Внутренние и смешанные объемы бесконечномерных выпуклых компактов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Досполова Мария Каиржановна

• Досполова Мария Каиржановна
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Досполова Мария Каиржановна

1.1 Введение

1.1.1 Теоремы Судакова и Цирельсона: гауссовское представление внутренних объемов

1.1.2 Смешанные объемы

1.2 Основные результаты

1.2.1 Обобщение теоремы Цирельсона

1.2.2 Примеры вычисления смешанных объемов бесконечномерных выпуклых компактов

1.2.3 Неравенство Александрова-Фенхеля

1.3 Предварительные сведения

1.3.1 Гауссовские векторы в линейных пространствах

1.3.2 Измеримые линейные функционалы и ядро

1.3.3 Сепарабельные и естественные модификации процессов

1.3.4 ОБ-множества: эквивалентные определения и свойства

1.3.5 Свойства смешанных объемов

1.4 Доказательства

1.4.1 Доказательство замечания

1.4.2 Доказательство теоремы

1.4.3 Доказательство теоремы

1.4.4 Доказательство теоремы

1.4.5 Доказательство теоремы

2 Углы Грассмана и конические внутренние объемы бесконечномерных конусов

2.1 Введение

2.1.1 Выпуклые конусы и углы Грассмана

2.1.2 Конические внутренние объемы

2.1.3 Результаты Гётце, Каблучко и Запорожца: гауссовские преобразования конусов

2.2 Основные результаты

2.3 Доказательства

2.3.1 Доказательство замечания 2.2.2 и теоремы

2.3.2 Доказательство теоремы

2.3.3 Доказательство теоремы

3 Целая функция Штейнера и результаты о концентрации

3.1 Введение

3.1.1 Логарифмическая вогнутость последовательности внутренних объемов и целая функция Штейнера

3.1.2 Концентрация внутренних объемов

3.2 Основные результаты

3.2.1 Порядок и тип целой функции Штейнера

3.2.2 Концентрация внутренних объемов бесконечномерных множеств

3.3 Необходимые сведения из теории целых функций

3.4 Доказательства

3.4.1 Доказательство утверждения

3.4.2 Доказательство утверждения

3.4.3 Доказательство утверждения

3.4.4 Доказательство теоремы

3.4.5 Доказательство теоремы

4 Дискретные внутренние объемы и валюации Грассмана

4.1 Введение и основные результаты

4.1.1 Дискретный объем

4.1.2 Многочлены Эрхарта и Макдональда

4.1.3 Валюации Грассмана

4.1.4 Тетраэдр Рива

4.1.5 Комбинаторно-положительные валюации

4.2 Предварительные сведения

4.2.1 Многогранные множества

4.2.2 Многогранные конусы

4.2.3 Выпуклые многогранники

4.3 Модифицированные углы Грассмана

4.3.1 Определение и основные свойства

4.3.2 Средние значения углов гауссовских выпуклых конусов

4.4 Доказательства

4.4.1 Дискретные внутренние объемы

4.4.2 Валюации Грассмана

4.4.3 Модифицированные углы Грассмана

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Внутренние и смешанные объемы бесконечномерных выпуклых компактов»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Данная работа посвящена изучению внутренних объемов выпуклых компактов с использованием вероятностного подхода, а также их обобщений и аналогов.

Пусть K С Rd - непустое выпуклое компактное множество, dim K - размерность K (то есть размерность наименьшего аффинного подпространства, содержащего K). Важнейшими геометрическими характеристиками K являются его внутренние объемы V0(K),..., Vd(K), которые определяются как коэффициенты в формуле Штейнера (см., например, [61, соотношение 14.5]):

d

Vold(K + ABd) = ^ Kd-kVk(K)Ad-k, Л ^ 0, (0.1)

k=0

где через Vold(-) обозначен объем (d-мерная мера Лебега), Bk - это k-мерный единичный шар и Kk := Volk (Bk) = п + 1) - это объем Bk (ко := 1). Другими словами, объем окрестности

представляется многочленом, коэффициенты которого зависят от множества K.

Формула Штейнера впервые возникла в трудах Штейнера [65]. Он вывел её для выпуклых многогранников в пространствах R и R3. Сегодня эта формула представляет собой частный случай более общей теоремы Минковского для смешанных объемов (см. раздел 1.1.2 главы 1).

Известен эквивалентный способ определения внутренних объемов с помощью формулы Куботы [61, раздел 6.2] через средний объем проекции множества:

Vk(K) = -E Volk(nwfc(K)), (0.2)

\KJ KkKd-k

где Wk обозначает k-мерное случайное линейное подпространство в Rd, распределенное по мере Хаара на грассманиане всех таких подпространств, и (K) - это ортогональная проекция K на Wk.

При всех dimK < k ^ d выполнено Vk(K) = 0, и при k > d можем положить Vk(K) = 0.

Внутренние объемы играют важную роль в выпуклой геометрии (см., например, [60]). В частности, можно показать [61, раздел 6.2], что Vd(-) - это d-мерный объем, Vd—i(•) - половина площади поверхности для d-мерных выпуклых компактов, Vi(-) - средняя ширина, с точностью до постоянного множителя, и Vo(-) = 1.

Пусть Kd обозначает семейство всех непустых выпуклых компактов в Rd с метрикой Хау-сдорфа dH. В работе [37] Хадвигер доказал следующий фундаментальный результат: для любой непрерывной, инвариантной относительно сдвигов и вращений функции ф на Kd такой, что

ф(К U L) = ф(К) + ф(Ь) - ф(К П L), когда К, L, К U L Е Kd,

существуют константы c0,..., Cd Е R, для которых

d

ф(К) = ^ cfcVk(К), К Е Kd. k=0

Здесь мы доопределяем ф(0) = 0, Vk (0) = 0, k = 0,1,...,d, чтобы были корректно заданы ф(К П L),Vk(К П L), К, L Е Kd.

Теорема Хадвигера демонстрирует значимость понятия внутренних объемов и является основным инструментом для доказательства многих результатов в стохастической геометрии [44].

Вместе с тем из-за удобного подбора нормировки в формуле (0.1) внутренние объемы обладают еще одним примечательным свойством: они не зависят от размерности объемлющего пространства. Это означает, что при вложении К в RN при N ^ d, внутренние объемы останутся такими же. Данное наблюдение объясняет термин "intrinsic volumes", предложенный МакМал-леном [51] и впоследствии переведенный на русский язык как "внутренние объемы". Судаков [11] и Шеве [23], используя последнее свойство, смогли обобщить понятие внутреннего объема на случай бесконечномерного К следующим образом.

Пусть H - бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство. Тогда для произвольного непустого выпуклого множества К С H определим Vk (К), k = 0,1,... , формулой

Vk (К )= sup Vk (К') Е [0, гс], (0.3)

K'CK

где супремум берется по всем конечномерным выпуклым компактным подмножествам К' в К.

Существует совсем немного результатов о внутренних объемах бесконечномерных множеств. Среди них для нас особый интерес будут представлять результаты Судакова [11] и Ци-рельсона [14] о неожиданной и глубокой связи между внутренними объемами выпуклых компактов и гауссовскими процессами. Идеи Судакова и Цирельсона получили дальнейшее развитие и применение в работах [34; 43; 66] и др.

В первой части настоящей работы мы сконцентрируемся на бесконечномерных выпуклых множествах. Будет представлено обобщение теоремы Цирельсона на случай смешанных объемов (см. главу 1), а также будут получены версия теоремы Цирельсона для конических аналогов внутренних объемов и бесконечномерная коническая формула Штейнера (см. главу 2). Вместе с тем будет исследована производящая функция последовательности внутренних объемов бесконечномерного компакта (см. главу 3).

Во второй части диссертации основным объектом изучения является выпуклый решетчатый многогранник P С Rd, определяемый как выпуклая оболочка конечного множества точек целочисленной решетки Zd. Для таких многогранников мы введем и исследуем дискретные аналоги внутренних объемов, которые аппроксимируют Vk(nP) при больших п. Также мы рассмотрим понятие валюации Грассмана - функции, интересным образом обобщающей дискретный объем (см. главу 4).

Ввиду некоторого разнообразия рассматриваемых вопросов, каждая из глав также имеет свое собственное подробное введение, дублировать которое в данном разделе смысла нет.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью работы является исследование внутренних и смешанных объемов выпуклых компактов, их конических аналогов, а также их связи с гауссовскими процессами.

Были решены следующие задачи:

1. Изучение свойств смешанных объемов бесконечномерных компактов и обобщение теоремы Цирельсона на случай смешанных объемов.

2. Исследование аналогов внутренних объемов для выпуклых конусов, а также получение конической версии теоремы Цирельсона и бесконечномерной конической формулы Штей-нера.

3. Анализ производящей функции последовательности внутренних объемов бесконечномерного компакта и их концентрации.

4. Введение и изучение дискретных аналогов внутренних объемов и обобщений дискретного объема для решетчатых многогранников.

Основные положения, выносимые на защиту, и краткое содержание работы.

1. Представлено обобщение теоремы Цирельсона на случай смешанных объемов. Полученная формула верна как для конечномерных, так и для бесконечномерных выпуклых компактов с конечным первым внутренним объемом. Последнее условие предполагается и в оригинальной теореме Цирельсона, оно эквивалентно так называемому GB-свойству (от англ. Gaussian Bounded) выпуклого множества, которое заключается в ограниченности почти наверное траекторий гауссовского изонормального процесса на рассматриваемом множестве. С помощью полученного результата вычислен смешанный объем замкнутых выпуклых оболочек двух ортогональных спиралей Винера, тесно связанных с винеров-ским процессом. Аналогичный результат установлен для смешанного объема замкнутых выпуклых оболочек двух ортогональных спиралей броуновского моста. Кроме того, доказано обобщение известного неравенства Александрова-Фенхеля на бесконечномерные выпуклые компакты. Этим результатам посвящена глава 1.

2. Доказана коническая версия теоремы Цирельсона для так называемых углов Грассма-на бесконечномерных выпуклых конусов. Конечномерный вариант был получен Ф. Гётце, З. Каблучко и Д. Н. Запорожцем [34]. В бесконечномерном случае требуется предполагать

-свойство конуса (по аналогии с оригинальной теоремой Цирельсона), то есть конус должен иметь представление в виде не более чем счетного объединения СВ-множеств. Для конусов в й-мерном пространстве к-й угол Грассмана определяется как вероятность (мера Хаара) нетривиального пересечения конуса со случайным линейным (й — к)-мерным подпространством. Данный объект, впервые описанный Грюнбаумом [36], обобщает известное понятие телесного угла конуса. Свойство независимости углов Грассмана от размерности й объемлющего пространства К (как и в ситуации с внутренними объемами) позволило рассмотреть их обобщение на бесконечномерные конусы. Углы Грассмана представляют собой важные характеристики выпуклого конуса, обладают похожими свойствами с внутренними объемами и поэтому называются их коническими аналогами. Также получено обобщение на бесконечномерные множества результата Гётце, Каблучко и Запорожца о связи углов Грассмана конической оболочки множества с вероятностью поглощения нуля выпуклой оболочкой его гауссовского образа (спектра). Помимо этого, доказана бесконечномерная коническая версия формулы Штейнера, где вместо многочлена возникает ряд с коэффициентами, равными коническим внутренним объемам конуса. Полученный результат, как и теорема Цирельсона, имеет гауссовскую природу и формулируется в терминах изонормального процесса. Преимущество гауссовской версии перед обычной в том, что гауссовскую меру можно рассмотреть на бесконечномерном пространстве, в то время как равномерную - нельзя. Эти результаты изложены в главе 2.

3. В главе 3 исследована производящая функция последовательности внутренних объемов бесконечномерного выпуклого компакта. Ее можно рассматривать как целую функцию и применять к ней методы комплексного анализа. Сильная логарифмическая вогнутость последовательности внутренних объемов позволила изучить основные свойства данной целой функции: найдены оценки на порядок и тип, рассмотрены примеры. Также в главе 3 получен результат о концентрации последовательности внутренних объемов.

4. В главе 4 найдены дискретные аналоги внутренних объемов. В частности, показано, что они аппроксимируют соответствующие внутренние объемы пР при больших натуральных п для решетчатых многогранников Р. Также обнаружено одно обобщение, позволяющее связать два классических подхода к определению дискретного объема: через подсчет количества точек решетки в многограннике и посредством суммирования телесных углов касательных конусов к многограннику в этих точках. Таким обобщением служит сумма по целочисленным точкам введенных в работе модифицированных углов Грассмана многогранника. Изучены свойства этого обобщения и показано, что модифицированное определение грассмановых углов связано с исходным. Причем именно новое понятие, в от-

личие от оригинального, обеспечивает аддитивность обобщающей функции на множестве выпуклых решетчатых многогранников. Кроме того, предложенное определение само по себе удобнее во многих случаях, что также отражено в главе 4.

Методы. В настоящей диссертации используются разнообразные методы выпуклой геометрии, теории вероятностей и математического анализа.

Научная новизна. Основные результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных областях теории вероятностей, выпуклой геометрии и функционального анализа.

Степень достоверности, публикации и апробация результатов. Все полученные в этой диссертационной работе результаты являются математически достоверными фактами. Материалы диссертации опубликованы в статьях [2—5] в рецензируемых журналах, которые входят в список рекомендованных ВАК.

Основные результаты по теме диссертации докладывались на Санкт-Петербургском Городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством академика РАН И. А. Ибрагимова (Санкт-Петербург, октябрь 2021 г., ноябрь 2022 г., ноябрь 2023 г.), на семинаре «Stochastic Analysis and Applications» (Москва, ноябрь 2023 г.), на семинаре «Оптимальное управление и динамические системы» (Москва, декабрь 2024 г.), а также на следующих конференциях:

• Conference «New Trends in Mathematical Stochastics» (Санкт-Петербург, 2021);

• Санкт-Петербургские зимние молодежные конференции по теории вероятностей и математической физике (Санкт-Петербург, 2021, 2022);

• Вторая конференция Математических центров России (Москва, 2022);

• Международная научная конференция «Предельные теоремы теории вероятностей и математической статистики» (Ташкент, 2022);

• Школа-конференция по теории точечных процессов (Суздаль, 2022);

• China-Russia Symposium on Probability (Пекин, 2023);

• Третья конференция Математических центров России (Майкоп, 2023);

• Международная научная студенческая конференция (Новосибирск, 2023);

• Четвертая конференция Математических центров России (Санкт-Петербург, 2024);

• Мини-конференция памяти В. Н. Судакова, посвященная 90-летию со дня его рождения (Санкт-Петербург, 2024);

• Пятая конференция Математических центров России (Красноярск, 2025);

• Дни анализа в Сириусе: аппроксимация, оптимизация, восстановление данных и смежные вопросы (Сириус, 2025);

• Stochastic & Integral Geometry and Related Fields conference (Ереван, 2025).

Личный вклад. Результаты работ [2—4] получены соискателем единолично. Статья [5] выполнена в соавторстве с Д. Н. Запорожцем, который осуществлял общее руководство работой.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 112 страниц текста, включая 1 рисунок. Библиография включает 68 наименований.

Благодарности. Автор выражает благодарность своему научному руководителю, Запорожцу Дмитрию Николаевичу, за ценные советы, постоянную поддержку и помощь на всех этапах работы над диссертацией.

Глава 1. Смешанные объемы бесконечномерных выпуклых компактов

1.1. Введение

1.1.1. Теоремы Судакова и Цирельсона: гауссовское представление внутренних

объемов

Оказалось, что, помимо вышеприведенных во введении определений, у внутренних объемов существует гауссовское представление, которое позволяет изучать их с вероятностной точки зрения. В этом разделе мы сформулируем хорошо известные результаты Судакова и Цирельсона о неожиданной и глубокой связи между внутренними объемами некоторых выпуклых компактов и гауссовскими процессами.

Будем называть центрированный гауссовский случайный процесс (£(k))hen, параметрическим множеством которого является сепарабельное гильбертово пространство H, изонормаль-ным, если его ковариационная функция имеет вид

cov(£(h),£ (g)) = (h,g), (1.1)

где через (•, •) обозначено скалярное произведение на H.

В своей работе [11, предложение 14] Судаков обнаружил связь между первым внутренним объемом и супремумом изонормального процесса.

Теорема 1.1.1 (Судаков). Для выпуклого компакта K С H

Vi(K) = E sup С(h). (1.2)

нем

Позже Цирельсон [14, теорема 6] обобщил теорему 1.1.1. Пусть {^(h): h Е H}, i = 1,..., k, обозначают k независимых копий изонормального процесса. Тогда k-мерный спектр выпуклого компактного множества K С H определяется как случайное множество вида

SpeckK := {(6(h).

Ck(h)): h Е K}С Rk.

Для формулировки результата Цирельсона нам потребуется понятие GB-множества. Подмножество K сепарабельного гильбертова пространства H называется GB-множеством, если существует модификация изонормального процесса с параметрическим множеством K, имеющая ограниченные почти наверное реализации (см. подробные определения и свойства в разделе 1.3). Известно [11, теорема 1], что свойство выпуклого K быть GB-множеством равносильно тому, что V1(K) < то. В последнем случае Vk(K) < то для всех k = 0,1,... (см., главу 3 и [23]).

Теорема 1.1.2 (Цирельсон). Для выпуклого компактного GB-множества K С H и всех k = 0,1,...,

Vk (K) = E Volk (Specfc K). (1.3)

Замечание 1.1.1. В случае, когда K является подмножеством d-мерного линейного пространства H' С H, отождествляя H' и Rd, при k ^ d мы можем переписать последнюю формулу в виде

Vk (K ) = E Volk (AK),

где A - стандартная гауссовская матрица размера k х d (то есть элементы A - независимые стандартные гауссовские случайные величины), SpeckK = AK := {Ax : x E K} С Rk.

Заметим, что в Rd для всех непустых выпуклых компактов V1(K) < то, поэтому в конечномерном случае нет необходимости предполагать GB-свойство, так как оно заведомо выполнено.

Замечание 1.1.2. GB-свойство компакта K в общем случае гарантирует ограниченность и выпуклость почти наверное множества SpeckK (см., например, [6, предложение 14]).

Замечание 1.1.3. Строго говоря, в теореме 1.1.1 нам требуется наличие сепарабельной модификации у процесса £, а в теореме 1.1.2 - так называемой естественной модификации у £ (подробнее см. в пунктах 1.3.3, 1.3.4). Мы покажем, что в условиях теорем 1.1.1, 1.1.2 соответствующие модификации действительно существуют (см. утверждение 1.3.1).

Замечание 1.1.4. Понятно, что Volk в правой части (1.3) можно заменить на Vk: Vk (K) = E Volk (Speck K) = E Vk (SpeCkK).

k!Kk k!Kk

Для n = 0,1,..., нетрудно видеть, что

nWk (SpecnK) = Speck K, (1.4)

где k ^ n, = обозначает равенство по распределению и nWfc (SpecnK) - это ортогональная проекция SpecnK на случайное k-мерное линейное подпространство Wk, выбранное по мере Хаара на грассманиане всех таких подпространств в (во избежание нагромождения обозначений, мы не вводим нового символа для k-мерных подпространств в Rn, ср. (0.2)). Тогда из (1.3),

формулы Куботы (0.2) и (1.4) можно вывести следующее равенство, обобщающее (1.3):

(2п)к/2 (п - к)!

"к(К) = ^—--- Е"к^рес„К).

п!

Также в [14, теорема 5] Цирельсон представил бесконечномерную вероятностную версию формулы Штейнера в терминах изонормального процесса.

Теорема 1.1.3 (Цирельсон). Для выпуклого компактного СВ-множества К С Н

,72л,

Еexp ( sup

Фек

д2 т \ ^ / л \ к

А£(Л) - у

Е(ттЬ) (K), А > 0.

к=0

Замечание 1.1.5. В случае конечномерного множества К последнее выражение имеет еще одну интерпретацию. Для выпуклого компакта К С К рассмотрим сумму

£ (тЪУ "к(К).

Несложно понять (см., например, [38], [66]), что

£ ()'"к(К) = I ^

где ^в^х, К) = Ш{||х — у|| : у € К} - расстояние между х € К и К, || ■ || - евклидова норма. Изонормальный процесс £ (Л) на множестве К С К представляется следующим образом:

а

£(Л) = (А, Л) = £ №.

г=1

Здесь N = (А1,... , - стандартный гауссовский вектор в Тем самым, при А =1 в теореме 1.1.3 имеем

Еехр ( вир >ек

1 а ' (А, Л) — 1 £ Л2

г=1

£( ' "к(К ) = 1 (2^ е-^ <'^х.

Основная цель настоящей главы - получить обобщение теоремы 1.1.2 на случай смешанных объемов, определенных в следующем разделе.

1.1.2. Смешанные объемы

Минковский в 1911 году доказал [54], что для произвольных непустых выпуклых компактов К1,..., К С К функционал Уо1а(А1К1 +... + А5К5) при А1,... , А8 ^ 0 является однородным

многочленом степени й с неотрицательными коэффициентами:

УсЦЛ^ + ... + АзКв) = ^ ■ ■ ■ ^ Лг1... А^,..., ). (1.5)

¿1=1 ¿¿=1

Коэффициенты /(Кг1,... , ) являются однозначно определенными, если предположить, что они симметричны относительно перестановок К^1,... , . Коэффициент (К^1,... , ) называется смешанным объемом К^,..., .

Несложно понять (см., например, [60, раздел 5.1]), что внутренние объемы являются частными случаями смешанных, а именно верна формула

V (К ) = ^ / (К,. у, В). (1.6)

й раз

Теория смешанных объемов находит широкое применение в выпуклой и алгебраической геометрии [1, глава 4], неравенствах [60] и теории гауссовских распределений [42]. Некоторые из свойств смешанных объемов приведены в разделе 1.3.5.

Наиболее общим и известным неравенством между смешанными объемами является неравенство Александрова-Фенхеля (см., например, [60, раздел 7.3]), независимо доказанное Александровым и Фенхелем.

Теорема 1.1.4 (Александров, Фенхель). Пусть К1, К2,..., К - непустые выпуклые компактные множества в Е. Тогда

/2(К1,К2,...,К) ^ /(К1,К1,Кз,...,К^)/(К2,К2,Кз,...,К^). (1.7)

Замечание 1.1.6. Если К1 и К2 гомотетичны, то есть К2 = ЛК1 + х для некоторых Л > 0 и х Е Е или хотя бы один из компактов К1, К2 является одноточечным множеством, то нетрудно показать, что в (1.7) достигается равенство (см. свойства 3, 4 смешанных объемов в разделе 1.3.5). Однако полная классификация случаев равенства до сих пор неизвестна.

Неравенство Александрова-Фенхеля обобщает многие известные неравенства, такие как неравенство Брунна-Минковского, неравенства Минковского, изопериметрические неравенства. За более подробной информацией мы отсылаем читателя к книге Шнайдера [60].

Далее мы сформулируем основные результаты данной главы.

1.2. Основные результаты

1.2.1. Обобщение теоремы Цирельсона

Для того чтобы обобщить теорему 1.1.2 на случай смешанных объемов предварительно зададим изонормальный гауссовский случайный процесс согласно Цирельсону [13].

Рассмотрим линейное топологическое пространство с центрированной гауссовой мерой (Е,7) и его ядро Е0 С Е (определения и свойства см. в разделе 1.3). Поскольку ядро является гильбертовым пространством, то на Е0 задано скалярное произведение, которое мы будем обозначать через (•, •)е0 (оно однозначно определяется мерой 7). Для каждого в Е Е0 линейный функционал (в,п)е0 непрерывен по п Е Ео и имеет единственное (с точностью до совпадения почти всюду) продолжение до линейного измеримого по х Е Е функционала (см. [9, параграф 9, лемма 2] или [22, следствие 2.10.8]), которое мы обозначим через (в,х); причем

/(в,х)27(^х) = ||в||2 = (в,в). (1.8)

,/Е

Тем самым, для всякого множества К С Е0 определен изонормальный гауссовский случайный процесс (в,х), где в Е К, х пробегает пространство Е, наделенное гауссовой мерой 7.

Для формулировки и доказательства основного результата мы будем использовать ядро Е0 в качестве Н и процесс (в, •) в качестве изонормального процесса.

Перепишем теорему 1.1.2 согласно обозначениям этого раздела для дальнейшего удобства. Формула (1.3) для к = 0,1,... , приобретает вид

V* (К ) = / / ... / УоЫЯрефь...^ |К ))7 (¿л) ...7 (^).

к!кк ,/Е </Е ./Е

Здесь К С Е0 - выпуклый СВ-компакт и

Ярее(х1,...,хк |К) := {((в,х:),..., (в,х*)) : в Е К} С

называется совместным спектром для х:,..., хк Е Е на К.

Теперь введем понятие смешанного объема для бесконечномерных выпуклых множеств аналогично (0.3). Пусть К:,... , К - непустые выпуклые подмножества бесконечномерного се-парабельного гильбертова пространства Н. Тогда смешанный объем V(К:,...,К^) множеств ,..., К определяется как

V(К1,...,Кк)= 8пр ^г(К1 ,...,Кк,Б*, Б^), (1.9)

й-к раз

где супремум берется по всем d ^ к и всем конечномерным выпуклым компактным подмноже-

ствам Kj С Kj, dim Kj ^ d, i = 1,..., k.

Замечание 1.2.1. Нормировка в формуле (1.9) подобрана так, чтобы для K таких, что dim Kj ^ d, правая часть (1.9) не зависела от d, как и в выражении для внутреннего объема через смешанный (1.6). Поэтому определение V(K,..., Kk) корректно.

Доказательство замечания 1.2.1 можно найти в разделе 1.4.1.

Замечание 1.2.2. Автору этой диссертации известен только один источник [1, глава 4, параграф 9.9], где упоминается возможное обобщение понятия смешанного объема на случай бесконечномерных множеств. Однако приведенная там нормировка ошибочна, так как для конечномерных множеств определение зависит от размерности d объемлющего пространства.

Все готово для формулировки основного результата данной главы.

Теорема 1.2.1. Пусть k Е N фиксировано. Для выпуклых GB-компактов K С E0, i = 1,..., k, имеем

Замечание 1.2.3. СВ-свойство множеств К обеспечивает ограниченность (и выпуклость) почти наверное множеств Spec(x1,..., |К^).

Замечание 1.2.4. Как упоминалось во введении к данной главе (см. замечание 1.1.1), в случае,

выполняется и его не нужно предполагать.

Замечание 1.2.5. Любое сепарабельное гильбертово пространство Н является ядром Ео некоторого пространства с гауссовой мерой (В,7), см., например, [35], [62]. Поэтому теорема 1.2.1 верна для всех сепарабельных гильбертовых пространств.

Доказательство теоремы 1.2.1 приведено в разделе 1.4.2.

1.2.2. Примеры вычисления смешанных объемов бесконечномерных выпуклых

компактов

Дадим для начала определение введенной Колмогоровым спирали Винера, являющейся важным объектом функционального анализа [7]. Множество функций

когда Kj С i = 1,...,k, имеем Vi(Kj) < то. Следовательно, GB-свойство автоматически

S := {1 [o,t](■): t Е [0,1]}С L2[0,1]

называется спиралью Винера.

Напомним, что выпуклой оболочкой множества Е называется наименьшее выпуклое множество, содержащее Е.

Гао и Витале [33] вычислили внутренние объемы замкнутой выпуклой оболочки К спирали Винера (известно, что К - компактное подмножество Ь2[0,1]):

К Пк/2

Ук (К) = Кк = (кП Л . (1.10)

п ; к! Г (к + 1) к! ^ ;

Вероятно, это был первый результат, который давал формулу для внутренних объемов нетривиального бесконечномерного выпуклого компакта в явном виде. В частности, из (1.10) следует, что 11 (К) < то, поэтому К является СВ-множеством (см. теорему 1.3.3 в пункте 1.3.4). Позже аналогичные результаты появились и для других бесконечномерных выпуклых компактов [43].

Неудивительно, что спираль Винера тесно связана с классическим винеровским процессом. Пусть {Ш(£): £ ^ 0} - стандартное броуновское движение. Рассмотрим двумерное стандартное броуновское движение

{X(2)(£) = (Ж1(£),Ж2(£)): £ ^ 0},

где Ж1(£),Ж2(£) - независимые копии Ш(£). Глядя на определение спирали Винера и свойство (1.1) изонормального процесса, мы видим, что Spec2K по распределению совпадает с выпуклой оболочкой двумерного броуновского движения {X(|)(£): £ Е [0,1]}. Пусть в Ь2[0, 2] заданы две спирали Винера $1 и $|:

= {1 [о>4](-): £ Е [0,1]} С Ь2[0, 2], $2 = и[1+*,2]0: £ Е [0,1]} С Ь2[0, 2].

Соответствующие им замкнутые выпуклые оболочки обозначим через К1 и К2. В нашей следующей теореме мы вычисляем У(К1,К2).

Теорема 1.2.2. Для замкнутых выпуклых оболочек К1 и К2 двух ортогональных спиралей Винера имеем

У (К1 ,К|) = 2.

В доказательстве теоремы 1.2.2 используется теорема 1.2.1 (см. раздел 1.4.3).

Помимо спирали Винера, подобным образом можно рассмотреть спираль броуновского моста

£:= {1 [о>4](-) - £: £ Е [0, 1]}С Ь2[0, 1].

В работе [32] посчитаны внутренние объемы замкнутой выпуклой оболочки К спирали броуновского моста:

п(к+1)/2

Ук(к) = Кк+1 = Пк, з-

2к! 2Г (| + |) к!

Множество K является GB-компактом по тем же соображениям, что и K.

Название спирали броуновского моста также неслучайно. Несложно понять, что Spec2K по распределению совпадает с выпуклой оболочкой двумерного броуновского моста

{X(2)(t) = (Wi(t) - tWi(1), W2(t) - tW2(1)): t G [0,1]}.

Рассмотрим в L2[0, 2] две спирали броуновского моста ¿i и ¿2:

¿i = {^[0,t](-) - t)l[0,1](■): t G [0,1]} С L2[0, 2], ¿2 = {a[i+t,2](') - t)l[1,2](■): t G [0,1]} С L2[0, 2].

Пусть К и K2 - их замкнутые выпуклые оболочки. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.2.3. Для замкнутых выпуклых оболочек К и К2 двух ортогональных спиралей броуновского моста имеем

о о П2

V (Ki,K2) = у.

Теорема 1.2.3 доказывается аналогично теореме 1.2.2, см. раздел 1.4.4.

1.2.3. Неравенство Александрова—Фенхеля

В этом разделе представлено обобщение неравенства Александрова-Фенхеля на случай смешанных объемов бесконечномерных выпуклых компактов.

Теорема 1.2.4. Пусть Ki, К2,..., Kk - непустые выпуклые компакты в H. Тогда

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Досполова Мария Каиржановна, 2026 год

Список литературы

1. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Геометрические неравенства. — Наука, 1980.

2. Досполова М. К. Дискретные внутренние объемы и валюации Грассмана // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2021. — Т. 505. — С. 94—137.

3. Досполова М. К. Смешанный объем бесконечномерных выпуклых компактов // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2022. — Т. 510. — С. 98—123.

4. Досполова М. К. Углы Грассмана бесконечномерных конусов // Зап. научн. сем. ПОМИ. -2023. — Т. 525. — С. 51—70.

5. Досполова М. К., Запорожец Д. Н. Бесконечномерная коническая формула Штейнера // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2024. — Т. 535. — С. 105—119.

6. Запорожец Д. Н. Нули случайных полиномов, распределение алгебраических чисел и выпуклые оболочки случайных процессов. — Докторская диссертация, С.-Петерб. отд-ние Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН, 2017.

7. Колмогоров А. Н. Математика и механика: избранные труды. — Наука, 1985.

8. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. — Москва : Гостехиздат, 1956.

9. Лифшиц М. А. Гауссовские случайные функции. — Издательство ТВиМС, Киев, 1995.

10. Лифшиц М. А. Лекции по гауссовским процессам. — Издательство Лань, 2016.

11. Судаков В. Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений // Труды МИАН. — 1976. — Т. 141. — С. 3—191.

12. Цирельсон Б. С. Естественная модификация случайного процесса и ее приложение к случайным функциональным рядам и гауссовским мерам // Зап. научн. сем. ЛОМИ. — 1976. — Т. 55. — С. 35—63.

13. Цирельсон Б. С. Геометрический подход к оценке максимального правдоподобия для бесконечномерного гауссовского сдвига. I // Теория вероятн. и ее примен. — 1982. — Т. 27, № 2. — С. 388—395.

14. Цирельсон Б. С. Геометрический подход к оценке максимального правдоподобия для бесконечномерного гауссовского сдвига. II // Теория вероятн. и ее примен. — 1985. — Т. 30, № 4. — С. 772—779.

15. Allendoerfer C. B. Steiner's formulae on a general Sn+1 // Bull. Amer. Math. Soc. — 1948. — Vol. 54. — P. 128-135.

16. Amelunxen D., Lotz M. Intrinsic volumes of polyhedral cones: a combinatorial perspective // Discrete Comput. Geom. — 2017. — Vol. 58, no. 2. — P. 371-409.

17. Bateman H. Higher transcendental functions. Vol. I. — 1953. — New York: McGraw-Hill Book Company, New York.

18. Beck M., Robins S. Computing the continuous discretely. — Springer, New York, 2015. -(Undergrad. Texts Math). — Integer-point enumeration in polyhedra, with illustrations by David Austin.

19. Beck M., Robins S., Sam S. V. Positivity theorems for solid-angle polynomials // Beitr. Algebra Geom. — 2010. — Vol. 51, no. 2. — P. 493-507.

20. Beghin L., Orsingher E. On the maximum of the generalized Brownian bridge // Lith. Math. J. — 1999. — Vol. 39. — P. 157-167.

21. Blaschke W. Eine Frage über konvexe Körper. // Jahresher. Deutsch. Math-Verein. —1916. — Vol. 25. — P. 121-125.

22. Bogachev V. I. Gaussian measures. Vol. 62. — American Mathematical Society, Providence, RI, 1998. — (Math. Surveys Monogr.)

23. Chevet S. Processus Gaussiens et volumes mixtes // Z. für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete. — 1976. — Vol. 36, no. 1. — P. 47-65.

24. Clark P. Geometry of numbers with applications to number theory // Lecture notes, available at www.math.uga/edu/pete/geometryofnumbers.pdf. — 2013.

25. Concentration of the Intrinsic Volumes of a Convex Body / M. Lotz [et al.] // Geometric Aspects of Functional Analysis: Israel Seminar (GAFA) 2017-2019. Vol. 2256/2266 / ed. by B. Klartag, E. Milman. — Cham : Springer, 2020. — P. 139-167. — (Lecture Notes in Mathematics).

26. Dudley R. M. The sizes of compact subsets of Hilbert space and continuity of Gaussian processes // J. Funct. Anal. — 1967. — Vol. 1, no. 3. — P. 290-330.

27. Ehrhart E. Demonstration de la loi de réciprocite pour un polyedre entier // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B. — 1967. — Vol. 265. — A5-A7.

28. Ehrhart E. Sur un probleme de geometrie diophantienne linéaire. II. Systemes diophantiens linéaires // J. Reine Angew. Math. — 1967. — Vol. 227. — P. 25-49.

29. El Bachir M. L'enveloppe convexe du mouvement brownien : PhD thesis / El Bachir M. — 1983.

30. Favard J. Sur les corps convexes. // J. Math. Pures Appl. — 1933. — Vol. 12, no. 9. — P. 219-282.

31. Feller W. An introduction to probability theory and its applications. Vol. II. — John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney, 1971.

32. Gao F. The mean of a maximum likelihood estimator associated with the Brownian bridge // Electron. Commun. Probab. — 2003. — Vol. 8. — P. 1-5.

33. Gao F., Vitale R. A. Intrinsic volumes of the Brownian motion body // Discrete Comput. Geom. — 2001. — Vol. 26, no. 1. — P. 41-50.

34. Götze F., Kabluchko Z., Zaporozhets D. N. Grassmann angles and absorption probabilities of Gaussian convex hulls // Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI). — 2021. — Vol. 501, Veroyatnost i Statistika. 30. — P. 126-148.

35. Gross L. Abstract Wiener spaces // Proc. 5th Berkeley Symp. Math. Stat. Prob. — 1967. -Vol. 2. — P. 31-42.

36. GrUnbaum B. Grassmann angles of convex polytopes // Acta Math. — 1968. — Vol. 121. — P. 293-302.

37. Hadwiger H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. — Berlin : Springer, 1957.

38. Hadwiger H. Das Wills'sche Funktional // Monatsh. Math. — 1975. — Vol. 79. — P. 213-221.

39. Herglotz G. Uber die Steinersche Formel fur Parallelflachen // Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. — 1943. — Vol. 15. — P. 165-177.

40. Hernandez Cifre M. A., Yepes Nicolas J. On the roots of the Wills functional //J. Math. Anal. Appl. — 2013. — Vol. 401, no. 2. — P. 733-742.

41. Jochemko K., Sanyal R. Combinatorial positivity of translation-invariant valuations and a discrete Hadwiger theorem // J. Eur. Math. Soc. (JEMS). — 2018. — Vol. 20, no. 9.

P. 2181-2208.

42. Kabluchko Z., Zaporozhets D. N. Random determinants, mixed volumes of ellipsoids, and zeros of Gaussian random fields // J. Math. Sci. — 2014. — Vol. 199, no. 2. — P. 168-173.

43. Kabluchko Z., Zaporozhets D. N. Intrinsic volumes of Sobolev balls with applications to Brownian convex hulls // Trans. Amer. Math. Soc. — 2016. — Vol. 368, no. 12. — P. 8873-8899.

44. Klain D. A., Rota G.-C. Introduction to geometric probability. — Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

45. Lawrence J. A short proof of Euler's relation for convex polytopes // Canad. Math. Bull. — 1997. — Vol. 40, no. 4. — P. 471-474.

46. Lotz M., Tropp J. A. Sharp phase transitions in Euclidean integral geometry // arXiv preprint arXiv:2208.13919. — 2022.

47. Macdonald I. G. The volume of a lattice polyhedron // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1963. — Vol. 59. — P. 719-726.

48. Macdonald I. G. Polynomials associated with finite cell-complexes // J. Lond. Math. Soc. (2). — 1971. — Vol. 4. — P. 181-192.

49. Majumdar S. N., Comtet A., Randon-Furling J. Random Convex Hulls and Extreme Value Statistics // J. Stat. Phys. — 2010. — Vol. 138, no. 6. — P. 955-1009.

50. McCoy M. B., Tropp J. A. From Steiner formulas for cones to concentration of intrinsic volumes // Discrete Comput. Geom. — 2014. — Vol. 51, no. 4. — P. 926-963.

51. McMullen P. Non-linear angle-sum relations for polyhedral cones and polytopes // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. — 1975. — Vol. 78, no. 2. — P. 247-261.

52. McMullen P. Valuations and Euler-type relations on certain classes of convex polytopes // Proc. Lond. Math. Soc. (3). — 1977. — Vol. 35, no. 1. — P. 113-135.

53. McMullen P. Inequalities between intrinsic volumes // Monatsh. Math. — 1991. — Vol. 111, no. 1. — P. 47-53.

54. Minkowski H. Theorie der konvexen Körper, insbesondere Begründung ihres Oberflachenbegriffs // Gesammelte Abhandlungen. — 1911. — Vol. 2. — P. 131-229.

55. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. — Springer, Berlin, 2006. — (Probab. Appl.)

56. Reeve J. E. On the volume of lattice polyhedra // Proc. Lond. Math. Soc. (3). — 1957. -Vol. 7. — P. 378-395.

57. Reeve J. E. A further note on the volume of lattice polyhedra // J. Lond. Math. Soc. — 1959. — Vol. 34. — P. 57-62.

58. Sangwine-Yager J. R. The missing boundary of the Blaschke diagram // Amer. Math. Monthly. — 1989. — Vol. 96, no. 3. — P. 233-237.

59. Santaló L. A. Integral Geometry and Geometric Probability. Vol. 1. — Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Amsterdam, 1976. — (Encyclopedia Math. Appl.)

60. Schneider R. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. Vol. 151. — Expanded. — Cambridge University Press, Cambridge, 2014. — (Encyclopedia Math. Appl.)

61. Schneider R., Weil W. Stochastic and integral geometry. — Springer-Verlag, Berlin, 2008. — (Probab. Appl. (N. Y.))

62. Sheffield S. Gaussian free fields for mathematicians // Probab. Theory Related Fields. 2007. — Vol. 139, no. 3. — P. 521-541.

63. Stanley R. Decompositions of rational convex polytopes // Ann. Discrete Math. — 1980. — Vol. 6. — P. 333-342.

64. Stanley R. A monotonicity property of h-vectors and h*-vectors // European J. Combin. — 1993. — Vol. 14, no. 3. — P. 251-258.

65. Steiner J. Uber parallele Flachen // Monatsber. Preuß. Akad. Wiss. — 1840. — P. 114118. — Ges Werke, vol. 2, pp. 171-176, Reimer, Berlin, 1882.

66. Vitale R. A. Convex bodies and Gaussian processes // Image Anal. Stereol. — 2010. — Vol. 29, no. 1. — P. 13-18.

67. Weyl H. On the volume of tubes // Amer. J. Math. — 1939. — Vol. 61, no. 2. — P. 461-472.

68. Wills J. M. Zur Gitterpunktanzahl konvexer Mengen // Elem. Math. — 1973. — Vol. 28. — P. 57-63.