Бикомпактные разностные схемы и численная диагностика особенностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Корякин, Павел Владимирович

• Корякин, Павел Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Корякин, Павел Владимирович

Введение

1 Бикомпактные разностные схемы

1.1 Построение схем.

1.1.1 Метод прямых.

1.1.2 Пространственная аппроксимация.

1.1.3 Схема точности 0(h2).

1.1.4 Схема точности 0(/г4).

1.1.5 Интегрирование по времени.

1.2 Исследование устойчивости.

1.2.1 Схема точности 0{Ь?).

1.2.2 Схема точности ö(hA).

1.2.3 Иллюстрация спектров

1.2.4 Функция устойчивости.

1.3 Расчёты.

1.3.1 Пример расчёта по схеме точности 0(т2 + h2).

1.3.2 Пример расчёта по схеме точности О (г2 +

1.4 Двумерные задачи.

1.4.1 Треугольная сетка.

1.4.2 Произвольные сетки.

2 Диагностики особенностей точных решений при численном интегрировании дифференциальных уравнений

2.1 Предыстория и постановка задачи.

2.2 Разностные схемы интегрирования ОДУ.

2.3 CROS для задач с особенностями точного решения

2.4 Результаты расчётов задач с сингулярностью.

2.5 Диагностика сингулярности при расчётах с контролем точности.

3 Интегрирование системы уравнений , диффузионнодрейфовой модели полупроводника

3.1 Полуроводники.

3.1.1 Процессы травления и легирования.

3.2 Фундаментальная система уравнений полупроводника и диффузионно-дрейфовое приближение.

3.3 Бикомпактная аппроксимация для диффузионно-дрейфовой модели.

3.4 Результаты расчётов.

3.4.1 Статическая вольт-амперная характеристика

3.4.2 Динамическая вольт-амперная характеристика

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бикомпактные разностные схемы и численная диагностика особенностей»

Компетентность вычислителя обратно пропорциональна мощности его ЭВМ.

Автор не известен.

Настоящая диссертационная работа посвящена двум актуальным проблемам численных методов. Первая рассматриваемая проблема -это численное интегрирование дифференциально-алгебраических систем уравнений в слоистых средах. Вторая - диагностика особенностей (определение их положения и типа) точных решений при численном интегрировании дифференциальных уравнений.

Целями данной работы было, во-первых, разработать надёжный численный алгоритм, позволяющий решать широкий круг задач в слоистых средах. Во-вторых, разработать методику, позволяющую при численном интегрировании дифференциальных уравнений контролировать точность получаемого решения, диагностировать наличие и определять положение и тип особенности точного решения. Протестировать разработанные алгоритмы на реальных инженерных задачах.

Практическая ценность работы. Предложенный в работе подход к разностной аппроксимации пространственных производных позволяет создавать схемы, сохраняющие свой теоретический порядок точности на любой неравномерной сетке. Схемы, записанные в соответствии с предложенным методом также сохраняют порядок точности и в слоистых средах при условии, что сетка задаётся так, что каждая точка, в которой свойства среды терпят разрыв, является узлом сетки. Также предложенный в работе алгоритм диагностики особенностей точных решений позволяет создавать программы для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, которые помимо получения решения контролируют точность (апостериорная оценка), определяют наличие, положение и тип особенностей точного решения, если таковые имеются.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались и обсуждались на нескольких российских и международных конференциях, среди которых:

1. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам "Лбмоносов-2005"(Москва, МГУ).

2. 10th International Conference Mathematical Modelling and Analysis и 2nd International Conference Computational Methods in Applied Mathematics (Тракай, 2005).

3. ICTMA 12 Teaching of Mathematical Modelling and Applications, London, 2005.

4. Международный конгресс математиков в Мадриде, 2006 год. Устный доклад.

5. Конференция памяти А.Ф. Сидорова, "Актуальные проблемы прикладной математики и механики Абрау-Дюрсо, 2006 год. Устный доклад.

6. Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования Абрау-Дюрсо, 2005 год. Устный доклад.

По материалам диссертации сделан доклад на совместном семинаре Института математического моделирования РАН и кафедры математического моделирования Московского физико-технического института (март 2010). Также были сделаны доклады на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ (октябрь 2009) и на семинаре Научно-исследовательского вычислительного центра МГУ (апрель 2010).

Публикации. По теме диссертации всего опубликовано 14 работ, среди которых тезисы вышеуказанных конференций, а также следующие рецензируемые работы:

1. Н.Н. Калиткин, П. В. Корякин, Одномерные и двумерные бикомпактные схемы в слоистых средах // Математическое моделирование, 2009 г., т. 21, JY2 8, стр. 44-62.

2. Н.Н. Калиткин, П.В. Корякин, Бикомпактные схемы и слоистые среды // ДАН, 2007 г., т. 419, №6, с.1-5.

Е.А. Альшина, H.H. Калиткин, П.В. Корякин, Диагностика особенностей точного решения методом сгущения сеток // ДАН, 2005 г., т. 404, №3, с.1-5.

4. Е.А. Альшина, H.H. Калиткин, П.В. Корякин, Диагностика особенностей точного решения при расчётах с контролем точности // ЖВМиМФ, 2005 г., т. 45, №10 с. 1837-1847.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 92 страниц, рисунков 34, таблиц 8. Список литературы включает 60 наименований.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Корякин, Павел Владимирович

Заключение

Приведём основные результаты, полученные в рамках диссертационной работы:

1. Построен и исследован новый тип разностных схем применительно к уравнению теплопроводности. Построены схемы разных порядков точности. Исследована устойчивость схем. Исследована структура ошибки численного решения для разных видов сеток. Бикомпактная аппроксимация записана для двумерного уравнения теплопроводности для различных сеток.

2. Разработана оригинальная методика диагностики особенностей точных решений при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений, основанная на методе апостериорной оценки точности Ричардсона и применении одностадийной схемы Розенброка с комплексным коэффициентом.

3. Подробно описана методика написания программ интегрирования ОДУ с контролем точности получаемого решения и автоматической диагностикой особенностей.

4. Проведены расчеты, подтверждающие возможность расширения методики для диагностики особенностей при решений систем ОДУ и уравнений в частных производных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Корякин, Павел Владимирович, 2010 год

1. Толстых А.И.: Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. Наука, 1990.

2. Толстых А.И.: О построении схем заданного порядка с линейными комбинациями операторов. 40(8): 1206-1220, 2000.

3. Рогов Б.В., Михайловская М.Н.: О сходимости компактных разностных схем. Математическое моделирование, 20(1):99-116, 2008.

4. Рогов Б.В., Михайловская М.Н.: Бикомпактные схемы четвёртого порядка аппроксимации для гиперболических уравнений. Доклады академии наук, 430(4):470-474, 2010.

5. Shen M.Y., Zhang Z.B., Niu X.L: A new way for constructing high accuracy shock-capturing generalized compact difference schemes. Com-put. Methods and Applied Mechanics, 192(l):2703-2725, 2003.

6. Radwan Samir F.: Comparison of higher-order accurate schames for solving the two-dimensional unsteady burger's equation. Journal of Computational and Applied Mathematics, 174(1):383-397, 2005.

7. Толстых А.И.: Мультиоператорные схемы произвольного порядка, использующие нецентрированные компактные аппроксимации 366(3):319-322, 1999.

8. Паасонен В.И.: Компактные схемы для систем уравнений второго порядка с конвективными членами. Вычислительные технологии, 3(1):55—66, 1998.

9. Паасонен В.И.: Сходимость параллельного алгоритма для компактных схем в неоднородных областях Вычислительные технологии, 10(5):81-89, 2005.

10. Паасонен В.И.: Схема третьего порядка аппроксимации на неравномерной сетке для уравнений Навъе-Стокса. Вычислительные технологии, 5(5):78-85, 2000.

11. Паасонен В.И.: Разностные схемы высокого порядка точности для краевых задач в неоднородных областях. В Тр. Мелсдунар. конф. по вычисл. математике. Ч. II. Новосибирск, страницы 574-579, 2004.

12. Паасонен В.И.: Диссипативные асимметричные компактные схемы для уравнения колебаний. В Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика., страницы 24-29.

13. Абалакин И.В., Козубская Т.К.: Многопараметрическое семейство схем повышенной точности для линейного уравнения переноса. Математическое моделирование, 19(7):56-66, 2007.

14. Р.С. Chu, С. Fan: A three-point combined compact difference scheme. JCP, 140:370-399, 1998.

15. P.C. Chu, C. Fan: A three-point sixth-order nonuniform combined compact difference scheme. JCP, 140:663-674, 1999.

16. Савельев А.Д.: Составные компактные схемы высокого порядка для моделирования течений вязкого газа. Журнал вычислительной математики и математической физики, 47(8): 1387-1401, 2007.

17. J. Zhang, J.J. Zhao,: Truncation error and oscillation property of the combined compact difference scheme. Applied Mathematics and Computation, 161(1):241-251, 2005.

18. Л.Е. Довгилович, И.JI. Софронов: О применении компактных схем для решения волнового уравнения. ИПМ РАН, препринт.

19. Ильин В.П., Исаков А.А.: Компактные схемы четвертого порядка для решения волновых уравнений. В Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2009\ 2009.

20. Dexun Fu; Yanwen; Xinliang Li; Mingyu Liu: Compact difference approximation with consistent boundary condition. Progress in Natural Science, 13(10):730-735, 2003.

21. Пинчуков В.И.: Компактная схема шестого порядка для решения уравнений Эйлера. Ж. вычисл. матем. и матем. физ, 38(10):1717-1720, 1998.

22. Пинчуков В.И.: О неявных абсолютно устойчивых схемах Рунге-Кутты четвертого порядка. Вычислительные технологии, 7(1):96-105, 2002.

23. R. Li, Z. Chen, W. Wu : Generalized difference methods for differential equations. Numerical analysis of finite volume methods. Marcel Dekker Inc., 2000.

24. Roberts J.E., Thomas J.M.: Mixed and hybrid methods, volume 2. 1991.

25. Eymard R., Gallouet Т., Herbin R.: Finite volume methods, volume 7. 2000.

26. K. Bieniasz: A set of compact finite-difference approximations to first and second derivatives, related to the extended numerov method of chawla on nonuniform grids. Computing, 81(l):77-89, 2007.

27. Cockburn В., Shu C.W.: Nonlinearly stable compact schemes for shock calculations. SIAM Journal on Numerical Analysis, 31(3):607-627, 1994.

28. Zhang J.: An explicit fourth-order compact finite difference scheme for three-dimensional convection-diffusion equation Communications in Numerical Methods in Engineering, 14(3):209-218, 1998.

29. Gupta, M.M. and Kouatchou, J. and Zhang, J. and others: Comparison of second-and fourth-order discretizations for multigrid Poisson solvers Journal of Computational Physics, 132(2):226-232, 1997.

30. Ashcroft G., Zhang X.: Optimized prefactored compact schemes. Journal of Computational Physics, 190(2) :459-477, 2003.

31. Abarbanel S., Kumar A.: Compact high-order schemes for the Euler equations. Journal of Scientific Computing, 3(3):275—288, 1988.

32. Manohar, R.P. and Stephenson, J.W.: Single cell high order difference methods for the Helmholtz equation. Journal of Computational Physics, 51(3):444-453, 1983.

33. Петухов И.В.: В сборнике Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. АН СССР, 1964.

34. F. Richardson: The deferred approach to the limit. Phil.Trans., 226:299-349, 1927.

35. Калиткин H.H.: Численные методы. Наука, 1978.

36. Э. Хайрер, Г. Ваннер: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи Мир, 1999.

37. Rosenbrock II.Н.: Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations. Comput. J., 5(4):329-330, 1963.

38. Калиткин H.H., Кузьмина JI.В.: Интегрирование жёстких систем дифференциальных уравнений. Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша, 1(80), 1991.

39. Днестровская Е.Ю., Калиткин Н.Н., Ритус И.В.: Решение уравнений в частных производных схемами с комплексными коэффициентами. Математическое моделирование, 3(9): 114-127, 1991.

40. Verfurth, R.: Robust a posteriori error estimates for stationary convection-diffusion equations. SIAM J. Numer. Anal., 43(4):1766-1782, 2005.

41. Verfurth, R.: A posteriori error estimators for convection-diffusion equations. Numer. Math., 80(4):641-663, 1998.

42. Serge Nicaise: A Posteriori Error Estimations of Some Cell Centered Finite Volume Methods for Diffusion-Convection-Reaction Problems. SIAM J. Numer. Anal., 44(3):949-978, 2006.

43. Medina, Julio; Picasso, Marco; Rappaz, Jacques: Error estimates and adaptive finite elements for nonlinear diffusion-convection problems Math. Models Methods Appl. Sci., 6(5):689-712, 1996.

44. Zienkiewicz, О.С. and Zhu, J.Z.: The super convergent patch recovery and a posteriori error estimates. Part 1: The recovery technique. Int. J. Num. Meth. Engng., 33:1331-1364, 1992.

45. Zienkiewicz, O.C. and Zhu, J.Z.: The superconvergent patch recovery and a posteriori error estimates. Part 2: Error estimates and adaptivity. Int. J. Num. Meth. Engng., 33:1365-1382, 1992.

46. Acosta, G., R. G. Duran, и J. D. Rossi: An adaptive time step procedure for a parabolic problem with blow-up. Computing, 68(4):343-373, 2002, ISSN 0010-485X.

47. Abia, L. M., J. C. Lopez-Marcos, и J. Martinez: The Euler method in the numerical integration of reaction-diffusion problems with blow-up. Appl. Numer. Math., 38(3):287-313, 2001, ISSN 0168-9274.

48. Abia, Luis M., J. C. Lopez-Marcos, и Julia- Martinez: Blow-up for semidiscretizations of reaction-diffusion equations. Appl. Numer. Math., 20(1-2):145-156, 1996, ISSN 0168-9274.

49. S. Nicaise, S. I. Repin: Functional a posteriori error estimates for the reaction-convection-diffusion problem Зап. научн. сем. ПОМИ, 348:127-146, 2007.

50. С. И. Репин: Оценки отклонения от точных решений некоторых краевых задач с условием несжимаемости Алгебра и анализ, 16(5):124-161, 2004.

51. Марчук Г.И., Шайдуров В.В.: Повышение точности решений разностных схем. Наука, 1979.

52. Кремлёв В.Я.: Автоматизация проектирования ВИС. В 6 кн. Кн. 5. Физико-топологическое моделирование структур элементов БИС. Выс-шая школа, 1990.

53. Бубеиников А.Н.: Моделирование интегральных микротехнологий, приборов и схем. Высшая школа, 1989.

54. Sharfetter D.L., Gummel Н.К.: Large-signal analysis of a silicon read diode oscillator. IEEE Transactions on electron devices, 16(l):64-77, 1969.

55. Shnitnikov A.S., Philatov N.I.: Microwave limiter diode performance analyzed by mathematical modeling. Solid-State Electronics, 34(1):91-97, 1991.

56. Gummel H.K.: A s elf-consistent iterative scheme for one-dimensional steady state transistor calculation. IEEE Transactions on electron devices, ED-11:455-465, 1964.

57. Шалимова К.В.: Физика полупроводников. Энергоатомиздат, 1985.

58. Bank R.E., Rose D.J., Fichtner W.: Numerical methods for semiconductor device simulation. IEEE Transactions on electron devices, ED-30(9):1031-1041, 1983.