ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ АНАЛИЗА МОДЕЛЕЙ НИЗКОРАЗМЕРНЫХ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Лыонг Ле Хай

• Лыонг Ле Хай
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Лыонг Ле Хай

Введение

Глава 1. Физические и математические модели

1.1. Физическая и математическая модель ридберговских состояний водородоподобного атома

1.2. Физическая и математическая модель туннелирования двух связанных частиц

1.3. Физическая и математическая модель волноводного распространения электромагнитного излучения

1.4. Редукция краевой задачи к системам ОДУ второго порядка

Глава 2. Вычислительные схемы решения краевых задач для системы ОДУ второго порядка

2.1. Краевые задачи для системы ОДУ и симметричный квадратичный функционал

2.2. Вычислительные схемы МКЭ с ИПЭ

2.3. Тестовые примеры применения программы KANTBP 4Ы

Глава 3. Решение задачи на собственные значения для моделей волноводного типа и ридберговских состояний атома водорода

3.1. Решение задачи на собственные значения волноводного типа с кусочно-постоянными потенциалами

3.2. Схема расчета ридберговских состояний атома водорода и скоростей радиационных переходов в постоянном магнитном поле

Глава 4. Решение многоканальной задачи рассеяния волноводного типа и задачи квантового туннелирования двухчастичных систем

4.1. Кусочно-постоянные потенциалы волноводного типа

4.2. Модели тунелирования системы двух тождественных квантовых частиц через потенциальные барьеры

Заключение

Список публикаций по теме диссертации

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ АНАЛИЗА МОДЕЛЕЙ НИЗКОРАЗМЕРНЫХ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ»

Актуальность темы исследования.

В настоящее время низкоразмерные квантовые и классические системы во внешних полях интенсивно исследуются из-за разнообразия их приложений в процессах фотоионизации, рекомбинации атомов и молекул, радиационных переходов ридберговских состояний атомов в магнетооптических ловушках [13], приповерхностной квантовой диффузии молекул [4], распространения света в нерегулярных интегрально-оптических волноводах [5-16]

Объектами моделирования являются процессы тунелирования составных квантовых систем через многомерные барьеры, радиационных переходов в рид-берговских состояниях атомов в магнетооптических ловушках и формирования поперечного распределения электромагнитного поля волноводных мод, распространяющихся в нерегулярных интегрально-оптических структурах. Математической моделью каждого из них является уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа в неограниченной области с различными потенциалами, не допускающими разделения переменных и с различными граничными условиями. Для решения, возникающих в этих моделях задач, мы применяем метод Канторовича - приведение исходной задачи к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка с редуцированными граничными условиями в конечной области [17]. Далее мы решаем возникающие при этом краевые задачи методом конечных элементов (МКЭ) [18] с интерполяционными полиномами Эрмита (ИПЭ) [19] и иллюстрируем применение разработанных нами вычислительных схем, алгоритмов и программ к анализу физически приемлемых или упрощенных моделей.

Степень разработанности темы исследования.

В этом направлении в рамках вариационно-проекционных формулировок краевых задач и метода конечных элементов высокого порядка точности были разработаны и применены для решения ряда низкоразмерных квантовомеха-

нических задач, т.е. систем с ограничением по одной или нескольким независимым переменным, например, фотоионизации атома водорода в магнитном поле, фотоабсорпции в ансамблях полупроводниковых квантовых точек, каналирова-ния ионов и т.д., вычислительные схемы, численно-аналитические алгоритмы и проблемно-ориентированные комплексы программ для решения краевых задач динамики малочастичных квантовых систем [20].

В вычислительной схеме, алгоритмической и программной реализации МКЭ, в качестве локальных функций использовались интерполяционные полиномы Лагранжа, что позволяло получить только значения приближённого решения в узлах конечноэлементной сетки. Однако решение более широкого класса краевых задач, включает вычисление не только значений приближённого решения, но и их производных в узлах конечноэлементной сетки, например, вычисление плотности тока вероятности в квантовомеханических системах или тока носителей заряда в полупроводниковых квантоворазмерных системах [21]. В этом случае требуется разработка схем МКЭ, в которых в качестве локальных функций, имеющих непрерывные производные на границах конечных элементов, применяются ИПЭ. В литературе известны примеры конечноразностных и конеч-ноэлементных схем с ИПЭ [18, 21, 22], однако отсутствует быстрый алгоритм генерации в аналитическом виде ИПЭ высокого порядка [23, 24], необходимый для построения и численного анализа схем МКЭ высокого порядка точности для дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков [25].

Другая нерешённая проблема в формулировке краевых задач, построения схем МКЭ и их алгоритмической реализации связана с отсутствием симметрии коэффициентных функций по независимой переменной, например, профиля показателя преломления или составных потенциалов квантовых систем, которые приводят к различному числу открытых каналов задачи рассеяния на оси в разных асимптотических областях [26-29]

Таким образом, разработка эффективных численных и аналитических методов, экономичных вычислительных схем, алгоритмов и создание проблемно-

ориентированных комплексов программ для анализа математических моделей и решения эллиптических краевых задач, в зависимости от физических параметров и параметров вычислительных схем, является актуальной проблемой математического моделирования низкоразмерных квантовых и волноводных систем.

Цель диссертационной работы.

Разработка эффективных численных и аналитических методов, экономичных вычислительных схем, алгоритмов и создание проблемно-ориентированных комплексов программ решения краевых задач для систем ОДУ второго порядка с вещественными коэффициентами и их применение для исследования математических моделей низкоразмерных квантовых систем.

Основные цели диссертации достигаются решением следующих задач:

1. Разработка эффективных численно-аналитических методов и вычислительных схем редукции математических моделей низкоразмерных квантовых систем - краевых задач в бесконечной области изменения независимых переменных к системам ОДУ второго порядка с однородными краевыми условиями первого, второго и третьего рода на конечном интервале.

2. Разработка алгоритмов дискретизации краевых задач на конечном интервале для систем ОДУ второго порядка с вещественными коэффициентами, применяя МКЭ с ИПЭ, и создание комплексов программ для анализа и численного решения краевых задач.

3. Численные исследования скорости сходимости разложения искомого решения краевых задач для систем ОДУ второго порядка по числу базисных функций МКЭ и точности вычисления приближенных решений с помощью разработанных алгоритмов и комплексов программ на точнорешаемых моделях и численных экспериментов на сгущающихся сетках.

4. Применение разработанного комплекса программ для анализа динамических характеристик моделей низкоразмерных квантовых систем:

- ридберговских состояний атома водорода и скоростей радиационных перехо-

дов при больших значениях магнитного квантового числа |т| и лабораторных значениях постоянного магнитного поля;

- квантового туннелирования двухатомной молекулы через барьеры.

Научная новизна диссертации состоит в следующем.

1. Построены новые эффективные вычислительные схемы МКЭ высокого порядка точности с применением ИПЭ и оригинальные экономичные алгоритмы, реализованные в виде проблемно-ориентированного комплекса программ численного решения краевых задач для системы ОДУ второго порядка с однородными краевыми условиями первого, второго или третьего рода.

2. С помощью разработанных численно-аналитических вычислительных схем и созданных проблемно-ориентированных комплексов программ выполнен анализ динамических характеристик:

- модели ридберговских состояний атома водорода и скоростей радиационных переходов при больших значениях магнитного квантового числа |т| при лабораторных значениях постоянного магнитного поля,

- модели квантового туннелирования двухатомной молекулы через отталкивающие барьеры. Выявлен эффект квантовой прозрачности барьеров при резонансном туннелировании двухатомных молекул.

Теоретическая значимость. Разработанные вычислительные схемы и алгоритмы на основе МКЭ и ИПЭ позволяют решать краевые задачи для систем ОДУ второго порядка с переменными вещественными коэффициентами, которые могут применяться при решении краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений методом Канторовича.

Практическая значимость. На основе разработанных вычислительных схем и алгоритмов созданы проблемно-ориентированные комплексы программ, которые могут применяться численного решения краевых задач моделей вол-новодных и низкоразмерных квантовых систем. В общей сложности в перечисленных выше комплексах программ задействовано около 5000 операторов фор-транного кода и около 500 операторов мэпловского кода. Программа KANTBP

4M решения в системе Maple краевых задач для системы ОДУ второго порядка с полным описанием и тестовыми примерами представлена в библиотеке программ ОИЯИ [Л10]. Разработанные вычислительные схемы, алгоритмы и проблемно-ориентированные комплексы программ используются в ОИЯИ, Саратовском государственном университете (СГУ, г. Саратов, Россия), Институте ядерной физики (ИЯФ, г. Алматы, Казахстан), Российско-Армянском (Славянском) университете (РАУ, г. Ереван, Армения) и университете им. Марии Кюри-Склодовска (UMCS, г. Люблин, Польша) для анализа низкоразмерных квантовых систем. Исследования выполнялись автором в соответствии с научно-тематическими планами научно-исследовательских работ ОИЯИ и БелГУ и в рамках протоколов о выполнении совместной научно-исследовательской работы c СГУ, ИЯФ, РАУ и UMCS.

Методология и методы исследования. Метод Канторовича, метод конечных элементов (МКЭ), интерполяционные полиномы Эрмита (ИПЭ), схемы теории возмущений.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Новые вычислительные схемы высокого порядка точности и алгоритмы для численного решения краевых задач для систем ОДУ второго порядка с переменными вещественными коэффициентами и однородными краевыми условиями первого, второго и третьего рода на основе метода конечных элементов с интерполяционными полиномами Эрмита.

2. Проблемно-ориентированные комплексы программ для численного и аналитического исследования математических моделей низкоразмерных квантовых систем. Программа KANTBP 4M решения краевых задач для системы ОДУ второго порядка в библиотеке программ ОИЯИ.

3. Согласие зависимости погрешностей собственных значений и собственных функций от шага конечноэлементной сетки с их теоретическими оценками порядка точности разработанных вычислительных схем, полученное в численном эксперименте.

4. Физические результаты для математических моделей низкоразмерных квантовых систем во внешних полях, полученные с помощью разработанных численно-аналитических вычислительных схем, алгоритмов и созданных комплексов программ:

- Собственные значения, собственные функции нижней части спектра и скорости радиационных переходов в модели ридберговских состояний атома водорода, при больших значениях магнитного квантового числа |m| и лабораторных значениях постоянного магнитного поля.

- Резонансная зависимость от энергии коэффициентов прохождения и отражения, демонстрирующая эффект квантовой прозрачности барьеров в модели квантового туннелирования двухатомной молекулы через отталкивающие барьеры и квантовой диффузии — понижение энергии активации барьеров при низких температурах.

Степень достоверности результатов. Корректность результатов подтверждена численными экспериментами на математических моделях низкоразмерных квантовых систем, допускающих точное решение, проверкой выполнения известных теоретических оценок погрешностей численных решений и сравнением с результатами других авторов.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях:

International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing, (3-6 сентября 2012 г., Марибор, Словения; 9-13 сентября 2013 г., Берлин, Германия; 8-12 сентября 2014 г., Варшава, Польша; 14-18 сентября 2015 г., Аахен, Германия), Международное рабочее совещание по компьютерной алгебре (23-24 мая 2012 г., 21-22 мая 2014 г., 26-27 мая 2015 г., Дубна), Международная научная конференция Объединения молодых ученых и специалистов ОИЯИ (8-12 апреля 2013 г., 16-20 февраля 2015 г., Дубна) Лазерная физика и фотоника, Симпозиум: Оптика и биофотоника, Saratov Fall Meeting, Саратов, (23-26 сентября 2013г.), и на научных семинарах Лаборатории информационных технологий

(ЛИТ) Объединённого института ядерных исследований (г. Дубна), факультета математики и естественнонаучного образования Белгородского государственного национального исследовательского университета (НИУ БелГУ г. Белгород), кафедры прикладной информатики и теории вероятностей факультета физико-математических и естественных наук РУДН (г. Москва), Компьютерная алгебра на факультете ВМК МГУ и ВЦ РАН (г. Москва).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 10 публикациях [Л1-Л10] из которых 7 в виде статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ [Л1-Л7], 2 в виде статей в трудах российских и международных конференций [Л4, Л5], программа КЛКТБР 4М решения краевых задач для системы ОДУ второго порядка в библиотеке программ ОИЯИ [Л10].

Соответствие темы диссертации требованиям паспорта специальностей научных работников. Диссертационная работа выполнена в соответствии с паспортом специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ:

п. 1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений;

п. 3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий; п. 4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Личный вклад автора. Автор диссертации, работая в коллективе соавторов, объединяющем сотрудников ЛИТ и ЛТФ ОИЯИ (г. Дубна), Саратовского государственного университета (г. Саратов), университета им. Марии Кюри-Склодовска (г. Люблин, Польша), ИЯФ (Алматы, Казахстан), самостоятельно разработал все вычислительные схемы, алгоритмы, программы и тесты, представленные в диссертации. Его вклад в разработку представленных математических моделей, компьютерное моделирование и анализ физических задач

является определяющим.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Объём диссертации - 137 страниц, 36 рисунков, 7 таблиц. Список литературы включает 73 наименования.

Основное содержание диссертации.

Во Введении аргументирована актуальность работы и сформулированы её цели. Поставлены основные задачи. Дан краткий обзор известных и предлагаемых формулировок математических моделей, вычислительных схем и численно-аналитических алгоритмов анализа низкоразмерных квантовых систем. Кратко изложено содержание разделов диссертации.

В главе 1 дан краткий обзор методов решения краевых задач и анализа моделей волноводных и низкоразмерных квантовых систем. Приведены формулировки физических моделей и соответстующих математических моделей. Обоснована необходимость использования метода Канторовича. Аргументирован выбор проведения численно-аналитических вычислений в среде Fortran-Maple.

В разделах 1.1—1.3 дана формулировка физических моделей и соответстующих математических моделей: ридберговских состояний водородоподобно-го атома, туннелирования двух связанных частиц через барьеры и волноводного распространения электромагнитного излучения.

В главе 2 представлена вычислительная схема решения краевых задач для системы ОДУ второго порядка с непрерывными или кусочно-непрерывн-ными коэффициентами и методом конечных элементов с интерполяционными полиномами Эрмита на конечном интервале, к которым редуцируется задача на связанные состояния или задача рассеяния на бесконечном интервале изменения независимой переменной. Основные результаты главы опубликованы в [Л1, Л2] и в описании программы KANTBP 4M [Л10].

В разделе 2.1 дана формулировка краевых задач для системы из N -ОДУ второго порядка относительно неизвестных вектор-функций независимой переменной заданной на конечном интервале с однородными краевыми услови-

ями первого, второго и третьего рода. Построен симметричный квадратичный функционал для редукции краевой задачи к алгебраической задаче методом конечных элементов. Дано краткое описание класса решаемых задач: многоканальной задачи рассеяния и задачи на собственные значения для системы ОДУ второго порядка на бесконечном интервале изменения независимой переменной, которые редуцируются к краевым задачам на конечном интервале. Многоканальная задачи рассеяния при фиксированном значении энергии редуцируется к системе ОДУ с граничными условиями третьего рода, где матрица логарифмических производных определяется из асимптотических решений задачи рассеяния, в которые входят искомые матрицы амплитуд прохождения и отражения. Поскольку собственные функции дискретного спектра экспоненциально убывают в асимптотической области, то исходная задача на связанные состояния редуцируется к краевой задаче на конечном интервале с условиями Дирихле или Неймана в граничных точках интервала и с условием нормировки.

В разделе 2.2 используя симметричный квадратичный функционал, построены вычислительные схемы решения краевых задач для систем ОДУ второго порядка с непрерывными или кусочно-непрерывнными коэффициентами и с однородными краевыми условиями первого, второго и третьего рода методом конечных элементов, сохраняющие в приближённых решениях свойства непрерывности производных искомых решений.

В разделе 2.2.1. выведены рекуррентные соотношения для вычисления в аналитическом виде интерполяционных полиномов Эрмита с узлами произвольной кратности. Из интерполяционных полиномов Эрмита сконструированы базисные кусочно-полиномиальные функции на конечноэлементной сетке с переменным шагом, аппроксимирующие решение исходной задачи.

В разделе 2.2.2. исходная краевая задача для системы ОДУ второго порядка в базисе кусочно полиномиальных функций редуцируется к обобщённой алгебраической задаче на собственные значения с ленточными матрицами жёсткости и масс. Построены матрицы жёсткости и масс в виде сумм интегралов,

содержащих заданные коэффициентные и потенциальные функции исходного самосопряженного дифференциального уравнения и вычисленные интерполяционные полиномы Эрмита и их производные. Интегрирование выполняется с помощью гауссовых квадратур, а в специальных случаях, включающих кусочно-полиномиальные коэффициентные и потенциальные функции, в аналитическом виде.

В разделе 2.2.3. используя симметричный квадратичный функционал, построена вычислительная схема решения алгебраической задачи относительно искомых матричного решения, матриц амплитуд прохождения и отражения, соответствующего краевой задаче для системы ОДУ второго порядка с краевыми условиями третьего рода, аппроксимирующей многоканальную задачу рассеяния при фиксированном значении E.

В разделе 2.3 даны анализ тестовых примеров применения программы KANTBP 4M, реализующей в системе Maple вычислительную схему разделов 2.1 и 2.2, подтверждающих согласие численных и теоретических оценок (2.33) точности приближённых решений.

В главе 3 дан анализ решений задачи на собственные значения для системы уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами волноводного типа. Представлена вычислительная схема расчета ридберговских состояний водоро-доподобного атома и скоростей радиационных переходов в постоянном магнитном поле B при больших значениях магнитного квантового числа |m|. Дано сравнение расчётов по схеме теории возмущений с численным решением задачи с заданной точностью с помощью программы KANTBP 4M. Основные результаты главы опубликованы в [Л3, Л4, Л5].

В разделе 3.1 дан анализ решений задачи на собственные значения для системы уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами волноводного типа.

В разделе 3.2 представлена схема расчёта и анализ ридберговских состояний при больших значениях магнитного квантового числа |m| и скоростей

радиационных переходов в магнитном поле с напряженностью В = yB0.

В разделе 3.2.1 представлена схема теории возмущений, реализованная в виде программы в системе Maple, решения параметрической задачи на собственные значения по поперечной переменной р при больших |m|, используя в качестве базиса невозмущённой задачи и собственные функции двумерного гармонического осциллятора с частотой шр = y/2. Кулоновский потенциал рассматривался как возмущение по сравнению с поперечным центробежным потенциалом и потенциалом осциллятора с частотой шр = y/2. При условии |m| > 6y-1/3 кулоновский потенциал аппроксимировался с заданной точностью разложением в ряд по степеням (р2 — p2s)k} к = 1,..., £:тах, где ра = yj2\m\/r) -специально выбранная точка — минимум суммы центробежного и осциллятор-ного потенциалов. Собственные функции Вгт(р; z), их производные по параметру z, элементы матриц эффективных потенциалов V(z) и Q(z). в системе ОДУ (2.1) и элементы матрицы дипольного оператора вычислялись в аналитическом виде до седьмого порядка (kmax = 7), с помощью программы EGVPT.

В разделе 3.2.2 представлена схема теории возмущений, реализованная в виде программы в системе Maple, решения задачи на собственные значения для ОДУ из раделов 1.1 и 2.1 в диагональном приближении по продольной переменной z при больших |m|, используя в качестве базиса невозмущённой задачи и собственные функции одномерного гармонического осциллятора с частотой uz по продольной переменной z. При условии |m| > (up/uz)4/3y-1/3 ~ 6y-1/3 для построения схемы теории возмущений использовалось разложение эффективных потенциалов Va(z) = Ei(z) + H„(z) в ряд по степеням z2k. Расчёты были выполнены до порядка Kmax = 5.

В разделе 3.2.3 представлены результаты и дан анализ расчёта ридбер-говских состояний атома водорода и скоростей радиационных переходов в лабораторном магнитном поле В = 6.1Тл решением краевой задачи.

В главе 4 представлены вычислительные схемы решения краевых задач моделей волноводного типа и квантового туннелирования двухатомной молеку-

лы через отталкивающие барьеры, дан анализ решений и коэффициентов прохождения и отражения в зависимости от энергии, тепловых постоянных скорости и энергии активации барьеров квантовой диффузии. Основные результаты главы опубликованы в [Л6, Л7, Л8].

В разделе 4.1 дан анализ решений многоканальной задачи рассеяния для системы уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами волноводного типа.

В разделе 4.2 дана формулировка и анализ модели тунелирования через потенциальные барьеры двух тождественных квантовых частиц, связанных парным взаимодействием осцилляторного и молекулярного типа.

В разделе 4.2.1 представлены решение и анализ задачи тунелирования двух тождественных квантовых частиц, связанных осцилляторным потенциалом парного взаимодействия с частотой ш через гауссовский потенциальный барьер при различных параметрах ширины и высоты барьера.

В разделе 4.2.2 представлены результаты расчета и анализ модели квантовой прозрачности барьеров при резонансном тунелирования двухатомной молекулы Ве2 с аппроксимацией взаимодействия атомов потенциалом Морзе. Для тестовых вычислений, принимая во внимание известные параметры молекулы бериллия обеспечивающие наличие пяти связанных состояний ниже порога диссоциации молекулы. В качестве отталкивающего барьерного потенциала был выбран гауссовский потенциал со значениями параметров, соответствующих взаимодействию атомов молекулы с атомами на поверхности кристаллической решётки меди. Показано, что полная вероятность прохождения как для осцил-ляторного, так и для молекулярного потенциала вазимодействаия демонстрирует резонансную зависимость от энергии, т.е. значение коэффициента прохождения при резонансных энергиях близких к энергии метастабильных состояний, погруженных в непрерывный спектр, что означает наличие квантовой прозрачности барьеров, подобной эффекту просветления оптики.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Глава 1

Физические и математические модели

В данной главе приводятся краткие сведения о физических системах -объектах моделирования, таких как: процессы тунелирования составных квантовых систем через многомерные барьеры, радиационные переходы в ридбер-говских состояниях атомов в магнетооптических ловушках, формирование поперечного распределения электромагнитного поля волноводных мод, распространяющихся в плавно нерегулярных интегральнооптических структурах и соответствующих математических моделях, в рамках которых формулируются краевые задачи, также описанные в данной главе.

Этот класс задач, описываемых уравнением в частных производных второго порядка эллиптического типа с различными потенциалами, не допускающими разделения переменных, в неограниченной области конфигурационного пространства с различными асимптотическими граничными условиями [30], которые аппроксимируются смешанными граничными условиями на границе подходящей конечной области. Для решения, возникающих в этих моделях задач, мы применяем метод Канторовича - приведение исходной задачи к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка с редуцированными граничными условиями в конечной области [17, 31, 32]. Краевые задачи для эллиптического дифференциального уравнения в частных производных в двумерной области с подходящими краевыми условиями редуцируются методом Канторовича к соответствующим краевым задачам для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка по одной из независимых переменных. Искомое решение ищется в виде разложения по координатным (пробным) функциям по второй независимой переменной, которые зависят от первой независимой переменной как от параметра и подчиняются исходным краевым условиям в граничных точках интервала, принадлежащих гра-

нице двумерной области. В качестве пробных функций в данной диссертации выбираются собственные функции вспомогательной задачи на собственные значения, зависящей от первой независимой переменной как от параметра, и подчиненных исходным краевым условиям, которые редуцируются на подходящий конечный интервал. Матрицы переменных коэффициентов системы ОДУ второго порядка выражаются в виде интегралов от базисных собственных функций и их производных по параметру. Асимптотическое поведение матриц переменных коэффициентов определяет асимптотическое поведение фундаментальных решений системы ОДУ, которые используются для формирования редуцированных граничных условий на конечном интервале первой независимой переменной.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лыонг Ле Хай, 2016 год

Список литературы

1. Chuluunbaatar O., Gusev A. A., Derbov V. L., Kaschiev M. S., Melnikov L. A., Serov V. V., Vinitsky S. I. Calculation of a hydrogen atom photoionization in a strong magnetic field by using the angular oblate spheroidal functions// J. Phys. A. 2007. Vol. 40. P. 11485-11524.

2. Guest J. R., Choi J. -H., Raithel G. Decay rates of high-|m| Rydberg states in strong magnetic fields // Phys. Rev. A. 2003. Vol. 68. P. 022509-1-9.

3. Hoogerheide Sh. F., Naing A. S., Dreiling J. M., Brewer S. M., Guise N. D., Tan J. N. Experiments with Highly-Ionized Atoms in Unitary Penning Traps // Atoms. 2015. Vol. 3. N. 3. P. 367-391.

4. Krassovitskiy P. M., Pen'kov F. M. Contribution of resonance tunneling of molecule to physical observables //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2014. Vol. 47. P. 225210.

5. Егоров А. А. Теоретический и численный анализ волноводного распространения и рассеяния собственных и несобственных мод нерегулярного интегрально-оптического волновода // Квант. Электр. 2012. Т. 42. № 4. С. 337-34.

6. Егоров А.А., Севастьянов Л.А. Структура мод плавно-нерегулярного интегрально-оптического четырехслойного трехмерного волновода // Квантовая Электроника. 2009. Т. 39. № 6. С. 566-574.

7. Егоров А. А., Ставцев А. В. Особенности разработки алгоритмов и программ для расчета основных характеристик нерегулярных интегрально-оптических волноводов // Выч. мет. и прогр. 2010. Т. 11. № 2. С. 31-39.

8. Егоров А. А. Численное исследование характеристик лазерного излучения рассеянного в интегрально-оптическом волноводе с трехмерными неоднородностями // Опт. и спектр. 2012. Т. 112. № 2. С. 317-328.

9. Севастьянов Л.А., Егоров А.А., Севастьянов А.Л. Метод адиабатических мод в задачах плавно-нерегулярных открытых волноведущих структур

// Ядерная Физика. 2013. Т. 76. № 2. С. 252-268.

10. Егоров А.А., Севастьянов Л.А., Севастьянов А.Л. Исследование плавно-нерегулярных интегрально-оптических волноводов методом адиабатических мод: нулевое приближение // Квантовая Электроника. 2014. Т. 44. № 2. С. 167-173.

11. Егоров А.А., Севастьянов А.Л., Айрян Э.А., Севастьянов Л.А. Устойчивое компьютерное моделирование тонкопленочной обобщенной волно-водной линзы Люнеберга // Математическое моделирование. 2014. Т. 26. № 11. С. 37-44;

12. Егоров А.А., Ловецкий К.П., Севастьянов А.Л., Севастьянов Л.А. Интегральная оптика: теория и компьютерное моделирование. Монография. - М.: Издат. РУДН, 2015.

13. Малых М. Д. О распрямлении локально деформированного волновода // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. 2014. № 2. С. 126-132.

14. Боголюбов А.Н., Малых М.Д., Белов А.А. Волновод с нелинейной вставкой // Нелинейный мир. 2013. Т. 11. № 1. С. 016-025.

15. Боголюбов А.Н., Малых М.Д., Панин А.А. Двусторонние оценки собственных значений задачи Дирихле для оператора Лапласа и их применение в задачах математической теории волноводов // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2009. Т. 10. № 1. С. 83-93.

16. Боголюбов А.Н., Малых М.Д. О ловушечных модах электромагнитного волновода с неоднородным заполнением // Радиотехника и электроника. 2005. T. 50. № 2. С. 218-222.

17. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа // М. Физматгиз. 1962.

18. Стренг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов // Мир, Москва, 1977.

19. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений // М. ФМЛ. 1962. Т. 1.

20. Гусев A.A.,Чулуунбаатар О.,Виницкий С.И., и др. KANTBP - пакет программ для решения методом Канторовича (адиабатическим методом) двумерных и трехмерных краевых задач дискретного и непрерывного спектра// Библиотека программ ОИЯИ JINRLIB.

http: / / wwwinfo.j inr.ru / programs/jinrlib/kantbp

21. Ram-Mohan, Ramdas L. Finite Element and Boundary Element Aplications in Quantum Mechanics// Oxford University Press. New York. 2002.

22. Varga R.S., Hermite interpolation-type Ritz methods for two-point boundary value problems // Numerical Solution of Partial differential Equations (J. H. Bramble, ed.) // New York, Academic Press, Inc., 1966, P. 365-373.

23. Cavaretta A.S., Jr., Sharma A., and Varga R.S., Hermite-Birkhoff interpolation in the n-th roots of unity // Trans. Amer. Math. Soc. 1980. Vol. 259. P. 621-628.

24. Утешев А. Ю., Тамасян Г. Ш. К задаче полиномиального интерполирования с кратными узлами// Вестник Санкт-Петербургского Университета. Сер. 10. Вып. 3. 2010. С. 76-85.

25. Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высокого порядка точности// Л: ЛГУ. 1977.

26. Любарский Г. Я., Повзнер А. Я. К теории распространения волн в нерегулярных волноводах // ЖТФ. 1959. Т. 29. № 2. С. 170-179.

27. Мальцев Н. Е. Некоторые модификации метода поперечных сечений // Акустический журнал. 1970. Т. 16. № 1. С. 102-109.

28. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах // М. Наука, 1973.

29. Gevorkyan M. N., Kulyabov D. S., Lovetskiy K. P., Sevastyanov A. L. and Sevastyanov L. A. Waveguide modes of a planar optical waveguide // Mathematical modeling and geometry. 2015. Vol. 3. N. 1. P. 43-63.

30. Куперин Ю. А., Мельников Ю. Б. Квантовое рассеяние в калибровочных

полях адиабатических представлений // Матем. сб. 1991. Т. 182. № 2. С. 236--282.

31. Власова З. А. О методе приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям // Тр. МИАН. СССР. 1959. Т. 53. С. 16-36.

32. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов // М: Физматлит, 1963.

33. Chuluunbaatar O., Gusev A. A., Gerdt V. P., Rostovtsev V. A., Vinitsky S. I., Abrashkevich A. G., Kaschiev M. S., Serov V. V. POTHMF: A program for computing potential curves and matrix elements of the coupled adiabatic radial equations for a hydrogen-like atom in a homogeneous magnetic field// Comput. Phys. Commun. 2008. Vol. 178. P. 301-330.

34. Dimova M. G., Kaschiev M. S., Vinitsky S. I. The Kantorovich method for high-accuracy calculations of a hydrogen atom in a strong magnetic field: low-lying excited states //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2005. Vol. 38. Р. 2337-2352.

35. Gusev A. A. Algorithm for computing wave functions, reflection and transmission matrices of the multichannel scattering problem in the adiabatic representation using the finite element method // Вестник Российского университета дружбы народов, Серия Математика. Информатика. Физика. 2014. № 2. C. 93-114.

36. Коняев Д.А., Делицын А.Л. Метод конечных элементов с учётом парциальных условий излучения для задачи дифракции на рассеивателях сложной структуры // Математическое моделирование, Т. 26, № 8, с. 48-64.

37. Буслаев В. С., Коптелов Я. Ю., Левин С. Б., Стрыгина Д. А. Численное построение собственных функций непрерывного спектра трехчастичного оператора Шредингера: три частицы на прямой c короткодействующими парными потенциалами // Ядерная физика. 2013. Т. 76. № 2. С. 236-246.

38. Смирнов Б. М. Высоковозбужденные состояния атомов // УФН. 1980.

Т. 131. С. 577-616.

39. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика // М.: Физматгиз. 1974.

40. Вайнштейн Л. А., Собельман И. И., Юков Е. А. Возбуждение атомов и уширение спектральных линий // М. Наука. 1979.

41. Guest J. R., Raithel G. High-|m| Rydberg states in strong magnetic fields // Phys. Rev. A. 2003. Vol. 68. P. 052502-1-9.

42. Chuluunbaatar O., Gusev A. A., Vinitsky S. I., Derbov V. L., Melnikov L. A., Serov V. V. Photoionization and recombination of a hydrogen atom in a magnetic field // Phys. Rev. A. 2008. Vol. 77. P. 034702-1-4.

43. Chuluunbaatar O., Gerdt V., Kaschiev M., Rostovtsev V., Samoylov V., Tupikova T., Vinitsky S. A Symbolic-Numerical Algorithm for Solving the Eigenvalue Problem for a Hydrogen Atom in Magnetic Field: Cylindrical Coordinates// Lecture Notes in Computer Science. 2007. Vol. 4770. P. 118-133.

44. Gusev A. A., Vinitsky S. I., Chuluunbaatar O., Gerdt V. P., Rostovtsev V. A. Symbolic-numerical algorithms to solve the quantum tunneling problem for a coupled pair of ions// Lecture Notes in Computer Science. 2011. Vol. 6885 P. 175-191.

45. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка // М: Иностр. Лит. 1961. Т. 2.

46. Гусев А. А., Гоздз А., Дербов В. Л., Виницкий С. И., Чулуунбаатар О., Красовицкий П. М. Модели резонансного туннелирования составных систем через отталкивающие барьеры // Новости ОИЯИ. 2014. № 1. С. 22-26.

47. Пеньков Ф. М. Квантовая прозрачность барьеров для структурных частиц // ЖЭТФ. 2000. Т. 118. С. 806-815.

48. Виницкий С. И., Пономарев Л. И. Адиабатическое представление в за-

даче трех тел с кулоновским взаимодействием // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1982. Т. 13. вып. 6. С. 1336-1418.

49. Захарьев Б. Н., Сузько А. А. Потенциалы и квантовое рассеяние. Прямая и обратная задачи // М. Энергоатомиздат. 1985.

50. Pen'kov F. M. Metastable states of a coupled pair on a repulsive barrier // Phys. Rev. A. 2000. Vol. 62. P. 044701-1-4.

51. Pijper E., Fasolino A. Quantum surface diffusion of vibrationally excited molecular dimers //J. Chem. Phys. 2007. Vol. 126. С. 014708-1-10.

52. Kavka J. J., Shegelski M. R. A., Hong W. P. Tunneling and reflection of an exciton incident upon a quantum heterostructure barrier //J. Phys.: Cond. Matt. 2012. Vol. 24. P. 365802-1-13.

53. Shegelski M. R. A., Hnybida J., Vogt R. Formation of a molecule by atoms incident upon an external potential// Phys. Rev. A. 2007. Vol. 78. P. 062703-1-5.

54. Bondar D. I., Liu W. K., Ivanov M. Y. Enhancement and suppression of tunneling by controlling symmetries of a potential barrier// Phys. Rev. A. 2010. Vol. 82. P. 052112-1-9.

55. Gusev A. A., Vinitsky S. I., Chuluunbaatar O., Gerdt V. P., Rostovtsev V. A. Symbolic-numerical algorithms to solve the quantum tunneling problem for a coupled pair of ions // Lecture Notes in Computer Science. 2011. Vol. 6885. P. 175-191.

56. Vinitsky S., Gusev A., Chuluunbaatar O., Rostovtsev V., Le Hai L., Derbov V., Krassovitskiy P. Symbolic-numerical algorithm for generating cluster eigenfunctions: tunneling of clusters through repulsive barriers// Lecture Notes in Computer Science. 2013. Vol. 8136. P. 427--442.

57. Резанур Рахман К. М., Севастьянов Л. А. Задача одномерного рассеяния на ступенчатом потенциале с несовпадающими асимптотиками // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Физика». 1997. № 5. С. 35-38.

58. Соболев С. Л. Уравнения математической физики// М. Наука. 1966.

59. Chuluunbaatar O., Gusev A. A., Vinitsky S. I., Abrashkevich A. G. ODPEVP: A program for computing eigenvalues and eigenfunctions and their first derivatives with respect to the parameter of the parametric self-adjoined Sturm-Liouville problem// Comput. Phys. Commun. 2009. Vol. 180. P. 1358-1375.

60. Bathe K. J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis// Englewood Cliffs. Prentice Hall. New York. 1982.

61. Chuluunbaatar O., Gusev A. A., Abrashkevich A. G. et al. KANTBP: A program for computing energy levels, reaction matrix and radial wave functions in the coupled-channel hyperspherical adiabatic approach // Comput. Phys. Commun. 2007. Vol. 177. P. 649-675.

62. Калиткин Н.Н. Численные методы. Москва, Наука, 1978.

63. Котляр В. В., Ковалев А. А., Налимов А. Г. Градиентные элементы микро-оптики для достижения сверхразрешения// Компьютерная оптика. 2009. Т. 33. С. 369-378.

64. Арфкен Г. Математические методы в физике// М. Атомиздат 1970.

65. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами // Москва: Наука, 1979.

66. Gerdt V., Gusev A., Kaschiev M., Rostovtsev V., Samoylov V., Tupikova T., Vinitsky S. A symbolic-Numerical Algorithm for Solving the Eigenvalue Problem for a Hydrogen Atom in Magnetic Field// Lecture Notes in Computer Science. 2006. Vol. 4194. P. 205-218.

67. Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров // Москва, ГИФМЛ. 1963.

68. Chuluunbaatar O., Gusev A. A., Vinitsky S. I., Abrashkevich A. G. KANTBP 2.0: New version of a program for computing energy levels, reaction matrix and radial wave functions in the coupled-channel

hyperspherical adiabatic approach// Comput. Phys. Commun. 2008. Vol. 179. P. 685-693.

69. Chuluunbaatar O., Gusev A. A., Derbov V. L., Krassovitskiy P. M., Vinitsky S. I. Channeling problem for charged particles produced by confining environment// Ядерная физика. 2009. Vol. 72. C. 811-821.

70. Ahsan N. and Volya A. Quantum tunneling and scattering of a composite object reexamined// Phys. Rev. C. 2010. Vol. 82. P. 064607-1-19.

71. Fundamental Physical Constants. http://physics.nist.gov/constants

72. Lauhon L. J., Ho W. Direct observation of the quantum tunneling of single hydrogen atoms with a scanning tunneling microscope // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. P. 4566-4569.

73. Miller W. H. Quantum mechanical transition state theory and a new semiclassical model for reaction rate constants //J. Chem.Phys. 1974. Vol. 61. P. 1823-1834.