Взаимодействие электромагнитного излучения с малой металлической частицей сферической формы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Моисеев, Иван Олегович

• Моисеев, Иван Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Моисеев, Иван Олегович

Введение

Список обозначений

ГЛАВА 1. Анализ распределения тока внутри частицы

1.1 Постановка задачи

1.2 Математическая модель и расчет

1.3 Обсуждение результатов

ГЛАВА 2. Электромагнитное поглощение частицы с учетом от- 37 клонения от закона Видемана-Франца

2.1 Постановка задачи

2.2 Моментный метод

2.3 Математическая модель и расчет

2.4 Обсуждение результатов

ГЛАВА 3. Учёт влияния скин-эффекта на сечение поглощения

3.1 Постановка задачи

3.2 Математическая модель и расчет

3.3 Обсуждение результатов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Взаимодействие электромагнитного излучения с малой металлической частицей сферической формы»

Электромагнитные, оптические и ряд других характеристик, в зависимости от размера рассматриваемого проводящего объекта, могут иметь существенные отличия. Такие свойства различны у малой металлической частицы и у массивного образца металла [1]. Это обстоятельство вызвано тем, что если линейные размеры R рассматриваемых объектов сопоставимы с длиной свободного пробега А электронов [2], то характер взаимодействия носителей заряда с границей образца начинает оказывать значительное влияние на его свойства. В частности, сечение поглощения электромагнитного излучения малой металлической частицей являет собой нетривиальную зависимость от величины R /Л, в отличие от массивных образцов металла.

Изучением свойств малых металлических частиц занимаются сравнительно давно [3, 4], поэтому основные положения и результаты исследований достаточно исчерпывающе освещены в монографиях [3-6] и монографических обзорах [1,7].

Современная технология позволяет получать частицы размером всего несколько нм. У металлов с хорошей проводимостью, таких как алюминий, медь, серебро и прочие, длина свободного пробега электронов составляет величину от десятка до сотен нм. Таким образом, условие R«A легко достижимо на практике.

Широкий спектр возможностей применения частиц вызывает растущий теоретический интерес и находит отражение в самых разнообразных технических приложениях. Так, при создании композитных материалов используется несущая нейтральная (не поглощающая) среда и вкрапленные в неё металлические частицы [8]. Изменения величины поглощения или отражения поверхностей твердых тел можно добиться

-знанесением на них лакокрасочных материалов, содержащих малые металлические частицы. Вводя сверхмалые проводящие частицы внутрь керамической основы, создают специальные радиопоглощающие материалы - керметы. Именно керметы используются для покрытия разнообразных летательных аппаратов технологии «стелс», придавая им способность существенно снизить заметность от радиолокаторов [9, 10]. Методом комбинирования между собой включений проводящих микрочастиц различных типов добиваются получения широкополосных ра-диопоглощающих покрытий с необходимыми свойствами. Использование электромагнитных свойств малых металлических частиц может найти применение в астрофизике и физике атмосферы [11].

Было проведено большое количество экспериментальных исследований [12 - 22], направленных на определение электромагнитных свойств сред, состоящих из малых проводящих частиц. В ряде работ полученные результаты существенно отличались от предсказываемых классической теорией. Опыты обнаружили величины поглощения дальнего инфракрасного излучения, которые были на несколько порядков выше, чем предсказываемые известными теориями [16 — 22].

Для объяснения подобного характера взаимодействия электромагнитной волны с проводящей частицей были предложены теории, учитывающие различные эффекты. Величина поглощения частицы определяется суммой двух составляющих, связанных с электрической дипольной и магнитной дипольной поляризациями [23]. Авторы ниже представленного ряда работ рассматривали только эффекты, основанные на учете лишь электрического дипольного поглощения.

В некоторых экспериментальных работах исследователи опирались на классические представления теории Ми [24 - 27] для интерпретации наблюдаемых линейных оптических свойств частиц из золота, серебра, меди [26] и олова [27] различных размеров. Используя продольную диэлектрическую функцию, авторы объясняют полученную частотную зависимость, но не аномально большую величину наблюдаемого поглощения.

В рамках уравнения макроскопической электродинамики эта теория применима лишь для случая «массивных» образцов металла, для которых выполняется условие R »Л. Впрочем, в ряде работ [8, 18, 28] был предложен способ, как некоторый рецепт экстраполяции классических результатов теории Ми на случай выполнения условия R<A. Введение явной зависимости диэлектрической проницаемости в от величины R /А позволяет грубо учесть влияние границ образца на релаксационные свойства электронов. В некоторых случаях, таким образом, удаётся довольно правильно оценить влияние указанного размерного эффекта даже для весьма мелких частиц.

Ряд работ [29 - 35] посвящен применению известной обобщенной формулы Друде [36] для нелокальной оптической проводимости малых металлических частиц.

Оптические свойства частиц из таких металлов, как серебро, золото, медь, платина, иридий и никель, наблюдаемых в инфракрасном диапазоне длин волн, автор [30] описывает формулой Друде в обобщенной форме. Авторы [31 - 34] используют так называемую «модифицированную теорию Друде» (МД-приближение), учитывая в своих расчетах как объемные, так и поверхностные столкновения электронов в образце, а в [35] приводится расчет, согласно которому поверхностное рассеяние электронов по величине на порядок меньше рассеяния в объеме образца. При всем этом, МД-приближение не в состоянии объяснить и воспроизвести некоторые особенности дальнего инфракрасного поглощения у металлических частиц, как, например, осциллирующий вид сечения поглощения.

Для описания аномально высокого поглощения, эмпирически выявленного в [12, 18, 37], была предложена к рассмотрению модель взаимодействия излучения и дисперсной среды. Результаты экспериментов объяснялись наличием коллективных эффектов в дисперсной системе [38, 39]. Однако это не позволило выявить причину необычных оптических свойств малых металлических частиц.

Еще одна модель взаимодействия излучения и мелкодисперсного образца предполагала учитывать дискретность уровней энергии электронов проводимости в малых металлических частицах. Авторы [40, 41] объясняли высокое значение поглощения наличием квантования энергетических уровней электронов, а в работах [42 - 44] рассматривалось поглощение вблизи квантового резонанса у электронов проводимости в металле, что было экспериментально обнаружено в [4]. Для выявления указанных размерных эффектов нет необходимости проводить последовательное квантово-механическое описание системы электронов проводимости как конечной ферми-системы. Достаточно рассчитать отклик электронов проводимости на внешнее электромагнитное поле в частице с учетом взаимодействия электронов с границей образца. В качестве подобного аппарата может выступать стандартная кинетическая теория проводимости в металле [45]. Применение стандартной кинетической теории [46, 47] не накладывает ограничения на соотношение между длиной свободного пробега электронов и размером исследуемого образца.

Как было сказано ранее, выше представленные теоретические работы описывали поглощение как эффект, связанный в основном с токами электрической дипольной поляризации во внешнем электрическом поле

-бволны. Однако в работах [48, 49, 17, 31, 32] указывается на доминирующую роль именно вихревых токов на сечение поглощения электромагнитного излучения в частице в диапазоне дальнего ИК и размеров частиц порядка 10 нм. В последующих рассмотренных здесь работах, посвященных вычислению поглощения излучения в частицах, показано, что поглощение обусловлено магнитным дипольным поглощением — вклад вихревых токов на несколько порядков превышает соответствующий вклад токов электрической поляризации.

Описание взаимодействия излучения с аэрозольными системами из малых проводящих частиц должно опираться на учет распределения плотности поглощаемой энергии по объему частицы [50 - 52]. Так, авторами [53, 54] в дипольном приближении вычислено сечение поглощения образцом электромагнитных волн, частоты которых принадлежат дальнему ИК-диапазону. В предельном случае R«A на низких частотах (дальний ИК-диапазон) расчет совпадает с результатом, полученным в работах [28, 55]. В указанных теоретических работах применяется подход, основанный на решении кинетического уравнения Больцмана [45, 56] для электронов проводимости в металле и отысканию отклонения функции распределения электронов от равновесной функции.

Зависимости распределения плотности поглощаемой энергии по объему частицы рассматривалась также в работах [57, 58]. Исследовалось влияние температуры на плотность тока в частице при условии чисто диффузного механизма взаимодействия электронов с границей образца.

В работах [1, 5] по поглощению в металлической частице для вычисления оптических величин использовалось кинетическое уравнение для электронов в тау-приближении. При этом в расчетах не принимались во внимание возможные отклонения от закона Видемана-Франца, которые при низких температурах могут быть весьма существенны [59]. Решением данной проблемы является изменение правой части интеграла столкновения, учитывающее частичное сохранение импульса электронов при электрон-электронном столкновении. Уравнение Больцмана для электронов в таком случае превращается в двухпараметрическое [60, 61].

Аналитические решения граничных задач теории скин-эффекта для вырожденной (фермиевской) и невырожденной (максвелловской) электронной плазмы детально рассмотрены в монографии [62].

Влияние скин-эффекта на оптические свойства металлов уже давно привлекает внимание исследователей [63 - 67]. Проблеме скин-эффекта посвящено немало и теоретических работ. Вопросам скин-эффекта в плазме твердого тела посвящены монографии [68 - 70] и работы [71 -73]. Общие вопросы поведения электронной плазмы в металле подробно изложены в [59, 74]. Поглощение электромагнитного излучения металлическими частицами и влияние скин-эффекта на поглощение освещено в [75].

Добавим, что в рамках кинетического подхода в ряде работ рассматривались малые частицы, у которых радиус был существенно меньше глубины скин-слоя, что позволяло пренебречь скин-эффектом [76 - 78]. Авторы [79, 80] проводили исследование зависимости сечения поглощения малой эллипсоидальной металлической частицы в ПК-диапазоне, но ими не учитывались объемные столкновения электронов внутри частицы.

В работах по аномальному скин-эффекту в цилиндрических металлических частицах [81, 82] отсутствуют окончательные результаты, с которыми можно было бы проводить сравнения.

Следует отметить, что работы [76 - 82] посвящены рассмотрению частиц несферической формы. В частности, в [79, 80] исследуется зависимость поглощения малых металлических частиц от их формы и поляризации волны. Показано, что как суммарное поглощение, так и соотношение между электрическим и магнитным поглощением резко зависит от формы частицы и поляризации волны.

Цель данной работы

Целыо данной работы является изучение особенностей взаимодействия электромагнитного излучения с малой металлической частицей. Исследования нацелены на:

- анализ плотности распределения вихревых токов в малой проводящей сферической частице в случаях зеркально-диффузного характера взаимодействия электронов металла с границей образца. Дано сравнение результатов для различных размеров частицы и частот падающей электромагнитной волны в отсутствии скин-эффекта;

- разработку варианта моментного метода к вычислению оптических свойств малых металлических частиц. Приведено сравнение сечений поглощения в сферической частице рассчитанных мо-ментным методом со значением, полученным в точном кинетическом расчете;

- решение модифицированного кинетического уравнения с интегралом столкновений, учитывающим отклонение свойств металлов от закона Видемана—Франца при низких температурах, с учетом диффузного рассеяния электронов на границе образца;

- проведение последовательного учета влияния скин-эффекта на сечение поглощения при произвольном соотношении длины свободного пробега электронов проводимости и размеров частицы.

Научная новизна работы

1. Впервые кинетическим методом вычислена эффективная проводимость металла, и, как следствие, плотность распределения вихревых токов внутри малой проводящей сферической частицы. Рассмотрены закономерности поведения эффективной проводимости в случае зеркально-диффузного характера рассеяния электронов для частиц различных размеров и произвольных частот.

2. Впервые разработан моментный метод, позволяющий наряду с последовательным кинетическим расчетом вычислять оптические величины в малых металлических частицах.

3. Впервые решено двухпараметрическое уравнение Больцмана для электронов, учитывающее отклонение свойств металлов от закона Видемана—Франца при низких температурах. Проведен анализ зависимости сечения поглощения частицы от параметра, описывающего это отклонение.

4. Впервые вычислено сечение поглощения электромагнитного излучения металлической частицы сферической формы с учетом влияния скин-эффекта. Показано, что учет кинетических эффектов приводит к существенной модификации известных результатов по скин-эффекту в сферической частице.

-ю

Практическая значимость

Использование особых свойств, таких как поглощение, электропроводность, коэффициент оптического преломления, магнитные свойства, прочность, термостойкость и другие, у малых проводящих частиц и тошсопленочных структур уже сейчас находит обширное технологическое применение.

Поверхность, покрытая краской с примешанными в нее малыми металлическими частицами, сильно меняет характер поглощения и отражения электромагнитного излучения.

В добывающих отраслях на горно-обогатительных комбинатах применяется технологический метод добычи драгоценных металлов, основанный на использовании свойств наведенных вихревых токов в частицах получаемых металлов.

Широко используются отличительные свойства мелких металлических структур в изделиях военного назначения. Внедрение технологии «стелс» позволяет в разы снизить радиозаметность объектов, а аэрозольное облако из металлических частиц или метаматериалов может эффективно бороться с лазерным излучением.

Современные исследования свойств малоразмерных проводящих структур и дисперсных сред выполняются также в интересах материаловедения, конструкционных материалов, биологии и медицины.

На защиту выносятся следующие результаты:

- расчет эффективной проводимости металла, как функции коорди наты точки внутри частицы, и анализ пространственного распределения плотности вихревого тока в зависимости от размеров частицы, частоты внешнего поля и коэффициента зеркальности;

- модификация моментиого метода применительно к вычислению оптических величин в малой проводящей частице сферической формы;

- решение двухпараметрического уравнения Больцмана для электронов проводимости с учетом поправки в интеграле столкновений, описывающей отклонение свойств металлов от закона Виде-мана-Франца при низких температурах в случае диффузного рассеяния электронов;

- построение теории аномального скин-эффекта в металлической частице. Нахождение зависимости сечения поглощения электромагнитного излучения сферической частицы от размера образца и частот падающего излучения в случае, когда влиянием скин-эффекта нельзя пренебрегать.

Апробация работы

По теме диссертации опубликованы следующие работы [83 - 89]. Материалы диссертации докладывались на международной конференции стран СНГ (Одесса, 2002 г.), международной аэрозольной конференции в Московском институте физической химии (Москва 2000 г.), на международной конференции в Московском станкостроительном институте, (Москва 2000 г.). Основные результаты диссертации обсуждались на научных конференциях и семинарах кафедры теоретической физики Московского государственного областного университета.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 91 страницу машинописного текста, включая 27 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Моисеев, Иван Олегович

Заключение

Краткая аннотация главы 1

Проведен анализ плотности распределения вихревых токов, найденной методом характеристик, в мелкой проводящей сферической частице. Рассмотрены случаи зеркального, диффузного и смешанного характеров взаимодействия электронов металла с границей образца для различных размеров частицы и частот падающей электромагнитной волны в отсутствии скин-эффекта. Сделано сравнение полученной функции проводимости с модифицированной проводимостью Друде, учитывающей столкновения электронов в объеме частицы и с ее поверхностью.

Краткая аннотация главы 2

Показана возможность применения моментного метода, используемого в физической кинетике, для определения свойств вырожденного ферми-газа электронов. Решено модифицированное кинетическое уравнение Больцмана для электронов с изменённым интегралом столкновения, учитывающим отклонение свойств металлов от закона Видемана-Франца при низких температурах в случае диффузного характера отражения электронов от поверхности образца в отсутствии скин-эффекта. Проводится сравнение сечений поглощения образцов, у которых параметр, ответственный за статическую проводимость, может меняться в определённом диапазоне значений.

Краткая аннотация главы 3

Проведён последовательный учёт влияния аномального скин-эффекта на сечение поглощения при произвольных соотношениях длины свободного пробега и размеров частицы. Дано сравнение найденных результатов сечения поглощения с ранее известными результатами, полученными в рамках классической электродинамики. Показано, что учет кинетических эффектов приводит к существенной модификации известных результатов по скин-эффекту в сферической частице.

Автор диссертации выражает огромную благодарность доктору физ.- мат. наук, профессору Ю. И. Яламову и доктору физ.- мат. наук, профессору А. А. Юшканову.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Моисеев, Иван Олегович, 2010 год

1. Морохов И. Д., Петинов В. И., Трусов Л. И. и др. Структура и свойства малых металлических частиц. // УФН, 1981, т. 133, сс. 653-692.

2. Е. Н. Sondheimer The mean free path of electrons in metals //Advances in Physics, 2001, Vol. 50, No. 6, pp. 499-537.

3. Киттель Ч. Квантовая теория твёрдых тел // М.: Наука, 1967 г., 491 с.

4. Лифшиц И. М., Азбель М. Я., Каганов М. И. Электронная теория металлов // М.: Наука, 1971 г., 415 с.

5. Петров Ю. И. Физика малых частиц // М.: Наука, 1982, 360 с.

6. Петров Ю. И. Кластеры и малые частицы // М.: Наука, 1986, 367 с.

7. Falkovsky L. A. Transport phenomena ot metal surfaces. // Adv. Phys., 1983, v. 32, № 5, pp. 753-789.

8. Морохов И. Д., Трусов Л. И., Лоновой В. Н. Физические явления в ультрадисперсных средах // М.: Энергоиздат, 1984, 224 с.

9. Нагаев ЭЛ. Малые металлические частицы. // М.:НПП «Квант». Т. 162, №9, сс. 49-162.

10. Лагарьков А.Н., Погосян М.А. Фундаментальные и прикладные проблемы «стелоь-технологий // Вестник РАН: 2003г. Т.73. №9, 848 с.

11. Kruegel Е. The physics of interstellar dust // Institute of Physics Publishing, 2003, p. 584.

12. Granqvist C. G., Hunderi O. Optical properties of ultrafme gold particles // Phys. Rev. B, 1977, v. 16, № 8, pp. 3513-3534.

13. Sen P. N., Tanner D. B. Far-infrared absorption by fine-metal-particle composites. // Phys. Rev. B, 1982, v. 26, № 7, pp. 3582-3587.

14. Cummings К. D., Garland J. C., Tanner D. B. Optical properties of a small-particle composite. // Phys. Rev. B, 1984, v. 30, № 8, pp. 41704182.

15. Tanner D. B. Comment about the far-infrared absorption by small particles. // Phys. Rev. B, 1984, v. 30, № 2, pp. 1042-1044.

16. Tanner D. B. et al. Anomalous absorption in random small particles composites. // 4-th Int. Conf. Infrared and Millimeter Waves and Their Appl., Miami beach, 1979, pp. 221-222.

17. Carr G. L., Henry R.L., Russell N.E., Garland J. C., Tanner D.B. Anomalous far-infrared absorption in random small-particle composites // Phys. Rev.B, 1981, v. 24, № 2, pp. 777-786.

18. Baltes H. P., Simanek E. Physics of microparticles. // Top. Curr. Phys., 1982, v. 29, pp. 7-53.

19. Tanner D. В., Kim Y.H., Carr G. L. Infrared absorption by granular metals. //Mat. Res. Soc. Symp. Proc., 1990, v. 195, pp. 3-14.

20. Kim Y.H., Tanner D.B. Far-infrared absorption by small particles // Physica A 157 (1989), pp. 388-394, North-Holland, Amsterdam.

21. R. D. Averitt, S. L. Westcott, N. J. Halas Linear optical properties of gold nanoshells // J. Opt. Soc. Am. В 16, pp. 1824-1832 (1999).

22. S. J. Oldenburg, J. B. Jackson, S. L. Westcott, N. J. Halas Infrared extinction properties of gold nanoshells // Appl. Phys. Lett. 75, pp. 2897-2899 (1999).

23. Ландау JI. Д. Лнфшнц Е. М. Теоретическая физика, т. 8, Электродинамика сплошных сред // М.: Наука, 1982, 620 с.

24. G. Mie "Beitrage zur optik triiber medien, speziell kolloidaller met-allosungen," // Ann. Phys. 25, pp. 377-445 (1908).

25. Борн M., Вольф Э. Основы оптики // М.:Наука, 1973, 720 с.

26. С. F. Bohren, D. R. Huffman Absorption and Scattering of Light by Small Particles (Wiley, 1983), p 530.

27. Mishchenko M.I., Travis L.D, Lacis A.A. Scattering, Absorption, and Emission of Light by Small Particles // Goddard Institute for Space Studies, New York, 2002, p. 488.

28. Trodahl Y. J. Far-infrared absorption by eddy currents in ultrafine metal particles. // J. Phys. C: Sol. St. Phys, 1982, v. 15, № 35, pp. 7245-7254.

29. Roberts S. Interpretation of the optical properties of metal surfaces // Phys. Rev. 1955. Vol. 100. pp. 1667-1671.

30. Wilkinson M., Mehlig B. Non-local conductivity and the effective potential in small metal particles. // Eur. Phys. J. В., 1998, v. 1, № 4, pp. 397-398.

31. Tanner D.B., Sievers A.J., Buhrman R.A. Far-infrared absoiption in small metallic particles // Phys. Rev. 1975. V. B11. p. 1330.

32. Granquist C.G., Buhrman R.A., Sievers A.J., Wyns J. Far-Infrared

33. Absorption in Ultrafine A1 Particles // Phys. Rev. Lett. 1976. V.37. pp. 625-629.

34. A. Kawabata and R. Kubo Electronic Properties of Fine Metallic Particles. II. Plasma Resonance Absorption// J. Phys. Soc. Jpn. 21, 17651772 (1966).

35. L. Genzel, T.P. Martin, U. Kreibig Dielettric Function and Plasma Resonances of Small Metal Particles // Zeitschrift f. Physik B31 (1975) pp. 339-346.

36. P. Apell, D. R. PennOptical, Properties of Small Metal Spheres: Surface Effects // PHYS. REV. LET., Volume 50, Number 17, 25 Aprii 1983, pp. 1316-1319.

37. Друде П. Оптика: пер. с нем. // Ленинград; Москва: Гостехиздат, 1935.468 с.

38. Devaty R. P., Sievers A. J. Far-infrared absorption by small metal particles. //Phys. Rev. Lett., 1984, v. 52, № 15, pp. 1344-1347.

39. Schadt С. F., Cadi R. D. Thermal forces on aerosol particles in a thermal precipitator. // J. Coll. Sci., 1957, v. 12, № 2, pp. 356-362.

40. Simanek E. Mechanism for far-infrared absorption of small metallic particles. // Solid State Commun., 1981, v. 37, № 2, pp. 97-99.

41. Kawabata A., Kubo R. Electronic properties of fine metallic particles //1., J. Phys. Soc. Jpn 17, (1962), pp. 975-986.

42. Горьков Л.П., Элиашберг Г.М. Малые металлические частицы в электромагнитном поле // ЖЭТФ, 1965, т. 48, сс. 1407-1418.

43. Маныкин Э. А., Полуэктов П. П., Рубежный Ю. Г. Теория поглощения электромагнитного излучения частицами малых размеров. // ЖЭТФ, 1976, т. 70, вып. 6, сс. 2117-2126.

44. Лушников А. А., Максименко В. В., Симонов А. Я. В сб.: Диспергированные металлические пленки. Киев: изд. АН УССР, 1976, с. 72.

45. Лушников А.А., Максименко В.В. Квантовая оптика металлической частицы //ЖЭТФ, т. 103, 1993, сс. 1010-1044.

46. Займан Дж. Электроны и фононы // М.: ИЛ, 1962, 488 с.

47. Абрикосов А. А. Введение в теорию нормальных металлов // М.: Наука, 1979, 288 с.

48. Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, т. 10. Физическая кинетика // М.: Наука, 1979, 528 с.

49. Kim Y.H., Tanner D.B. Far-infrared absorption by small particles // Physica A 157, (1989), pp. 388-394, North-Holland, Amsterdam.

50. Tanner D.B., Sievers A.J., Buhrman R.A. Far-infrared absorption in small metallic particles // Phys. Rev. 1975. V. B11. P. 1330.

51. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. // М.: Мир. 1986, 664 с.

52. Gangopadhyay P., Kesavamoorthy R., Santana Bera. Optical absorption and photoluminescence spectroscopy of the growth of silver nanoparticles // arXiv:cond-mat/0502315.

53. Melikyan A., Minassian H. On surface plasmon spectrum in noble metal nanoparticles rods and spheroids. // arXiv:cond-mat/0412302.

54. Лесскис А. Г., Пастернак В. E., Юшканов А. А. Поглощение инфракрасного излучения в мелкой металлической частице. // ЖЭТФ, 1982, т.83,№1,сс. 310-317.

55. Лесскис А. Г., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. Магнитное ди-польное поглощение инфракрасного излучения мелкой металлической частицей. //Поверхность, 1987, № 11, сс. 115-121.

56. Trodahl Н. J. Eddy currents in ultrafine metal particles. // Phys. Rev., 1979, v. 19, №2, pp. 1316-1317.

57. Харрисон У. Теория твердого тела // М.: Мир, 1972 г., 616 с.

58. Березкина С. В., Кузнецова И. Л., Юшканов А. Л. Расчет вихревого тока в мелкой проводящей частице сферической формы. // ФТТ, 2007, т. 49, вып. 1, сс. 8-12.

59. Кузнецова И. А., Юшканов А. А. Влияние температуры на сечение поглощения мелкой проводящей частицы // Оптика и спектроскопия, 2003, т. 94, № 4, сс. 669-673.

60. Блатт Ф.Дж. Теория подвижности электронов в твердых телах. // Л.: Физматгиз, 1963. 224 с.

61. Гинзбург В.Л., Мотулевич Г. П. Оптические свойства металлов // Успехи физических наук. 1955. Т. LV. Вып. 4. сс. 469-535.

62. Fachs R., Kliewer K.L., Pardee W.J. Optical properties of an ionic crystal slab // Phys. Rev. 1966. V. 150. №2. pp. 589-596.

63. Kliewer K.L., Fuchs R. Anomalous skin effect for specular electron scattering and optical experiments at non-normal angles of incidence// Phys. Rev. 1968. V. 172. № 3. pp. 607-624.

64. Fuchs R., Kliewer K.L. Optical properties of an electron gas: further studies of a nonlocal description // Phys. Rev. 1969. V. 185. №. pp. 905-913.

65. Jones W.E., Kliewer K.L., Fuchs R. Nonlocal theory of the optical properties of thin metallic films// Phys. Rev. 1969. V. 178. №, pp. 1201-1203.

66. Kliewer K.L. Fuchs R., S-polarized optical properties of metals // Phys. Rev. B. 1970. V. 2. №8, pp. 2923-2936.

67. Keller J.M., Fuchs R.7 Kliewer K.L. P-polarized optical properties of a metal with a diffusely scattering surface // Phys. Rev. B. 1975. V. 12. №6, pp. 2012-2029.

68. Силин В.П., Рухадзе A.A. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобныхсред//М.: Госатомиздат, 1961. 244 с.

69. Соколов А.В. Оптические свойства металлов // М.: Г. И. Ф. М. Л. 1961,464 с.

70. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы // М.: Высшая школа, 2-е изд., 1988. 424 с.

71. Reuter G.E.H., Sondheimer Е.Н. Theory of the anomalous skin effect in metals // Proc. Roy. Soc. 1948, V.A 195. pp. 336 352.

72. Dingle R.B. Anomalous skin effect // Physica. 1953. V. 19. pp. 311329.

73. Zimbovskaya N.A. Local Features of the Fermi Surface Curvature and the Anomalous Skin Effect in Metals // ArXiv: physics/cond-mat/0506269.

74. Платцман Ф., Вольф П. Волны и взаимодействия в плазме твердых тел // М.: Мир. 1975. 436 с.

75. Андреев А.Ф. Взаимодействие проводящих электронов с поверхностью металла // УФН, 1971. Т. 105. вып. 1. сс. 113-124.

76. Латышев А.В. Юшканов А.А. Аналитические решения в теории скин-эффекга. //М.:МГОУ, 2008, 285 с.

77. Завитаев Э.В., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Поглощение электромагнитного излучения металлической частицей цилиндрической формы//ЖТФ, 2001. том 71. вып. 11, сс. 114-118.

78. Завитаев Э.В., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. О взаимодействии электромагнитного излучения с цилиндрической частицей конечной длины. // ЖЭТФ. 2003г. Т.124. №5. С.1112-1120.

79. Завитаев Э.В., Юшканов А.А. Электрическое поглощение малых металлических частиц цилиндрической формы. // ЖТФ. 2005г. Т.75. В.9.

80. Томчук П.М., Томчук Б.П. Оптическое поглощение малых металлических частиц. //ЖЭТФ, 1997, т. 112, вып. 2(8), сс. 661 678.

81. Tomchuk P.M., Grigorchulc N.I. Shape and size effects on the energy absorption by small metallic particles // Phys. Rev. В 73, 15542.3-117, 2006.

82. Van de Braak H. P., Van de Klundert L. J. M. Anomalous skin effect in cylindrical samples // Physica. Nort-Holland Publishing C., 1974, v. 77, pp. 532-542.

83. Van de Klundert L. J. M., Van de Braak H. P. Anomalous skin effect in cylinders // Journal de Physique, 1978, v 39, pp. 1133-1134.

84. Моисеев И.О., Юшканов А.А. Влияние скин-эффекта на сечение поглощения мелкой металлической частицы // XX научная конференция стран СНГ "Дисперсные системы", 23-27 сентября 2002, Одесса, Украина, сс. 201-202.

85. Моисеев И.О., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Влияние скин-эффекта на поглощение электромагнитного излучения металлической частицей // ЖТФ, 2004, том 74, вып. 1. сс. 87-92.

86. Моисеев И.О., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Использование двухпараметрического кинетического уравнения для вычисления электромагнитного поглощения мелкой металлической частицей // Оптика и спектроскопия, 2006, том 101, № 5, сс. 857-861.

87. Моисеев И.О., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Распределение плотности тока внутри мелкой металлической частицы в поле электромагнитной волны // Оптика и спектроскопия, 2008, том 105, № 4, сс. 685-690.

88. Препринт. G. Catelani, I.L. Aleiner. A ar Xiv: cond-mat/0405333, Interaction corrections to the thermal transport coefficients in disordered metals: quantum kinetic equation approach, 2004, (p. 35).

89. S. De Gennaro, A. Rettori The low-temperature electrical resistivity of potassium size effects and the role of normal electron-electron scattering. //J. Phys. F: Met. Phys. 14 (1984) L237-L242.

90. Коган H. M. Динамика разреженного газа // M., Наука, 1967 г.,

91. Курант Р. Методы математической физики. Уравнения с частными производными. Пер. с англ. // М.: Мир, 1964. Т. 2., 830 с.

92. Савельев И. В. Курс общей физики, т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика // М.: Наука, 1978, 480 с.

93. Левич В. Г. Курс теоретической физики, т. 1. Теория электромагнитного поля. Теория относительности. Статистическая физика // М.: Физматгиз., 1962, 695 с.

94. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям // М.: Наука, 1965, 703 с.

95. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики // М.: Наука, 1966, 724 с.440 с.