Алгоритмы статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений больцмановского типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Рогазинский, Сергей Валентинович

• Рогазинский, Сергей Валентинович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Рогазинский, Сергей Валентинович

Введение.

Глава 1. Метод Г. Берда для статистического моделирования динамики разреженного газа

1.1. Алгоритм Г. Берда.

1.2. Обоснование алгоритма метода прямого статистического моделирования в пространственно однородном случае.

Глава 2. Прямое статистическое моделирование кинетических процессов, основанное на использовании уравнений Колмогорова.

2.1. Основной марковский процесс

2.2. Метод мажорантной частоты.

2.3. О корреляционной функции двух частиц в методе прямого статистического моделирования в пространственно однородном случае.

Глава 3. Метод локальных весов для моделирования пространственно однородной релаксации газа.

3.1. Метод дополнительной переменной для уравнения Больцмана в случае однокомпонентного газа.

3.2. Метод дополнительной переменной для релаксации смеси химически нейтральных газов

Глава 4. Весовые методы Монте-Карло для приближенного решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана

4.1. Введение.

4.2. Математическая модель стохастической кинетики многочастичной системы

4.3. Построение базового интегрального уравнения

4.4. Весовые оценки.

4.5. Дисперсии оценок.

4.6. Параметрические оценки.

4.7. Глобально-весовой метод Монте-Карло для нелинейного уравнения Больцмана.'.

4.8. Ценностные модификации весового статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений.

Глава 5. Статистическое моделирование решения нелинейного кинетического уравнения Смолуховского.

5.1. Статистическое моделирование решения задачи Коши для нелинейного кинетического уравнения Смолуховского с источником

5.2. Статистическое моделирование решения задачи Коши для нелинейного кинетического уравнения Смолуховского без источника.

5.3. Весовой метод Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения коагуляции.

5.4. Ценностные модификации статистического моделирования для решения нелинейного кинетического уравнения Смолуховского.

Глава 6. Статистическое моделирование решения нелинейного уравнения Больцмапа в пространственно неоднородном случае

6.1. Введение.

6.2. Уравнение Колмогорова с переменным числом частиц для решения начально-краевой задачи для нелинейного уравнения Больцмапа в пространственно неоднородном случае

6.3. Интегральное уравнение и алгоритм прямого моделирования

6.4. Регуляризация взаимодействия двух частиц по пространственным переменным

6.5. О погрешности, вносимой регуляризацией взаимодействия частиц по пространственным переменным

6.6. Приближенная минимизация трудоемкости алгоритма прямого моделирования

6.7. Экономичные приближенные алгоритмы статистического моделирования, использующие дискретный шаг по времени

6.8. Алгоритмы реализации общей схемы

6.9. Приближенная схема моделирования.

6.10. Асимптотические выражения для дисперсий оценок основных функционалов в методе прямого статистического моделирования в пространственно неоднородном случае.

Глава 7. Применение разработанных алгоритмов к решению задач динамики разреженного газа

7.1. Применение алгоритмов к расчету классических течений газа и к расчету трехмерного обтекания затупленного полуконуса с крыльями.

7.2. Расчет течения газа в MEMS.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений больцмановского типа»

Метод прямого статистического моделирования является наиболее распространенным среди численных методов решения задач динамики разреженного газа. В настоящее время он практически вытеснил все иные подходы к решению прикладных задач в этой области. Более того, как показывают материалы международных симпозиумов по динамике разреженного газа [1,2,3], наметилась тенденция применения этого метода к расчету всего спектра течений — от сплошной среды до свободомолекулярного течения и с учетом физико-химических превращений в газе ( см. обзоры [4,5]).

В основе описания динамики разреженного газа и молекулярных процессов, протекающих в разреженном газе, лежит нелинейное кинетическое уравнение Больцмана. Для случая простого газа оно имеет вид: где /(¿, г, V) — плотность числа частиц, то есть /(¿, г. v)<ir<iv — среднее число частиц в элементе физического пространства с/г около точки г, обладающих скоростями в элементе пространства скоростей сЫ около точки V. В правой части уравнения находится интеграл столкновений

Здесь ег(/$, ¡V — У1|) — дифференциальное сечение рассеяния двух частиц со скоростями (V. ух); сЮ — телесный угол, в котором находится вектор относительной скорости частиц после рассеяния (в системе центра масс частиц); 'д — угол поворота вектора относительной скорости частиц в плоскости рассеяния; () и (у'.у^) — скорости частиц до и после столкновения.

Часто используется другое, эквивалентное представление интеграла столкновений [69]:

ЛЛ Л Г> Г, VI) - /(¿, Г, у)/(*, г, V!)} \v-vM0, )(1ШлГ1 л/,л = ///ч у;,^ -» VI,у2){/К, ь)/к,г)-/(VI,¿)/(у2, Ь)}сЫ[(1^2,

Характерной особенностью этого уравнения является нелинейность правой части, которая описывает парные взаимодействия частиц газа.

Методы статистического моделирования для решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана появились в начале 60-х годов и сразу же привлекли к себе внимание своей физической наглядностью. Условно их можно разделить на три группы. К первой следует отнести метод пробных частиц [6], который является естественным развитием классического метода Монте-Карло и основан на специальном итерационном процессе для нелинейного кинетического уравнения Больцмана. Ко второй группе относится метод [7] прямого моделирования разреженного газа конечным набором взаимодействующих модельных частиц. Численные алгоритмы в этом случае строятся, исходя из физической модели газа, лежащей в основе вывода нелинейного кинетического уравнения Больцмана. В [8] описан метод Монте-Карло для нелинейного уравнения Больцмана, основанный на теории ветвящихся случайных процессов, который определяет третью группу методов. Однако он не получил широкое распространение, поскольку расчеты типичных задач динамики разреженного газа этим методом весьма трудоёмки.

Первоначально методы первой и второй групп основывались на эвристических представлениях, и их связь с нелинейным кинетическим уравнением Больцмана была недостаточно ясна. Метод пробных частиц получил теоретическое обоснование в [9], где показана прямая связь процесса моделирования, предложенного в [6], с соответствующим итерационным процессом (точнее, на каждом итерационном шаге) решения краевой задачи для нелинейного уравнения Больцмана. Реализация этого метода требует хранения в памяти ЭВМ значений решения в двух последовательных итерациях, что накладывает существенные ограничения па его практическое применение. Метод пробных частиц для модельного кинетического уравнения был построен в [10], его эффективный вариант для максвелловских молекул — в [11].

Хорошо известно, что метод расщепления (дробных шагов) является эффективным численным методом решения многомерных задач математической физики [148]. Для кинетических уравнений, в частности, линейного кинетического уравнения переноса нейтронов, в [149] впервые было предложено расщепление по физическим процессам.

Для нелинейного кинетического уравнения Больцмана специальный вариант метода расщепления по физическим процессам можно представить следующим образом. На конечном промежутке времени [О, Т] вводится сетка ¿г- = гД£, г = 0,. , п и решение начально-краевой задачи для уравнения Больцмана заменяется последовательным решением следующих задач: о(г,у) =/(¿,г,у) I ; о, г,<г<4,+1 дС дг (0.1) и, г, V) = /г(г, V); т (0.2) /(¿г-,г, V) = /(¿г+1,Г, V); г+1 (Г, V) = /(гт,Г, V).

Условия на границах расчетной области и обтекаемого тела учитываются при решении задачи (0.1). В дальнейшем будем предполагать сходимость решения задачи (0.1), (0.2) при Д£ —> 0 к решению начально-краевой задачи для уравнения Больцмана.

По-видимому, впервые на такую двухэтапную аппроксимацию решения уравнения Больцмана из физических соображений указал Г.Грэд [150]. На малом временном шаге Д£ <С т\ ( т\ — среднее время свободного пробега частиц в газе) он предложил разделить процесс решения на два этапа: решение задачи свободного молекулярного переноса (0.1) и затем задачи пространственно однородной релаксации (0.2).

В общем случае доказательство сходимости расщепленной задачи к решению уравнения Больцмана в настоящее время отсутствует. Если же полагать, что решение уравнения Больцмана существует и единственно при обычных предположениях [129,130], то, как доказано в [151], решение (0.1), (0.2) сходится к решению нелинейного уравнения Больцмана при АС —> 0. При этом имеется в виду, что каждая из расщепленных задач (0.1),(0.2) решается точно.

Использование метода расщепления для численного интегрирования уравнения Больцмана предложено в [152]. В частности, там построена консервативная схема расщепления: интеграл столкновений </(/,/) на шаге At вычисляется методом Монте-Карло, а для вычисления функции распределения используется конечно-разностная схема с коррекцией, обеспечивающей выполнение законов сохранения.

При численном интегрировании уравнения Больцмана с использованием метода расщепления, как видно из (0.1), (0.2), необходимо запоминать функцию распределения на каждом таге At, что предъявляет высокие требования к ресурсам ЭВМ. В частности, при решении одномерных задач динамики разреженного газа необходимо помнить двумерную функцию распределения во всех точках разбиения пространственной переменной, а в случае двух пространственных переменных в узлах сетки необходимо запоминать трехмерный массив значений функции распределения. Дополнительная сложность также возникает в вычислении значений функции распределения в точках, не совпадающих с узлами сетки в скоростном пространстве, при вычислении интеграла обратных столкновений.

Несмотря на эти сложности, применение метода расщепления при прямом численном интегрировании уравнения Больцмана позволило получить численные решения ряда задач динамики разреженного газа [153, 154]. Описанный метод, принадлежащий к первой группе методов продолжает развиваться.

В 1963 году Г. А. Берд ( G. A. Bird ) [114] предложил вероятностный подход для численного моделирования столкновительных процессов в разреженном газе. Следующим этапом развития этого подхода было введение сетки в координатном пространстве (скоростное пространство остается непрерывным) и с введением принципа расщепления для моделирования физического движения частиц газа, то есть раздельного моделирования свободомолекулярно-го движения частиц и их столкновений. Введенный таким образом принцип расщепления отличается от описанного выше, тем, что здесь расщепляется не уравнение, а процесс статистического моделирования на шаге At. Окончательное объединение принципа расщепления с моделированием столкновений в ячейках по схеме "счетчик времени"(time counter scheme) было сформулировано в [12], где была прослежена связь предложенной методики с нелинейным уравнением Больцмана. В качестве критерия соответствия численных результатов моделирования по схеме "счетчик времени"решению нелинейного уравнения Больцмана использовался критерий равенства частоты столкновений в модельном газе с ее теоретическим значением, соответствующем нелинейному уравнению Больцмана. Наиболее полное описание данного подхода приведено в [86]. В работе [13] также было введено разбиение физического пространства на ячейки, по для моделирования столкновений в ячейках использовалась схема "частота столкновений"[14]. Данный метод относится ко второй группе методов.

Расщепление непрерывного процесса движения молекул и их столкновений в разреженном газе на два последовательных этапа на временном шаге At впервые было предложено в [114,12]. Сформулируем основные положения этого метода.

Область течения разбивается на ячейки размером Ах так, что изменения параметров течения в каждой ячейке должно быть малым. Временной шаг At должен быть мал по сравнению с т\ — средним временем между столкновениями молекул. На этом временном шаге At свободное движение молекул и межмолекулярные столкновения рассматриваются последовательно:

1. Все молекулы, находящиеся в области течения, перемещаются на расстояние, определяемое их скоростями в данный момент времени и шагом по времени At. Если в процессе этого перемещения молекула выходит за границу расчетной области, то она изымается из моделирования. Если в процессе движения молекула попадает на поверхность обтекаемого тела, то в соответствии с граничными условиями вычисляется ее новая скорость. На этом же шаге At производится генерация новых частиц, входящих в область течения, в соответствии с заданной на границах расчетной области функцией распределения.

2. В каждой ячейке физического пространства независимо проводятся столкновения частиц, принадлежащих только данной ячейке, т.е. столкновения частиц из соседних ячеек не рассматриваются. Так как изменение фупкции распределения считается малым в данной ячейке, то при выборе пары частиц для расчета столкновений их относительное расстояние не учитывается. Скорости молекул после столкновения вычисляются в соответствии с законами сохранения импульса и энергии.

Параметры течения газа в моменты времени = /сД£, где к — 0,1.??, определяются осреднением но Ь траекториям.

Для решения стационарных задач в [86] предложено использовать следующий вариант метода установления: прослеживается только одна траектория и после достаточно большого значения к — ко параметры течения определяются осреднением по Ь выборочным значениям в моменты времени Ь = (к0 + /)Д£. 1 = 1,.,Ь.

Обычно реализация этапа свободномолекулярного переноса не вызывает принципиальных затруднений: каждая частица системы смещается на расстояние, пропорциональное ее скорости, и её новые координаты равны г' = г vД£.

Принципиальным моментом метода прямого статистического моделирования является реализация этапа столкновптельпой релаксации, который также имеет и самостоятельное значение при решении пространственно однородных задач динамики разреженного газа.

Отметим различие в использовании принципа расщепления в методе прямого статистического моделирования и метода расщепления (дробных шагов) при численном интегрировании уравнения Больцмана, основанном на системе (0.1), (0.2). Использование указанной системы, как уже отмечалось выше, предполагает запоминание функции распределения на каждом шаге по времени, что, естественно, требует больших ресурсов ЭВМ. В методе же прямого статистического моделирования (и в этом его кардинальное отличие) не требуется вычисление функции распределения на каждом временном шаге. Состояние модельной системы частиц в каждый момент времени определяется значениями координат и скоростей всех частиц. Осреднение по Ь траекториям такого частичного случайного процесса позволяет получать в заданные моменты времени различные функционалы от функции распределения.

Описанный выше феноменологический метод, использующий вероятностные представления для численного моделирования решения нелинейного уравнения Больцмана — метод прямого статистического моделирования — в основном сформировался в начале 70-х годов. Этот метод постоянно развивался и модифицировался. При своем развитии метод сохранил свою структуру и основные принципы, лежащие в его основе.

В основном, развитие метода шло по пути предложения различных вариантов моделирования столкновений в модельном газе [14-29]. Большинство этих численных схем моделирования проанализировано с точки зрения эффективности в [30]. Качественный анализ распространенных численных схем реализации прямого статистического моделирования был проведен в [31], где отмечен их общий характер, связанный с использованием 1\-частичной модели газа. Основное кинетическое уравнение, описывающее такую модель газа на уровне ^-частичной плотности распределения, хорошо известно [32-34]. Впервые связь между моделированием траектории модельной системы N частиц в ЗА-мерном пространстве скоростей с моделью Каца [32| отмечалось в

16], где из физических соображений был предложен "основной"марковский процесс для численной реализации этой модели газа. Детальнее эта связь прослежена в работах [17-19], где модель Каца введена феноменологически на основе постулированного вероятностного описания случайного процесса эволюции системы N частиц.

Приближенный алгоритм реализации модели Каца, основанный на схеме испытаний Бернулли с разными вероятностями успеха, был предложен в

17]. На основе этого алгоритма построена интегро-конечпо-разностная схема основного кинетического уравнения. В [29,221-227] также постулируется вероятностное описание процесса эволюции системы частиц и на его основе выписывается интегральное уравнение.

Следует отметить общность всех подходов к построению численных схем второй группы методов. Все схемы используют принцип расщепления. Реализация столкновений в модельном газе производится следующим образом: сначала из некоторых представлений о столкновительном процессе частиц в реальном газе постулируется случайных характер процесса эволюции модельной системы частиц и строится численный алгоритм прямого статистического моделирования, в отдельных случаях, формулируется некоторое "кинетическое"уравненис. Методы данной группы, как легко видеть, реализуют эволюцию конечного ансамбля взаимодействующих частиц, поэтому построение численных алгоритмов статистического моделирования должно основываться на "кинетических"( управляющих ) уравнениях, которые описывают эволюцию этого ансамбля. Слово "кинетические"взято в кавычки, поскольку речь идет о численных алгоритмах, использующих такое количество частиц и искусственно введенное взаимодействие между ними, что говорить о кинетических уравнениях в классическом смысле [58, 68, 71, 75] не приходится. Эти управляющие /У-частичноп моделью уравнения должны сопо-ставлятся нелинейному кинетическому уравнению. Такое сопоставление даст возможность получить необходимые соотношения между величинами, характеризующими нелинейные кинетические уравнения и модельные уравнения. По-видимому, исторически первыми, кто использовал модельные уравнения, описывающие эволюцию ансамбля с конечным количеством взаимодействующих частиц, для исследования кинетических уравнений, были для неоднородного по пространству случая — М. А. Леонтович [34] и для однородного — М. Кац [32]. В обоих случаях это были уравнения Колмогорова, записанные для парного взаимодействия частиц в ансамбле, причем рассматривался ансамбль с конечным числом частиц.

Использование статистического моделирования для решения нелинейного уравнения коагуляции [35], то есть уравнения Смолуховского [36], базируется на аналогичных идеях, на которых строятся схемы прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа, причем применяется сходный математический аппарат [35-40]. Поэтому целесообразно на основе единого подхода разрабатывать алгоритмы метода Монте-Карло для решения нелинейных кинетических уравнений Больцмана и коагуляции.

В начале 80-х годов появляются методы прямого статистического моделирования для построения которых не используется принцип расщепления. Ю.Н. Кондюрин [25-28, 164] предложил новый подход к моделированию пространственно неоднородных течений разреженного газа, в котором использован бТУ-мерный непрерывный по времени марковский случайный процесс, п предложен алгоритм реализации этого процесса [96-97]. В нем вводится "некоторая регуляризация больцмановского сечения столкновений "и при взаимодействии частиц учитывается их взаимное расположение. В [97] отмечается, что эволюция такой модели газа управляется линейным интегродиф-ференциальным уравнением Колмогорова - Феллера, и "если рассматривать моделируемую совокупность частиц как одну гипотетическую частицу в Аг-мерном фазовом пространстве то предложенный марковский процесс моделирования "аналогичен марковскому процессу известного метода статистического моделирования уравнения переноса" [8]. Для уменьшения трудоемкости моделирования времени свободного пробега частиц в такой модели газа было предложено использовать известный метод максимального сечения, и оценка трудоёмкости алгоритма, проведенная в [96], показала, что для реализации каждого столкновения требуется ~ М2 операций. В [221] введен аналогичный случайный процесс, в котором использовалась другая модель взаимодействия частиц. Данный подход с введением случайного марковского процесса эволюции взаимодействующих частиц с последующим установлением связи с нелинейным уравнением Больцмана получил развитие в работах [221-227].

Учет специфики Д^-частичпой модели газа позволил в пространственно однородном случае сформулировать принцип мажорантной частоты [52,30], который сочетает в себе идеи метода максимального сечения [8] и метода дополнительной рандомизации [228] . В работе [167] этот принцип был распространен на пространственно неоднородный случай, что позволило построить новые точную ( без дискретизации времени ) и приближенную ( с дискретизацией времени ) экономичные схемы моделирования, исходя непосредственно из основного кинетического уравнения Леонтовича [34].

В [169,170] построены и обоснованы весовые модификации метода прямого статистического моделирования (ПСМ) для приближенного решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана. Следует отметить, что ранее уже были построены модификации ПСМ, в которых отдельным частицам присваивались веса, связанные с искусственным перераспределением типов частиц в начальный момент времени [86,54,178]. Соответствующие весовые оценки не являются статистически эквивалентными оценкам ПСМ. Их состоятельность, т. е. асимптотическая (по числу взаимодействующих частиц) эквивалентность оценкам ПСМ, достигается путем специальной рандомиза цпи на основе физических соображений баланса. В работе [54] рассмотрена наиболее общая и в значительной степени обоснованная весовая модификация ПСМ такого типа под названием метода дополнительной переменной. С точки зрения общей теории весовых статистических методов решения интегральных уравнений [179, 180] эта модификация также является методом прямого моделирования для модифицргрованного интегрального уравнения [54], определяющего математическую модель эволюции ансамбля взаимодействующих частиц.

Для построения и обоснования алгоритмов ПСМ с целью нахождения приближенного решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана может быть использовано линейное интегральное уравнение [167], которое эквивалентно N-частичному уравнению Леонтовича [34], с рсгуляризованным по пространственным переменным эффективным сечением парных столкновений [181]. Однако использовать это уравнение непосредственно для построения стандартных весовых модификаций прямого моделирования невозможно, так как его ядро представляет собой сумму взаимно сингулярных слагаемых. Работе [170] это затруднение преодолевается путем введения номера взаимодействующей пары частиц в число координат фазового пространства системы, в результате чего в ядре остается лишь один сингулярный сомножитель. Для такого ядра оказывается возможным построение алгоритма с глобальным весом, который после каждого элементарного перехода в моделируемой цепи Маркова домножается на стандартный [179, 180] весовой множитель. Это позволяет распространить хорошо разработанную теорию весовых методов [179, 180] на рассматриваемый класс задач и. в частности, дает возможность оценивать параметрические производные от решения, что особенно важно при численном исследовании влияния различных параметров на решение нелинейного уравнения Больцмана.

Дальнейшее развитие этого направления \171-177] позволило построить эффективные ценностные модификации для приближенного решения пелиценных кинетических уравнений Больцмана и Смолуховского.

В настоящей диссертационной работе используется подход, предложенный в [41-42], согласно которому в качестве уравнений, описывающих эволюцию модельного газа, выбираются уравнения Колмогорова ( вслед за Кацем, но шире ). Решение нелинейного кинетического уравнения при этом рассматривается как линейный функционал, заданный на решении соответствующей задачи для уравнения Колмогорова. При таком подходе к решению нелинейных кинетических уравнений уравнения Колмогорова играют роль вспомогательных. Для установления соответствия между построенным специальным образом линейного функционала на решении вспомогательной задачи с решением соответствующего нелинейного кинетического уравнения используется известное условие молекулярного хаоса [32-33]. Вопросы, связанные с исследованием этого условия в диссертации не рассматриваются. В частном случае, если в качестве вспомогательного уравнения использовать уравнение Каца, которое в данном случае является уравнением Колмогорова, то данный подход совпадает с подходами [25-28,32].

Диссертация посвящена построению и обоснованию алгоритмов статистического моделирования для приближенного решения нелинейных кинетических уравнений больцмановского типа.

Первая глава диссертатиции посвящена обоснованию известного метода Берда для пространственно однородного случае. Показано, что в рассматриваемом случае он является приближенным методом решения уравнения Каца.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [30, 49, 53].

Во второй главе па основе уравнения Каца выведен алгоритм моделирования для приближенного решения уравнения Больцмана известный как "основной марковский процесс". Основываясь на идеи метода "максимального сечения "и учитывая специфику уравнения Каца для эволюции Н-частичиой модели газа, получен алгоритм "мажорантной частоты". Показано, что он имеет линейную по числу модельных частиц трудоемкость. В пункте 2.3. данной главы получено асимптотическое по времени выражение корреляционной функции двух частиц.

Результаты второй главы опубликованы в работах [30, 48, 50-53, 56,57, 137, 138, 144].

В третьей главе представлен метод дополнительной переменной для решения уравнения Больцмана в пространственно однородном случае и его обобщение на смеси химически нейтральных газов. Приведено его обоснование.

Результаты главы 3 опубликованы в работах [41, 42, 54, 55, 209].

В четвертой и пятой главах на основе уравнений Колмогорова производится построение весовых и ценностных модификаций, используемых в методе статистического моделирования для решения уравнений Больцмана и Смолуховского.

Результаты четвертой и пятой глав опубликованы в работах [43-40, 169177, 191, 208,].

В шестой главе описан метод прямого моделирования для решения уравнения Больцмана в пространственно неоднородном случае. Рассмотрены вопросы, связанные с регуляризацией по пространственным переменным взаимодействия двух частиц. Получены приближенные экономичные алгоритмы, использующие дискретный шаг по времени.

Результаты шестой главы опубликованы в работах [102, 167, 168, 206, 207, 230].

В седьмой главе приведены результаты применения полученных алгоритмов к решению прикладных задач.

Результаты седьмой главы опубликованы в работах [102, 167, 229 ].

Настоящая работа выполнена в учреждении Российской академии наук, Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск (ИВМиМГ СО РАН). Изложенные в пей результаты были представлены и докладывались па следующих конференциях. VII всесоюзная конференция 'Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике', Новосибирск. 1985: Всесоюзная конференция 'Актуальные проблемы вычислительной и прикладной,математики Новосибирск, 1987; Третья республиканская конференция 'Интегральные уравнения в прикладном моделировании, Одесса, 1989; Актуальные проблемы статистического моделирования и его прнложения, Ташкент. 1989; VIII всесоюзная конференция 'Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике', Новосибирск, 1991; Международная конференция ЛМСА-95, Новосибирск, 1995; Математические модели и численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1996; The 2nd St. Petersburg Workshop on simulation, St. Petersburg, 1996; GAMM Annual Meeting, Regens- burg Germany. 1997; The 3rd St. Petersburg Workshop on Simulation, St. Petersburg. 1998; SiblNPRIM- 2000, Новосибирск, '2000; Международная конференция rio вычислительной математике ICCM-2002, Новосибирск, 2002; The International Conference он Computational Science 1CCS-2003. St. Petersburg, Russia, 2003; Международная конференция по вычислительной математике ICCM-2004, Новосибирск, 2004; SIAM Conference on Computational Science and Engineering, Orlando. USA, 2005; Всероссийская конференция но вычислительной математике ICCM-2007. Новосибирск, 2007;

Результаты регулярно, начиная с 1984 года, докладывались и обсуждались па семинарах отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН. Выражаю благодарность и признательность основателю новосибирской школы методов Монте-Карло и многолетнему руководителю отдела СМФ члену-корреспонденту Российской Академии наук Г.А.Михайлову, д.ф.-м.н. профессору М.С. Иванову (ИТПМ СО РАН), а также всем сотрудникам отдела за поддержку и создании творческой атмосферы.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Рогазинский, Сергей Валентинович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Сформулируем основные результаты работы.

1. Теоретически обоснована схема Берда для случая пространственно однородной релаксации химически нейтрального газа, т.е. получено интегральное уравнение на плотность взаимодействий, которое описывает эволюцию ^-частичной модели газа. Доказано, что при определенных условиях и при N —> оо одночастичная плотность распределения удовлетворяет обобщенной задаче Коши для уравнения Больцмана.

2. Используя уравнения Колмогорова, построены весовые и ценностные алгоритмы моделирования для пространственно однородного случая нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Смолуховского. Разработанные весовые методы, в сочетании с методом коррелированной выборки, были применены для исследования важной параметрической зависимости приближенного решения уравнения Больцмана и Смолуховского от числа модельных частиц. Для модельных //-частичных кинетических уравнений с помощью высокоточных тестовых расчётов впервые получен порядок относительной погрешности 1/М.

3. Для пространственно неоднородного случая предложен новый алгоритм прямого моделирования, исследованы погрешности полученного алгоритма, получены оптимальные соотношения между параметрами алгоритма, влияющими на порядок погрешности. Построены экономичные алгоритмы, использующие дискретный шаг по времени. Получены асимптотические выражения для дисперсий основных гидродинамических характеристик газа. С использованием разработанных алгоритмов были решены тестовые задачи и задачи, имеющие важное практическое значение.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Рогазинский, Сергей Валентинович, 2010 год

1. Rarefied Gas Dynamics / Eel. by H. Oquchi. — University of Tokyo. Press, 1984: 640p. — (Proc. of the 14-th 1.ternational Symposium; vol. 1,2).

2. Rarefied Gas Dynamics / Ed. by C. Cercignani. — Studgard, 1986. — 780p. — (Proc. of the 15-th International Symposium; vol. 1, 2).3. 25-th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, St.-Petersburg, Russia, July, 2006

3. Иванов M.C., Черемнсип Ф.Г. Чнсленное моделирование течении разреженного газа // Механика неоднородных систем. — Новосибирск, 1985. — С. 281-306.

4. Иванов М.С., Черсмисин Ф.Г. Яницкий В.Е. Статистическое моделирование кинетических уравнений с физико-химическими процессами // Моделирование в механике. Вычислительные методы в механике. — Новосибирск, 1987,- Т. I, № 3. С. 62-83.

5. Iiaviland J. К., Lavin M.L. Application of the Monte-Carlo method heat transfer in a rarefied gas // Phys. Fluids. 1962. - vol. 5, № 11. - p. 1399 - 1405.

6. Bird G.A. Approach to translational equilibrium in a rigit sphere gas //Phys. Fluids. 1963. - vol. 6, № 10. - p. 1518 - 1519.

7. Ермаков C.M. , Михаилов Г.А. Статистическое моделирование. — M. : Паука, 1982.

8. Григорьев 10.Н., Иванов М.С., Харитонова Н.Н. К вопросу о решении нелинейных кинетических уравнении разреженных газов методом Моптс-Карло // Численные методы механики сложной среды. — Новосибирск, 1971. — Т. 2, № 4. С. 101-107.

9. Григорьев Ю.Н., Иванов М.С., Харитонова Н.Н. Решение задачи о течении Куэтта для кинетического уравнения БГК методом Монте-Карло // Вероятностные методы решения задач математической физики. — Новосибирск, 1971. С. 16-34.

10. Власов В. И. Улучшение метода статистических испытаний Монте-Карло для расчета течений разреженного газа // Докл. АН СССР, 1966. — Т. 167. № 5. С. 1016-1018.

11. Bird G.A. Direct simulation and the Boltzmann equation // Phys. Fluids. —1970. vol. 13, № 11. - p. 2677-2681.

12. Koura K., Konclo J. Solution of unsteady nonlinear molecular flow problems by the Monte-Carlo methods // Rarefied Gas Dynamics. — 1969. — vol. 1. — p.181-184.

13. Koura K. Transient Couette flow rarefied binary gas mixtures // Phys. Fluids. 1970. - vol. 13, № 6. - p, 1457-1466.

14. Решение задач физической п химической кинетики методом Монте-Карло ! С.А.Денисик, Ю.Г.Малама, С.Н.Лебедев, Д.С.Полак // Примеиеипе вычислительной математики в химической и физической кинетике. — М., 1969. — С. 179-231.

15. Применение метода Монте-Карло для решения задач кинетики газов / С.А.Денисик, С.Н.Лебедев, Ю.Г.Малама, А.И. Осипов // Физика горения и взрыва. 1972. - Т. 8, № 3. - С. 331-349.

16. Белоцерковский О.М. , Яницкий В.Е. Статистический метод частиц в ячецках для решения задач динамики разреженного газа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1975. - Т. 15, 16, № 5, 6. - С. 1195-1208; 15531567.

17. Белоцерковский О.М., Ерофеев А.И. , Яницкий В.Е. О нестационарном методе прямого статистического моделирования течений разреженного газа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1980. — Т. 20, № 5. — С. 1174-1204.

18. Яницкий В.Е. Теоретико-вероятностный анализ прямого статистического моделирования столкновительпых процессов в разреженном газе // Дополнение I: Берд Г. Молекулярная газовая динамика. — М., 1981. — С. 279-302.

19. Koura К. Null-collision technique in the direct simulation Monte-Carlo method // Phys. Fluids. 1986. - vol. 29, № 11. - p. 3509-3511.

20. Dcshpande S.M. An unbiased and consistent Monte-Carlo game simulating the Boltzmann equation. — Indian Inst. Science, 1978. — ( Report 78 FM4 ).

21. Nunbu K. Direct simulation scheme derived from the Boltzmann equation. Г. Monoeomponent gases //J. Phys. Soc. Japan. — 1980. — vol. 49, № 5. — p. 2042-2049.

22. Nunbu K. Direct simulation scheme derived from the Boltzmann equation. 11.

23. Multicomponent gas mixtures //J. Phys. Soc. Japan. — 1980. — vol. 49, № 5. — p. 2050-2054.

24. Babovsky H. On a simulation scheme for the Boltzmann equation // Math. Meth. in the Appl. Sei. 1986. - vol. 8. - p.223-233.

25. Кондюрин 10.H. Некоторые применения метода Мстрополиса // Точные и приближенные методы исследования задач механики сплошной среды. — Свердловск, 1983. С. 69-77.

26. Кондюрин Ю.Н. Об одном имитационном методе Монте-Карло решения уравнения Больцмана // Теория и приложения статистического моделирования. Новосибирск, 1985. - С. 126-136.

27. Кондюрин Ю.Н. Об одной процедуре Монте-Карло решения уравнения Больцмана, связанной с методом Мстрополиса // Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды. Свердловск, 1985. — С. 3245.

28. Кондюрин Ю.Н. Об одном статистическим подходе к решению уравнения Больцмана // Журн. вычисл. математики и матем. физики. — 1986. — Т. 26, № 10. С. 1527-1534.

29. Хисамутдинов А. И. Обоснование имитации и псимитационные методы статистического моделирования кинетики разреженных газов, — Новосибирск 1985. 18 с, - (Препринт/АН СССР, Сиб.отд-ние. ВЦ, 565).

30. Иванов М.С., Рогазинский C.B. Метод прямого статистического моделирование в динамике разреженного газа, — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1988, с. 117.

31. Nunbu К. Interrelations between various direct simulation method for solving the Boltzmann equation //J. Phys. Soc. Japan. — 1983. — vol. 52, № 10. p. 3382-3388.

32. Кац M. Вероятность и смежные вопросы в физике. — М. : Мир, 1965.

33. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. — М. : Мир, 1964.

34. Леонтович М.А. Основные уравнения кинетической теории газов с точки зрения теории случайных процессов// Журн.эксперим. и теорстич. физики, 1935. - Т. 5. - С. 211-231.

35. Домиловекий Е.Р. , Лушников A.A. , Пискунов В.II. Моделирование ripoцессов коагуляции методом Монте-Карло // Докл. АН СССР. — 1978. — Т. 240, № 1. С. 108-110.

36. Смолуховский М. Три доклада о диффузии, броуновском молекулярном движении и коагуляции коллоидных частиц // Броуновское движение. — М.: 1936. С. 332-415.

37. Marcus А.H. Stochastic coalescence // Technometrics. — 1968. — vol. 10, № 1. p. 133-143.

38. Gillespie D.T. The stochastic coalescence model for clond droplet growth // J. of the atmospheric sciences. 1972. - vol. 29, № 8. - p. 1496-1510.

39. Лушнпков А. А. Некоторые новые аспекты теории коагуляции// Изв. АН СССР, Сер. физика атмосферы и океана. 1978. - Т. 14, № 10. - С. 10481055.

40. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. — Л.Гидрометсоиздат, 1984.

41. Рогазинский С. В. Об одном подходе к решению однородного уравнения Больцмана. — Новосибирск, 1985. — 28 с. — (Препринт/АН СССР, Сиб.отд-пис:ВЦ, 617).

42. Рогазинский С. В. Об одном подходе к решению нелинейных кинетических уравнений типа Больцмана методом Монте-Карло// Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. — Новосибирск, 1985,- С. 376-379.

43. Пащенко С.Э., Рогазинский С. В., Сабельфельд К.К. , Карасев В. В. Статистическое моделирование процессов коагуляции высокодисперсных систем.- Новосибирск, 1985, 30с. - (Препринт/АН СССР, Сиб . отд-ние, ВЦ, 574 )•

44. Рогазинский С. В. Метод Монте-Карло для решения нелинейного уравнения коагуляции // Теория и приложение статистического моделирования. — Новосибирск, 1985. С. 137-147.

45. Pashenko S.E., Rogasinsky S.V., Sabelfeld K.K., Monte Carlo Simulation of Coagulation Processes / Ed. by С. Cercigriani. — Studgard, 1986. — p.55-57. — (Proc. of the 15-th International Symposium; vol. 1).

46. Рогазинский C.B. Построение метода Монте-Карло для решения нелинейпого уравнения коагуляции с источником // Численные методы статистического моделирования. — Новосибирск, 1987. — С. 148-159.

47. Михайлов Г.А. Метод моделирования длины свободного пробега частицы // Атомная энергия. 1970. - Т. 28, № 2. — С. 175.

48. Иванов М.С., Рогазпнский C.B. О связи метода прямого статистического моделирования с уравнением Больцмана// Статистическая механика. Численные методы в кинетической теории газов. — Новосибирск, 1986. — С. 1727.

49. Рогазпнский C.B. Теория метода прямого статистического моделирования для решения уравнения Больцмана (метод Берда). — Новосибирск, 1986. — 20 с. (Препринт/ АН СССР, Спб.отд-ние, ВЦ, 706).

50. Иванов М.С., Рогазпнский C.B. Сравнительный анализ эффективности численных схем метода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа. — Новосибирск, 1987. — 18 с. — (Препринт/АН СССР, Спб.отд-ние, ИТПМ, 19-87).

51. Иванов М.С., Рогазпнский C.B. Сравнительный анализ алгоритмов метода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1988. — Т. 28, № 7. — С. 1058-1070.

52. Ivanov M.S., Rogasinsky S.V. Analysis of numerical techniques of the direct simulation Monte Carlo method in the rarefied gas dynamics // Soviet journal of numerical analysis and mathematical modeling. — 1988. — vol. 3, № 6. — p. 453-465.

53. Рогазпнский С. В. Об одном подходе к решению однородного уравнения Больцмана // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1987. — Т.27,4. С. 564-574.

54. Рогазпнский С. В. Применение МДП метода к однородной релаксациисмеси химически нейтральных газов. — Новосибирск, 1986. — 20 с. — (Препринт/ АН СССР, Сиб.отд.-иис, ВЦ, 640).

55. Иванов М.С., Рогазиискпй С. В. Ср авнптельныи анализ численных схем метода прямого статистического моделирования течений разреженного газа // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. — Новосибирск, 1985. — С. 360-364.

56. Ivanov M.S., Rogasinsky S.V. Analysis of numerical schemes of direct statistical simulation methods of rarefied gas dynamics //16 International simposium of rarefied gas dynamics. Book of abstract,. — Pasadena, California, USA, 1988. — p. 14-16.

57. Коган M.H. Динамика разреженного газа. — M. : Наука, 1967.

58. Grunbaum F.A. Propagation of chaos for the Boltzmann equation // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1971. - vol. 42, № 5. - p. 323-344.

59. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. — М. : Мир, 1972.

60. Колмогоров А.Н. , Фомин С. -В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М. : Наука, 1968.

61. Coleman W.A. Mathematical verification of a certain Monte Carlo sampling technique and applications of the technique to radiation transport problem // Nucl. Sci. Engng. 1968. - vol. 32, № 1. - p. 76-81.

62. Селезнева E.C. Атмосферные аэрозоли. — Л.: Гидрометеоиздат, 1960.

63. Кондратьев К.К., Москаленко Н.И., Поздняков Д.В. Атмосферный аэрозоль. — Л.: Гидрометеоиздат, 1983.

64. Хршаи АД. Физика атмосферы. — Л.: Гидрометеоиздат, 1978, Т. 2.

65. Волощук В.М. , Седунов Ю.С. Процессы коагуляции в дисперсных системах. — Л.: Гидрометеоиздат, 1975.

66. Гусачеико Е.И. и др. Исследование конденсированных продуктов горения молниевых порошков // Физика горения и взрыва. — 1974. — № 4. — С. 458554.

67. Сутугин А.Г., Фукс Н.А. Образование конденсационных аэрозолей при быстроменяющихся внешних условиях // Коллоид, журн. — 1970. — № 2. — С. 255-260.

68. Трэд Г. Кинетическая теория газов // Термодинамика газов. — М.: 1970.- С. 5-109.

69. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М. : Наука, 1984.

70. Лифншц Е.М., Питаевскпй Л. П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979.

71. Яницкий В.Е. Теоретико-вероятпостпый анализ прямого статпстп- ческо-го моделирования столкновительных процессов в разреженном газе// Дополнение I: Берд Г. Молекулярная газовая динамика. — М., 1981. — С. 279-302.

72. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1981.

73. Рыков В.А. Релаксация газа, описываемого кинетическим уравнением Больцмана// Прикл. матем. и мехап. 1967. — Т. 31, Вып. 4. — С. 756-762.

74. Cercignani С. Theory and Application of the Boltzmann Equation. Scot. Acad. Press, Edinburgh, 1975.

75. Rudyak V. Ya. Physical aspects of the direct statistical simulation method. Preprint No. 1(3) The Academy of Design, Novosibirsk, 1994.

76. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. AT: Наука, 1973.

77. Люстерипк Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Физматгиз., 1951.

78. Рисс М., Секельфальвп-Падь Б. Функциональный анализ. М.: Ин. Лит., 1954.

79. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функциональный анализ. М.: Наука, 1972.

80. Термодинамика газов // под редакцией Зуева B.C. М.: Машиностроение, 1970.

81. Больцман Л. Лекции по теории газов. Гостехиздат, 1956.

82. Rarefied Gas Dynamics. Book of abstract// Pasadena. California. 1983.

83. Иванов M.C., Черемисин Ф.Р. Численное моделирование течении разреженного газа // Механика неоднородных сред. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1985. - С. 281 - 306.

84. Иванов М.С., Черемисин Ф.Г., Яницкий В.Е. Статистическое моделирование кинетических уравнений с физико-химическими процессами // Моделпрование в механике. Новосибирск, 1987. - Т.1,№ 3. - С. 62 - 83.

85. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981.

86. Koura К., Kondo J. Solutions of unsteady nonlinear molecular flow problems by the Monte Carlo method // Rarefied Gas Dynamics. 1969. - Vol. 1. - P. 181-184.

87. Koura K. Null-collision technique in the direct-simulation Monte Carlo method // Phys. Fluids. 1986. - Vol. 29. № 11. - P. 3509-3511.

88. Deshpande SM. An unbiased and consistent Monte Carlo game simulating the Boltzmann equaton. Indian Institute of Science, 1978. - (Report 78 FM4).

89. Nanbu K. Direct simulation scheme derived from the Boltzmann equation // J. Phys. Soc. Japan. Vol. 49. - 1980. - P. 2042-2049.

90. Babovsky II. On a simulation scheme for the Boltzmann equation // Math. Mech. in the Appl. Sci. 1986. - Vol. 8. - P. 223-233.

91. Лукшин А.В., Смирнов CH. Об одном эффективном стохастическом алгоритме решения уравнения Больцмапа // ЖВМ и МФ. 1989. - Т. 29. № 1. -С. 118-124.

92. Nanbu К. Computation of rarefied flows by stochastic method based он kinetic equation // Book of Abstracts, Soviet-Japan Symposium on Compul. Fluid Dynamics. USSR, Khabarovsk, 1988.-P. 163-165.

93. Ivanov M.S., Rudyak V.Ya. The direct statistical simulation method and the master kinetic equation // Book of Abstracts, Soviet-Japan Symp. on Compt. Fluid Dynamics. USSR, Khabarovsk, 1988. - P . 68. - 6 0 .

94. Bird G. The perception of numerical methods in rarefied gas dynamics // Book of Abstracts, 16th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. -1988. P. 194-196.

95. Кондюрин Ю.Н. Об одной процедуре Монте-Карло решения уравнения Вольцмана, связанной с методом А4етрополиса // Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды. Свердловск, 1985. - С. 32-45.

96. Кондюрин Ю.Н. Об одном имитационном методе Монте-Карло решения уравнения Больцмана // Теория и приложения статистического моделирования. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985.-С. 126-136.

97. Климонтович Ю.Л. Диссипатпвные уравнения для многочастпчных функций распределения // УФЫ. 1983. - Т. 139, вып. 4. - С. 689-700.

98. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967.

99. Ермаков СМ., Некруткин В.В., Сипин А.С Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. — М.: Наука, 1984.

100. Франк-Каменецкий А.Д. Моделирование траекторий нейтронов при расчете реакторов методом Монте-Карло. М.: Атомиздат, 1978.

101. Иванов М.С., Рогазинский СВ. Экономичные схемы статистического моделирования пространственно — неоднородных течений разреженного газа: Препринт № 29—88. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1988.

102. Nanbu К., Watanabe Y. Analysis of the internal structure of shock waves by means of the direct simulation method // Rep. Inst. High Speed Mecli. Tolioku Univ. 1984. - Vol. 48.

103. Jen S.M. Temperature overshoot in shock waves // Phys. Fluids. 1966. -Vol. 9. - P. 1417-1418.

104. Крюкова С.Г. Некоторые особенности обтекания затупленного полу конуса и полуконуса с крыльями в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Тр. ЦАРИ. М., 1981, №2111.- С. 176-184.

105. Иванов М.С, Басс В.П., Шелконогов АЛ. и др. Пакет прикладных программ "Высота". 1350 СИВ 21. Москва: ГОНТИ 1, 1983.

106. Nanbu К., Igarash S., Watanabe Y. False collisions in the direct simulation Monte-Carlo method // Phys. Fluids. 1988. - Vol. 31. - P. 2047-2048.

107. Rarefied Gas Dynamics/ Ed. by Oquchi. — University of Tokyo. Press, 1984: 640 p. — (Proc. of the 14-th International Symposium; Vol. 1,2).

108. Rarefied Gas Dynamics/Ed. by C. Ccrcignani. — Studgard, 1986. — 780 p. — (Proc. of the 15-th International Symposium; Vol. 1,2).

109. Иванов M.C., Черемисип Ф.Г. Численное моделирование течений разреженного газа // Механика неоднородных систем. — Новосибирск, 1985. — С.281.30G.

110. Иванов M.С., Черсмиснп Ф.Г., Яннцкнй В.Е. Статистическое моделирование кинетических уравнений с физико-химическими процессами Д Моделирование в механике. Вычислительные методы в механике. — Новосибирск, 1987. Т. 1, № 3. - С.62-83. 93

111. Haviland J.K., Lavin M.L. Application of the Monte-Carlo method to heat transfer in a rarefied gas//Phys. Fluids. 1962. - Vol. 5, N 11. - P. 1599-1405.

112. Bird G.A. Approach to translational equilibrium in a rigit sphere gas//Phys. Fluids. 1963. - Vol. 6, N 10,- P. 1518-1519.

113. Григорьев 10.H., Иванов M.С., Харитонова II.И. К вопросу о решении нелинейных кинетических уравнений разреженных газов методом Мопте-Карло // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1971. - Т.2, № 4. - С. 101-107.

114. Григорьев Ю.Н., Иванов М.С., Харитонова II.И. Решение задачи о течении Куэтта для кинетического уравнения БГК методом Монте-Карло // Вероятностные методы решения за дач математической физики. Новосибирск, 1971. - С. 16-34.

115. Власов В.И. Улучшение метода статистических испытаний Монте-Карло для расчета течений разреженного газа // Докл. АН СССР, 1966. Т. 167, № 5. - С. 1016-1018.

116. Решение задач физической и химической кинетики методом Монте-Карло / С.А.Денисик, Ю.Г.Малама, С.Н.Лебедев, Д.С.Полак // Применение вычислительной математики в химической и физической кинетике. М., 1969. -С. 179-231.

117. Применение метода Монте-Карло для решения задач кинетики газов / С.А.Денисик, С.Н.Лебедев, Ю.Г.Малама, А.И.Осипов // Физика горения и взрыва. 1972. - Т. 8, № 3. - С. 331-349.

118. Белоцерковский О.М., Ерофеев Л.И., Яницкий В.Е. О нестационарном методе прямого статистического моделирования течений разреженного газа // Журн. вычисл. математики и матсм. физики. 1980. - Т.20, № 5. - С.1174-1204.

119. Яницкий В.Е. Теоретико-вероятностный анализ прямого статистическогомоделирования столкновительных процессов в разреженном газе // Дополнение I: Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М., 1985. - С. 279-302.

120. Nanbu К. Interrelations between various direct simulation methods for solving the Boltzmann equation//! Pliys. Soc. Japan. 1983. - Vol. 52, N 10. - P. 33823388.

121. Коган M.H. Динамика разреженного газа. M.: Наука, 1967.

122. Гиршфельдер Дж., Кертпсс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: Иностр. лит., 1961.

123. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. -М.: Иностр. лит., 1960.

124. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982.

125. Гудман Ф., Вахман Г. Динамика рассеяния газа поверхностью. М.: Мир, 1980.

126. Баренцев Р.Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М.: Наука, 1975.

127. Маслова Н.Б. Теоремы о разрешимости нелинейного уравнения Больц-мана // Дополнение: Чсрчпньяни К. Теория и приложения уравнения Больц-мана. М., 1978. - С. 451-480.

128. Маслова Н.Б. Стационарные задачи для уравнения Больцмана при больших числах Кнудсеиа // Докл. АН СССР. 1976,- Т. 229, № 3. - С. 593-596.

129. Bird G.A. Direct simulation and the Boltzmann equation// Phys. Fluids. -1970. Vol. 13, N 11. - P. 2677-2681.

130. Koura K., Kondo Л. Solutions of unsteady nonlinear molecular How problems by the Monte Carlo met,hod//Rarcfied Gas Dynamics. 1969. - Vol. 1. - P, .181184.

131. Koura K. Transient Coueite flow rarefied binary gas mixtures// Phys.Fluids.-1970,- Vol.t3,N 6,- P. 1457-1466.

132. Перепухов В.А. Решение методом Монте-Карло модельного кинетического уравнения // Уч. зап. ЦАГИ / Центр, аэрогидродинам: ин-т. 1973; -Т. 4, № 4. - С. 12-18.

133. Ерофеев А.И., Перепухов В.А. Расчет обтекания пластины, расположенной вдоль потока разреженного газа // Уч. зап. ЦАРИ / Центр, аэрогидродинам, ин-т. 1975. - Т. 6, № 3. - С. 51-57.

134. Deshpande S.M. An unbiased and consistent Monte Carlo game simulating the Boltzmann equation.- Indian Inst. Science, 1978. (Report 78 FM4).

135. Иванов М.С., Рогазинский С.В. Сравнительный анализ эффективности численных схем метода прямого статистичсского моделирования в динамике разреженного газа. Новосибирск, 1987. - 18 с. - (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. ИТПМ; 19-87).

136. Nanbu К. Direct simulation scheme derived from the nmnn equation. I. Monoeomponent gases//J. Phys. Soc. Japan. 1980. - Vol. 49, N 5- -P. 20422049.

137. Nanbu K. Direct simulation scheme derived from the Boltzniaim. equation.1.. Mnlticomponent gas mixtures//J. Phys. Soc. Japan. 1980. - Vol. 49, N 5. -P. 2050-2054,

138. Nanbu K. Direct simulation scheme derived from the Boltzmann equation.

139. I. Rough Sphere Gas//J. Phys. Soc. Japan'. 1980. Vol. 49, N 6. - P. 2055-2058.

140. Nanbu K. Direct simulation scheme derived from the Boltzmann. equation. IV4 Correlation of velocity//J. Phys. Soc. Japan. 1981. - Vol. 50, N 9. - P. 2829 -2836.

141. Nanbu K. Theoretical basis of the direct simulation Monte Carlo methods // Rarefied Gas Dynamics. 1986. - P. 563-382.

142. Иванов M.C., Рогазинский С.В. О связи метода прямого статистического моделирования с уравнением Больцмана // Статистическая механика. Численные методы в кинетической теории газов. Новосибирск, 1986. - С. 17-27.

143. Nanbu К. Analysis of the CoueUe flow by means of the new direct simulation method//J. Phyjs. Soc. Japan. -1983. Vol. 52, N 8. - P. 1602-1608.

144. Nanbu K. Analysis of the internal structure of shock waves "by means of the exact direct simulation method. Tohuku Univ, 1984. - P. 20. - (Rep. Inst. High Speed Mech. ; 4-8).

145. Babovsky H. On a simulation scheme for the Boltzmann equation//Math. Meth. in the Appl. Sei. 1986. - Vol. 8. - P. 223-233.

146. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных за дач математической физики. Новосибирск : Наука, 1966.

147. Марчук Г.И., Яненко H.H. Решение многомерного кинетического уравнения методом расцепления // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 157, Л 6. - С. 1291-1292.

148. Грэд Г. Кинетическая теория газов // Термодинамика га зов. М., 1970.- С. 5-109.

149. Богомолов C.B. О сходимости метода суммарной аппроксимации для уравнения Больцмана. М., 1979. - 25 с. - (Препринт / АН СССР. ИПМ; 184).

150. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативный метод расщепления для решения уравнения Больцмана // Журн. вычисл, математики и мат. физики.- 1980. Т. 20, Л I. - С.191- 207.

151. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Структура ударной волны в одноатомном газе при степенных потенциалах взаимодействия // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1982,- № 6. - С. 179-183.

152. Чзремисин Ф.Г. Численные методы прямого решения кинетического уравнения Больцмана // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1985. - Т. 25, m 12. - С. 1840-1855.

153. Yanenko N.N. et al. Methods of statistical modelling and direct numerical integration of kinetic equations of gas theory: development and application to problems of rarefied gas dynamics // Rarefied Gas Dynamics. — 1985. — vol. 1.- P. 371-384.

154. Боровков A.A. Теория вероятностей. M.: Наука, 1976.

155. Михайлов, Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1987.

156. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

157. Спапье Дк., Гелбард Б. Метод Монте-Карло и задачи переноса нейтронов. М.: Атомизда,т, 1972.

158. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

159. Пригожий И. Неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1964.

160. Grunbaum P.A. Propagation of chaos for the Boltzmaim equation.//Arch. Rat. Mech. and Anal. 1971. - Vol. 42, N 5. - P. 323-344.

161. Климонтович 10.JI. Диссипативные уравнения для многочастич ных функций распределения // Успехи физ. наук. 1983. - Т. 139, вып. 4. - С. 689-700.

162. Кондюрин Ю.Н. Об одном статистическом подходе к решению уравнения Больцмана // Журн. вычпсл. математики и мат. физики. 1986. - Т. 26, № 10. - С. 1527-1534.

163. Koura К. Null-collision technique in the direct simulation Monte Carlo method// Fluids. 1986. - Vol. 29, N 11. - P. 3509-3511.

164. Белоцерковский О.M. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984.

165. Иванов Ad.С., Рогазинский C.B. Экономичные схемы прямого статистического моделирования течений разреженного газа // Математическое моделирование. 1989. - Т.1, № 7. - С. 130-145.

166. Иванов М.С., Рогазинский C.B. Статистическое моделирование течений разреженного газа на основе принципа мажорантной частоты. Докл.АН СССР, 1990, Т.312, N 2, стр. 315-320

167. Михайлов Г.А., Рогазинский C.B. Весовые методы Монте-Карло для решения многочастичных задач, связанных с уравнением Больцмана. Докл.РАН, 2002,т.383, по. 3,с. 731-734

168. Михайлов Г.А., Рогазинский C.B. Весовые методы Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения Больцмана. Сиб. мат. журнал, 2002, т. 43,110.3, с. 620-628.

169. Коротченко М.А., Михайлов P.A., Рогазинский C.B., Иванов М.С. Глобальнс весовой метод Монте-Карло для нелинейного уравнения Больцмана// Журнал Выч. мат. и матем. физики, 2005, Т. 45, № 10, С. 1860-1870.

170. P.A. Михайлов, C.B. Рогазинский, Н.М. Урева. Весовой метод Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения коагуляции// Журнал Выч. мат. и матем. физики, 2006, Т. 46, № 4, С. 714-725.

171. G.A. Mikhailov, S.V. Rogasinsky, N.M. Ureva. Global weight Monte Carlomethod for nonlinear coagulation equation // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 200G. - Vol. 21, No. 1. - P. 53-66

172. M.A. Korotchenko, G.A. Mikhailov, S.V. Rogazinskii. Value modifications of weighted statistical modeling for solving nonlinear kinetic equations// Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2007. - Vol. 22, No. 5. - P. 471-486

173. M.A. Коротченко, Г.А. Михайлов, С.В. Рогазииский. Модификации весовых алгоритмов метода Монте-Карло для решения нелинейных кинетических уравнении. // Журнал Выч. мат. и матсм. физики. 2007. - Т. 47, №12 - С. 2116-2127.

174. Г.Л. Михайлов, С.В. Рогазинскпй, М.А. Коротченко. Ценностные алгоритмы статистического моделирования для решения нелинейных кппетпче-скнх уравнении.// Доклады Академии Наук. 2007, - Т. 415, № 1, - С. 26-30.

175. Ivanov M.S., Korotchenko М.А., Mikhailov G.A., Rogasinsky S.V. New iVlonte Carlo global weight method for 1 he approximate solution of the nonlinear Bollzmann equation // Rus. J. Numer. Anal, and Math. Modell.-2004.-Vol. 19, №3 -P.223-238.

176. Королев A. E., Яницкий В. E. Прямое статистическое моделирование столкновительной релаксации в смесях газов с большим различием в концентрациях // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1983. — Т. 23, № 3. С. 674-680.

177. Mikhailov G. A. Parametric estimates by the Monte Carlo method. Utrecht: VSP, 1999.

178. Михайлов Г. А. Весовые методы А4онте-Карло. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

179. Повзнер А. Я. Об уравнении Больцмана кинетической теории газов // Мат. сб. 1962. Т. 58. С. 65-86.

180. Королев А.Е., Яницкий В.Е. Прямое статистическое моделирование столкновительной релаксации в смесях газов с большим различием в концентрациях // Ж. вычисл. матсм. и матем.физ. — 1983. — т.23, N 3. — С. 674-680.

181. Mikhailov G.A. Parametric estimates by the Monte Carlo method. Utrecht: VSP,1999.

182. Михайлов Г.А. Весовые методы Монте-Карло. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

183. Бёрд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981.18G. Бобылев A.B. О точных решениях уравнения Больцмана // Доклады Академии наук СССР. 3975. Т. 225, № 6. С. 1296-1299.

184. Бобылев A.B. Точные решения нелинейного зфавнения Больцмана и теория релаксации максвелловского газа // Теоретическая и математическая физика. Том 60, № 2 август, 1984. С. 280-310.

185. Королев А.Е., Яницкин В.Е. Прямое статистическое моделирование етолк-иовительной релаксации d смесях газов с большим различием в концентрациях // Журнал вычислительной математики и математической физики. 3383. Т23, № 3. С. 674-680.

186. Mikhailov G.A. Parametric estimates by the Monte Carlo method. Utrecht,: VSP, 1699.

187. Михайлов Г.А. Весовые методы Монте-Карло. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

188. Рогазинский C.B. Алгоритмы статистического моделирования для решения некоторых кинетических уравнений: Дис. на соискание учён. степ. канд. физ.-мат. наук,- Новосибирск: ИВМ и МГ СО РАН, 19891.

189. Деписик С.А., Малама 10.Г., Лебедев С.Ii., Полак Л.С. Решение задач физической и химической кинетики методом Монте-Карло. // Применение вычисл. матем. в хим. и фпз. кинетике. М., Наука, 1969, С. 179-231.

190. Деписик С.А., Лебедев С.Н., Малама Ю.Г. Об одной проверке нелинейной схемы метода Монте-Карло. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1921. Т. 11, № 3. С. 783-785.

191. Бобылев A.B. Точные решения нелинейного уравнения Больцмана и теория релаксации максвелловского газа // Теоретическая и математическая физика. 1984. - Т. 60, № 2. - С. 280-310.

192. Вологцук В.М. Кинетическая теория коагуляции. Ленинград: Гидроме-теоиздат, 1984.

193. Домиловский K.P., Лушпиков А.А, Пискунов В.Н. Моделирование процессов коагуляции методом Монте-Карло // Докл. АН CCCP.-1978.-t.240,.N"°41.с.108-110.

194. Gillespie D.T. The stochastic coalescence model for cloud droplet growth // J. of the atmospheric science.-1972.-v.29,№8.-p. 1496-1510.

195. Лушников А.А. Некоторые новые аспекты теории коагуляции // Изв. АН СССР, Сер. физика атмосферы и океана.-1978.-т.14,№10.-с.1048-1055.

196. Marcus ATI. Stochastic coalescence // Technometrics.-1968.-v.l0,№l.-p.l33-143.

197. Михайлов P.А. Весовые алгоритмы статистического моделирования.- Новосибирск: Изд. ИВМиМГ Со РАН, 2003.

198. Михайлов Р.А. Весовые методы .Монте-Карло. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ Со РАН, 2000.

199. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. Ленинград: Гидроме-теоиздат, 1984.

200. К. Кейз, П. Цвайфель. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972.

201. Ю.Н. Кондюрин, Об одной процедуре Монте-Карло решения уравнения Больцмана, связанной с методом Метрополией // Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды. Свердловск, 1985. - С. 32-45.

202. А/1ихайлов Г.А. Весовые методы Монте-Карло. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 248с.

203. S.V. Rogasinsky, M.S. Ivanov, D.A. Levin. Analysis of statistical errors of DSMC results for rarefied gas flows. 25-th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, St.-Petersburg, Russia, July, 2006

204. C.B. Рогазинский, Метод Монте-Карло для нелинейного уравнения Больцмана в пространственно неоднородном случае // Методы статистического моделирования. Новосибирск, 1986. - С. 91-96.

205. С.В. Рогазинский, Построение метода Монте-Карло для решения нелинейного уравнения коагуляции с источником // Численные методы статистического моделирования. Новосибирск, 1987. - С. 148-159.

206. С.В. Рогазинский, Об одном подходе к решению нелинейных кинетических уравнений типа Больцмана методом Монте-Карло // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. Новосибирск, 1985. С. 376-379.

207. G. A. Bird, Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows. Clarendon Press, Oxford 1994, pp. 458.

208. M.S. Ivanov, G.N. Markelov, and S. F. Gimelshein, "Statistical simulation of reactive rarefied flows: numerical approach and applications", AIAA Paper 982669, June 1998.

209. D. A. Levin, S. F. Gimelshein, N. E. Gimelshein, "Examination of Wafer Dissociation Models in Shock Heated Air", J. Thermophys. and Heat Trans., Vol. 16, No. 2, April-June 2002, pp. 251-260.

210. M. Kac, "Probability and Related Topics in Physical Sciences", Interscience Publishers, London-New York 1959, pp. 266.

211. Gang Che and I. D. Boyd "Statistical error analysis for the direct simulation Monte Carlo technique."Jornal of Computational Physics 126(1996) 434-448.

212. N. G. Nadjiconstantinou, A.L. Garcia, M.Z. Bazant, Gang Che "Statistical error in particle simulations of hydroclynamic phenomena. Jornal of Computational Physics 187(2003) 274-297.

213. L. Landau, E. Lifshitz, Statistical physics, Part 1, Butterworth-Heinemami, Oxford, 1980.

214. M. N. Kogan, "Rarefied gas dynamics", Plenum press, New York 1969, pp. 515.

215. E. Parzen, "Modern Probability Theory and Its Applications", John Wiley & Sons, Inc., New York-London 1960, pp. 414-423.

216. S. M. Ermakov, G. A. Michailov, "Course of statistical modeling", Naulm. Moscow 1984, pp. 307

217. Yu. A. Shreider. "Method of statistical testing (Monte Carlo method)", Elsevier publishing company, Amsterdam London - New York 1964, pp. 303.

218. Хисамутдинов А.И. Об имитационном методе статистического моделирования разреженных газов // Докл. АН CCCP.-1986.-t.291, № 6.-е. 1300-1304.

219. Хисамутдинов А.И. Имитациоиное статистическое моделирование кинетического уравнения разреженных газов // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 302, № 1 - С. 75-79.

220. Хисамутдинов А.И. Алгоритмы с "разновременными координатами"методо!

221. Монте-Карло для нелинейного "сглаженного"уравнения Вольцмапа // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 316, № 4 - С. 829-833.

222. Хисамутдинов А.И., Кобелева Н.Ф. "Несимметричные "взаимодействия в методах Монте-Карло с непрерывным временем и аппроксимация уравнения Больцмана // Математическое моделирование. — 1992. — Т.4, К2 2. — С. 110-119.

223. Хисамутдинов А.И. Алгоритмы с фиктивными соударениями методов Монте-Карло с непрерывным временем для уравнения Больцмана // Докл. АН СССР. 1993. - Т. 328, № 6 - С. 662-665.

224. Хисамутдинов А.И., Сидоренко Л.Л. Алгоритмы метода Монте-Карло с непрерывным временем для кинетического уравнения разреженных газов // Математическое моделирование. — 1994. — Т.2, № 2. — С. 47-60.

225. Khisamutdinov A. I. On some properties of Markov processes and Monte Carlo methods for inhomogeneous Boltzmaim equation // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2005. — Vol. 20, No. 2. P. 131-160

226. А4ихайлов P.А., Войтишек А.В. Численное статистическое моделирование (Метод Монте-Карло). М., Издательский центр "Академия 2006

227. Titov Е., Levin D., Rogazinsky S. V. Analyses of Numerical Errors in the Kinetic Modeling of Microthruster Devices// JOURNAL OF THERMOPH YSICS AND HEAT TRANSFER. 2007. Vol. 21. No. 3. P. 616-627.

228. Rogasinsky S.V. Statistical modelling of the solution of the nonlinear Boltzmarm equation in the spatially inhomogeneous case // Russ. J. Numer. Analys. Math. Modelling. 2009. Vol.24. No. 5. P. 495-513.

229. Reed В., De Groot W. and Dang L., "Experimental Evaluation of Cold Flow Micronozzles," AIAA Paper 2001-3521 , July 2001.

230. Alexeenko A., Collins R., Gimelshein S., Levin D. and Reed В., "Numerical Modeling of Axisym- metric and Three-Dimensional Flows in MEMS Nozzles"

231. AIAA Journal , Vol. 40, No. 5, 2002, pp. 897-904.

232. Alexeenko A., Levin D., Fedosov D., Gimelshein S. and Collins R., "Coupled Thermal-Fluid Modeling of Micronozzles for Performance Analysis in MEMS-based Thruster" AIAA Paper 2003-4717 .

233. Bayl R. and Breuer K., "Viscous Effects in supersonic MEMS-fabricatcd micronozzles," Proceedings of the 3rd Microfluids Symposium, Ahaheim, CA, November 1998.

234. Chen K. Winter M. and Huang R., "Supersonic flow in miniature nozzles of the planar configuration," Journal of Micromechanics and Microengineering, Vol. 15, March 2005, pp. 1736-1744.

235. Bird G., Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows, Clarendon Press, Oxford, 1994.

236. Ivanov M. and Gimelshein S., "Current Status and Prospects of the DSMC Modeling of Near-Continuum Flows of Non-reacting and Reacting Gases" Proceeding! of the Rarefied Gas Dynamics 23rd Int. Syrnp., AIP Conference, Vol. 663, 2003, pp. 339-348.

237. Ivanov M. and Rogasinsky S., "Analysis of numerical techniques of the Direct Simulation Monte Carlo method in the rarefied gas dynamics," Sov. J. Num. Anal. Math. Modelling, Vol. 3, No. 6, 1988, pp. 453-456.

238. Васс В. П. Расчет обтекания тел потоком сильно разреженного газа с учетом взаимодействия с поверхностью // Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1978, № 5,

239. Нусинзон J4. М., Породнов П. Г., Суэтин П. Е. Решение задачи о течении газа в цилиндрическом капилляре в промежуточном режиме методом Монте-Карло // Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1968, № 6.

240. Власов В. И. Улучшения метода статистических испытаний (Монте

241. Карло) для расчета течении разреженного газа. ДАН СССР, 1966, т. 1G7, № 5.

242. Власов В. И. Расчет методом Монте-Карло обтекания пластины под углом атаки потоком разреженного газа// Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газодинамике, 1977, Изд-во ЦАГИ.

243. Власов В. И., Хлопков 10. И. Вариант метода Монте-Карло для решения линейных задач динамики разреженного газа// Ж. вычислит, матем. и матем физики, 1973, № 3.

244. Власов В. 14., Горелов С. Л., Коган М. Ii. Математический эксперимент, для вычисления коэффициентов переноса // ДАН СССР, 1968, т. 176. АГо 6.

245. Горелов.С. Л., Коган М. Н. Течения разреженного газа между двумя параллельными пластинками // Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 6.

246. Горелов С. Л. Течения разреженного газа в трубе // Изв. АН СССР, Мсхан. жидкости и газа, 1974, № 1.

247. Коган М. Ii. Динамика разреженного газа. М., Наука, 1967.

248. Горелов С. Л., Коган М. Н. Решение линейных задач динамики разреженного газа методом Монте-Карло// Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1968, № 6.

249. Горелов С. Л., Коган М. Н. Решение задачи о скачке температуры // Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1968, № 4.

250. Горелов С. Л. Термофорез и фотофорез в разреженном газе // Изв. АН СССР, Мехап. жидкости и газа, 1976, № 5.

251. Rogasinsky S.V. On the pair correlations of particle evolution in the direct statistical simulation// Monte Carlo methods and applications,vol.2, No.l, 1996, pp. 25-40

252. Колмогоров A.II. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М. : Наука, 1968.

253. Васильева A.B., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2002

254. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1979

255. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.:ФИЗМАТЛИТ, 1959

256. Гохберг И. Ц., Крени М.Г. Теория Вольтерровых операторов в Гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1967

257. Ильин В. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. — М.: Наука, 1991

258. Иоспда К. Функциональный анализ. — М.: МИР. 1967

259. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972

260. Крамер Г. Математические методы статистики. — М.: Мир, 1975

261. Лоэв М. Теория вероятностей. — М.: Иностранная литература, 1962