Анализ моделей нелинейной диффузии в многокомпонентных системах методами теории групп преобразований тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гладков, Андрей Валерьевич

• Гладков, Андрей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гладков, Андрей Валерьевич

Введение

1 Модели многокомпонентной диффузии и теория групп преобразований

1.1 Неизотермическая и многокомпонентная диффузия.

1.2 Системы диффузионных уравнений: модели и приложения

1.3 Методы теории групп преобразований и системы диффузионных уравнений . . . . '.•.

2 Системы диффузионных уравнений: точные симметрии, иерархия моделей, инвариантные решения

2.1 Симметрийные свойства диффузионных систем с источником

2.2 Симметрийные свойства систем анизатропных диффузионных уравнений.

2.3 Автомодельные решения для нелинейной диффузии без источника с импульсными начальными данными.

2.4 Программа DEPEAS построения системы определяющих уравнений в среде Maple.

3 Приближенный симметрийный анализ систем диффузионных уравнений

3.1 Приближенные симметрии систем диффузионных уравнений с малыми конвективными членами.

3.2 Приближенные решения диффузионных систем с малым параметром

3.3 Приближенные симметрии гамильтоновых систем с малым параметром

3.4 Приближенные инвариантные решения и отображения гамильтоновых систем с малым параметром

4 Инвариантные решения и приложения

4.1 Модель хемотаксиса: иерархия моделей, инвариантные решения

4.2 Распространение периодических колебаний при многокомпонентной фильтрации

4.3 Инвариантные решения для линейных систем диффузионных уравнений со знакопеременным источником.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ моделей нелинейной диффузии в многокомпонентных системах методами теории групп преобразований»

Многие практически важные процессы, такие как: движение в пористых средах многофазных, многокомпонентных жидкостей, нестационарная фильтрация в многопластовых системах, концентрационные волны в распределенных химических реакторах, горение, популяционные волны описываются системами нелинейных уравнений диффузионного типа.

Построение аналитических решений таких систем в общей постановке затруднительно. Для преодоления этой проблемы часто используется линеаризация исходных уравнений, однако, в ряде случаев, этот прием может привести к отбрасыванию нелинейных эффектов, оказывающих решающее влияние на ход процессов. Особенно важным учёт нелинейности может оказаться при решении задач анализа устойчивости состояний и чувствительности решений относительно малых изменений параметров системы.

Мощным инструментом исследования нелинейных моделей является сим-метрийный анализ дифференциальных уравнений. Знание симметрии позволяет исследователю найти инвариантные решения, которые могут быть эффективно использованы при решении задач идентификации модели и разработки стратегии управления процессом, описываемым ею. В практических приложениях эти инвариантные, относительно группы симметрий, решения в большинстве случаев можно эффективно построить, и часто они оказываются единственными известными точными решениями. Найденные аналитические решения, даже не имея явных физических приложений, могут использоваться, к примеру, для тестирования численных алгоритмов решения исходных уравнений.

Работы ряда авторов позволили хорошо изучить симметрийные свойства скалярных уравнений нелинейной теплопроводности с источником. Были изучены отдельные классы систем уравнений: диагональный случай с п=2 или специальные виды матрицы диффузионных коэффициентов. Однако, это не охватывает многие практически важные случаи. Поэтому актуальным является выделение среди этих систем моделей, замечательных по своим симмет-рийным свойствам в общем случае - с произвольным набором компонент и недиагональной матрицей диффузионных коэффициентов.

Учет дополнительных факторов приводит к изменению модели, которая описывает данные процессы. Так например, во многих приложениях, наряду с процессами диффузии, важным является учет малых поправок конвекции. Несмотря на то, что эти факторы зачастую малы, они могут играть важную роль. К сожалению, в классическом симметрийном подходе это приводит к ухудшению симметрийных свойств модели. В связи с этим, в последнее время активно развивается теория приближенных симметрий дифференциальных уравнений. До настоящего момента времени системы диффузионных уравнений с малыми конвективными членами не были исследованы методами приближенного группового анализа.

В задачах градообразования и морфогенеза, которые описываются системами диффузионных уравнений с источниками, неустойчивость является источником сложной эволюции. При отсутствии диффузионных членов, или, когда они малы, система представляет собой динамическую систему. Одним из инструментов анализа локальной неустойчивости в динамических системах является переход к дискретным аналогам (отображениям). Особенно хорошо этот подход развит для гамильтоновых систем с возмущением. Интерес представляет изучение связи приближенных симметрий динамических систем с отображениями таких систем.

Для вычисления симметрий существует набор программ для пакетов символьных вычислений REDUCE, Maple, Mathematica облегчающих изучение симметрийных свойств дифференциальных уравнений. Однако эти программы предназначены для нахождения точных симметрий дифференциальных уравнений с известными коэффициентами. Использование данных программ становится невозможным при исследовании точных и приближенных сим-, метрий дифференциальных уравнений с произвольными функциями, т.е. для задач групповой классификации.

Цель работы. Исследование систем диффузионных уравнений методами теории групп преобразований для выделения моделей с дополнительными симметрийными свойствами и построение их инвариантных решений. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Построение иерархии моделей на основе их симметрийных свойств для систем диффузионных уравнений с источником, систем анизатропных диффузионных уравнений и диффузионных систем с малыми конвективными членами.

2. Построение инвариантных решений для описания процесса хемотаксиса, совместной динамики температуры и объемного водосодержания в почве, а также динамики популяций бактерий.

3. Разработка алгоритма построения отображений с использованием приближенных симметрий гамильтоновых систем с малым параметром.

4. Разработка прикладной программы построения приведенной системы определяющих уравнений (СОУ) для нахождения точных и приближенных точечных симметрий систем дифференциальных уравнений.

Результаты, полученные лично автором и выносимые на защиту:

1. Иерархия моделей систем диффузионных уравнений по точным и приближенным симметриям с произвольным количеством компонент п.

2. Инвариантные решения некоторых задач естествознания, описываемые системами диффузионных уравнений.

3. Алгоритм построения универсального отображения гамильтоновой системы с малым параметром с использованием приближенных симметрий

4. Программа построения системы определяющих уравнений для нахождения точных и приближенных симметрий дифференциальных уравнений. Научная новизна. В работе получены следующие оригинальные результаты:

1. Наряду с аналогами известных случаев расширения для скалярного уравнения найдены специальные классы уравнений многокомпонентной диффузии со специфическими симметрийными свойствами. Предложен метод решения СОУ, одинаково хорошо применимый для исследования симмет-рийных свойств систем диффузионных уравнений с источниками, с малой конвекцией, а также систем анизотропных диффузионных уравнений.

2. Построено фундаментальное решение для случая, когда матрица диффузионных коэффициентов подчиняется степенному закону, также некоторые инвариантные решения, описывающие процессы хемотаксиса, совместной динамики температуры и влажности в почве, размножения бактерий в питательной среде.

3. Предложен конструктивный алгоритм построения отображения, которое может быть использовано для анализа локальной неустойчивости в гамильтоновых системах с возмущением.

4. Разработана программа построения приведенной СОУ для решения задач групповой классификации дифференциальных уравнений.

Научная и практическая ценность. Развиты методы анализа определяющих уравнений при нахождении симметрии систем диффузионных уравнений, которые могут быть применены для широкого класса подобных задач. Показана групповая природа известных решений изучаемых систем.

Практическая ценность результатов заключается в создании программы вычисления СОУ, которая позволяет исследовать точные и приближенные симметрии систем дифференциальных уравнений с произвольными коэффициентами.

Апробация работы. Основные результаты работы диссертации докладывались на:

- Международной конференции "Алгебраические и аналитич. методы в теории дифференц. уравнений"(Орел, 1996 г.)

- Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Челябинск, 1999 г.)

- Воронежской зимней математической школе "Современный анализ и его приложения" (Воронеж, 2000 г.)

- Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения "(Красноярск, 2000 г.)

- Международной конференции "МОСКАИ 2000: Групповой анализ для нового тысячелетия"(Уфа, 2000 г.)

- XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2001 г.)

- Семинаре в университете Техаса в Остине, (США, 2003г.) и на научных семинарах Института математики с ВЦ УНЦ РАН, кафедры математики УГАТУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах [8] - [И], [14] - [18], [37], [44] - [46], [63].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гладков, Андрей Валерьевич

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации

1. Построена иерархия моделей на основе их симметрийных свойств для систем диффузионных уравнений с источниками, систем анизатропных диффузионных уравнений и диффузионных систем с малыми конвективными членами.

2. Разработан алгоритм построения отображений с использованием приближенных симметрий гамильтоновых систем с малым параметром.

3. Построены инвариантные решения описывающие: направленное движение клеток под воздействием химического раздражителя (хемотаксис), совместную динамику температуры и объемного водосодержания в почве и динамику популяций бактерий.

4. Разработана программа построения приведенной системы определяющих уравнений, которая может быть использована для решения задач группа повой классификации по точным и приближенным симметриям.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гладков, Андрей Валерьевич, 2004 год

1. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи мат. наук. - 1963. - Т. 18, N 6. - С. 91 - 192.

2. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Квазилокальные симметрии уравнений типа нелинейной теплопроводности // Докл. АН СССР. 1987. - Т. 295, iV 1. - С. 75 - 78.

3. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии уравнений с малым параметром. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. - М., 1987. - N 150. -28 с.

4. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии // Матем. сборник. 1988. - Т. 136, вып. 4. - С. 435 - 450.

5. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Методы возмущений в групповом анализе. М.: ВИНИТИ, 1989 / Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Новейшие достижения". - Т. 34. -С. 85 - 147.но

6. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии и законы сохранения // Труды Математического института им. В.А. Стек-лова. М., 1991. - Т. 200. - С. 35 - 45.

7. Байков В.А., Гладков A.B. Приближенные симметрии гамильтоновых систем с малым параметром // Актуальные проблемы математики. Мат. методы в естествознании Межвуз. научн. сборник. - Уфа: Изд. УГА-ТУ, 1999.-С. 27-31.

8. Байков В.А., Гладков A.B. Приближенные симметрии и инвариантные решения некоторых моделей, имеющих хаотическое поведение // Симметрия и дифференциальные уравнения: Доклады международной конференции Красноярск: Изд-во ИВМ, 2000. - С. 31 - 34.

9. Воронков В.Г., Семенов H.H. Распространение холодного пламени в горючих смесях, содержащих 0.03 % сероуглерода // Ж. физ. хим. 1939.- Т. 13, N 12. С. 1695 - 1727.

10. Современные проблемы математики. Новейшие достижения". Т. 28. -С. 95 - 205.

11. Гладков A.B. Приближенные симметрии и отображения гамильтоновых систем с малым параметром // Вестник УГАТУ, 2001- N. 3- С. 214-218.

12. Гладков A.B., Дмитриева В.В., Шарипов P.A. О некоторых нелинейных уравнениях, сводящихся к уравнениям диффузионного типа // ТМФ -2000. Т. 123, N 1 - С. 26 - 37.

13. Гладков A.B., Царегородцев A.A. Групповые свойства анизотропных систем диффузионных уравнений // Актуальные проблемы математики. Мат. методы в естествознании Межвуз. научн. сборник. - Уфа: Изд. УГАТУ, 1999. - С. 90 - 94.

14. Данилов Ю.А. Групповой анализ систем Тьюринга и их аналогов. Препринт / Институт атомной энергии АН СССР. - М., 1980. - N 3287.

15. Дородницын В.А. Групповые свойства и инвариантные решения уравнения нелинейной теплопроводности с источником и стоком. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. - М., 1979. - N 57. - 31 с.

16. Дородницын В.А., Князева И.В., Свирщевский С.Р. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности с источникомв двумерном и трехмерном случаях. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. - М, 1982. -N 79.- 24 с.

17. Занг В.-Б. Синергетическая экономика: Время и премены в нелинейной экономической теории М.: Мир, 1999. - 335 с.

18. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1984. - 271 с.

19. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988- 368 с.

20. Зельдович Я.Б., Компанеец А.С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры. Сборник, посвещенный семидесятилетию академика А.Ф. Иоффе. - М.: Изд-во АН СССР, 1950.- С. 61 71.

21. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. - 280 с.

22. Князева И.В., Попов М.Д. Групповая классификация диффузионных уравнений. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР.- М., 1986. N 6.

23. Козлов В.В. О группах симметрий динамических систем // ПММ. 1988.- Т. 52, N 4.-0. 531 541.

24. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 1995. - 450 с.

25. Козлов В.В. Методы качественного анализа в механике твердого тела -Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. 256 с.

26. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С., Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме. Бюлл. МГУ. 1937. - 1 -N 6 - С. 1-26.

27. Овсянников J1.B. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 125, N 3. - С. 492 - 495.

28. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 400 с.

29. Роде A.A. Основы учения о почвенной влаге Т.1 JL: Гидрометеоиздат, 1965. - 664 с.

30. Румер Ю.Б., Рыбкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кибернетика М.: Наука, 1977. - 552 с.

31. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений М.: Наука, 1987 - 477 с.

32. Свирщевский С.Р. Групповые свойства модели теплопереноса с учетом релаксации теплового потока. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. - М., 1988. - N 105. - 16 с.

33. Трещев Д.В. Механизм разрушения резонансных торов гамильтоновых систем // Матем. сборник. 1989. - Т. 180, вып. 10. - С. 1325 - 1346.

34. Физическая энциклопедия // Гл. ред. A.M. Прохоров М.: Сов. энциклопедия, 1988. - Т. 1. Ааронова - Бома эффект - Длинные линии - 704 с.

35. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и тпелопередача в химической кинетике М.: Наука, 1967. - 490 с.

36. Фущич В.И., Штелень В.М. О приближенной симметрии и решениях нелинейного волнового уравнения с малым параметром // Докл. АН УССР. Сер. А. 1989. - N 8. - С. 18 - 21.

37. Aronson D.G. and Weinberger H.F. Multidimensional nonlinear diffusion arising in population genetics // Adv.Math. 1978. - Vol. 30.-P. 33 - 76.

38. Baikov V.A., Gladkov A.V. Approximate symmetries of systems of diffusion equations // Materials of International Conference MOGRAN X. Larnaka: University of Cyprus, 2004. - P. 15

39. Baikov V.A., Gladkov A.V. and Wiltshire R.J. Systems of nonlinear diffusion equations: a Lie symmetry analysis // Proceedings of the International Conference MGA VII Nordfjordeid, Norway, 1997. - P. 9 - 15.

40. Baikov V.A., Gladkov A.V. and Wiltshire R.J. Lie Symmetry classification analysis for nonlinear coupled diffusion //J. Phys. A: Math. Gen. 1998. -Vol. 31 - P. 7483-7499.

41. Bagderina Y.Y. Approximate Lie group analysis and solutions of 2D nonlinear diffusion-convection equations // J. Phys. A: Math. Gen. -2003. Vol. 36. -P. 753 - 764.

42. Baumann G., Lie symmetries of differential equations //A mathematica program to determine Lie symmetries. Wolfram Research Inc., Champaign, Illinois, MathSource 0202-622 1996.

43. Bohm M., Devinny J., Jahani F,., Rosen I.G. A moving boundary model for the corrosion of sewer pipes at sewage level // Preprint, CAMS at the Univ. of Southern California 1996.

44. Buchunchyk V.V. On symmetries of generalized diffusion equation // Proceedings of the International Conference "Symmetry in Nonlinear

45. Mathematical Physics Kiev: Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 1997. Vol. 1. - P. 237 - 240.

46. Champagne B., Winternitz P. A MACSYMA programm for calculating the symmetry group of a system of differential equations// Report CRM-1278 (Centre de Recherches Mathemématiques, Montréal, Canada) 1985.

47. Curtiss C.F. and Bird R.B. Multicomponent diffusion in polymeric liquids // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1996. - Vol. 93(15), - P. 7440 - 7445.

48. Deru M.P., Kirkpatrick A.T. Ground-coupled heat and moisture transfer from buildings, part 1 analysis and modeling // Journal of Solar Energy Engineering. - 2002. - Vol. 124, issue 1. - P. 10 - 16.

49. Foxman E.F., Kunkel E.J., Butcher E. C. Integrating Conicting Chemotactic Signals: The Role of Memory in Leukocyte Navigation //J. Cell Biol. 1999 - Vol. 147, N 3 - P.577 - 587.

50. Fudym O., Batsale J.C., Santander R. and Bubnovich V. Analytical solution • of coupled diffusion equations in semi-infinite media // Journal of Heat Transfer. 2004. - Vol. 126, issue 3. - P. 471 - 475.

51. Fushchich W.I., Shtelen W.M. On approximate symmetry and approximate solutions of the non-linear wave equation with a small parameter // J. Phys. A: Math. Gen. 1989. - Vol. 22. - P. L887 - L890.

52. Ganguly J. Diffusion kinetics in minerals: principles and applications to tectono-metamorphic processes // EMU Notes in Mineralogy 2002. - Vol. 4, ch. 10, - P. 271 - 309.

53. Galbraith G.H., Mclean R.C., Gillespie I., Guo J., Kelly D. Nonisomethermal moisture diffusion in porous building materials // Building research and information. 1998. - Vol. 26, no. 6, - P. 330 - 339.

54. Gazizov R.K. Lie algebras of approximate symmetries // Nonlinear Mathematical Physics. 1996. - Vol. 3, N 1-2. - P. 96 - 101.

55. Gazizov R.K. Representation of general invariants for approximate transformation groups //J. Math. Anal, and Appl. 1997. - Vol. 213, N 1. - P. 202 - 228.

56. Glicksman M.E. Diffusion in solids: field theory, solid-state principles and applications // ISBN: 0-471-23972-0 1999. - 498 p.

57. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Ed. N.H.Ibragimov, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA.

58. Vol. 1: Symmetries, Exact Solutions and Conservation Laws, 1994;

59. Vol. 2: Applications in Engineering and Physical Sciences, 1995.

60. Vol. 3: New Trends in Theoretical Development and Computational Methods,1996.

61. Hickman M. The use of Maple in the search of symmetries // Research report N 77 1993 - Departament of Mathematics ( University of Canterbury, Christchurch, New Zealand)

62. Horstmann D. Stevens A. A constructive approach to traveling waves in chemotaxis // J. Nonlinear Science 2004 - Vol. 14, N 1 - P. 1 - 25.

63. Hereman W. Review of symbolic software for the computation of Lie symmetries of differential equations // Euromath Bulletin 2 1999 - Vol. 2, N 1

64. Jackson R.D., Diurnal Changes in soil water content during drying // A R.R. Bruce et al. (Editors) Field soil water regime. //Soil Sci. Soc. Amer. Proc., Special Pub. 1973. - 5 - P. 37 - 55.

65. Jackson R.D., Reginato R.J., Kimball B.A. and Nakayama F.S. Diurnal soil-water evaporation: comparison of measured and calculated soil-water fluxes // Soil Sci. Soc. Amer. Proc. 1974. - 38 - P. 861 - 866.

66. Jury W.A., Letey J, Stolzy L.H. Flow of water and energy under desert conditions // Water in Desert Ecosystems, edited by Evans D.D., Thames J.L. 1981- P. 92 - 113.

67. Keller E.F. and Segel L.A. Model for chemotaxis // J. Theor. Biol., 1971. -Vol. 30 P. 225 - 234.

68. Keller E.F. and Segel L.A. Traveling bands of chemotaxis // J. Theor. Biol.,. 1971. Vol. SO, N 2 - P. 238 - 248.

69. KennedjC.R., ArisR. Traveling waves in a simple population model involving growth and death // Bull. Math. Biol.- 1980.- Vol. 42- P. 397 429.

70. Liang Y., Richter F.M. and Watson E.B. Diffusion in silicate melts: II multicomponent chemical diffusion in CaO — — SÍO2 at 1500 °C and 1 GPa // Geochim. Cosmochim. Acta.- 1996. Vol. 60, - P. 5021 - 5035.

71. Lauffenburger D., Aris R., Keller K. Effects of cell motility and Chemotaxis on microbial population growth // Biophys. J. 1982 - 40 - P. 209 - 219.

72. Lauffenburger D. Quantitative studies of bacterial Chemotaxis and microbial population dynamics // Microbial Ecology 1991 - 22, P. 175 - 185.

73. Le D., Smith H.L. Steady states of models of microbial growth and competition with Chemotaxis // J.M.A.A. 1999 - 229 - P. 295 - 318.

74. Loomis T.P. Multicomponent diffusion in garnet: I. Formulation of isothermal models // Am. J. Sei. 1978. - 278 - P. 1099-1078.

75. Mungall James E., Romano Claudia, and Dingwell Donald B. Multicomponent diffusion in the molten system K20 — Na20 — А12Оз — Si02 H20 // American Mineralogist. - 1998. - Vol. 83, - P. 685 - 699.

76. Munier A., Burgan J.R., Gutierres J., Fijalkov E., Feix M.R. Group transformations and the nonlinear heat diffusion equation // SIAM, J. Appl. Math. 1981. - Vol. 40, N 2. - P. 191 - 207.

77. Murray J.D. Mathematical biology // Springer Verlag. 1989.

78. Nikitin A.G. and Wiltshire R.J. Symmetries of systems of nonlinear reaction-diffusion equations // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2000. - Vol. 30. - Part 1. - P. 47 - 59.

79. Noether E. Invariante variations probleme // Kgl. Ges. Wiss., Nachr., Göttingen, Math. Phys. Kl. - 1918. - P. 235 - 257. (Перевод в кн.: Вариационные принципы механики. - М.: Физматгиз, 1959. - С. 611 - 630.)

80. Onsager L. Reciprocal relations in irreversible processes-I // Phys. Rev. -1931. 37. - P. 405 - 426.

81. Onsager L. Reciprocal relations in irreversible processes-II // Phys. Rev. -1931. 38. - P. 2265 - 2279.

82. Oron A., Rosenau P. Some symmetries of the nonlinear heat and wave equations // Phys. Lett. A. 1986. - Vol. 118, N 4. - P. 172 - 176.

83. Patlak C.S. Random walk with persistence and external bias // Bull, of Math. Biophys. 1953 - 15 - P. 311 - 338.

84. Philip J.R. and D.A. de Vries Moisture movement in porous media under temperature gradient // Transactions American Geophysical Union 1957 -38 (2)- P. 222 - 231.

85. Rose C.W. Water transport in soil with a daily temperature wave. I Theory and experiment // Aust.J.Soil.Res. 1968. - a. - 6, - P. 31 - 44.

86. Rose C.W. Water transport in soil with a daily temperature wave. II Analysis // Aust.J.Soil.Res. 1968. - b. - 6, - P. 31 - 44.

87. Sánchez-Madrid F., Pozo M.A. Leukocyte polarization in cell migration and immune interactions // The EMBO J. 1999 - Vol. 18, N 3. - P. 501 - 511.

88. Sanjuan N., Cárcel J.A., Clemente G., Mulet A. Modelling of the rehydration process of brocolli florets // European food research and technology. 2001. - Vol. 212, N4.-P. 449 - 453.

89. Schwarz F. The package SPDE for determining symmetries of partial differential equations // User's Manual. Distributed with REDUCE 3.3 (Rand Corporation, Santa Monica, California) 1987.

90. Sophocleous C. Potential symmetries of nonlinear diffusion-convection equations //J. Phys. A: Math. Gen. 1987. - Vol. 29. - P. 6951 - 6959.

91. Taylor Ross, Krishna R. Multicomponent Mass Transfer // 1993. - 616 p.

92. Unal G. Algebraic integrability and generalized symmetries of dynamical systems // Physics letters A. 1999. - Vol. 260, - P. 352 - 359.

93. Wang G., Reckhorn S.B., Grathwohl P. Volatile organic compounds volatilization from multicomponent organic liquids and diffusion in unsaturated porous media // Vadose Zone Journal, Soil science society of America- 1999.- 2. P. 692 - 701.

94. Wiltshire R.J. The use of Lie transformation groups in the solution of the coupled diffusion equation // J. Phys. A:Math.Gen. 1994. - Vol. 27. -P. 7821 - 7829.

95. Wiltshire R.J. Perturbed Lie symmetry and systems of non-linear diffusion equations //J. Nonlinear Mathematical Physics. 1996. - Vol. 3, N 1-2. -P. 130 - 138.

96. Yung C.M., Verburg K., Baveye P. Group classification and symmetry reductions of the non-linear diffusion-convection equation ut = (D(u)ux)x — K'(u)ux // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1994. - Vol. 29, AT 3. - P. 273 -278.

97. Zhang Z.-T., Dong Y.-D., Li R.-H. Research on the multicomponent diffusion theory and its application to the calculation of evaporation histories of multicomponent droplets // Proceedings of Gas Turbine Symposium and Exposition Beijing: 1985. - P. 7.

98. Zulehner W., Ames W.F. Group analysis of a semilinear vector diffusion equation // Nonlinear Anal., Theory, Methods, Appl. 1983. P. 945.