Численное исследование газодинамических и радиофизических характеристик неравновесной плазмы около затупленных тел в рамках уравнений Навье-Стокса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Забарко, Дмитрий Александрович

• Забарко, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Забарко, Дмитрий Александрович

Введение.

Глава 1. Математическая модель неравновесного сверхзвукового обтекания тел в рамках уравнений Навье-Стокса.

1.1. Постановка задачи

1.2. Начальные и граничные условия

1.3. Приведение уравнений к безразмерному виду.

1.4. Постановка задачи в криволинейных координатах

1.4.1. Сферическая система координат.

1.4.2. Основные уравнения в сферической системе координат

1.4.3. Формулировка задачи в векторном виде

1.4.4. Нормированная система координат

1.4 5 Уравнения в нормированной системе координат

1.5. Уравнения Навье-Стокса в приближении тонкого слоя

Глава 2. Численный метод решения.

2 1. Конечно-разностный метод расчета течения газа в ударном слое.

2.2. Расщепление по физическим процессам.

2.3 Расчетная сетка.

2.4. Разностная схема.

2.5. Построение области интегрирования.

2.6. Удовлетворение граничным условиям.

2.7. Монотонизация схемы.

Глава 3. Результаты расчетов.

3.1. Совершенный газ.

3.2. Неравновесное обтекание.

3.2.1. Осесимметричые течения.

3.2.2. Пространственные течения.

Глава 4 Методика расчета затухания радиоволн.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование газодинамических и радиофизических характеристик неравновесной плазмы около затупленных тел в рамках уравнений Навье-Стокса»

Настоящий обзор посвящен теоретическим исследованиям пространственных задач обтекания гладких тел сверх- и гиперзвуковым потоком вязкого, теплопроводного газа в широком диапазоне изменения чисел Рейнольдса от малых, для которых применима модель сплошной среды, и до умеренно больших, когда поток уже можно разделить на невязкое течение и пограничный слой около обтекаемого тела

Пространственный вязкий ударный слой

Уравнения пограничного слоя качественно и количественно правильно описывают течение в тонком слое около поверхности тела при больших числах Рейнольдса. Однако в верхних слоях атмосферы, когда характерные числа Рейнольдса становятся Re^ < 103, классическая модель разбиения возмущенной области течения на невязкое течение и пограничный слой становится неприменимой. Поэтому для исследования течения при умеренных числах Рейнольдса широкое распространение получила теория вязкого ударного слоя. Основное преимущество этой теории состоит в пригодности соответствующих уравнений во всей возмущенной области течения от ударной волны до поверхности тела. В зависимости от числа Маха набегающего потока различают модель гиперзвукового или тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС) (при Мл » 1) и модель полного вязкого ударного слоя (ПВУС).

Гиперзвуковой вязкий ударный слой

Впервые модель ТВУС для расчета гиперзвукового обтекания плоских и осесимметричных тел при умеренно больших числах Рейнольдса предложил в 60-е годы Н. К. Cheng. В предположении у 1 ,МХ » I, Re0 = p^V^Rj-> К = £"Re0 =0(1) вся область течения разбивалась на два подслоя: вязкий ударный слой, примыкающий к телу и зона перехода через скачок уплотнения. Поскольку уравнения, описывающие течение в области перехода через скачок, допускают однократное интегрирование, то полученные таким образом соотношения, называемые обобщенными соотношениями Рэнкина-Гкмонио, можно использовать в качестве граничных условий на внешней границе вязкого ударного слоя. Поэтому задачи о течении в собственно ударном слое и в структуре ударной волны можно решать отдельно друг от друга. В отличие от классических условий Рэнкина-Гюгонио обобщенные условия учитывают влияние эффектов молекулярного переноса в области непосредственно за головным скачком уплотнения и тем самым влияют на течение во всем ударном слое.

Полный вязкий ударный слой

Полные уравнения вязкого ударного слоя являются естественным обобщением модели ТВУС. Они содержат все члены, вносящие вклад во второе приближение пограничного слоя, включающее эффекты вытеснения пограничного слоя, вихревого взаимодействия, влияние продольной и поперечной кривизн, эффект скольжения и скачка температуры на обтекаемой поверхности, и все члены уравнений Эйлера. Уравнения рассматриваются во всем ударном слое от тела до ударной волны, которая является внешней границей области течения. Впервые такой подход для двумерных течений совершенного газа предложил А И Толстых (см. О М Белоцерковский и ДР- [6])

В качестве граничных условий к системе уравнений ПВУС на ударной волне используются обобщенные условия Рэнкина-Гюгонио, а на поверхности тела для тангенциальных компонент вектора скорости ставятся условия прилипания, для температуры - условия, соответствующие охлажденной или теплоизолированной поверхности. В случае малых и умеренных чисел Рейнольдса граничные условия видоизменяются с учетом эффектов скольжения и скачка температуры.

Сопоставление полных уравнений Навье-Стокса с системой уравнений ПВУС показывает, что в последних опущены члены, имеющие порядок

O(Re0)-1 и выше. При К = <s"Re0 =0(1) точность такого приближения совпадает в асимптотическом смысле с точностью уравнений ТВУС в области их применимости.

Важным достоинством модели ПВУС является то, что в ней можно не предполагать, что ударный слой тонок, т.е. не требовать, чтобы параметр е был мал. Отсюда следует возможность применения рассматриваемой модели для расчета обтекания тел при небольших сверхзвуковых скоростях набегающего потока, включая режимы, для которых ударный слой не является тонким на всей наветренной части обтекаемого тела

В большинстве задач обтекания в потоке имеются области как дозвуковых, так и сверхзвуковых скоростей. Например, при обтекании со сверхзвуковой скоростью тел имеющих затупленную носовую часть Это усложняет решение задачи.

Одним из первых методов решения уравнений ПВУС, позволивший преодолеть трудности, связанные с дозвуковым течением газа в некоторых областях ударного слоя, был метод глобальных итераций по всему полю течения, предложенный для двумерных задач R. Т. Davis'oM [53]. В рамках этого метода форма ударной волны и эллиптические члены в уравнениях, учитывающие распространение вверх по потоку, считаются известными из предыдущей итерации, причем для расчета первого приближения используется модель ТВУС. Однако попытки использовать метод глобальных итераций в этом виде для сферически затупленных конусов с малыми углами полураствора встретили ряд затруднений, т.к. модель ТВУС дает отрыв на подветренной стороне тела.

Для преодоления этих трудностей было предложено изменить способ задания начальных данных, а также применить метод релаксации при определении формы ударной волны. Кроме того, было введено сглаживание угла наклона ударной волны, а в окрестности разрыва кривизны поверхности тела использована специальная разностная запись продольных производных, учитывающая условие непрерывности физических составляющих вектора вдоль контура тела. Для получения устойчивого решения при расчете течения около тел, где ударный слой не является тонким, важным было также предложение совместного решения системы уравнений первого порядка (уравнение неразрывности и уравнение импульсов в проекции на нормаль) путем векторной прогонки.

Первые работы по применению метода глобальных итераций к решению трехмерных уравнений ПВУС выполнили A. L. Murray и С. Н. Lewis [63]. Был проведен расчет обтекания однородным газом сферически затупленных конусов с малыми углами полураствора под углами атаки а= 04-38°. В этих работах численное решение начиналось на сферическом затуплении в осесимметричной постановке Результаты, полученные на границе осесимметричной области, использовались в дальнейшем как начальные данные для решения трехмерной задачи, начинающейся от плоскости симметрии на наветренной стороне тела При этом необходимое для замыкания задачи значение градиента давления в окружном направлении аппроксимировалось по расчетным данным из таблиц невязкого сверхзвукового обтекания этого же тела. По завершению цикла по окружной координате делался шаг по маршевой координате вниз по потоку. В каждой расчетной области уравнения решались последовательно в следующем порядке, уравнение импульсов в проекции на окружную координату, уравнение энергии, уравнение импульсов в проекции на маршевую координату, уравнение неразрывности для определения отхода ударной волны, совместное решение уравнения неразрывности и уравнения импульсов в проекции на нормаль. На основании проведенных расчетов сделан вывод, что уравнения ПВУС позволяют с хорошей точностью получить полную картину обтекания при малых углах атаки. При больших углах атаки модель вязкого ударного слоя дает удовлетворительные результаты на наветренной стороне и непригодна для исследования течения на подветренной стороне тела.

В дальнейшем указанный метод был распространен на решение трехмерных уравнений ПВУС с учетом протекающих в потоке различных физико-химических процессов. S. Swaminathan, М. D. Кип и С. Н. Lewis [69] рассмотрели неравновесное течение диссоциированного воздуха около затупленных по сфере конусов, обтекаемых под небольшими (до 10°) углами атаки. Режимы полета соответствуют высотам 70.104, 83.82 км и числу Маха 27.18. В качестве химической модели применяется семикомпонентная гаювая смесь. Граничные условия на теле - полностью каталитическая поверхность Диффузионная модель ограничена бинарной диффузией. В работе [50] показано, что концентрация электронов слабо зависит от степени упрощения диффузионной модели Рассматривается влияние различных типов граничных условий (прилипания, скольжения) на концентрацию химических компонентов смеси. Сравнение показывает, что результаты расчетов с граничными условиями прилипания ближе к экспериментальным данным.

Другой метод, нашедший наряду с методом глобальных итераций достаточно широкое применение для решения системы уравнений ПВУС - это метод установления. В этом методе в качестве исходных используются нестационарные уравнения ПВУС, а искомое решение получается как предел установления по времени. В этом случае вначале установлением решалась задача в области затупления, а затем, также установлением по времени, находилось решение в узких перекрывающихся областях, последовательно перемещающихся вдоль тела. Возникающие при этом интенсивные осцилляции параметров поперек ударного слоя сглаживались методом четвертого порядка. Отмечено, что если для определения формы ударной волны и распределения давления по телу требуется порядка 103 шагов по времени, то для получения стационарного значения теплового потока требуется гораздо большее число шагов [24].

Решение параболизованных уравнений Навье-Стокса

Остановимся теперь на работах, использующих для решения рассматриваемых в обзоре задач, параболизованные уравнения Навье-Стокса (ПУНС). Несмотря на значительные вычислительные трудности, связанные с созданием устойчивых численных алгоритмов для этой модели, начиная с середины 70-х годов известно большое число работ (особенно зарубежных), в которых сверхзвуковое обтекание тел потоком вязкого газа изучается в рамках параболизованных уравнений Навье-Стокса. Сравнение проведенных в ее рамках расчетов с экспериментом позволяет считать, что для решения многих практически важных задач можно с успехом использовать такие параболизованные модели течения. Можно отметить большую эффективность модели параболизованных уравнений Навье-Стокса для решений струйных задач, течения в следе.

Система ПУНС получается из исходной системы уравнений Навье-Стокса пренебрежением эффектом молекулярного переноса в направлении основного течения газа в ударном слое (маршевом направлении) При этом возможны два случая. В первом из них данные эффекты учитываются лишь в направлении, перпендикулярном по отношению к поверхности тела (система уравнений ПУНС в приближении тонкого слоя), а во втором производится учет эффектов молекулярного переноса и в окружном направлении. В последнем случае система ПУНС позволяет изучать течения, в которых могут иметься возвратные в окружном направлении течения. Это становится особенно важным при расчете обтекания тел под большими углами атаки, когда, как показывает опыт, на подветренной стороне тела возникает протяженная зона возвратных поперечных течений, простирающаяся в окружном, направлении.

С использованием ПУНС в работе авторами J. D. Waskiewicz и С. Н Lewis [73] было рассмотрено обтекание сферически затупленных конусов с углом полураствора 6 = 1° и 10° при параметрах набегающего потока а = 10°, 23°, 38°, Л^. =10.17, 18,22.7 и Re, = 104* 106. Вся исходная область течения разбивалась на две В первой из них, расположенной в окрестности затупления, где скорость газа в маршевом направлении была дозвуковой, решение находилось в рамках модели ПВУС методом, который предложили в работе [74] J. D. Waskiewicz, A. L. Murray и С. Н. Lewis Метод базируется на схеме с последовательным решением уравнений, с тем отличием, что дифференциальные уравнения первого порядка (уравнения неразрывности и движения в проекции на нормаль) решаются совместно Отмечено, что предложенная модификация существенно повышает устойчивость схемы и качество полученного решения В сверхзвуковой области решение продолжалось в рамках модели ПУНС методом S С Lubard'a и W. S. HelliweFa. Поскольку в процессе решения головная ударная волна выделялась, то для замыкания задачи и определения формы скачка использовалось уравнение неразрывности, в котором производные по нормали к скачку аппроксимировались односторонними разностями. В работе подробно исследован вопрос о влиянии различных способов определения окружного градиента давления на основные характеристики течения и размеры шага в маршевом направлении. На основании сравнения с экспериментом сделан вывод, что применение указанного комбинированного метода расчета позволяет удовлетворительно рассчитать структуру течения вязкого газа около сферически затупленных конусов под большими углами атаки при сверх- и гиперзвуковых скоростях потока.

Как отмечают R. Т. Davis и S. G. Rubin, при расчете ПУНС точность получаемого решения в сильной степени зависит от правильного выбора маршевого направления Это становится особенно важным при больших углах атаки, когда линии тока достаточно сильно отклоняются от направлений, задаваемых при обычно используемых системах координат, связанных с телом. В связи с этим М. D. Kim, R. R Thareja и С Н Lewis [59] предложили выбирать в качестве маршевого направления линии тока внешнего невязкого течения на поверхности тела. Сравнение результатов расчета для умеренных углов атаки хорошо согласуется с решениями полученными ранее.

В работе [49] авторами [Bhutta, Lewis] разработан метод решения параболизованных уравнений Навье-Стокса, позволяющий рассчитывать трехмерные неравновесные гиперзвуковые течения при больших углах атаки около конусов с изломами образующей. Используется расщепление задачи о течении неравновесной газовой смеси на две: решение газодинамической задачи и расчет химических превращений В результате поочередного решения итерационным методом этих задач учитывается взаимное влияние газодинамических и химических процессов. Интегрирование уравнений производится маршевым методом при помощи схемы, построенной по типу «предиктор-корректор». Особое внимание уделяется адекватному учету сильного взаимодействия продольного течения с поперечным потоком в отрывной области на подветренной стороне тела. В качестве примера использования настоящего метода решения ПУНС проведены расчеты трехмерного обтекания затупленного по сфере конуса при числе Маха, равном 20, и угле атаки соответствующем 20 градусам Причем для оценки точности данного метода и его эффективности при больших углах атаки проведено сопоставление решений, полученных на трех различных сетках. Анализ результатов расчета трехмерного обтекания тела неравновесным гиперзвуковым потоком показывает, что при больших углах атаки диссоциация кислорода и азота, а также образование И(У протекают гораздо интенсивнее с подветренной стороны тела, чем с наветренной. Более сильная диссоциация газа по мнению авторов обусловлена тем, что на подветренной стороне тела формируется обширная область высокотемпературного газа. В этой области на подветренной стороне тела будет наблюдаться значительное увеличение концентрации свободных электронов. Сравнение результатов расчетов на сетках с различным числом узлов показывает, что измельчение сетки сопровождается вполне приемлемым (до 2-х раз) увеличением затрат машинного времени. Кроме того, сопоставление этих результатов позволяет заключить, что для достижения необходимой точности расчета распределений плотности теплового потока и коэффициента поверхностного трения, используемая в расчетах сетка должна иметь достаточное сгущение узлов в области отрыва поперечного потока Причем такое сгущение необходимо как по нормали к оси тела, так и в поперечном к потоку направлении. Разработанный метод решения трехмерных уравнений, алгоритм которого предусматривает нахождение решения на каждом маршевом шаге при помощи итерационной процедуры (т.е. методом установления). Метод позволяет рассчитывать пространственные течения с высокой точностью при относительно малых затратах машинного времени Это обсюятельство дает возможность вести интегрирование уравнений с большим шагом по маршевому направлению, что значительно сокращает суммарное время счета.

Наряду с анализом трехмерных течений с использованием точных моделей, основанных на уравнениях Навье-Стокса, достаточно широкое распространение получили различные приближенные подходы в расчете уравнений пространственного пограничного слоя, позволяющие в ряде случаев получить достаточно точное для инженерных приложений решение исходной задачи.

Метод осесимметричной аналогии.

В основе метода лежит предположение о том, что в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения (jc1 = const - линии тока невязкою течения на поверхности тела, х2 = const - их ортогональные траектории), скорость и2, поперечная линиям тока внешнего течения и ее производные малы по сравнению со скоростью вдоль линии тока Отметим, что поскольку поперечная скорость на поверхности тела и на внешней границе пограничного слоя равна нулю, предположение о малой интенсивности вторичного течения достаточно обосновано. Этот метод использует поле рассчитанного невязкого трехмерного течения, необходимое для вычисления поверхностных линий тока, метрических коэффициентов и граничных условий пограничного слоя.

В работе [55] рассмотрено обтекание сферически затупленного конуса с углом полураствора 15°. Приведено сравнение с экспериментальными данными. Режим обтекания соответствует а =0°, 20°, Mv = 10.6, Ree = I.3M06 [1/м], радиус затупления равен 0.95 и 2.79 см. Отмечается хорошее согласование отношений тепловых потоков с экспериментальными данными как на наветренной, так и на подветренной сторонах тела.

Однако в литературе достаточно часто встречаются упоминания о хорошем согласовании приближенных подходов на наветренной стороне тела и о значительных погрешностях результатов, когда возникает отрыв потока.

Заключение

Уравнения вязкого ударного слоя (ВУС) описывают течение во всем ударном слое с помощью единой композитной системы уравнений, одинаково пригодной как в невязкой, так и в вязкой областях течения Тем самым исключается проблема асимптотического сращивания решений уравнений пограничного слоя и уравнений Эйлера при не очень больших числах Рейнольдса (Re^ < 103). Эта система уравнений обычно решается методом установления в дозвуковых областях течения и маршевым методом в сверхзвуковых с той или иной аппроксимацией маршевого градиента давления в дозвуковом приповерхностном слое. В последнее время для решения двумерных уравнений ВУС развит метод глобальных итераций, позволяющий эффективно рассчитывать течение во всем ударном слое с наличием до- и сверхзвуковых областей единообразным способом в широком диапазоне параметров без привлечения каких-либо других расчетных данных Развитие метода глобальных итераций на трехмерные задачи позволит значительно сократить затраты времени на решение и даст возможность практически осуществить серийные расчеты задач сверхзвукового обтекания в широком диапазоне чисел Рейнольдса и Маха

Наиболее популярной моделью для решения подавляющего числа задач сверх- и гиперзвукового обтекания, особенно у американских авторов, является модель ПУНС, для решения которой в настоящее время разработан ряд эффективных численных методов. Эта модель оказалась достаточно точной, сравнительно просто поддающейся эффективному численному решению и экономичной по затратам машинного времени по сравнению с решением и полных уравнений Навье-Стокса. В связи с чем она стала весьма полезной в инженерных приложениях

Разработка численных методов остается в будущем в центре внимания математиков-вычислителей и специалистов по вычислительной аэродинамике. В процессе естественного отбора наибольшее распространение получат методы, дающие более точные результаты, обладающие высокой скоростью сходимости, легко программируемые и надежные, даже в ущерб их универсальности.

Необходимость разработки нового программного комплекса была обусловлена тем, что имеющиеся программы не позволяют надежно рассчитывать режимы течения с учетом физико-химических превращений в ударном слое, соответствующие высотам менее 40 км и числам Маха более 10 в набегающем потоке. Кроме того, применение известных программ для параметрических расчетов трехмерных течений в инженерной практике неэффективно в силу неоправданно больших временных затрат.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Забарко, Дмитрий Александрович

Заключение

Применение моделей, основанных на уравнениях Навье-Стокса с учетом неравновесных физико-химических превращений в потоке, позволяет пересчитывать экспериментальные данные на реальные условия полёта гиперзвуковых летательных аппаратов, а также сократить количество дорогостоящих экспериментов по определению аэродинамических, тепловых и прочностных характеристик изделий.

Анализ известных численных методов решения задач сверхзвукового пространственного обтекания тел потоком воздуха позволяет сделать вывод, что наиболее удобными и универсальными являются конечно-разностные методы сеток. Среди них можно выделить методы «сквозного счета», позволяющие рассчитывать с приемлемой точностью поле течения около реальных летательных аппаратов без выделения неизвестных до решения задачи внутренних поверхностей разрыва газодинамических параметров

На базе метода установления нестационарных уравнений газовой динамики и химической кинетики по времени с использованием принципа разделения задачи обтекания по физическим процессам разработан эффективный численный метод решения полных (параболизованных) уравнений Навье-Стокса с учетом неравновесных физико-химических процессов. Использование криволинейной системы координат, локально-близкой к линиям тока течения, позволяет адекватно учитывать поведение параметров в областях больших градиентов и расширить применимость метода для расчётов обтекания тел под большими углами атаки. При этом используемая консервативная форма записи уравнений газовой динамики позволяет наиболее точно удовлетворять разностным аналогам интегральных законов сохранения. Кроме того, для расчета обтекания удлиненных 1ел используется разделение всей области интегрирования на ряд взаимно перекрывающихся подобластей и последовательный расчет в каждой из них. Данное разделение области возможно в силу слабой передачи возмущений вверх по потоку при обтекании тел сверхзвуковым набегающим потоком вязкого газа.

Качественное и количественное согласование параметров неравновесных течений с экспериментальными и теоретическими данными из других источников свидетельствует о надежности используемого численного метода для определения параметров и структуры вязкого ударного слоя, в том числе тепловых потоков к поверхности тела, в широком диапазоне параметров набегающего потока Количественные отличия обусловлены, скорее всего, различными моделями химических реакций сравниваемых методов, включающими в себя константы скоростей химических реакций и граничные условия. При этом отмечается хорошее согласование концентраций, достигших сравнительно больших величин (атомарный кислород). Несколько большие различия наблюдаются в концентрациях компонентов, величины которых малы. Для заряженных частиц (электронов с~) можно отметить удовлетворительное, с точки зрения использования расчетных значений в прогнозировании затуханий радиосигнала в прибортовой плазме, согласование концентраций с экспериментальными данными

Проведенное численное исследование пространственного неравновесного обтекания затупленного конуса под различными углами атаки выявило характерные особенности и закономерности трехмерных течений реального газа. Так, при изучении структуры ударного слоя для режимов с большими углами атаки было установлено, что максимальная степень ионизации газа с подветренной стороны тела до трех раз меньше, чем с наветренной. С другой стороны, ионизованный слой с подветренной стороны имеет гораздо большую (примерно в 13 раз) толщину, чем с наветренной. Отсюда следует, что ионизация и диссоциация газа происходит преимущественно с подветренной стороны тела. Эти же процессы оказывают решающее влияние на параметры газа, находящегося в следе за телом. Поперечное течение газа в отрывной области на подветренной стороне тела в значительной степени влияет на протекание химических реакций в этой зоне. Поэтому для детального изучения структуры течения и химического состава газа точность описания газодинамических и химических процессов в зоне отрывного течения имеет весьма важное значение

Исследование прохождения радиосигнала в пространственном неравновесном потоке показало, что величина отхода ударной волны с сохранением интенсивности уровня заряженных частиц на подветренной стороне оказывает существенное воздействие на характер затухания по сравнению с наветренной стороной. Так, для больших углов атаки на подветренной стороне величина затухания постоянно увеличивается по длине конуса.

Анализ полученных результатов свидетельствует о возможности применения предложенного метода для расчета параметров пространственного химически неравновесного вязкого ударного слоя, включая характеристики прибортовой плазмы, а также определение аэродинамических и тепловых нагрузок летательных аппаратов, интервалов прекращения радиосвязи. Затраты машинного времени остаются приемлемыми и значительно меньшими, чем при использовании полностью неявных схем во всей рассматриваемой области без выделения головной ударной волны.

Основные условные обозначения

ВУС - вязкий ударный слой, ДСК - декартовая система координат, КСК - криволинейная неортогональная система координат,

НССК - нормированная сферическая системы координат,

НСК - нормированная система координат,

ПВУС - полный вязкий ударный слой;

ПУНС - параболизованные уравнения Навье-Стокса,

ССК - сферическая система координат;

ТВУС - тонкий вязкий ударный слой;

ЦСК - цилиндрическая система координат;

А - произвольное целое число, задающее отношение наибольшего шага сетки к наименьшему; с - местная скорость звука; р. с = — - массовая концентрация / -ои компоненты; Р

С - удельная теплоемкость смеси при постоянном давлении;

С' - молярная теплоемкость / -ой компоненты при постоянном давлении,

I) - скорость распространения волны по частицам газа;

Div - дивергенция тензора;

Dt - эффективный коэффициент диффузии;

1 Р с =-— - внутренняя энергия единицы массы газа; у-\р а~ - электронная компонента; с - энергия колебательных степеней свободы; ( уЛ S

Ki 5 £2 'ft r р= ] р I р у-\р у — \ р р К у Р V2 2 к = 1.38-10"21 Дж/К° к к, К, L

Л Sct т т, тх

N. Р

- полная внутренняя энергия единицы объема,

- напряженности поля падающей, прошедшей и отраженной волн;

- матрица фундаментального метрического тензора,

- ковариантные базисные вектора; р е + — - энтальпия газа; Р

- энтальпия / -ой компоненты; -энтальпия образования / -ой компонент;

- полная энтальпия газа в однородном набегающем потоке;

- постоянная Больцмана;

- комплексное волновое число, характеризующее плазменную среду;

- константы скоростей обратных реакций;

- константы равновесия;

- характерный линейный размер;

- числа Льюиса;

- молекулярный вес смеси; -молекулярный вес / -ой компоненты;

- молекулярный вес набегающего потока;

- число Маха;

- определяет номер сеточного узла, с которого вводится неравномерная сетка;

- давление; fiC

Pr =-- = 0.72 - число Прандтля; X fdp q = Я

- тепловой поток; qJl{ - нормальная скорость скачка; R,0,<p - координаты в ССК;

Ra -универсальная газовая постоянная;

Re^. = ^ - число Рейнольдса;

Rn - радиус затупления носка;

R, Т - комплексные коэффициенты отражения и прохождения;

St = - - , - число Стантона;

S,,j - компоненты тензора скоростей деформации,

Sw - длина дуги на поверхности тела, отнесенная к радиусу затупления,

Sct = — D, - числа Шмидта / -ой компоненты; Р t - время;

Д?АФЛ - временной шаг по критерию Куранта-Фридрихса-Леви для линейных гиперболических уравнений в частных производных;

Т - температура; и, v, w - компоненты вектора скорости V;

J, = -pDt grad у, - массовый поток / -ой компоненты вследствие диффузии;

V - вектор скорости;

V„,Vt - проекции вектора скорости на нормаль и касательную плоскость к поверхности ударной волны;

Wt - источник образования / -ой компоненты; x,y,z - координаты в ДСК, с, т xt = —— - мольные концентрации; mt а -угол атаки;

Р - коэффициент прохождения радиосигнала; Р - угол поворота СК;

8* - толщина ударного слоя;

- характеристические потенциалы столкновений; у - показатель адиабаты, у, - эффективный показатель адиабаты;

П, с, у, = = — - размерные концентрации компонентов; тк т, rjt = -J—£- - концентрации компонентов; mt

Ф - функции для источниковых членов реакций;

Л - коэффициент теплопроводности;

Л - длина волны излучения; i - коэффициент вязкости неравновесной смеси; д - коэффициенты вязкости чистых однокомпонентных) газов; v - эффективная частота столкновений;

0 - угол полураствора конуса; р - плотность; р = ррл - размерная плотность; pt - плотность / -ой компоненты, сг - коэффициент запаса (~0.9), сг - диаметры столкновений; - координаты в НССК, Qj2 2]* - интегралы столкновений, VL - символы Кристоффеля,

Индексы верхние индексы

Н - обозначены невязкие члены уравнений; В - вязкие члены уравнений, нижние индексы нижний индекс означает дифференцирование по соответствующему аргументу; индекс / = 1, 2, 3,4, 5, 6, 7 ассоциируется с компонентами О, N, NO, ()2, N2, NO*, е~ соответственно;

О - соответствует параметрам в точке торможения; w - соответствует параметрам на стенке; оо - невозмущенный набегающий поток

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Забарко, Дмитрий Александрович, 2006 год

1. Агафонов В.П , Вертушкин В.К., Гладков А А , Полянский О.Ю Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. М.: Машиностроение, 1972. - 344 с.

2. Андерсон Д, Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир. 1990. Т. 1. - 392 с , Т.2. - 336 с.

3. Бабенко К.И., Воскресенский Г П. Численный метод расчета пространственного обтекания тел сверхзвуковым потоком газа // ЖВМ и МФ, 1961. Т. 1, № 6. - С. 1051-1060.

4. Базжин А.П., Трусова О.Н., Челышева И.Ф. Влияние реальных свойств воздуха на параметры течения около эллиптического конуса Аэродинамические характеристики эллиптических конусов при больших углах атаки // Ученые записки ЦАГИ, 1970. Т. 1, № 2.

5. Белоцерковский О.М. и др Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. Теоретическое и экспериментальное исследование. ВЦ АН СССР. Препр., 1967. - 400 с.

6. Белоцерковский О.М. и др. Сверхзвуковое обтекание затупленных тел неравновесным потоком газа. Таблицы ВЦ АН СССР, 1976. Изд. 2-е.

7. Белоцерковский О.М., Расчет обтекания осесимметричных тел с отошедшей ударной волной (расчетные формулы и таблицы полей течений). ВЦ АН СССР, Москва, 1961.

8. Борн М., Вольф Э. Основы оптики, 1970.

9. Бурдельный А.К., Миносцев В.Б Расчет сверхзвуковой области пространственного обтекания тел неравновесным потоком воздуха // Изв АН СССР, МЖГ, 1972.-№2.

10. Власов В.И Метод расчета вязкого ударного слоя с учетом неравновесных физико-химических процессов // Космонавтика и ракетостроение. 1997. -№ 11. С. 5-12.

11. Воронкин В.Г. Неравновесный вязкий ударный слой на притуплённых конусах // Изв. АН СССР, МЖГ, 1979. № 6.

12. Воронкин В.Г. Расчет вязкого ударного слоя на притуплённых конусах // Изв. АН СССР, МЖГ, 1974. № 6.

13. Воронкин В.Г., Мягкова А К. Расчет тепловых потоков и параметров в неравновесном ударном слое на сферическом притуплении. ОФАП САПР, СИБ, вып.№ 41, 1988.

14. Годунов С.К., Забродин А.В., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных уравнений газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной // ЖВМ и МФ, 1961. Т. 1, № 6. - С. 1020-1050.

15. Епураш Н Ф., Михайлов А.В Методика и программа расчета прохождения радиоволн через неоднородную плазменную среду Б.М., 1976. НТО №271-2476-200.

16. Епураш Н.Ф., Михайлов А.В. Расчет прохождения радиоволн через неоднородную среду с учетом поляризации и угла падения волны, 1981, ОФАП САПР, СИБ, вып. № 19.

17. Жмакин А И , Попов Ф.Д , Фурсенко А.А. Метод сглаживания при расчете разрывных течений газа // В сб.: Алгоритмы и математическое обеспечение для физических задач. Л : 1977. № 2, - С 65-72.

18. Забарко Д.А., Котенев В.П. Численное исследование течений вязкого химически реагирующего газа около затупленных тел в рамках уравнений Навье-Стокса // Космическая наука и технология Человек и космос, Киев (НКАУ, НАНУ), 2005 Т 11,-№1 -С 36-42

19. Иванов М.Я., Никитин Т.В. К расчету пространственного обтекания сверхзвуковым потоком тел сложной формы // Ученые записки ЦАГИ, 1973 Т. 4, № 4.

20. Кань Сань-Вук Неравновесное ионизованное гиперзвуковое течение около затупленного тела при низких числах Рейнольдса // РТК 1970 Т 8,-№7.-С. 98-105

21. Кацкова О.Н., Чушкин П.И. Влияние неравновесной диссоциации на сверхзвуковое пространственное обтекание обратных конусов // Изв. АН СССР, МЖГ, 1970.-№2.

22. Кокошинская Н.С., Павлов Б.М., Пасконов В.М. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом М. МГУ, 1980. -248 с.

23. Комплексный аэротермохимический расчет летательного аппарата, движущегося в плотных слоях атмосферы. Том 5. Программный комплекс РАСКЕТ5 расчета газодинамики и конвективного теплообмена на теле произвольного очертания. НПО машиностроения. 2002г.

24. Котенев В П., Сахаров В И., Тирский Г.А. Влияние химических реакций на аэродинамические характеристики затупленных конусов // Отчет НИИ механики МГУ, 1985. № 3106.

25. Крайко А.Н. О расчете неравновесного течения газа в соплах Лаваля // Научные труды НИИ механики МГУ. 1973. -№21.

26. Лебедев С.И, Рычков А.Д Расчет течения идеального газа в осесимметричных соплах Лаваля с учетом неравновесного протекания химических реакций. Новосибирск, СО АН СССР, ВЦ ИТПМ, Численные методы МСС, 1980. Т. 11,-№5.

27. Лунев В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. М." Машиностроение, 1975.-327 с.

28. Лунев В.В., Магомедов К М , Павлов В Г. Гиперзвуковое обтекание притуплённых конусов с учетом равновесных физико-химических превращений. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1968.

29. Любимов А.Н., Русанов В.В. Течение газа около тупых тел. М.: Наука, 1970. Т. 1. - 288 с. Т. 2. - 380 с.

30. Магомедов К.М., Холодов А.С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений //ЖВМиМФ, 1969. Т. 9,-№2.

31. Мак-Кормак У. и др. Обобщенный численный метод гиперболического типа для трехмерных сверхзвуковых течений с ударными волнами //Сб. «Численное решение задач гидромеханики», 1977.

32. Павлов Б.В., Макин В.Н. Теоретические исследования прохождения радиоволн через неоднородную плазменную среду Б М , 1974.

33. Покровский А.Н., Фролов Л.Г., Приближенные зависимости для определения давления на поверхности сферы или цилиндра при произвольном числе Маха набегающего потока // МЖГ, 1985. № 2.

34. Предводителев А.С., Ступоченко Е В., Плешанов А.С. Таблицы термодинамических функций воздуха (для температур от 6000 до 12000 К и давлений от 0.001 до 1000 атм) М • Изд-во ВЦ АН СССР, 1957

35. Предводителев А С , Ступоченко Е В , Плешанов А.С Таблицы термодинамических функций воздуха (для температур от 200 до 6000 К и давлений от 0.00001 до 100 атм). М : Изд-во ВЦ АН СССР, 1962

36. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М. Мир, 1980. - 616 с.

37. Савинов К.Г., Шкадова В.П. О применении метода установления в задаче обтекания затупленного тела неравновесным потоком // МЖГ, 1976. -№2.

38. Сахаров В И., Тирский Г.А. Расчет сверхзвукового обтекания затуплений методом установления по времени // Сб. науч. тр. университета /МГУ, «Гиперзвуковые пространственные течения при наличии физико-химических превращений», 1981

39. Сахаров В.И., Шевелев Ю.Д. О расчете стационарного невязкого обтекания пространственных тел // Изв. АН СССР, МЖГ, 1980. № 4

40. Синченко С.Г. Аппроксимация термодинамических функций воздуха // ЖВМ и МФ, 1968. Т. 8, № 4.

41. Стулов В.П., Теленин Г.Ф. Неравновесное обтекание сферы сверхзвуковым потоком воздуха// Изв АН СССР, Механика, 1965 -№ 1.

42. Численные методы в динамике жидкостей / Г.Вирц, Ж Смолдерн. Перевод под ред. О.М.Белоцерковского. М.: Мир, 1981. - 407 с.

43. Anderson Е.С., Lewis С.Н. Laminar or Turbulent Boundary-Layer Flows of Perfect Gases or Reacting Gas Mixtures in Chemical Equilibrium // NASA CR-1893, 1971.

44. Bhutta B.A., Lewis C.H. Nonequilibrium Lamihar Boundary Layer Flows of Ionized Air// Journal of Spacecraft and Rockets, 1989. -№3, 158-166 p

45. Blottner F.G., Nonequilibrium Laminar Boundary Layer Flow of Ionized Air // Rept. R64SD56, Space Sciences Laboratory, General Electric Co. -Philadelphia, Pa. Nov. 1964.

46. Boylan D.E. Laminar Heat Transfer on Sharp and Blunt Ten-Degree Cones in Conical and Parallel Low-Density Flow// AEDC-TR-106, Aug 1973.

47. Cleary, Joseph W Effects of Angle of Attack and Bluntness on Laminar Heating-Rate Distributions of a 15° Cone at a Mach number of 10.6 // NASA TN D-5450, 1969.

48. Davis R.T. Numerical solution of the hypersonic viscous shock-layer equation // AIAA Journal, 1970. V. 8, № 5, 843-851 p

49. Evans J.S., Schexnayder C.J., Huber P W. Boundary Layer electron profiles for high-altitudes entry of a blunt slender body // AIAA Journal, 1973. V. 11, -№ 10.

50. Hamilton H. Harris II. Calculation of Laminar Heating Rates on Three-Dimensional Configurations Using the Axisymmetric Analogue // NASA Technical Paper 1698, 1980

51. Hicks, Wooten. Numerical Divergence of tensor // Journal of computational physics, 1980. -№ 36

52. Huber P.W., Evans J S , Schexnayder С J. Comparison of theoretical and flight-measured ionization in a blunt body re-entry flow field // AIAA Journal, 1971. V. 9, № 6.

53. Kang S.W., Jones W Z., Dunn M G. Theoretical and measured electron-density distributions at high altitudes // AIAA Journal, 1973. V. 11, № 2.

54. Kim M.D., Thareja R.R., Lewis C.H. Three-dimensional viscous flow-field computations in a streemline coordinate system // Journal Spacecraft and Rockets, 1982. V. 19, № 1,41-46 p.

55. Kutler P., Reinhardt, Warming R. Multishocked three-dimensional supersonic flowfields with real gas effects // AIAA Journal, 1973. V 11, № 5.

56. Lax P.D., Wendroff. Systems of conservation lows // Communs Pure and Appl. Math, 1960. V. 13,-№2.

57. MacCormack R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact scattering // AIAA Paper, 1969. № 354. -17 p.

58. Murray A.L., Lewis С H. Hypersonic three-dimensional viscous shock-layer flows over blunt bodies // A1A A Journal, 1978. V 16, № 12, 1279-1286 p

59. Nachbar W., Williams F., Penner S. The conservation equations for independent coexistent continua and for multicoinponent reacting gas mixtures // Quart Appl Math , 1959. V. 17, № 1.

60. Rakich J.V, Bailey H E, Park С Computation of Nonequilibrium, Supersonic Three-Dimensional Inviscid Flow over Blunt-Nosed Bodies // AIAA Journal, 1983 V. 21, № 6, 834-841 p.

61. Reinhardt W. Parallel Computation of unsteady three-dimensional, chemically reacting, nonequilibrium flow using a time split finite-volume method on llliac IV // Journal Physic chemistry, 1977. V. 81, № 25.

62. Rizzi A.W, Bailey H.E Split Space-Marching Finite Volume Method for chemically Reacting Supersonic flow // AIAA Journal, 1976 V. 14, № 5.

63. Srivastava B.N., Werle M.L, Davis R.T. Viscous shock-layer solutions for hypersonic spherecones // AIAA Journal, 1978. V. 16, № 2, 137-144 p.

64. Swaminathan S., Kim M D., Lewis C.H. Nonequilibrium Viscous Shock-Layer Flows over Blunt Sphere-Cones at Angle of Attack // Journal of Spacecraft and Rockets, July-August 1983. V. 20, 331-338 p

65. Szema K.Y., Lewis C.H. Three-dimensional hypersonic laminar transitional and/or turbulent shock layer flows // Journal Spacecraft and Rockets, 1982. V. 19,-№ 1,88-89 p.

66. Thareja R., Szema K.Y., Lewis C.H Chemical equilibrium laminar or turbulent three-dimensional viscous shock-layer flows // Journal Spacecraft and Rockets, 1983. V. 20, № 5,454-460 p

67. Vinokur M. Conservation Equations of Gasdynamics in Curvilinear Coordinate Systems // Journal of computational physics, 1973.

68. Waskiewicz J.D., Lewis C.H. Hypersonic Viscouse Flows Over Sphere-Cones at High Angles of Attack // AIAA Paper 78-64, January 1978.

69. Waskiewicz J.D., Murray A L., Lewis C.H. Hypersonic viscous shock-layer flow over a highly cooled sphere // AIAA Journal, 1978 V. 16, -№2, 189192 p.