Весовые пространства Степанова и точные оценки решений эволюционных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Абунавас Мохаммад Халиль

• Абунавас Мохаммад Халиль
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Абунавас Мохаммад Халиль

Введение

Глава I. Задача Коши для абстрактных диференциальных 12 уравнений первого порядка

§1.1 Вектор-функции и некоторые их свойства

§ 1.2 Оператор-функции и полугруппы

§1.3 Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка

Глава II. Пространства Степанова со специальным введенным весом

§2.1 О невозможности одного неравенства в пространствах у

§2.2 Пространства Яр^

§2.3 Функциональная норма интегрального оператора и ее оценка

§2.4 Пространства 8рч>{В})

Глава III. Оценка решений дифференциальных уравнений

§3.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения

§3.2 Уравнение в банаховом пространстве

§3.3 Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве с вырождением

§3.4 Волновое уравнение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Весовые пространства Степанова и точные оценки решений эволюционных уравнений»

Часто решения эволюцинных уравнений записываются в виде u(t) = B(t)f, (1) где /- элемент некоторого банахова пространства F с нормой ||*||f> B(t)-семейство линейных ограниченных при каждом t G [0, оо) операторов действующих из F в некоторое банахово пространство U.

Представление (1) используется при исследовании различных свойств решений соответствующих задач. Например, при изучении поведения решения задачи Коши при t —> оо для абстрактного дифференциального уравнения вида = +/(«), (2) «(0) = 0, (3) где А- генератор Со- полугруппы U(t) действующей в банаховом пространстве Е, f(t)~ векторнозначная функция со значениями в Е.

Как известно (см. [2]), в этом случае решение задачи (2)-(3) имеет вид u(t) = ^U(t-s)f(s)ds = B(t)f. (4)

Так как оценку поведения решения u(t) при t —У оо желательно получить наиболее точную, то здесь важной характеристикой оператора B(t) является функция

B(t)f\\u m{t) = sup е*1 \\JWF / которая вводится в настоящей диссертации и называется функциональной нормой оператора В(Ь).

Очевидно, что имеет место оценка т(4)||/||р,

5) при этом она является наилучшей в классе оценок вида нти < Ртпг,

6) в том смысле, что если установлена оценка (6), то необходимо р(£) > т(Ь).

В диссертации изучается вопрос о поведении решений уравнения вида (1) при £ —» оо в случае когда А является производящим оператором Со полугруппы. Как известно, уже для ограниченных операторов А, когда, по выражению С.Г. Крейна (см. [1], стр. 274) ". вопросы существования и единственности решения задачи Коши, непрерывной зависимости его от начальных данных всегда решались положительно и поэтому основное внимание уделялось поведению решений при £ —> оо, то для неограниченного оператора эти вопросы становятся центральными". Поэтому в последние десятилетия этому вопросу уделяется большое внимание.

В частности, его изучению посвящена теория стабилизации решения задачи Коши для параболических и гиперболических однородных (/(¿) = 0) уравнений [14]—[16], где результаты формулируются в терминах начальных данных Коши.

В диссертации исследуется вопрос о поведении решений уравнения (2) в зависимости от свободного члена /(£).

С этой целью здесь изучается вопрос о нахождении явного вида функ

•« циональных норм некоторых интегральных операторов вида roo

B(t)u= K(t,s)u(s)ds, (7) j о в специальных весовых пространствах Степанова SP)<Piе определяемых нормой imiw= suP [JT^H'WeMÍ. № i6[0,oo) где p > 1, (p(t)~ достаточно гладкая положительная при t > О, фунция, такая, что <р(0) = О, cp'(t) > 0, ip"{t) < 0.

Очевидно, что классические пространства Степанова определяемые нормой (см. [1],[2]) u\\sp=sup[ft+1\u(s)\4s}K (9) teR Jt являются частным случаем пространств SPiíP:e ПРИ = t, Е = R1.

Одним из основных отличий классических Sp- пространств Степанова от Lp- пространств с нормой

NUP = [ £°Н»)Г<ь$- (ю) является то, что Sp- пространства содержат ограниченные на всей действительной оси или полуоси функции в отличие от пространств Lp.

Желание включить ограниченные, а также растущие при t —> оо функции в пространстве типа Lp приводит к введению весовых пространств LPtV [0, оо) с нормой р>ц. а« где v(s)~ некоторые весовые функции.

В тоже время, очевидно, что пространства Spjtp при соответствующем выборе функции <p(t), могут содержать любую, как угодно быстро растущую на бесконечности функцию u(t). Например, если u(s) > 0 и lim^oo u(t) = оо, то достаточно взять <p{t) = F~l{t), где F(t) = Jg u(s)ds.

Таким образом, с точки зрения включения неограниченных при t —»■ оо функций пространства SPjIP и являются похожими, однако между ними оказывается есть одно существенное различие ( и это показывается в диссертации) заключающееся в том, что точные оценки поведения решения задачи Коши, для уравнений рассматриваемых в диссертации, в принципе не возможны для LPjv- пространств, в то время как для Spjip-пространств они имеют место и здесь получены.

Например, уже для простейшей задчи Коши u'(t) = f(t),- t G [0, оо) (12) u(0) = 0, (13) для / 6 не существует точной оценки роста решения на бесконечности в том смысле, что если есть оценка вида

H*)l<p(f) ||/lk,, . (14) где p{t)~ функция не зависящая от f{t), то не существует функции / € LiiU и числа с > 0, чтобы имело место обратное неравенство ер(*)||/1к,< Ht)\.

В тоже время в случае пространств Si}(p это не так, в силу того, что при <р(п) <t< ip(n + 1) имеем f{s)ds = <p~l(t + 1)

16)

Следовательно оценка (15) не улучшаема.

В этом случае функциональная норма т(£) оператора В(¿)/ = /д f(s)ds действующего из в С[о,оо) равна т{Ь) — + 1).

Диссертация состоит из трех глав и десяти параграфов.

Первая глава содержит факты изложенные в монографиях С.Г. Крей-на, Хилле, Филлипса, Иосиды и др. (см [1]—[3]), необходимые в дальнейшем для постановки и решения задач рассматриваемых в диссертации.

Самостоятельные, новые результаты содержатся во второй и третьей главах.

Вторая глава посвящена изучению векторнозначных функций /(£) со значениями в некотором пространстве Е для которых конечны нормы: а) в случае Ь Е = [0, оо) где функция <p(t), такая, что <p(t) G С^0 оо), у>(0) = 0, <p'(t) > О, <p"(t) < О, lim^oo <p(t) = оо' б) в случае Е R = (—оо, оо)

17) где <р(Ь) где функция </?(£), такая, что </?(£) е СЦ^, <р(0) = 0, > О, <р(—Ь) = — вгдть< 0, Ии^-х» = оо

Так введенные весовые пространства Степанова, в зависимости от веса <р{Ь) могут содержать функции /(¿) произвольного роста на ±оо. В этом случае они похожи на фукнции Ьр%„ с весом V (х).

В тоже время здесь доказывается принципиальная разница Бр^ и (см. теорему 2.1.1 и теорему 2.3.1).

В главе II также доказываются эквивалентные (17) и (18) нормировки, которые помимо различных приложений имеют и самостоятельный интерес.

Так в качестве следствия 2.2.1 из леммы 2.2.3 получен результат принадлежащий X. Массера и Х.Шефферу и приведенный в [10].

Результаты полученные во второй главе применяются в третьей главе к точным оценкам решений дифференциальных уравнений, в следующем направлении.

Как известно пространства были введены Степановым В.В. при изучении почти-периодических функций на всей действительной оси К

В дальнейшем эти пространства были использованы X. Массера, X. Шеффером, М.Г. Крейном, Ю.Л. Далецким, Е.А. Барбашиным и др. при изучении устойчивости решений эволюционного уравнения

М = + /(*), (19) где А(Ь)~ линейный и ограниченный, при каждом ¿ЕЛ, в некотором банаховом пространстве Е оператор.

Б.М. Левитан и В.В. Жиков (см. [9]) применили 5р- пространства при изучении устойчивости решения уравнения (19) в случае когда А{€), вообще говоря, неограниченный оператор в Е, в предположении, что разрешающие операторы [/(¿, в), (£ > в) сильно непрерывны по в 6 й и удовлетворяют оценке

М)|| <Меш^ Ц>з) (20)

При этом были введены понятия корректного и усиленно корректного оператора Ь = ^ — А.

По Жикову-Левитану оператор Ь называется корректным, если справедлива оценка для любых и, Ьи € С^-оо^я]

М|с < М^ЬиЦс, (21) где С- пространство непрерывных и ограниченных функций и(х) с нормой

Н|с = 8ир||и(а:)||я. (22) хев.

И оператор Ь- усиленно корректный, если для любых и £ С, Ьи Е ¿>2 выполняется оценка

Ыс е М2\\Ьи\\з2. (23)

Очевидно, что когда Ь имеет обратный оператор Ь~1, то оценка (23) эквивалентна оценке

Ь-Ч\\с < М2\\Пз2. (24)

Однако 52 не является максимально широким пространством из которого оператор Ь~1 ограниченно действует в С, так как при выполнении (20) в случае ш < 0, справедлива более сильная оценка

7||с<М3||/||51. (25)

Оказывается, что именно Si является максимально широким пространством для которого справедливы неравенства типа (24), (25). В связи с этим операторы L для которых выполняется оценка ti||<7 < M4\\LU\\F, (26) для всех и е С, Lu е F, где F наиболее широкое пространство при котором выполняется (26) названы в [18] максимально корректным.

Пусть А- одно из множеств R+ = [0, оо) или R= (—оо, оо), р(х) > 0-достаточно гладкая весовая функция.

Обозначим через СР(А, Е) пространство непрерывных и ограниченных с весом р(х) функций для которых конечна норма

Нс^вирЦр^К^Нв. (27) х€А

По аналогии с определением максимальной корректности оператора L, дадим

Определение 1. Оператор L будем называть максимально корректным на паре пространсвт СР(А,Е) и F, если для всех и Е СР(А,Е)Г Lu Е F выполняется оценка

Не, < M5\\Lu\\f. (28)

Нетрудно видеть, что для B(t) = (^ — Л(£))-1 = L~l задачи определения функциональной нормы оператора B{t) и максимальной корректности оператора L являются" эквивалентными, при этом имеем равенство р(х) = ^у и, следовательно, эти задачи сводятся к нахождению веса р(х) по пространству F.

Таким образом возникает проблема указания класса пространств в котором определяется пространство Р.

Естественно, что это должны быть м весовые"прострнсвта. В диссертации показано, что решают эту проблему не пространства ЬР}1/, а Бр^- пространства.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Абунавас Мохаммад Халиль, 2004 год

1. Функциональный анализ (под редакцией С.Г. Крейна). М.: "Наука", 1972, 544 с.

2. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: "Наука", 1967, 464 с.

3. Красносельский М.А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М.: "Наука, 1966, 499 с.

4. Хилле Э., Филлипс Р. Фунциональный анализ и полугруппы. М.: Издательство иностанной литературы, 1962, 829 с.

5. Люстерник A.A., Соболев В.И. Элементыфункционального анализа. М.:"Наука", 1965, 517 с.

6. Иосида К. Функциональный анализ, М.: "Мир", 1967, 624 с.

7. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве М.: "Наука", 1970, 534 с.

8. Левитан Б.М. Почти- периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Гостехиздат, 1953, 396 с.

9. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. Издательство МГУ, 1978, 204 с.

10. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения, М.: "Мир", 1970, 456 с.

11. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматгиз, 1962, т.2, 807 с.

12. Костин В.А. Пространства ЬРЛ и эволюционные уравнения в банаховом пространстве.// Дифференциальные уравнения. N8, 1969, с. 161568

13. Костин В.А. Неравенства для норм производных в пространствах LPiy// мат. заметки, т. 6, N4, 1969, с. 472-473.

14. Репников В.Д. Нкоторые теоремы о стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений, ДАН СССР, 1963, т. 157, N3, с. 527-530.

15. Репников В.Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений. ДАН СССР, 1964, т. 157, N3, с. 532-535.

16. Глушак A.B., Репников В.Д. О стабилизации решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве. ДАН , 1992, т. 326, N2, с. 224-226.

17. Полянский А.Д., Вязьмин A.B., Журов А.И., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. М.: Факториал, 1938, 367 с.

18. Костин A.B. Обобщенные пространства Степанова и дробные интегралы Бесселя: автореф. дис. канд. ф.-м. наук/ A.B. Костин.- Воронеж, 2002.- 19 с. канд. дисс., Воронеж 2002

19. Абунавас М.Х. О точной оценке поведения решений эволюционных уравнений на полуоси. Сборник трудов молодых ученых, Воронеж, Вор-ГУ, 2003, с. 1-12.

20. Абунавас М.Х. Поведение на бесконечности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с вырождением. ВЗМШ-2003, материалы конференции современные методы теории функций и смежные проблемы, Воронеж 2003, стр. 5-6.

21. Абунавас М.Х., Костин В.А. О неулучшаемых оценках решений дифференциальных уравнений. Седьмая Крымская Международная математическая Школа. МФЛ-2004, тез. док., Симферополь с. 8