Замкнутые вихри Абрикосова в сверхпроводниках второго рода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Тихомиров, Илья Викторович

• Тихомиров, Илья Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тихомиров, Илья Викторович

Введение.

Глава 1 Линейные вихри Абрикосова при Т> О . Плавление решётки вихрей Абрикосова.

1.1. Введение.

1.2 Линейный вихрь Абрикосова.

1.3 Решётка вихрей Абрикосова.

1.4 Плавление решётки вихрей Абрикосова.

1.5 Замкнутый вихрь Абрикосова.

1.6 Постановка задачи.

Глава 2 Механизмы образования замкнутых вихрей Абрикосова.

2.1. Введение.

2.2. Тепловой механизм образования замкнутых вихрей Абрикосова

2.3. Образование замкнутых вихрей из линейных вихрей.

2.4. Балансные уравнения.

2.5. Обсуждение результатов.

Глава 3 Динамика замкнутых вихрей Абрикосова.

3.1. Введение.

3.2. Замкнутый вихрь как решение нестационарного уравнения

Гинзбурга-Ландау.

3.3. Взаимодействие замкнутых вихрей с линейными вихрями.

3.4. Обсуждение результатов.

Глава 4 Влияние замкнутых вихрей Абрикосова на разрушение сверхпроводимости.

4.1. Введение.

4.2. Теплоёмкость сверхпроводника с замкнутыми вихрями Абрикосова.

4.3. Пиннинг замкнутых вихрей Абрикосова.

4.4. Обсуждение результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Замкнутые вихри Абрикосова в сверхпроводниках второго рода»

Актуальность работы

В последние годы область применимости сверхпроводников второго рода существенно расширилась, это связано с широкими возможностями их применения в современной электронике и энергетике. В связи с этим усилились и исследования смешанного состояния сверхпроводников второго рода. Токонесущие и магнитные характеристики таких сверхпроводников, определяющие перспективы их практического использования, в значительной степени зависят от наличия в образцах вихрей и их взаимодействия с пространственными неоднородностями материала.

Открытие новых высокотемпературных сверхпроводников показало, что они относятся к сверхпроводникам второго рода. Известно, что ВТСП материалы обладают высокой степенью анизотропии и в отличие от большинства обычных сверхпроводников, в случае ВТСП тепловыми флуктуациями вблизи фазового перехода пренебрегать нельзя. До сих пор не создано последовательной теории фазового перехода в магнитном поле, которая бы учитывала все флуктуационные эффекты, возникающие в этой области. Образование замкнутых вихрей Абрикосова относится к эффектам такого рода.

Замкнутые вихри начинают влиять на сверхпроводящие свойства при значительно меньшей температуре, чем температура, при которой сверхпроводимость разрушается чисто флуктуационным образом. Существующая на данный момент теория плавления решётки вихрей Абрикосова не включает в себя замкнутые вихри. В связи с этим исследование замкнутых вихрей является весьма актуальной задачей.

Изучение динамических свойств замкнутых вихрей Абрикосова позволяет лучше понять процессы, протекающие в сверхпроводниках второго рода вблизи критической температуры. Немаловажно изучение взаимодействия замкнутых вихрей с линейными вихрями, изучение процессов рождения и уничтожения замкнутых вихрей. В совокупности с линейными вихрями замкнутые вихри активно участвуют в процессе разрушения сверхпроводимости, влияют на магнитные свойства сверхпроводника. Всё это позволяет утверждать, что замкнутый вихрь Абрикосова является не менее важным объектом исследования, чем линейный вихрь, описание которого широко распространено в литературе.

Цель и задачи работы

Целью работы является теоретическое описание замкнутого вихря Абрикосова, изучение его статических и динамических свойств, описание состояния сверхпроводника второго рода, содержащего в себе замкнутые вихри в области температур близких к Тс.

В связи с этим были поставлены следующие задачи:

1. Описать общую картину смешанного состояния сверхпроводника второго рода, существующую на данный момент.

2. Изучить статические и динамические свойства замкнутого вихря Абрикосова, рассматривая его как решение стационарного и нестационарного уравнений Гинзбурга-Ландау (ГЛ).

3. Описать механизмы генерации замкнутых вихрей Абрикосова: возникновение из линейного вихря и в результате действия сильной токовой флуктуации.

4. Рассмотреть процессы взаимодействия замкнутых вихрей с решёткой линейных вихрей. Смоделировать общую картину сверхпроводника второго рода, находящегося во внешнем магнитном поле, при температурах близких к Тс .

5. Рассчитать температуру, соответствующую началу генерации замкнутых вихрей и определить область существования фазы сверхпроводника второго рода, характеризуемую наличием замкнутых вихрей.

6. Изучить взаимодействие замкнутых вихрей с различными дефектами сверхпроводника: одиночной полостью, точечными дефектами рассеянными равномерно по сверхпроводнику. Рассмотреть последствие пиннинга замкнутых вихрей.

Научная новизна

Научная новизна результатов состоит в том, что автором впервые:

1. Изучены динамические свойства замкнутого вихря, полученные из решения уравнений Гинзбурга-Ландау.

2. Введён механизм образования замкнутых вихрей из линейных вихрей, а также получены балансные уравнения, описывающие процессы генерации и уничтожения замкнутых вихрей.

3. Установлен эффект притяжения замкнутого вихря к линейному при их взаимодействии.

4. Получена температурная зависимость теплоёмкости сверхпроводника, содержащего замкнутые вихри, а также определена температура, определяющая область существования замкнутых вихрей, и установлена её зависимость от внешнего магнитного поля.

5. Обнаружено явление стабилизации замкнутого вихря, находящегося в сверхпроводнике, содержащем точечные дефекты, и исследовано взаимодействие замкнутого вихря с полостью в сверхпроводнике, а также процесс распиннингования линейного вихря замкнутым вихрем.

Практическая ценность

Введение замкнутых вихрей в модель, описывающую смешанное состояние сверхпроводника второго рода, позволяет объяснить аномальное поведение вольт-амперных характеристик вблизи критической температуры, а также расширить область практического применения сверхпроводников второго рода, в частности, при создании приборов на основе ВТСП материалов, работающих на новых принципах. Результаты работы могут быть использованы в следующих научных организациях и вузах: Институт физических проблем им. П.Л. Капицы РАН, Институт физики полупроводников СО РАН, Институт неорганической химии им. A.B. Николаева СО РАН, Институт физики им. J1.B. Киренского СО РАН, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского и др.

Структура диссертации

Первая глава является обзорной, в ней рассмотрены существующие на данный момент теоретические модели, описывающие смешанное состояние сверхпроводника второго рода. В п. 1.1. рассмотрена история исследования сверхпроводников второго рода. В п. 1.2. рассматривается линейный вихрь Абрикосова, описываются основные его свойства. В п. 1.3. рассматривается смешанное состояние сверхпроводника второго рода в виде решётки линейных вихрей - шубниковская фаза. В п. 1.4. представлены основные теории, в которых производились попытки описать поведение сверхпроводника второго рода вблизи критической температуры. В п. 1.5. описаны простейшие представления о замкнутом вихре Абрикосова. В конце главы, в п.1.6., сформулирована постановка задачи.

Вторая глава посвящена вопросам, касающимся образования и разрушения замкнутых вихрей Абрикосова. В п.2.1. рассмотрены основные механизмы генерации замкнутых вихрей. В п.2.2. рассмотрен тепловой механизм образования замкнутых вихрей, а именно, образование замкнутого вихря в результате действия сильной токовой флуктуации. Рассчитана температура, соответствующая началу генерации замкнутых вихрей подобным образом. В п.2.3. исследуется механизм образования замкнутых вихрей из линейных вихрей. В п.2.4. вводятся балансные уравнения, описывающие динамику рождения и уничтожения замкнутых вихрей из линейных вихрей. Также находится удлинение линейного вихря и общая длина замкнутых вихрей, образованных подобным образом. В конце главы, в п.2.5. проводится обсуждение результатов.

В третьей главе рассматриваются основные динамические свойства замкнутых вихрей. В п.3.1. представлены стационарные и нестационарные уравнения ГЛ, в частности, обсуждаются физические соображения, используемые при выводе нестационарного варианта теории. В п.3.2. на основе нестационарного уравнения ГЛ вводится система уравнений, позволяющая описать процесс рождения замкнутого вихря. Также вводится схема численного решения системы и исследуется зависимость вида решения от параметров начального возмущения. В п.3.3. рассматривается взаимодействие замкнутых вихрей с линейными вихрями, описывается общая картина смешанного состояния сверхпроводника второго рода вблизи критической температуры. В п.3.4. производится обсуждение результатов главы.

В четвёртой главе рассматривается влияние замкнутых вихрей Абрикосова на разрушение сверхпроводимости. В п.4.1. вводится новая фаза сверхпроводимости, характеризуемая наличием замкнутых вихрей Абрикосова. В п.4.2. рассчитываются свободная энергия и теплоёмкость сверхпроводника, содержащего в себе замкнутые вихри. Также находится температура, соответствующая началу генерации замкнутых вихрей и сравнивается с температурой фазового перехода, наблюдаемого экспериментально. В п.4.3. исследуется взаимодействие замкнутых вихрей с различными центрами пиннинга, такими как нормальная полость и точечные дефекты. Освещается вопрос о стабилизации замкнутого вихря в сверхпроводнике, содержащем точечные дефекты. Также рассматривается явление распиннингования линейного вихря замкнутым вихрем. В п.4.4. производится обсуждение основных результатов главы.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы, полученные в данной диссертационной работе.

Защищаемые положения:

1. Существует два механизма образования замкнутых вихрей Абрикосова, а именно: образование замкнутого вихря в результате действия сильной токовой флуктуации и образование замкнутого вихря из линейного вихря.

2. Радиус замкнутого вихря определяет время его жизни: замкнутые вихри с малыми радиусами, являются неустойчивыми и быстро разрушаются.

3. Замкнутый вихрь взаимодействует с решёткой линейных вихрей, разворачиваясь в определённое, энергетически выгодное положение относительно направления внешнего магнитного поля. Далее замкнутые вихри притягиваются к линейным, образуя «гроздья».

4. Кроме известной фазы сверхпроводника второго рода, содержащего в себе решётку линейных вихрей, в нём имеется фаза, характеризуемая наличием замкнутых вихрей. Температура, соответствующая началу генерации замкнутых вихрей, зависит от внешнего магнитного поля и совпадает с температурой фазового перехода, обнаруженного экспериментально.

5. Замкнутый вихрь взаимодействует с различными дефектами сверхпроводника, притягиваясь к ним. Возможна стабилизация замкнутого вихря в сверхпроводнике, содержащем точечные дефекты. Возможен процесс распиннингования линейного вихря замкнутым вихрем.

Апробация

Материалы диссертации были представлены на международных конференциях: XIII Международная конференция «Ломоносов-2006» (Москва, 12-15 апреля, 2006); Вторая Международная конференция «Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости» (ФПС'06, Звенигород, 9-13 октября, 2006); XII Международный симпозиум «Нанофизика и наноэлектроника» (Нижний Новгород, 10-14 марта, 2008), а также на семинарах: I Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2003 (Новосибирск, 24-25 ноября, 2003); II Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2004 (Красноярск, 1-2 декабря, 2004); 1П Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2005 (Омск, 20-21 сентября, 2005); IV Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2006 (Новосибирск, 26-27 октября, 2006); V Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2007 (Красноярск, 13-18 сентября, 2007); VI Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2008 (Омск, 16-17 сентября, 2008).

Всего по теме диссертации опубликовано 7 работ [1-7], из них одна статья в реферируемом отечественном журнале [1].

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Тихомиров, Илья Викторович

Заключение

В настоящей работе показано, что замкнутые вихри участвуют практически во всех основных процессах, происходящих в сверхпроводниках второго рода. Поэтому они являются не менее важным объектом исследования, чем линейные вихри Абрикосова, широко рассматриваемые в литературе. Кроме того, существование замкнутых вихрей в сверхпроводнике подтверждается многочисленными экспериментами. Тем не менее, настоящая работа является пока единственной работой, посвященной детальному исследованию замкнутых вихрей.

В связи с этим, сформулируем основные результаты и выводы, полученные в данной диссертационной работе.

1. Получено численное решение нестационарного уравнения Гинзбурга-Ландау, соответствующее замкнутому вихрю. В зависимости от геометрии и амплитуды начального возмущения оно может перейти либо в замкнутый вихрь, существующий достаточно долго, либо в нормальную полость, которая разрушается за короткий промежуток времени.

2. Показано, что в сверхпроводнике существует два механизма генерации замкнутых вихрей Абрикосова: образование из линейного вихря и в результате действия сильной токовой флуктуации.

3. Вычислена зависимость времени жизни замкнутого вихря от его радиуса и показано, что замкнутый вихрь неустойчив, причём вихри с малым радиусом и с магнитным потоком меньше кванта потока, разрушаются быстрее замкнутых вихрей с потоком, равным целому кванту потока.

4. Показано, что замкнутые вихри притягиваются к линейным вихрям, не сливаясь с ними, а образуя «гроздья».

5. Показано, что замкнутые вихри, как и линейные, притягиваются к центрам пиннинга, кроме этого сами замкнутые вихри могут влиять на процесс пиннинга линейных вихрей, способствуя их распинингованию. Существенную роль играет взаимодействие замкнутого вихря с точечными дефектами, поскольку такое взаимодействие приводит к стабилизации замкнутого вихря, т.е. позволяет ему существовать сколько угодно долго в сверхпроводнике.

6. Проведены расчёты свободной энергии и теплоемкости сверхпроводника с замкнутыми вихрями Абрикосова. Вычислена температура, при которой в системе начинается генерация замкнутых вихрей. Показано, что эта температура с хорошей точностью совпадает с температурой фазового перехода, наблюдаемого экспериментально.

Благодарности

Автор выражает признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Югаю Климентию Николаевичу за постоянное внимание и интерес к работе. Автор благодарит Николаева Сергея Викторовича и Тиховскую Наталью Валерьевну за активное участие в обсуждении результатов работы, а также выражает признательность всему коллективу кафедры общей физики Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тихомиров, Илья Викторович, 2008 год

1. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Динамика замкнутых вихрей Абрикосова в сверхпроводниках II рода // Вестник Новосибирского университета. Серия: Физика. 2008. - Т.З. - № 1. - С. 105-108.

2. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Замкнутые вихри Абрикосова и разрушение сверхпроводимости вблизи Тс // Вестник Омского университета. 2008. - № 1. - С.23-25.

3. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Замкнутые вихри Абрикосова во внешнем магнитном поле // Вестник Омского университета. 2007. — № 3. - С.20-25.

4. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Вихри Абрикосова и резистивные свойства сверхпроводников второго рода // Вестник Омского университета. 2006. - № 1. - С.24-26.

5. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Кольцевые вихри Абрикосова // Вестник Омского университета. 2003. - № 2. - С.19-21.

6. Bednorz J.G., Muller К.A. Possible high T superconductivity in the Ba-La-Cu-0 system // Zeitschrift Fur Physik В. 1986. - V.64. - No.2. -P.189.

7. Гинзбург B.JI., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости // ЖЭТФ.- 1950. Т.20. - С. 1064-1090.

8. Ю.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика часть 1. М.: Наука, 1976.-486 с.11 .Абрикосов A.A. О магнитных свойствах сверхпроводников второго рода// ЖЭТФ. 1957. - Т.32. - № 6. - С. 1442-1452.

9. Cribier D., Jacrot В., Madhau Rao L., Farnoux В. Polarized Targets as Direct Reaction Mechanism Probes // Physical Review Letters. 1964.- V.9. -No.3. -P.106.

10. Essman U., Trauble H. Secondary Particle Production in High-Energy Muon-Nucleon Interactions // Physical Review Letters. 1970. -V.24. -No.10. - P.526.

11. Nordborg H., Blatter G. Numerical study of vortex matter using the Bose model: First-order melting and entanglement // Physical Review B. 1998. -V.58. -No.21. -P.14556.

12. Blatter G., Feigel'man M.V., Geshkenbein V.B., Larkin A.I., et. al. Vortices in high-temperature superconductors // Reviews of Modern Physics. 1994. - V.66. - No.4. - P.l 125.

13. Zeldov E., Majer D., Konczykowski M., Geshkenbein V.B., et. al. Thermodynamic Observation of First-Order Vortex-Lattice Melting Transition in Bi2Sr2CaCu2Os // Nature. 1995. - V.375. - No.6. -P.373.

14. Schilling A., Fisher R.A., Phillips N.E., Welp U., et. al. Calorimetric measurement of the latent heat of vortex-lattice melting in untwinned YBafiup^ // Nature. 1996. - V.382. -No.8. - P.791.

15. Charalambous M., Chaussy J., Lejay P. Evidence from resistivity measurements along the c axis for a transition within the vortex state for H || ab in single-crystal YBa2CujQ1 II Physical Review B. 1992. - V.45. -No.9. -P.5091.

16. Kwok W.K., Fleshier S., Welp U., Vinokur V. M., et. al. Vortex lattice melting in untwinned and twinned single crystals of YBa2Cu1015 II

17. Physical Review Letters. 1992. - V.69. -No.23. - P.3370.

18. Safar H., Gammel P.L., Huse D.A., Bishop D. J. Experimental evidence for a first-order vortex-lattice-melting transition in untwinned, single crystal YBalCn^01 // Physical Review Letters. -1992. V.69. —No.5. - P.824.

19. Kwok W.K., Fendrich J., Fleshier S., Welp U., et. al. Vortex liquid disorder and the first order melting transition in YBc^Cu^^ II Physical Review Letters. 1994. - V.72. - No.7. - P. 1092.

20. Pastoriza H., Goffman M.F., Arribere A., Cruz F. First order phase transition at the irreversibility line of Bi2Sr2CaCu20& // Physical Review Letters. 1994. - V.72. - No.7. - P.2951.

21. Welp U., Fendrich J., Kwok W.K., Crabtree G.W., et. al. Thermodynamic Evidence for a Flux Line Lattice Melting Transition in YBafu^O^ II Physical Review Letters. 1996. - V.76. -No.25. -P.4809.

22. Liang R., Bonn D.A., Hardy W.N. Discontinuity of Reversible Magnetization in Untwinned YBCO Single Crystals at the First Order Vortex Melting Transition // Physical Review Letters. 1996. - V.76. -No.5. - P.835.

23. Fendrich J.A., Welp U., Kwok W.K., Koshelev A.E., et. al. Static and Dynamic Vortex Phases in YBcllCu1015 11 Physical Review Letters.1996. V.77. - No. 10. -P.2073.

24. Schilling A., Fisher R.A., Phillips N.E., Welp U., et. al. Anisotropic Latent Heat of Vortex-Lattice Melting in Untwinned YBa1Cu7>01s //

25. Physical Review Letters. 1997. - V.78. -No.25. - P.4833.

26. Smith A.W., Jaeger H.M., Rosenbaum T.F., Kwok W.K., et. al. Bose glass melting and the transverse Meissner effect in YBa1Cn1)01s single crystals // Physical Review B. 2001. - V.63. - No.6. -P.064514.

27. Schilling A., Welp U., Kwok W.K., Crabtree G.W. Vortex-lattice melting in untwinned YBa2Cu7)01s for Hlc // Physical Review B.2002. V.65. -No.5. - P.054505.

28. Lortz R., Meingast C., Welp U., Kwok W.K., et. al. Crystal-Lattice Coupling to the Vortex-Melting Transition in YBa1Cu^01s // Physical Review Letters. -2003. -V.90. -No.23. -P.237002.

29. Teitel S., Jayaprakash C. Phase transtions in frustrated two-dimensional XY models // Physical Review B. 1983. - V.27. -No.l. -P.598.

30. Shih W.Y., Ebner C., Stroud D. Frustration and disorder in granular superconductors // Physical Review B. 1984. - V.30. - No.l. -P.134.

31. Hetzel R., Sudb0 A., Huse D.A. First-order melting transition of an Abrikosov vortex lattice // Physical Review Letters. 1992. - V.69. -No.3. — P.518.

32. Hwang I.-J., Stroud D. First-order flux-lattice melting of a frustrated XY model with a 111. magnetic field // Physical Review B. 1996. -V.54. —No.21. - P.14978.

33. Ryu S., Stroud D. Magnetization Jump in a Model for Flux Lattice Melting at Low Magnetic Fields // Physical Review Letters. 1997. -V.78. -No.24. -P.4629.

34. Ryu S., Stroud D. Nature of the low-field transition in the mixed state of high-temperature superconductors // Physical Review B. 1998. -V.57. -No.22. - P. 14476.

35. Barabash S., Stroud D., Hwang I.-J. Conductivity due to classical phase fluctuations in a model for high- Tc superconductors 11 Physical Review B. 2000. - V.61. - No.22. - P.R14924.

36. Kulkarni R.V., Almaas E., Fisher K.D., Stroud D. Fractional vortices in the XY model with n bonds // Physical Review B. 2000. - V.62. -No.18.-P.12H9.

37. Olsson P. Vortex Glass Transition in a Frustrated 3D XY Model with Disorder // Physical Review Letters. 2003. - V.91. - No.7. -P.077002.

38. Nelson D.R. Vortex Entanglement in High- Tc Superconductors // Physical Review Letters. 1988. - V.60. - No. 19. - P. 1973.

39. Nelson D.R., Seung S. Theory of melted flux liquids // Physical Review B. 1989. - V.39. -No.13. -P.9153.

40. Nelson D.R., Vinokur V.M. Boson localization and pinning by correlated disorder in high-temperature superconductors // Physical Review Letters. 1992. - V.68. - No. 15. - P.2398.

41. Ryu S., Doniach S., Deutscher G., Kapitulnik A. Monte Carlo simulation of flux lattice melting in a model high- Tc superconductor I I Physical Review Letters. 1992. - V.68. -No.5. -P.710.

42. Täuber U.C., Nelson D.R. Interactions and pinning energies in the Bose glass phase of vortices in superconductors // Physical Review B. — 1995. V.52.-No.22. — P.16106.

43. Ryu S., Stroud D. First-order melting and dynamics of flux lines in a model for YBafiu^O^ // Physical Review B. 1996. - V.54. - No.2. -P.1320.

44. Ryu S., Hellerqvist M., Doniach S., Kapitulnik A., et. al. Dynamical Phase Transition in a Driven Disordered Vortex Lattice // Physical Review Letters. 1996. - V.77. - No.25. -P.5114.

45. Hatano N., Nelson D.R. Vortex pinning and non-Hermitian quantum mechanics // Physical Review B. 1997. - V.56. - No. 14. - P.8651.

46. Chen T., Teitel S. Helicity modulus and fluctuating type-II superconductors: Elastic approximation and numerical simulations // Physical Review B. 1997. - V.55. - No.22. - P. 15197.

47. Tesanovic Z. Extreme type-II superconductors in a magnetic field: A theory of critical fluctuations // Physical Review B. 1999. - V.59. -No-9.-P.6449.

48. Homes C.C., Dordevic S.V., Bonn D.A., Liang R., et. al. Sum rules and energy scales in the high-temperature superconductor YBc^Cup^ // Physical Review B. 2004. - V.69. - No.2. -P.024514.

49. Kosterlitz J.M., Thouless D.J. Ordering metastability and phase transition in two dimensional system // Journal of Physics C. 1973. -V.6. — P.1181.

50. Eepe3HHCKHH B.JI. // 3K3TO. 1970. - T.59. - № 3. - C.907.

51. Friedel J. // Journal of Physics Paris. 1988. - V.49. P.1561.

52. Friedel J. // Journal of Physics Condensed Matter. 1989. -V.l. -P. 1757.

53. Nonomura Y., Hu X., Tachiki M. Flux-line entanglement as the mechanism of melting transition in high-temperature superconductors in a magnetic field // Physical Review B. 1999. - V.59. - No.18. -P.R11657.

54. Lidmar J., Wallin M. Superconducting coherence and the helicity modulus in vortex line models // Physical Review B. 1999. - V.59. -No.13.-P.8451.

55. Nguyen A.K., Sudb0 A. Topological phase fluctuations, amplitude fluctuations, and criticality in extreme type-II superconductors // Physical Review B. 1999. - V.60. -No.22. - P. 15307.

56. Pismen L., Rica S. Fermions on a vortex ring // Physical Review D. -2002. V.66. - No.4. - P.045004.

57. Olsson P., Teitel S. Search for a vortex loop blowout transition in a type-II superconductor in a finite magnetic field // Physical Review B. 2003. - V.67. -No.14. - P.144514.

58. Chen Q.-H., Hu X. Nonequilibrium Phase Transitions of Vortex Matter in Three-Dimensional Layered Superconductors // Physical Review Letters. 2003. - V.90. -No.l 1. - P. 117005.

59. Vestergren A., Wallin M., Teitel S., Weber H. Effect of columnar disorder on the superconducting transition of a type-II superconductorin zero applied magnetic field // Physical Review B. -2004. V.70. - No.5. - P.054508.

60. Camarda M., Siringo F., Pucci R., Sudbo A., et. al. Methods to determine the Hausdorff dimension of vortex loops in the three-dimensional XY model // Physical Review B. 2006. - V.74. -P.104507.

61. Козлов В.А., Самохвалов A.B. Замкнутые вихри Абрикосова в сверхпроводниках второго рода // Письма в ЖЭТФ. 1991. -Т.53. — С.150-153.

62. Kozlov V.A., Samokhvalov A.V. Closed Abrikosov vortices in a superconducting cylinder // Physica C. 1993. - V.213. - P. 103.

63. Kozlov V.A., Samokhvalov A.V. Stabilization of Toroidal Abrikosov Vortex in a Nonuniform Superconductor // Journal of Superconductivity. 1993. - V.6. -No.2. - P.63.

64. Samokhvalov A.V. Expanding vortex rings in a current-carrying superconducting cylinder // Physica C. 1998. - V.308. - P.74.

65. Chen Т., Teitel S. Phase transitions in high- Tc superconductors and the anisotropic three-dimensional XY model // Physical Review B. — 1997. V.55. -No.17. - P.11766.

66. Koplik J., Levine H. Vortex reconnection in superfluid helium // Physical Review Letters. 1993. - V.71. -No.9. -P.1375.

67. Koplik J., Levine H. Scattering of Superfluid Vortex Rings // Physical Review Letters. 1996. - V.76. - No.25. - P.4745.

68. Farrell D.E., Rice J.P., Ginsberg D.M. Experimental evidence for flux-lattice melting // Physical Review Letters. 1991. - V.67. - No.9. -P.1165.

69. Мкртчан Г.С., Шмидт B.B. // ЖЭТФ. 1971. - Т.61. - № 1. -С.367.

70. Ларкин А.И. // ЖЭТФ. 1970. - Т.58. - № 4. - С.1466-1470.