Влияние ускорения на электродинамику тонкостенных проводящих тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Кирпиченкова, Наталья Валерьевна

• Кирпиченкова, Наталья Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кирпиченкова, Наталья Валерьевна

СОДЕРЖАНИЕ Стр.

ВВЕДЕНИЕ

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ УСКОРЕННО ДВИЖУЩЕГОСЯ ПРОВОДЯЩЕГО ТЕЛА

1.1. Постановка задачи. Исходная математическая модель

1.2. Интегро-дифференциальное уравнение вихревых токов

1.3. Свойства интегрального оператора

1.4. Представление решения через собственные функции оператора

1.5. Гипотеза стационарности

1.6. Оболочки вращения, движущиеся вокруг своей оси

1.7. Теорема сравнения

1.8. Примеры вычисления собственных функций и характеристических чисел

1.9. Выводы

2. ВЛИЯНИЕ УСКОРЕНИЯ НА ЭЛЕКТРОМАГНИТНУЮ

СИЛУ

2.1. Система подвеса

2.1.1. Электромагнитная сила в режиме ускоренного движения и в рамках гипотезы стационарности

2.1.2. Фурье-образ индукции стороннего магнитного поля

2.1.3. Критерии применимости гипотезы стационарности

2.1.4. Приближенные формулы для составляющих ЭС, учитывающие влияние ускорения

2.2. Система электрической тяги

2.2.1. Магнитное П9ле бегущей волны

2.2.2. Формулы для линейной плотности силы тяги в режиме равноускоренного движения

2.2.3. Критерий применимости гипотезы стационарности

2.3. Численный эксперимент

2.4. Выводы

3. О МЕТОДИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СИЛЫ В РАМКАХ ГИПОТЕЗЫ СТАЦИОНАРНОСТИ

3.1. Формулировка проблемы

3.2. Вычисление электромагнитной силы при скачке скорости

3.3. Методическая погрешность стационарного приближения при численном интегрировании уравнений динамики проводящих

тел в магнитном поле (на примере силы тяги)

3.4. Выводы

4. ВЛИЯНИЕ ПЕРЕНОСНОГО УСКОРЕНИЯ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ВЕРТИКАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТРАНСПОРТНОГО СРЕДСТВА С МАГНИТНЫМ ПОДВЕСОМ ИЛИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ТЯГОЙ

4.1. Постановка задачи

4.2. Вертикальные колебания в системе подвеса

4.2Л. Вертикальные колебания в режиме стационарного переносного

движения

4.2.1.1. Линеаризация уравнения вертикальных колебаний

4.2.1.2. Динамические параметры колебательного процесса

4.2.2. Вертикальные колебания при наличии постоянного переносного

ускорения

4.3. Вертикальные колебания в системе электрической тяги

4.4. Обсуждение

4.5. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние ускорения на электродинамику тонкостенных проводящих тел»

ВВЕДЕНИЕ

Объектом исследования в данной работе является электромагнитное взаимодействие ускоренно движущихся тонких проводящих оболочек с внешним источником изменяющегося во времени магнитного поля [1]. Примерами таких оболочек могут служить электромагнитные ускорители (пушки), устройства для создания сильных импульсных магнитных полей, системы электродинамического подвеса и тяги транспортных средств, их асинхронные линейные двигатели, вихретоковые тормоза, устройства разгона и торможения на полигонах по испытанию новой авиационной и космической техники и т.д. [2-24]. В данной работе эти устройства условно разделены на два класса. К первому относятся, так называемые, системы подвеса (левитации), ко второму - системы тяги (торможения). Системы подвеса характеризуются тем, что используют стационарное магнитное поле и предназначены для создания силы левитации. Системы тяги используют бегущее магнитное поле для создания тяговой или тормозной силы. Находясь в переменном магнитном поле, проводники потребляют энергию, связанную с возбужденными в них вихревыми токами, а также оказывают электромагнитное и силовое воздействия на соседние проводящие тела и внешние источники магнитного поля. На практике учет этих эффектов нередко оказывается необходим для обеспечения оптимальных параметров элементов конструкций перечисленных выше устройств.

В практике инженерных расчетов электромагнитной силы (ЭС) Т7 взаимодействия проводника и внешнего источника магнитного поля предполагается, что величина ЭС в момент времени I среди прочего, определяется величиной их мгновенной относительной скорости \отн (V) в тот же момент времени t при любом характере движения (так называемая гипотеза стационарности [1]). Однако, очевидно, что, если характерное время т затухания электромагнитных возмущений в проводнике не равно нулю, то ЭС обладает «памятью» - значение Т7 в момент времени t определяется, в частности, характером зависимости

vomH{t) на интервале времени предшествующем моменту t*. При этом, если t» т, то электромагнитные возмущения, вызванные начальными условиями (при t=0), к моменту времени t успевают затухнуть и не влияют на величину F . Таким образом, F является не функцией, а некоторым функционалом от Уотн(*): ^[^о/ян]' основной вклад в который дает интервал времени \t-z,t\. При vomH = const величина этого функционала в любой момент времени t определяется этой постоянной скоростью, а, если, например, движение равнопеременное (с постоянным ускорением а), то величина функционала определяется уже двумя параметрами: мгновенной скоростью vomH(t) и ускорением а [1].

Несмотря на то, что режимы разгона и торможения кратковременны, с точки зрения надежности работы и безопасности движения они являются наиболее важными. С другой стороны, точный количественный анализ электромагнитных процессов, происходящих в этих устройствах, предопределяется высоким уровнем требований к качеству проектирования новых устройств и их систем управления, характеризуемых большой стоимостью в изготовлении, предельными режимами работы, значительным энергопотреблением и воздействием на окружающую среду. До настоящего времени в практике проектирования этих устройств остается неясным - надо ли учитывать эффекты ускорения, а если надо, то как? Отсюда возникает задача оценки и учета влияния упомянутых эффектов на электродинамические процессы в движущихся в стационарном или переменном магнитном поле проводниках, что и является целью данной работы. Известные результаты [25] приближенного учета эффектов ускорения методами теории цепей при расчете круговых электрических машин и физических экспериментов, а также результаты [26] подтверждают актуальность этой задачи.

* За пределами этого интервала "память" экспоненциально слаба.

Поставленная цель предполагает решение следующих задач:

1. Разработка математической модели для расчета вихревых токов и составляющих ЭС, учитывающей влияние переносного ускорения относительного движения тонкой проводящей оболочки и источника внешнего магнитного поля.

2. Получение простых аналитических критериев малости относительного отклонения ЭС, вычисленной в режиме ускоренного движения от силы, вычисленной в рамках гипотезы стационарности, применительно к системам магнитного подвеса и электрической тяги.

3. Вывод инженерных формул, приближенно учитывающих влияние ускорения на ЭС.

4. Численное исследование влияния ускорения на силовые характеристики с целью проверки эффективности полученных аналитических критериев и приближенных формул для ЭС в режиме ускоренного движения.

5. Оценка вклада в методическую погрешность, обусловленного использованием стационарного приближения для ЭС на шаге временной дискретизации, при численном интегрировании уравнений механики проводящих оболочек, движущихся в магнитном поле.

6. Исследование влияния эффектов постоянного переносного ускорения на динамические параметры (основные частоты, скорости затухания) свободных колебаний транспортного средства с магнитным подвесом или электрической тягой.

При разработке математических моделей и алгоритмов в теоретической части исследований использованы методы теории электромагнитного поля, аппарат математического и функционального анализа, методы теории уравнений математической физики, включая преобразование Фурье, теории интегральных и дифференциальных уравнений, а также методы численного анализа.

Программное обеспечение разработано в системе Turbo Pascal 7.0 для IBM PC.

Материал работы распределен следующим образом.

В первой главе формулируются математические модели для расчета вихревых токов в движущихся тонких проводящих оболочках, применительно к протяженным цилиндрическим оболочкам и оболочкам вращения. Скорость движения при этом имеет произвольную зависимость от времени. Далее задача сведена к решению интегро-дифференциального уравнения с интегральным оператором, для которого получены явные представления. В силу свойств этого оператора решение уравнения представляется в виде ряда по его собственным функциям. Приводятся результаты теоретических и численных расчетов собственных функций и характеристических чисел интегральных операторов для ряда оболочек.

Во второй главе полученные теоретические результаты применяются к конкретным техническим проблемам. Основное внимание уделяется системам электродинамического подвеса и электрической тяги. Получены достаточно простые аналитические критерии, выражающиеся через исходные данные, позволяющие оценить вклад влияния ускорения на ЭС, а также приближенные формулы вычисления ЭС в режиме нестационарного движения. Проведенный численный эксперимент показал эффективность полученных результатов.

В третьей главе на основе развитой в предыдущих главах методики проведено упрощенное вычисление ЭС, учитывающее импульсное (¿>-функционное) ускорение. На основе проведенного численного исследования сформулированы рекомендации о выборе шаге квадратуры при использовании конечно-разностных методов решения уравнений динамики проводящих оболочек в магнитном поле.

В четвертой главе рассмотрены вертикальные колебания транспортного средства (ТС) в системах магнитного подвеса и электрической тяги в режиме стационарного движения и при наличии постоянного переносного ускорения. При помощи линеаризации уравнения вертикальных колебаний получены аналитические формулы для динамических параметров (основные частоты и ско-

рости затухания) свободных колебаний, учитывающие влияние ускорения. Получен критерий применимости гипотезы стационарности.

Содержание работы отражено в публикациях [27-31]. Результаты работ докладывались на конференциях: молодежной научной конференции "XXII Гагаринские чтения" - Москва 1996 г.; II Международной конференции "Состояние и перспективы развития электроподвижного состава" - Новочеркасск 1997 г.; II Всероссийском симпозиуме "Математическое моделирование и компьютерные технологии" - Кисловодск 1998 г.

Объем диссертационной работы составляет 127 стр. Список цитируемой литературы содержит 75 наименований.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ УСКОРЕННО ДВИЖУЩЕГОСЯ ПРОВОДЯЩЕГО ТЕЛА

При вычислении электромагнитной силы (ЭС) F взаимодействия движущегося проводника и внешнего источника магнитного поля одной из основных проблем является расчет вихревых токов в проводнике. Интегральное уравнение вихревых токов в однородном изотропном немагнитном проводнике было получено в [32-34] и развито в работах [35-40]. Применительно к тонким проводящим оболочкам эта проблема целенаправленно исследовалась в цикле работ [41-58], а также в [59], где приведена обширная библиография публикаций по этой проблеме.

В этой главе задача расчета вихревых токов в движущихся в магнитном поле проводящих оболочках обобщена на случай произвольной зависимости скорости движения от времени.

Рассматриваются частные классы проводников: оболочки вращения и протяженные цилиндрические оболочки, движущиеся в присутствии магнитного поля внешних источников. Для них с помощью аппарата преобразований Фурье задача расчета вихревых токов сводится к интегро-дифференциальному уравнению, решение которого выражается через собственные функции и характеристические числа интегрального оператора уравнения. В их нахождении состоит численная часть работы.

1.1. Постановка задачи. Исходная математическая модель

При движении проводника в переменном магнитном поле будем считать, что имеет место квазистационарный режим, понимаемый в том смысле, что токи смещения отсутствуют в проводнике и не стекают с его поверхности в окружающий диэлектрик. Составляющей плотности вихревого тока в направлении толщины проводника пренебрежем. В рамках данной работы рассмотрим

немагнитные весьма тонкие проводники, что позволит не интересоваться распределением тока по толщине проводника [1].

Перечисленные допущения по отношению к реальным проводникам являются естественными во многих практически важных случаях. В частности, условие малости токов смещения по сравнению с токами проводимости у » cos (у - удельная объемная проводимость, е - диэлектрическая проницаемость, со - круговая частота) выполняется для хороших проводников (медь, алюминий) до частот, составляющих десятки кГц, а условие пренебрежимо малой неравномерности распределения тока по толщине ^coyju/2 h« \ [60] (ju-магнитная проницаемость материала, h - толщина проводника) при промышленной частоте 50 Гц, например, для медной пластины можно считать выполненным при h ~ 1мм, если интересоваться пространственными гармониками распределения вихревого тока, период которых вдоль срединной поверхности, значительно больше И. Последнее обстоятельство существенно, так как именно оно позволяет отождествить проводник с его срединной поверхностью .

Пренебрежение нормальной к S составляющей тока основано на предположении, что электронная "жидкость", "взбалтываемая" в теле тонкого проводника магнитным полем, перемещается преимущественно вдоль S. Действительно, как следует из [61,62], вихревые токи, возбуждаемые в однородной неограниченной пластине любой толщины или сферическом проводящем слое с любыми радиусами кривизны ограничивающих поверхностей, текут строго вдоль срединной поверхности при любом расположении в пространстве источников стороннего (первичного) магнитного поля. Таким образом, ни геометрия стороннего поля, ни кривизна срединной поверхности проводника не являются причиной возникновения нормальной составляющей плотности вихревого тока в проводнике.

Пусть Vk - тело внешних источников, Vp - тело проводника, Sp - его боковая поверхность, ориентированная внешней нормалью п .

В условиях принятых допущений удобно перейти к идеализированному (геометрически тонкому) проводнику с однородной изотропной проводимостью у.

Будем полагать, что проводник движется в заданном магнитном поле сторонних источников индукции со скоростью у(7). Запишем урав-

нения Максвелла в квазистационарном приближении

дВ

го1Е -

д1

сИУ8 = 0, материальные уравнения поля

8 = у\Е +

граничные условия

8 п = О на 51 ,

дополнительные условия

у = 0 вне УриУк,

гоШ = 8,

сНУВ = О,

В=МоН,

\в(м)\

М—>Со

->0,

6=0

вне УриУк[

у-^сопя! в У , в Ук задано.

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Первое граничное условие означает, что проводник не имеет электрического контакта с другими проводниками, поэтому вихревые токи из него не вытекают и на боковой поверхности могут иметь только касательную составляющую. Второе условие - условие в бесконечности - есть, в конечном счете, следствие ограниченности энергии, запасенной в электромагнитном поле.

Задача (1.1)-(1.5) получена в условии пренебрежения эффектом Стюарта-Толмена [63].

1.2. Интегро-дифференциальное уравнение вихревых токов

Рассмотрим бесконечно-длинный вдоль оси Ох декартовых координат х, у, г проводник (протяженную цилиндрическую оболочку) (рис. 1.1), движущийся в направлении своей длины с линейной скоростью у(^) = ёх у(^).

Рис. 1.1. Элемент проводника с разомкнутым связным профилем

нулевого рода

Профилем назовем след срединной поверхности проводника, получаемый в пересечении с плоскостью х=сот1. Сосредоточим внимание на проводниках с кусочно-гладким связным профилем Ь нулевого рода [50], движущихся вдоль оси Ох со скоростью Нулевой род припишем профилю, который дефор-

мацией можно превратить в окружность или какую-либо ее часть. Назовем профиль связным, если он состоит из отдельного континуума, то есть концом карандаша его можно обвести, не отрываясь от бумаги.

Далее снабдим тело проводника системой так называемых внутренних координат 0,х,и,п , где и отсчитывается от края срединной поверхности 5 вдоль профиля и равна длине отрезка профиля от начала до соответствующей точки, а п отсчитывается от £ в направлении единичной нормали п и определена в пределах - /г/2 < п < к/2 .

На срединной поверхности проводника введем векторные поля ст(М, и - поверхностную и дипольную плотности вихревых токов

соответственно:

h h 2 2.

О =

Jl« Sn dn\ т = ndn. (1-6)

Л --

2 2

Отметим, что поле а описывает вихревой ток проводника, обладающий четной симметрией относительно S, а поле т - вихревой ток, обладающий нечетной симметрией. Как отмечалось в [48], при одностороннем (относительно S) расположении внешних источников вклад поля г в электромагнитное взаимодействие весьма мал, если проводник геометрически тонкий. Поэтому всюду в дальнейшем, имея в виду вычисление сил электромагнитного взаимодействия тонких проводящих оболочек с магнитным полем, рассматриваем только вихревые токи <т, пренебрегая полем г.

Эффективность алгоритма задачи расчета вихревых токов существенно зависит от исходных посылок, поэтому ограничимся рассмотрением практически важных случаев и напомним сделанные ранее допущения:

1) скорость движения v(t) значительно меньше скорости света в вакууме;

2) материал проводника немагнитный, а проводимость у и толщина h постоянны;

3) величина h значительно меньше прочих геометрических размеров.

Пункт 1) позволяет воспользоваться материальным уравнением для медленно движущейся проводящей среды в виде (1.3). Подействуем на обе части этого равенства п - проекцией операции rot. Тогда

rot п8 = y(rot пЁ + (1.7)

В силу закона электромагнитной индукции rotE = -dB(dt, (1.7) приобретает вид

rotnS = -y^rBn-yv^-Bn, (1.8)

at ox

где учтено, что

v = exv . Выполняя теперь интегрирование обеих частей равен-

ства (1.8) по переменной п от -/г/2 до /г/2 , пренебрегая неравномерностью

распределения тока по толщине проводника получим, учитывая первое из соотношений (1.6)

rotna = -yh^(Bn)-yvh~{Bn) на 5, t>0 (1.9)

ot (Ж

где (£) означает вычисление среднего по толщине проводника значения Условие соленоидальности вихревого тока divS = 0 в терминах плотности сг дает

diva = 0 на t>0 (1.10)

К уравнениям (1.9) - (1.10) следует добавить краевое условие, которое следует из того факта, что вихревые токи замыкаются в пределах проводника, т. е. (cr,É?M) = аи = 0 при и=0, u=l, t>0.

Для описания поля а введем скалярную функцию потока у/ [64]. Положим

а = [Vi//,ñ] на S, (1.11)

дЕ д£

где = ех —- + еи--двумерный градиент. (1-12)

¿к ди

С учетом (1.11) равенство (1.10) удовлетворится тождественно, а уравнение (1.9) преобразуется к виду

Л¥ = ук~{Вп) + ^к — {Вп) наS, t>0, (1.13)

dt ас

дг£ д2£

где А<; = —j + —j - двумерный лапласиан (1-14)

Зс ск

Аналогично краевое условие дает ¿?у/<3с = 0 при и=0, u=l, t>0 или у/ - const при и=0, u=l, t>0. Учтем, что соотношением (1.11) функция потока определяется с точностью до постоянной, поэтому одну из граничных констант можно взять произвольно, например, положить у/ - 0 при . Тогда у/ приобретет ясный физический смысл. А именно, в точке М на S ее можно рассматривать как поток плотности тока 5 через поперечное сечение проводника, получаемое непрерывным разрезанием (мысленно) от края и=0 до точки М (рис. 1.2). Будем считать проводник разомкнутым в бесконечности, тогда поток

плотности тока через полное сечение проводника (от края и=0 до края и-1 ) должен равняться нулю, следовательно у/ — 0 при и=1.

I______________.и

гл

Л

СТ

М

Рис. 1.2. К определению функции потока

Окончательно получаем краевое условие в виде

у/ = 0, и=0, u=l, t>0. (1.15)

В дальнейшем удобно рассматривать не сами поля, а их Фурье - образы по координате х, сохраняя прежние обозначения и заменяя соответствующий аргумент на параметр преобразования т :

оо

а(т)= Jejmxa(x)dx; 7 = VM;

—00

(1.16)

а

(х) = — \e-Jmxa(rn)dm. 2 п J

Предварительно договоримся дифференциальные операции, применяемые к преобразованиям Фурье - функций, понимать в следующем смысле:

V и) = -ёх }т ¿;(т, и)+ ¿;(т, и), (1-17)

и) = -т2^{т, и) ч--(1-18)

с1и

Тогда равенство (1.11), уравнение (1.13) и условие (1.15) примут соответственно вид

ст=[У у/,п\ 0 <«</, ¿>0,

■п

Лу/ - -]ттук{Вп) + ук — {Вп), 0<и<1, />0, (1.20)

дг

у/ = 0, и = 0, и = I, t> 0, где все поля рассматриваются как преобразованные. Учитывая связь средней индукции (В) с магнитным полем на поверхности тонкой проводящей оболочки [48]

- - ЧУг)+ Ч- %

2

где В (И/2), В{- /г/2) - значения индукции на верхней 1 и нижней | поверхностях проводника, отстоящих от £ на /г/2 и -/г/2 соответственно, сформулируем краевую задачу для функции потока у/ в условиях оговоренных допущений

д

Лу/{т,и,^=--]ту{{^укВ+ уИ-^-Вп+{т,и,{) на Ь, />0,

у/(т,и,^ = 0, и - 0, и-1, ¿>0, (1-21)

Вп+ (т, и, = В®(т, и, + (т, и, {),

В* [т,у м м = ,

где А у/ определяется (1.18), В \ - полусумма значений нормальной составляющей преобразованной (Фурье) индукции В *, возбужденной вихревым током а, на верхней и нижней поверхностях проводника,

Рим ~ ~\{Уы ~ Ум)2 + ~ 2мУ ~ расстояние между точками N и М на плоскости х=сот^ К0 - функция Макдональда.

Первые два соотношения задачи полностью определяют вихревые токи у/. Третье соотношение представляет собой разложение магнитного поля на составляющие: первичное (сторонних источников) и вторичное (магнитная реакция проводника). Первичное считаем заданным, а вторичное находим по закону Био-Савара (четвертое соотношение).

Представим далее В*+ в виде лапласиана от некоторой функции, что позволит избавиться в первом уравнении (1.21) от оператора Лапласа и получить в итоге интегро-дифференциальное уравнение для у/. Такое представление получено в [48], а именно

I

Вп+ (т,и, ?) = В®(т,и, () - Ахи (1.22)

о

где

О

с1иц, (1.23)

Яы - радиус кривизны профиля в точке N еЬ, - единичный вектор, на-

правленный из точки () в точку И, а угол под знаком синуса отсчитывается против часовой стрелки от первого вектора ко второму, К{ (£) = .

Далее введем функцию у/°(т, и,/) как решение краевой задачи

Я

къ[\т\Рои) + \т\пыРомЩт\Рон

N

1

д ¿к

у/0 =0, и = 0, и = 1, t>0. (1.24)

Этой функции можно придать смысл фурье-образа скалярной функции потока той части вихревых токов, которая возбуждается магнитным полем внешних источников. Теперь подставляя (1.22) в (1.21) с учетом (1.24) получим

/

4ш

+ ук

у/{т, и, /) - ~ ^у/^т, и0, и[т, Ыд, ТА^скид +

о

1

2 л ск

о

^{¡/{т,ид,и^с1и0 - у/°(т,и,^

= 0, 0 < и < I, t> 0,

или, опустив оператор Лапласа:

/

у/{т, и, {) - - 1у/1т,и0 ,Ая(т.,и0,и)с1и0 + у/0 {т,и,{) - (р* (т,и,{),

2К V ¿к) J 1 ~ ) \ !

0

(1.25)

где (р* удовлетворяет уравнению Лхи(р* = 0, 0 <и<1, />0, а в точках и=0 и и-1 согласно краевому условию (1.21) совпадает с интегральным слагаемым правой части (1.25).

Общий вид решения уравнения Лапласа

(р* (т, и, {) = С, (т, + С2 (т, /■)ск{ти),

где С, и С2 находятся по граничным значениям (р*. Объединяя это решение с интегральным слагаемым правой части (1.25), будем иметь интегро-

дифференциальное уравнение:

1

у/(т, и, {) = ( ]тм{() - — \у/(т,ио^)к(т,и,ио)с1ио + у/0(т,и,{), (1.26)

2п V ¿к) з х ~ / \ -)

о

где ядро к(т, и, и0 ) представимо в виде

R(m,0, и0 ) sh m(l - и) + R(m, I, и0 ) sh (ти)

К[т, и,и0^ = R(m, и, и0 )

R.(m, и, Uq ) определяется (1.23).

sh (W)

1.3. Свойства интегрального оператора

Запишем уравнение (1.26) в операторной форме

2л V о17

где К - интегральный оператор, определяемый равенством

/

)d

UN ■

(1.27)

Решение интегро-дифференциального уравнения (1.27) основывается на использовании ряда свойств оператора К в классе всевозможных комплексно-значных функций, определенных на [0,/], суммируемых с квадратом вместе с

первыми соболевскими производными [65] и обращающихся в нуль на концах

о

отрезка [0, /]. Обозначим такой класс через и снабдим его скалярным произведением и нормой вида

/

+

2 d£dx

du du

du;

J

(1.28)

H=

ft

I H2 2

\q m +

du

2 Л

du

о

r

I

0

где знак "V" означает комплексное сопряжение.

Сформулируем основные свойства оператора К в И^ [1]

1) К - линейный оператор, что следует из линейности всех входящих в него операций.

о о

2) Оператор К преобразует функции В, е в функции е Ж,1 .

о

3) Оператор /Г самосопряжен в Щ1, то есть выполняется равенство

о'

х) = (£ К%) для любых 4, % е .

4) В силу первых трех свойств оператора К в соответствии с [66], существуют нетривиальные решения /к (т, и), Хк {т) уравнения

/к=ЛкК/к, к = 1,2,..., (1.29)

называемые собственными функциями и характеристическими числами оператора К соответственно.

5) Характеристические числа Лк строго положительны, а все линейно-независимые собственные функции /к могут быть взяты вещественными и попарно-ортогональными. Последнее означает выполнение равенства

(/*,/„) = 0, пФк. (1.30)

6) Собственные функции обращаются в нуль на концах отрезка [0,/], непре-

о

рывно-дифференцируемы на интервале (0,/) и образуют в И^ полную систему базисных функций.

1.4. Представление решения через собственные функции оператора

о

Опираясь на перечисленные свойствах оператора К в "\У2' , найдем решение уравнения (1.27) в виде ряда по собственным функциям 4. Собственные функции определяются уравнением (1.29) с точностью до постоянного сомно-

жителя. Последний выберем таким образом, чтобы \\/к | = 1, к - 1,2,..., а характеристические числа Лк пронумеруем в порядке их роста. Далее положим

00

^(т, и, {) = ^ ^ Ск (т, • /к (т, и),

(1.31)

к=1

Для определения Ск(т^) подставим (1.31) в (1.27), учтем (1.29), а затем умножим результат скалярно на /к, предполагая ортонормированность собственных функций, получим систему дифференциальных уравнений

Ск (т., г) = ^ (- 4] Ц 0 + О.

2ягЯ,

(1-32)

где

I

С° (т, г) = (т, г), Л «)) = № |

д

]ту(()в1 (т, и, - — В1 (т, и, /)

а

[к (т, 1л)с1и

Решение обыкновенного дифференциального уравнения (1.32) представимо в виде интеграла Дюамеля [67]

Ск« -

с,

/

(0) + £

С°к(т)с1т

(1.33)

где gk[t) =

/

(0=

2лЛк

(1.34)

Подставляя (1.33), (1.34) в (1.31) окончательно получим

> +

Г

у/(т, и, t) = ^ (^(m, и,0), fk (т, и))^ fk (т, и) exp<~dkt + jm J v(rj)dr]

A=I I 0 .

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Кирпиченкова, Наталья Валерьевна

4.5. Выводы

1. Путем линеаризации по малым отклонениям вертикальной координаты от ее невозмущенного значения получено линейное дифференциальное уравнение затухающих вертикальных колебаний.

2. Получены асимптотические формулы для динамических параметров (собственных частот и скоростей затухания) вертикальных колебаний, учитывающие влияние ускорения переносного движения, а также в рамках гипотезы стационарности переносного движения.

3. Выяснены условия, при которых можно пренебречь влиянием ускорения на динамические параметры вертикальных колебаний.

4. Оценено влияние ускорения на динамические параметры.

5. На плоскости переменных (у, а) скорость-ускорение найдены области, где влияние ускорения на динамические параметры мало, и они могут вычисляться в рамках стационарного приближения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложена математическая модель минимальной размерности в виде интегро-дифференциального уравнения для расчета вихревых токов в движущихся тонких проводящих цилиндрических оболочках, учитывающая произвольную зависимость скорости движения от времени.

2. Математическая модель для проводящих цилиндрических оболочек распространена на случай оболочек вращения.

3. Доказана теорема, позволяющая оценить первое характеристическое число оператора интегро-дифференциального уравнения вихревых токов, определенного на дуге окружности, через п-е характеристическое число этого оператора, определенного на окружности.

4. Рассчитаны на ЭВМ собственные функции и характеристические числа интегрального оператора для проводников сложного профиля.

5. Применительно к круговой протяженной цилиндрической оболочке собственные функции и характеристические числа интегрального оператора найдены аналитически.

6. Получены формулы для составляющих ЭС (сил левитации, торможения, тяги) в условиях ускоренного движения.

7. Получены аналитические (инженерные) критерии, выражающиеся через исходные данные, позволяющие оценить влияние ускорения на составляющие ЭС. Из этих критериев следует, что вклад ускорения в величину ЭС определяется величиной безразмерного параметра \ат/у\, где т- 1 /¿/, - характерное время затухания электромагнитных возмущений в проводнике, ¿/, = 2пХх1 ¡л^ук, где Я, - первое характеристическое число интегрального оператора К интегродифференциального уравнения (1.26). При \ат/у\«\ влияние ускорения на величину ЭС мало, и она может вычисляться в приближении гипотезы стационарности с относительной погрешностью, не превышающей е, наоборот, при ]1 влияние ускорения велико, и гипотеза стационарности при вычислении ЭС не применима.

8. Для составляющих ЭС получены инженерные формулы, приближенно учитывающие ускорение.

9. Проведен численный эксперимент на ЭВМ по расчету составляющих ЭС в условии ускоренного движения и в рамках гипотезы стационарности. На основе этого эксперимента выполнен анализ, который показал эффективность применения полученных критериев и приближенных формул для ЭС.

10. Предложены строгие формулы для составляющих ЭС в системе магнитного подвеса и электрической тяги при скачке скорости относительного движения проводника и внешнего источника магнитного поля.

11. Оценен вклад в методическую погрешность, обусловленный использованием стационарного приближения для ЭС на шаге временной дискретизации, при численном интегрировании уравнений движения оболочек, движущихся в магнитном поле.

12. Получена оценка для критической относительной погрешности £кр, меньше которой относительная погрешность при численном интегрировании уравнения движения в рамках стационарного приближения для ЭС принципиально не может быть.

13. Сформулированы рекомендации по выбору шага разбиения А t при численном интегрировании уравнения движения, при котором возможно использование определения ЭС в рамках гипотезы стационарности.

14. Путем линеаризации силы левитации по малым отклонениям вертикальной координаты от ее невозмущенного значения получено линейное дифференциальное уравнение затухающих вертикальных колебаний.

15. Найдены асимптотические формулы для динамических параметров (собственных частот и скоростей затухания) вертикальных колебаний, учитывающие влияние ускорения переносного движения, а также в рамках гипотезы стационарности переносного движения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кирпиченкова, Наталья Валерьевна, 1998 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Астахов В.И. Математическое моделирование инженерных задач в электротехнике. - Новочеркасск: НГТУ, 1994. - 192 с.

2. Системы магнитной левитации отталкивающего типа для высокоскоростного транспорта (обзор зарубежных исследований) / Васильев C.B., Ким K.M., Матин В.И., Микиртичев A.A. // Изв. вузов. Электромеханика.-1977.- № 8,-С. 882-888.

3. Бахвалов Ю.А. Высокоскоростные "парящие" поезда // Высокоскоростной наземный транспорт: Межвуз. сб. - Новочеркасск: НПИ, 1979. - С.3-6.

4. Бочаров В.И., Романов Ю.В., Янов В.П. Содержание, цели и состояние проблемы ВСНТ // Высокоскоростной наземный транспорт / Под. ред. В.И. Бочарова. - Новочеркасск, 1979. - С. 5-21. (Электровозостроение: Сб. науч. тр. / Всесоюз. науч.-исслед., проектно-конструк. и технолог, ин-т электровозостроения; Т. 19).

5. Дмитриев B.C. Транспортные средства на электродинамическом подвесе. - М.: Информэлектро, 1980. - 51 с.

6. Высокоскоростной наземный транспорт с линейным приводом и магнитным подвесом / Бочаров В.И., Винокуров В.А., Нагорский В.Д. и др. - М.: Транспорт, 1985. - 279 с.

7. Чун-Ву Ли, Менендец Р. Сила, действующая на катушки с током, движущиеся над проводящим листом, и ее применение для магнитной левитации // Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. - 1974. -62. - № 5. - С. 28-39.

8. Микиртичев A.A., Ким К.И. Электродинамические силы в системе левитации отталкивания с проводящим полотном ограниченной ширины // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1977. - № 4. - С. 86-94.

9. Тозони О.В., Николаева Н.С. Расчет систем подвеса с магнитной левитацией // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1978. - № 5. - С. 35.

10. Тозони О.В. Вихревые токи в цилиндрическом проводнике, движущемся в магнитном поле // Доклады АН УССР. Сер. А. физ.-мат. и техн. науки.

- 1975.-№ 6.-С. 554-558.

11. Кочетков В.М. Расчет левитационных характеристик при электродинамическом подвешивании высокоскоростных экипажей // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1977. - № 6. - С. 110-118.

12. Кочетков В.М. О левитационном качестве систем электродинамического подвешивания со сплошной путевой структурой // Изв. вузов. Электромеханика. - 1983. -№ 2. - С. 5-10.

13. Кочетков В.М. О расчете сил, действующих на электродинамический подвес произвольной конфигурации // Электричество. - 1978. - № 9. - С.56.

14. Кочетков. В.М. О вертикальной неустойчивости электродинамического подвешивания // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1979. - №5. - С. 176-178.

15. Васильев C.B., Киенко А.И. Инженерная методика расчета левитационных характеристик ситем ЭДП // Изв. вузов. Электромеханика. - 1983. - № 2. -С. 16-20.

16. Reitz J.R. Forces in moving magnets due to eddy currents // J. Appl. Phys.

- 1970. Vol. 41.-P. 2067-2071.

17. Lee S.-W., Menendez R. Force on current coils moving over a conducting sheet with application to magnetic levitation // Proc. IEEE. - 1974. - V. 62. - № 5. -P. 567.

18. Reitz J.R., Davis L.C. Force on a rectangular coil moving above a conducting stab // J. Appl. Phys. - 1972. - V. 43. - № 4. - P. 1547.

19. Urankar L., Miericke J. Theory of electrodynamic levitation with continuous sheet track. Part I // Appl. Phys. - 1973. - № 2. - P. 201.

20. Atherton D.L., Eastham A.R. Guidance of high speed vehicle with electrodynamic suspension // IEEE Trans, on Mag. - 1974. - 10. - № 3. - P. 413-416.

21. Urankar L. Electrodynamics of Finite Width Guideway Maglev System in an Integral Equation Formulation // Siemens Forsch. - u. Entwickl. - Ber. - 1979. -Bd. 8. - Nr. 4. - P. 204-208.

22. Сипливый Б.Н., Ершов Ю.К., Петров В.Ф. Электромагнитное поле и усилия в линейной асинхронной машине. Известия СКНЦ ВШ. Технические науки, - 1983,-№2.-С. 57-60.

23. Сипливый Б.Н. Математические моделирование ускорения проводников бегущим магнитным полем. - В кн. "Математическое моделирование и САПР радиоэлектронных и вычислительных систем СВЧ и КВЧ на ОИС", IV Всесоюзная научно-техническая конференция. Волгоград. - 1991. - С. 51-54.

24. Сипливый Б.Н. Применение полярных интегральных уравнений для расчета электромагнитного поля в движущихся проводниках. - В кн. "Техника, теория, математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на ОИС СВЧ и КВЧ". Москва. - 1992.- Т.2. - С. 336.

25. Трещев И.И. Электромеханические процессы в машинах переменного тока. - JL: Энергия, 1980. - 344 с.

26. Мелик-Бархударян В.К. Электродинамическое торможение высокоскоростных объектов в наземных условиях: Дис... кандидата тех. наук: - Ереван,- 1990. 153 с.

27. Астахов В.И., Кирпиченкова Н.В. Влияние ускорения на электромагнитную силу в системах электрической тяги и магнитного подвеса // Изв. вузов. Электромеханика.- 1998.- № 2-3.- С. 3-12.

28. Кирпиченкова Н.В. О методической погрешности при вычислении электромагнитной силы в рамках гипотезы стационарности // Изв. вузов. Электромеханика. - 1998.- № 4. С. 13-15.

29. Кирпиченкова Н.В. Влияние больших ускорений на динамические характеристики системы электромагнитного подвеса // XXII Гагаринские чтения: Тез. докл. науч. конф. - М.: МГАТУ, 1996. - 4.5. - С. 125-126.

30. Астахов В.И., Селюк С.С., Кирпиченкова Н.В. Электродинамическое взаимодействие источника магнитного поля с ускоренно движущимся рабочим телом // "Состояние и перспективы развития электроподвижного состава": Тез. докл. на II Международной конференции.-Новочеркасск.- 1997. - С. 201-203.

31. Кирпиченкова Н.В. Математическое моделирование силового взаимодействия ускоренно движущегося проводника с магнитным полем внешних источников // "Математическое моделирование и компьютерные технологии": Тез. докл. на II Всероссийском симпозиуме.- Кисловодск.- 1998.- С. 39-40.

32. Петрушенко Е.И. Постановка задачи по расчету вихревых токов в телах произвольной формы // Изв. вузов. Электромеханика. - 1966. - № 11. - С. 1181-1184.

33. Петрушенко Е.И. К расчету вихревых токов в проводниках сложной формы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1966. - № 6. -

С. 59-70.

34. Петрушенко Е.И. К расчету вихревых токов в проводниках сложной формы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1969. - № 1. -

С. 102-115.

35. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. - Киев: Техника, 1974. - 352 с.

36. Колесников Э.В. Квазистационарные электромагнитные поля в системах с однонаправленным полем тока // Изв. вузов. Электромеханика. - 1970. -№ 12.-С. 1294-1308.

37. Колесников Э.В. Квазистационарные электромагнитные поля в осе-симметричных системах с кольцевым полем тока // Изв. вузов. Электромеханика. - 1971. -№ 1,-С. 3-12.

38. Колесников Э.В., Стадник И.П. Расчет трехмерных электромагнитных систем с массивными проводниками // Электрические системы и сети. - Новочеркасск. - 1971. - С. 87-97. - (Тр. Новочерк. политехи, ин-та; Т.246).

39. Стадник И.П. Синтез схем замещения электромагнитных устройств с массивными проводниками // Электрические системы и сети. - Новочеркасск. -1971. - С. 98-109. - (Тр. Новочерк. политехи, ин-та; Т.246).

40. Стадник И.П. О расчете вихревых токов в электромагнитных устройствах правильной конфигурации методом собственных функций // Изв. вузов. Электромеханика. - 1977. - № 8. - С. 905-913.

41. Астахов В.И., Колесников Э.В., Пашковский В.И. Вихревые токи в проводящих пластинах // Изв. вузов. Электромеханика. - 1972. - № 8. - С.822-830.

42. Астахов В.И. Вихревые токи в проводящих оболочках // Изв. вухов. Электромеханика. - 1973. - № 4. - С. 375-382.

43. Астахов В.И. Вихревые токи в оболочках вращения // Изв. вузов. Электромеханика. - 1974. - № 3. - С. 256-264.

44. Астахов В.И. К расчету вихревых токов в немагнитных проводниках при резко выраженном поверхностном эффекте // Изв. вузов. Электромеханика. - 1973.-№7.-С. 802-803.

45. Астахов В.И. Внутреннее расстояние и фундаментальное решение уравнения Лапласа на искривленных оболочках // Изв. вузов . Электромеханика. - 1974.-№ 6.-С. 587-591.

46. Астахов В.И. Обращение оператора Лапласа на замкнутых оболочках методом интегральных уравнений // Изв. вузов. Электромеханика. - 1976. - № 11. - С. 1177-1 183.

47. Астахов В.И. Вихревые токи в изогнутых пластинах // Изв. вузов. Электромеханика. - 1976. - № 1. - С. 19-26.

48. Астахов В.И. Движение проводящей полосы в магнитном поле // Изв. вузов. Электромеханика,- 1977. - № 8,- С. 846-857.

49. Астахов В.И., Бахвалов Ю.А., Вяльцева Т.М., Кирсанова Г.А. Методы ускорения вычислительного процесса задачи о движении проводящей полосы в магнитном поле // Изв. вузов. Электромеханика. -1979.- № 3.- С. 187-196.

50. Астахов В.И. Движение тонких проводников сложного профиля в магнитном поле // Изв. вузов. Электромеханика.- 1979.- № 11.- С. 970-982.

51. Анализ электродинамического подвеса (ЭДП) с путевыми структурами сложного профиля / Астахов В.И., Вяльцева Т.М., Кирсанова Г.А. и др. // Высокоскоростной наземный транспорт: Межвуз. сб. - Новочеркасск: НПИ, 1979.-С. 6-16.

52. Астахов В.И., Бондаренко М.Б. Влияние профиля проводника на силовые характеристики при движении источника магнитного поля // Изв. вузов. Электромеханика. - 1984. - № 11. - С. 8-12.

53. Астахов В.И. Задача расчета квазистационарного электромагнитного поля в проводящих оболочках // Изв. вузов. Электромеханика. - 1985. - № 1. -С. 15-29.

54. Астахов В.И. Интегральные параметры электромагнитного процесса в проводящих оболочках // Изв. вузов. Электромеханика. - 1985. № 5.- С. 6-17.

55. Астахов В.И. Электромагнитный расчет некоторых оболочек вращения // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1985. - № 2. - С. 109-120.

56. Астахов В.И. Электромагнитный расчет проводящего диска // Электричество. - 1985. - № 7. - С. 32-38.

57. Астахов В.И. Квазисобственные функции самосопряженного оператора // Изв. вузов. Математика. - 1985. - № 12. - С. 54-57.

58. Родионов A.C., Астахов В.И. Расчет вертикальных колебаний экипажа ВСНТ с ЭДП над полотном конечной ширины // Изв. вузов. Электромеханика. -1986. -№ 1. - С. 5-13.

59. Астахов В.И. Интегральные уравнения минимальной размерности для вихревых токов в проводящих оболочках и их применение к системам электродинамического подвеса: Дис... доктора тех. наук: - Новочеркасск.- 1986. - 222224 с.

60. Ламмеранер И., Штафль М. Вихревые токи: Пер. с чеш. - М.-Л.: Энергия, 1967.- 208 с.

61. Hannakam L. Wirbelstrome in der Kugel bei beliebig geformter erregender heitersehleife // Zeitschrift fur angewandte Physik.-1972.- № 5-6. -

S. 348-355.

62. Hannakam L. Wirbelstrome in leitenden Halbraum bei beliebiger Form der erregender heiterschleife // Archiv fur Elektrotechnik.-1972.-54.-№ 5. -

S. 251-261.

63. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

64. Price А.Т. The induction of electric carrents in nonuniform thin sheets and shells // Quart. I. mech. appl. math. - 1949. - 2. - P. 283-310.

65. Соболев С.Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике. - Л.: ЛГУ, 1950. - 255 с.

66. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. T.I. - Харьков: Вищя школа, 1977. - 316 с.

67. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения,- М.: Наука, 1974,-332 с.

68. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ.: Пер. с англ. - М.: Мир, 1977. - 357 с.

69. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под. ред. Абрамовича М. и Стиган И.; Пер. с англ. - М.: Наука, 1979.- 832 с.

70. Шимони К. Теоретическая электротехника: Пер. с нем. М.: Мир, 1964,- 773 с.

71. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. П.- М.: Наука, 1973.-448 с.

72. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики / Пер. с англ. - М.: Мир, 1982. -489 с.

73. JI.Д. Кудрявцев. Математический анализ. Т.1.- М.: Высшая школа, 1970.- 588 с.

74. Калиткин H.H. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

75. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.- М.: Наука, 1987. - 600с.