Вероятностные модели и алгоритмы численного решения задачи Коши для систем квазилинейных параболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Немченко Екатерина Игоревна

• Немченко Екатерина Игоревна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Немченко Екатерина Игоревна

2.2.2 ПОСДУ и вязкостные решения системы уравнений в частных производных

3 Вероятностные численные алгоритмы построения классических и вязкост-

и х и /■* и

ных решении задачи Коши для нелинейных параболических уравнении и систем

3.1 Вероятностные численные алгоритмы построения классических решений нелинейных параболических уравнений

3.2 Вероятностные численные алгоритмы построения классических решений систем нелинейных параболических уравнений

3.3 Вероятностные численные алгоритмы построения вязкостных решений квазилинейных параболических уравнений

3.4 Вероятностные численные алгоритмы построения вязкостных решений систем квазилинейных параболических уравнений

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вероятностные модели и алгоритмы численного решения задачи Коши для систем квазилинейных параболических уравнений»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Нелинейные параболические уравнения и системы возникают в качестве математических моделей различных явлений в физике, биологии, финансовой математике и других областях. Ввиду сложности таких уравнений краевые задачи для них не имеют, как правило, явных решений и для их численного исследования приходится разрабатывать специальные подходы, В диссертационной работе разработаны численные алгоритмы построения классических и вязкостных решений параболических уравнений и систем, основанные на соответствующих вероятностных моделях этих решений, и приведена их программная реализация.

Область исследования соответствует требованиям паспорта научной специальности ВАК (05,13,18, Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ), В нее входит разработка фундаментальных основ и применение математического моделирования, численных методов и комплексов программ для исследования математических моделей физических, химических, биологических объектов.

Построение моделей различных физических явлений осуществляется либо на основании фундаментальных законов физики, либо на основании экспериментальных данных, В обоих случаях мы имеем дело с законами макромира или измерениями макровеличин, таких как температура, плотность вещества, энергия и т, д. Во многих интересных случаях рассматриваемые модели имеют вероятностную интерпретацию и построение соответствующей стохастической модели позволяет получить дополнительную информацию об изучаемом явлении.

Одна из процедур построения вероятностной модели физического явления в терминах стохастического дифференциального уравнения (далее СДУ) вполне аналогична процедуре, используемой при построения модели процесса в терминах обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ), Поведение исследуемого процесса изучается на малых интервалах времени и полученная информация об изменениях процесса приводит к построению модели в терминах ОДУ, Однако, если процесс имеет стохастический характер, то эта процедура, реализуемая па конечном интервале ДЪ, приводит к дискретной стохастической модели и лишь затем при ДЪ ^ 0 возникает интересующая нас модель, описанная в терминах стохастических уравнений. Такой подход описан, например, в монографии [25], в которой приведен ряд моделей физических явлений в терминах стохастических дифференциальных уравнений. Другая процедура построения вероятностной модели физического явления в терминах СДУ состоит в том, чтобы, исследуя модель явления, сформулированную в терминах уравнений в частных производных, построить соответствующую стохастическую модель и исследовать ее, В диссертации использована именно эта процедура построения стохастических моделей физических явлений.

Математические модели сложных физических, биологических или экономических явлений, как упоминалось выше, формулируются, как правило, на языке уравнений в част-

ных производных, В ряде случаев эти уравнения удается интерпретировать как уравнения Колмогорова для соответствующих случайных процессов. Ситуация усложняется, если изучаемые явления описываются нелинейными параболическими уравнениями или системами таких уравнений. Например, протекание процессов в ядерных реакторах [45,75], процессов тепломассопереноса [15], а также в гидродинамике, экономике и других [25] описывается соответствующими уравнениями (или системами).

Наша цель - построить стохастические модели явлений, описываемых нелинейными параболическими уравнениями или системами таких уравнений. Мы конструируем стохастические модели в виде систем СДУ с коэффициентами, зависящими от распределений их решений. Для того, чтобы получить замкнутые системы уравнений, в терминах которых формулируется рассматриваемые стохастические модели, наряду с СДУ нужно рассмотреть дополнительные замыкающие соотношения, В качестве этих соотношений зачастую выбираются соотношения, которые в линейном случае позволяют найти вероятностные представления решения задачи Коши для исходных линеаризованных уравнений в частных производных. Другими словами, мы сводим решение задачи Коши для рассматриваемого нелинейного параболического уравнения (или системы) к решению соответствующей стохастической задачи и, как следствие, получаем вероятностное представление решения исходного параболического уравнения (или системы).

Дискретизацию построенных при этом стохастических моделей изучаемых процессов мы используем для разработки алгоритмов построения приближенного решения задачи Коши для исходных уравнений в частных производных и создания комплекса программ для получения численных результатов.

Следует заметить, что решения нелинейных параболических уравнений и систем в редких случаях могут быть получены аналитическими методами, что приводит к необходимости развивать численные методы. Реализация численных методов требует выполнения огромного количества элементарных операций, что под силу только современным компьютерам, обладающим большим объемом памяти и высокой скоростью вычислений. Наиболее распространенными и универсальными среди численных методов являются разностные (сеточные) методы, В их основе лежит идея дискретизации задачи и замены частных производных, которые входят в уравнения, приближенными разностными отношениями. При этом исходное дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений, называемой разностной схемой. Решая эту систему, можно найти в узлах сетки значения сеточной функции, которые приближенно считаются равными значениям искомой функции.

Одной из основных проблем, возникающих при численном решении параболических уравнений с помощью разностной схемы в пространстве высокой размерности, является проблема экспоненциального роста объема вычислений с ростом размерности пространства или требуемой точности [26,79],

В отличие от сеточных методов, приближенные методы, основанные на дискретизации стохастических моделей решения задачи Коши, слабо зависят от размерности фазового пространства и позволяют найти численное решение задачи Коши для нелинейных пара-

болических уравнений, когда размерность фазового пространства достаточно велика. Еще одна особенность приближенных методов, основанных на стохастических моделях, состоит в том, что они, в отличие от численных методов, слабо чувствительны к вырожденности коэффициентов при второй производной по пространственной переменной,

В линейном случае решение задачи Коши для параболического уравнения

ди 1

— + -Тг [[А*(х)]^2иА(х]] + (а(х), Vи) + ¡(х) = 0,

д Ь 2

и(Т, х) = и0(х), допускает вероятностное представление в виде

и(Ь, х) = Е

гТ

«о(&Лт)) + №М)<®

( )

му уравнению

¿т = а(т)м+А(т№(е), т = х.

Получение численных результатов сводится к численному решению стохастического уравнения и вычислению математического ожидания с помощью метода Монте-Карло, Заметим, что объем вычислений растет полиномиально как с ростом размерности, так и с уменьшением ошибок аппроксимации (увеличением требуемой точности) [44],

Недавно было показано [44], что для семилинейного параболического уравнения с глобально липшицевыми, непрерывными коэффициентами существует вероятностный алгоритм построения приближенного решения, объем вычислений по которому растет квадратично как функция от заданной точности и полиномиально как функция от размерности пространства при рассмотрении уравнения теплопроводности с глобально липшицевой и непрерывной нелинейностью и терминальным условием, имеющим полиномиальный рост.

Таким образом, развитие вероятностных подходов к построению численных решений представляется весьма важным.

Степень разработанности темы исследования. Начало рассмотрению стохастических моделей, ассоциированных с нелинейными параболическими уравнениями, было положено в работах Маккина [54] и Фрейдлина [22] и развито в работах Белопольской и Да-лецкого [1,2,28], В работах [1,2,28] соответствующие стохастические модели были построены и для ряда классов систем нелинейных уравнений.

Для того, чтобы описать стохастическую модель, связанную с задачей Коши для семилинейного параболического уравнения

ди - г . . ,,2д2и . .ди „ , . , .

т + 2[Аи(х)^ дх2 + аи(х)дх + ш =00,

и(Т, х) = и0(х),

г

предположим, что существует единственное классическое решение этой задачи. Здесь и Е К, Ь Е х Е Д, аи(х) = а(х,и) Е Д, Аи(х) = А(х,и) Е Д, ¡и(х) = /(х,и) Е Я.

Обозначим

ЕгЛ (Т)] = Е)] = Е [£ (Ш V) = 4

Как показано в работах Белопольской и Далецкого [1,2,28], при выполнении некоторых дополнительных условий для и0(х), аи(х), Аи(х), /и(х) задачу (1) можно свести к решению соответствующей стохастической задачи

¿т = а„(£ (д))М + М№)*ь>(е), £ (I) = X, (2)

u(t,x) = Et,x

r-T

(3)

(Т)) + J um)dd

Здесь w(t) - винеровский процесс, заданный на некотором вероятностном пространстве

(П, ?, Р)■

При этом, если потребовать, чтобы и0 (х) была ограниченной, дифференцируемой функцией, а коэффициенты аи(х), Аи(х) и функция fu(x) удовлетворяли условию Липшица по всем аргументам, были сублинейны по х и полилинейны по и, то решение системы (2), (3) существует и единственно, а если эти функции дважды дифференцируемы, то функция вида (3) является классическим решением задачи (1),

Это позволяет заменить построение разностной схемы для (1) дискретизацией СДУ (2) и последующим вычислением математического ожидания с помощью метода Монте-Карло в (3).

Аналогичный подход развит и для квазилинейных параболических уравнений вида (1), когда коэффициенты аи и Аи зависят как от и, так и от Vw,

Во многих случаях интересных для приложений задача Коши для нелинейных параболических уравнений и систем может не иметь классического решения, что приводит к необходимости рассмотрения более слабых понятий решения, в частности, вязкостных решений, В диссертационной работе разработаны численные алгоритмы построения вязкостных решений задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений, основанные на вероятностной интерпретации этих решений.

Как было показано в работах Парду, Пенга [67,68], для построения вязкостных решений задачи Коши для нелинейных параболических уравнений нужен альтернативный тип СДУ, называемых обратными стохастическими уравнениями или ОСДУ, Теория ОСДУ -активно развиваемая область теории стохастических уравнений [27,31,40,41,52,70], На случай систем нелинейных параболических уравнений этот подход был распространен в работах Белопольской и Войчинекого [6,31], Парду, Прадейлнса, Pao [69] и других.

Стохастическая модель, соответствующая вязкостному решению задачи (1), имеет вид

dm = а(№,У(0))М + A(№,v(0))dw(d), £ (t) = х, (4)

dy(d) = -f(С(0),y(d))de + z(6)dw(6), y(T) = щ(С(т)),

(5)

где у(в) = и(в, С(д)), г(в) = А(С(в),и(в, т)№(6, £(в))-

Вероятностные подходы к построению численных аппроксимаций классических решений параболических уравнений, основанных на их вероятностных представлениях, начали разрабатываться в 80-х годах 20 века в работах Милынтейна [55,56], Платена [74], Талэ [77], Белопольской и Наголкиной [3], Кушнера [49] и других авторов. Соответствующие результаты содержатся в монографиях Клодена и Платена [48], Милынтейна и Третьякова [16,60] и в работах других авторов [34,42,58,59],

Развитием вероятностных подходов к построению вязкостных решений задачи Коши для нелинейных параболических уравнений, начиная с середины 90-х годов 20 века, занималось большое число исследователей (см, работы Пенга и Ху [46], Деларю [38], Антонелли [27], Ма, Янга [52] и другие).

Работы по разработке вероятностных аппроксимаций решений задачи Коши для нелинейных параболических уравнений и систем продолжаются до сих пор. Это можно видеть, например, в работах Милынтейна и Третьякова [61], [62], Белопольской и Ромадановой [4,5,30], Е, Хутеентайлера, Йенеена и Круза [39], Хутеентайлера, Йенеена, Круза, Нгуэна и Варетемб-ергера [44]. Смотрим также монографию Кармона, Деларю [35] и ссылки в ней.

Однако остается ряд систем нелинейных уравнений, для которых соответствующие вероятностные представления решения задачи Коши либо не построены совсем, либо требуют доработки, для того чтобы можно было их использовать для построения численных схем. Таким образом, формируется цель диссертации.

Цель работы. Целью работы является построение вероятностных представлений классических и/или неклассических решений задачи Коши для широкого класса квазилинейных параболических уравнений и систем, развитие на их основе численных методов получения соответствующих приближенных решений и построение их программной реализации.

Задачи:

1. Построить стохастические модели, ассоциированные с нелинейными параболическими уравнениями (или системами), в терминах стохастических уравнений (систем уравнений).

2. Использовать полученную модель для построения решения исходного нелинейного параболического уравнения, описывающего соответствующее (физическое, биологическое и т. д. ) явление.

3. Построить дискретную стохастическую модель изучаемого процесса.

4. Разработать алгоритмы построения приближенного решения исходной задачи и создать комплекс программ для получения численных результатов.

Объектом исследования является задача Коши для нелинейных параболических уравнений и систем.

В качестве предмета исследования выступают случайные процессы, ассоциированные с нелинейными параболическими системами, вероятностные представления решений задачи Коши для нелинейных параболических уравнений и систем и численные алгоритмы, построенные на основе этих вероятностных представлений.

Методология и методы исследования. В работе используются методы теории пря-

мых и обратных стохастических дифференциальных уравнений, методы теории уравнений в частных производных, в частности, метод дифференциального продолжения, метод Монте-Карло на основе биномиальной аппроксимации. Программирование осуществлялось в среде МАТЬАВ,

Научная новизна. Научная новизна исследования заключается в следующем:

1, Разработаны новые численные алгоритмы построения классических решений задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений,

2, Разработаны новые численные алгоритмы построения классических решений задачи Коши для систем семилинейных параболических уравнений,

3, Построены новые вероятностные модели и разработаны новые численные алгоритмы построения вязкостных решений задачи Коши для систем квазилинейных параболических уравнений,

4, Разработан комплекс программ, реализующих численные алгоритмы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет практический характер.

Теоретическая ценность состоит в построении новых вероятностных представлений вязкостных решений задачи Коши для систем семилинейных и квазилинейных параболических уравнений и разработке на их основе численных алгоритмов, а также построении комплекса программ, позволяющих реализовать эти алгоритмы. Практическая значимость заключается в возможности применения разработанных в диссертации численных алгоритмов решения задачи Коши для систем нелинейных параболических уравнений, возникающих в физике, биологии и других областях.

Положения, выносимые на защиту:

1, Предложены стохастические модели, ассоциированные с задачей Коши для широкого класса систем нелинейных параболических уравнений, В этот класс входят системы с диагональным вхождением членов, содержащих производные второго порядка, и недиагональным вхождением членов, содержащих производные первого и нулевого порядка.

Модели одного типа ориентированы на построение классических решений задачи Коши для семилинейных и квазилинейных систем параболических уравнений и описываются в терминах стохастических дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от решения исходной задачи, и замыкающего соотношения, которое можно интерпретировать как вероятностное представление этого решения. При этом стохастические модели, ассоциированные с квазилинейными системами, должны быть дополнены вероятностными представлениями для производной неизвестного решения.

Модели второго типа ориентированы на построение вязкостных решений задачи Коши для систем квазилинейных параболических уравнений и представляют собой системы прямых и обратных стохастических дифференциальных уравнений,

2, На основе дискретизации предложенных в работе стохастических моделей развиты численные алгоритмы построения вязкостных и классических решений задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений и систем,

3, Создан комплекс программ, реализующий разработанные в диссертационной работе

численные алгоритмы.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях:

1, 4th Nordic Triangular Seminar in Applied Stoehasties (Helsinki, 6-8 March, 2013 г.),

2, International Student Conference «Science and Progress» (St, Petersburg - Peterhof, 10-14 November, 2014 г.),

3, Международная конференция «Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы» (РУДН, 2014 г.),

4, 6th Workshop Nonlinear PDEs and Financial Mathematics (Zittau, 23-27 March,

2015 г.),

5, 68-ая международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Актуальные проблемы современного строительства», посвященная 110-летию Хомутецкого 11.Ф.. (СПбГАСУ, 15-17 апреля, 2015 г.).

Также результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались

1, на 70-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (СПбГАСУ, 7-9 октября, 2014 г.),

2, на семинаре «Теория вероятностей» Лаб, Чебышева (ПОМП РАН, 29 апреля,

2016 г.),

3, на семинаре кафедры прикладной математики СПбПУ (СПбПУ, 1 февраля, 2017 г.),

4, на 73-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (СПбГАСУ, 5 октября, 2017 г.),

5, на семинаре кафедры прикладной математики СПбПУ (СПбПУ, 13 июня, 2018 г.),

6, на 74-й научной конференции профессорско-преподавательского состава и аспирантов университета (СПбГАСУ, 4 октября, 2018 г.),

7, на семинаре по прикладным задачам механики (ИПМаш РАН, 11 октября, 2018 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах автора [8-11,17-21,63-65], Из них 3 работы [11,18,19] опубликованы в ведущих научных журналах из списка, рекомендованного ВАК, и 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [21],

Содержание работы. Первые две главы диссертации посвящены описанию вероятностных моделей, позволяющих развивать численные методы для решения параболических уравнений и систем. Особый интерес для нас представляют системы нелинейных параболических уравнений, поскольку они изучены значительно меньше. Поскольку нашей целью наряду с построением стохастических моделей является создание на их основе численных алгоритмов, допускающих программную реализацию, нам требуется более детальное описание этих моделей, по сравнению с имеющимися в литературе [6,12],

В первой главе диссертации мы формулируем общую методику построения стохастических моделей, ассоциированных с гладкими (классическими) решениями задачи Коши для семилинейных и квазилинейных параболических уравнений и систем,

В первом параграфе эта методика развивается в связи с построением классических

решений задачи Коши для семилинейных параболических уравнений и систем. При этом конструируемые стохастические модели представляют собой системы стохастических уравнений с коэффициентами, зависящими от неизвестной функции (искомого решения), дополненные некоторыми замыкающими соотношениями. Мы приводим условия, обеспечивающие существование и единственность решения построенной стохастической задачи. После этого формулируются дополнительные условия, гарантирующие, что при решении рассматриваемой стохастической задачи, мы получаем именно классическое решение исходной задачи Коши,

Во втором параграфе мы строим стохастические модели, ассоциированные с нелинейными параболическими уравнениями и системами. Здесь мы рассматриваем параболические уравнения как однородные, так и неоднородные (т, е, уравнения с ненулевой правой частью), у которых все коэффициенты нелинейно зависят как от неизвестной функции (решения), так и от ее градиента, В этом случае мы с помощью процедуры дифференциального продолжения исходного квазилинейного уравнения или системы выводим параболическую систему относительно искомой функции и ее производной. При этом возникает семилинейная система параболических уравнений, к которой при соответствующих условиях удается применить результаты первого параграфа. Поскольку целью работы является создание численного метода решения рассматриваемой задачи Коши на основе вероятностного представления, нам необходимо получить явный вид громоздких выражений для коэффициентов уравнений, возникающих при рассмотрении дифференциальных продолжений исходного уравнения.

Отметим, что построение вероятностных моделей позволяет обнаружить новые свойства систем параболических уравнений рассматриваемого класса, В частности, вероятностная модель показывает, что системы уравнений рассматриваемого типа можно свести к одному скалярному уравнению, рассматриваемому в пространстве большей размерности. Это позволяет нам во второй главе ввести понятие вязкостного решения для таких систем.

Во второй главе диссертации рассматривается альтернативный подход к построению решения задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений и систем, позволяющий построить не только классические, но и вязкостные решения исходной задачи Коши в тех случаях, когда классических решений не существует,

В первом параграфе мы строим альтернативные стохастические модели, ассоциированные с квазилинейными параболическими уравнениями. Эти модели основаны на понятии обратного стохастического дифференциального уравнения (ОСДУ), Мы анализируем общие черты и различие этих двух подходов и формулируем условия на коэффициенты, гарантирующие существование и единственность решения ОСДУ,

Второй параграф этой главы посвящен разработке метода построения вязкостного решения задачи Коши для системы квазилинейных параболических уравнений. Здесь нам приходится иметь дело с комбинацией двух подходов, описанных выше, и использовать важное свойство рассматриваемой системы, отмеченное в данном параграфе, В литературе понятие вязкостного решения для системы нелинейных параболических уравнений до недавнего времени было известно лишь для систем, содержащих недиагональные члены только нуле-

вого порядка [47,50], Впервые понятие вязкостного решения для систем, рассматриваемых в диссертации, было получено недавно в работах [11,32], Мы приводим конструктивное детальное описание этого подхода, необходимое для разработки численного алгоритма построения решения систем такого типа,

В третьей главе диссертации построены алгоритмы численного решения задачи Ко-11П1 для нелинейных параболических уравнений и систем, основанные на соответствующих вероятностных моделях решения исходной задачи. При этом в ряде случаев мы существенно используем эволюционные свойства разрешающих операторов рассматриваемых задач, вытекающие из вероятностного представления решений этих задач,

В первом параграфе мы разрабатываем численные алгоритмы построения классических решений задачи Коши для семилинейных параболических уравнений. Здесь мы рассматриваем нелинейные эволюционные семейства операторов, с помощью которых диекре-тизуем стохастические модели решений. Для рассматриваемых семейств операторов мы поэтапно описываем сходимость полученной численной схемы. Сформулированы условия на коэффициенты и начальные условия рассматриваемых параболических уравнений, при которых численная схема сходится. Для иллюстрации эффективности описанного метода приводятся конкретные примеры задачи Коши для нелинейных параболических уравнений.

Во втором параграфе разработаны вероятностные численные алгоритмы построения классических решений систем семилинейных параболических уравнений. Для иллюстрации рассматриваемого подхода приводится ряд примеров, В частности, рассмотрена двумерная задача Коши для системы семилинейных параболических уравнений, В конце параграфа рассмотрена задача Коши для уравнения пористой среды, представляющего собой квазилинейное уравнение. На этом примере мы показываем, как работает подход, описанный во втором параграфе первой главы диссертации. Другими словами, мы сводим задачу Коши для квазилинейного уравнения к задаче Коши для систем семилинейных уравнений,

В третьем параграфе мы рассматриваем построение численного вязкостного решения задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений, рассмотренных во второй главе диссертации, С помощью дискретизации системы ПОСДУ мы получаем соответствующий численный алгоритм решения. Для проверки работоспособности полученного алгоритма рассматривается ряд примеров, среди которых присутствует задача Коши для уравнения Бюргерса, которая рассматривалась в первом параграфе третьей главы. Это необходимо для сравнения двух подходов, описанных в диссертации,

В четвертом параграфе разработаны численные схемы построения вязкостных решений задачи Коши для систем квазилинейных параболических уравнений. Мы рассматриваем несколько примеров, с помощью которых проверяется эффективность разработанных численных алгоритмов,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Немченко Екатерина Игоревна, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Белопольская, Я. И. Исследования задачи Коши с помощью марковских процессов / Я. И, Белопольская, Ю, Л, Дапецкий // Изв. вузов, Матем, — 1978, — № 12, — С, 6—17,

[2] Белопольская, Я, И, Марковские процессы, ассоциированные с нелинейными параболическими системами / Я, И, Белопольская, Ю, Л, Далецкий // Докл. АН СССР, — 1980,

- Том 250, № 3. - С. 521-524.

[3] Белопольская, Я, И, Об одном классе стохастических уравнений с частными производными / Я, И, Белопольская, 3, И, Наголкина // Теория вероятн, и ее примен, — 1982,

- Том 27, № 3. - С. 551-559.

[4] Белопольская, Я. И. Вероятностный подход к задаче со свободной границей и расчет цен американских опционов / Я. И. Белопольская, М. М. Ромаданова // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2010. - Том 384. - С. 40-77.

[5] Белопольская, Я. И. Вероятностные представления решений краевых задач для систем параболических уравнений / Я. И. Белопольская, М. М. Ромаданова // Вестник гражданских инженеров. — 2011. — № 4(29). — С. 149-155.

[6] Белопольская, Я. И. Вероятностный подход к построению вязкостных решений задачи Коши для систем полностью нелинейных параболических уравнений / Я. И. Белопольская, В. А. Войчинекий // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2011. — Том 396. — С. 31-66.

[7] Белопольская, Я. И. Прямые - обратные стохастические уравнения, связанные с системами квазилинейных параболических уравнений и теоремы сравнения / Я. И. Белопольская // Записки научи сем. ПОМИ. — 2013. — Том 412. — С. 15—46.

[8] Белопольская, Я. И. Численные вероятностные алгоритмы решения задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений / Я. И. Белопольская, Е. И. Немченко // Материалы 70-ой научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета. — 2014. — С. 66-70.

[9] Белопольская, Я. И. Стохастические модели и численные алгоритмы решения задачи Коши для нелинейных параболических уравнений / Я. И. Белопольская, Е. И. Немченко // Тезисы и доклады международной конференции «Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы». — 2014. — С. 241242.

[10] Белопольская, Я. И. Стохастические модели задачи Коши для квазилинейных параболических систем и численные алгоритмы ее решения / Я. И. Белопольская, Е. И. Немченко

// Сборник статей международной конференции «Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы», — 2014, — С, 200-204,

[И] Белопольская, Я. И. Вероятностные представления и численные алгоритмы построения классических и вязкостных решений задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений / Я, И, Белопольская, Е, И, Немченко // Записки научных семинаров ПОМП. - 2015. - Том 442. - С. 18-47.

[12] Стохастические дифференциальные уравнения. Приложения к задачам математической физики и финансовой математики: учебное пособие / Я. И. Белопольская. — СПб. : Лань, 2018. - 305 с.

[13] Гихман, И. И. Стохастические дифференциальные уравнения / И. И. Гихман, А. В. Скороход. — К. : Наукова думка, 1968. — 356 с.

[14] Далецкий, Ю. Л. О представимости решений операторных уравнений в виде континуальных интегралов / Ю. Л. Далецкий // Докл. АН СССР. - 1960. - Том 134, № 5. -С. 1013-1016.

[15] Маелов, В. П. Математическое моделирование процессов тепломаееопереноеа / В. П. Маслов, В. Г. Даниловб К. А. Волосов. — М. : Наука, 1987. — 352 с.

[16] Милынтейн, Г. Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений / Г. Н. Милынтейн, — Свердл. : Изд-во Урал, ун-та, 1988. — 224 с.

[17] Немченко, Е, И, Вероятностный подход к решению задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений / Е, И, Немченко // Материалы международной научно-практической конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и докторантов «Актуальные проблемы экономики и управления в строительстве», — 2013, — С, 102-104,

[18] Немченко, Е, И, Моделирование численного решения задачи Коши для семилинейных параболических уравнений на основе вероятностного подхода / Е, И, Немченко // Вестник гражданских инженеров, — 2015, — 2(49), — С, 164-167,

[19] Немченко, Е, И, Моделирование численного решения задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений на основе вероятностного алгоритма / Е, И, Немченко // Вестник гражданских инженеров, — 2015, — 5(52), — С, 260-263,

[20] Немченко, Е, И, Вероятностные представления решений нелинейных параболических задач и численные методы, ассоциированные с ними / Е, И, Немченко // Сборник тезисов Международной конференции «XXVII Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам» (КРОМШ-2016), — 2016, — С, ИЗ.

[21] Немченко Е, И, Построение численного приближения вязкостного решения задачи Коши для систем квазилинейных параболических уравнений. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019615240, 22 апреля 2019 г,

[22] Фрейдлин, М, Квазилинейные параболические уравнения и меры в функциональных пространствах / М, Фрейдлин // Функц, анализ и прилож, — 1967, — Том 1, № 3, — С, 237-240.

[23] Abraham, Е, Forward-backward stochastic differential equations and PDE with gradient dependent second order coefficients / E, Abraham, O, Riviere // Annales de ГЕН,P. Probabilités et statistiques, — 2012, — Vol, 48, No, 3, P. 688—705,

[24] Acebron, J, A, Efficient parallel solution of nonlinear parabolic partial differential equations by a probabilistic domain decomposition / J, A, Acebron, A, Rodriguez-Eozas, R, Spigler // Journal of Scientific Computing, — 2010, — Vol, 43, No, 2, P. 135—157,

[25] Allen, E, Modeling with Ito stochastic differential equations / E, Allen, — Dordrecht : Springer, 2007, — 237 p.

[26] Ames, W, F, Numerical methods for partial differential equations / W, F, Ames, — 3-d edition, — Cambridge : Acad, Près Inc., 2014, — 451 p.

[27] Antonelli, F, Backward-forward stochastic differential equations / F, Antonelli // Ann, Appl, Probab. - 1993. - Vol. 3, No. 3. P. 777-793.

[28] Belopolskava, Ya. Stochastic equations and differential geometry / Ya. Belopolskava, Yu. Daleeky, — Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1990. — 260 p.

[29] Belopolskava, Ya, Probabilistic approaches to nonlinear parabolic equations in jet-bundles / Ya, Belopolskava // Global and stochastic analysis, — 2010, — Vol, 1, No, 1, — P. 3—40,

[30] Belopolskava, Y. E Probabilistic approach to free boundary problems and pricing of american options / Y. I. Belopolskava, M. M. Romadanova // Journal of mathematical sciences. — 2011.

- Vol. 176, No. 2. - P. 124-145.

[31] Belopolskava, Ya. SDEs, FBSDEs and fully nonlinear parabolic systems / Ya. Belopolskava, W, Wovezinski // Rendiconti del Seminario Matematico Torino. — 2013. — Vol. 71, No. 2.

- P. 209-219.

[32] Belopolskava, Ya. Probabilistic counterparts of nonlinear parabolic PDE systems / Ya. Belopolskava // Stochastics and Applications - Springer Optimization and Its Applications.

- 2014. - No. 90. - P. 71-94.

[33] Bismut, J. M. Theorie probabiliste du contrôle des diffusions / J. M. Bismut. — Vol. 176. — Providence : Mem AMS, 1973. - 130 p.

[34] Bossy, M, A stochastic particle method for the McKean-Vlasov and the Burgers equation / M. Bossy, D. Talav // Math Comp. - 1997. - Vol. 66. - P. 157-192.

[35] Carmona, E. Probabilistic theory of mean field games with applications I. Mean field FBSDEs, control and games / E. Carmona, F. Delarue. — Berlin : Springer, 2018. — 721 p.

[36] Cheridito, P. Second order backward stochastic differential equations and fully nonlinear parabolic PDEs / P. Cheridito, M. Soner, N. Vietoir // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 2007. - Vol. 60, No. 7. - P. 1081-1110.

[37] Crandall, M. User's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations / M. Crandall, H. Ishii, P. Lions // Bull. AMS. - 1992. - Vol. 27, No. 1. - P. 1-67.

[38] Delarue, F. On the existence and uniqueness of solutions to FBSDEs in a non-degenerate case / F. Delarue // Stochastic Process. Appl. - 2002. - Vol. 99. - P. 209-286.

[39] E, W, Linear scaling algorithms for solving high-dimensional nonlinear parabolic differential equations / W, E [et al,] // arXiv.org. — 2017. — Available at: https://arxiv.org/abs/1607.03295.

[40] El Karoui, N. Backward stochastic differential equations in finance / N. El Karoui, S. Peng, M. C. Quenez // Mathematical Finance. - 1997. - Vol. 7, No. 1. - P. 1-71.

[41] El Karoui, N. Backward stochastic differential equations / N. El Karoui, L. Mazliak. — Pitman Eesearch Notes in Mathematics Series, vol. 364. — Harlow : Longman, 1997. — 221 p.

[42] Graham, C. Probabilistic models for nonlinear partial differential equations / C. Graham [et al.]. — Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1627. — New York : Springer, 1996. — 301 p.

[43] Hayes, J. G. Stochastic point-kinetics equations in nuclear reactor dynamics / J. G. Hayes, E. J. Allen // Annals of Nuclear Energy. - 2005. - Vol. 32. - P. 572-587.

[44] Hutzenthaler, M. Overcoming the curse of dimensionality in the numerical approximation of semilinear parabolic partial differential equations / M. Hutzenthaler [et al.] // arXiv.org. — 2018. - Available at: https://arxiv.org/abs/1807.01212.

[45] Hayes, J. G. Stochastic point-kinetics equations in nuclear reactor dynamics / J. G. Hayes, E. J. Allen // Annals of Nuclear Energy. - 2005. - Vol. 32. - P. 572-587.

[46] Hu, Y. Solution of forward-backward stochastic differential equations / Y. Hu, S. Peng //Probab. Theory and Eelat. Fields. - 1995. - Vol. 103. - P. 273-283.

[47] Ishii, H. Viscosity solutions of a system of nonlinear second-order elliptic PDEs arising in switching Games / H. Ishii, S. Koike // Funkcialaj Ekvaeioj, — 1991. — Vol. 34. — P. 143— 155.

[48] Kloeden, P.E. Numerical solution of stochastic differential equations / P.E, Kloeden, E, Platen, — Berlin Heidelberg New York : Springer, 1995, — 636 p.

[49] Kushner, H, J, Probability methods for approximations in stochastic control and for elliptic equations / H, J, Kushner, — New York : Academic Press, 1977, — 260 p.

[50] Liu, W, Viscosity solutions of fully nonlinear parabolic systems / W, Liu, Y, Yang, G, Lu // J. Math. Anal. Appl. - 2003. - Vol. 281. - P. 362-381.

[51] Ma, J. Solving forward-backward stochastic differential equations explieitlv-a four step scheme / J. Ma, P. Protter, J. Yong // Probab. Theory Eel. Fields. - 1998. - Vol. 98. - P. 339-359.

[52] Ma, J. Forward-backward stochastic differential equations and their applications / J. Ma, J. Yong. — Lecture Notes in Mathematics, vol. 1702. — Berlin : Springer, 1999. — 269 p.

[53] Marsden, J. On Product formulas for nonlinear semigroups / J. Marsden //J. Funct. Anal. - 1973. - No. 13. - P. 51-72.

[54] McKean, H. A class of Markov processes associated with nolinear parabolic equations / H. McKean // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 1966. - Vol. 59, No. 6. - P. 1907-1911.

[55] Milstein, G. N. Weak approximation of solutions of systems of stochastic differential equations / G. N. Milstein // Theory Probab. Appl. - 1985. - Vol. 30. - P. 750-766.

[56] Milstein, G. N. A theorem on the order of convergence of mean-square approximations of solutions of systems of stochastic differential equations / G. N. Milstein // Theor. Verovatnost, i Primenenie. - 1987. - Vol. 32, No. 4. - P. 809-811.

[57] Milstein, G. N. The probability approach to numerical solution of nonlinear parabolic equations / G. N. Milstein // Num. Meth. PDE. - 2002. - No. 18. - P. 490-522.

[58] Milstein, G. N. Numerical algorithms for semilinear parabolic equations with small parameter based on approximation of stochastic equations / G. N. Milstein, M. V. Tretvakov // Mathematics of computation. - 1999. - Vol. 69, No. 229. - P. 237-267.

[59] Milstein, G. N. Numerical solution of the Dirichlet problem for nonlinear parabolic equations by a probabilistic approach / G. N. Milstein, M. V. Tretvakov // IMA Journal of Numerical Analysis. - 2001. - Vol. 21, No. 4. - P. 887-917.

[60] Milstein, G. N. Stochastic numerics for mathematical physics / G. N. Milstein, M. V. Tretvakov. — Berlin : Springer, 2004. — 596 p.

[61] Milstein, G. N. Solving the Dirichlet problem for Navier-Stokes equations by probabilistic approach / G. N. Milstein, M. V. Tretvakov // BIT Numerical Mathematics. — 2012. — Vol. 52, No. 1. - P. 141-153.

[62] Milstein, G, N. Probabilistic methods for the incompressible navier-stokes equations with space periodic conditions / G, N. Milstein, M. V, Tretyakov // Advances in Applied Probability. - 2013. - Vol. 45, No. 3. - P. 742-772.

[63] Nemchenko, E. Probabilistic approach to solution of the Cauehv problem for quasilinear parabolic equations / E. Nemchenko // Book of Abstracts of 4th Nordic Triangular Seminar in Applied Stochastics. — 2013. — P. 2.

[64] Nemchenko, E. Numerical probabilistic approach to solution of the Cauehv problem for quasilinear parabolic equations / E. Nemchenko // Book of Abstracts of International Student Conference «Science and Progress». — 2014. P. 44.

[65] Nemchenko, E. Numerical probabilistic approaches to solution of the Cauehv problem for semilinear parabolic equations / E. Nemchenko // Book of Abstracts of 6th Workshop Nonlinear PDEs And Financial Mathematics. — 2015. — P. 42-43.

[66] Pardoux, E. Adapted solution of a backward stochastic differential equation / E. Pardoux, S. Peng // Systems and Control Letters. — 1990. — Vol. 14, No. 1. P. 55—61.

[67] Pardoux, E. Backward stochastic differential equations and quasilinear parabolic partial differential equations / E. Pardoux, S. Peng // Lecture Notes in CIS. — 1992. — Vol. 176. — P. 200-217.

[68] Pardoux, E. Backward stochastic differential equations and viscosity solutions of systems of semilinear parabolic and elliptic pdes of second order / E. Pardoux // Stochastic Analysis and Relates Topics: The Geilo Workshop, Birkhauser, — 1996. — P. 79—127.

[69] Pardoux, E. Probabilistic interpretation of a system of semi-linear parabolic partial differential equations / E. Pardoux, F. Pradeilles, Z. Rao // Ann. Inst. H. Poineare Probab. Statist. — 1997. - Vol. 33, No. 4. - P. 467-490.

[70] Pardoux, E. Stochastic differential equations, backward SDEs, partial differential equations / E. Pardoux, A. Rascanu. — Stochastic Modelling and Applied Probability, Vol. 69. — Cham Heidelberg New York Dordrecht London : Springer, 2014. — 663 p.

[71] Peng, S. Probabilistic interpretation for systems of quasilinear parabolic partial differential equations / S. Peng // Stoch. and Stoch. Rep. — 1991. — Vol. 37. — P. 61—74.

[72] Peng, S. Backward stochastic differential equation, nonlinear expectation and their applications / S. Peng // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. — 2010. - P. 393-432.

[73] Peng, S. Numerical Algorithms for 1-d Backward Stochastic Differential Equations: Convergence and Simulations / S. Peng, M. Xu // Mathematical modelling and numerical analysis. - 2011. - Vol. 25, No. 2. - P. 335-360.

[74] Platen, E, Approximation of first exit times of diffusions and approximate solution of parabolic equations / E. Platen // Math. Nachr. - 1983. - Vol. 111. - P. 127-146.

[75] Sharp, W, D. Stochastic neutron transport equations for rod and plane geometries / W, D. Sharp, E. J. Allen // Annals of Nuclear Energy. - 2000. - Vol. 27. - P. 99-116.

[76] Stroock, D. On certain systems of parabolic equations / D. Stroock // Communications on Pure and Appl. Math. - 1970. - Vol. 23. - P. 447-457.

[77] Talay, D. Efficient numerical schemes for the approximation of expectations of functional of the solution of an SDE and applications / D. Talay // Springer Lecture Notes in Control and Inform. Sc. - 1984. - Vol. 61. - P. 294-313.

[78] Trotter, H. On the product of semigroups of operators / H. Trotter // Proc. Amer.Math.Soc. - 1959. - No. 10. - P. 545-551.

[79] Wang, D. Semi-implicit Integration Factor Methods on Sparse Grids for High-Dimensional Systems / D. Wang, W. Chen, Q. Nie // J Comput Phvs. - 2015. - Vol. 292. - P. 43-55.