Априорные оценки и существование ограниченных во всей плоскости решений квазилинейных эллиптических систем первого и второго порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Джабборов, Абдукудус Абдуманонович

• Джабборов, Абдукудус Абдуманонович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Джабборов, Абдукудус Абдуманонович

Введение

Глава 1. Вспомогательные утверждения

§1. Основные вспомогательные факты

§2. Оператор Т и его свойства---------------------------.-.

Глава 2. Ограниченные и периодические решения квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка

§ 1. Априорные оценки ограниченных решений.-.

§2. Априорные оценки периодических решений

§3. Существование периодических и ограниченных решений

3.1. Эквивалентность уравнения векторному полю.-.

3.2. Вращение векторного поля —.

3.3. Существование периодических и ограниченных решений

Глава 3. Ограниченные и периодические решения квазилинейных эллиптических систем двух уравнений

§1. Априорные оценки ограниченных решений

§2. Априорные оценки периодических решений.

§3. Существование периодических решений

3.1. Эквивалентность задачи векторному полю------------------.

3.2. Вращение векторного поля и существование периодических и ограниченных решений.

3.3. Пример.—.-.—.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Априорные оценки и существование ограниченных во всей плоскости решений квазилинейных эллиптических систем первого и второго порядка»

Актуальность темы. Исследование задач об ограниченных во всей плоскости, а также двояко-периодических решений квазилинейных эллиптических уравнений и систем является особенно важным в связи с тем, что такие задачи изучены сравнительно мало. В диссертации изучаются квазилинейное уравнение вида

A w = P(z,w,w-) +f(z,w,w~) (1) и эллиптические системы вида w-z = P(z,w,co) + f(z,w,co), 10-z=Q(z,w,0)) +g{z,w,co).

Здесь функции P и Q двояко-периодические по г с основными периодами 2л и 2т, положительно однородные порядков т > О и к > О, соответственно, по переменным w,co, т.е.

P(z,hv, Ясо) = XmP(z,w,со), Q(zjw,/La?) = XkQ(z,w,co), А>0, а функции f(z,w,ci)) и g(z,w,a>) удовлетворяют условиям f{z,w,co)\<fr{r\ \g{z,w,0))\< Рг{г\ (3) где

Рх (г) = о(г"'), /?2 (г) = о(гк) при г со, г = |w| + \со\.

Основополагающими работами по эллиптическим уравнениям и системам на плоскости являются труды М.А.Лаврентьева, И.Н.Векуа, Л.Берса, Л.Г.Михайлова, их учеников и последователей (см., например, [1,8-14, 27 - 30]). Для линейных уравнений и систем в регулярном случае И.Н.Векуа и в сингулярном случае Л.Г.Михайловым построены достаточно полные теории (см., например, [11 - 14, 27 - 29]). Нелинейным, в частности квазилинейным эллиптическим уравнениям на плоскости посвящены сравнительно мало работ. Различные вопросы, такие как представление решений, краевые задачи, ограниченные и периодические решения, распространение теоремы Лиувилля для нелинейных и квазилинейных уравнений на плоскости изучены в работах И.Н.Векуа, Л.Г.Михайлова, В.С.Виноградова, Э.Мухамадиева, В.Тучке, Л.Вольферсдорфа, А.И.Янушаускаса и др. (см., например, [13, 17, 20 - 27, 29 - 34, 36, 44 -48]). Для квазилинейных систем вида w-=P(z,w) + f(z,w), где функции Р и / удовлетворяют условиям, аналогичным выше перечисленным, в ряде работ С.Байзаева (см. [2 - 7]) изучены задачи о периодических и ограниченных решениях, а также распространение принципа максимума модуля и теоремы Лиувилля на решения таких систем.

Цель работы. Для квазилинейного уравнения (1) и системы (2):

- исследовать задачи о двояко-периодических и ограниченных на всей плоскости решениях;

- найти условия на главные члены правой части, при которых существует двояко-периодическое (ограниченное на всей плоскости) решение.

Общие методы исследования. В диссертации применяются методы теории функций комплексного переменного, теории обобщенных аналитических функций и теории вращения вполне непрерывных векторных полей в банаховом пространстве.

Научная новизна. Основные результаты диссертации.

1. Для уравнения (1) в терминах функции Р получены условия существования двояко-периодических (ограниченных на всей плоскости) решений.

2. Для системы (2) в терминах функций Р и Q найдены условия существования двояко-периодических (ограниченных на всей плоскости) решений.

3. Найдены признаки наличия равномерных априорных оценок вместе с производными для ограниченных на всей плоскости, а также двояко-периодических решений уравнения (1).

4. Найдены признаки наличия равномерных априорных оценок для ограниченных на всей плоскости, а также двояко-периодических решений системы (2).

5. Вычислены вращения нелинейных векторных полей, соответствующие двояко-периодическим решениям уравнения (1) и системы (2).

Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные в работе результаты носят теоретический характер и являются важными в теории квазилинейных эллиптических уравнений на плоскости. Они могут быть применены при изучении краевых задач для уравнения (1) и системы (2)

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены в международных научных конференциях «Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений» (Россия, Воронеж - 2003 г.), «Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами» (Душанбе, 25 - 28 октября 2003 г.), «Актуальные проблемы математики и ее приложения» (Худжанд, 29 - 31 мая 2003 г.), «Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа» (Душанбе, 6-10 ноября 2005 г.) и конференции молодых ученных Согдийской области (17-21 мая 2006 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 6 работ [37 - 42]. Все результаты диссертации принадлежат лично автору, за исключением постановки задач в совместных с С. Байзаевым работах.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Текст диссертации насчитывает 90 страниц. В списке литературы - 48 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Джабборов, Абдукудус Абдуманонович, 2006 год

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллитических уравнений вблизи границы. М.: ИЛ, 1962.

2. Байзаев С. О существовании периодических решений нелинейной обобщенной системы Коши-Римана. Доклады АН ТаджССР, 1981, Т. 24, №2, С. 75-79.

3. Байзаев С. Принцип максимума модуля и градиента решения квазилинейных эллиптических уравнений. Доклады АН ТаджССР, 1984, Т. 28, №5. С. 481-484.

4. Байзаев С. Эллиптические системы с ограниченными коэффициентами на плоскости. Новосибирск. 1999. 74 с. (Препринт 41/ НИИ дискретной математики и информатики).

5. Байзаев С., О периодических решениях нелинейной обобщенной системы Коши-Римана, Доклады АН Тадж.ССР, 1979, Т. 22, №1 С.3-6.

6. Байзаев С. Периодические и ограниченные решения нелинейных систем Коши-Римана. Диссертация. АН Тадж.ССР. Математический институт с ВЦ. Душанбе. 1982.

7. Байзаев С., Принцип максимума и теоремы существования ограниченных решений нелинейных эллиптических систем, Доклады, АН Тадж.ССР, 1982, Т. 25, №9.

8. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, М., «Мир», 1966.

9. Бицадзе А.В., Некоторые классы уравнений в частных производных, М., «Наука», 1981.

10. Блиев Н.К. Обобщенные аналитические функции в дробных пространствах. Алма-Ата, 1985.

11. Векуа И.Н., Новые методы решения эллиптических уравнений. ОГИЗ, М-Л., 1984, 296с.

12. Векуа И.Н. Системы дифференциальных уравнений первого порядкам эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек,- Мат. сб., 1952, Т. 31(73), вып. 2, С. 217-314.

13. Векуа И.Н., Неподвижные особые точки обобщённых аналитических функций, ДАН СССР 1962, 145, №1 24-26.

14. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.:Наука, 1988, 509с.

15. Виноградов B.C. О теореме Лиувилля для обобщенных аналитических функций. ДАН СССР, 1968, Т. 183, №3, с.503-506.

16. Виноградов B.C. О теореме Лиувилля для уравнения обобщенных аналитических функций. Дифференциальные уравнения, 1980, Т. 16, №1, с.42-46.

17. Виноградов B.C. Об одной задаче для квазилинейных систем уравнений на плоскости. ДАН СССР, Т. 121, №4, с.579-582.

18. Виноградов B.C., О теоремах Лиувилля для уравнения обобщённых аналитических функций, Дифф.уравнения 16, №1 (1980), 42-46.

19. Владимиров B.C., Уравнения математической физики, М., «Наука», 1981.

20. Гусейнов А.И., Абдурагимов М.А., Об одной квазилинейной системе уравнений эллиптического типа, ДАН СССР, 1977, 232, №1,9-12.

21. Дубинский Ю.А., Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка. УМН 23,1(139), (1968), 45-90.

22. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., «Наука», 1975.

23. Кучмент П.А. Представления решений периодических дифференциальных уравнений в частных производных. Изв. АН СССР сер. Ма-тем.,1982, Т. 46, с.782-809.

24. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М., «Наука», 1973.

25. Лере Ж., Шаудер Ю., Топология и функциональные уравнения, УНН, 1, вып. 3-4 (1946).

26. Лионе Ж.Л., Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, М., «Мир», 1972.

27. Михайлов Л.Г. Краевая задача типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и некоторые интегральные уравнение, Ученые записки. Труды физ.мат. -та Тадж.гос.ун-та 10 (1957), 32-79.

28. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами, АН Тадж.ССР, отдел физики и математики, Душанбе, 1963.

29. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Душанбе. «Дониш»-1986, 116с.

30. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, СО Наука, 1977,424 с.

31. Мухамадиев Э.М. К теории периодических решении нелинейных систем эллиптического типа ДАН СССР, 1973. Т. 207, №5.

32. Саркисян С.Ц. О разрушении решений систем уравнений с частными производными, Докл.АН Армянской ССР, 1963, 36, №5, 271-276.

33. Саркисян С.Ц. Свойство решений систем Коши-Римана с нелинейными правыми частями, Докл.АН Армянской ССР, 1963, 36, №3.

34. Тучке В. О задаче Римана-Гильберта для нелинейных систем уравнений первого порядка эллиптического типа, «Диф. и интег. уравнения, краевые задачи», Тбилиси, 1979, 257-261.

35. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969, 576с.

36. Янушаускас А.И. Многомерные эллиптические системы с переменными коэффициентами. Вильнюс: Мокслас, 1990, 180с.

37. Байзаев С., Джабборов А. О дважды периодических решениях эллиптических систем второго порядка. Труды международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе. 25-28 октября 2003г., С. 37-39.

38. Джабборов А.А.Об априорной оценке и существовании ограниченных и периодических решений квазилинейных эллиптических систем второго порядка на плоскости. Доклады АН РТ, 2004, Т. 47, №4, С. 81-85.

39. Джабборов А.А. Существование ограниченных и периодических решений квазилинейных эллиптических систем двух уравнений на плоскости. Вестник университета права, бизнес, политика. 3-4 ноября 2005, С.64-66.

40. Джабборов А.А. Оператор Т и его свойства. Материалы конференции молодых ученых Согдийской области. -21 мая 2006, С.75-76

41. Bers L., Theory of Pseudo Analitic Functions, New Jork, 1953.

42. Tutschke W., Reduction of the problem of Linear conjugation for first order nonlinear elliptic system in the plane to an analogous problem for holomoric functions? "Lest. Notes Math.", №798 (1980), 446-455.

43. Wolfersdorf L., Monotonicity methode for a class of first order semilinear elliptic differential equation systems in the plane, v. "Math. Nachr.", 100 (1981), 187-212.

44. Wolfersdorf L., A class of nonlinear Riemann-Hilbert problems for holo-morpic functions, v. "Math. Nachr.", 1984, 116, p.89-107.

45. Differential Equations and Mathematical Physics. Abstr. Lnt. Symp Dedi-cat. 90-th Birthday Anniv. Acad. L.Vecua, Tbilisi, 1997.

46. Softova L. An integral estimate for nonlined elliptic equations in the plane. Z.Anal.und Anwend. 1998, 17, №1, p.57-66.