Вопросы численной реализации метода последовательных возмущений параметров при расчете оболочечных конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Шабанов, Леонид Евгеньевич

• Шабанов, Леонид Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шабанов, Леонид Евгеньевич

Введение

Глава I. Улучшение сходимости метода последовательных 11 возмущений параметров

§1.1. Метод последовательных возмущений параметров и вопросы 12 (»• сходимости этого метода в области устойчивости параметров

§1.2. Модифицированный метод последовательных возмущений параметров и алгоритм численной реализации этого метода. Примеры расчета оболочечных конструкций ф

Глава II. Определение границ эффективного применения метода последовательных возмущений параметров

§2.1. Локальная и глобальная потери устойчивости, влияние 42 локальной потери устойчивости на определение критических значений параметров

§2.2. Спектральный критерий локальной потери устойчивости 45 прямоугольной в плане оболочечных конструкций в статическом случае

§2.2.1. Операторный подход в задаче потери устойчивости 45 оболочечных конструкций

§2.2.2. Спектральный критерий локальной потери устойчивости в 51 статическом случае

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вопросы численной реализации метода последовательных возмущений параметров при расчете оболочечных конструкций»

Актуальность темы. Известный метод В.В.Петрова - метод последовательных возмущений параметров дает эффективную численную схему Эйлера применительно к нелинейным уравнениям механики. Этот метод нашел широкое применение при численном расчете напряженно-деформированного состояния, прочности, устойчивости и долговечности конструкций, эксплуатирующихся в условиях не только воздействующих нагрузок, но и воздействия агрессивных сред. Основные положения этого метода были заложены ещё в начале 50 годов [30]. Позднее [28] метод окончательно приобрел ту форму, в которой он известен в настоящее время, как метод последовательных нагружений. С начала 70-х годов этот метод получил дальнейшее развитие в работах В.В.Петрова [29] и его учеников [33], [16], [32], [31] и стал называться методом последовательных возмущений параметров (МПВП). Нужно отметить, что в отличие от известного метода В.И.Шалашилина - метода продолжения решения по параметру [6], [38], в методе В.В.Петрова рассматривается линеаризация по тем параметрам, малое изменение которых ведет к малому изменению прогиба.

Этот метод обладает рядом преимуществ перед другими шаговыми методами при расчете оболочечных конструкций. Но у него есть и свои недостатки. Во-первых, как показано в работе В.Н.Кузнецова [17] метод последовательных возмущений параметров имеет первый порядок сходимости. Таким образом, с увеличением точности вычисления значительно возрастает время счета. Во-вторых, метод последовательных возмущений параметров работает в области устойчивости параметров. Без каких-либо изменений метод перестает работать в закритической области. Наконец, в окрестности критических нагрузок возникает локальная потеря устойчивости, т.е. потеря устойчивости в достаточно малых окрестностях отдельных точек, что влияет на точность результатов этого метода. Отметим, что это характерно для любого метода и связано с большой погрешностью применения первоначальной модели на этом этапе. Поэтому при расчете оболочечных конструкций методом последовательных возмущений параметров, прежде всего, встают следующие 2 задачи. Первая из них связана с улучшением сходимости этого метода. Вторая связана с определением таких параметров, при которых наблюдается локальная потеря устойчивости.

Исследованию и решению этих вопросов и посвящена данная диссертационная работа.

Нужно отметить, что вопросы модификации МПВП с целью улучшения его сходимости предпринимались многими авторами. Так в своих работах [11], [12], [13] В.В.Карпов получил модификацию этого метода в форме, отражающей численную реализацию схемы Рунге-Кута, которая нашла свое применение в более поздних работах В.В.Карпова [7], [9], [10]. Такая модификация позволяет улучшить сходимость МПВП, но имеет сравнительно сложную реализацию. Наиболее эффективной в смысле скорости сходимости модификацией МПВП можно считать шагово - вариационный метод В.И.Шалашилина [20]. Но численная реализация метода В.И.Шалашилина требует больших временных затрат.

В 2001 году В.В.Петров предложил очень простую модификацию этого метода, дающую хорошую сходимость, и поставил задачу обоснования и определения сходимости предложенной им модификации МПВП.

В связи с решением этой задачи автор пришел к новой модификации МПВП, в основе которой лежит принцип минимальности потенциальной энергии [37]. Отметим, что эта модификация МПВП вбирает в себя как идею усреднения В.В.Петрова, так и подход В.И.Шалашилина относительно оптимизации на каждом шаге функционала энергии, но на более простом уровне. Вопросы численной реализации такой модификации МПВП исследуются в данной работе.

Нужно сказать, что и задача определения параметров, при которых происходит локальная потеря устойчивости, также является не новой. Ею занимались многие авторы. Наиболее полную картину по этому вопросу можно найти в монографии П.Е.Товстика [35]. Следует отметить, что исследования носили чисто теоретический характер. Не было численной схемы, которая позволяла бы эффективно определять точки, в окрестности которых происходит локальная потеря устойчивости. Впервые такая численная схема, основанная на спектральном критерии устойчивости, полученная автором в работах [19], [22], приводится в данной работе.

Остановимся более подробно на задаче определения параметров, при которых происходит локальная потеря устойчивости в отдельных точках оболочечных конструкций. Отдельные точки могут сливаться в отдельные линии. Малые изменения функции прогиба W(x,y) в окрестностях отдельных точек не удается определить обычными численными методами. Такие малые изменения должны отражаться в краевых условиях модельной задачи. Известно [14], [1], что, если не учитывать эти малые изменения в модельной задаче, то это приводит к значительной ошибке (до 10%) расчетных данных от данных, отражающих реальное поведение оболочечных конструкций. Поэтому возникает необходимость в сравнительно простой вычислительной схеме, позволяющей определять точки локальной потери устойчивости.

Отметим, что решение этой задачи позволяет не только определить границы эффективного применения МПВП, но позволяет определить и моменты времени, при которых происходит динамическая потеря устойчивости «в большом» оболочечных конструкций.

Отметим, что определение момента времени, при котором происходит «прощёлкивание» оболочки, является не простой задачей, и её решение численными методами требует применения сложной вычислительной схемы, что связано с большими временными затратами. Дело в том, что потерю динамической устойчивости, как правило, стараются определить исходя из траектории отдельных точек оболочечных конструкций. При потере устойчивости на самом деле происходит разрыв траектории. Но применение численных методов сглаживает этот процесс. Поэтому по траектории точки нельзя сказать: отражает ли данный процесс потерю устойчивости или это обычный колебательный процесс. Достаточно сказать, что в настоящее время существует большое количество различных критериев динамической потери устойчивости [2], [4], [5], но реализация каждого из этих критериев требует большие затраты времени.

Определение моментов времени, при которых происходит локальная потеря устойчивости, позволяет определить и время, при котором происходит потеря устойчивости «в большом». Действительно, глобальной потере устойчивости предшествует локальная потеря устойчивости в отдельных точках. Наличие точек локальной потери устойчивости позволяет говорить о том, что в момент времени, который соответствует экстремальной точке на графике, и вблизи которой наблюдаются точки локальной потери устойчивости, происходит динамическая потеря устойчивости.

Всё сказанное выше указывает на актуальность данной тематики.

Цель настоящей работы заключается в том, чтобы:

1) Получить простую в реализации вычислительную схему, позволяющую существенно улучшить сходимость метода последовательных возмущений параметров - как в статическом, так и в динамическом случае.

2) Для достаточно широкого класса математических моделей в статическом случае разработать метод определения параметров, при которых происходит "локальная" потеря устойчивости оболочечных конструкций.

3) Разработать вычислительный алгоритм, как в статическом, так и в динамическом случаях, для нахождения точных границ параметров эффективного применения МПВП в рамках рассматриваемой модели.

4) Разработать пакет программ, реализующих предложенные автором алгоритмы улучшения сходимости МПВП и определения границ параметров эффективного применения этого метода.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Получена простая в реализации вычислительная схема, позволяющую существенно улучшить (на порядок во временном исчислении) сходимость метода последовательных возмущений параметров - как в статическом, так и в динамическом случае.

2) Для достаточно широкого класса математических моделей в статическом случае теоретически разработан и математически обоснован новый спектральный метод определения параметров, при которых происходит "локальная" потеря устойчивости оболочечных конструкций.

3) Разработан вычислительный алгоритм, реализующий спектральный метод, как в статическом, так и в динамическом случаях, для того, чтобы найти точные границы параметров эффективного применения МПВП в рамках рассматриваемой модели.

4) Создан пакет программ, реализующих предложенные автором алгоритмы улучшения сходимости МПВП и определения границ параметров эффективного применения этого метода.

Объем и структура работы: Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Ее объем составляет 102 страницы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Шабанов, Леонид Евгеньевич

Выводы по третьей главе диссертации В данной главе разработан алгоритм численной реализации спектрального критерия локальной потери устойчивости. Приведены примеры использования данного алгоритма при решении дифференциальных уравнений модели Кармана для цилиндрических панелей. В качестве примера было показано появление и развитие точек локальной потери устойчивости для панелей разной кривизны. Задача совершенствования моделей в процессе нагружения с учетом локальной потери устойчивости выходит за рамки данной работы.

Заключение. Выводы по диссертации

1. Предложена простая в реализации вычислительная схема, позволяющая существенно улучшить сходимость метода последовательных возмущений параметров - как в статическом, так и в динамическом случае. В основе данной схемы лежит принцип минимальности потенциальной энергии. В сравнении с известными модификациями МПВП для получения решений с одинаковой точностью затраты по времени уменьшились в 5 раз.

2. Для достаточно широкого класса математических моделей в статическом случае разработан спектральный метод определения параметров, при которых происходит "локальная" потеря устойчивости оболочечных конструкций.

3. В рамках рассматриваемой модели разработан вычислительный алгоритм в статическом и в динамическом случаях для получения точной границы параметров эффективного применения МПВП.

4. Разработан пакет программ, реализующих предложенные автором алгоритмы улучшения сходимости МПВП и определения границ параметров для эффективного применения этого метода.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шабанов, Леонид Евгеньевич, 2005 год

1. Л 1. Болдырева Н.А. Устойчивость несовершенных цилиндрическихоболочек при неравномерном нагружении. Дисс. на соиск. уч. степени канд. тех. наук. Саратов, 2002.

2. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.:1. Гостехиздат, 1956. 381 с.

3. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // Прикладная математика и механика. 1944. №2. С.44-59.

4. Щ 4. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.- 982 с.

5. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. -359 с.

6. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформированного тела. М.: Наука, 1988.-232 с.

7. Игнатьев О.В., Карпов В.В., Филатов В.Н. Вариационно -параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато -переменной толщины. Волгоград: ВолгГАСА, 2001. - 210 с.

8. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука,1977.-741 с.

9. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. М.: Изд-во АСВ. 1999. - 154 с.

10. Карпов В.В. Метод последовательного наращивания ребер и его применения к расчету оболочек ступенчато переменной толщины // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте. - М.:

11. Транспорт, 1990. С.162- 167.щ

12. Карпов В.В. Модификации метода последовательного нагружения и их приложения к расчету гибких пластин и оболочек под действием нагрузок и температуры. Дисс. на соиск. уч. степени канд.тех.наук. -Саратов. 1973.

13. Карпов В.В. Применение процедуры Рунге Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек // Расчет пространственных систем в строительной механике. - Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1972. С.З - 7.

14. Карпов В.В., Петров В.В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластин и оболочек // Изд-во АН СССР Сер. МТТ. 1975. №5. С.189 191.

15. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. - 320 с.

16. Кузнецов В.В., Петров В.В. Использование метода возмущенной области интегрирования при решении нелинейных краевых задач теории гибких пластин и оболочек.// Изв. АН СССР. МТТ. 1985. №2. С.176 178.

17. Кузнецов В.Н. Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций. Дисс. на соиск. уч. степени д.т.н. Саратов, 2000.

18. Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А., Чумакова С.В. Операторные методы в нелинейной механике // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып.1. С.70 80.

19. Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А., Шабанов J1.E. Операторный подход в задаче статической потери устойчивости оболочечных конструкций //

20. Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу исмежным вопросам: межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып.1. С.59 69.

21. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши для механических систем » с конечным числом степеней свободы как задача продолжения по I наилучшему параметру // ПММ, 1994, т.58, вып. 6, С. 14 21.

22. Кузнецова С.В. Операторный подход в геометрически нелинейной задаче устойчивости изотропных оболочек под действием продольных

23. Щ нагрузок. Диссер. на соискание уч. степени к.т.н. Саратов, 1998.

24. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач -М.: Мир, 1972.-587 с.

25. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -М.: Наука, 1965.-520 с.

26. Михлин Г.С. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1966.-510 с.

27. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -^ Казань: Таткнигиздат, 1957. 471 с.

28. Петров В.В. Метод последовательного нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Диссер. на соискание уч. степени д.т.н. Москва,1969.

29. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. - 118 с.

30. Петров В.В. Некоторые вопросы расчета пологих оболочек при л конечных прогибах. Диссер. на соискание уч. степени канд.тех.наук. -t Москва, 1959.

31. Петров В.В., Овчиников И.Г., Иноземцев В.К. Деформирование элементов конструкций из нелинейного равномодульного неоднородного материала. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988.-160 с.

32. Петров В.В., Овчиников И.Г., Шихов Ю.М. Расчет элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. - 173 с.

33. Петров В.В., Овчиников И.Г., Ярославский В.И. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 133 с.

34. Соболев C.JI. Приближение функционального анализа к математической физике. Л.: Наука, 1950. - 320 с.

35. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. М.: Наука, 1995. - 320 с.1 36. Чумакова С.В., Шабанов Л.Е. К вопросу существования и

36. ЦЁ> единственности решения модели Тимошенко// Труды девятоймежвузовской конференции по математическому моделированию и краевым задачам. Самара: Изд-во СамГТУ, 2002. С.96 - 97.

37. Шалашилин В.И. Метод продолжения решения по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки // Изд-во АН СССР. МТТ. 1979. №4. С.178 184.

38. K.Marguerre, Die mittragende Breite des gedruckten Plattenstreifens, Luftfahrforschung 14, №3 (1937) (перевод в сб. переводов под ред. А.А.Уманского, Оборонгиз, Москва. 1938).