Вопросы поточечной сходимости и сходимости в среднем сумм Фурье и их линейных средних по некоторым ортогональным системам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Магомед-Касумов, Магомедрасул Грозбекович

  • Магомед-Касумов, Магомедрасул Грозбекович
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2015, Махачкала
  • Специальность ВАК РФ01.01.01
  • Количество страниц 109
Магомед-Касумов, Магомедрасул Грозбекович. Вопросы поточечной сходимости и сходимости в среднем сумм Фурье и их линейных средних по некоторым ортогональным системам: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.01 - Математический анализ. Махачкала. 2015. 109 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Магомед-Касумов, Магомедрасул Грозбекович

Содержание

Введение

Глава 1. Приближение функций из весовых пространств Лебега и Соболева с переменным показателем суммами Фурье

по системе Хаара

1.1. Предварительные сведения

1.1.1. Система Хаара

1.1.2. Пространство Лебега с переменным показателем

1.1.3. Весовое пространство Лебега с переменным показателем

1.1.4. Класс весовых функций

л

1.1.5. Класс весовых функций

1.2. Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем

1.2.1. Введение

1.2.2. Основной результат

1.3. Приближение функций суммами Фурье - Хаара в весовых пространствах Лебега и Соболева с переменным показателем

1.3.1. Введение

1.3.2. Предварительные сведения

1.3.3. Приближение функций из весовых классов Соболева

с переменным показателем суммами Фурье - Хаара

1.3.4. Приближение функций из весовых пространств Лебега с переменным показателем суммами Фурье - Хаара

1.4. Сходимость прямоугольных сумм Фурье - Хаара в пространствах Лебега с переменным показателем

1.4.1. Постановка задачи

1.4.2. Вспомогательные утверждения

1.4.3. Основной результат

Глава 2. Некоторые вопросы поточечной сходимости

2.1. Особенности поведения частичных сумм Фурье - Хаара в двоично-иррациональных точках разрыва

2.1.1. Введение

2.1.2. Вспомогательные утверждения

2.1.3. Основной результат

2.2. Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена тригонометрических рядов на классах кусочно гладких функций

2.2.1. Основные понятия

2.2.2. Вспомогательные утверждения

2.2.3. Основной результат

Заключение

Литература

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вопросы поточечной сходимости и сходимости в среднем сумм Фурье и их линейных средних по некоторым ортогональным системам»

Введение

В данной диссертации можно выделить два направления. Первое направление посвящено исследованию аппроксимативных свойств рядов Фурье по системе Хаара в весовых и безвесовых пространствах Лебега с переменным показателем (глава 1). Второе направление включает в себя исследование особенностей поточечной сходимости сумм Фурье - Хаара для разрывных функций, а также содержит некоторые вопросы, связанные с локальными аппроксимативными свойствами средних Валле-Пуссена по тригонометрической системе для кусочно гладких функций (глава 2).

Актуальность и краткое содержание диссертационного исследования. Рассмотрим первое направление (глава 1). В последние годы стремительными темпами растет число работ, так или иначе связанных с пространствами Лебега с переменным показателем (см. [1-4] и приведенные там списки литературы). Данные пространства естественным образом возникают в многомерном вариационном исчислении [5-7], в теории дифференциальных и интегральных уравнений [1], в теории и приложениях по обработке сигналов и в ряде других областей. Поэтому изучение и развитие теории этих пространств не только представляет теоретический интерес, но и имеет практическую значимость.

Первое систематическое исследование топологии этих пространств было дано в работе [8]. В частности, в ней было показано, что если 1 < р(Е) < р(Е) < оо *, то топология пространства 1/(х\Е) нормируема и одну из эк-

*3десь и далее символами р(Л1), р(М) будем обозначать essinf р(х) и ess.sup/)(x) соответственно

х€М хеМ

Бивалентных норм можно определить, полагая для / € LP¿X\E)

f(x) р{х)

PÍ.)(E) = inf{a>0: J

p(-) =

E

a

¡i{dx) < 1}.

В настоящее время имеется большое количество других работ, в которых детально рассмотрены эти пространства и их свойства (см., например, [14,9]). Более подробную историческую справку по становлению теории этих пространств можно найти в упомянутых работах.

В последнее время активно развивается теория приближений в пространствах Лебега с переменным показателем (см. [1-4] и приведенные там списки литературы). Наиболее важные результаты, полученные в этих работах, связаны с так называемым условием Дини - Липшица

1

\р(х)-р(у) |

1п

< С, (1)

I® - УI

которое впервые в контексте пространств Лебега с переменным показателем появилось в работе [10]. Среди основополагающих результатов, полученных в этом направлении, можно отметить следующие: базисность системы Хаара [10], ограниченность максимальной функции Харди - Литтл-вуда [11-14], базисность тригонометрической системы [15], базисность системы нормированных полиномов Лежандра [16] и др. В связи с тематикой диссертации особый интерес для нас представляют результаты, которые связаны с системой Хаара. Остановимся более подробно на некоторых из них.

В статье [10] было показано, что система Хаара является базисом в jj>(x) _ ipW^E^ е = [о, 1], тогда и только тогда, когда переменный показатель р(х), 1 < р{Е) < р{Е) < оо, удовлетворяет условию Дини - Липшица. Эта статья появилась в 1986 г. Однако до последнего времени вопрос о скорости сходимости сумм Фурье - Хаара в метрике пространства LP^ оставался открытым. Этот пробел был устранен совсем недавно в работе [17], в которой доказано, что если переменный показатель р{х) удовлетворяет

условию (1), то для сумм Фурье - Хаара /) имеет место аналог первой теоремы Джексона вида \\/~Яп{Л\\Р{-) < с(р)П(/, где 5)р(.) - модуль непрерывности в определенный с помощью функций Стеклова. В той же работе исследована задача об оценке отклонения сумм Фурье -Хаара от функций /(#) 6 гДе ) ~ пространство Соболева с пере-

менным показателем р(х), и доказано, что ||/ — фп(/)||р(.) < ^гН/'ИрС-)-

Целью главы 1 данной работы является перенос некоторых упомянутых выше результатов, полученных для системы Хаара, на многомерные и весовые пространства Лебега.

В §1.4 исследуются условия, при которых двумерная система Хаара Хпт(я,у) = Хп{х)Хт{у), где Хп(х) - функции Хаара определяемые обычным образом (см. (1.1)), образует базис в £^([0,1]2). Для этого вводятся модуль непрерывности и условие Дини - Липшица для случая функций двух переменных.

Модуль непрерывности для функции р{х, у), заданной на множестве Е, определяется следующим образом:

и>(р,Е,6) = шр{\р(А) -р(В)\ : А, В € Е,р(А,В) < 6}.

Говорят, что функция р(х, у) удовлетворяет условию Дини - Липшица порядка а > 0, если

ш(р, Е, 5)(\п^У <с (0 < < 1),

где с = с{Е,р,а),а > 0.

Основной результат §1.4 представлен в следующем утверждении.

Теорема 1. Для того чтобы для любой функции / е = 1]2),

1 < р([0> I]2) — I]2) < прямоугольные частичные суммы

N М

Я ими, Х1 у) = СптХпт(х, У), Спт =

71 = 1 Ш=1

[[/('х,у)хпт(х,у)(1х(1у

сходились в пространстве и&я) к функции f(x,y) при N,M —> оо (N х М), необходимо и достаточно, чтобы показатель р(х, у) удовлетворял условию Дини - Липшица порядка а > 1.

Перейдем теперь к описанию весового случая. Условимся прежде о некоторых обозначениях. Символом Т(Е) обозначим множество измеримых на множестве Е функций р(х), удовлетворяющих условию 1 < р{Е) < р(Е) < оо. Множество тех р(х) из V(E), которые удовлетворяют допол-

__/s

нительному ограничению 1 < р(Е), будем обозначать с помощью V(E). Через Vlog(E) обозначим множество р(х) € V(E), удовлетворяющих условию Дини - Липшица (1). Если речь идет о множестве Е = [0,1], то мы будем опускать скобки с обозначением множества.

Для достижения обозначенной выше цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Перенести на весовые пространства ряд свойств и утверждений, полученных для безвесовых пространств Лебега с переменным показателем. Это сделано в §1.1.3.

2. При построении рядов Фурье - Хаара для функции f(x) £ Lfj=

L&\{ 0,1]) приходится вычислять коэффициенты ck = f f{x)xk(x)dx.

о

Для того чтобы эти коэффициенты были конечны, необходимо и достаточно, чтобы f(x) была суммируемой. В связи с этим появляется требование о вхождении L^jj ^ С L1, и возникает задача исследования условий на вес w(x), при которых упомянутое вхождение будет выполнено.

Замечание. Далее для нормированных пространств X и Y будут использоваться термины вхождение и вложение. Говоря вхождение, мы будем подразумевать включение X С Y как операцию над множествами. Под вложением мы понимаем вхождение X С Y, при кото-

ром для любого х £ X выполняется неравенство ||#||у < где с

не зависит от х.

В §1.1.4 получены достаточные условия вложения (а, следовательно, и вхождения) Ь1^ в Приведем тут основной результат. Пусть Т-С(Е,р) - множество весовых функций, удовлетворяющих условиям (Е1 = {х:р{х) = 1},Е2 = Е\Е1):

(Н1) т(х) > Сх(т) >0, а; £ £х(п.в.), (Н2) <оо.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если и>(х) £ %(Е,р), р(х) £ Т>(Е) то имеет место вхождение Ь$х)(Е)

С Ь (Е), причем

\\/иЕ)<с(р^)\\/\\р{.^(Е).

Данная теорема дает достаточные условия вложения. Однако мы можем утверждать, что эти условия близки к необходимым. Эта уверенность проистекает, во-первых, из леммы 1.1 (см. §1.1.4), в которой показано, что условие (Н1) является необходимым для вложения, и во-вторых, из следующей теоремы, доказанной в §1.1.4.

Теорема 3. Пусть Е - произвольное множество с конечной мерой Лебега и заданными на нём показателем р(х) £ Р(Е) и весом т{х). Для того чтобы имело место вхождение

Ь^\Е) с Ь\Е),

необходимо, чтобы и;

^а(х) е для любой

измеримой функции

а(х), которая при некотором г > 0 почти всюду на Е удовлетворяет условию

- ( ! 1 +е<а(х) < 1. р(х) - 1

Замечание. Если в приведенном выше условии взять е — О, то из него будет следовать условие (Н2).

3. Для исследования вопросов приближения функций из ^ суммами

л

Фурье - Хаара потребовалось также ввести класс весов Ар^{(5), состоящий из функций ги(х), удовлетворяющих условиям

{Al) sup yiy J w{x)dx < c{p,w), sesP(6) Hi

s

( If \{ I [ - 1 \e(5M

(A2) sup I— / Ца;)бЫ[— / w{x) ï^dx) < c{p,w),

S€&\dP(e)x\b\ J y J '

S s

где & - система множеств, а подсистема <5, состоящая из мно-

жеств S, для которых p{S) = 1: 3>(6) = {S е 6 : p{S) = 1}. В дальнейшем мы будем рассматривать Ар^{&) для следующих двух систем множеств:

1) ЯЗ^ - множество всех двоичных интервалов (1.2) из пачек с номерами j > V

2) Djy - множество спаренных двоичных интервалов (1.2) из пачек с номерами j > и

¡Э„ = Щ U Д}+1 : j > = 1,... & - 1}.

4. Выше мы говорили о том, что построение рядов Фурье - Хаара для

произвольной функции / € Lw*^ возможно, если w{x) <Е 'Hip) = "Н([0,1 ],р). В таком случае естественным является вопрос о сходимости этих рядов к соответствующей функции, т.е. вопрос о базисности системы Хаара в L$x\ В §1.2 найдены условия на вес, при которых система Хаара образует базис в L^x\

Теорема 4. Пусть р(х) € Р1°9, и>(х) £ Т-1{р). Тогда система Хаара будет базисом пространства если ъи(х) £ У

V

5. В предыдущем пункте были рассмотрены условия, обеспечивающие базисность системы Хаара в Возникает вполне закономерный

вопрос о том, с какой скоростью ряды по указанной системе сходятся к самой функции. В случае постоянного р задача о скорости приближения функций /(х) € № суммами Фурье-Хаара была решена Ульяновым [18, с. 384].

Теорема (Ульянов). Если /(х) е 1^(0,1) с некоторым р € [1, оо), то

II/ - Яп(Л\\Р < 24сир(/, -) при п > 1,

71

гдеир(/,5) = вир (У\1(х + К) - !{х)\Ых) о</к<Л о '

Как уже отмечалось выше, в работе И.И. Шарапудинова [17] этот результат был обобщен на переменный показатель. Напомним, что для этого потребовалось ввести модуль непрерывности (1.45), основанный на усредненном сдвиге.

Теорема (Шарапуцинов). Пусть р(х) е V109, /(х) € ЕР^. Тогда справедлива оценка

/ ь

В главе 1 в терминах модуля непрерывности

0, (5 = 0,

вир ||/ - ¿/¿(ЛИК-),«» 5 >

0<Н<5

(2)

основанного на функции Стеклова 5/^/), получена аналогичная оценка для функций /(х) £ Ь^ (см. §1.3.4).

Теорема 5. Пусть р{х) е Vlog, w{x) € Я(р) П [(J

L и

v(-)

f G Lw ' имеет место оценка

. Тогда для

II/ - Qn{f)\\p{.),w < c(p,w)n{f, -)р(.),„,.

ТЪ

Доказательство этой теоремы состоит из двух шагов.

На первом шаге оценивается скорость сходимости сумм Фурье - Ха-ара для функций из так называемых классов Соболева Классом Соболева W^ W(M) с переменным показателем р(х) и весом w(x) называется множество г — 1 раз непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций f(x), для которых f^r~l\x) абсолютно непрерывна, а /<г>(:г) G и \\f^\\p(.),w < М. Положим = Um>oW^}JM),

= ® §1-3.3 доказана следующая теорема.

Теорема 6. Пусть р(х) е Vl°9, w(x) е Щр) П [UAkoP5")

U

лива следующая оценка для / € Wp^iW

Справед-

II/ - Яп(Л\\р(.),ги < /%(•),

/ С

На втором шаге вводится оператор:

и и х+И

©,(/)(*) = Ц 8н(Л(х)М = 0 < " ^

и/2 и/2 х

Отметим, что данный оператор использовался при доказательстве приведенной выше теоремы Шарапудинова из статьи [17, §5] (см. также [19, с. 291]). В данной работе нам понадобилось исследовать некоторые свойства этого оператора в весовом случае. Приведем некоторые из них (см. §1.3.4):

а) Для любого /(х) € Ь2^х\ ги €И(р) выполняется неравенство

II (@ЛЛ)\а. < «<р) о<и<1.

b) е„(/) € Идля / е ¿5*',«; € Н(р),0 < V < 1.

c) Пусть / Е Е %(р),0 < ь> < 1. Тогда справедливо неравенство

Доказательство теоремы 5 основано на использовании свойств а) - с) и теоремы 6.

Отметим, что все основные результаты главы 1 получены для р(х) > 1. Другими словами, мы не налагаем на показатель искусственного ограничения р > 1, часто встречающегося в иностранной литературе.

Перейдем теперь к рассмотрению второго направления (глава 2). Вопросы поточечной сходимости сумм Фурье - Хаара

рассматривались многими авторами (см., например, [20], [18] и цитированную там литературу). В частности, сначала Фабер [21], а затем Ульянов [18, с. 368] показали, что для функций ограниченной вариации суммы Фурье -Хаара (3) обладают следующими свойствами:

1°. Суммы (3) сходятся во всех точках непрерывности функции /(¿).

2°. Суммы (3) сходятся во всех двоично-рациональных точках.

3°. Суммы (3) существенно расходятся в каждой двоично-иррациональной точке разрыва функции /(£).

В данной работе более подробно рассмотрено свойство 3°, когда двоично-иррациональная точка разрыва является рациональной. В этом случае удаётся точно определить структуру последовательности частичных сумм Фурье - Хаара в данной точке.

<г>

1

к=1

(3)

о

Целью §2.1 главы 2 является более детальное исследование поведения сумм Фурье - Хаара для функций ограниченной вариации в окрестностях рациональных двоично-иррациональных точек разрыва.

Из определения функций Хаара 1.1 непосредственно выводится равенство

■ \<ЭАхо), 2к < N <2к -{- г'о,

Яы(х о) = <

2к + 10<И <2к+\ где хо € (0,1) - двоично-иррациональная точка, а ¿о = ¿о{к) - номер того двоичного интервала (1.2) из /г-той пачки, который содержит точку х^. Поэтому для изучения поведения частичных сумм Фурье - Хаара ЯиЦ^) в точке ¿о достаточно ограничиться рассмотрением сумм с номерами N = 2к.

Как известно, частичные суммы Я2к{1->х) постоянны на двоичных интервалах Агк [22, с. 71]. Обозначим через дь значение Я2^{/,х) на Аг£: Чк = Я2><(1,х),х

В §2.1.3 доказана следующая теорема.

Теорема 7. Если хо - рациональная двоично-иррациональная точка, двоичное разложение

со

X—т I) '

х0 = о, &1&2 • • • ьпьп+1... = ф> Ьу е {о, 1},

•7=1

которой имеет период длины п, то числовая последовательность дх- = Я2к{1,х), х £ Аг£ для любой функции ограниченной вариации / со скачком в точке хо будет представлять собой объединение п сходящихся последовательностей:

Яы+р -> Я*о + 0)-ур (/(а-0 + 0) - ¡(хо - 0)), I оо, 0 < р < п, где ур = (0, Ьр+1Ьр+2 .. .)г.

В главе 2 рассмотрены также локальные аппроксимативные свойства сумм Валле-Пуссена по тригонометрической системе (см. §2.2).

Пусть f{x) - суммируемая 27г-периодическая функция. Для каждой такой функции можно определить частичную сумму Фурье порядка п:

п

5П(/, х) = ^ + ^^ a*; cos кх + Ък sin кх, 2 к=i

2 2тг ^ 2тг

где ак — — f f(t) cos ktdt, bk = — Г /(í) sin ktdt.

Ti" о ^ о

Суммы Валле-Пуссена представляют собой усеченные средние арифметические частичных сумм Фурье:

.. т—1 771

к=0

Аппроксимативные свойства сумм Валле-Пуссена в равномерной метрике для некоторых классов непрерывных и гладких функций рассматривались в работах [23-28]. В интегральной метрике исследования подобного рода можно найти, например, в статьях [29,30]. Однако вопросы локальных аппроксимативных свойств сумм Валле-Пуссена на классах кусочно гладких функций до последнего времени оставались малоизученными.

Целью §2.2 главы 2 является исследование скорости приближения кусочно гладких функций суммами Валле-Пуссена.

В данной работе рассмотрены пространства кусочно гладких функций, которые вводятся следующим образом. Через Wp([a,b]) обозначим пространства Соболева, состоящие из г — 1 раз непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций fix), для которых f^r~l\x) абсолютно непрерывна на [а, 6], a f(r\x) € Z^([a,6]). Пусть теперь дано конечное разбиение отрезка [0,2тг]

А = {0 = 0О < 9i < ■ ■ ■ < 9Я = 2тг}.

Тогда через обозначим пространство 27г-периодических функций,

которые на каждом отрезке [0¿,0¿+i] можно превратить в функцию из Wp{[0i,6i+1]) путём переопределения её на концах.

Величина уклонения функций /(х) из от классических сумм

Валле-Пуссена У£(/) была рассмотрена в [31].

Теорема 8. Для функций /(х) € И7^ справедлива следующая оценка остатка при приближении суммами Валле-Пуссена (п > 1):

ш - х)\ < Ш■ * 6 +^ - 4

2 4 ' г=1

где Mf = шахЩ/Цоо, Ц/'Ц«,, ЦЩ^ ИЛЬ}, е > 0 - любое число.

В настоящей работе этот результат переносится на более широкое множество Кроме того, оценка дается для общих сумм Валле-Пуссена V™ при произвольных тип.

Теорема 9. Для функций ¡(х) из класса справедлива следующая оценка остатка при приближении суммами Валле-Пуссена (п > О, т > 1):

1/М - О/,*) | < ^(Д + * € 1>-. + - е]

2 4 ¿=1

где = тах{||/||оо, Ц/'Цоо» Ц/'ЦооЬ а £ - любое положительное число.

Доказательство этой теоремы дано в §2.2.3. Оно опирается на ряд вспомогательных утверждений, которые вместе с доказательствами приведены в §2.2.2.

В теории приближений часто рассматривается задача оценки величины верхней грани по некоторому классу уклонения функции от приближающего полинома. Используя теорему 9, можно получить подобную оценку для классов состоящих из функций /(&•) £ И7^, удовлетворяющих

условиям И/^Иоо <м,г = 0,1,2.

ч

Следствие. Пусть е > О, V = У [0г-х+е, в{—е]. Имеет место неравенство:

г—\

М / 4д 1

где

< + 144)—

"Ч 00 / 7Г Чбш § / т(п 4-1)

ОЙ',*) = виршах\/(х) -

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Найдены необходимые и достаточные условия базисности двумерной системы Хаара {Хп,т{х,у)} в пространстве Лебега О, I]2) с переменным показателем р(х, у).

2. Рассмотрены вопросы базисности системы Хаара в весовых пространствах Лебега Найдены достаточные условия на показатель р(х) и вес w(x), при которых система Хаара образует базис в Lfu \

3. Исследована скорость приближения функций из пространств Лебега Ilw^ и Соболева Wp^iW суммами Фурье - Хаара в терминах модуля непрерывности (2).

4. Рассмотрены условия вложенности Lfj2^ с L1. Получены достаточные условия на вес, при выполнении которых указанное вложение выполнено. Было также показано, что эти условия близки к необходимым.

5. Изучено поведение частичных сумм Фурье - Хаара для функций ограниченной вариации в окрестностях рациональных двоично-иррациональных точек разрыва.

6. Исследованы локальные аппроксимативные свойства сумм Валле-Пуссена V™(/, х) на классах кусочно гладких функций f{x). Получена оценка скорости стремления величины |V£{f,x) — f{x) | к нулю для таких функций.

Научная новизна. Все результаты, приведенные в диссертации, новые и получены автором.

Научная и практическая значимость. Результаты, полученные в настоящей диссертации, на наш взгляд, представляют интерес для научного сообщества, поскольку вносят определенный вклад в развитие бурно развивающейся теории приближений в пространствах Лебега с переменным

показателем, а также в развитие теории тригонометрических рядов Фурье. Стоит отметить к тому же, что результаты данной работы могут найти прямое применение в практических вопросах, таких, как обработка, сжатие и хранение цифровых сигналов (изображений, звука, видео).

Степень достоверности. Основные результаты вместе со строгими математическими доказательствами опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах. Полученные результаты не противоречат результатам других авторов по данной тематике.

Апробация работы. Результаты данной диссертационной работы докладывались на конференциях:

• Международная научная конференция «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» (Волгодонск, 4-8 июля

2011 г.),

• VI Региональная научно-практическая конференция «Информационные технологии: математические аспекты» (Дагинформ-2011) (Махачкала, 26 ноября 2011 г.),

• 16-я Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения (г. Саратов, 27 января - 3 февраля 2012 года, статус - международная),

• 8-я Региональная школа-конференция молодых ученых «Владикавказская молодежная математическая школа» (г. Владикавказ, 16-21 июля

2012 года),

• Международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 14-20 июля 2013 г.),

• 17-я Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения (г. Саратов, 27 января - 3 февраля 2014 года, статус - международная),

а также на научных семинарах Отдела математики и информатики Дагестанского научного центра РАН.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 печатных изданиях [31-42], 6 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [31-36], 6 — в тезисах и материалах конференций [37-42].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 109 страниц. Список литературы содержит 53 наименования.

Глава 1

Приближение функций из весовых пространств Лебега и Соболева с переменным показателем суммами Фурье по системе Хаара

1.1 Предварительные сведения 1.1.1 Система Хаара

Как известно [22], функции Хаара {Хп{х)}™=\ определяются на отрезке [0,1] следующим образом:

где п = 2к + г, к = 0,1,..., г = 1,..., 2к, а Ап - это двоичный интервал вида

Ап — замыкание интервала Дп, а Д+, Ап — соответственно правая и левая половины интервала Дп.

О, х <£ Дп, = 1, Хп(х) = 2к/'2, х е Д+,

-2к/\ х е Д~,

71 '

(1.1)

(1.2)

Значения в точках разрыва и на концах выбираются так, чтобы выполнялись равенства

Хп(х) = + 0) + х(х -0)),хе (0,1);

Хп(0)=Хп(+0),Хп(1) = Хп(1-0).

Интервалы Ап и функции Хаара Хп(%) с номерами п = 2к 4- г, г — 1,..., 2к называют соответственно интервалами и функциями к-й пачки.

Отметим некоторые свойства двоичных интервалов (доказательство см. в [22]):

1) двоичные интервалы из одной пачки либо не пересекаются, либо совпадают:

Д[ П Дд. = 0, г ф 3, г, 3 = 1,2,..., 2*, к = 1,2,...

2) произвольные двоичные интервалы Ап и Д^ либо не пересекаются, либо один из них содержит другой:

(Ап пАт = 0)=> {Ап С Ат V Ат С Дп)

Через Л„1, Л„2, • • •, будем обозначать интервалы постоянства системы функций Х\{х)т- ■ ■> Хп{х) [43, с. 17]. Если п = 2^ + г, то

«¿т, 1 < 5 < 2г,

|Ап,|=<!2 " " (1.3)

2г + 1 < 5 < п.

Частичные суммы Фурье Яп{1,х) для функции /(х) определяются, как обычно, следующим образом:

71

<2пС/» = С1-4)

к=1

где

1

Ск = I д*)х*№<й

Для частичных сумм Фурье-Хаара справедлива формула [43, с. 21]:

Qn(f,x) = —Ц- [ f(t)dt, х G \ns. (1.5)

Hns| J

A ns

Напомним некоторые определения.

Определение 1.1. Система функций {(рп{х)У^=1 С L2{E) называется ор-тонормированной, если

II, п = т, О, пфт.

Определение 1.2. Система элементов банахова пространства X называется полной в X, если замыкание линейной оболочки этой системы совпадает со всем пространством X.

Определение 1.3. Система элементов {хп} банахова пространства X называется базисом в X, если для любого элемента х G X существует единственный ряд

оо

х^^2апхп, ап = ап(х) G R1, п — 1,2,...,

п= 1

сходящийся к х по норме пространства X.

Используя свойства двоичных интервалов, легко показать, что система Хаара является ортонормированной. Полнота же данной системы в пространствах If, 1 < р < оо вытекает из приведенного ниже утверждения 1.1 [22, с. 71]. Для его формулировки нам понадобится пространство функций Dлг, представляющее собой TV-мерное линейное пространство кусочно постоянных функций, заданных на [0,1], следующего вида:

г % — 1 Z

:= | f(x) = а = const, х G (——, —), г = 1, 2,..., N;

/ф = l<i<N, ДО) = сь/(1) = cN}.

/

Утверждение 1.1. При N = 2к линейная оболочка функций {Xn{%)}n=i совпадает cDn.

Более того, справедливо следующее утверждение [22, с. 75].

Утверждение 1.2. Система Хаара {Xn(x)}%Li образует базис в пространстве ¿/([О,1]), 1 < р < оо. При этом

||/ - Qn(f)||р < c(p)wp(~, /), n = 1,2,...,

ТЬ

где c(p) = 41/P(i + 2*>)1/p

1.1.2 Пространство Лебега с переменным показателем

Пусть Е - измеримое множество. Измеримые и конечные почти всюду на множестве Е неотрицательные функции р(х) будем называть показательными функциями или просто показателями на Е.

Определение 1.4. Пространством Лебега L1'^ (Е) с переменным показателем р{х) называется множество измеримых функций f(x), определённых на Е и удовлетворяющих условию

J \f(x)\p[x)»(dx) < со.

Е

В последние годы эти пространства вызывают все усиливающийся интерес у специалистов из самых различных областей [1-3]. Систематическое исследование топологии указанных пространств впервые было дано в работе Шарапудинова И.И. [8]. В частности, в ней было показано, что если

1 <р(Е) < р(Е) < ос*, (1.6)

'Здесь и далее символами р{М), р{М) будем обозначать essinfp(x) и ess supр{х) соответственно

хем

то топология пространства нормируема и одну из эквивалентных

норм можно определить, полагая для / е

тр{х)

\\f\\p{.) = \\f\\PÍ.)(E) = mí{a>0: J

Другими словами, ||/||р(.) - это такое число, что

а

dx < 1}.

(1.7)

/

Е

№ 11/11,0

р(х)

¡i(dx) = 1.

(1.8)

Далее символом V(E) будем обозначать показательных функций р(х), удовлетворяющих условию (1.6). Нам также понадобится обозначение для тех р{х) из V(E), которые удовлетворяют дополнительному ограничению 1 < р(Е). Соответствующее множество будем обозначать с помощью V(E).

Приведем здесь некоторые свойства пространств Лебега с переменным показателем, которые будут неоднократно применяться в дальнейшем.

Утверждение 1.З.. Если р{х) > 1, х £ М (не исключая и случай, когда р(М) = 1), то справедливо неравенство типа Гёлъдера для пространств Лебега с переменным показателем (см. [1, нер-во (8)]):

J \f{x)\\g(x)\p{dx) < с(р, М) • ||/|U.)(M) • \\g\\p>(.){M), м

гдеяг) + ш = 1' - т + да-

Если р(х) - измеримая существенно ограниченная функция, такая, что р{Е) > 1, то сопряжённый показатель р'(х), определяемый формулой

будет обладать теми же свойствами. Оказывается, что в этом случае пространство Z/W является сопряжённым к пространству D^ [2, §1.4]. Поэтому, в частности, при этих условиях рефлексивно, и справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1.4. Пусть р(х) G V{E). Тогда в LP^ можно ввести норму, эквивалентную (1.7) [2, §1.5]:

\\f\\*p(.)(E) = sup [ f(x)g(x)fi(dx).

Следующее утверждение показывает связь между пространствами LP^ и Lq(x\ когда переменные показатели связаны неравенством р(х) < q(x).

Утверждение 1.5 (см. [2, §1.6]). Пусть на множестве Е заданы функции р(х) и q(x), удовлетворяющие условиям

1 < р(х) < q(x) < q(E) < оо.

Тогда для любого элемента

имеет место неравенство 11/1 \м{Е)<с{рлЕ)\\!\\м(Е\

где

, ™ f 1 \ q(x)

с(Р,q, + —

Для постоянного показателя р норма пространства LP обладает свойством монотонности как по аргументу, так и по области:

1) |/(ж)| < \g(x)\,x ЕЕ=> \\f\\p(E) < \\д\\р(Е).

2) Ас В => \\f\\p(A) < \\f\\P(B).

Эти свойства справедливы и для переменного показателя. Действительно, используя (1.8), получим

/М р{х) ч ^ /* 9(х) р{х)

p(dx) < / .. |. ! ¡i{dx) = 1,

1Ы1Р(.) З НЛо

Е Е

откуда в соответствии с определением (1.7) и следует, что ||/||р(.) < Совершенно аналогично доказывается и свойство 2) для переменного показателя. Таким образом, верны следующие утверждения.

Утверждение 1.6. Пусть д(х) € Ьр('х\Е). Если \/(х)\ < \д(х)\,х € Е, то

\\Л\Р(-)(Е) < \\д\\р{.)(Е).

Утверждение 1.7. Пусть /(ж) £ 1/^х\В). Тогда для любого измеримого подмножества А С В верно следующее неравенство

\\fUM) < \\Л\Р{.)(В).

Среди множества показателей р(х), удовлетворяющих условиям (1.6), важную роль играют те показатели, для которых выполняется так называемое условие Дини - Липшица *

1

\р(х)-р{у)\

1п

< С. (1.9)

\х-у\

Соответствующий класс показателей будем обозначать символом Т)1°9{Е). Если Е = [0,1], то будем просто писать V109.

1.1.3 Весовое пространство Лебега с переменным показателем

Пусть и)(х) - неотрицательная почти всюду (п.в.) положительная суммируемая функция (вес), определённая на множестве Е с мерой Лебега ц.

Определение 1.5. Весовым пространством Лебега с переменным показателем ьйх){Е) называется множество измеримых на Е функций /(х), удовлетворяющих условию

Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Магомед-Касумов, Магомедрасул Грозбекович, 2015 год

Литература

1. Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents / L. Diening, P. Har-julehto, P. Hasto et al. Springer, 2011. Vol. 2017 of Lecture Notes in Mathematics. 509 p.

2. Шарапудинов И.И. Некоторые вопросы теории приближений в пространствах Лебега с переменным показателем / под ред. А.Г. Кусраев. Итоги науки. Юг России. Математическая монография № 5. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2012. 270 с.

3. Cruz-Uribe D., Fiorenza A. Variable Lebesgue Spaces: Foundations and Harmonic Analysis. Springer, 2013. 312 p.

4. Variable Lebesgue Spaces and Hyperbolic Systems / D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza, M. Ruzhansky et al.; Ed. by S. Tikhonov. Birkhauser, 2014. 173 p.

5. Zhang Q., Qiu Z., Liu X. Existence of multiple solutions for weighted p(r)-Laplacian equation Dirichlet problems // Nonlinear Anal. 2009. Vol. 70, no. 10. P. 3721-3729.

6. Zhang X., Liu X. The local boundedness and Harnack inequality of p(x)-Laplace equation // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 332. P. 209-218.

7. Жиков B.B. О плотности гладких функций в пространстве Соболе-ва-Орлича // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 35. Т. 310 из Зап. научи, сем. ПОМИ. СПб.: ПОМИ, 2004. С. 67-81.

8. Шарапудинов И.И. О топологии пространства 0,1]) // Матем. заметки. 1979. Т. 26, № 4. С. 613-632.

9. Fan X., Zhao D. On the Spaces and Wm^x\Q) // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2001. Vol. 263, no. 2. P. 424-446.

10. Шарапудинов И.И. О базисности системы Хаара в пространстве 1^([0,1]) и принципе локализации в среднем // Матем. сб. 1986. Т. 130(172), № 2(6). С. 275-283.

11. Diening L. Maximal function on Musielak-Orlicz spaces and generalized Lebesgue spaces // Bull. Sci. math. 2005. Vol. 129. P. 657-700.

12. Maximal functions in variable exponent spaces: limiting cases of the exponent / L. Diening, P. Harjulehto, P. Hasto et al. // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 2009. Vol. 34. P. 503-522.

13. Nekvinda A. Hardy-Littlewood maximal operator on (R) I I Math. In-equal. Appl. 2004. Vol. 7, no. 2. P. 255-265.

14. Cruz-Uribe D., Fiorenza A., Neugebauer C. J. The maximal function on variable LP spaces // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 2003. Vol. 28. P. 223238.

15. Шарапудинов И.И. Некоторые вопросы теории приближений в пространствах // Anal. Math. 2007. Т. 33, № 2. С. 135-153.

16. Шарапудинов И.И. О базисности системы полиномов Лежандра в пространстве Лебега LP^X\—1,1) с переменным показателем р(х) // Матем. сб. 2009. Т. 200, № 1. С. 137-160.

17. Шарапудинов И.И. Приближение функций из пространств Лебега и Соболева с переменным показателем суммами Фурье-Хаара // Математический сборник. 2014. Т. 205, № 2. С. 145-160.

18. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара // Математический сборник. 1964. Т. 63, №3. С. 356-391.

19. Guven A., Israfilov D. Trigonometric approximation in generalized lebesgue spaces LPW H J. Math. Inequ. 2010. Vol. 4. P. 285-299.

20. Голубов Б.И. Ряды по системе Хаара // Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. 1970. М: ВИНИТИ, 1971. С. 109-146.

21. Faber G. Uber die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar // Deutsche Math.-Verl. 1910. Vol. 19. P. 104-112.

22. Кашин Б.С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. 2-е, доп. изд. М.: Изд-во АФЦ, 1999. 560 с.

23. Никольский С.М. О некоторых методах приближения тригонометрическими суммами // Изв. Ак. наук СССР, серия математическая. 1940. Т. 4. С. 509-520.

24. Теляковский С.А. Приближение дифференцируемых функций суммами Балле Пуссена // Доклады Ак. наук СССР. 1958. Т. 121. С. 426^29.

25. Ефимов A.B. О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена // Изв. Ак. наук СССР, серия математическая. 1959. Т. 23. С. 737-770.

26. Ефимов A.B. О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена. II // Изв. Ак. наук СССР, серия математическая. 1960. Т. 24. С. 431-468.

27. Захаров A.A. Об оценке уклонения непрерывных периодических функций от сумм Валле Пуссена // Матем. заметки. 1968. Т. 3, № 1. С. 77-84.

28. Овсий Е.Ю., Сердюк A.C. Приближение непрерывных периодических функций суммами Балле Пуссена // Zb. Pr. Inst. Mat. NAN Ukr. 2011. Т. 8, № 1. С. 151-161. URL: http://arxiv.org/pdf/1211.5424vl.pdf.

29. Байбородов С.П. Приближение функций суммами Балле Пуссена // Ма-тем. заметки. 1980. Т. 27, № 1. С. 33-48.

30. Шарапудинов И.И. Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена на классах типа Соболева с переменным показателем // Вестник Дагестанского научного центра РАН. 2012. Т. 45. С. 5-13.

31. Магомед-Касумов М.Г. Аппроксимативные свойства классических средних Валле-Пуссена для кусочно гладких функций // Вестник Дагестанского научного центра РАН. 2014. Т. 54. С. 5-12.

32. Магомед-Касумов М.Г. Особенности поведения частичных сумм Фурье-Хаара в двоично-иррациональных точках разрыва // Сибирский математический журнал. 2013. Т. 54, № 6. С. 1331-1336.

33. Magomed-Kasumov М. Peculiarities of the partial Fourier-Haar sum behavior at dyadic irrational discontinuity points // Siberian Mathematical Journal. 2013. Vol. 54, no. 6. P. 1060-1064.

34. Магомед-Касумов М.Г. Сходимость прямоугольных сумм Фурье-Хаара в пространствах Лебега с переменным показателем ц>М // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, № 1(2). С. 76-81.

35. Магомед-Касумов М.Г. Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем // Владикавказский математический журнал. 2014. Т. 16, № 3. С. 38-46.

36. Магомед-Касумов М.Г. Приближение функций суммами Хаара в весовых пространствах Лебега и Соболева с переменным показателем // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, № 3. С. 295-304.

37. Магомед-Касумов М.Г. Явление Гиббса для частичных сумм Фурье-Хаара // Математический форум. Т . 5. Исследования по математическому анализу и дифференциальным уравнениям. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. С. 139-144.

38. Магомед-Касумов М.Г. Явление Гиббса для частичных сумм Фурье-Хаара // Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование: тезисы докладов международной научной конференции (Волгодонск, 4-8 июля 2011 г.). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. С. 183.

39. Магомед-Касумов М.Г. Сходимость прямоугольных сумм Фурье-Хаара в пространствах Лебега II Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 16-й Сарат. Зимней школы. Саратов: ООО «Издательство «Научная книга», 2012. С. 112.

40. Магомед-Касумов М.Г. Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов международной научной конференции (Владикавказ, 14-20 июля 2013 г.). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2013. С. 68-69.

41. Магомед-Касумов М.Г. Приближение функций суммами Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 17-й Сарат. Зимней школы. Саратов: ООО «Издательство «Научная книга», 2014. С. 173-176.

42. Магомед-Касумов М.Г. Приближение кусочно гладких функций суммами Валле-Пуссена // Тезисы докладов Международной научной конференции "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование"(пос. Дивноморское, 7-13 сентября 2014 года). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2014. С. 52-53.

43. Соболь И.М. Многомерные квадратные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969. 288 с.

44. Diening L., Hasto P. Muckenhoupt weights in variable exponent spaces. 2008. Preprint.

45. Cruz-Uribe D., Diening L., Hasto P. The maximal operator on weighted variable Lebesgue spaces // Fract. Calc. Appl. Anal. 2011. Vol. 14, no. 3. P. 361-374.

46. Izuki M. Wavelets and modular inequalities in variable LP spaces I I Georgian Math. J. 2008. Vol. 15, no. 2. P. 281-293.

47. Izuki M. Wavelets and modular inequalities in variable LP spaces. 2007. Preprint.

48. Шарапудинов И.И. О равномерной ограниченности в Lf (р = р{х)) некоторых семейств операторов свертки // Матем. заметки. 1996. Т. 59, № 2. С. 291-302.

49. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967. 416 с.

50. Шах-Эмиров Т.Н. О равномерной ограниченности семейства операторов Стеклова в весовых пространствах Лебега с переменным показателем // Вестник Дагестанского научного центра РАН. 2014. Т. 54. С. 12-17.

51. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полна Г. Неравенства. М.: Наука, 1948. 456 с.

52. Зигмунд А. Тригонометрические ряды / под ред. Н.К. Бари. Москва: Издательство «Мир», 1965. Т. 1. 615 с.

53. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Т. 2. 810 с.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.