Базисные свойства функции Рамануджана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Снурницын, Павел Владимирович

• Снурницын, Павел Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Снурницын, Павел Владимирович

Обозначения

Введение

Глава 1. Функция Рамануджана и ее свойства

1.1 Пространство модулярных форм.

1.2 Определение и основные свойства функции Рамануджана

1.3 Свойства множества значений функции Рамануджана.

Глава 2. Асимптотические формулы и оценки в проблемах

Варинга—Гольдбаха и Варинга

2.1 Круговой метод в проблемах Варинга-Гольдбаха и Варинга

2.2 Асимптотическая формула для точек первого класса и оценка тригонометрической суммы в проблеме Варинга-Гольдбаха

2.3 Асимптотическая формула для точек первого класса и оценка тригонометрической суммы в проблеме Варинга.

Глава 3. Аддитивная задача с функцией Рамануджана

3.1 Разрешимость в проблеме Варинга-Гольдбаха специального вида.

3.2 Доказательство основной теоремы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Базисные свойства функции Рамануджана»

Проблемы изучения базисных свойств различных последовательностей относятся к области аддитивной теории чисел. Исторически первой решенной задачей аддитивной теории чисел можно считать теорему Лагранжа о возможности представления всякого натурального числа в виде суммы не более чем четырех квадратов целых чисел. Если учесть, что существует бесконечная последовательность чисел не представимых суммой трех квадратов, то говорят, что квадраты целых чисел образуют базис множества натуральных чисел порядка 4.

Пусть А С Z. Будем говорить, что множество Л является базисом порядка не более чем к множества Z, если каждое число N Є Ъ можно представить в виде суммы не более чем к слагаемых из множества А. Множество А будем называть базисом порядка не более чем к для достаточно больших чисел, если существует такое No, что каждое число N Є Z такое, что \N\ > No, представляется в виде суммы не более чем к слагаемых из А. Аналогично определяется порядок базиса для множества N.

Отметим, что в тех случаях, когда не удается установить точный порядок базиса, ставится вопрос об установлении верхней границы для порядка базиса. Важно подчеркнуть, что в задачах о базисных свойствах конкретных множеств играет важную роль вопрос о связи аддитивной и мультипликативной структур натурального ряда. В связи с этим возникает большое количество арифметических задач.

Классическими примерами аддитивных задач являются проблема Гольдбаха, проблема Варинга и проблема Варинга-Гольдбаха.

В 1742 г. К. Гольдбах выдвинул предположение о представимости целых чисел в виде суммы простых чисел. В современной постановке гипотеза Гольдбаха может быть сформулирована следующим образом: каждое четное целое число N ^ 4 представимо в виде суммы двух простых чисел, каждое нечетное целое число N ^ 7 представимо в виде суммы трех простых чисел. Эти утверждения принято называть бинарной и тернарной проблемами Гольдбаха соответственно. В 1923 г. Г.Х. Харди и Дж.И. Литтлвуд [4, 5], используя круговой метод, доказали в предположении обобщенной гипотезы Римана, что каждое достаточно большое нечетное число представимо в виде суммы трех простых чисел. В 1937 г. И.М. Виноградов [22] дал новое безусловное решение тернарной проблемы Гольдбаха. Отметим, что для числа представлений N в виде суммы трех простых слагаемых справедлива асимптотическая формула где ©(ТУ) — особый ряд проблемы Гольдбаха, при этом > 0.

В 1770 г. Э. Варинг выдвинул гипотезу, являющуюся обобщением теоремы Лагранж о четырех квадратах. Проблема Варинга может быть сформулирована в виде: каждое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде

N = х71 + + • • • + где XI, Х2, . . . ,ХГ Е М, Г ^ С(п), ТО есть множество 71-ых степеней образует базис для достаточно больших чисел порядка не более чем С(п). В такой постановке важным является вопрос об установлении верхней оценки величины С?(п) как функции от п. В 1909 г. Д. Гильберт [6] доказал существование <2(п) в проблеме Варинга. Используя круговой метод, Г.Х. Харди и Дж.И. Литтлвуд получили следующую асимптотическую формулу для числа представлений N в виде суммы п-ых степеней г(1 + 1У

Г(п) где г > (п — 2)2п~1 4- 5, G(N) — особый ряд проблемы Варинга, причем <&(N) > 0. Отсюда также следует оценка для G(n)

G(n) < (n - 2)27l1 + 5.

В 1934-1935 гг. И.М. Виноградов [20, 21] получил значительные улучшения в асимптотической формуле и оценке G(n), в частности, имеет место оценка вида

G(n) ^ cn log п + О (log log n).

Отметим, что И.М. Виноградов посвятил серию работ улучшению константы с [20, 23].

Первое упоминание задачи о представимости натуральных чисел степенями простых чисел по-видимому принадлежит О. Коши [1]. Эта задача называется проблемой Варинга-Гольдбаха, так как с одной стороны является обобщением проблемы Варинга, с другой стороны — проблемы Гольдбаха. Ее современная постановка состоит в том, что каждое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде суммы ограниченного числа простых степеней, то есть уравнение

N = pn1+pn2 + ---+pnr, разрешимо в простых числахPi,P2, ■ ■ ■ ,Рг, и г ^ V{n).

В работах И.М. Виноградова и Хуа Ло-кена [17, 7] (см., также, [32]) были получены результаты, которые могут быть сформулированы в следующем виде: для числа решений уравнения

N = Pi + Р2 + ■ • ■ + V в простых числахр1,р2, ■ • • ,Рг справедлива следующая асимптотическая формула г

Г (! + - ) лтг 1 п АГп-1

I(N)--4 /T J &(N) при

2n + 1, если 1 < n ^ 5, 7

Г ^ -2n + 1, если 6 ^ n ^ 8, 8 n2(logn + log log n + 0( 1)), если n > 8; где ©(AT) — особый ряд проблемы Варинга-Гольдбаха. При этом, если г ^ Зп + 1 и г = N (mod р7) для таких р что (р — 1)|п (число 7 определяется так, что р7-1 || n, р ф 2 и 27-2 || п), то ©(iV) > 0.

В 2009 г. Ф.С. Авдеев, Г.И. Архипов, В.Н. Чубариков [18] дали полное решение проблемы Варинга-Гольдбаха.

Более подробный обзор результатов относительно основных задач аддитивной теории чисел можно найти в работе [9].

Настоящая диссертация посвящена аддитивным задачам, связанным с функцией Рамануджана. Напомним, что функция г может быть определена как коэффициент разложения оо оо q П(1-9п)24 = Ег(п)9п.

71=1 П=1 см. [13, 8].

Первым результатом, связанным с базисными свойствами функции Рамануджана, можно считать следующий [14]

Теорема. Если I ^ 2,3, 5, 7, 23, 691 — простое, х — достаточно большое то т(п) (mod I) : п ^ х}\ — I.

Таким образом, для достаточно большого х каждый класс вычетов по модулю I может быть записан в виде т(п) (mod I) для некоторого п ^ х.

В 2005 г. И.Е. Шгіарлинский в работе [16] доказал следующее свойство множества значений т-функции.

Теорема. Справедливы оценки т(п) : п ^ ж}| ^ т(п) (mod l):n^x}| ^ min^+^ï+s), где є > 0.

В той же работе было доказано, что множество значений функции Рама-нуджана образует конечный аддитивный базис по модулю простого числа I.

Теорема. Существует целое число s такое, что для любого целого а сравнение s

У^ т(щ) = a (mod I) i'=i разрешимо в натуральных числах щ,. ns ^ Iа .

В 2008 г. М.З. Гараев, B.C. Гарсиа, C.B. Коиягин [25] доказали, что множество значений функции Рамануджана образует конечный аддитивный базис множества целых чисел порядка 74000. Именно, имеет место следующее утверждение.

Теорема. Для любого целого числа N диофантово уравнение

74000

Еr w = N г=1 разрешимо в натуральных числах щ,. .П74000, удовлетворяющих условию 2 max щ <С |iV|ïï. 1 ^¿<74000

В той же работе были получены результаты для кольца вычетов по модулю простого числа I.

Теорема. Для любого целого а сравнение

16 32

У^ т{щ) - г(п0 = а (mod О i=1 ¿=17 имеет место для некоторых натуральных чисел щ,. , П32, удовлетворяющих условиям max щ Z2(logZ)4, (n;ni6+j, 23!) = 1. Следствие. Для любого целого а сравнение

96

У] т{щ) = a (mod Z) г=1 разрешимо в натуральных числах щ,. .щв, удовлетворяющих условиям max щ <С Z2(logZ)4.

1<г^96 4

Таким образом для некоторой положительной константы С множество т(п) (mod 1) : п ^ CZ2(logZ)4} образует конечный аддитивный базис порядка не более 96 кольца вычетов Z/ZZ.

Теорема. Для любого целого а и любого є > 0 сравнение

16 г(пг) = a (mod I) г=і разрешимо в натуральных числах щ,. .tiiq, удовлетворяющих условиям max щ С Z3+£.

В работе [3] М.З. Гараев, B.C. Гарсиа, C.B. Конягин получили следующее улучшение

Теорема. Для любого целого числа N уравнение

148000

Е тМ = N i=1 разрешимо в натуральных числах ni,. п^ооо, причем ЛГ| 2. с '°g[N| max Wj < AT "е lo8loeiwi. 1^148000 1 где с > 0 — абсолютная постоянная.

В данной диссертации доказано, что множество значений функции Рама-нуджана образует аддитивный базис множества целых чисел порядка 7544, что улучшает результат 74000 работы [25].

Первая глава диссертации посвящена изложению основных свойств функции Рамануджана. Сформулированы свойства мультипликативности функции Рамануджана, доказаны простейшие свойства множества значений функции Рамануджана. Приведено доказательство вспомогательных утверждений, необходимых для доказательства основного результата. Именно, доказано, что одиннадцатые степени простых чисел специального вида представляются в виде линейной комбинации значений функции Рамануджана с коэффициентами ±1. Доказано, что всякое натуральное число < 370944 представимо суммой 198 значений функции Рамануджана [25].

Вторая глава посвящена получению асимптотических формул и оценок, связанных с проблемами Варинга-Гольдбаха и Варинга. Именно, пусть

0; 1] = ETCUm разбиение единичного интервала на множества точек первого и второго классов в проблеме Варинга-Гольдбаха (см. гл. 2).

S(a) = J2 е(арп), р^М тг 11

J(M,r) = J S(a)re(—aM)da. sat тогда справедливы следующие результаты.

Теорема. При г ^ 23 имеет место асимптотическая формула

ДМ г) = г) мАг-1 + о (Mi^Lh^sM)

1 > ( ' '(logMY+ u\(iogMY logM )' где &(M,r) — особый ряд проблемы.

Теорема. При г ^ 23 существует ис зависящая от М постоянная А > О такая, что б(М,г) ^ А.

Теорема. Для любого Bq > 0 на втором классе выполняется оценка тригонометрической суммы

Мп max|S,(o;)| «С --rjrrrает 1 V Л (log М)В°

Аналогично, пусть

0; 1] = Ж' U ш' разбиение единичного интервала на множества точек первого и второго классов в проблеме Варинга (см. гл. 2).

S0(a) = J2 е(ахп),

Х^Ро

J'{M,U,r) = J \S0(a)\2re(-aU)da. юг

Теорема. При г > 11 имеет место асимптотическая формула

3\М, и, г) = ЩМ, и, г)&0(и, г)М"г1 + О причем величины^о{М,и,г), &о(и,г) ограничены.

Теорема. На втором классе выполняется оценка тригонометрической суммы тах|50(а)| «М"^', где р ~ аЄт' 1

7657

Третья глава посвящена доказательству основного .результата диссертации.

Теорема. Для любого целого числа N уравнение

7544 г=1 разрешимо в натуральных числах пі,. ,71.7544, причем 2 max щ <С liVI". 1<г^7544 1

Доказательство теоремы опирается на разрешимость уравнения типа Варинга-Гольдбаха в простых числах специального вида. Обозначим через J2 множество простых чисел не превосходящих Ми и удовлетворяющих дополнительным условиям (см. гл. 1).

Теорема. Для достаточно большого четного М уравнение

204 р.и = м г=1 разрешимо в числах pi,. ,рго4 Є

Доказательство этого утверждения основано на результатах главы 2. Доказательство проводится с использованием кругового метода и рассмотрения уравнения содержащего «телескопическую» систему. Отметим, что число слагаемых в этом уравнении зависит от порядка понижения в оценке тригонометрической суммы, то есть значение 204 получается из вычислений, включающих число 1/7657. Отметим также, что в работе [25] вместо разрешимости уравнения с числом слагаемых 204 использовалась разрешимость подобного уравнения с числом слагаемых 2050.

Диссертация состоит из введения, трех глав, библиографии (32 наименований). Общий объем диссертации составляет 70 с. Основные результаты исследования по теме диссертации опубликованы в работах автора [30], [31], [29].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Снурницын, Павел Владимирович, 2011 год

1. Couchy A.L., "Démonstration du théorème général de Fermât sur les nombres polygones", Mém. Sei. Math. Phys. 1.st. France (1), 14 (1813-15), 177-220.

2. P. Deligne, "La conjecture de Weil. I", Publ. Math. Inst. Hautes Étud. Sei., 43 (1974), 273-307.

3. M.Z. Garaev, V.C. Garcia, S.V. Konyagin, "The Waring problem with the Ramanujan r-function. II", Canad. Math. Bull, 52:2 (2009), 195-199.

4. G.H. Hardy, J.E. Littlewood, "Some problems of "Partitio Numerorum". III. On the expression of a number as a sum of primes", Acta Math., 44 (1923), 1-70.

5. G.H. Hardy, J.E. Littlewood, "Some problems of "Partitio Numerorum". V. A further contribution to the study of GoldbachYs problem", Proc. London Math. Soc. (2), 22 (1923), 46-56.

6. D. Hilbert, "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsche Problem)", Math. Ann., 67 (1909), 281300.

7. L.K. Hua, "Some results in the additive prime number theory", Quart. J. Math. Oxford, 9 (1938), 68-80.

8. H. Iwaniec, Topics in classical automorphic forms, Grad. Stud. Math., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.

9. A.V. Kumchev, D.I. Tolev, "An invitation to additive prime number theory" Serdica Math. J., 31 (2005), 1-74.

10. Murty M. Ram, Murty V. Kumar, Shorey T.N., "Odd values of the Ramanujan r function", Bull. Soc. Math. Prance, 115 (1987).

11. D. Niebur, "A formula for Ramanujan's t-function", Illinois J. Math., 19 (1975), 448-449.

12. B. van der Pol, "On a non-linear partial differential equation satisfied by the logarithm of the Jacobian theta-functions, with arithmetical applications. I, II", Indagationes Math., 13 (1951), 261-271, 272-284.

13. S. Ramanujan, "On certain arithmetical functions", Trans. Cambridge Philos. Soc., 22:9 (1916), 159-184.

14. J.-P. Serre, "Congruences et formes modulaires d'après H.P.F. Swinnerton-DyerJ", Séminaire Bourbaki, 24e année (1971/1972), Exp. No. 416, Lecture Notes in Math., 317, Springer, Berlin, 1973, 319-338

15. Serre J.-P., "Quelques applications du thorèrne de densité de Chebotarev" Publ. Math. Inst. Hautes Étud. Sci., 54, 123-201 (1981).

16. I.E. Shparlinski, "On the value set of the Ramanujan function", Arch. Math., 85:6 (2005), 508-513.

17. I. Vinogradow, "Some theorems concerning the theory of primes", MaTeM. c6., 2(44):2 (1937), 179-195.

18. Ф.С. Авдеев, Г.И. Архипов, В.Н. Чубариков, "О проблеме Варинга-Голъдбаха", Современные проблемы математики и механики 3:1 Изд-во. Моск. ун-та, М., 2009.

19. Г.И. Архипов, A.A. Карацуба, В.Н. Чубариков, Теория кратных тригонометрических сумм, Наука, М., 1987.

20. И.М. Виноградов, "О верхней границе G(n) в проблеме Барита", Изв. АН СССР. VII серия. Отделение математических и естественных наук, 10 (1934), 1455-1469.

21. И.М. Виноградов, "Новый вариант вывода теоремы Варинга", Тр. Ма-тем. ин-та им. В. А. Стеклова, 9, Изд-во АН СССР, M.-JL, 1935, 5-15.

22. И.М. Виноградов, "Представление нечетного числа суммой трех простых чисел", Докл. АН СССР., 15:6 (1937), 291-294.

23. И.М. Виноградов, "К вопросу о верхней границе для G(n)", Изв. АН СССР. Сер. матем., 23:5 (1959), 637-642.

24. И.М. Виноградов Метод тригонометрических сумм в теории чисел, Наука, М., 1980.

25. М.З. Гараев, B.C. Гарсиа, C.B. Конягин, "Проблема Варинга с т-функцией Раманудо/сана", Изв. РАН. Сер. матем., 72:1 (2008) , 39-50.

26. A.A. Карацуба, Основы аналитической теории чисел, Наука, М., 1983.

27. К. Прахар, Распределение простых чисел, Мир, М., 1967.

28. Ж.-П. Серр, Курс арифметики, Мир, М., 1972.

29. Снурницын П.В., "Об одном свойстве функции Рамануджана", Материалы международной научно-практической конференции «Математика