

113. Bhat B.V.R., Partasarathy K.R. Markov dilations of nonconservative dynamical semigroups and a quantum boundary theory // Ann. Inst. Henri Poincare. 1995. - V. 31. - P. 601-651.

114. Bhat B.V.R., Skeide M. Tensor product systems of Hilbert modules and dilations of completely positive semigroups // Infin. Dimen. Anal. Quantum Probab. Rel. Top. 2000. - V. 3. - P. 519-575.

115. Bratteli 0, Robinson D. Operator algebras and quantum statistical mechanics II. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1981.

116. Cahill K.E., Glauber R.J. Density Operators and Quasiprobability Distributions // Phys. Rev. 1969. - V. 177. - P. 1882-1902.

117. Carey R.W., Pincus J.D. Unitary equivalence modulo the trace class for self-adjoint operators // American J. of Math. 1974. - V. 98. - P. 481-514.

118. Chebotarev A.M. Quantum stochastic differential equation is unitarily equivalent to a symmetric boundary value problem in Fock space //1.f. Dimen. Anal. Quantum Probab. and Rel. Top. 1998. - V.l. - P. 175-199.

119. Connes A. Une classification des facteurs de type III // Annales Sci. Ecole Norm. Sup. 1973. - T. 6. - P. 133-252.

120. Cortese J. The Holevo-Schumacher-Westmoreland channel capacity for a class of qudit unital channels // LANL e-print quant-ph/0211093.

121. Datta N., Holevo A.S., Suhov Y. Additivity for transpose depolarizing channels // LANL e-print quant-ph/0412034.

122. Datta N, Ruskai M.B. Maximal output purity and capacity for asymmetric unital qudit channels // J. Physics A: Mathematical and General. 2005. - V. 38. - P. 9785-9802.

123. Davies E.B. Quantum theory of open systems. London: Acad. Press, 1976.

124. Davies E.B. Irreversible dynamics of infinite fermion systems // Commun. Math. Phys. 1977. - V. 55. - P. 231-258.

125. Dixmier J. Algebres de von Neumann. Paris, 1957.

126. Dodonov V.V., Man'ko V.I. Positive Distribution Description for Spin States //Phys. Lett. A. 1997.- v.229. - P. 335-339.

127. Emch G.G. Generalized K-flows // Commun. Math. Phys. 1976. - V. 49.- P. 191-215.

128. Evans D. Completely positive quasifree maps on the CAR algebra // Commun. Math. Phys. 1979. - V. 70: - P. 53-68.

129. Faddeev L.D., Takhtadzhan L.A. Hamiltonian methods in the theory of solitons. Springer Series in Soviet Mathematics. IX, 1987.

130. Fannes M., Haegeman В., Mosconyi M., Vanpeteghem D. Additivity of minimal entropy output for a class of covariant channels // LANL e-print quant-ph/0410195.

131. Feldman J. Equivalence and perpendicularity of Gaussian processes // Pacific J. Math. 1958. - V. 8. - P. 699-708.

132. Feynman R.P. Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics // Rev. Mod. Phys. 1948. - V. 20. - P. 367-387.

133. Fivel D.I. Remarkable Phase Oscillations Appearing in the Lattice Dynamics of Einstein-Podolsky-Rosen States // Phys. Rev. Lett. -1995. V. 74. - P. 835-838.

134. Fichera G. On a unified theory of boundary value problems for elliptic-parabolic equations of second order // Boundary problems in differential equations. The University of Wisconsin Press. Madison, 1960. P. 97-120.

135. Fock V. Konfigurationsraum und zweite Quantelung // Zs. f. Phys. -1932. V. 75. - P. 622.

136. Friedrichs K.O. Mathematical aspects of the quantum theory of fields. New York: Interscience Publishers, Inc., 1953.

137. Fukuda M., Holevo A.S. On Weyl-covariant channels // LANL e-print quant-ph/0510148.

138. Glauber R.J. Coherent and Incoherent States of the Radiation Field //Phys. Rev. 1963. - V. 131. - P.2766-2788.

139. Gohm R. Noncommutative stationary processes. Berlin-Heidelberg: Springer, 2004.

140. Gross E.P. Structure of a quantized vortex in Boson systems// Nuovo Cimento. 1961. - V. 20. - P. 454.

141. Gross E.P. Hydrodynamics of a superfluid condensate //J. Math. Phys. 1963. - V. 4. - P. 195.

142. Guichardet A. Symmetric Hilbert spaces and related topics. Lecture notes in mathematics, V. 261, Springer, 1972, 197 P.

143. Heisenberg W. Die "beobachtbaren Groessen"in der Theorie der Elementartellchen 1 // Z. Physik. 1943. - V. 120. - P. 513-538.

144. Holevo A.S. Statistical structure of quantum theory. Springer, 2001, 159 P.

145. Holevo A.S. Levy processes and continuous quantum measurements // Levy processes. Theory and applications, ed. O.E. Barndorff-Nielsen et al., Birkhauser, 2001, P. 225-239.

146. Holevo A.S. Remarks on the classical capacity of quantum channel // LANL e-print quant-ph/0212025.

147. Holevo A.S., Werner R.F. Counterexample to an additivity conjecture for output purity of quantum channel // J. Math. Phys. 2002. - V. 43, N 9. - P. 4353-4357; LANL e-print quant-ph/0203003.

148. Holevo A.S., Shirokov M.E. On Shor's channel extension and constrained channels // Commun. Math. Phys. 2004. - V. 249, N 2. - P. 417-430; LANL e-print quant-ph/0306196.

149. Hudson R.L., Parthasarathy K.R. Quantum Ito formula and stochastic evolutions // Commun. Math. Phys. 1984. - V. 93. - P. 301-323.

150. Husimi K. Miscellanea in Elementary Quantum Mechanics, II // Prog. Theor. Phys. 1953. - V. 9. - P. 381-402.1.anovich I.D. Geometrical description of quantum state determination // J. Physics A. 1981. - V. 14. - P. 3241-3245.

151. Jauch J.M. Theory of the scattering operator // Helv. Phys. Acta. V. 31, N 6. - P. 127-158; N 7. - P. 661-684.

152. Journe J.-L. Structure des cocycles markoviens sur l'espace de Fock // Probab. Theory Rel. Fields. 1987. - V. 75. - P. 291-316.

153. Karpov E., Daems D., Cerf N.J. Entanglement enhanced classical capacity of quantum communication channels with correlated noise in arbitrary dimensions // LANL e-print quant-ph/0603286.157158159160161 162163164

154. Kato Т. Perturbation of continuous spectra by trace class operators // Proc. Japan Acad. 1957. - V. 33. - P. 260-264.

155. Keyl M. Fundamentals of Quantum Information Theory //Phys. Rep.- 2002. V. 369. - P. 431-548.

156. King C. Additivity for unital qubit channels // J. Math. Phys. 2002.- V. 43, N 10. P. 4641-4653; LANL e-print quant-ph/0103156.

157. King C. The capacity of the quantum depolarizing channel // IEEE Trans. Inform. Theory. 2003. - V. 49, N 1. - P. 221-229; LANL e-print quant-ph /0204172.

158. King C., Ruskai M.B. Minimal entropy of states emerging from noisy quantum channels // LANL e-print quant-ph/9911079.

159. Kraus K. States, Effects and Operations. Berlin: Springer, 1983.

160. Kubo R. Statistical mechanical theory of irreversible processes I //J. Phys. Soc. Japan. 1957. - V. 12. - P. 570.

161. Kummerer B. Markov dilations on iy*-algebras // J. Funct. Anal. -1985. V. 63. - P. 139-177.1.x P.D., Phillips R.S. Scattering theory // Bull. Amer. Math. Soc. -1964. V. 70. - P. 130-142.

162. Lewis H.R., Riesenfeld W.B. An Exact Quantum Theory of the Time-Dependent Harmonic Oscillator and of a Charged Particle in a Time-Dependent Electromagnetic Field // J. Math. Phys. 1968. - V. 10. -P. 1458-1473.

163. Liebscher V. How to generate Markovian cocycles on boson Fock space // Infin. Dimen. Anal., Quantum Probab. Rel. Top. 2001. - V. 4. - P. 215-219.

164. Lindblad G. Completely positive maps and entropy inequalities // Commun. Math. Phys. 1975. - V. 40. - P. 147-151.

165. Lindsay J.M., Wills S.J. Markovian cocycles on operator algebras adapted to a Fock filtration // J. Funct. Anal. 2000. - V. 178. -P. 269-300.

166. Mackey G.W. Mathematical foundations of quantum mechanics. New York: W.A. Benjamin Inc., 1963.

167. Malkin I.A., Man'ko V.I. Coherent states and excitation of N-dimensional non-stationary forced oscillator // Phys. Lett. A. 1970. - V. 32. - P. 243-244.

168. Mancini S., Man'ko V.I., Tombesi P. Wigner function and probability distribution for shifted and squeezed quadratures // Quantum Semiclass. Opt. 1995. - V.7, no. 4. - P. 615-624.

169. Mancini S., Man'ko V.I., Tombesi P. Symplectic tomography as classical approach to quantum systems //Phys. Lett. A. 1996. - V. 213. - P. 1-6.

170. Man'ko M.A. Soliton signals in tomographic representation // Squeezed states and uncertainty relations, Rinton Press, 2003. - P. 246253.

171. Man'ko O.V., Man'ko V.I., Marmo G. Alternative commutation relations,star-products and tomography // J. Physics A: Math, and Gen. 2002. - V. 35. - P. 699-719.

172. Man'ko O.V. Symplectic tomography of nonlinear coherent states of a trapped ion // Phys. Lett. A. 1997. - V. 228. - P. 29-35.

173. Man'ko O.V. Photon-number tomogram for two-mode squeezed state // Squeezed states and uncertainty relations, Rinton Press, 2003. P. 254-261.

174. Man'ko V.I., Mendes R.V. Non-Commutative Time-Frequency Tomography // Phys. Lett.A. 1999.- V.263, N.1,2. - P. 53-61.1781 Man'ko V.I., Man'ko O.V. Spin state tomography // JETP. 1997. -V. 85. - P. 430-434.

175. De Nicola S., Fedele R., Man'ko M.A., Man'ko V.I. Tomographic probability description of solitons in Bose-Einstein condensates // Eur. Phys. J. B. 2003. - V. 36. - P. 385-390.189190191192193194195196197

176. De Nicola S., Fedele R., Man'ko M.A., Man'ko V.I. Quantum tomography, wave packets and solitons // J. Russ. Las. Res. 2004.- V. 25, no. 1. R 1-29.

177. Ohya M., Petz D. Quantum entropy and its use. Texts and Monographs in Physics. Berlin: Springer-Verlag, 1993.

178. Parthasarathy K.R. An introduction to quantum stochastic calculus. -Birkhauser, 1992, 290 P.

179. Pearcy C., Salinas N. Compact perturbations of semi-normal operators // Indiana Univ. Math. J. 1973. - V. 22. - P. 789-793.

180. Pitaevskii L.P. Vortex lines in an imperfect Bose gas //Sov. Phys. JETP. 1961. - V. 13. - P. 451.

181. Powers R.T. An index theory for semigroups of *-endomorphisms of B(H) and IIi factor // Cand. J. Math. 1988. - V.40. - P. 86-114.

182. Powers R.T., Stormer E. Free states of canonical anticommutation relations // Commun. Math. Phys. 1970. - V. 16. - P. 1-33.

183. Radon J. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte lengs gewisser Mannigfaltigkeiten // Leipz. Ber. Verch. Sachs. Akad. 1917. - V. 69. - P. 262 - 277.

184. Rocca F., Sirugue M., Testard D. Translation invariant quasi-free states and Bogoliubov transformations // Ann. Inst. Henri Poincare A. 1969.- V. 10. P. 247.

185. Rocca F., Sirugue M., Testard D. Quasifree states as equilibrium states under the Kubo Martin - Schwinger boundary condition // Commun. Math. Phys. - 1969. - V. 13. - P. 317.

186. Rocca F., Sirugue M., Testard D. On a class of equilibrium states under the KMS condition. II, Bosons // Commun. Math. Phys. 1970. - V. 16. - P. 119.

187. Rocca F. Complexification des evolutions quasi-libres // Cargese lect. in phys. 1970. - V. 4. - P. 323-333.

188. Rosenblum M. Perturbation of the continuous spectrum and unitary equivalence // Pacific J. Math. 1957. - C. 997-1010.

189. Schiller S., Breitenbach G., Pereira S., Muller Т., Mlynek J. Quantum statistics of the squeezed vacuum by measurement of the density matrix in the number state representation // Phys. Rev. Lett. 1996. - V. 77. - P. 2933

190. Schurmann M. White noise on bialgebras. Lecture notes in mathematics, V. 1544, Springer, 1993, 146 P.

191. Schwinger J. Brownian motion of a quantum oscillator // J. Math. Phys. 1961. - V. 2. - P. 407-432.

192. Segal I.E. Postulates for general quantum mechanics // Ann. Math. -1947. V. 48. - P. 930.

193. Shor P. Additivity of the classical capacity of entanlement-breaking quantum channels // J. Math. Phys. 2002. - V. 43. - P. 4334-4340; LANL e-print quant-ph/0201149.

194. Shor P. Equivalence of additivity questions in quantum information theory // Commun. Math. Phys. 2004. - V. 246, N 3. - P. 453-472; LANL e-print quant-ph/0305035.

195. Sirugue M. Le etats quasi-libres de l'algebre de Clifford comme solution des conditions de KMS //Cargese lect. in phys. 1970. - V. 4. - P. 335348.

196. Umegaki H. Conditional expectation in an operator algebra. IV. Entropy and information // Kodai Math. Sem. Rep. 1962. - V. 14. -P. 59-85.

197. Bolotin K.I., Vasiliev M.A. Star-product and massless free field dynamics in AdS4 // Phys. Lett. B. 2001. - V. 479. - P. 421-468.

198. Vogel K., Risken H. Determination of quasiprobability distributions in terms of probability distributions of the rotated quadrature phase // Phys. Rev. A. 1989. - V. 40. - P. 2847-2849.

199. Weyl H. Gruppentheorie und quantenmechanik. Leipzig: S. Hirzel, 1928.

200. Wigner E.P. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium // Phys. Rev. II. 1932. - V. 40. - P. 749-759.