Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Терехова, Лидия Павловна

• Терехова, Лидия Павловна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Терехова, Лидия Павловна

Перечень условных обозначений

Введение

ГЛАВА 1. Предварительные сведения

1.1 Предельные теоремы для случайных сумм мультииндексных случайных величин.

1.2 Многомерная мультииндексная теорема Скорохода

1.3 Функциональные предельные теоремы для случайных сумм мультииндексных случайных величин.

1.4 Полуустойчивый закон распределения, область притяжения полуустойчивого закона.

ГЛАВА 2. Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм независимых случайных величин

2.1 Критерий почти наверное предельных теорем для сумм мультииндексных случайных величин.

2.2 Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм мультииндексных случайных величин.

2.3 Версии почти наверное функциональных предельных теорем для случайных сумм мультииндексных случайных величин

2.4 Почти наверное предельная теорема для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения полуустойчивого закона.

2.5 Почти наверное предельная теорема для Санкт-Петербургской игры со случайным количеством партий

ГЛАВА 3. Версии почти наверное предельных теорем для случайных размещений

3.1 Предварительные результаты.

3.2 Версии почти наверное предельных теорем для неполного комплекта ячеек

3.3 Версии почти наверное предельных теорем для нормировки

3.4 Версии почти наверное предельных теорем для случайного числа ячеек.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм»

Версии почти наверное предельных теорем для сумм независимых случайных величин являются новой и интенсивно развивающейся областью теории вероятностей. Впервые такие теоремы появились в статьях G. Brosamler [26] и P. Schatte [64] в 1988 г. В последующие десятилетия это направление развивалось в работах М. Lacey и W. Philipp [50], A. Fisher [43], И.А. Ибрагимова [10], М.А. Лифшица ([12], [52], [11]), I. Berkes и Б. Csaki [22], I. Fazekas и Z. Rychlik ([40], [39]), I. Fazekas и А.Н. Чупрунова ([18], [38], [37], [33]), S. Chorgo [28], Z. Megyesi [57] и других ученых.

В последние 50 лет интенсивно развивалась теория предельных теорем для сумм случайного числа случайных величин. Отметим монографии В.М. Круглова и В.Ю. Королева [16], Б.В. Гнеденко и В.Ю. Королева [44], В.Е. Бенинга и В.Ю. Королева [1], А. Гута [45], В.В. Калашникова [48], Д. С. Сильвестрова [67], а также статьи Г. Роббинса [61], P.JI. Добрушина [9], А.Н. Колмогорова и Ю.В. Прохорова [13], А. Реньи [60], Б.В. Гнеденко и X. Фахима [7], В.М. Круглова [15].

В диссертационной работе получены версии почти наверное предельных теорем для сумм независимых случайных величин со случайным индексом суммирования. Результаты диссертации являются обобщением версий почти наверное предельных теорем со случая неслучайного индекса суммирования на ситуацию, в которой индекс суммирования является случайной величиной.

Пусть Сп, те £ N, — последовательность случайных величин, определенных на вероятностном пространстве Р). Рассмотрим меры: где мера единичной массы, сосредоточенной в точке х.

Классические предельные теоремы имеют дело со сходимостью по распределению случайных величин: Сп —+ С; ПРИ п * 00 • Во многих случаях сходимость Сп ——> С ? ПРИ п ~> 00 ? влечет слабую сходимость мер Qn(u) lie, j при п —¥ 00 j Для почти всех о; 6 . Такие предельные теоремы называются версиями почти наверное обычных предельных теорем. Если же справедлива сходимость Qn(w) при п оо, для почти всех ш£0,и при этом не существует сходимости Сп С) при п оо, то говорят о почти наверное предельных теоремах.

Здесь и далее к = (к\,.,kd), n = (roj, , . £ Nd. Выражение п —> оо означает, что щ —> оо для каждого ъ — 1, .,d. Пусть log+a? = log ж, если х > е, и log+a; = 1, если х < е. Пусть |п| = П^=1 пг и | log n| - nil !og+ nh n <= Nd.

Пусть Cm n € Nrf, — последовательность случайных величин, определенных на вероятностном пространстве (Г2, Л, Р). Рассмотрим меры

QnM = Qn((Cn))H = щц Щ где и Е О, и дх - мера единичной массы, сосредоточенной в точке х.

Версия почти наверное мультииндексной предельной теоремы имеет вид: Qn(co) fi^ , при n —> оо, для почти всех со 6 Q .

В работах G. Brosamler [26] и P. Schatte [64] была получена версия почти наверное центральной предельной теоремы. Впоследствии I. Berkes в [24] и И.А. Ибрагимов в [10] обобщили эти результаты на нормированные суммы одинаково распределенных независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения устойчивого закона. Случай нормированных сумм независимых случайных величин рассматривался в статьях М.А. Лифшица ([12], [52]), И.А. Ибрагимова и М.А. Лифшица ([46], [47]), М. Atlagh [20], T.F. Mori [58], М. Peligrad и P. Revesz [59], В. Rodzik и Z. Rychlik ([62], [63]). В работе [22] I. Berkes и Е. Csaki показали, что каждая слабая предельная теорема для случайных величин, удовлетворяющих некоторому условию, имеет почти наверное версию.

В диссертационной работе получено обобщение результата I. Berkes и И.А. Ибрагимова на случай нормированных случайных сумм одинаково распределенных независимых мультииндексных случайных величин.

В ряде работ изучались версии почти наверное функциональных предельных теорем (см. М. Lacey and W. Phillip [50], P. Schatte ([65], [66]), P. Major ([53], [54]), A.H. Чупрунов и I. Fazekas ([33], [37]), I. Fazekas и Z. Rychlik [40], E.B. Czerebak-Morozowicz, Z. Rychlik и M. Urbanek [34]). Была получена версия почти наверное теоремы Доискера-Прохорова (М. Atlagh, [20]) и ее обобщение на случай мультииндексных последовательностей (I. Fazekas и Z. Rychlik, [40]), функциональные почти наверное предельные теоремы для сумм случайных величин, принадлежащих области притяжения устойчивого закона (I. Berkes и Н. Dehling, [25]) и полуустойчивого закона (I. Fazekas и А.Н. Чупрунов , [37]). В диссертационной работе получена версия почти наверное функциональной предельной теоремы для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения гауссовского закона.

Изучение полуустойчивых распределений началось с работы П. Леви [51]. В.М. Круглов в [17] получил полное описание полуустойчивых распределений в терминах их мер Леви. В работах S. Chorgo и Z. Megyesi [27], Z. Megyesi [56] дано описание полуустойчивых распределений с помощью вероятностного подхода, предложенного S. Chorgo в [32]. И.В. Гри-невич и Ю.С. Хохлов в [8] дали описание областей притяжения полуустойчивых законов, аналогичное описанию областей притяжения устойчивых распределений, полученному в классических работах Б.В. Гне-денко [5] и В. Деблина [35]. I. Berkes, Е. Csaki, S. Chorgo и Z. Megyesi в [21] получили почти наверное предельную теорему для сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения полуустойчивого закона. А.Н. Чупрунов и I. Fazekas [37] обобщили этот результат на функциональный случай. В диссертационной работе получено обобщение почти наверное предельной теоремы I. Berkes, Е. Csaki, S. Chorgo и

Z. Megyesi [21] на случайные индексы суммирования.

А.Н. Чупрунов и I. Fazekas в [38] получили версии почти наверное предельных теорем для числа пустых ячеек при размещении различимых частиц по ячейкам. В диссертационной работе получены обощения этих результатов на случай неполного комплекта ячеек и в ситуации, когда число ячеек случайно.

Цель работы. Целью диссертационной работы является получение версий почти наверное предельных теорем для случайных сумм, а также для случайных размещений в случаях неполного и случайного числа ячеек.

Методы исследования. В работе используются классические методы теории вероятностей. Доказательства версий почти наверное предельных теорем опираются на критерии почти наверное предельных теорем (см. I. Fazekas и Z. Rychlik [39], I. Fazekas и А.Н. Чупрунов [38], [37]).

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

1. Доказана версия почти наверное предельной теоремы для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения р—устойчивого закона.

2. Доказана версия почти наверное функциональной предельной теоремы для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения гауссовского закона.

3. Доказана почти наверное предельная теорема для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения р -полуустойчивого закона.

4. Доказаны версии почти наверное предельных теорем для числа пустых ячеек при размещении различимых частиц в неполном комплекте ячеек и в случае, когда число ячеек — случайная величина.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней фундаментальные результаты могут найти применение в дальнейших научных исследованиях в данном направлении, а также при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов в Московском государственном университете, Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, Санкт-Петербургском государственном университете, Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН (ПОМИ РАН), Казанском государственном университете, Новосибирском государственном университете.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации были изложены на 8-ой международной конференции "Computer Data Analysis and Modeling" (Минск, 2007), Седьмой молодежной научной школ е-конференции "Лобачевские чтения - 2008" (Казань, 2008), Восьмой молодежной научной школ е-конференции "Лобачевские чтения - 2009" (Казань, 2009), итоговых научных конференциях Казанского государственного университета в 2007, 2008, 2009 гг. Также результаты работы докладывались и обсуждались на научном семинаре ВМиК МГУ "Теория риска и смежные вопросы" (руководители: д.ф.-м.н., профессор В.Е. Бенинг, д.ф.-м.н., профессор В.Ю. Королев), научном семинаре мехмата МГУ "Асимптотический анализ случайных процессов и полей" (руководители: д.ф.-м.н., профессор А.В. Булинский; к.ф.-м.н., доцент А.П. Шашкин).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в четырех тезисах [72]—[75] и трех статьях в рецензируемых журналах [69]—[71], включая две статьи в журналах из списка ВАК [69]-[70].

Краткое содержание работы.

Во введении дан обзор литературы по теме диссертации, обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели, представлены выносимые на защиту научные положения и кратко изложено содержание работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Терехова, Лидия Павловна, 2010 год

1. Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Введение в математическую теорию риска. - М. : МАКС Пресс , 2000. - 184 с.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М. : Наука, 1977. - 352 с.

3. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. -М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. 400 с.

4. Вероятность и математическая статистика: энцикл. под ред. Ю.В. Прохорова. М. : Большая Российская энциклопедия, 2003. - 912 с.- Репр. изд.

5. Гнеденко Б.В. К теории областей притяжения устойчивых законов // Ученые записки МГУ. 1939. - Т. 30. - С. 61-81.

6. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.; Л. : Гос. изд-во тех-технич. лит., 1949. - 264 с.

7. Гнеденко Б.В., Фахим X. Об одной теореме переноса // ДАН СССР. 1969. - Т. 187. - №1. - С. 15-17.

8. Гриневич И.В., Хохлов Ю.С. Области притяжения полуустойчивых законов // Теория вероятностей и ее применения. 1995. - 40(2).- С. 417-423.

9. Добру шин Р. Л. Лемма о пределе сложной случайной функции // Успехи математических наук. 1955. - Т.10. - №2. - С. 157-159.

10. Ибрагимов И.А. О почти всюду версиях предельных теорем // Доклады РАН. 1996. - Т. 350. - С. 301-303.

11. Лифшиц М.А. Предельные теоремы типа "почти наверное" Учебно-метод. пособие. СПб., 2007. - 32 с.

12. Лифшиц М.А. Предельная теорема типа "почти наверное" для сумм случайных векторов // Записки научных семинаров ПОМИ. 1999.- Т. 260. С. 186-201.

13. Колмогоров А.Н., Прохоров Ю.В. О суммах случайного числа случайных слагаемых // Успехи математических наук. 1949. - Т. 4. -№4. - С. 168-172.

14. Колчин В.Ф., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Случайные размещения. М. : Наука, 1976. - 223 с.

15. Круглов В.М. Слабая компактность случайных сумм независимых случайных величин // Теория вероятностей и ее применения. -1998. Т. 43. - №2. - С. 248-271.

16. Круглов В.М., Королев В.Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1990. - 269 с.

17. Круглов В.М. Об одном расширении класса устойчивых распределений // Теория вероятностей и ее применения. 1972. - Т. 17(4).- С. 723-732.

18. Фазекаш И., Чупрунов А.Н. Почти наверное предельные теоремы для статистики Пирсона // Теория вероятностей и ее применения.- 2003. Т. 48. - №1. - С. 162-16.9

19. Хакимуллин Е.Р., Энатская Н.Ю. Предельные теоремы для числа пустых ячеек // Дискретная математика. 1997. - Т. 9(2). - С. 120130.

20. Atlagh М. Theoreme central limite presque sur et loi du logarithme itere pour des sommes de variables aleatoires independantes // C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I. 1993. - T.316. - P. 929-933.

21. Berkes I., Csaki E. A universal result in almost sure central limit theory // Stoch. Proc. Appl. 2001. - Vol. 94. - P. 105-134.

22. Berkes I, Csaki E., Chorgo S. Almost sure limit theorems for the St.Petersburg game // Statistics and Probability Letters. 1999. - Vol. 45.- P. 23-30.

23. Berkes I. On the almost sure central limit theorem and domains of attraction // Probab. Theory Related Fields. 1995. - Vol. 102. - P. 1-18.

24. Berkes I., Dehling H. Some limit theorems in log density // Ann. Probab. 1993. - Vol. 21. - P. 1640-1670.

25. Brosamler G. An almost everywhere central limit theorem // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1988. - Vol. 104. - P. 561-574.

26. Chorgo S., Megyesi Z. Merging to semistable laws // Теория вероятностей и ее применения. — 2002. Vol. 47(1). - P. 90-109.

27. Chorgo S. Almost sure limit theorems for the St.Petersburg game // Statistics and Probability Letters. 1999. - Vol. 45. - P. 23-30.

28. Chorgo S. The St. Petersburg paradox // Polygon. 1995. -Vol. 5(1). - P. 19-79.

29. Chorgo S., Horvath L. Invariance principles for logarithmic averages // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1992. - Vol. 112. - P.195-205.

30. Chorgo S., Dodunekova R. Limit theorems for the Petersburg game // In: Hahn, M.G., Mason D.M., Weiner D.C. (Eds.), Trimmed Sums and Extremes. Progress in Probability. Boston: Birkhauser, 1991. - Vol. 23.- P. 285-315.

31. Chorgo S. A probabilistic approach to domains of partial attraction // Adv. Appl. Math. 1990. - Vol. 11. - P. 282-327.

32. Chuprunov A.N., Fazekas I. Almost sure versions of some functional limit theorems // Proceedings of the 21st Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. New York: J.Math. Sci. 2002. - Vol. 111(3). - P. 3528-3536.

33. Czerebak-Morozowicz E.B., Rychlik Z., Urbanek M. Almost sure functional central limit theorems for multiparameter stochastic processes // Condensed Matter Physics. 2008. - Vol. 11. - No 2(54). - P. 371-381.

34. Doeblin W. Sur l'ensemble de puissances d'une loi de probabilite // Studia Math. 1940. - Vol. 9(1). - P. 71-96.

35. Dudley R.M. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Grove, CA, 1989.

36. Fazekas I., Chuprunov A. An almost sure functional limit theorem for the domain of geometrical partial attraction of semistable laws // Journal of Theoretical Probability. 2007. - Vol. 20(2). - P. 339-353.

37. Fazekas I., Chuprunov A. Almost sure limit theorems for random allocations // Studia Sci. Math. Hungar. 2005. - Vol. 42. - P. 173-194.

38. Fazekas I., Rychlik Z. Almost sure central limit theorems for random fields // Math. Nachr. 2003. - Vol. 259. - P. 12-18.

39. Fazekas I., Rychlik Z. Almost sure functional limit theorems // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Sect. A 2002. - Vol. 56. - P. 1-18.

40. Fazekas I., Klesov O. A general approach to the strong laws of large numbers // Theory of Probability and its Applications. 1999. - Vol. 45(3). - P. 568-583.

41. Feller W. Note on the law oflarge numbers and "fair"games // Ann. Math. Statist. 1945. - Vol. 16. - P. 301-304.

42. Fisher A. A pathwise central limit theorem for random walks // Preprint.

43. Gnedenko B.V., Korolev V.Yu. Random Summation: Limit Theorems and Applications. CRR Press, Bca Raton, FL, 1996.

44. Gut A. Stopped Random Walks. Springer, New York, 1988.

45. Ibragimov I.A., Lifshits M.A. On almost sure limit theorems // Th. Probab. Appl. 1999. - Vol.44. - P. 254-272.

46. Ibragimov I.A., Lifshits M.A. On the convergence of generalized moments in almost sure central limit theorem // Statist. Probab. Letters. -1998. Vol. 40. - P.343-351.

47. Kalashnikov V. Geometric Sums: Bounds for Rare Events with Applications. Risk Analysis, Reliability, Queueing. Kluwer Academic Publisher. - Dordrecht-Boston-London, 1997.

48. Kruglov V.M., Petrovskaya G.N. Weak convergence of self-normalized random poligonal lines // Journal of Mathematical Sciences. -2002. Vol. 112. - P. 4145-4154.

49. Lacey M., Philipp W. A note on the almost everywhere central limit theorem // Statist. Probab. Letters. 1990. - Vol. 9. - P. 201-205.

50. Levy P. Theorie de 1'Addition des Variables Aleatoires. Gauthier-Villars, Paris, 1937.

51. Lifshits M. An almost sure limit theorem for sums of random vectors // Preprint.

52. Major P. Almost sure functional limit theorems. Part I. The general case // Studia Sci.Math. Hungar. 2000. - Vol. 34. - P. 273-304.

53. Major P. Almost sure functional limit theorems. Part II. The case of independent random variables // Studia Sci.Math. Hungar. 2000. -Vol. 36. - P. 233-273.

54. Martin-Lof A. A limit theorem which clarifies the 'Petersburg paradox' // J. Appl. Probab. 1985. - Vol. 22. - P. 634-643.

55. Megyesi Z. Domains of geometric partial attraction of max-semistable laws, structure, merge and almost sure limit theorems // J. Theor. Prob. 2002. - Vol. 15. - P. 973-1005.

56. Megyesi Z. A probabilistic approach to semistable laws and their domains of partial attraction // Acta Sci.Math. (Szeged). 2000. - Vol. 66(1-2). - P. 403-434.

57. Mori T.F. On the strong law of large numbers for logarithmically weighted sums // Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Math. 1993. - Vol. 36. - P. 35-46.

58. Peligrad M., Revesz P. On the almost sure central limit theorem // In: Bellow, A., Jones, R. (Eds.), Almost Everywhere Convergence II. -Academic Press, New York, 1991. P. 209-225.

59. Renyi A. On the the theory of order statistics // Acts Math. Acad. Sci. Hung. 1953. - Vol. 4. - P. 191 - 231.

60. Robbins H. The asympyoyic distribution of the sum of a random number of random variables // Bull. Amer. Math. Soc. 1948. - Vol. 54. -No. 12. - P. 1151-1161.

61. Rodzik В., Rychlik Z. An almost sure central limit theorem for independent random variables // Ann. Inst. H. Poincare. 1994. - Vol.30. -P. 1-11.

62. Rodzik В., Rychlik Z. On the central limit theorem for independent random variables with almost sure convergence // Probab. Math. Statist. -1996. Vol. 12. - P. 299-309.

63. Schatte P. On strong versions of the central limit theorem // Math. Nachr. 1988. - Vol. 137. - P. 249-256.

64. Schatte P. On the central limit theorems with almost sure convergence // Probab. Math. Statist. 1991. - Vol. 11. - P. 315-343.

65. Schatte P. Two remarks on the almost sure central limit theorem // Math. Nachr. 1991. - Vol. 154. - P. 225-229.

66. Silvestrov D.S. Limit Theorems for Randomly Stopped Stochastic Processes // Research reports 2002 1-4, Department of Mathematics and Physics, Malardalen University, Vasteras, 2002. P. 405.

67. Wichura M.J. Inequalities with applications to the weak convergence of random processes with multi-dimensional time parameters // Ann. Math. Statist. 1969. - Vol. 40(2). - P. 681-687.Работы автора по теме диссертации

68. Терехова Л.П., Чупрунов А.Н. Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм мультииндексных случайных величин // Известия вузов. Математика. 2010. - №2. - С. 86—96.

69. Терехова Л.П., Чупрунов А.Н. Почти наверное предельная теорема для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения полуустойчивого закона // Известия вузов. Математика. 2009. - №11. - С. 85—88.

70. Terekhova L.P. Almost sure limit theorems for random sums of multiindex random variables // Lithuanian Mathematical Journal. 2009. -Vol. 49. - Issue 3. - P. 318-330.

71. Chuprunov A.N., Terekhova L.P. Almost sure versions of limit theorems for random sums of multiindex random variables // Computer Data Analysis and Modeling. Proceedings of the 8th International Conference. Minsk, September 11-15, 2007. P. 10-13.

72. Terekhova L. The class of limit distributions in multiindex almost sure limit theorems // 9th international Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Abstracts of Communications. June 2530, 2006. P. 311.