Вопросы качественной теории уравнений одномерного движения вязкого газа при наличии свободных границ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Нгуен Жа Бао

• Нгуен Жа Бао
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нгуен Жа Бао

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. СВОЙСТВА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО БАРОТРОПНОГО ГАЗА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

§1. Начально-краевая задача со свободной границей. Свойства решения при немонотонной функции состояния.

§2. Стационарная задача.

§3. Стабилизация решения при убывающей функции состояния.

§4. Свойства решения задачи с двумя свободными границами.

§5. Стабилизация решения при убывающей функции состояния в задаче с двумя свободными границами.

Глава 2. РАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ И СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ СИММЕТРИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО БАРОТРОПНОГО ГАЗА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

§1. Начально-краевая задача. Вспомогательные утверждения.

§2. Свойства решения при немонотонной функции состояния.

§3. Стационарная задача.

§4. Свойства решения при убывающей функции состояния.

§5. Свойства производной решения при убывающей функции состояния.

Глава 3. РАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ И СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧИ СИММЕТРИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

§ 1. Обозначения и вспомогательные сведения.

§2. Специальная разностная схема. Свойства при немонотонной функции состояния.

§3.Стационарная разностная задача.

§4.Свойства решений разностной схемы при убывающей функции состояния.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вопросы качественной теории уравнений одномерного движения вязкого газа при наличии свободных границ»

- Квазилинейные уравнения механики сплошной среды представляют собой важный и интересный объект современной теории дифференциальных уравнений. Это обусловлено их широким применением в физике, механике и технике. В число таких уравнений входят различные системы уравнений движения вязкого газа (иначе говоря, сжимаемой жидкости) [7]. Разнообразные вопросы теории этих систем активно изучаются в последние десятилетия как в России, так и во Франции, Италии, Германии, США, Японии, Китае и других странах. Это вопросы существования, единственности, регулярности решений, а также вопросы об оценках решений и их асимптотическом поведении, в частности, при неограниченном возрастании времени (т.е. при i->+<»). Соответствующие результаты представляет наибольший интерес тогда, когда они получены «в большом» по данным.

К настоящему времени такие результаты «в большом» доказаны в основном для случая уравнений с одной пространственной переменной (т.е. уравнений одномерного движения). Первые результаты о равномерных по t оценках решений и их глобальной стабилизации при t -> +00 установили для модели баротропного газа Я.И.Канель [24] (задача Коши), A.B. Кажихов [23], В.В.Шелухин [28,29] (начально-краевые задачи). В дальнейшем для моделей баротропного и теплопроводного газа подобные вопросы изучали A.B. Кажихов [7], P.Secchi и A.Valli [42], A.Valli [45,46], T.Nishida [40], T.Nagasawa [38,39], I.Straskraba и A.Valli [44], H.Beiräo da Veiga [31,32], В.А.Вайгант [9,10], А.А.Злотник [12—16],

A.Matsumura [34], M.Okada, T.Makino и S.Matusu-Necasova [41,36,37], I.StraSkraba [43], A.Matsumura и S.Yanagi [35], S Jiang [33], S.Yanagi [47] и др. В перечисленных работах рассмотрены уже не только уравнения движения с плоской, но и с цилиндрической или сферической симметрией. В уравнениях стала учитываться массовая сила. Кроме задач о движении газа в замкнутом фиксированном объеме, исследовались задачи со свободными границами, когда газ находится в замкнутом, но не фиксированном объеме, граница которого (или ее часть) движется по а priori неизвестному закону.

Одновременно выявились многие трудные вопросы, которые пока

ПР остались открытыми. Так, не удавалось в полной мере изучить задачи со свободными границами — с "большими" начальными данными и при наличии "большой" массовой силы (даже в случае плоской симметрии). Попытка восполнить этот пробел для модели баротропного газа, причем как в случае плоской, так и более сложной симметрии, составляет основное содержание (гл. 1 и 2) данной диссертации. При этом развивается на случай свободных границ техника работы А.А.Злотника [12].

Разработка и исследование "в большом" численных методов решения уравнений движения вязкого газа также является важной проблемой. Для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа такое исследование разностных методов было дано А.А.Амосовым и А.А.Злотником [1—3] (см. также Б.Р.Рысбаев, Ш.Смагулов [27]). На случай .уравнений осесимметричного движения часть их результатов перенес А.Штиконас [30]. Перечисленные работы связаны с изучением разностных решений на произвольном, но конечном отрезке времени. Исследование решений при всех t> 0 было дано А.А.Злотником и

А.А.Амосовым [17] и А.А.Злотником [11,48] для задач о движении в фиксированном объеме. Возможность перенесения техники исследования с дифференциального случая на разностный играет принципиальную роль для теории разностных методов и отнюдь не всегда реализуема. В гл. 3 диссертации это сделано для задачи симметрического движения со свободной границей (изученной в гл.2) и (обобщенного) разностного метода ее решения из [30]. При этом существенную роль сыграли построения работы [48], где дана разностная версия техники работы [12].

Изложим основные результаты диссертации.

В главе 1 исследуются свойства и асимптотическое поведение решений задач одномерного движения вязкого баротропного газа со свободной границей.

§1 посвящен постановке начально-краевой задачи и свойствам решения при немонотонной функции состояния. Рассматривается квазилинейная система уравнений

Дт7 = £>и, 77 = 1//?, (1)

Дм = Б{урОи - р(т])) + ё(хе ,0, * = [т](х',0<±с' (2) в области (х, е = х = (о, М) х (0,+со), при краевых и начальных условиях

Со = °> - РМ) и = - Рг > Со = >7° > 4=0 = М° • (3)

Задача записана в лагранжевых массовых координатах х,?, так что Д = д1Ы, И = д/дх, а М — полная масса газа. Функции 7]>0,и, р, хе — это удельный объем, скорость, плотность, эйлерова координата (соответственно); функция р — давление (р = р{?])— уравнение состояния). Постоянная V > 0— коэффициент вязкости. Поставленная R+ нормы в задача описывает движение фиксированной массы газа в цилиндрическом канале (вообще говоря, изогнутом) под действием массовой силы g. С одного конца газ замкнут, с другого — находится под действием внешнего давления рг.

Для q, ге[1,оо] обозначим через ||| пространствах Лебега lq (Q), lr (R+), lqr (q) ; пусть для краткости

IHhlli'lli = 1|-|12,2- Обозначим через Ц^ норму в ^(R^ + LJR*) (сумма банаховых пространств понимается стандартно). Нетрудно проверить, что Щ г]R+ < 2||w|rR+ при 1 < Tj < г <г2 < со. Пусть (w) =М'Х \awdx.

Будем предполагать, что g(z, 0 = gs(z) + Ag(Z, 0> Pr(t) = Pr,s+^Pr(t) ПРИ и выполнены условия: 0; Аg измерима на R+xR+ и \kg{%,t)\ < Ag(f) при j,ieR+. Пусть также в §1 функция непрерывна при (>0 и такова, что

- оо < lim р(£) < +оо, р(+оо) = lim р{£) = 0. (4)

Функция р определена с точностью до аддитивной постоянной, поэтому условие (46) не ограничивает общности по сравнению с условием конечности />(+со); кроме того, в диссертации рассмотрен и случай £>(+оо) = -оо. Пусть т]°(х) >0 на Q.

Введем регулярное обобщенное решение задачи (1)—(3) такое, что г/еРГ21(дг), DD,7]€L2(QT), ueW?'l(QT) и r/(x,t)>0 в QTuри всех Т> 0; здесь QT =Qx(0,T). Существование и единственность такого решения в литературе изучены. Будем интересоваться его равномерными по t свойствами и поведением при t -» +оо.

Определим функции Е(£) = £ [-р(£')]с1£' и = (объем газа). Пусть ниже N > 1 — параметр, К(Щ > 0 и К,(Ы) > 0 (/ = 0, 1, 2, .) — неубывающие по N функции (они могут зависеть от М, V, р, Со и т.д.). Предложение 1.1. Пусть выполнены условия еЛх)^?, на 1**, И-' +Щ, 0. Тогда верна энергетическая оценка

И.,.+И(7)|„+Ы,.+ 1КН1 5 к» (ло

Справедливо важное уравнение

1п ц = 1п 7/° + V4/, [р(г]) - а] + V"1 А и (1\)(х) = £му(х')сЬс', (.I, у)(0 = •

С помощью анализа этого уравнения выводятся равномерные оценки снизу и сверху для г].

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия (5), (6).

1. Если Ы~х < Т]°(х) на О., а также (вместо (4а))

М0+) = НтЖ) = +<», (7) то верна оценка снизу К{1V)"1 < ?](х^) при (л:,?) £ Q.

2. Если г}°(х)

Справедлив следующий результат о стабилизации и к 0 при ^ —> +оо. Предложение 1.2. Пусть выполнены условия (5), (6) и условия теоремы 1.1, п. 1. Пусть также |м° + ||4Рг||[900]К+ ^ N при некотором де[2,со), а р(£) = 0( 1) при -> +со. Тогда верна оценка зависит от ц) и ||м(-,*)|| 0 при

->+00.

В следующих двух утверждениях выясняется существенность условия (66) в предложении 1.1 и теореме 1.1.

Предложение 1.3. Пусть выполнено условие (5), а вместо условий (6) выполнены условия gs(z)^:gs на , Mgs >рг>8. Пусть еще р(£)>0 на

R+. Тогда верно свойство lim V{t) = +оо. f->+00

Теорема 1.2. (Случай предельного равновесия: gs(%) = const на R+, О < Mgs= pr s < N). Пусть p(Ç) > О на R+ и p{Ç)dÇ < +оо (вместо (4);. Пусть выполнены условия ,

D,pr s Lx (О, Г) V Т > 0, Dtpr (0 < 0 на R+

Тогда:

1) верна оценка ^Цд^ОЦ^ + И7?)!,,« + Н2,=о +||Ртс>и\д

2) сохраняет силу теорема 1.1, п. 1;

3) если р(+оо) = 0 и gs> N~\ то для любого 0 < е < М при условии 77°(х)<7У при хе[е,М] верна оценка г}{х^)

4) если р(£) > 0 на и Ишр(£) >0, а Т]°(х) непрерывна справа при

С-+0+ х = 0, то верно свойство

Нт 77(0,0 = +°°; (8)

-»+00

5) если р(£)> 0 на р{ 0+) = +оо и для некоторого у >\ имеем < р(£) < N при достаточно больших ^ > ¿¡0, а Т]°(х) непрерывна справа при х = 0 и < ?]й(0), то свойство (8) можно уточнить:

К{ыу1 [р(т/° (О))-1 + кх (лт1 ^

О^-'+^даг] при t>0. В §2 изучена стационарная задача. Пусть Ag = О, АрГ = 0. Стационарными (не зависящими от г) решениями задачи (1) — (3) служат функции и = и5(х) = 0 и ?] = г/5(х) такие, что:

Е>РЮ = ё,(хеЛ хе,*=177* на О; рШ\х=м =Рг,- (9) Предположим, что функция р непрерывна и убывает на ^. Обозначим через р(~х) обратную к р функцию. Будем рассматривать решения 7]3 задачи (9), непрерывные и положительные на О, и такие, что р(т]х (х)) е Установлены следующие результаты о единственности и существовании решения задачи (9).

Предложение 2.1. Если gs — невозрастающая на К.* функция, то задача (9) не может иметь более одного решения.

Теорема 2.1. Пусть р(^+) = и выполнены условия (6). Тогда задача (9) имеет решение, удовлетворяющее двусторонним оценкам К(М)-1 <(х)

В §3 доказана стабилизация решения при убывающей функции состояния. Сначала установлена стабилизация решения в норме Ь2{0).

Положим = + = и

Теорема 3.1. Предположим, что: 1) выполнены условия (6) и условия £

Ч + Иипг на а, С, (у) при Уу > 0, £ (Х) < 0 на ; и

2) функция р убывает на К* и = кроме того, р р^удовлетворяют локальному (то есть в некоторой окрестности любой точки из области определения) условию Липшица. Тогда при ? > 0 верна оценка

2(0.0 з2 (о < к(юе-« [з2°+1*" +1 Iе" арг (4 с а -1 / Кх {Щ. Как следствие, д2 (?) 0 при >+оо.

Если же |еАгЛ^(т)||]К++|еАгАрг(т)|2К+ 0.

Далее установлена стабилизация г} и и в норме (О), причем предварительно доказаны равномерные по 7 оценки £>77 и Би в норме Ьг (О).

Предложение 3.1. Пусть выполнены все условия теоремы 3.1.

1. Если

V

2. Если ^ФМ+М«- +|Ыи ** " тои\\1Ц2х

0,

1) и о

Положим = +1К>о|Г, = для / = 0,1 (где 1НГЧНИНГ НМи) и АР? =РгФ)-Рг„

Теорема 3.2. Пусть выполнены все условия теоремы 3.1 и р' удовлетворяет локальному условию Липшица.

1. Если ¡-От?0)) ^ N, то при / > 0 верна оценка (с а = \!КХ{Щ)

0) (0 < К2 (N)e-« + У №т\т Как следствие, 8{й) (?) -> О при t -> +00.

2. Если ||D77°|| + |Dm0 то при t> О верна оценка (с а-1 / KX{N))

Sm(t) < K2(N)e~at +1 Ар? I + ||e-Ag(r)||Mo> ИАё1ад+ +\\Pr+||ДРг||Ы;К^ЛГ и и0^ =0, e"(D,PrmI

Как следствие, например, при \В,рг\\чН+ либо при ||A/v|Lr+ ^Nu (Dtpr)(t) 0 при t -» +00 имеем: <5(1)(?) -» 0 при t->+00.

В §4 и §5 изучается задача с двумя свободными границами:

Dji = Du, 77 = l/р в Q, D,u = D(vpDu - p(T})) + g(t) в Q, vpDu-p(77)|x=a =-Pa(t) {cc^OMUL = WL =M°' Она описывает движение слоя вязкого баротропного газа, находящегося под действием массовой силы g{t) (зависящей лишь от t), а также внешних давлений p0(t) и pM(t) на свободных границах слоя. Предположим, что

77°(лг)>0 на Q, еLx(Q) и pa{t) = patl+JSpa(t) на R+(a = 0,M). Оказывается, что для (и) верна явная формула u)=(u°)+l[g-M-l{pM-p0)]dT, а функции г] и А и = и-(и) удовлетворяют замкнутой системе уравнений (не содержащей #).

По аналогии с §1—3 изучены свойства и поведение при /~>+оо функций 7] и А и. Первые два результаты относятся к случаю немонотонной функции р.

Предложение 4.1. Пусть функция непрерывна при ^ >0 и удовлетворяет условиям (4). Пусть также Ц^"! +) Ц, и

ММ|4Р«1и Ы'Х ípa^N{a = 0,M), (10) где Аи° =и° - (и°) • Тогда верна энергетическая оценка

1С+14,+ 1КН•

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия предложения 4.1. 1. Пусть /?(о+)= +оо. Если < г}°(х) на £1, то верна оценка снизу

К^У <7!{х,{) в <5.

2. Если 77°(х)< N на О, то верна оценка сверху г/(х^) < К(ы) в ¡2 . Следующие три результата относятся к случае убывающей функции Р

Пусть величины в2,5получаются из заменой и на Аи, а из 81,д^» заменой м° на А и0. Теорема 5.1. Пусть функция рубывает на и , а также р и р^ удовлетворяют локальному условию Липшица. Пусть выполнены условия И~х < на О, т/° < N и условия (10). Тогда с

II II оо

Ч,(х) = Р(~П (р* (х))> гдеР* (х) = (1 - м~'х)р^ + м~1хРм,» верна оценка

8г (0 < К(ну (+ 2 Л ^ АР. М Ц О а=0,А/ с л =1/Х, (ТУ) . /Сяк следствие, ё2 (?) -» 0 при / +оо .

Предложение 5.1. Пусть справедливы все условия теоремы 5.1.

1. Если ||£>77°||<ЛГ, то ||^||2в < К(Ы).

2.Если МММЧМ.*-

Теорема 5.2. Пусть справедливы все условия теоремы 5.1 и дополнительно р' удовлетворяет локальному условию Липшица. При выполнении условий п. 1,2 предложения 5.1 верны соответственно оценки

8Щ0, а=0М а=0М е-АРа(т

2(0,0 са^/КХм).

В главе 2 получены равномерные оценки и доказана стабилизация решений задачи симметрического движения вязкого баротропного газа со свободной границей, причем в случае коэффициента вязкости, зависящего от Г].

В §1 дается постановка начально-краевой задачи и содержатся вспомогательные утверждения. Рассмотрим квазилинейную систему уравнений

Дт7 = ДгиМ), п = 1/р, (И)

Ди = г"£)[К17)рО(г-«)- 8[г], (12)

Д г=и (13) в области <2, при краевых и начальных условиях и = Шрп{гти)~р{1т)]\х^ =-рг, (14)

77|(=0 = (*), г/|(=0 = и\х\ г|г=0 = г°(х) на О (15) с т/°(х) > О и г°(л;)>0на О, где г\х)У*Х ={т + \)\171\х')с1х' + ат* на О. (16)

Искомыми являются функции Т]{х^\и{х^\ г(х,{). Использованы обозначения gИ(.м)=: ё(г(х>0>0 > о > О, кроме того, тп = 0,1,2.

Поставленная задача описывает симметрическое движение вязкого баротропного газа в замкнутом объеме с фиксйрованной левой и со свободной правой границами. Задача записана в лагранжевых массовых координатах х, *. Значения т = 0,1,2 отвечают плоской, цилиндрической, сферической симметрии соответственно. Предположим, что функции ^и рТ удовлетворяют тем же условиям, что и в гл.1, §1 (только теперь X € (я,+оо)), а функции р и V непрерывны на причем выполнены условия (4) и > 0 на IV.

Лемма 1.1. Пусть выполнены условия

И,+14|')1+И+Ммг +М*.

0

1+1

Ж^о"-;— + со »4°,+°о),ЛГ! +Щ0 0 и с0 > О. Тогда верна энергетическая оценка

ГЦ. + +К,+II ШрТ»{г-и) ||е < ф).

Лемма 1.2. Справедливо уравнение

ЦА(*1)=рМ-с1-Ц1'{г-ти)+а1,где А(С)= $ГКЙ^,

В §1 сформулированы также леммы 1.3 и 1.4 о глобальных оценках решений обыкновенных дифференциального неравенства и задачи Коши.

В §2 выведены свойства решения при немонотонной функции состояния. При помощи лемм 1.2 и 1.3 доказаны равномерные оценки 1] снизу и сверху

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (17) — (19) и условие < г]й{х) на О, а также условие (7) (вместо условия (4а)). Тогда верна оценка К(м)~1 < ?](х,() в (2 . Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (17), (18) и условия (X) * не + Щ0 < рГ8 <И с-£й> 0 (20) более жесткие, чем (19)), а также условие < N на

О.

Тогда верна оценка г/(х^) < К(ы) в <2.

В отличие от гл.1 теорема 2.2 ниже непосредственно не используется.

Изучена стабилизация и к нулю в норме ¿9(С2) при *->+оо.

Предварительно рассмотрена вспомогательная линейная неравномерно параболическая задача

-¥) + *„* + / в <2,

И,=0 = °> - = , Н,^ = М на а. Предположим, что е 4о(бг)> 6 > 0, ^ > 0и а0, Дбе!,^), = /0+А/ и |Л/| ^ |/1| + |/2|, причем е I, (£>7, )Д = О,1, 2, ^ е 12 (О, Г) при всех 7>0, а также и0 е X, (О). Ограничимся обобщенными решениями со свойствами: геЬ^^т), IV е ¿2 (0Г), Ди е Ьх (£>г) при всех 7>0. Пусть д' = д /(д -1). Лемма 2.1. Яусть 6 е 4,(0), || 1 / ^ Ц < .

Л Я^сть [2,оо). Ясли +

00' ^ = /о =0 и Р'11"'(а0 + Я~1ЦЬ)г | то верна оценка и свойство

Цб'М'»*)!, 0 при * -> +оо. (21)

2 Ясли +||/о||1;00 + МЦ- <с0' А/ = 0 и

1/2<я0 +1)|||^|||2 <ЛГ2, то при любом де[2,оо) верна оценка ^

Величины сх (Л^ ), с2 (л^ ) зависят только от Nх .

Теорема 2.3. Пусть выполнены все условия теоремы 2.1 и, более того, ||Арг|9оо]К+при некотором #е[2,оо), а р(^) = 0( 1) при ^ —> +оо. Тогда верна оценка | м|| и + ||м ||в 0 при ? —» +оо.

В §3 рассматривается стационарная задача. Стационарными решениями задачи (11) — (16) служат функции и = ив{х)=0и г} = т]5(х)>0, г - г1!(х)> 0 такие, что

Мъ) = гГ8,(гЛ гГ^х^т + Щф'^' + а-1 на О, (22) р(лХ.м=Ргу (23)

Справедливы следующие результаты о единственности и существовании решения этой задачи, в случае функции р, убывающей на

Предложение 3.1. Если ^ — невозрастающая на [я,+со) функция, то задача (22), (23) не может иметь более одного решения.

Теорема 3.1. Пусть /?(К+) = К+ и выполнены условия (20).

Тогда задача (22), (23) имеет решение, удовлетворяющее оценкам к№х

В §4 изучаются свойства решения при убывающей функции состояния. Доказано две теоремы о стабилизации.Пусть К3 > 1 — параметр.

Теорема 4.1. Предположим, что:

1) выполнены условие (17) и условия

ЛГ1 + тах{£(+ со),0} < рГ! < Ы; (24)

2) .выполнено условие (18) и условие = 1) при

3) функция р убывает на IV и = кроме того, удовлетворяет локальному условию Липшица;

4) существует решение стационарной задачи (22), (23), причем к;х <*Т1а(х)*К, на а.

Тогда = ||т/(-,0-(ОЦ, +1|«(-,0|| -» 0 при t -> +оо и, более того верна оценка на Яс а (Л^). Кроме того, верна вспомогательная оценка

Теорема 4.2. Предположим, что выполнены условия Ч и пры ^>0> £'(*)*<>на (а>+со)

25) и условие (24). Пусть также выполнены условия 2) — 4) теоремы 4.1 и дополнительно функция р удовлетворяет локальному условию Липшица. Тогда верны оценки к{иу<-п{х^) +оо.

В §5 выведены равномерные оценки и стабилизация производной решения (при убывающей функции состояния).

Теорема 5.1. Пусть выполнены все условия теоремы 4.2.

1. Если Ц-От/01-М, то

2. Если + \\рГ\\^ +\\ЦрГ1^ <М, 4=о =0, * функция V удовлетворяет локальному условию Липшица, то \\Ви1т

Теорема 5.2. Пусть выполнены все условия теоремы 4.2 и р',у' удовлетворяют локальному условию Липшица.

1. Если |£>77°|<И, то при ?> 0 верна оценка бт(!)

2(0.0 где а =\/К Как следствие, £(0)(/)-»0 при t—>■+ со.

2. Если |¿V

Ии

1 кЦ- ^ и° | = 0, то при t> 0 верна оценка аргХГ!

4(0,0 где а = 1!К,{ы).

В главе 3 изучена специальная разностная схема для задачи симметрического движения вязкого баротропного газа со свободной границей, рассмотренной в главе 2. Для этой схемы удалось установить сеточные аналоги основных результатов главы 2.

В § 1 вводятся обозначения и приводятся вспомогательные результаты. Пусть Шн = (х,, 10 = х0 < • • • < хп =м) и

У|д = {х,1/2 х(1/2 = (хм + х( )/2, 1 < / < и} — пара сеток на О с шагами

К =Х1 -^М И КУ2=ХМ/2 ~Х1-У2> а йГ ={/у|0=/0 <^^■

Определяются разностные операторы к

ISfeSi ¡йкйп-\ Z

З,Уу = (г - г-')Д., гу =гч, /гг = . sitij

Задаются сеточные нормы (с # е [1,оо))

Т 7 \УЧ ми= .иц

V 1<!<£п-1 2 У 41/2 г,© q,r,ioxa> , в \1/9

V^I

1/г при г е[l,оо), ||у|| = sup Yj при г = <х>. Кроме того, q,Ci> для со = й)н,соу2; ниже индексы со и сох со' опускаются.

Для дифференцируемой функции /(£) вводится разделенная разность при

Формулируются леммы 1.1 и 2.2 о глобальных оценках решений обыкновенных разностных неравенства и задачи Коши.

В § 2 выписана специальная двухслойная нелинейная разностная схема для задачи (11) - (16). Она включает уравнения д,Н = 5(хти) на со!/2 хсо1, (26) д1и = Хт311 + В[Х,Х ] тсо"хсоТ ,Ъ = мА${хти)-р{н), (27) д,Х = (Хт/Х{т])и на сонхо)Т, (28) а также краевые и начальные условия -РГ,

29)

НМ=Н\ и\.й=и°, Х\М=Х\ (30) где функции Н° > 0 и Х° > 0 связаны уравнением

Х*УХ ={т + \)1ьНй +ат* с а>0. (31)

Искомые функция Я > 0 (определенная на а>у2хШТ) и функции II, Х> 0 определенные на Шн х Шт) являются сеточными аналогами Т] и и, г. Предполагается, что т = 0,1,2, функции р и V удовлетворяют условиям из гл. 2, §1, а непрерывна на [а,+оо).

В уравнениях (27) и (28) используются специальные коэффициенты

Это дает возможность переписать функцию Е и уравнение (28) в виде

2 = д,А(н)-р(н), (т + 1У~д((хт+1)=Хти, что в сочетании с другими уравнениями позволяет вывести важные аналог леммы 1.2 из гл.2 (см. ниже лемму 2.2) и связь между X и Я вида Х^'Цтя + О/.Я + а""1.

Предполагается также, что В[Х,Х )+ДЯ/(Х/,Х/ ),

Р/ = рг,. + АР/, причем В3=(хт/х{а))8° с = ) либо просто

В3 = (X), а \АВ;(х,х'\ * Д7 + Щ при 1 < / < п, ] > 0 и х,х' ф,+со) с

Д>0Д>0.

Изучены свойства разностной схемы (26) - (31) при немонотонной р. Пусть Ж0 е (0, ТУ] ,£0 > > 0,£2 > 0—параметры, причем и £0+€1+£2<1. Лемма 2.1. Пусть выполнены условия

Я'||,+||£(Я»)||1+||(7»||2+||В,

1,01'

В2 2тг

1,0}'

32) а также условия (18), (19) с А^р1 в роли N 1 и условие где а > 0. Кроме того, пусть шах|е^а, (4у0)-1 {Ма~тВ1 / + (АРГ )2 ] | г < 1 на сог. шах

34)

Тогда при верна энергетическая оценка

• К.+1Мк„+\УУ!з(х'и\1

Лемма 2.2. Справедливо уравнение а,а {н)=р(н)-<1к-д,гЛ(х-и)+^

1/1

С помощью лемм 1.2 и 2.2 выведены равномерные оценки Н снизу и сверху.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия леммы 2.1, условие И'1 < Н°на С0у2, а также условие (7) (вместо (4а)).

Тогда при В8 = (Хт/Х{т)^ верна оценка К(ыУ <Н на со\ х ШТ.

Следствие. Если функции р, V и gs удовлетворяют условиям (7), (46), (18), (19) и (33), а также функция непрерывна по Х-а> то при условии (34) и при В5 ={хт/разностная схема (26) —- (31) имеет решение.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия леммы 2.1 и, более того, уСЛОвие (20) С ЛГ1 « пл*« ЛГ1 л мп.ппачо М° < N иа

Тогда при В8 = (Хт/Х(т)^ верна оценка Н < К(ы) на со\п х с5х.

1/2

Замечание. Если функция — невозрастающая на \а,+оо), то все результаты §2 верны и при В5 = gs (х). Кроме того, еслир не возрастает на (вместоусловия (33)), то условие (34) принимает вид

4г0)ч[б",-1 (Ма~тВг)2 + (АРГ У] г < 1 на й)г. (35)

§3 посвящен сеточной стационарной задаче = I.(Р.) на ХГ1 =(т +1 )/„#, + я""1 на Ш14 , (36)

Р(Н^У2))+^ХХ,„) = РГ,,, (37) где Н3 > 0 на со\п и Х5>0на

Предложение 3.1. Если ^ — невозрастающая на [

Теорема 3,1. Пусть и выполнены условия (20).

Тогда задача (36), (37) имеет решение, удовлетворяющее оценкам КХМУ

В §4 рассмотрен случай убывающей функции р. Пусть 6'а = 1^(1 + 0^) с а> 0— сеточный аналог функции е*, а

9 = 1,2), ^=||Я»-Я,||2+||и«|2. Теорема 4.1. Предположим, что:

1) выполнено условие (32) и < Н° на со\п, а также функция ^ не возрастает на [а,+со) и удовлетворяет условию (24) с в роли ТУ"1;

2) выполнено условие (18) и условие = 0(1) при С, -> +оо ;

3) функция р убывает на и /?(|Ч+)= кроме того, удовлетворяет локальному условию Липшица;

4) существует решение стационарной задачи (36), (37), причем

К;1!/2;

5) выполнено условие (35) и вир т} < ТУ.

Тогда при В5 = верна оценка (с а = \/Кх{Ы))

Г. аШ л и, как следствие, 5(ь —> 0 при ] -» +оо. Кроме того, ||Н - Н5 2 < К(ы).

Если дополнительно gs удовлетворяет левому условию (25), то указанные результаты верны и при В8 =

Теорема 4.2. Предположим, что выполнены условия

АГХ

1/21

В1

1,й)г

В2 т + ЛРГI г <лг,

2 2,й> II ГП2,Й)Г ' условия (25), (24) с И0Х в роли N \ на ^ и условия 2—5 теоремы 4.1 и дополнительно функция р удовлетворяет локальному условию Липшица. Тогда при верны оценки

К{ИУ

7*0

V , ч - ( * , ч N1 1/2' еЦв^в,) + н > с а- \!Кх{Ы)и, как следствие, 0 при ] +со.

Автор признателен профессору А.А.Злотнику за постановку задачи и помощь в работе.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Нгуен Жа Бао

ЗАКЛЮЧЕНИЕ г

В диссертации исследованы три начально-краевых задачи одномерного движения вязкого баротропного газа:

1) задача с фиксированной левой и свободной правой границами;

2) задача с двумя свободными границами (при массовой силе, зависящей только от г);

3) обобщенная задача 1 о симметрическом движении (не только с чу о 1 о »»\ плоской, но и с цилиндрическои или сферической симметриеи), причем в случае коэффициента вязкости, зависящего от удельного объема Г].

Для каждой из этих задач доказаны: а) при общей немонотонной функции состояния — равномерная по г энергетическая оценка, равномерные оценки ц снизу и сверху, а также (в задачах 1 и 3) стабилизация скорости »к 0 в норме Ьч(О) с любым 1<#<оо; б) при монотонной функции состояния — стабилизация решения в норме Ь2 (О), равномерные по ? оценки производных решений и их стабилизация в норме Ь2 (о) с оценкой скорости стабилизации.

Изучена также специальная разностная аппроксимация задачи 3 и для нее получены аналоги основных из перечисленных результатов об оценках решения и их стабилизации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нгуен Жа Бао, 1998 год

1. А.А.Амосов, А.А.Злотник. Разностная схема для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа, ее свойства и оценки погрешности «в целом» // Докл. АН СССР. 1986. Т.288. № 2. С. 270 — 275.

2. А.А.Амосов, А.А.Злотник. Разностная схема для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа // Вычисл. процессы и системы. М.: Наука. 1986. Вып.4. С. 192 — 218.

3. А.А.Амосов, А.А.Злотник. Разностная схема второго порядка точности для уравнений одномерного движения вязкого газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 7. С. 1032-1049.

4. А.А.Амосов, А.А.Злотник. Обобщенные решения "в целом" уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Докл. АН СССР. 1988. Т.301. № 1. С. 11 — 15.

5. А.А.Амосов, А.А.Злотник. Разрешимость "в целом" одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа // Дифференц. уравнения. 1994. Т.30. № 4. С. 596 — 609.

6. А.А.Амосов, А.А.Злотник. Единственность и устойчивость обобщенных решений одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа // Матем. заметки. 1994. Т.30. № 6. С. 13 — 31.

7. С.Н.Антонцев, А.В.Кажихов, В.Н.Монахов. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

8. И.Берг, И.Лефстрем. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир,1980.

9. В.А.Вайгант. Стабилизация решений задачи протекания — истечения для системы уравнений вязкого баротропного газа // Тезисы докладов VII Всесоюзной школы, по качественной теории дифф. уравнений гидродинамики. Барнаул. 1989. С. 22 — 23.

10. Ю.В.А.Вайгант. Стабилизация решений неоднородной краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошн. среды. Новосибирск. 1991. Вып. 101. С. 31—52.

11. П.А.А.Злотник. О свойствах разностной схемы второго порядка точности для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа // Динамика сплошн. среды. Новосибирск. 1991. Вып. 101. С. 58 — 68.

12. П.А.А.Злотник. Об уравнениях движения вязкого баротропного газа при наличии массовой силы // Сиб. мат. журн. 1992. Т.ЗЗ. №5. С. 62 — 79.

13. П.А.А.Злотник. Равномерные оценки и стабилизация решений системы уравнений одномерного движения многокомпонентной баротропной смеси // Матем. заметки. 1995. Т.58. № 2. С. 307 — 312.

14. А.А.Злотник. О стабилизации для уравнений симметрического движения вязкого баротропного газа с большой массовой силой // Вестник МЭИ. 1997. № 6. С. 57-69.

15. А.А.Злотник. Об одной задаче Нишида// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 8. С. 1225-1232.

16. А.А.Злотник. Равномерные оценки и стабилизация симметрических решений одной системы квазилинейных уравнений // Дифференц. уравнения. 1999. Т.35 (принято к печати).

17. П.А.А.Злотник, А.А.Амосов. Обобщенные решения "в целом" уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа // Докл. АН СССР. 1988. Т.299. № 6. С.1303 — 1307.

18. А.А.Злотник, А.А.Амосов. О свойствах одной разностной схемы для уравнений одномерной магнитной газовой динамики // Динамика сплошн. среды. Новосибирск. 1988. Вып.88. С. 47 — 64.

19. А.А.Злотник, Нгуен Жа Бао. Свойства и асимптотическое поведение решений одной задачи одномерного движения вязкого баротропного газа // Матем. заметки. 1994. Т.55. № 5. С. 51-68.

20. А.А.Злотник, Нгуен Жа Бао. К поведению при t -» +оо решений одной -квазилинейной нестационарной задачи со свободными границами // Дифференц уравнения. 1994. Т. 30. № 6. С. 1080-1082.

21. А.А.Злотник, Нгуен Жа Бао. Стабилизация решений уравнений вязкого баротропного газа со свободными границами // Международный семинар "Дифференц уравнения и их приложения " (г. Самара, 27-30 июня 1995г.). Тезисы докладов. 1995.Самарскийун-т.С. 52.

22. А.А.Злотник, Нгуен Жа Бао. Глобальные свойства симметрических решений задачи движения вязкого баротропного газа со свободной границей //Вестник МЭИ. 1998. № 6. С.52-61.

23. А.В.Кажихов. О стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости // Дифференц уравнения. 1979. Т. 15. №4. С. 662 — 667.

24. Я.И.Канель. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа// Дифференц. уравнения. 1968. Т.4. №4. С. 721 — 734.

25. В.Б.Николаев. О разрешимости смешанной задачи для уравнений одномерного осесиметрического движения вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1980. Т. 44. С. 83 — 92.

26. В.Б.Николаев. Глобальная разрешимость уравнений движения вязкого газа с осевой и сферической симметрией // Динамика сплошной среды.

27. Новосибирск. 1983. Т. 63. С. 136 — 141.

28. Б.Р.Рысбаев, Ш.Смагулов. О сходящихся (разностных схемах для уравнений вязкого газа//^Докл. АН СССР. 1986. Т.287. № 3. С. 558 — 559.

29. H.Beirao da Veiga. The stability of the one dimensional stationary flows of compressible viscous fluids // Ann. Inst. Henri Poincare. 1990. V. 7. № 4. P. 259 — 268.

30. S Jiang. Global spherically symmetric solutions to the equations of a viscous polytropic ideal gas in an exterior domain // Commun. Math. Phys. 1996. V. 178. P. 339-374.

31. A.Matsumura. Large-time behaviour of the spherically symmetric solutions of an isothermal model of compressible viscous gas // Transport Theory and Statist. Phys. 1992. V. 21. № 4-6. P. 579-592.

32. T.Nagasawa. On the asymptopic behaviour of the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas with stress-free conditions // Quart. Appl. Math.1988. V. 46. № 4. P. 665 — 679.

33. T.Nagasawa. On the one-dimensional free boudary problem for the heat-conductive compressible viscous gas // Lecture Notes in Num. Appl. Anal.1989. № 10. P. 83 —99.

34. T.Nishida. Equations of motion of compressible viscous fluids // Patterns and Waves. Qual. Anal. Nonlinear Differ. Equat. Tokyo, Amsterdam. 1988. P. 97 — 128.

35. M.Okada, T.Makino. Free boundary problem for the equation of spherically symmetric motion of viscous gas // Japan J. Industr. Appl. Math. 1993. V. 10. P. 219 —235.

36. P.Secchi, A.Valli. A free boundary problem for compressible viscous fluids // J. Reine und Angew. Math. 1983. V. 341. P. 1 —31.

37. I.Straskraba. Asymptotic development of vacuums for 1-d Navier-Stokes equations of compressible flow. Preprint № 90. Praha: Math. Inst. Czech Acad. Sci., 1994.

38. I.StraSkraba, A.Valli. Asymptotic behaviour of the density for one-dimensional Navier-Stokes equations // Manuscr. Math,. 1988. V. 62. №4. P. 401—416. ^

39. A.Valli. Periodic and stationary solutions for compressible Navier-Stokes equations via a stability method // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa. 1983. V.10. №4. P. 607 — 647.

40. A.Valli. Mathematical results for compressible flows. Mathematical topics in fluid mechanics. Pitman Research Notes in Math. Ser. 274. New York: John Wiley. 1992. P. 193-229.

41. S.Yanagi. Asymptopic behaviour of the solutions to a one-dimensional motion of compressible viscous fluids // Math. Bohemica. 1995. V. 120. №4. P. 431—443.

42. A.A.Zlotnik. Estimates and stabilization of finite-difference equations of one-dimensional gravital magnetic gas dynamics // Sov. J. Numer. Anal. Math. Model. 1991. V. 6. № 4. P. 335 — 360.