Численное исследование моделей электрических вибраторов, описываемых гиперсингулярными интегральными уравнениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Тарасов, Дмитрий Викторович

• Тарасов, Дмитрий Викторович
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Тарасов, Дмитрий Викторович

Введение

Глава 1 Постановка задачи, обзор и вспомогательные утверждения

1.1 Методы интегральных уравнений в радиотехнике.

1.2 Классы функций.

1.3 Определения сингулярных и гиперсингулярных интегралов

1.3.1 Определения одномерных сингулярных и гиперсингулярных интегралов.

1.3.2 Определения полигиперсингулярных и многомерных гиперсингулярных интегралов

1.4 Постановка задачи построения оптимальных алгоритмов вычисления гиперсингулярных интегралов.

1.5 Обзор приближенных методов вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов и решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений

1.5.1 Приближенное вычисление сингулярных и гиперсингулярных интегралов.

1.5.2 Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений

1.6 Вспомогательные утверждения.

1.6.1 Понятие корректности и некорректности.

1.6.2 Критерии регулярности.

Глава 2 Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к численному моделированию электрического вибратора

2.1 Введение.

2.2 Постановка задачи.

2.3 Приближенное решение уравнения Поклингтона.

2.4 Уравнение Галлена.

2.5 Границы применимости уравнения Галлена.

2.6 Гиперсингулярные интегральные уравнения теории электрических вибраторов.

Глава 3 Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов

3.1 Приближенные методы вычисления одномерных сингулярных и гиперсингулярных интегралов с подвижной особенностью.

3.2 Приближенные методы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью

3.3 Построение аналитических способов вычисления полигиперсингулярных и двумерных гиперсингулярных интегралов.

3.4 Приближенное вычисление двумерного гиперсингулярного интеграла по треугольной области.

3.5 Приближенное вычисление многомерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью на границе области.

Глава 4 Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений.

4.1 Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений

4.2 Приближенное решение гиперсингулярного интегрального уравнения моделирующего электрический вибратор

4.3 Приближенные методы решения двумерных гиперсингулярных интегральных уравнений.

4.3.1 Сплайн-коллокационный метод.

4.4 Проекционные методы решения уравнения Гельмгольца

4.4.1 Приближенное решение слабосингулярных интегральных уравнений первого рода.

4.4.2 Приближенное решение граничной задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование моделей электрических вибраторов, описываемых гиперсингулярными интегральными уравнениями»

Актуальность темы

В последнее время все большее распространение в различных областях науки получает исследование объектов и явлений путем составления и анализа их математических моделей (описаний). Одно из ведущих мест в этих исследованиях принадлежит интегральным уравнениям. Прежде всего интегральные уравнения находят свое применение в решении задач исследования различного рода полей и сред. Основанием для составления интегральных уравнений, как правило, служат общие физические законы (законы сохранения массы, импульса, энергии), которые приводят к моделям конкретных процессов и явлений в интегральной форме. Стоит отметить, что достоинства этих моделей состоят в их общности, в том, что они не содержат производных от функций, являющихся характеристиками состояния среды. Таким образом, модели этого типа не накладывают каких-либо существенных ограничений на гладкость решения, и допускают существование разрывных решений, чего не скажешь относительно дифференциальных уравнений.

Помимо этого, интегральные уравнения успешно применяются при решении задач электродинамики, в анализе электрических и магнитных полей, для решения пространственных задач (метод граничных интегральных уравнений). В настоящее время значительно возросла сложность задач анализа, и в практику исследования динамических систем вошли многие задачи математической физики, задачи идентификации (обратные задачам анализа) и др.

Задачи анализа описываются интегральными уравнениями второго рода, решение которых представляет собой корректную задачу. Задачи восстановления внешних воздействий, общие задачи идентификации и другие задачи приводят к уравнениям первого рода, обладающим свойствами некорректности (нарушается хотя бы одно из следующих условий: решение существует, оно единственно и устойчиво).

При исследовании краевых задач радиотехники вопрос расчета основных характеристик излучения некоторого антенного устройства связан с решением внутренней задачи теории электрического вибратора, а именно, с нахождением функции распределения тока вдоль его длины.

Электродинамическая теория вибратора была построена в работах Галлена [66], М. А. Леонтовича [34], М. Л. Левина и др. авторов, и предполагала рассматривать вибратор достаточно тонким. Указанная модель при исследовании краевых задач для проволочных антенн приводит к двум основным интегральным уравнениям - уравнениям Галлена и Поклингтона. Вопрос касающийся получения строгого аналитического решения для этих уравнений остается открытым, а на практике используется решение в первом приближении (упрощенной форме). Вопрос численного решения указанных уравнений связан с работами Р. Митры и предполагает использование метода моментов, принципиальную роль в котором имеет выбор базисных функций. На сегодня оптимальный выбор базисных функций для решения уравнений Поклингтона и Галлена является открытой проблемой. Но даже в этом в этом случае электродинамическая модель сводится к системе линейных алгебраических уравнений, порядок которой в принципе не ограничен, а для реализации достаточной точности модели требует больших вычислительных ресурсов. Кроме того, уравнения Поклингтона и Галлена моделируют электрический вибратор с конечной величиной диаметра по всей длине вибратора, однако в зоне модулирования колебаний вибратор представляется бесконечно тонким, и это не соответствует физической постановке задачи. Стоит заметит, что при построении модели поверхностные электрические токи и магнитные эквивалентные токи заменяются расположенной на оси вибратора бесконечно тонкой нитью непрерывного тока.

Поэтому представляется актуальным построение модели свободной от указанных недостатков. Для этого интересным было бы предположить вибратор бесконечно тонким, и перейти к особым интегральным уравнениям, в которых интегралы следует понимать как конечночастные (в смысле Адамара). Тем более, что вопросы применения этих особых (сингулярных и гиперсингулярных) интегралов в других областях уже давали свои плоды.

В начале XX в. в работах Д. Гильберта и А. Пуанкаре возникла теория сингулярных интегральных уравнений, содержащая интегралы в смысле главного значения по Коши. В течение первой половины 20 столетия основное внимание исследователей было направлено на развитие теории сингулярных интегральных уравнений. Первой работой по приближенным методам решения сингулярных интегральных уравнений, описывающих задачу обтекания воздушным потоком крыла конечного размера, была работа М. А. Лаврентьева. Начиная с середины прошлого столетия теория сингулярных интегральных уравнений набирает все большие обороты в прикладных вопросах. Теория сингулярных интегральных уравнений становится наиболее эффективной для решения граничных задач (задача Римана и задача Гильберта), различных задач математической физики (здесь на искомые и задаваемые функции, фигурируемые в интегральных уравнениях, налагаются некоторые ограничения, значительно упрощающие изложение). В последнее время особое внимание уделяется гиперсингулярным интегралам (иногда говорят конечночастным интегралам), понимаемым в смысле главного значения Коши-Адамара. Данный тип интегралов также находит активное приложение в задачах электродинамики, аэродинамики, теории упругости и др. Гиперсингулярные и сингулярные интегралы позволяют определять значения, в смысле конечночастного интеграла (Адамара) для расходящихся интегралов, поэтому их рассмотрению и изучению также должно быть уделено должное внимание.

Основные достижения в развитие теории сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений связаны со следующими именами С. М. Белоцерковский [5], И. В. Бойков [13, 15], Г. М. Вайникко [18], И. Н. Векуа [19], Н. П. Векуа [20], Ф. Д. Гахов [24], В. В. Иванов [27, 28], И. К. Лифанов [37], А. М. Линьков [36], Л. Г. Михайлов [40], С. Г. Михлин [42], С. Г. Михлин и 3. Пресдорф [67], Н. И. Мусхелишвили [43], 3. Пресдорф и Б. Зильберман [69], 3. Пресдорф и Г. Шмидт [70], Г. Н. Пыхтеев [53, 54], К. Е. Atkinson [63], D. Elliot [65], A. G. Ramm [71].

Начиная с 80-90-х гг. прошлого столетия заметен все возрастающий поток публикаций, посвященных вычислению гиперсингулярных интегралов и решению гиперсингулярных интегральных уравнений. Это связано с двумя обстоятельствами:

• увеличивается число областей физики и техники (электродинамика, теория упругости, гравиразведка, квантовая физика и т.д.), в которых существенную роль играют гиперсингулярные интегралы и гиперсингулярные интегральные уравнения;

• необходимостью доведения исследований в этой области до уровня исследований в теории сингулярных интегральных уравнениях.

Несмотря на активное развитие методов вычисления гиперсингулярных интегралов и решения гиперсингулярных интегральных уравнений остается не исследованным ряд принципиальных моментов:

• построение оптимальных алгоритмов вычисления одномерных и многомерных гиперсингулярных интегралов с особенностью на границе;

• построение приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов по областям со сложной геометрией;

• разработка и обоснование приближенных методов решения одномерных и многомерных гиперсингулярных интегральных уравнений.

Численным методам решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, возникающих в теории антенн, механики разрушений, и методам вычисления этих особых интегралов посвящена теоретическая часть данной диссертации.

Практическая часть диссертации состоит в построении алгоритмов приближенного решения классической модели электродинамической теории вибраторов, основой которых являются интегральные уравнения. В случае достаточно тонких электрических вибраторов, когда существующие методы не отражают суть протекающих процессов (в виду возникающих особых интегралов), предлагается использовать аппарат сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений.

Цель и задачи исследования

Целью исследования является построение и обоснование численных алгоритмов решения классических уравнений теории электрических вибраторов - Галлена и Поклингтона, а также программная реализация алгоритмов. Существующая математическая модель тонкого вибратора, описываемая уравнениями Поклингтона и Галлена не описывает физику процесса в случае очень тонкого вибратора, поэтому необходимо построение математической модели описывающей электрический вибратор в случае бесконечно малого радиуса. Одним из способов такой реализации модели является использование особых интегральных уравнений (в которых интегралы понимаются в смысле Коши и в смысле Коши-Адамара) и, соответственно, построение и обоснование вычислительных схем ее численного решение. Для достижения поставленной цели необходимо:

• разработать численные алгоритмы решения классических уравнений Поклингтона и Галлена;

• построить программную реализацию алгоритмов;

• исследовать модель вибратора, описываемую гиперсингулярными интегральными уравнениями;

• разработать алгоритмы вычисления одномерных и многомерных гиперсингулярных интегралов;

• построить оптимальные квадратурные формулы вычисления ряда гиперсингулярных интегралов;

• разработать и провести обоснование численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений различных видов;

• провести исследование различных вычислительных схем решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, основанных на различных критериях обращения матриц;

• разработать программы, реализующие эти методы, и применить полученные результаты к решению задач теории электрических вибраторов.

Методы исследования

В работе использованы методы функционального анализа, прикладного функционального анализа, краевых задач теории функции комплексного переменного, квадратурных формул, теория сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений. Достоверность научных положений подтверждается соответствием теоретических результатов с результатами математического моделирования тестовых задач.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в следующем:

• предложена математическая модель электрических вибраторов в случае бесконечно тонкой антенны, основанная на гиперсингулярных интегральных уравнениях;

• построены алгоритмы решения гиперсингулярных интегральных уравнений, моделирующих электрический вибратор;

• предложены и обоснованы приближенные алгоритмы решения классических уравнений Поклингтона и Галлена;

• предложены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью;

• построены кубатурные формулы вычисления двумерных гиперсингулярных интегралов по областям, ограниченным кривыми Ляпунова;

• предложены кубатурные формулы вычисления многомерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью на границе области;

• предложены алгоритмы приближенного решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, основанные на различных критериях регулярности;

• разработан пакет следующих программ: решения классических уравнений Поклингтона и Галлена теории электрических вибраторов; решение модели электрических вибраторов, основанной на гиперсингулярных интегральных уравнениях; вычисления двумерных гиперсингулярных интегралов по треугольной области; вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано восемь печатных работ, три из которых из списка ВАК:

• Тарасов, Д. В. Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов с фиксированными особенностями / И. В. Бойков,

Б. М. Стасюк, Д. В. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2008. 1. - С. 21-40.

• Тарасов, Д. В. Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к численному моделированию электрического вибратора / И. В. Бойков, Д. В. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. —

2008. 4. - С. 94-106.

• Тарасов, Д. В. Приближенное решение некоторых классов гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Б. М. Стасюк, Д. В. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. —

2009. 1. - С. 100-112.

Апробация. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- Международном симпозиуме «Надежность и качество» (Пенза, 2006)

- третьей Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2007);

- второй Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2007)

- второй Международной научно-технической конференции «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008)

- третьей Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008)

- научных конференциях профессорско-преподавательского состава Пензенского государственного университета.

Пакет прикладных программ «Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений и их применение к моделированию электрических вибраторов» используется в производственной деятельности ОАО «НПП «Рубин» (акт о внедрении прилагается к диссертации).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений и изложена на 221 странице.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Тарасов, Дмитрий Викторович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложена математическая модель электрических вибраторов для бесконечно тонкой антенны, основанная на гиперсингулярных интегральных уравнениях. Она моделирует распределение тока по длине электрического вибратора в случае, когда использование классических уравнений Поклингтона и Галлена невозможно.

2. Даны численные алгоритмы решения гиперсингулярных интегральных уравнений теории бесконечно тонких вибраторов.

3. Предложены и обоснованы приближенные алгоритмы решения классических уравнений Поклингтона и Галлена, моделирующих электрический вибратор. Указанные алгоритмы позволяют получить решение в более общей форме, а не в форме первого приближения (решения с некоторыми упрощениями), как используется в известной литературе. Это позволяет получить решение с любой, наперед заданной, точностью.

4. Предложены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью.

5. Предложены приближенные алгоритмы вычисления двумерных гиперсингулярных интегралов по областям, ограниченным кривыми Ляпунова.

6. Предложены приближенные алгоритмы вычисления многомерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью на границе области.

Данные алгоритмы являются оптимальными по точности и позволяют эффективно вычислять некоторые типы сингулярных и гиперсингулярных интегралов с наперед заданной точностью. Они использованы при построении вычислительных схем решения гиперсингулярных интегральных уравнений теории электрических вибраторов и задач теории разрушения.

7. Предложены алгоритмы приближенного решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, основанные на различных критериях регулярности.Данные алгоритмы использованы при решении внутренней задачи теории электрического вибратора в случае его бесконечно малой толщины.

8. Предложен и обоснован сплайн-коллокационный алгоритм решения двумерных гиперсингулярных интегральных уравнений, представляющих собой одну из задач теории разрушения.

Заключение

В заключении обобщены основные результаты теоретических и практических исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Тарасов, Дмитрий Викторович, 2009 год

1. Вычислительные методы в электродинамике / Под редакцией Р. Митры. М. : Мир, 1977. - 487 с.

2. Гравиразведка. / Под редакцией Е. А. Мудрецовой. — М. : Наука, 1981. 397 с.

3. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар — М. : Наука, 1978. 352 с.

4. Бахвалов, Н. С. О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики /Н. С. Бахвалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1970. — Т. 10. — № 3. С. 555-568.

5. Белоцерковский, С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях / С. М. Белоцерковский, И. К. Лифанов — М. : Наука, 1985. — 256 с.

6. Бернштейн, С. Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной / С. Н. Бернштейн : ГОНТИ, 1937.

7. Бисплингхофф, Р. Аэроупругость/ Р. Бисплингхофф, X. Эшли, Р. Халфмен. — М. : Издательство иностранной литературы. 1958. — 283 с.

8. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближенного вычисления интегралов и приближенное решение интегральных уравнений / И. В. Бойков. — Пенза : Пенз. политехи, ин-т, 1981. — 106 с.

9. Бойков, И. В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов / И. В. Бойков. — Саратов : Изд-во Саратов, гос. ун-та, 1983. — 210 с.

10. Бойков, И. В. Оптимальные методы вычислений в задачах автоматического регулирования / И. В. Бойков. — Пенза : Изд-во Пенз. политехи, ин-т, 1983. — 96 с.

11. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Н. Ф. Добрынина, J1. Н. Домнин. — Пенза : Изд-во Пенз. ГТУ, 1996. 188 с.

12. Бойков, И. В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков — Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. 316 с.

13. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Е. Г. Романова // International Conference on Computational Mathematics. — Part first. Novosibirsk. 2004. - P. 411-417.

14. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов / И. В. Бойков. — Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2005. — 360 с.

15. Бойков, И. В. Сплайн-коллокационный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Вестник Харк. нац. ун-та. 2007. - № 775. Сер. «Математическое моделирование. Информационные технологии.

16. Автоматизированные системы управления», вып. 7 . С. 36-49: Библиогр.: 14 назв.

17. Вайникко, Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский — М. : Янус, 2001. — 508 с.

18. Векуа, И. Н. Обобщенные аналитические функции / И. Н. Векуа — М. : ГИФМЛ, 1959. 628 с.

19. Векуа, Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи / Н. П. Векуа — М. : Наука, 1970. — 380 с.

20. Васильев, Е. Н. Журнал технической физики. — 1965. — Т.35. — Вып. 10.

21. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер — М. : Наука, 1967. 576 с.

22. Гахов, Ф. Д. Уравнения типа свертки / Ф. Д. Гахов, Ю. И. Черский. М. : Наука, 1978. — 296 с.

23. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. М. : Наука, 1963. — 640 с.

24. Гельфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними / Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. — Вып. 1. — М. Физматгиз, 1959. — 470 с.

25. Гохберг, И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман — М.: Наука, 1971. — 352 с.

26. Иванов, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов — Киев : Наукова думка, 1968. — 287 с.

27. Иванов, В. В. Об оптимальных алгоритмах численного решения сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов // В сб. : Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М. : Наука, 1972. С. 209-219.

28. Канторович, JI. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / JI. В. Канторович, Г. П. Акилов — М. : Наука, 1959. 684 с.

29. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс М. : Мир, 1987. - 311 с.

30. Крылов, В. И. Приближенные методы вычисления интегралов / В. И. Крылов. М. : ГИФМЛ, 1959. - 327 с.

31. Лаврентьев, М. А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы / М. А. Лаврентьев // Тр. ЦАГИ. — 1932. — Т. 118. С. 3-56.

32. Лебедев, В. И. О вычислении интегралов в смысле главного значения, весов и узлов квадратурных формул Гаусса / В. И. Лебедев, О. В. Бабурин. ЖВМ и МФ, 1965, т. 5, № 3, с. 454-462.

33. Леонтович, М. А. К теории возбуждения колебаний в вибраторах антенн / М. А. Леонтович, М. Л. Левин // Журнал технической физики. 1944. - Т. 14. - № 9. - С. 481-520.

34. Линьков, А. М. Гиперсингулярные интегралы в плоских задачах теории упругости / А. М. Линьков , С. Г. Могилев екая // ПММ. — 1980. Т. 54. - № 1. - С. 116-122.

35. Линьков, А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости / А. М. Линьков — СПб. : Наука, 1999. С. 241-251.

36. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И. К. Лифанов — М. : ТОО "Янус", 1995. 520 с.

37. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / А. Л. Люстерник, В. И. Соболев. — М. : Наука, 1965. — 520 с.

38. Марков, Г. Т. Антенны / Г. Т. Марков, Д. М. Сазонов. — М. : Энергия, 1975. 528 с.

39. Михайлов, Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л. Г. Михайлов // Труды АН Тадж. ССР. — Душанбе, 1963. Т. 1. - 126 с.

40. Михаськив, В. В. О численном решении трехмерных статических задач теории упругости для тела с включением неканонической формы / В. В. Михаськив , Б. М. Стасюк // Прикладная механика. 2007. - Т. 43. - № 4. - С. 27-35.

41. Михлин, С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С. Г. Михлин. — М. : Физматгиз, 1962. 254 с.

42. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. — М. : Наука, 1968. — 612 с.

43. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. — М. : Наука, 1966. 700 с.

44. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. М. ; Л. : ГИФМЛ, 1949. - 688 с.

45. Неганов, В. А. Сингулярные интегральные уравнения как метод физической регуляризации некорректных электродинамических задач радиотехники и связи / В. А. Неганов // Успехи современной радиотехники. — 2005. — № 12. — С. 16—24.

46. Некрасов, А. И. Теория крыла в нестационарном потоке / А. И. Некрасов. М. : Изд-во АН СССР, 1947. - С. 3-65.

47. Никольский, С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский. — М. : Наука, 1979. — 254 с.

48. Обломская, Л. Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений в банаховых пространствах / Л. Я. Обломская // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. - Т. 8. - № 2. - С. 417-426.

49. Оселедец, И. В. Приближенное обращение матриц / И. В. Оселедец, Е. Е. Тыртышников // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2005. — Т, 45. — № 2. С. 315-326.

50. Панасюк, В. В. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции / В. В. Панасюк, М. П. Саврук, 3. Т. Назарчук — Киев : Наук, думка, 1984. — 344 с.

51. Пресдорф, 3. Некоторые классы сингулярных уравнений / 3. Пресдорф М. : Мир, 1979. - 494 с.

52. Пыхтеев, Г. Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида / Г. Н. Пыхтеев. — Новосибирск : Наука, Сиб. отд-ние, 1980.

53. Пыхтеев, Г. Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши / Г. Н. Пыхтеев. — Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1982.

54. Сазонов, Д. М. Антенны и устройства СВЧ / Д. М. Сазонов. — М. : Высшая школа, 1988. — 434 с.

55. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев — Минск : Наука и техника, 1987. — 688 с.

56. Соболев, С. JI. Введение в теорию кубатурных формул / С. Л. Соболев М. : Наука, ГИФМЛ, 1974. - 808 с.

57. Тиман, А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного / А. Ф. Тиман — М. : Наука, ГИФМЛ, 1960. — 624 с.

58. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. — М. : Наука, 1986. — 288 с.

59. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. — Т. 2. — М. : Физматгиз, 1959.— 808 с.

60. Чикин, Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярные интегральные уравнения. / Л. А. Чикин // Уч. зап. Казанского гос. ун-та. 1953. - Т. 113. - № 10. - С. 53-105.

61. Эшли, X. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов / X. Эшли , М. Лэндал — М. : Машиностроение, 1969. — 129 с.

62. Atkinson, К. Е. The Numerical Evaluation of the Cauchy Transform on Simple Closed Curves / К. E. Atkinson // Society for Industrial and

63. Applied Mathematics. — Journal on Numerical Analysis, 1972. — V. 9. — P. 284-299.

64. Boikov, I. V. Numerical methods of computation of singular and hypersingular integrals // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2001. V. 28. - № 3. - P. 127-179.

65. Elliot, D. The Approximate Solution of Singular Integral Equations / D. Elliot // Solution Methods for Integral Equations. — Theory and Applications, 1979. P. 83-107.

66. Hallen, E. Electromagnetic Theory. — London : Chapman & Hall, 1962. 1944. - P. 444-504. - P. 127-179.

67. Michlin, S.G. Singulare Integraloperatoren / S. G. Michlin, S. Prossdorf Berlin : Acad. - Verl., 1980. - 514 p.

68. Monegato, G. The Numerical Evaluation of One-Dimensional Cauchy Principal Value Integrals / G. Monegato. — Computing, 1982. — V. 20. — P. 337-354.

69. Prossdorf, S. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations / S. Prossdorf, B. Silbermann. — Berlin. : Acad. Verl., 1991. — 544 p.

70. Prossdorf, S. A Finite Element Collocation Method for Singular Integral Equations / S. Prossdorf, G. Shmidt // Math. Nachr., 1981. — V. 100. P. 33-60.

71. Ramm, A. G. Theory and Applications of Some New Classes of Integral Equations — Berlin : Springer- Verlag, 1980. — 343 p.

72. Wiener, N. Uber eine Klasse Singularer Integralgleichungegen / N. Wiener, E. Hopf. Berlin : Sitz. Acad. Wiss., 1931. - P. 696—706.