Взаимодействие магнонов и явления типа "порядок из беспорядка" в антиферромагнетиках с дипольными силами и критическая динамика, описываемая кинетическими уравнениями с дробными производными тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Баталов, Лев Алексеевич

• Баталов, Лев Алексеевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Баталов, Лев Алексеевич

Оглавление

Введение

1. Явления "порядок из беспорядка" в твердых телах и критическая динамика

1.1 Дипольные силы и методика их рассмотрения

1.2 Критическая динамика магнетиков с дальнодействием

2. Аномальное затухание длинноволновых магнонов в антиферромагнетике Гейзенберга

2.1 Гамильтониан и 1/Б - разложение

2.1.1 Спектр и анизотропия

2.1.2 Затухание

2.1.2.1 Кинематические соотношения

2.1.2.2 Затухание, обусловленное распадом магнонов

2.1.2.3 Затухание, обусловленное слиянием магнонов

2.1.2.4 Большие спины

2.1.3 Возможности экспериментальной проверки

2.1.3.1 Динамический структурный фактор

2.1.3.2 Конкурирующая магнитокристаллическая анизотропия

3. Упорядочение спинов в антиферромагнетиках на гранецен-трированной решетке

3.1 Гамильтониан и 1/Б - разложение

3.1.1 Спектр магнонов и его ренормировка

3.1.2 Анизотропия типа "легкая плоскость" и анизотропия в плоскости

3.1.3 Сравнение с экспериментом

4. Критическая динамика намагниченности для антиферромагнетика с дальнодействием

4.1 Методика описания систем с дальним порядком вблизи критической точки производными дробного порядка

4.2 Функционал действия и критические индексы

4.3 Анализ теоретико-полевой модели

4.4 Критические индексы модели с дробными производными и пределы её применимости

4.5 Парная корреляционная функция в статическом пределе

4.6 Анализ результатов и возможные приложения к описанию критической динамики спиновых стекол

5. Заключение

Приложение 1. Функции Грина и общее выражение для спектра

Приложение 2. Выражения для собственно-энергетических частей!

Приложение 3. Описание численного алгоритма вычисления компонент дипольного тензора

Литература

139

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Взаимодействие магнонов и явления типа "порядок из беспорядка" в антиферромагнетиках с дипольными силами и критическая динамика, описываемая кинетическими уравнениями с дробными производными»

Введение

Настоящая диссертация освещает ряд вопросов, относящихся к явлениям типа "порядок из беспорядка" в антиферромагнетиках с дальнодействуюгцим магнитостатическим дипольным взаимодействием. Основное внимание уделено тем случаям, когда из-за дальнодействуюгцей малой, но конечной добавки к гамильтониану принципиальным образом меняются свойства магнетика. Таким случаям соответствует появление в исходно изотропном образце анизотропии намагниченности, обусловленной дипольными силами. Сравнительно недавно было обнаружено также, что в рамках общепринятой концепции квазичастиц с дисперсией бк часть длинноволновых частиц - магнонов с к ^ 1 испытывает аномально большое затухание, причём эта ситуация происходит при малой температуре Т ^ Тс и, по-видимому, носит универсальный характер: это подтверждают вычисления, сделанные для двух- и трехмерного ферромагнетиков. В нашей работе проводятся аналогичные вычисления для трехмерного изотропного антиферромагнетика Гейзенберга. Ещё одним проявлением эффектов "порядок из беспорядка" может служить наличие универсального ряда критических индексов, описывающих поведение магнетика вблизи критической точки. В диссертации мы попытались обобщить традиционную схему вычисления критических индексов через £ - разложение на случай дробных производных, которые давно и с успехом применяются для описания аномальной диффузии.

Актуальность темы.

Цель работы. Главная цель работы - исследование влияния дальнодей-ствующего магнитостатического дипольного взаимодействия на основное состояние антиферромагнетика Гейзенберга и его спектр при различных темпера-

турах при условии малости дальнодействующего слагаемого в гамильтониане. Для достижения главной цели в диссертационной работе были поставлены следующие цели:

1) Получить выражения для спектра антиферромагнетика Гейзенберга с ди-польными силами на простой кубической (ПК) и гранецентрированной (ГЦК) решетках в приближении спиновых волн, изучить свойства спектра в длинноволновой области, в том числе оценить величину щели у щелевых мод.

2) Получить точные аналитические выражения для затухания магнонов в антиферромагнетике на ПК решётке с учётом дипольных слагаемых, оценить затухание в длинноволновой области и отдельно величину пика и его зависимость от температуры. Сделать вывод о наличии или отсутствии области волновых векторов, где имеется аномально большое затухание. Расчёты производятся как для квантового случая, так и для классического магнетика.

3) Привести возможные варианты экспериментальной проверки наличия аномального пика в затухании с теоретическим обоснованием для конкретных кристаллических соединений

4) Объяснить наблюдаемое экспериментально магнитное упорядочение спинов в антиферромагнетике на ГЦК решетке МпО и некоторых других веществах через влияние дипольных сил, рассчитать численно соответствующие значения энергии анизотропии и сравнить их с экспериментальными наблюдениями.

5) Проанализировать критический режим систем, управляемых уравнениями с дробными производными как по времени, так и по координатам. Вычислить критические индексы и найти парную корреляционную функцию в статическом пределе.

Научная новизна работы заключается в следующих оригинальных результатах, выносимых на защиту:

Все результаты работы получены впервые, выводы, сделанные на их основе, обоснованы надежностью применявшихся аналитических и численных методов, согласием с теоретическими и экспериментальными результатами, полученными другими авторами. Развитые в диссертационной работе теоретические методы могут быть использованы для описания широкого круга явлений, относящихся к магнетикам с дальнодействием.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 2013-2016 годах в трех научных работах [1, 2, 3], ссылки на которые есть в разделе "Литература" .

Структура диссертации. В первой главе приводятся необходимые сведения о дипольных силах в квантовых и классических кристаллах, дается небольшой обзор задач, близких к нашей, где дипольные силы влияют на основное состояние магнетика и на состояния вблизи него. Во второй главе рассчитывается спектр антиферромагнетика Гейзенберга на ПК решетке в приближении спиновых волн, проводится его анализ и оценивается затухание магнонов, в конце предлагаются варианты экспериментальной проверки наличия областей сильного затухания длинноволновых магнонов. В третьей главе рассчитываются спектр и энергия основного состояния антиферромагнетика Гейзенберга на ГЦК решетке, находятся самые выгодные направления намагниченности, проводится сравнение вычисленных значений энергии анизотропии с экспериментально наблюдаемыми для антиферромагнетиков второго рода структуры "А". В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы, выносимые на защиту. В приложения вынесены громоздкие формулы и описание численного алгоритма по расчету компонент дипольного тензора.

Глава 1

Явления "порядок из беспорядка" в твердых телах и

критическая динамика

1.1 Дипольные силы и методика их рассмотрения

Магнитостатическое дипольное взаимодействие в данной работе рассматривается как наиболее естественная форма дальнодействующей добавки к обменному гамильтониану. Оно соответствуют взаимодействию между магнитными моментами атомов и, будучи релятивистским по своей природе, пропорционально (у/е)\ где V - характерная скорость электронов в атоме. Роль диполь-ных сил в магнитоупорядоченных средах довольно значительна: во-первых, в отсутствии других источников анизотропии релятивистские магнитные взаимодействия приводят к появлению энергии анизотропии, то есть к зависимости энергии образца от направления намагниченности М, что позволяет нам определить самое выгодное направление спинов. Во-вторых, релятивистские взаимодействия отвечают за установление статистического равновесия в системе спинов [4]. Магнитное дипольное взаимодействие описывается гамильтонианом

(1.1)

где называют дипольным тензором, I и т - номера узлов на решетке, а

(1.2)

характерная энергия дипольного взаимодействия. Здесь v0 - объем элементарной ячейки, цв - магнетон Б opa, д - множитель Ланде, значение которого для многоэлектронных атомов без учета анизотропии, вносимой спин-орбитальным взаимодействием, равно 2 [6]. Мы покажем далее, что для ионов, где спин-орбитальное взаимодействие мало и нет сильной магнитокристаллической анизотропии, вызванной им, можно наблюдать интересные эффекты, обусловленные именно дипольными силами: появление выделенного направления в изотропном магнетике, аномальное затухание длинноволновых магнонов. Эти эффекты составляют суть т.н. явлений "порядок из беспорядка".

В классической магнитостатике имеется аналог формулы (1.1), в котором тензор Qae (r) от непрерывной переменной r является ядром интегро-дифференциал! уравнения, связывающего исходное и рассеянное поле [7]

Формулу (1.3) называют основным уравнением магнитостатики [7, 8]. Физически она означает, что рассеяние внешнего магнитного поля Н0 в среде с магнитной проницаемостью д можно представлять себе как взаимодействие исходного поля с полем намагниченных диполей с ш0 = д — 1, описываемых тензором Qaв. Наиболее частое и простое приближение для нахождения ре-

Н

Н Н0

виде Ha(r) = Ha(r) + Hac(r), где Щс(г) = (ц - 1) J H°Jr')Qae(r - r')dr'. Та-

кое приближение хорошо работает тогда, когда процессы рассеяния не меняют значительно профиль исходного поля, то есть в отсутствии коротковолновых составляющих в исходном поле Н^(г).

Гамильтониану (1.1) соответствует следующая макроскопическая энер-

ги.я *

Ha(r) - (ц - 1) / He(r')Qae(r - r')dr' = Ha(r);

(1.3)

W™ = -¿"О

д 2

1

l=m

(1.4)

Из общих принципов магнитостатики, можно переписать формулу (1.4) в виде интеграла по объёму образца :

Wm = -

1

V

4п

qaßMa(r)Mß(r) + —M2(r) + M(r)H(m)(r)

3

(1.5)

где

qaß =

Ш § ^ (L6)

m:l=m

причём суммирование ведется при условии Rim < р, где р - достаточно малая макроскопическая длина, она выбирается много большей, чем постоянная решетки, но много меньшей длины, на которой существенно меняется плотность магнитного момента [4], a H(m) - статическое магнитное поле, создаваемое намагниченностью M и подчиняющееся интегро-дифференциальному уравнению магнитостатики (1.3). Решая это уравнение в дипольном приближении, при однородно намагниченном магнетике M = const имеем

H(m)(r) = —4nNV(r)M,

(1.7)

где NV(r) называют тензором размагничивающих коэффициентов, имеющих следующий вид:

1 д2 Г dr'

Naß (r) =

4п дтадт

ад i ß

r r'

(1.8)

V

Для образца в форме эллипсоида этот тензор имеет диагональный вид. Для антиферромагнетиков размагничивающие коэффициенты равны нулю, так как намагниченности от двух подрешеток компенсируют друг друга. Для ферромагнетиков Naß усредняется по достаточно большой области в образце, обычно по домену, этот тензор определяет поведение дипольного тензора в нуле: Q°aß = Wq(1/3 - Na)Öaß.

Введем Фурье-образ дипольного тензора = 1 Qam ехр(2кК1то) и обсудим его свойства как функции вектора к с квазинепрерывными компонентами, пробегающего первую зону Бриллюэна. Во-первых, отметим свойство нулевого

к

Qí = Q^ Qkx + Qky + Qkz = 0 (1.9)

Для обоснования формулы (1.9) заметим, что функция 1/г удовлетворяет уравнению Лапласа Д(1/г) = 0 вне точки г = 0, а лапласиан как раз будет равен сумме диагональных компонент дипольного тензора. Поэтому свойство (1.9) универсально: оно справедливо для любого типа решётки и следует только из принципа построения дипольного тензора.

От типа решетки не зависит также поведение дипольного тензора в центре зоны Бриллюэна - точке, обладающей полной кристаллической симметрией [9],

к

представлении, вообще говоря, не будет сходящейся суммой для всех значений к: при малых к имеется не интегрируемая особенность. Эта ситуация напоминает аналогичную проблему расчёта электростатического потенциала ионного кристалла и решается методом Эвальда [10]. Можно показать, что компоненты дипольного тензора Q<^ в методе Эвальда выражаются через производные по к

е^ (110)

для п = 3 или п = 5. Подробнее алгоритм расчёта компонент тензора Qc^ описан в Приложении 3. Отметим, что метод Эвальда - не единственный для вычисления Фурье-компонент дипольного тензора. Существуют методы, основанные на использовании равенства Парсеваля, которые позволяют выразить компоненту через довольно быстро сходящийся ряд из функций Кельвина нулевого и первого порядков [11].

и

Пользуясь методом Эвальда или любым другим способом ускорения сходимости решетчатых сумм, легко получить разложение дипольного тензора вблизи точки к = (0,0,0):

с^ = _ МЛ , ¿«1. (1.11)

Таким образом, поведение дипольного тензора вблизи центра зоны Бриллюэна не зависит от типа решётки. Прямые вычисления показывают, что Q<^3 = 0. Члены порядка к2, однако, зависят от структуры элементарной ячейки кристалла. Для кубической сингонии они выглядят следующим образом (константу решетки полагаем равной единице):

к2

какв , п? к

(1.12)

Для ГЦК имеем а = 4.004, в = 1-237, ^хххх = -4.288, 7ххуу = -1.710, а для ОЦК а = 4.124, в = 0.849, 7хххх = -3.487, 7ххуу = -1.591 [12]. Мы приводим только независимые компоненты тензора 7ав%^. Остальные его компоненты для этих двух типов решетки либо равны нулю, либо тривиальным образом выражаются через приведенные выше компоненты: 7уууу = 7хххх, 7хгух = 0 и т.д. В дальнейшем нам понадобится разложение дипольного тензора для ПК решётки вблизи края зоны Бриллюэна к = (п, п, п). Оно квадратично по к:

Q<í+ко = (схх {3к2а - к2) бав + Схукакв (1 - бав)) , к < 1,

]2т2( _-1)1+т+п

СХХ = -3 £ ™ ^ 0.051, (1.13)

^ (]2 + т2 + и2)5/2

1,т,п

12+т2+п2=0

С-ху

(3]4 - (]2 + т2 + п2)]2Х-1),+т+п

Е 1 ,Г Г ^ Г — * -°-05512 \ ,т2 \ г,2\5/2

2 ^ (]2 + т2 + и2)5/2

/ Г>1 /К>

1,т,п 12+т2+п2=0

Схх Сху

чатые суммы по бесконечной структуре, а их комбинация 4п(6схх + 3сху) равна постоянной Маделунга 1.747558. Выражения, аналогичные (1.11)-(1.13) имеют место и в двумерном случае [13, 14].

В последующих главах будет всегда рассматриваться бесконечная решётка спинов, однако для полноты картины остановимся на том, какими особенностями обладает дипольный тензор для образца конечного размера [12]. Прежде всего заметим, что множитель ехр(^кг) в определении Фурье-компонент ди-польного тензора предполагает разложение по плоским волнам, которые удобны лишь для образцов формы параллелепипеда: для кристалла цилиндрической формы, к примеру, удобнее было бы проводить разложение по цилиндрик

возникают для любых типов волн. Пусть наш образец имеет форму сферы радиуса Я, тогда, представляя суммирование по объему как разность суммирования по бесконечной решетке, которое рассматривалось выше, и интегрирования по остальной части пространства, получаем:

где j1 (z) - сферическая функция Бесселя первого порядка. Функция 3ji (kR)/kR отвечает как раз за отличие между конечной и бесконечной решётками при k ~ 0 Это убывающая осциллирующая функция, равная 1/3 при kR = 0 и 0.0078 при kR = 10. Таким образом, можно считать, что при kR < 10 мы имеем столь сильное отличие конечной решетки от бесконечной, что данную область уместно назвать "патологической областью" (англ. pathological region, термин принадлежит Коэну и Кефферу [12]).

k

R

ной и на бесконечной решетках ~ 3j1(kR)/kR будет пренебрежимо малой. Но это утверждение несправедливо непосредственно в точке k = 0. Значит, мы можем утверждать, что отсутствует равномерная непрерывность дипольного тензора в точке k = 0.

Аналогичные рассуждения можно провести для образцов в виде любого другого ограниченного геометрического тела, во всех случаях значение дипольного тензора в точке k = 0 не зависит от формы образца и имеется патологи-

(1.14)

ческая область длинных волн, связанная с резким изменением разности компонент для конечной и бесконечной решеток при малых к. При численном интегрировании по к, поэтому, точку к = 0 обходят, сдвигая сетку интегрирования не некоторый малый по длине вектор, что более подробно отражено в Приложении 3.

Наконец, скажем о симметрии величин в кубической решетке. Будем использовать для наглядности обозначение = (кх, кУ, к^). Свойства симметрии включают в себя поведение при отражении и при перестановках аргументов дипольного тензора для решётки, где отрицательное и положительное направления по каждой из осей X, У, 2 эквивалентны. В кубической решётке это выполняется (кристалл с центром инверсии). Компоненты при а = в являются нечетными по ка и к^, но четными по оставшейся компоненты вектора к. Это легко вывести го определения (1.1). Компоненты же являются четными по всем компонентам кв, в = х,у, Например, для и

0 У (кх ку , кг) = —0 У ( — кх ку , к2) = —0 У (кх , — ку , к2 ) = 0 У (кХ ку, — к,г) (1.15)

0 (кх ку , к2 ) = 0 ( — ку , к2 ) = —0 (кХ —ку , к2 ) = 0 ^ ку , — к2 )• (1.16)

Замечательным свойством дипольного тензора является его симметрия относительно перестановок аргументов. Эта симметрия позволяет для численных расчётов затабулировать какие-либо две компоненты дипольного тензора: диагональную, например, и недиагональную, скажем, а все остальные получать перестановками аргументов:

0 ( кх, ку, к,г ) 0 ( кх, к,г, ку ) ( ку, кх, кг )

= (ку, к,г, кх) = 0 (к,г, кх, к,г) = ° (к,г, к,г, кх) (1.17)

0 У(кх, ку, к,г) = (ку, к,г, кх) = ° (^х к,г, к,г).

Соотношения (1.15) - (1.17) справедливы для всех типов трехмерной решетки, однако для ГЦК или ОЦК обычно пользуются неортогональным бази-

сом и аргумент днпольного тензора приобретает вид (к^к2,кз), связанным с вектором (кг, кх,кг) линейным преобразованием. Однако, и в этом случае имеются соотношения типа (1.15) - (1.17), например для ГЦК

к1

к2 к3

(

\

-1 1 1

1

1

\

-1 1 11

/

кх кУ

\кг/

(1.18)

и

(к1,к2,кз) = (кз,к1,к2), (к1,к2,кз) = (к2,к1,кз), (к1,к2,кз ) = (кз,к2,к1

(1.19)

Всё вышесказанное подсказывает идею при численных расчётах учитывать симметрию дипольного тензора, например, для ПК решетки достаточно рассмотреть точки:

п > кх > кУ > кг > 0.

(1.20)

а все остальные значения (кх,кУ, кг) получать, применяя операции симметрии. Более подробно алгоритм вычисления компонент дипольного тензора, основанный на соображениях симметрии, описан в Приложении 3.

Рассмотрев общие свойства дипольных сил, мы постараемся теперь дать обзор эффектов, которые обусловлены этими силами.

Одними из первых исследователей, которые обратили внимание на роль дипольного взаимодействия в кристаллах, были Латтинжер и Тисла [15]. Рассмотрев в своей работе кристалл с чисто дипольным взаимодействием между спинами, они предложили восемь типов дипольных массивов, которые отличаются между собой различными вариантами упорядочения (см. рис. 1.1).

Структура при этом предполагалась коллинеарной, то есть все спины направлены вдоль одной оси. Вычислялась энергия основного состояния, которая оказывается пропорциональной величине (К), где К - вектор, описывающий

•X

Рис. 1.1. Восемь дипольных массивов, введенных Латтинжером и Тислой, стрелками показаны направления спинов.

упорядочение спинов. Для массива спины упорядочены параллельно (синфазное движение), поэтому и искомая величина будет равна Qzz(0, 0, 0) = 0. Массив 22 соответствует противофазному движению вдоль оси поэтому для него энергия основного состояния будет уже пропорциональна Qzz(0, 0,п) = —0.77. Массивы 23 и отличаются друг от друга тем, что в 23 имеется антипараллельное упорядочение вдоль оси X, а в - вдоль У. В силу Qzz(п, 0, 0) = Qzz(0,п, 0) энергии основных состояний у этих двух систем одинаковы, а соответствующий дипольный фактор равен 0.39. В спины меняют направление как вдоль оси X, так и вдоль оси У, поэтому дипольный фактор равен Qzz(п,п, 0) = 0.43. Рассуждая аналогично, получаем для массивов и одинаковые факторы Qzz(0,п,п) = Qzz(п, 0,п) = —0.21. Для массива имеет место полная антипараллельность окружения спина, как для кубического антиферромагнетика: Qzz(п,п,п) = 0.

Ещё одно замечательное свойство дипольных сил - приводить к анизотропии в кристаллах - было замечено также ещё в 1950-е годы [16, 17]. Бле-

СТЯщИМ подтверждением этого является анизотропия намагниченности в кристаллах типа МпО, это антиферромагнетики на ГЦК решетке. К веществам с такой же структурой относятся соединения марганца а — Мп8 и а — Мп8е и халькогениды ЕиТе, Еи8е, которые проявляют такую структуру при очень низких температурах. В этих кристаллах в силу сферической симметрии волновой функции ионов Мп2+ и Еи2+ единственным источником анизотропии могут быть дипольные силы. Энергия основного состояния будет состоять из изотропной и анизотропной частей, при этом обменная часть, как известно, изотропна, а дипольная пропорциональна, очевидно, (п,п,п). Но, вообще говоря, направление намагниченности в кристалле может отличаться от направления оси 2 и в общем случае образует с кристаллографическими осями углы, косинусы которых равны 7Х, 7У и 7г. Поэтому для определения истинного направления намагниченности необходимо умножить радиус-вектор И/т на какую-либо матрицу поворота, третья строчка которой равна (7Ж,7У,7г) и минимизировать получившуюся энергию основного состояния по углам. Матрица поворота, как известно, должна быть параметризована тремя углами, но в данном случае одноосной анизотропии направление намагниченности можно задавать только двумя углами, как и следовало ожидать, третий угол из конечных выражений для энергии анизотропии уходит.

Проделав описанную выше процедуру, мы получим, что энергия основного состояния оксида марганца будет пропорциональна комбинации — (п, п, п) х (7Х7У + 7У7-г + 7ж7-г) при (п,п,п) = —0.288, которая принимает минимальное значение при соблюдении условия 7Ж + 7У + 7г = 0, то есть, когда спины лежат (111)

наблюдениями: рассеянием нейтроном, ЯМР и АФР [18, 19, 20]. Любопытно, что эксперименты [20, 21] показывают, что в пределах этих плоскостей имеется три преимущественных направления спинов: [112], [121], [211]. Объяснения этому явлению предложено не было, мы же предположили, что он также связан с дипольным взаимодействием, но имеет флуктуационную природу [22]. К тому

же, чтобы избежать сложностей, связанных с расходимостью интегралов от функций, содержащих компоненты дипольного тензора, необходимо отказаться от изначальной коллинеарности спинов, считая, согласно [22], что каждый спин принадлежит одной из четырех взаимопроникающих подрешеток и находится в нулевом молекулярном поле, создаваемом остальными спинами кристалла.

Точный расчёт свойств магнетика с гамильтонианом, включающим в себя обменное и дипольное взаимодействия

к = \ Е - я!) (1.21)

/=т

очень сложен даже в приближении малости дипольной энергии в сравнении с обменной. Поэтому пользуются ещё одним приближением, связанным с концепцией квазичастиц: возбуждения в магнетике вблизи основного состояния представляют как совокупность магнонов - Бозе-частиц, обладающих некоторой дисперсией е (к) и обратным временем жизни Г (к) - функциями от квазиимпульса к, которые являются однозначными в зоне Бриллюэна, форма которой определяется геометрией рассматриваемого кристалла. Это так называемое спин-волновое приближение. Исследование в этом приближении высокочастотных и термодинамических свойств гейзенберговского ферромагнетика было начато работами Блоха [23], который и ввел понятие спиновых волн, вычислил их спектр и определил температурное поведение намагниченности. В теории Блоха предполагается, что число спиновых волы мало и взаимодействием между ними можно пренебречь. Это приближение является хорошим при низких температурах и ухудшается при более высоких. Точный учет спин-волнового взаимодействия был проведен Дайсоном [24] на основе очень сложного и нестандартного формализма. Дайсон разделил взаимодействие на две части: динамическое и кинематическое. Главным результатом его работы было доказательство того факта, что кинематическое взаимодействие дает вклад в свободную энергию меньший, чем а ехр(Т/Тс), гд е Тс — температура К юри иа - числовой коэффициент порядка единицы, а динамическое взаимодействие приводит к степенным

поправкам, которые n были найдены Дайсоном. C.B. Малеев [25] показал, что гамильтониан идеальных спиновых волн Дайсона можно получить из гейзенберговского гамильтониана с помощью следующего преобразования спиновых операторов к бозевским:

Если операторы а\ а являются эрмитово сопряженными и подчиняются бозевским перестановочным соотношениям, то тогда операторы $+ и $— не являются эрмитово сопряженными и соответственно преобразование (1.22) приводит к неэрмитову гамильтониану. В 1982 году В. Г. Барьяхтар, В. Н. Кри-воручко, Д. А. Яблонский [26] окончательно решили вопрос о влиянии неэр-митовости преобразования Дайсона - Малеева (1.22), сравнив корреляционные функции, получающиеся через точную диаграммную технику [27] и с обменным гамильтонианом, полученным через (1.22). Их результатом стало то, что неэрмитовость представления (1.22) не влияет на результаты вычислений корреляционных функций спинов, а вклад нефизических состояний (учет которых по Ди Пеону сводится к появлению кинематического взаимодействия) при температурах Т < $^ оказывается экспоненциально малым, порядка ехр(— Т*/Т),

Диаграммная техника, оперирующая с операторами рождения и уничтожения магнонов, получила название 1/$ - разложения, она дала возможность автоматически учитывать флуктуационные поправки, в том числе, используя технику суммирования по дискретным частотам Мацубары [28], и зависящие от температуры. Первая такая поправка для гамильтониана (1.21) - анизотропная поправка к энергии основного состояния. Она зависит от углов и определяет направление намагниченности в кристалле. Для трехмерного ферромагнетика с ди мольными силами на кубической решётке поправка впервые была получена

гдеТ * = S (2S + 1) Jq.

Тессманом в 1954 году [29] и в наших терминах записывается как

с,2

АЕ = + ^ + 7»7-?)' (L23)

где N - общее число спинов в образце, а константа C зависит от типа решетки: для ПК C = 0.012, для ГЦК - C = —0.005, для ОЦК - C = -0.04. Это означает, что для ПК решётки ребро куба является легким направлением намагничивания, а для ГЦК и ОЦК таким направлением является главная диагональ. Аналогичное выражение для двумерного ферромагнетика с дипольными силами было получено A.B. Сыромятниковым [30], а для трехмерного антиферромагнетика автором совместно с A.B. Сыромятниковым [2].

Ещё одно проявление дипольных сил - появление в спин-волновом спектре щели, имеющей флуктуационную природу. Наличие щели ограничивает спектр снизу по энергии и помогает избежать инфракрасных расходимостей во всевозможных величинах, для расчёта которых требуется суммирование по числу состояний (которое в спин-волновом приближении заменяется интегрированием по квазиимпульсу): спонтанная намагниченность, спиновые восприимчивости, температура Кюри и т.д. Топервергом и Яшечкиным [31] было показано через точную диаграммную технику, оперирующую спиновыми компонентами [27], что дипольные силы приводят к сильным длинноволновым флуктуациям, проявляющимся в инфракрасной расходимости первых по возмущению поправок к однородной продольной спиновой восприимчивости: Х||(, ^ 0) ~ iT/w. Как отмечено в [31, 32], эта расходимость нефизическая, так как она приводит к ненулевому поглощению Q а wImx(w) при w = 0 и образец нагревался бы постоянным магнитным полем. Поэтому можно ожидать сильной перенормировки X||(w, k) после учета высших поправок па малых квазиимпульсах и энергиях. Эксперимент [32] показывает, что почти изотропный ферромагнетик CdCr2Se4 показывает слабо степенную зависимость у интересующей нас восприимчивости: X||(w ^ 0) ~ (i/w)0'28.

Последовательный анализ 1/S - поправок, проведенный в [33], показал, что дипольные силы обуславливают щель в спектре, пропорциональную сипу-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Баталов, Лев Алексеевич, 2017 год

Литература

[1] Batalov Lev, Batalova Anastasia. Critical dynamics in systems controlled by fractional kinetic equations // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. - 2013. - Vol. 392, no. 4. - Pp. 602 - 611.

[2] Batalov L. A., Syromyatnikov A. V. Breakdown of long-wavelength magnons in cubic antiferromagnets with dipolar forces at small temperature // Phys. Rev. B. - 2015. - Vol. 91. - P. 224432.

[3] Batalov L.A., Syromyatnikov A.V. Order-by-disorder effects in antiferromagnets on face-centered cubic lattice // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2016. - Vol. 414. - Pp. 180 - 186.

[4] Ахиезер А.И. Варьяхтар В.Г. Пелетминский С.В. Спиновые волны. — Москва: Наука, 1967.

[5] Д. Маттис. Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений. — Москва: Мир, 1967.

[6] С.Э. Фриш. Оптические спектры атомов. — Москва, Ленинград: Госуда-ственное издательство физико-математической литературы, 1963.

[7] J.F. Ahner V.V. Dyakin V.Ya. Raevskii, Bitter R. On series solutions of the magnetostatic integral equation. // Comput. Math. Math. Phys. — 1999. — Vol. 39, no. 4. - Pp. 601-608 (1999).

[8] Chegis I. A. Electromagnetostatic operator, its spectral properties, and application to the problem of distribution of eddy currents. // Comput. Math. Math. Phys. - 1998. - Vol. 38, no. 12. - Pp. 1962-1973 (1998).

[9] Дж. Займан. Принципы теории твердого тела. Пер. с англ. — Москва: Мир, 1974.

[10] Ewald P. P. Die Berechnung optischer unci elektrostatischer Gitterpotentiale // Annalen der Physik - 1921. - Vol. 369, no. 3. - Pp. 253-287.

[11] Bidaux R., Carrara P., Vivet B. Antiferromagnetisme Dans Un Champ Magnetique I. Traitement De Champ Moleculaire // Solid State Communications. _ 1967. _ v0i. 5. no. 8. - Pp. 2453-2469.

[12] Cohen M. H., Keffer F. Dipolar Sums in the Primitive Cubic Lattices // Phys. Rev_ _ 1955_ _ Vol. 99 _ pp. Ц28-1134.

[13] De'Bell K., Maclsaac А. В., Whitehead J. P. Dipolar effects in magnetic thin films and quasi-two-dimensional systems // Rev. Mod. Phys. — 2000. — Jan. _ v0i. 72. _ Pp. 225-257.

[14] Малеев С.В. Дипольные силы в двумерных и слоистых ферромагнетиках // ЖЭТФ. - 1976. - Т. 70. - С. 2374.

[15] LuMinger J. М.. Tisza L. Theory of Dipole Interaction in Crystals // Phys. Rrr. - 1946. - Dec. - Vol. 70. - Pp. 954-964.

[16] Kaplan Jerome I. Magnetic Dipolar Interactions in MnO and in Ferrites // The Journal of Chemical Physics. - 1954. - Vol. 22, no. 10. - Pp. 1709-1712.

MnO

Antiferromagnets // Phys. Rev. — 1957. — Vol. 108. — Pp. 637-644.

[18] Hihara Tadamiki, Kawakami Masayuki. NMR Study of Magnetic- Exchange Interactions and Anisotropy in Antiferromagnetic EuTe // Journal of the Physical Society of Japan. - 1988. - Vol. 57, no. 3. - Pp. 1094-1104.

[19] Hughes A. E. Antiferromagnetic Resonance in MnO: Co: A Measurement of the Magnetoelastic Properties of the Co2+ Ion // Phys. Rev. B. — 1971. — Vol. 3. - Pp. 877-894.

[20] Battles J. W., Everett Glen E. Antiferromagnetic-Resonance Measurements in Europium Telluride // Phys. Rev. B. - 1970. - Vol. 1. - Pp. 3021-3029.

[21] Lines M. E., Jones E. D. Antiferromagnetism in the Face-Centered Cubic Lattice. II. Magnetic Properties of a — MnO // Phys. Rev. — 1965. — Vol. 139. - Pp. A1313-A1327.

[22] Yildirim Т., Harris А. В., Shender E. F. Frustration and quantum fluctuations in Heisenberg fee antiferromagnets // Phys. Rev. B. — 1998. — Vol. 58. — Pp. 3144-3159.

[23] Block F. Zur Theorie des Ferromagnetismus // Zeitschrift filr Physik. — Vol. 61, no. 3. - Pp. 206-219.

[24] Dyson Freeman J. General Theory of Spin-Wave Interactions // Phys. Rev. — 1956. - Jun. - Vol. 102. - Pp. 1217-1230.

[25] Малеев С.В. Рассеяние медленных нейтронов в ферромагнетиках // ЖЭТФ. - 1958. - Апрель. Т. 6. С. 776.

[26] Варьяхтар В. Г. Криеоручко В. Н. Яблонский Д. А. Низкотемпературное разложение спиновых функций Грина и формализм Дайсона-Малеева // Теоретическая и математическая физика. — Т. 53, № 1. — С. 156 - 160.

[27] В.Г. Вакс А.И. Ларкип С.А. Ликин. Термодинамика идеального ферромагнетика // ЖЭТФ. — 1967. — Февраль. — Т. 26. — С. 188.

[28] Matsubara Takeo. A New Approach to Quantum-Statistical Mechanics // Progress of Theoretical Physics. — 1955. — Vol. 14, no. 4. — Pp. 351-378.

[29] Tessman Jack R. Magnetic Anisotropy at 0 К // Phys. Rev. — 1954. — Vol. 96. - Pp. 1192-1195.

[30] Syromyatnikov A. V. Spin-wave interaction in two-dimensional ferromagnets with dipolar forces // Phys. Rev. B. - 2008. - Vol. 77. - P. 144433.

[31] Toperverg Boris P., Yashenkin Andrey G. Transverse and longitudinal susceptibilities of a Heisenberg ferromagnet with dipolar forces below Tc // Phys. lhr. B. - 1993. - Dec. - Vol. 48. - Pp. 16505-16513.

[32] Longitudinal spin fluctuations in the nearly isotropic ferromagnet CdCr2Se4: Scaling behavior outside the critical region / I. D. Luzyanin, A. G. Yashenkin, S. V. Maleyev et al. // Phys. Rev. B. - 1999. - Jul. - Vol. 60. - Pp. R734 R737.

[33] Syromyatnikov A. V. Renormalization of the spin-wave spectrum in three-dimensional ferromagnets with dipolar interaction // Phys. Rev. B. — 2006. _ v0i. 74. _ p. 014435.

[34] E.M. Лифшиц Л.П. Питаевский. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния. — Москва: Физматлит, 2004.

[35] Абрикосов А.А. Горькое Л.П. Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. — Москва: Физматгиз, 1962.

[36] Питаевский Л.П. О свойствах спектра элементарных возбуждений вблизи порога распада возбуждений // ЖЭТФ. — 1959. — Т. 36. — С. 1168-1178.

[37] Dynamics of Composite Haldane Spin Chains in IPA — CuCl3 / T. Masuda, A. Zheludev, H. Manaka et al. // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol. 96, no. 4. - P. 047210.

[38] Anomalous Excitation Spectra of Frustrated Quantum Antiferromagnets / Weihong Zheng, John O. Fj^restad, Rajiv R. P. Singh et al. // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol. 96, no. 5. - P. 057201.

[39] Excitation spectra of the spin-1/2 triangular-lattice Heisenberg antiferromag-net / Weihong Zheng, John O. Fj^restad, Rajiv R. P. Singh et al. // Phys. Rev. B. - 2006. - Vol. 74, no. 22. - P. 224420.

[40] Instability of magnons in two-dimensional antiferromagnets at high magnetic fields / T. Masuda, S. Kitaoka, S. Takamizawa et al. // Phys. Rev. B. — 2010.

- Vol. 81, no. 10. - P. 100402.

[41] Kolezhuk Alexei, Sachdev Subir. Magnon Decay in Gapped Quantum Spin Systems // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol. 96, no. 8. - P. 087203.

[42] Zhitomirsky M. E. Decay of quasiparticles in quantum spin liquids // Phys. Rev. B. - 2006. - Vol. 73, no. 10. - P. 100404.

[43] Quasiparticle breakdown in the quasi-one-dimensional Ising ferromagnet CoNb2O6 / Neil J. Robinson, Fabian H. L. Essler, Ivelisse Cabrera, Radu Cold-ea // Phys. Rev. B. - 2014. - Vol. 90. - P. 174406.

[44] Zhitomirsky M. E., Chernyshev A. L. Colloquium, : Spontaneous magnon decays // Rev. Mod. Phys. - 2013. - Vol. 85. - Pp. 219-242.

[45] Dynamics of an Antiferromagnet at Low Temperatures: Spin-Wave Damping and Hydrodynamics / A. B. Harris, D. Kumar, В. I. Halperin, P. C. Hohenberg // Phys. Rev. B. - 1971. - Feb. - Vol. 3. - Pp. 961-1024.

[46] Syromyatnikov A. V. Anomalously large damping of long-wavelength quasiparticles caused by long-range interaction // Phys. Rev. B. — 2010. — Vol. 82.

- P. 024432.

[47] Spin-Wave Lifetimes Throughout the Brillouin Zone / S. P. Bayrakci, T. Keller, K. Habicht, B. Keimer // Science. - 2006. - Vol. 312, no. 5782. - Pp. 19261929.

[48] Mesot Joël. The Neutron Spin-Echo Technique at Full Strength // Science. — 2006. - Vol. 312, no. 5782. - Pp. 1888-1889.

[49] Покровский A. 3. Паташинский и В. Л. Метод ренорм-группы в теории фазовых переходов // Успехи физических наук. — 1977. — Т. 121, № 1. — С. 55-96.

[50] Martin P. С., Siggia E. D., Rose H. A. Statistical Dynamics of Classical Systems // Phys. Rev. A. - 1973. - Jul. - Vol. 8. - Pp. 423-437.

[51] Bausch R., Janssen H. K., Wagner H. Renormalized field theory of critical dynamics // Zeitschrift filr Physik В Condensed Matter. — Vol. 24, no. 1. — Pp. 113-127.

[52] Onuki Akira. Phase Transition Dynamics. — Cambridge University Press, 2002. — Cambridge Books Online.

[53] Halperin В. I., Hohenberg P. C., Ma Shang-keng. Renormalization-group methods for critical dynamics: I. Recursion relations and effects of energy conservation // Phys. Rev. B. - 1974. - Jul. - Vol. 10. - Pp. 139-153.

[54] Halperin В. I., Hohenberg P. C., Ma Shang-keng. Renormalization-group methods for critical dynamics: II. Detailed analysis of the relaxational models // Phys. Rev. B. - 1976. - May. - Vol. 13. - Pp. 4119-4131.

[55] Hohenberg P. C., Halperin В. I. Theory of dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. - 1977. - Jul. - Vol. 49. - Pp. 435-479.

[56] Janssen H. K., Schauh В., Schmittmann B. New universal short-time scaling behaviour of critical relaxation processes // Zeitschrift filr Physik В Condensed Matter. - Vol. 73, no. 4. - Pp. 539-549.

[57] Васильев A.H. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — СПб: ПИЯФ, 1998.

[58] Bruce Alastair D., Aharony Amnon. Critical exponents of ferromagnets with dipolar interactions: Second-order e expansion // Phys. Rev. B. — 1974. — Sep. - Vol. 10. - Pp. 2078-2087.

[59] Lederman F.L., Salamon M.B. Critical behavior of the specific heat of dysprosium near the neel temperature // Solid State Communications. — 1974. - Vol. 15, no. 8. - Pp. 1373 - 1376.

[60] Lederman F. L., Salamon M. B., Shacklette L. W. Experimental verification of scaling and test of the universality hypothesis from specific-heat data // Phys. Rev. B. - 1974. - Apr. - Vol. 9. - Pp. 2981-2988.

[61] Pokrovsky V L, Virosztek A. Long-range interactions in commensurate-incommensurate phase transition // Journal of Physics C: Solid State Physics. _ 1983. _ v0i. jo. no. 23. — P. 4513. — URL: http://staeks.iop.org/0022-3719/16/i=23/a=013.

[62] Alfimov G.L., Korolev V.G. On multikink states described by the nonlocal sine-Gordon equation // Physics Letters A. — 1998. — Vol. 246, no. 5. — Pp. 429 - 435.

[63] Laskin N., Zaslavsky G. Nonlinear fractional dynamics on a lattice with long range interactions // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2006. - Vol. 368, no. 1. - Pp. 38 - 54.

[64] Tarasov Vasily E. Lattice model of fractional gradient and integral elasticity: Long-range interaction of Griinwald-Letnikov-Riesz type // Mechanics of Materials. - 2014. - Vol. 70. - Pp. 106 - 114.

[65] Tarasov V.E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. — Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2010. - Pp. 153-214.

[66] Korabel Nickolay, Zaslavsky George M. Transition to chaos in discrete nonlinear Schrodinger equation with long-range interaction // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2007. — Vol. 378, no. 2. — Pp. 223 - 237.

[67] Tarasov Vasily E. Fractional Heisenberg equation // Physics Letters A. — 2008. - Vol. 372, no. 17. - Pp. 2984 - 2988.

[68] Metzler Ralf Glockle Walter G., Nonnenmacher Theo F. Fractional model

equation for anomalous diffusion // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. - 1994. - Vol. 211, no. 1. - Pp. 13 - 24.

[69] Kilbas A. A.; Srivastava H. M.:. Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Amsterdam: Elsevier, 2006.

[70] Антонов H. В., Васильев A. H. Критическая динамика как теория поля // Теоретическая и математическая физика. — 1984. — Т. 60. — С. 59-71.

[71] Harris A. Brooks. Effect of Dipolar Interactions on the Spin-Wave Spectrum of a Cubic Antiferromagnet // Phys. Rev. — 1966. — Mar. — Vol. 143. — Pp. 353-355.

[72] Wan С. C., Harris А. В., Kumar Deepak. Heisenberg antiferromagnet with a low concentration of static defects // Phys. Rev. B. — 1993. — Vol. 48. — Pp. 1036-1061.

[73] Utesov О. I., Sizanov A. V., Syromyatnikov A. V. Localized and propagating excitations in gapped phases of spin systems with bond disorder // Phys. Rev. B. - 2014. - Vol. 90. - P. 155121.

[74] Eastman D. E. Shafer M. W.; A. Figat R. Cobalt-doped TlMnFa Zero Anisotropy Cubic Antiferromagnet // Journal of Applied Physics. — 1967. - Vol. 38, no. 13. - P. 5209.

[75] Teaney D. Т., Freiser M. J. Antiferromagnetic Resonance in Cubic RbMnF3 // Journal of Applied Physics. - 1963. - Vol. 34, no. 4. - P. 1036.

[76] Teaney D. Т., Freiser M. J., Stevenson R. W. H. Discovery of a Simple Cubic Antiferromagnet: Antiferromagnetic Resonance in RbMnF3 // Phys. Rev. Lett. - 1962. - Vol. 9, no. 5. - P. 212.

[77] Windsor C. G., Saunders on D. H., Schedler E. Spin-Wave Damping in a Heisenberg Antiferromagnet // Phys. Rev. Lett. — 1976. — Vol. 37, no. 13. — P. 855.

[78] Incest W. J., Gabbe D., Linz A. Antiferromagnetic Resonance and Mn55 Nuclear Magnetic Resonance in Cobalt-Doped RbMnF // Phys. Rev. — 1969.

- Vol. 185, no. 2. - P. 482.

[79] Pepy G. Spin waves in Mn^^m 4o K to temperatures close to TN // Journal of Physics and Chemistry of Solids. — 1974. — Vol. 35, no. 3. — Pp. 433-444.

[80] Morosin B. Exchange Striction Effects in MnO and MnS // Phys. Rev. B. — 1970. - Vol. 1. - Pp. 236-243.

[81] Shull C. G., Strauser W. A., Wollan E. 0. Neutron Diffraction by Paramagnetic and Antiferromagnetic Substances // Phys. Rev. — 1951. — Vol. 83. — Pp. 333-345.

[82] Corliss Lester, Elliott Norman, Hastings Julius. Magnetic Structures of the Polymorphic Forms of Manganous Sulfide // Phys. Rev. — 1956. — Vol. 104.

- Pp. 924-928.

[83] Zinn W. Microscopic studies of magnetic properties and interactions recent results on europium-monochalcogenides // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 1976. - Vol. 3, no. 1-2. - Pp. 23 - 36.

[84] Kohgi M.. Ishikawa Y., Endoh Y. Inelastic neutron scattering study of spin

MnO Pp. 391 - 394.

MnO

drew L. Goodwin, Martin T. Dove, Matthew G. Tucker, David A. Keen // Phys. Rev. B. - 2007. - Vol. 75. - P. 075423.

[86] EuTe. I. Magnetic Behavior of Insulating and Conducting Single Crystals / N. F. Oliveira, S. Foner, Y. Shapira, T. B. Reed // Phys. Rev. B. - 1972. -Vol. 5. - Pp. 2634-2646.

[87] Exchange interactions in europium monochalcogenide magnetic semiconductors and their dependence on hydrostatic strain / W. Sollinger, W. Heiss, R. T. Lechner et al. // Phys. Rev. B. - 2010. - Vol. 81. - P. 155213.

[88] Демокритов С. О. Крейнес Н.М. Кудипов В. И. Рассеяние света на магно-нах двух ветвей спектра антиферромагнитного EuTe // Письма в ЖЭТФ. _ 1986. _ т. 43. - С. 403.

[89] Lines М. Е., Jones Е. D. Antiferromagnetism in the Face-Centered Cubic Lattice. III. aMnS // Phys. Rev. - 1966. - Vol. 141. - Pp. 525-537.

[90] Raman scattering by spin excitations in a — MnSe / A. Milutinovi c, N. To-mi c, S. Devi с et al. // Phys. Rev. B. - 2002. - Vol. 66. - P. 012302.

[91] Chou H-h., Fan H. Y. Light scattering by magnons in CoO, MnO, and MnS // Phys. Rev. B. - 1976. - Vol. 13. - Pp. 3924-3938.

[92] Magnetic Anisotropy Measurement of MnO Single Crystal / Enji Uchida, Hisamoto Kondoh, Yoshihide Nakazumi, Takeo Nagamiya // Journal of the Physical Society of Japan. — 1960. — Vol. 15, no. 3. — Pp. 466-474.

[93] Masset Fred, Callaway J. Spin-Wave Spectrum and Magnon Contribution to the Specific Heat of EuTe // Phys. Rev. B. - 1970. - Vol. 2. - Pp. 3657-3659.

[94] Zinn-Justin J. Quantum Field Theory and Critical Phenomena. — Oxford: Clarendon, 1996.

[95] Antonov N. V., Hnatich M.. Nalimov M. Yu. Influence of compressibility on scaling regimes of strongly anisotropic fully developed turbulence // Phys. Rrr. E. - 1999. - Oct. - Vol. 60. - Pp. 4043-4051.

[96] Timofeeva Y., Coombes S. Directed percolation in a two-dimensional stochastic fire-diffuse-fire model // Phys. Rev. E. — 2004. — Dec. — Vol. 70. — P. 062901.

[97] Iacus Stefano M. Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations. — Berlin: Springer, 2008.

[98] Васильев A.H. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Ленинград: ЛГУ, 1976.

[99] Tarnsov Vastly Е., Zaslavsky George M. Fractional Ginzburg-Landau equation for fractal media // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2005. - Vol. 354, no. 0. - Pp. 249 - 261.

[100] Lutz Eric. Fractional Langevin equation // Phys. Rev. E. — 2001. — Oct. — Vol. 64. - P. 051106.

[101] Eab С. H., Lira S. C. Fractional Langevin equations of distributed order // Phys. Rev. E. - 2011. - Mar. - Vol. 83. - P. 031136.

[102] De Dominicis C., Brezin E., Zinn-Justin J. Field-theoretic techniques and critical dynamics. I. Ginzburg-Landau stochastic models without energy conservation // Phys. Rev. B. - 1975. - Dec. - Vol. 12. - Pp. 4945-4953.

[103] Vernon Daniel, Howard Martin. Branching and annihilating Levy flights // Phys. Rev. E. - 2001. - Mar. - Vol. 63. - P. 041116.

[104] Honkonen J, Nalimov M Y. Crossover between field theories with short-range and long-range exchange or correlations // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1989. — Vol. 22, no. 6. — P. 751. — URL: http://stacks.iop.org/0305-4470/22 i 0 a 021.

[105] Levy-flight spreading of epidemic processes leading to percolating clusters / H.K. Janssen, K. Oerding, F. van Wijland, H.J. Hilhorst // The European Physical Journal В - Condensed Matter and Complex Systems. — 1999. — Vol. 7_ _ Pp_ 137^145. _ 10.1007/sl00510050596.

[106] Hinrichsen H., Howard M. A model for anomalous directed percolation // The European Physical Journal B - Condensed Matter and Complex Systems. — 1999. _ v0i. 7. _ pp. 635-643. - 10.1007/sl00510050656.

[107] Honkonen J, Nalimov M Y. Crossover between field theories with short-range and long-range exchange or correlations // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1989. — Vol. 22, no. 6. — P. 751. — URL: Imp://stacks.iop.org/0305-4470/22 i 0 a 021.

[108] Honkonen J. Critical behaviour of the long-range 2 model in the short-range limit // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1990. — Vol. 23, lio. 5. — P. 825. — URL: http://staeks.iop.org/0305-4470/23/i=5/a=024.

[109] Jiménez-Dalmaroni Andrea. Directed percolation with incubation times // Phys. Rev. E. - 2006. - Jul. - Vol. 74. - P. 011123.

[110] Observation of a Power-Law Memory Kernel for Fluctuations within a Single Protein Molecule / Wei Min, Guobin Luo, Binny J. Cherayil et al. // Phys. Rev. Lett. - 2005. - May. - Vol. 94. - P. 198302.

[111] A.M. Ma,thai R.K. Saxena. The H-function with Applications in Statistics and Other Disciplines. — Berlin: New Delhi, 1978.

[112] Havlin Shlomo, Ben-Avraham Daniel. Diffusion in disordered media // Advances in Physics. — 1987. — Vol. 36, no. 6. — Pp. 695-798.

[113] et al. A. Strzelewicz. Anomalous Diffusion on Fractal Structure of Magnetic Membranes // Acta Physica Polonica B. — 2013. — Vol. 44, no. 5. — Pp. 955965.

[114] Bertin E. M.. Bouchaud J.-P. Subdiffusion and localization in the one-dimensional trap model // Phys. Rev. E. — 2003. — Feb. — Vol. 67. — P. 026128.

[115] Static critical exponents of the ferromagnetic transition in spin glass re-entrant systems / Claudia M Haetinger, Luis Ghivelder, Jacob Schaf, Paulo Pureur // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2009. — Vol. 21, no. 50. — P. 506006.

[116] Pleimling Michel, Campbell I. A. Dynamic critical behavior in Ising spin glasses // Phys. Rev. B. - 2005. - Nov. - Vol. 72. - P. 184429.

[117] Universal dynamic scaling in three-dimensional Ising spin glasses / Cheng-Wei Liu, Anatoli Polkovnikov, Anders W. Sandvik, A. P. Young // Phys. Rev. E. - 2015. - Aug. - Vol. 92. - P. 022128.

[118] Vincent E., Hammann J., Alba M. Dynamic critical behaviour of the Cd-Cr2r^0.85In2r^0.15S4 spin-glass // Solid State Communications. — 1986. - Vol. 58, no. 1. - Pp. 57-62.

[119] Magnetic study of spin freezing in the spin glass BaCoeTigO^: Static and dynamic analysis / A. Labarta, X. Batlle, B. Martinez, X. Obradors // Phys. Rev_ B _ 1992. - Oct. - Vol. 46. - Pp. 8994-9001.

[120] Cohen M. H., Keffer F. Dipolar Sums in the Primitive Cubic Lattices // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1943. - Vol. 39. - P. 113.