Аналитически-численный метод исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Шумаков, Александр Александрович

• Шумаков, Александр Александрович
• кандидат технических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шумаков, Александр Александрович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Математические модели динамических систем с распределёнными параметрами. Обзор существующих методов исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами и анализ их недостатков

1.2. Формулировка требований к разрабатываемому методу исследования математических моделей динамических систем с распределёнными

параметрами

ГЛАВА II АНАЛИТИЧЕСКАЯ И ЧИСЛЕННАЯ ЧАСТИ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

2.1. Аналитическая часть метода. Поиск решения уравнения динамики математической модели динамической системы с распределёнными параметрами в замкнутой форме

2.2. Исследование области, характеризуемой большими значениями одной из координат, решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами

2.3. Численная часть метода. Поиск, с заданным уровнем локальной точности, приближённых значений решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными

параметрами

ГЛАВА III АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ, ЕДИНСТВЕННОСТИ И ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

3.1. Алгоритм исследования существования и единственности решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами

3.2. Алгоритм исследования гладкости решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными

параметрами

ГЛАВА IV РАСШИРЕНИЕ ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА

4.1. Исследование математических моделей динамических систем с неравномерно распределёнными нестационарными параметрами, уравнения динамики которых содержат функциональные нелинейности

4.2. Исследование математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, уравнения динамики которых содержат смешанные производные

4.3. Построение, с помощью разработанного метода, сетки для решения уравнения динамики математической модели динамической системы с

распределёнными параметрами

ГЛАВА V ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ № 1

ПРИЛОЖЕНИЕ № 2

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитически-численный метод исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность

К системам, используемым в производстве, медицине, обороне и других областях предъявляются всё более жёсткие требования: низкое энергопотребление, надёжность, минимально возможный размер, безопасность, возможность модификации. Такие требования обуславливают необходимость всё более полного понимания и точного описания физических процессов, лежащих в основе работы той или иной технической системы. Это, в свою очередь, приводит к необходимости постоянного совершенствования математических моделей физических процессов и методов их исследования.

Для описания протекающих в пространственных областях, в реальном масштабе времени физических процессов, широко применяют модели с распределёнными параметрами, математические описания которых представляют собой уравнения в частных производных [10,12,41]. Поиск решений таких уравнений представляет сложную математическую задачу, что обуславливает существование большого числа как аналитических, так и численных методов их решения.

Существующие аналитические методы характеризуются следующими недостатками. Во-первых, применение аналитических методов сопряжено с выполнением сложных математических преобразований, что требует большого количества времени и вычислительных ресурсов для поиска решения и на практике может оказаться неприемлемо. Во-вторых, аналитические методы подходят для решения узкого класса задач или позволяют искать решение в некоторой наперёд заданной форме, что значительно ограничивает область их применения. Применение

существующих численных методов позволяет преодолеть недостатки аналитических методов при поиске решений уравнений в частных производных, но при этом приводит к ряду новых. Во-первых, исследуемые характеристики физических процессов, а вследствие этого и решения уравнений динамики математических моделей с распределёнными параметрами, часто измеряются малыми величинами. Вследствие этого численный метод должен предоставлять способ искать решение с некоторой наперёд заданной локальной точностью (соответствующей величине решений). В существующих численных методах либо не контролируется локальная точность, либо её увеличение с целью получения более точного решения сопровождается уменьшением шага расчёта, что в свою очередь ведёт к увеличению объёма вычислений и на практике может оказаться неприемлемо. Во-вторых, при изучении физических процессов часто требуется исследование области больших значений одной из координат -например пространственной. Вследствие этого, численный метод должен предоставлять способ эффективного исследования области характеризуемой сколь угодно большими значениями хотя бы одной из координат. Решение такой задачи при помощи существующих численных методов сопровождается выполнением большого числа шагов расчёта и характеризуется высоким уровнем накопленной погрешности, в результате практическая ценность полученных результатов равна нулю. В-третьих, приступая к поиску решений уравнений динамики систем с распределёнными параметрами, необходимо ответить на вопрос о существовании искомого решения. В случае использования аналитических методов ответ на подобный вопрос следует из самой возможности получения аналитического описания решения, например в замкнутой форме. В случае использования численных методов вопрос о существовании решения остаётся открытым. На практике это означает, что существующие численные методы находят некоторое

значение решения даже в тех точках, в которых оно не существует, или ищут решение в том классе функций, в котором оно не существует.

Перечисленные недостатки существующих методов указывают на то, что актуальной является разработка нового метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами. Новый метод востребован при исследовании различных математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, например: модели описывающей распространение электромагнитного излучения в оптическом волокне [13], модели описывающей распространение сигналов в нейронах [30], модели описывающей распределение токов и напряжений в длинной линии [42] и других.

Предметом исследования данной работы являются математические модели динамических систем с распределёнными параметрами.

Методы исследования: математическое моделирование, аналитические и численные методы исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами с применением ЭВМ, вычислительный эксперимент.

Источник исследования: работы исследователей в области математического моделирования и методов исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами.

Цель работы

Целью данной работы является разработка метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, обладающего рядом преимуществ по сравнению с существующими методами.

Задачи исследования

1. Обзор существующих методов исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, анализ их недостатков, формулирование на основе анализа недостатков существующих методов требований к разрабатываемому методу.

2. Разработка аналитически-численного метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, соответствующего поставленным требованиям.

3. Разработка программного комплекса автоматизирующего применение разработанного метода.

Научная новизна содержится в следующих результатах диссертационной работы. Предложен метод, основанный на следующих алгоритмах:

- эффективного, как в плане объёма вычислений, так и накапливаемой погрешности, исследования решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в областях сколь угодно больших значений одной из координат;

- поиска приближенных значений решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами с заданным уровнем локальной точности, увелечение которой не сопровождается значительным ростом объёма вычислений;

- исследования существования, единственности и гладкости решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами;

- поиска точных решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в классе обобщённых функций с регулярной составляющей в виде полинома относительно одной из координат.

Достоверность результатов исследования подтверждается вычислительными и натурными экспериментами, осуществлявшимися для различных математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами.

Практическая значимость работы заключается в реализации разработанного метода в виде программного комплекса. Разработанный метод был использован при проектировании подводных волоконно-оптических линий связей в рамках СЧ ОКР «Грация» и «Гранат КП 1Р», а также при расчётах линий связи подводных гидроакустических антенн в рамках СЧ ОКР «Кудесник» на заводе «Псковгеокабель». В целом результаты работы способствуют более полному пониманию физических процессов, происходящих в различных системах.

Положения, выносимые на защиту: аналитически-численный метод исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами и реализующий его комплекс программ, основанные на следующих алгоритмах:

- эффективного, как в плане объёма вычислений, так и накапливаемой погрешности, исследования решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в областях сколь угодно больших значений одной из координат;

- исследования существования, единственности и гладкости решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами;

- поиска, с заданным уровнем локальной точности, приближённых значений решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами;

- поиска точных решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в наперёд заданном виде.

Апробация работы

По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, среди которых 5 публикаций в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК. Доклады доложены на 2 международных научно-практических конференциях. Получно 1 свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.

Структура диссертации: диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шумаков, Александр Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью диссертационной работы являлась разработка аналитически-численного метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, обладающего рядом преимуществ по сравнению с существующими аналитическими и численными методами. В итоге проведённого исследования были получены следующие основные результаты.

1. Разработан аналитически-численный метод исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами. Метод основан на следующих алгоритмах.

1.1 Исследования существования, единственности и гладкости решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами. Выполнение этого алгоритма позволяет не только подтвердить существование решения, но и исследовать область, сколь угодно близкую к границе области в которой решение не существует.

1.2 Эффективного исследования области сколь угодно больших значений одной из координат. Этот алгоритм основан на выполнении аналитических операций, не связанных с выполнением шагов расчёта и накоплением погрешности.

1.3 Вычисления с заданным уровнем локальной точности в виде абсолютной локальной погрешности расчёта приближённых значений решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами. Повышение локальной точности находимого приближённого значения решения не требует уменьшения величины шага расчёта и не ведёт к значительному росту объёма вычислений.

1.4 Поиска точных решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в классе обобщённых функций с регулярной составляющей в виде полинома относительно одной из координат, .

2. Реализован программный комплекс, автоматизирующий применение разработанного метода. Программный комплекс допускает как самостоятельное использование, так и использование в рамках других программных комплексов для исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами.

3. Разработанный метод и комплекс программ были применены для исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, описывающих распространение электромагнитного излучения в оптическом волокне и распределения токов и напряжений в длинной линии.

В целом результаты работы способствуют более полному пониманию и более точному описанию физических процессов, происходящих в различных системах, в том числе в оптическом волокне, длинной линии и в нейронах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шумаков, Александр Александрович, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Расчёт математических моделей динамических систем аналитически-численным методом. СПб., изд-во «Технолит», 2010.-380 с.

2. Бычков Ю. А., Щербаков С. В., Шумаков A.A. Расчёт динамики линейных нестационарных электрических цепей с неравномерно распределёнными параметрами на основе интегрального преобразования Лапласа и функционально-степенных рядов // Радиоэлектроника. 2009. № 2. С. 21-35.

3. Бычков Ю. А., Щербаков С. В., Шумаков A.A. Вычислительный алгоритм анализа динамики нелинейных нестационарных электрических цепей с неравномерно распределёнными параметрами с помощью функционально-степенных рядов // Радиоэлектроника. 2009. № 4. С. 5-19.

4. Бычков Ю. А., Щербаков С. В., Шумаков A.A. Существование и единственность решений уравнений динамики нелинейных электрических цепей с неравномерно распределёнными нестационарными параметрами // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2010. № 10. С. 36-44.

5. Бычков Ю. А., Щербаков С. В., Шумаков A.A. Анализ уравнений динамики нелинейных электрических цепей с неравномерно распределёнными нестационарными параметрами при помощи функционально-степенных рядов // Радиоэлектроника. 2011. № 4. С. 13-21.

6. Бычков Ю. А., Щербаков С. В., Шумаков A.A. Прогнозирование и предупреждение возникновения чрезвычайных ситуаций в физических системах на основе анализа их нелинейных неавтономных динамических моделей с распределёнными параметрами // Материалы международного конгресса. Том 1. Научно-практическая конференция «Транспортно-коммуникационная система Арктики в геополитическом взаимодействии и управлении регионами в условиях чрезвычайных ситуаций», Санкт-Петербург, 13-14 ноября 2009 г. - СПб.: ООО «ПИФ.СОМ», 2009. - С. 42-47.

7. Бычков Ю. А., Щербаков С. В., Шумаков A.A. Прогнозирование и предупреждение возникновения чрезвычайных ситуаций в физических системах на основе анализа существования решений описывающих их моделей с распределёнными параметрами // Материалы международного конгресса. Том 1. Научно-практическая конференция «Наукоёмкие и инновационные технологии в решении проблем прогнозирования и предотвращения чрезвычайных ситуаций и их последствий», Санкт-Петербург, 12-13 ноября 2010 г. - СПб.: ООО «ПИФ.СОМ», 2010. - С. 120125.

8. Воднев В.Г., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математический словарь высшей школы. М.: Изд-во МПИ, 1988. - 527 с.

9. Лобанов А. И., Петров И. Б. Вычислительные методы для анализа моделей сложных динамических систем. 4.1. М.: МФТИ, 2004. - 168 с.

10. Полянин А.Д. Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. - М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2002. - 432 с.

11. Самарский А. А., Тулин А. В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2003. - 316 с.

12. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., Изд - во МГУ, 2002. - 205 с.

13. Удд. Э. Волоконно-оптические датчики. Вводный курс для инженеров и научных работников. М.: Техносфера, 2008. - 520 с.

14. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, T.II. М., Наука, 1970. - 800 с.

15. Шумаков A.A. Смещение граничных и начальных условий при анализе динамики нелинейных электрических цепей с неравномерно распределёнными нестационарными параметрами // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2011. № 7. С. 96-101.

16. Beer G., Smith I., Duenser C. The Boundary Element Method with Programming: For Engineers and Scientists. Springer, 2008. - 508 p.

17. Canuto C., Hussaini M.Y. Quarteroni A., Zang T.A. Spectral Methods. Fundamentals in Single Domains. Springer, 2006. - 603 p.

18. Davydov A.S. Quantum Mechanics, 2nd Edition. Pergamon, 1976. - 302

P-

19. Dingemans M.W. Water wave propagation over uneven bottoms, Advanced Series on Ocean Engineering. World Scientific, 1997. - 967 p.

20. Esipov S. E. Coupled Burgers equations: A model of polydispersive sedimentation. Phys. Rev., 1995, Vol. 52. - P. 3711-3718.

21. Evans L.C. Partial Differential equations. American Mathematical Society, 2010. - 749 p.

22. Eymard R., Gallouet T. R., Herbin R. Handbook of numerical analysis. Ph. Ciarlet J.L. Lions, North Holland, 2000. - P. 715-1022.

23. Farlow S.J. An introduction to Differential Equations and Their Applications. Dover publications, 2006. - 640 p.

24. Grindrod P. The theory and applications of reaction-diffusion equations: Patterns and waves. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. Oxford University Press, 1996. - 640 p.

25. Grunert K. Long-Time Asymptotics for the Korteweg-de Vries Equation via Nonlinear Steepest Descent, Math. Phys. Anal. Geom., 2009, № 12. - P. 287324.

26. Haitjema, H. M. Analytic element modeling of ground water flow. Academic Press, 1995. - 394 p.

27. Hayek S. I. Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering. Marcel Dekker, 2000. - 752 p.

28. Hayt W. Engineering Electromagnetics. McGraw-Hill, 2011. - 608 p.

29. Heimburg T. Lipid Ion Channels. Biophys. Chem., 2010, Vol. 150 - P. 222.

30. Heimburg T., Jackson A.D. On soliton propagation in biomembranes and nerves. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 2005, Vol. 102 - P. 970-975.

31. Heimburg T., Jackson A.D. On the action potential as a propagating density pulse and the role of anesthetics. Biophys. Rev. Lett., 2007, Vol. 2 - P. 5778.

32. Hopf E. The partial differential equation ut + uux = uxx, Comm. Pure and Appl. Math., 1950, Vol. 3 - P. 201-230.

33. Infeld E., Rowlands G. Nonlinear Waves, Solitons, and Chaos. Cambridge University Press, 2000. - 406 p.

34. Johnson R. S. Solitary wave, soliton and shelf evolution over variable depth. J. Fluid Mech., 1994, Vol. 276. - P. 125-138.

35. Kashdan E., Rosenau P. Emergence of Compact Structures in a KleinGordon Model. American Journal of Physics, 2011, Vol. 104. - P. 447-450.

36. Knickerbocker C. J., Newell A.C. Shelves and the Kortewegde Vries equation. J. Fluid Mech., 1980, Vol. 98. - P. 803-818.

37. Morton K. W., Mayers D.F. Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction. Cambridge University Press, 2005. - 278 p.

38. Onizuka K., Odai S. N. Burgers' Equation Model for Unsteady Flow in Open Channels. Journal of Hydraulic Engineering, 1998, Vol. 124, № 5. - P. 509512.

39. Pelosi G. The finite-element method, Part I: R. L. Courant: Historical Corner. IEEE Antennas. Propag. Mag., 2007, Vol. 149, № 2. - P. 180-182.

40. Plyukhin A. V., Schofield J. Stochastic model related to the KleinGordon equation. Phys. Rev. E. Stat. Nonlin. Soft. Matter. Phys, 2001, Vol. 64. -P. 243-256.

41. Polyanin A.D. Zaitsev V.F. Handbook of nonlinear partial differential equations. Chapman and Hall, 2011.- 1216 p.

42. Sadiku M. N. Elements of Electromagnetics. Oxford University Press, 2000. - 784 p.

43. Vargas E. V., Ludu A., Hustert R., Gumrich P., Jackson A.D., Heimburg T. Periodic solutions and refractory periods in the soliton theory for nerves and the locust femoral nerve. Biophysical Chemistry, 2010, Vol. 153 - P. 159-167.

44. W. E. Asymptotic theory for the probability density functions in Burgers turbulence. Phys. Rev. Lett., 1999, Vol. 78. - P. 2572-2575.

45. W. E. Statistical theory for the stochastic Burgers equation in the inviscid limit. Comm. Pure App. Math., 2000, Vol. 53, № 2. - P. 852-901.

46. Yepez J. Quantum lattice-gas model for the Burgers equation. Journal of Statistical Physics, 2000, Vol. 146, № 3 - P. 203-224.

47. Zafarullah A. Application of the Method of Lines to Parabolic Partial Differential Equations With Error Estimates. Journal of the Association for Computing Machinery, 1970, Vol. 17, № 2. - P. 294-302.

шотгй ик^ш Ф^дзращш

шшш\

Щ яр*"

Ж Ш :

ЖГ'т

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2012619072

МВ55О1усг

Нра(....... £ан„!ь( т) Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования « Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В.И.Ульянова (Ленина)» (СПбГЭТУ) (¡И )

Ш &

Ж

га

»

а?

ж

ж

ш ш

Лвгор<ы): Шумаков Александр Александрович, Бычков Юрий Александрович (Ш )

и.

Ж

Щ ШШ ® Ш Ш Ш Ш Ш Ш :

Заявка^ 2012616851

Дата наступления 13 августа 2012 г. Зарегистрировано в Реестре программ ,мя ЭВМ

5 октября 2012 г.

Руководите.'.', Федеральной службы гш интеляектцалъной собственности

Б.И. Симонов

8В щ

¡й

т

и