Аналитическое решение второй задачи Стокса в разреженном газе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Шатеева, Виктория Александровна

• Шатеева, Виктория Александровна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Шатеева, Виктория Александровна

Оглавление

Введение 4 Глава I. Постановка задачи о поведении разреженного газа вблизи колеблющейся поверхности 11 § 1.1. Линеаризованное кинетическое уравнение для задачи о колебаниях газа

§ 1.2. Декомпозиция граничной задачи

§ 1.3. Собственные решения непрерывного спектра

§ 1.4. Собственные решения дискретного спектра

Глава И. Метод для аналитического решения задачи о поведении разреженного газа вблизи поверхности

§ 2.1. Однородная краевая задача Римана

§ 2.2. Интегральное представление факторизующей функции

§ 2.3. Факторизация дисперсионной функции

Глава III. Аналитическое решение второй задачи Стокса с диффузными граничными условиями. Исследование характеристик газа

§ 3.1. Аналитическое решение граничной задачи. Индекс

задачи равен нулю

§ 3.2. Аналитическое решение граничной задачи. Индекс задачи равен единице

§ 3.3. Скорость разреженного газа в полупространстве и

непосредственно у колеблющейся плоскости

§ 3.4. Численные расчеты и сравнение полученных результатов с предыдущими

§ 3.5. О гидродинамическом характере скорости разреженного газа

§ 3.6. Сила трения, действующая со стороны газа на колеблющуюся пластину

§ 3.7. Сила трения в гидродинамическом режиме

§ 3.8. Сила трения в свободномолекулярном режиме

§ 3.9 Мощность диссипации энергии при колебательном

движении газа

Глава IV. Аналитическое решение второй задачи Стокса с зеркально-диффузными граничными условиями

§ 4.1. Постановка задачи

§ 4.2. Декомпозиция граничной задачи

§ 4.3. Кинетическое уравнение во втором и четвертом

квадрантах фазового пространства

§ 4.4. Характеристическая система

§ 4.5. Ряды Неймана

§ 4.6. Функция распределения и массовая скорость

§ 4.7. Анализ решения в предельном случае больших частот

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитическое решение второй задачи Стокса в разреженном газе»

Введение

Объект исследования и актуальность темы. Диссертация посвящена аналитическому решению граничной задачи о поведении разреженного газа, заполняющего полупространство, вблизи колеблющейся поверхности. Задача, в которой рассматривается поведение газа вблизи движущейся твердой поверхности, вызывает большой интерес в последние годы [1], [7] - [12], [42],

[45], [46], [48] - [51], [55], [57], [65] - [67], [75], [76], [79]. Это основано на развитии современных технологий, а именно, технологий наноразмеров. В работах [1], [7] - [12], [42], [45], [46], [48] - [51], [55], [57], [65] - [67], [75], [76], [79] решение данной задачи осуществлялось приближенными и численными методами. В данной диссертации доказано, что эта задача имеет аналитическое решение, которое строится с помощью сингулярных интегральных уравнений и теории обобщенных функций.

В современных условиях стремительно развивается вакуумная технология, совершенствуется авиационная и космическая техника. В связи с этим целесообразным и важным является развитие области исследований, относящейся к определению учета влияния взаимодействия молекул разреженного газа с твердой плоской поверхностью на перенос импульса молекул в системе "разреженный газ - твёрдая поверхность" при любом разрежении газа и выявлением соотношения физических свойств междуфазной границы с макроскопическими газодинамическими характеристиками [2] - [5].

Предшествующие результаты. Первым ученым, приступившим к изучению задачи о поведении газа над поверхностью, совершающей колебательные движения в своей плоскости, был Дж. Г. Стоке [76]. Решение задачи осуществлялось гидродинамическим методом. Эффект скольжения не учитывался. Данную задачу принято называть второй задачей Стокса [1], [42], [45],

[46], [55], [79].

Бесконечная поверхность, совершающая колебательные движения, рассматривается в работе [79]. Диапазон частот колебания поверхности в данной задаче выбирается произвольным образом. На основании кинетического уравнения БГК (Бхатнагар - Гросс - Крук) выведено уравнение, тип которого гидродинамический. Граничные условия задачи - гидродинамические [14]. Рассматривается коэффициент, отражающий связь между скоростью газа и скоростью поверхности. Задача решается без учета изотермического скольжения. Графически показана зависимость силы трения вблизи поверхности от частоты колебания твердой плоской поверхности. В случае, когда частота колебаний велика, показывается, что нет зависимости силы трения от частоты.

С помощью разнообразных модельных уравнений в работе [65] выведены коэффициенты теплового и вязкостного скольжения [58], [78]. При этом применялись граничные условия Максвелла и условия Черчиньяни-Лэмпис [59].

Значительный вклад в развитие кинетической теории внесли A.B. Латышев и A.A. Юшканов [17] - [31]. Ими были разработаны новые методы решения граничных задач кинетической теории [17] - [22], [29]. Кроме того ими же были аналитически получены значительные результаты в кинетической теории: в целом ряде работ были решены классические граничные задачи Крамерса и Максвелла для кинетических уравнений, в которых частота столкновений молекул переменная [25, 26, 29, 31], в том числе и для молекулярных, и квантовых газов.

A.B. Латышев и A.A. Юшканов ввели в рассмотрение кинетические уравнения для квантовых ферми-газов и бозе-газов [27, 28] и для них получены аналитические решения классических граничных задач кинетической теории.

В статье [57] решена задача, которая близка к задаче, решенной в диссертации [7], в первых двух главах. Здесь исследуется поток газа, который расположен вблизи бесконечной пластины. В собственной плоскости эта пла-

стина совершает гармонические колебания. При рассмотрении случая невысоких частот, задача решается с помощью уравнения Навье - Стокса без учета изотермического скольжения. Численные методы использованы в случае, когда скорости колебаний поверхности произвольны. Решение основано на кинетическом уравнении Больцмана (см., например, [32]), форма интеграла столкновения которого - БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук). Характер отражения молекул при этом чисто диффузный. Для высокочастотных колебаний приведено аналитическое решение. При этом отражение молекул также диффузное.

В диссертации [7] были сопоставлены результаты с результатами статьи [57]. В.В. Дудко в своей работе использовал метод полупространственных моментов [33 - 35].

В работе [51] проведено экспериментальное исследование. Изучен поток газа, созданный механическим резонатором. При этом колебания резонатора различны. Экспериментально определено, что сила трения газа, действующая на резонатор прямо пропорциональна частоте колебания резонатора.

Частоты колебания резонатора малы. В случае высоких частот резонаторных колебаний (около 108 Гц) зависимости частоты колебаний от силы трения нет. В последние годы задача о колебаниях плоской твердой поверхности в своей плоскости исследуется и для неныотоновских жидкостей [45] и [46].

Пример применения на практике в сфере нанотехнологий колебательной системы был рассмотрен в статье [75]. Задача близка к проблеме, отражающей вторую задачу Стокса.

У перечисленных теоретических работ, отражающих решение проблемы Стокса, присутствует общий недостаток. В данных работах не учитывается вид взаимодействия с плоской поверхностью. От состояния поверхности зависит коэффициент аккомодации тангенциального импульса. В нормальном состоянии его значение близко к единице. Но значение этой величины можно

многократно уменьшить при специальной обработке [9]. И как следствие изменится вид взаимодействия поверхности с лежащим вблизи газом.

Точные решения проблем описания течения газа над плоской твердой поверхностью возможны только для линеаризованных кинетических уравнений [14], [18], [22], [32], [36], [39], [40], [41], [52], [54], [63].

В диссертации [7] рассматривается всевозможный диапазон коэффициента аккомодации тангенциального импульса. Предложены два решения, отвечающие соответственно кинетическому и гидродинамическому описанию поведения газа вдоль колеблющейся плоской поверхности. Рассматривается режим со скольжением.

Целыо данной работы является получение аналитического решения второй задачи Стокса в рамках рассматриваемой модели.

Задача работы состоит в исследовании полученного аналитического решения, в нахождении основных характеристик газа: функции распределения, массовой скорости газа; в вычислении силы трения, которая действует со стороны газа на колеблющуюся границу, и диссипации энергии пластины.

Предметом исследования является решение граничной задачи, описывающей вторую задачу Стокса для разреженного газа и состоящую из нахождения решения кинетического уравнения, удовлетворяющего граничным условиям на колеблющейся стенке и вдали от нее.

Научная новизна работы состоит в том, что впервые получено аналитическое решение второй задачи Стокса для разреженного газа с применением кинетического уравнения с модельным интегралом столкновений релаксационного типа. Впервые на основе аналитического решения дан подробный анализ основных характеристик газа. В частности, найдена массовая скорость газа в полупространстве, отыскивается ее значение непосредственно у стенки, найдена сила сопротивления, действующая со стороны газа на границу, совершающую в своей плоскости колебательное движение, отыскивается мощ-

ность диссипации энергии, приходящаяся на единицу площади колеблющейся пластины, ограничивающей газ.

Научные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Аналитическое решение второй задачи Стокса для разреженного газа с диффузными граничными условиями в рамках рассматриваемой модели (разделение переменных, вывод характеристического уравнения, нахождение собственных функций непрерывного и дискретного спектров, разложение решения задачи по собственным функциям, условие разрешимости задачи).

2. Решение задачи о поведении разреженного газа вблизи колеблющейся поверхности с зеркально-диффузными граничными условиями.

3. Выражение скорости газа в полупространстве и непосредственно у колеблющейся поверхности. Численные расчеты и сравнение с предыдущими результатами. Выражение скорости газа в гидродинамическом режиме.

4. Выражение силы трения, действующей со стороны газа на колеблющуюся поверхность. Численные расчеты и сравнение с предыдущими результатами. Выражение силы трения в гидродинамическом и свободномолекуляр-ном режиме.

5. Выражение мощности диссипации энергии, приходящейся на единицу площади колеблющейся поверхности. Исследование мощности диссипации энергии в гидродинамическом пределе.

Практическая значимость результатов исследования

Полученные результаты могут быть использованы при исследовании высокоскоростных нанотечений. В частности, при экспериментальных исследованиях с использованием наномеханических резонаторов [57]. А также при конструировании вакуумных приборов и при изучении резонансных операций наноэлектромеханических систем в вязких течениях [53].

Апробация работы. Результаты работы были обсуждены и доложены на следующих конференциях:

1. ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МГОУ (Москва, 2010-2012 гг.);

2. Всероссийская конференция, посвященная 110-летию математического факультета МПГУ (Москва, 14-16 марта, 2011г.);

3. Международная научно-практическая конференция «Математика и ее приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Орел, Россия, 20-21 мая, 2011г.);

4. Вторая международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» (МГТУ СТАНКИН, Москва, Россия, 6-10 июня, 2011г.);

5. Научная конференция преподавателей, аспирантов и молодых ученых Московской области, посвященной 300-летию М.В. Ломоносова и 80-летию МГОУ (Москва, 1-2 декабря, 2011 г.);

6. Научная сессия НИЯУ МИФИ-2012 (Москва, 30января^4 февраля, 2012г.);

7. XIX конференция «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, Россия, 30января-4февраля, 2012г.);

8. VII международная научно-практическая конференция «Новината за напреднали наука - 2011» (София, Болгария, 17-25 мая, 2011г.);

9. VIII международная научно-практическая конференция «Образованието и науката на XXI век - 2012» (София, Болгария, 17-25 октября, 2012г.);

10. Всероссийский конкурс достижений талантливой молодежи «Национальное достояние России» (24—26 марта, 2013г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 20 работах соискателя, список которых приведен в конце автореферата. Статьи [80 - 84] опубликованы в изданиях, входящих в перечень ведущих рецензируемых изданий, утвержденных ВАК, в которых необходимо разместить основные научные ре-

зультаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. В указанных публикациях отображены все основные результаты диссертации.

Вклад автора в совместных работах. Постановка задачи и взаимное обсуждение принадлежат авторам в равной степени. Основные результаты диссертационного исследования получены соискателем самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 118 страниц текста, в том числе 19 рисунков. Библиография включает в себя 99 наименований, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Внутри каждого параграфа формулы имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф. Тройную нумерацию имеют формулы при ссылке из другой главы, причем первым идет номер главы. Рисунки имеют двойную нумерацию с указанием на главу.

Глава I. Постановка задачи о поведении разреженного газа вблизи

колеблющейся поверхности

§ 1.1 Линеаризованное кинетическое уравнение для задачи о

колебаниях газа

Рассмотрим плоскую поверхность, расположенную в плоскости х — 0. Пусть полупространство х > 0 занимает газ, одноатомный и разреженный. Вдоль оси у поверхность (у, г) совершает гармонические колебания по закону —1(01

и5{ О = и0е

Рассмотрим линеаризованное кинетическое уравнение

Ъф Ъф , ч Ут , ч

В (1.1) У = Мг - частота столкновений газовых молекул, т - время между двумя последовательными столкновениями молекул, Т - температура газа, к - постоянная Больцмана, га - масса молекулы, и (х) - массовая скорость газа,

1 -

иМ,х) = -\ь /(¿,х,у)йГг> , (1.2)

п

п - числовая плотность (концентрация) газа.

В рассматриваемой задаче температура и концентрация газа считаются константами.

Обезразмерим параметры и скорости: безразмерная скорость молекул

равна

безразмерное время = у (, безразмерная массовая скорость Vу{1,х) — -у[]3иу{1,х) и безразмерная скорость колебаний пластины = и0е 10}\ где и0=л/]3и0 - безразмерная амплитуда скорости

колебаний границы полупространства. Тогда уравнение (1.1) запишется в виде:

д<р + Сл + <р(1!, X!, С) = 2 Суиу (/,, ), (1.3)

Э?! " Эл^

где

иу«1,хО = -^!ехр(-С2)Су(рО],х1,С)с13С. (1.4)

ж

Отметим для обезразмеренного времени и5 (/)) = иое . В задаче о колебаниях газа требуется найти функцию распределения /(?,,.*!, С) газовых молекул. Функция распределения связана с функцией (р{гх,х{,Сх) соотношением:

Я*!, , С) = /д, (С)[ 1 + <р(!х, X!, Сх )] , (1.5)

где

3/2

/м(С) = п\£) ехр(-С2)

- есть абсолютный максвеллиан.

Затем на основании найденной функции распределения требуется найти массовую скорость газа, значение массовой скорости газа непосредственно у стенки. Кроме того, требуется вычислить силу сопротивления газа, действующую на колеблющуюся пластину, ограничивающую газ. А также найти мощность диссипации энергии, приходящуюся на единицу площади колеблющейся поверхности, ограничивающей газ.

Подчеркнем, что решение задачи о поведении газа вблизи колеблющейся пластины проведено в линеаризованной постановке. Согласно (1.5) задача линеаризуется по безразмерной массовой скорости С/3, , ^) при условии,

иу{1:«1. Это неравенство эквивалентно неравенству ((Цр,

что

где Ут =1 /л//? - тепловая скорость молекул, которая имеет порядок скорости звука.

Величина безразмерной массовой скорости и у ) согласно ее определению (1.2):

иу Й'Х1 > = вхР(- С2)СУ 'х\'СУС ■ -6)

к

Кинетическое уравнение (1.3) с помощью (1.6) запишем в виде:

^ + С1.^+^1,х1,С) = ^|ехр(-С,2)с>(/1,л:1,С)£/3С'. (1.7) (Я! ' дхх 7Г

Сформулируем зеркально-диффузные граничные условия относительно функции

(р{Ц,0,С) = 2дСуи5(/,) + (1 - д)(р{Ц,0,-С х,Су,Сг), Сх >0, (1.8)

и

<р(^,х{ ->+оо,С) = 0. (1.9)

Таким образом, граничная задача о колебаниях разреженного газа вдоль колеблющейся поверхности, сформулирована полностью. Она состоит из решения уравнения (1.7) с условиями (1.8) и (1.9) вблизи стенки и вдали от нее. Отметим, что к выражению (1.6) для безразмерной массовой скорости можно прийти, исходя из определения размерной массовой скорости газа (1.2). В самом деле, подставляя в (1.2) выражение (1.5), приходим в точности к выражению (1.6).

До появления аналитических методов решения граничных задач кинетической теории основным методом решения, как уже указывалось, является метод полупространственных моментов. Этот метод в дальнейшем развивался в работах [37], [38], [43], [44]. Кроме того в ряде работ были разработаны

численные методы решения кинетических уравнений [47], [48], [49], [56], [61], [62], [64] - [74], [77].

§ 1.2. Декомпозиция граничной задачи

Учитывая, что пластина колеблется вдоль оси у, функцию л;,,С), следуя Черчиньяни [40, 41], будем искать в виде

, С )=СуН((1,х1,Сх). (2.1)

Тогда безразмерная массовая скорость (1.6) с помощью (2.1) равна

С помощью указанной выше подстановки (2.1) кинетическое уравнение (1.7) преобразуется к виду:

Э Н дН 1 00 ( 2 Л

+ СХ — + Н(!1,Х1,СХ) = -Т= ! ехр\-Сх \Н{Ц,хх,Сх)йСх.

_ л __ ! 7„1 , _ . J ---^ _ х

ОЦ ОХ\ л]7Г _оо V У

(2.3)

Граничные условия (1.8) и (1.9) преобразуются в следующие:

= 2Я+ (1 - д)Н(1{,0-Сх), Сх> 0, (2.4)

Я(Г1?х, —> +°о,Сх) = 0. (2.5)

Следующим шагом выявим временную переменную, указав следующее:

Н{11,х1,Сх)=е-иа>,Ч1(х1,Сх) . (2.6)

Теперь вместо (2.3) получим уравнение относительно функции Л(*1 ,СХ):

Э/г 1 7 ( .2Л . Сх--1- (1 -1о\ )Н{хх, Сх) = —¡= | ехр - Сх к(х{, Сх )с1Сх .

Эх,

л/я" - о

(2.7)

Граничные условия (2.4) и (2.5) переходят в следующие:

КО, Сх) = 2ди0+(1- 4 ЖО -сх), сх> 0,

Тогда безразмерная массовая скорость согласно (2.2) и (2.6) равна:

~ ( 2

иуЦ 1,х1) =

(2.8) (2.9)

~7~г=~ I ехР ~СХ \1г(х1,Сх)с1С 2 V 71 - оо V

(2.10)

Мы получили граничную задачу, состоящую в решении уравнения (2.7) с граничными условиями (2.8) и (2.9). Скорость газа согласно (2.10) будет вычислена далее.

§ 1.3. Собственные решения непрерывного спектра

Перепишем граничную задачу (2.7), (2.8) и (2.9) в виде

ън

— + г0П{хим)= г- J сЦ л/ к -с

м— + г0й(*1,//)= ~Т= 7ехр(- М'2 )н {Х1,м')<1м\

где

и

Z0 =\~Щ,

/1(0,//) = 2 дЩ + (1 - дЩО-ц), ц > 0,

(3.1)

(3.2)

/г(л' —> +оо, /и) = 0. Следующей подстановкой

/г„(лГ],//) = ехр

х\ ¿о ^ Л

Ф(77,//),

(3.3)

(3.4)

где 77 - параметр разделения, или спектральный параметр, вообще говоря, комплексный, осуществим в уравнении (3.1) разделение переменных.

Подставим (3.4) в уравнение (3.1). Получим характеристическое уравнение

(т; - //) Ф(77,//) = -г^— /ехр(- //'2 )ф(/7, (3.5)

■\7TZq -оо

Введем обозначение

п(Л) = — Уехр(-//,2)ф(77,//)4"'- (3.6)

•^О —оо

Тогда уравнение (3.5) с помощью (3.6) перепишется в виде

(77-//)Ф(77,//) = ^=Ж>7), т/е С. (3.7)

л17Г

Уравнение (3.7) - конечное (недифференциальное) уравнение. Условие (3.6) называется нормировочным интегралом или нормировкой.

Для действительных значений параметра Т] решение характеристического уравнения ищем в пространстве обобщенных функций [13]. Обобщенное решение уравнения (3.7) записывается следующим образом:

Ф(77,//) = —у=Тр1,{Т})Р - + £(77Ж77 - М) , (3.8)

л/ к Т\- //

где <7],/1 < .

Здесь g(r}) - произвольная непрерывная функция, которая определяется из условия нормировки, символ Рх~[ означает главное значение интеграла при интегрировании х~\ д(х) - дельта-функция Дирака. Подставим (3.8) в (3.6). Получим уравнение, с помощью которого находим

п(л)Мл)=ехр(- л1) ¿К??),

где Я(г)- дисперсионная функция, определяемая равенством

^я-ьо т-г

Данную функцию преобразуем к виду:

где Лд(г)- функция из теории плазмы,

1 7 тс/т а/Я" -оо Т - г

Собственные функции (3.8) определены с точностью до мультипликативной "постоянной" п(?1):

Ф (77,//)

1 1 9

7]Р-+ ехр(7] )А(т])3(т] - ¡л)

4к 77-¡1

«(77). (3.9)

Собственные функции (3.9) - это собственные функции непрерывного спектра, поскольку спектральный параметр 77 заполняет действительную прямую непрерывным образом.

Так как уравнение (3.1) однородно будем считать, что

"(77) = 1-

Тогда, собственные решения уравнения (3.4) представятся в виде

Н = ехр

х,

Л

А=Т1Р-^— + ехр(т72)Я(77) <% -//) л/п л-¡и

(3.10)

Собственные решения (3.10) отвечают непрерывному спектру характеристического уравнения. Спектральный параметр пробегает всю числовую прямую непрерывным образом, то есть <тс (непрерывный спектр) - вся конечная часть числовой прямой: <тс = (-оо,+оо).

Учитывая условие задачи, решение ищется невозрастающее вдали от стенки.

Поэтому далее будем рассматривать положительную часть непрерывного спектра. В этом случае собственные решения (3.10) являются исчезающими вдали от стенки. Поэтому спектром граничной задачи будем считать положительную действительную полуось параметра г\: (уРгоЫет - (0,+°°).

Рассмотрим для дисперсионной функции формулы Сохоцкого:

+ 2 1 Я~(//) = ±г4яц е~~м -¡0),+—= |

0

Из формул следует, что разность граничных значений у дисперсионной функции равна:

Л+ (//) - /Г (//) = 2а/яг// еI,

и полусумма

Я+(р) + Л~(и)_ . , 1 ™е-т\с1т 2 д/л-о Г-/1

Отметим, что действительная часть дисперсионной функции на

действительной оси имеет два нуля ± //0, //0= 0.924... (Рис. 1.1).

Рис. 1.1. Дисперсионная функция на действительной оси.

Эти два нуля различаются лишь знаками, так как функция Яд (//) - четна.

Заметим также, что дисперсионную функцию на действительной оси в численных расчетах удобнее использовать как (см. [59, 60])

Я0 (//) = 1 — 2//2} ехр(- //2 (1 - г2 ? //е (--,+00) о

§ 1.4. Собственные решения дискретного спектра

Дисперсионную функцию представим в виде ряда Лорана по отрицательным степеням переменного г в окрестности бесконечно удаленной точки:

1 3 15

2г2 4г4 8г6

...,

(4.1)

Из формулы (4.1) заметим, что дисперсионная функция при малых значениях 0){ имеет два комплексно-значных нуля отличающиеся лишь знаками:

Поэтому при —> 0 нули дисперсионной функции будут иметь в пределе одну бесконечно удаленную точку Г}{ = , кратность ( или порядок) которой два.

В формуле (4.1) так же заметим, что в бесконечно удаленной точке значение дисперсионной функции следующее

±77<0>(й>1) = -^

1тХ (ц)

-3.0

Рис. 1.2. Мнимая часть дисперсионной функции Л+ (/и) на действительной оси. Кривые 1, 2, 3 отвечают значениям параметра щ — 0, 0.5, 1.

Применим теперь принцип аргумента для нахождения нулей дисперсионной функции, лежащих в нижней и верхней полуплоскостях. Этот подход является наиболее общим.

Возьмем две прямые Г*, которые отстоят от действительной оси на

расстоянии £, е > 0, и параллельны ей. Пусть число е будет таким малым, чтобы все нули дисперсионной функции располагались за пределами узкой

полосы, которая заключена между прямыми Г* и Г".

С О

Разность между числом нулей и числом полюсов дисперсионной функции согласно принципу аргумента равно приращению ее логарифма:

N - Р= 1

2т

г+ г~

с1\пЛ(г). (4.2)

В (4.2) каждый полюс и нуль считаются согласно их кратности, прямые Г~ и Г* проходят соответственно в отрицательном и положительном

С С-

направлениях. Дисперсионная функция полюсов не имеет, то есть Р = 0. При £ —> 0 из равенства (4.2) в пределе получаем:

Ш -ОС А (//)

Представим интеграл из формулы (4.3) в виде суммы интегралов:

Л (¿и) о Л (//) -оо Л (//)

Сделаем замену переменной во втором интеграле: т —> —т, тогда имеем:

л+ (-Т) = Л~ (т), Л~ (-т) = Л+ (т).

Следовательно, получили равенство второго интеграла первому. В самом деле,

Л (ju) о Л (-//) о Я+(//) о А (//)

Таким образом,

1 7 A+(ju) N = -\dln—(4.4)

Ш о л (//)

На комплексной плоскости рассмотрим семейство кривых Г = ): z = G(t), 0 < t < +оо, где

Я-(О

Легко проверить, что

G(0) = 1, lim G(i) = 1.

г—

Эти равенства означают, что кривые Г(й^) являются замкнутыми: они выходят из точки z = 1 и заканчиваются в этой точке. Согласно (4.4) имеем:

N = - [ln|G(r)| + /argGCr)];- = -[argG(r)]J-. ш "к

Согласно предыдущим равенствам получим:

N =—[argG(r)]Q°° = 2%(G) ?

(4.5)

к

или

N = 2 2(0,

где % = %(С) -индекс функции — число оборотов кривой Цй^) относительно начала координат, совершаемых в положительном направлении. Из формулы (4.5) видно, что

N = -[агёС(+оо) - а^(0)] = -а^(+°о) > (46)

к к

ибо argG(0) = 0.

Введем угол 9(fi) = argG(//) - главное значение аргумента функции G(/i), удовлетворяющее условию 0(0) = 0.

Обозначим: s(ju) = . Выделим действительную и мнимую части

функции G(t):

= Ab(fl)-i6){+is(]Ll) = Aq(JU) — ¿(0 is(jLl)

_^(ju)-S2(JU) + COf , . 2Ло(//М//)

Л?(//) + [fli 1+ J(//)]2 J^w + fa + s(Ji)f ' Отсюда получаем

ReGW = + , ImG(//) = ШИХМ)

Введем выделенную частоту колебаний плоской твердой пластины, ограничивающей разреженный газ:

Щ = max 4-%{ju) + s2{ju)~ 0.733.

0</У<+оо

Данную частоту колебаний назовем критической.

Покажем, что при 0 < щ < щ (частота колебаний пластины меньше а\ ) индекс функции G(t) равен единице (Рис. 1.3).

Рис. 1.3. Кривая Г(й;1) является замкнутой и охватывает начало координат

*

при 0 < о\ < щ . Индекс функции С(/2) равен единице, дисперсионная функция имеет два комплексно-значных нуля.

Это означает, что согласно (4.6) дисперсионная функция в разрезанной комплексной плоскости с разрезом вдоль действительной оси имеет два комплексно-значных нуля.

*

При 0)>0)| (частота колебаний пластины превышает критическую) индекс функции G(t) равен нулю: %(G) = 0 (Рис. 1.4). То есть дисперсионная функция в нижней и верхней полуплоскостях не имеет нулей. А значит исходное кинетическое уравнение (3.10) дискретных (частных) решений не имеет.

Рис. 1.4. Кривая ) не охватывает начало координат при щ > а\ . Индекс функции равен нулю, дисперсионная функция не имеет нулей в верхней

и нижней полуплоскостях.

Кривые Т(а)х) согласно (4.7) определяются параметрическими уравнениями

Г(^): х = у = 1тО({г), 0<//<+°о. (4.8)

При щ =0 мы имеем случай, рассмотренный в [59]. В этом случае кривая Г(0) охватывает один раз начало координат. В самом деле, функция имеет единственный нуль ~ 0.924 на действительной оси, причем > 0

При 0 < // < //0 и Я{)(/и)< 0 При /И0</и<+°о. Функция У! (//) = А^ (//) - Б1 (//) имеет два нуля ~ 0.447 и //2~ 1.493. При этом у!(//)>0 при

//е[0,//1)и(//1,+оо),апри у№<0.

Теперь из соотношений (4.7) и (4.8) видно, что при изменении ц, от О до кривая Г(0) выходит из точки г - 1 и при [1 = оказывается в точке на мнимой оси с координатой

уС^-ьпад- о

^(//О + гС//!)

Рис. 1.5. Зависимость угла 9 = в{/и,(о{) от ц при различных значениях параФ _

метра щ при щ > (Ох . Индекс функции С(/и) равен нулю. Приращение угла на полуоси равно нулю. Кривые 1 и 2 отвечают значениям щ =1 и сох= 1.5.

При этом кривая Г(0) описывает дугу, лежащую в первой четверти. При изменении ц, от ¡л.\ до ¿/0 кривая описывает дугу, лежащую во второй четверти, и при ¿и = ¿и0 оказывается в точке на действительной оси с координатой л;(//0) = -1. При изменении /л от до кривая Г(0) описывает дугу, лежащую в третьей четверти и при ¡1 = оказывается в точке на мнимой оси с координатой

2Лр (¿/2М//2)

%(JLl2) + s1{|Л2)

При дальнейшем изменении ц от //2 Д° + 00 кривая Г(0) лежит в четвертой четверти и заканчивается в точке г = 1, описывая один оборот вокруг начала координат.

Рис. 1.6. Зависимость угла О = 6(fJ.,0)j) от // при различных значениях параметра 0\ *

при 0 < Щ < (Ц . Индекс функции G(jU) равен единице. Приращение угла на полуоси равно 1К . Кривые 1 и 2 отвечают значениям Q}x = 0.5 и &J, = 0.3.

Пусть теперь параметр щ изменяется в пределах от нуля до значения

С0\ = я(Мо) - Л//^ ~ 0.697 . Теперь корни //, и ц2 уравнения

У1 (//, (О ,) = - 52(//) + (О \

становятся функциями параметра щ : ¡1Х = /их {б)х) и /и2 = ц2(а)х), причем 2

/1Х (щ) < (й\). Нетрудно понять, что семейство кривых Г(<и1) охватывает

начало координат тогда и только тогда, когда для нулей ]их{сщ), /и2 и //2(<Я[) выполняется равенство

Точка ц2 (¿У,) не зависит от щ, а при возрастании щ от 0 до со\ точки

/лх{о){) и сближаются навстречу друг другу. При щ = со^ точки ¿и0 и

/и2(й){) совпадают. Это означает, что кривая Т(со^) проходит через начало координат. Этому случаю можно приписать индекс Г(^0) = 1/2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шатеева, Виктория Александровна, 2014 год

Литература

1. Абрашкин A.A., Якубович Е.И. Вихревая динамика в лагранжевом описании. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006 г. - 175 стр.

2. Борисов С.Ф., Балахонов Н.Ф., Губанов В.А. Взаимодействие газов с поверхностью твёрдых тел. М: Наука, 1988. - 200 с.

3. Борисов С.Ф., Герасимова O.E. Межфазная граница газ-твердое тело: структура, модели, методы исследования. Учебное пособие. -Екатеринбург: Уральский государственный университет, 2006. - 153с.

4. Веденяпин В.В., Мингалев КВ., Мингалев О.В. О дискретных моделях квантового уравнения Больцмана // Математический сборник / Под ред. Б.С. Кашина. - М.: РАН, «Наука», 1993. - Т. 184. - № 8. - С. 21 - 38.

5. Веденяпин В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 112 с.

6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1987. - 677 с.

7. Дудко B.B. Скольжение разреженного газа вдоль неподвижных и колеблющихся поверхностей: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Москва, 2010. -108 с.

8. Дудко В.В., Юшканов A.A., Ялалюв Ю.И. Генерация колеблющейся поверхностью сдвиговых волн в газе. // Теплофизика высоких температур. - 2009. - Т. 47. - № 2. - С. 262 - 268.

9. Дудко В.В., Юшканов A.A., Ялалюв Ю.И. Влияние свойств поверхности на характеристики сдвиговых волн. // Журнал технической физики. -2005. - Т. 75. - Вып. 4. - С. 134-135.

10. Дудко В.В., Юшканов A.A., Ялалюв Ю.И. Генерация колеблющейся поверхностью сдвиговых волн в газе// Теплофизика высоких температур. - 2009. - Т. 47. -№2. - С. 262-268.

11. Дудко В.В., Юшканов A.A., Ялалюв Ю.И. Колебания поверхности в газе в режиме со скольжением. // Дисперсные системы. XXII конференция стран СНГ. - Тезисы докладов. - Одесса. - 2006. - С. 129 - 130.

12. Дудко В.В., Юшканов A.A., Ялалюв Ю.И. Колебания поверхности в вязком газе в режиме со скольжением. // Дисперсные системы. XXI конференция стран СНГ. - Тезисы докладов. - Одесса. - 2004. - С. 106-107.

13. Жаршюв В.В., Владимиров B.C. Уравнения математической физики, М.: Физматлит, 1999.

14. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967, 440 стр.

15. Ландау Л.Д., Лифишц Е.М. Гидродинамика. Теоретическая физика. Т. VI. М. Физматлит (1987), 735 с.

16. Ландау Л.Д., Лифишц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Теоретическая физика. Т. VIII. М. Физматлит, 2003. - 656 с.

17. Латышев A.B., Юшканов A.A. Новый метод решения граничных задач кинетической теории // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2012. - Том 52. - №3. - С. 1-14.

18. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение граничных задач

кинетической теории. М.: МГОУ, 2004. - 286 с.

19. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение модельного БГК-уравнения Больцмана в задаче о температурном скачке с учетом аккомодации энергии // Математическое моделирование. - 1992. - Т. 4. -№10.-С. 41-46.

20. Латышев A.B., Юшканов A.A. Метод решения граничных задач для кинетических уравнений. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Том 44. - №6. - С. 1107 - 1118.

21. Латышев A.B., Юшканов A.A. Моментные граничные условия в задачах скольжения разреженного газа. // Известия Российской академии наук, серия «Механика жидкости и газов». - 2004. - №2. - С. 193 - 208.

22. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитические методы в кинетической теории. - Монография. - М.: МГОУ, 2008. - 280 с.

23. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитические решения задач скольжения с использованием нового кинетического уравнения. // Письма в Журнал технической физики. - 2000. - Том 26. - Выпуск 23, № 1. - С. 16-23.

24. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи Крамерса для плотного газа // Поверхность. - 1994. - № 6. - С. 45 - 51.

25. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о скольжении газа с использованием модельного уравнения Больцмана с частотой, пропорциональной скорости молекул // Поверхность. - 1997. - № 1.-С. 92-99.

26. Латышев A.B., Юшканов A.A. Влияние свойств поверхности на скольжение газа с переменной частотой столкновений молекул // Поверхность. - 2001. - № 7. - С. 79 - 87.

27. Латышев A.B., Юшканов A.A. Граничные задачи для квантового бозе-газа // Известия вузов. Серия «Физика». - 2002. - № 6. - С. 51 - 56.

28. Латышев A.B., Юшканов A.A. Граничные задачи для квантового ферми-газа// Теоретическая и математическая физика. - 2001. - Т. 129. -№3. - С. 491 -502.

29. Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Крамерса для эллипсоидально-статистического уравнения Больцмана с частотой, пропорциональной скорости молекул. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1997. - Т. 37. - №4. - С. 483 - 493.

30. Латышев A.B., Юшканов A.A. Тепловое и изотермическое скольжение в новом модельном кинетическом уравнении Лиу // Письма в журнал технической физики. - 1997.-Т.23.-№14. - С. 13-16.

31. Латышев A.B., Юшканов A.A. Тепловое скольжение для газа с частотой столкновений, пропорциональной скорости молекул // Инженерно-физический журнал. - 1998. - Т. 71. - №2. Март-Апрель. - С. 353 - 359.

32. Маслова Н.Б. О решении уравнения Больцмана для случая пространственно - однородного газа из максвелловских молекул. -Вестник Ленинградского государственного университета. - 1968. -№13.-С. 88-95.

33. Пастернак В.Е., Сенкевич A.A., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Изотермическое скольжение газа умеренной плотности вдоль плоской поверхности // Инженерно-физический журнал. - Т. 48. - № 11. - С. 2412 - 2415.

34. Пастернак В.Е. , Сенкевич A.A., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Тепловое скольжение умеренно плотного газа вдоль плоской поверхности // Инженерно - физический журнал. - Т.38. - № 2. - С. 273-277.

35. Поддоскин А.Б. Газокинетические методы в динамике умеренно крупных аэрозольный частиц // Дисс. ... канд. физ-мат. наук. - Москва, 1982,- 120 с.

36. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. - М.: Мир, 1976. - 554 с.

37. Синкевич O.A., Семенов A.M. Решение уравнения Больцмана методом разложения функции распределения в ряд Энскога по параметру Кнудсена в случае наличия нескольких масштабов зависимости функции распределения от времени и координат. // Журнал технической физики. - 2003. - Том 73 № 10. - С. 1 - 5.

38. Черемисин Ф.Г. Решение кинетического уравнения Больцмана для высокоскоростных течений // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46 № 2. - С.329-343.

39. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960.-512 стр.

40. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. - М.: Мир, 1978.

41. Черчиньяни. К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973.-248с.

42. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. - 712 с.

43. Яламов Ю.И., Ивченко И.Н., Дерягин Б.В. Функция распределения газовых молекул по скоростям вблизи твёрдой стенки // Доклады Академии наук СССР. - 1967. - Т. 175, № 3. - С. 549-552.

44. Яламов Ю.И., Поддоскин А.Б., Юшканов A.A. О граничных условиях при обтекании неоднородно нагретым газом сферической поверхности малой кривизны // Доклады Академии наук СССР. - 1980. - Т. 254, № 2. - С. 343 - 346.

45. Ai L., Vafai К. An Investigation of Stokes' Second Problem for Non-Newtonian Fluids // Numerical Heat Transfer, Part A: Applications, V. 47, 2005.-P. 955-980.

46. AsgharS., N adeem S., Hanif K., Hayat T. Analytic solution of Stokes second problem for second grade fluid, Math. Probl. Eng. V. 2006, Article ID 72468, 8 p.

47. Baker, L.L Hadj¿constantinou N.G. Variance Reduction for Monte Carlo Solutions of the Boltzmann Equation // Physics of Fluids, 17, 051703, 2005.

48. Siewert C. E. On Computing the Thermal - Slip Coefficient from Kramers' Problem // Physics of Fluids. - 2004. - V.16. - 2132-2135.

49. Siewert C. E. Viscous - Slip, Thermal - Slip and Temperature - Jump Coefficients as Defined by the Linearized Boltzmann Equation and the Cer-cignani-Lampis Boundary Condition. // Physics of Fluids. - 2003. - V.15. -1696-1701.

50. Cercignani C. and Sernagiotto F. The method of elementary solution for time - dependent problems in linearized kinetic theory. Annals of Physics, 30, 154-167(1964).

51. Cleland A.N., Roukes M.L. A nanometre - scale mechanical electrometer// Nature, vol.392, 1998.-P. 160-162.

52. Cornille H., Gervois A., Protopopescu V. Closed Similarity Solutions for a Class of Stationary Nonlinear Boltzmann - like Equation. - J. Phys. A.: Math. Gen., 1983, v. 16, L343-L350.

53. Ekinci K.L., Karabacak D. Resonant Operation of Nanoelectromechanical Systems in a Viscous Fluid. // American Physical Society, APS March Meeting, March 13-17, 2006.

54. Ernst M.H. Exact Solutions of the Nonlinear Boltzmann Equation. - J. Stat. Phys., 1984, v.34,№ 5/6, 1001-1017.

55. Graebel W.P. Engineering Fluid Mechanics. New York, Taylor & Francis, 2001,676 p.

56. Park J.H., Bahiikiidumbi P. and Beskok A. Rarefaction effects on shear driven oscillatory gas flows: a direct simulation Monte Carlo study in the entire Knudsen regime, Phys Fluids 16 {2004), pp. 317-330.

57. Karabacak D.M., Yakhot V. and Ekinci K.L. High-Frequency Nanofluidics: An Experimental Study using Nanomechanical Resonators, Phys. Rev. Lett. 98, 254505, 2007.

58. Kundt A.D., Warburg E. Reibung und Warmeleitung verdunnerter Gase // Pogg. Ann. Der phys. Chem. B. 1875. Bd. 155. S. 525-550.

59. Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Skin effect with arbitrary specularity in Maxwellian Plasma// J. of Math. Phys. 2010. V. 51, P. 113505-1-11350510, pp. 10.

60. Latyshev A. V., Yushkanov A.A. Temperature jump in degenerate quantum gases with the Bogoliubov excitation energy and in the presence of the Bose - Einstein condensate // Theor. and Mathem. Physics, 165(1): 1359 -1371 (2010).

61. Loyalka S.K. Slip and jump coefficients for rarefied gas flows: variational results for Lennard - Jones and n( r )-6 potentials //Physica A. 1990. V. 163. P. 813-821.

62. Ohwada T., Sone Y., Aoki K. Numerical analysis of the shear and thermal creep flows of a rarefied gas over a plane wall on the basis of the linearized Boltzmann equation for hard - sphere molecules. Phys. Fluids A, 1989, v.l, N 9. - P. 1588-1599.

63. Pao Y. P. Some boundary value problems in the kinetic theory of gases // Phys. Fluids. V. 14. № 11. P. 2285-2290.

64. Garcia R. D. M. and Siewert C. E. The Viscous- Slip, Diffusion- Slip, and Thermal-Creep Problems for a Binary Mixture of Rigid Spheres Described by the Linearized Boltzmann Equation, European Journal of Mechanics B/Fluids, 26 (2007). - P. 749 - 778.

65. Shciripov F. and Kalempa D. Gas flow around a longitudinally oscillating plate at arbitrary ratio of collision frequency to oscillation frequency Rarefied Gas Dynamics: 25-th International Symposium, edited by M.S.Ivanov and A.K.Rebrov. Novosibirsk, 2007. - P. 1140-1145.

66. Sharipov F. and Seleznev V. J. Phys. Chem. Ref. Data, 27, 657-706 (1998).

67. Siewert C.E., Sharipov F. Model equations in rarefied gas dynamics: viscous-slip and thermal - slip coefficients // Phys. Fluids. 2002. V. 14, No. 12. -4123-4129.

68. Soga T. A. Kinetic analysis of thermal force on a spherical particle of high thermal conductivity in a monoatomic gas // Phys. Fluids, 1986, V.29, №4. - P. 976-985.

69. Sone Y. A note on Thermal Creep in Rarefied Gas // Journal of the Physical Society of Japan. - 1970. - V. 29. - № 6. - P. 1655.

70. Sone Y. Kinetic theory analysis of Linearized Rayleigh Problem // Journal of the Physical Society of Japan. - 1964. - V. 19. - № 8. - P. 1463-1473.

71. Sone Y. Some Remarks on Knudsen Layer // Journal of the Physical Society of Japan.- 1966.-V. 21, №9.-P. 1620-1621.

72. Sone Y. Thermal Creep in Rarefied Gas // Journal of the Physical Socicty of Japan. - 1966.-V. 21, № 9. - P. 1836-1837.

73. Sone Y. Yamamoto K. Flow of Rarefied Gas through a circular Pipe I I Phys. Fluids. 1968, V. 11, №8.-P. 1672-1678.

74. SoneY. Effect of Sudden Change of Wall Temperature in Rarefied Gas // Journal of the Physical Society of Japan. - 1965, V. 20, № 2. - P. 222-229.

75. Steinhell E., Scherber W., Seide M., Rieger H. Investigation on the interaction of gases and well defined solid surfaces with respect to possibilities for reduction of aerodynamic friction and aerothermal heating // Rarefied gas dynamics. Ed. J.L. Potter. N.Y.: Acad, press, 1977. -P. 589-602.

76. Stokes G.G. On the effect of internal friction of fluids on the motion of pendulums. Trans. Cambr. Phil. IX, 8 A851), Math, and Phys. Papers III, 1141, Cambridge, 1901.

77. Tamada K. Sone Y. Some Studies on Rarefied Gas Flows // J. Phys. Soc. Japan, 1966. - V. 21, № 7. - P. 1439-1445.

78. The scientific papers of J. C. Maxwell, New York, Dover, 1965. Transport Theory and Stat. Phys. 1, 101-114 (1971).

79. Yakhot V., Colosqui C. Viscoelastic - Elastic Transition in the "Stokes Second Problem" in a High Frequency Limit. // arXiv: nlin.CD/0609061.

Список работ по теме диссертации

80. Акимова В.А., Латышев A.B., Юшканов A.A. Вторая задача Стокса с зеркально-диффузными граничными условиями. - Известия ВУЗов. Серия. Физика. № 3, т. 56, стр. 101-105, 2013.

81. Акимова В.А., Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение второй задачи Стокса о поведении газа над колеблющейся поверхности. - Известия РАН. Серия «МЖГ». - 2013. - №1. - стр. 125-140.

82. Акимова В.А., Латышев A.B., Юшканов A.A. К теории поведения разреженного газа над колеблющейся поверхностью. - Вестник МГОУ, Серия «Физика-Математика». - № 1 (2012). - С. 58-70.

83. Акимова В.А., Латышев A.B., Юшканов A.A. Нули дисперсионных уравнений из второй задачи Стокса о поведении газа над колеблющейся поверхностью // Вестник МГОУ. Сер. «Физика -Математика». - 2012. - № 2.-С. 3-13.

84. Акимова В.А., Бугримов А.Л., Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение дисперсионного уравнения из второй задачи Стокса. -Вестник МГОУ, Серия «Физика-Математика», 2013 г.

85. Акимова В.А., Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Рэлея о поведении газа над движущейся поверхностыо//ТЬе Modeling of Nonlinear Processes and Systems (MNPS-201 l).The Second International Scientific Symposium. Moscow. June 06 - 10, 2011, c. 246-247.

86. Акимова B.A. Постановка и линеаризация задачи о поведении газа над движущейся поверхностью// Математика, информатика и методика их преподавания. Материалы Всероссийской конф., посвященной 110-летию матем. ф-та МПГУ. 213 с. (Москва. 14-16 марта 2011 г.), с. 23-24.

87. Акимова В.А. Решение задачи о поведении газа над движущейся поверхностью// Сборник трудов конференции (научный журнал) "Новости передовой науки". Per. номер 86471.Дата подписания к печати 05-19-2011.

88. Акимова В.А., Латышев А.В., Юшканов А.А. Решение задачи о поведении газа над движущейся поверхностью// Сборник трудов 7-й Международной научно-практич. конф. Математика, Физика. Т. 22. Болгария. София. 2011, с. 36-41.

89. Акимова В.А., Латышев А.В., Юшканов А.А. Вторая задача Стокса для разреженного газа над колеблющейся поверхностью с диффузными граничными условиями// Сборник трудов 8-й Международной научно-практич. конф. Математика, Физика. Т. 43. Болгария. София. 2012, с. 5357.

90. Akimova V.A., Latyshev A.V., Yushkanov А.А. Analytical solution of the second Stokes problem on behaviour of gas over oscillation surface. Part I: eigenvalues and eigensolutions //ArXiv: 1111.3429vl [math-ph] 15 Nov 2011, 27 pp.

91. Akimova V.A., Latyshev A. V., Yushkanov A.A. Analytical Solution of Second Stokes Problem on Behavior of Gas over Oscillation Surface. Part II: Mathematical Apparatus for Solving of Problem // ArXiv: 111 1.5182vl [math-ph] 22 Nov 2011,26 pp.

92. Akimova V.A., Latyshev A. V., Yushkanov A.A. Analytical Solution of Second Stokes Problem on Behavior of Gas over Oscillation Surface. Part III: Solving of Problem and Applications// arXiv: 1112.1283vl [math-ph] 6 Dec 2011, 40 pp.

93. Акимова B.A., Латышев А.В., Юшкаиов A.A. Аналитическое решение задачи о поведении газа над колеблющейся поверхностью. "Связь времен и поколений. Наука. Образование и искусство". Сб. материалов научн. конф. преподавателей, аспирантов и молодых ученых Московской области, посвященной 300-летию М.В. Ломоносова и 80-летию МГОУ, 1-2 декабря 2011.С. 25-30.

94. Акимова В.А., Латышев А.В., Юшкаиов А.А. Аналитическое решение задачи о поведении газа над колеблющейся поверхностью// Фунд. физико-матем. проблемы и моделирование технико-технолог. систем. Вып. 14. Материалы второй Международной научной конференции "Моделирование нелинейных процессов и систем". М. 2011. - С. 37-43.

95. Akimova V.A., Latyshev A.V., Yushkanov A.A. The Second Stokes Problem with Specular - Diffusive Boundary Conditions in Kinetic Theory// arXiv: 1201.2624vl [math-ph] 12 Jan 2012. 20 pp.

96. Акимова B.A., Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение линеаризованной задачи о поведении разреженного газа над колеблющейся поверхностью// Научная сессия НИЯИ МИФИ. Аннотации докладов. Конференция "Методы математической физики и матем. моделирование физич. процессов". М.: 2012. С. 134.

97. Акимова В.А., Латышев А.В., Юшканов А.А. Точное решение линеаризованной второй задачи Стокса// XIX-ая конференция серии "Математика. Компьютер. Образование". Школа-Конференция "Анализ сложных систем". Вып. 19. Тезисы. Дубна, 30 января - 4 февраля 2012 г. С. 159.

98. Akimova V.A., Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Exact solution of dispersion equation corresponding to ellipsoidal statistical equation from Stokes' second problem. // arXiv: arXiv: 1211.0402 [math-ph] 2 Nov 2012. 23 pp.

99. Акимова B.A. Аналитическое решение второй задачи Стокса о поведении разреженного газа над колеблющейся поверхностью / VII Всероссийский конкурс талантливой молодежи «Национальное достояние России»: Тезисы докладов. - Москва, 2013.