Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости на основе квазигидродинамических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Ключникова, Анна Викторовна

• Ключникова, Анна Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ключникова, Анна Викторовна

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение

Глава I. Методы численного моделирования задач гидродинамики

1.1. Обзор методов решения уравнений Навье-Стокса

1.2. Квазигидродинамическая модель

Глава П. Методы численного решения КГД-системы

2.1. Общая схема решения

2.2. Разностная аппроксимация системы уравнений и явный метод решения уравнений переноса

2.3. Неявный метод решения уравнений переноса

2.4. Метод решения уравнения Пуассона

2.5. Метод приближенной факторизации сопряженных градиентов . 35 Глава III. Апробация метода

Введение

3.1. Задача о течении жидкости в канале

3.2. Тепловая конвекция в квадратной области, вызванная горизонтальным градиентом температур

3.3. Тепловая конвекция при малых числах Прандтля

3.3.1. Результаты расчетов для Я-Я случая

3.3.2. Результаты расчетов для К-Б случая

3.4. Задача о конвекции Марангони

Глава IV. Моделирование термокапиллярной конвекции в процессе

бестигельной зонной плавки в условиях невесомости

4.1. Введение

4.2. КГД-система с учетом диффузии примеси

4.3. Постановка задачи

4.4. Результаты расчетов

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости на основе квазигидродинамических уравнений»

Введение.

Актуальной задачей современной гидродинамики является численное моделирование конвективных течений несжимаемой жидкости, связанных с многочисленными техническими приложениями: тепловая гравитационная конвекция в расплавах, термокапиллярная конвекция при отсутствии гравитации (многие процессы космической технологии: направленная кристаллизация, бестигельная зонная плавка) и др.

Большинство алгоритмов для расчета таких течений строится на основе традиционных уравнений Навье-Стокса, однако, несмотря на большой опыт решения этих уравнений, их численная реализация встречается с значительными трудностями.

Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов для моделирования течений несжимаемой жидкости является использование квазигидродинамической (КГД) системы уравнений, которые отличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными вязкими членами с малым параметром.

Цель работы состоит в создании численных алгоритмов решения квазигидродинамических уравнений и их апробация на характерных задачах о течении жидкости как стационарного, так и нестационарного типа, а также их сравнение с традиционными численными методами.

Опираясь на предложенные КГД-уравнения, в диссертации построены явные и неявные разностные схемы для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости. В отличие от традиционных схем, данные алгоритмы не требуют введения искусственной вязкости для обеспечения устойчивости счета при моделировании течений с большими скоростями. Роль регуляризирующих добавок в этих алгоритмах играют дополнительные диссипативные члены, входящие в КГД-уравнения и отсутствующие в традиционных уравнениях Навье-Стокса. Это позволяет использовать центрально-разностную

апгшроксимацию второго порядка точности для всех пространственных производных, включая конвективные слагаемые.

Построенный в диссертации алгоритм является удобным и эффективным способом численного расчета течений вязкой несжимаемой жидкости в широком диапазоне параметров.

На основе построенных алгоритмов проведено численное моделирование стационарных и нестационарных режимов тепловой гравитационной конвекции, а также ряда режимов термокапиллярной конвекции, представляющих практический интерес.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, изложенных на 78 страницах, 53 иллюстраций и списка литературы, содержащего 50 наименований.

В первой главе приводится обзор современных методов решения системы уравнений Навье-Стокса, при этом особое внимание уделяется принципиальным трудностям, которые возникают при численном решении этих уравнений. Во втором параграфе этой главы дано сжатое изложение нового подхода к описанию задач гидродинамики - системы КГД уравнений.

Во II главе разработана разностная аппроксимация КГД-системы. Рассмотрены явный и неявный численные методы решения получившейся системы разностных уравнений. В первом параграфе этой главы приводится общая схема решения КГД-системы, обсуждаются преимущества и недостатки явного и неявного методов решения уравнений переноса, а также описывается методика представления результатов расчетов. В параграфе 2.2 описывается разностная аппроксимация системы уравнений и граничных

и С КА ТЧ

условии, приводится явный метод решения уравнении переноса. В третьем параграфе II главы излагается процесс построения неявного метода решения уравнений переноса. Параграф 2.4 посвящен методу решения уравнения Пуассона для давления, здесь изложен способ аппроксимации граничных условий для давления, обеспечивающий симметричность и положительную определенность матрицы краевой задачи. В пятом параграфе описывается

метод приближенной факторизации сопряженных градиентов для решения СЛАУ с симметричной положительно определенной матрицей.

В III главе на основе КГД-системы проводятся численные расчеты ряда известных тестовых задач с использованием разработанных численных методов. В частности, рассмотрены как стационарные задачи (течение Пуазейля, тепловая конвекция, вызванная горизонтальным градиентом температур, конвекция Марангони), так и задача о тепловой конвекции при малых числах Прандгля, течение в которой в зависимости от величины параметра (числа Грасгофа) представляет собой либо стационарный, либо сложный колебательный режим. Полученные результаты сравниваются с данными численных расчетов рассматриваемых задач на основе системы Навье-Стокса. Первый параграф данной главы посвящен задаче о течении жидкости в канале. В параграфе 3.2 рассматривается стационарное конвективное движение жидкости в квадратной полости с двумя вертикальными изотермическими стенками. В третьем параграфе III главы рассмотрена тепловая гравитационная конвекция при малых числах Прандтля для двух различных типов условий на верхней границе. В параграфе 3.4 проводится рассмотрение термокапиллярной конвекции жидкости при отсутствии гравитации.

В IV главе КГД-система применяется для численного решения практической задачи, возникающей при получении кристаллов методом зонной плавки в условиях невесомости, когда конвективное движение расплава определяется процессами термокапиллярной конвекции, или конвекции Марангони.

Как показывает практика расчетов, КГД уравнения представляются удачной моделью для численного анализа конвективных течений в широком диапазоне параметров. КГД-систему можно эффективно использовать для расчета сложных нестационарных конвективных движений. Возможно использование построенных численных алгоритмов для решения ряда практических задач.

Основные результаты диссертации докладывались:

- на IV Международной конференции "МАТЕМАТИКА, КОМПЬЮТЕР, ОБРАЗОВАНИЕ" /г. Пущино, 1997 г./;

- на X Европейском и VI Российском симпозиуме "Физические науки в невесомости" /С. Петербург, 1997 г./;

- на семинаре в институте вычислительной математики РАН /8 октября 1998г./;

- на совместном заседании кафедры вычислительных методов и лаборатории математического моделирования в физике ф-та ВМиК МГУ /14 октября 1998 г./;

- на семинаре института проблем механики РАН под рук. В.И. Полежаева /22 декабря 1998 г./.

Тезисы по материалам IV главы приняты на 2nd International Symposium on Computational Technologies for Fluid/Thermal/Chemical Systems with Industrial Applications (ASME-PVP), Boston, August 1-5, 1999.

Работа поддержана грантом РФФИ 98-01-00155 «Новые подходы и численные алгоритмы для моделирования вязких течений газа и жидкости».

Материалы, представляющие содержание диссертации, с достаточной полнотой опубликованы в [46]-[50].

В заключение автор считает приятным долгом выразить признательность своему научному руководителю Калачинской Ирине Станиславовне и научному консультанту Елизаровой Татьяне Геннадьевне за постоянную поддержку в работе, внимательный ее разбор и ценные замечания и предложения по улучшению изложения материала.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Ключникова, Анна Викторовна

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем.

1. Построен разностный алгоритм решения КГД-уравнений и разностная аппроксимация граничных условий к ним. При этом уравнение Пуассона решается итерационным методом приближенной факторизации сопряженных градиентов, а для уравнений количества движения и баланса тепла построены явный и неявный алгоритмы решения. Аналитической основой последнего является неявный метод решения уравнений движения типа Бима и Уорминга.

2. Проведено тестирование явного метода на примере задач стационарной тепловой гравитационной конвекции, вызванной горизонтальным градиентом температур, и нестационарной тепловой конвекции при малых числах Прандтля, а также тестовых задач термокапиллярной конвекции в невесомости. Показана эффективность предложенного алгоритма и проведено его сравнение с алгоритмами, основанными на традиционных уравнениях Навье-Стокса.

3. Построена математическая модель течения расплава в процессе получения кристаллов методом бестигельной зонной плавки в условиях невесомости. Проведено численное моделирование режимов конвективного движения, обусловленного капиллярным эффектом. Исследована зависимость структуры конвективного движения от параметров модели (формы и интенсивности теплового потока). Данная задача имеет практическое значение при получении кристаллов в космосе.

Методы, разработанные в диссертации, могут быть использованы при моделировании многих сложных нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости.

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ключникова, Анна Викторовна, 1998 год

Литература

[1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М., Наука, 1986.

[2] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М., Наука, 1987.

[3] П. Роуч. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

[4] Numerical Simulation of Oscillatory Convection in Low-Prandtl Fluids. A GAMM-Workshop. Notes on Numerical Fluid Dynamics. 1990. V. 27, Vieweged. (FRG)

[5] Behnia M., Synthesis of Finite Difference Methods, Workshop: "Numerical simulation of oscillatory convection in low-Pr fluids" // Notes on Numerical Fluid Dynamics. 1990. V. 27, Vieweg ed. (FRG). P. 265-272.

[6] Behnia M. & de Vahl Davis G., Fine Mesh Solutions Using Streamfunction -Vorticity Formulation. Там же. P. 11-18.

[7] Ben Hadid H. & Rom В., Buoyancy-Driven Oscillatory Flows in Shallow Cavities Filled with a Low-Prandtl Number Fluid. Там же. P. 25-34.

[8] Biringen S., Danabasoglu G. & Eastman Т.К., A Finite-Difference Method with Direct Solvers for Thermally-Driven Cavity Problems. Там же. P. 35-42.

[9] Ohshima H. & Ninokata H., Numerical Simulation of Oscillatory Convection in Low Prandtl Number Fluids Using AQUA Code. Там же. P. 90-97.

[10] Ohnishi M., Azuma H., Doi T. Computer simulation of oscillatory Marangoni flow//AstaAstronautica. 1992. V. 26. N 8-10. P. 685-696.

[11] Rom В., Ben HadidH. & Laure P. Hydrodynamieal regimes in metallic melts subject to a horizontal temperature gradient // Eur. J. Mech., B/Fluids. 1989. V. 8, №5. P. 375-396.

[12] Елизарова ТТ., Четверушкин Б.Н. Об одном вычислительном алгоритме для расчета газодинамических течений. Докл. АН СССР, 1984, т.279, N 1, с.80-83.

[13] Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетический алгоритм для расчета газодинамических течений. Ж. Вычисл. Математики и математической физики, 1985, т.25, N 10, с. 1526 - 1533.

[14] Антонов А.Н., Елизарова Т.Г., Павлов А.Н., Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование колебательных режимов при обтекании тела с иглой. Ж. Математическое моделирование, 1989, т.1, N 1, с. 14 -23.

[15] Антонов А.Н., Елизарова Т.Е., Четверушкин Б.Н., Шеретов Ю.В. Численное моделирование пульсационных режимов при сверхзвуковом обтекании цилиндра. ЖВМ и МФ, 1990, т.30, N 4, с. 548 - 556.

[16] Антонов М.А., Траур И.А., Косарев Я.В., Четверушкин Б.Н. Численное моделирование пульсаций давления в трехмерных выемках. Математическое моделирование, 1996, т. 8, N 5, с. 76 - 90.

[17] Шеретов Ю.В. Квазигидродинамические уравнения как модель течений сжимаемой вязкой теплопроводной среды. В сб. Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. университет, 1997. С. 127-155.

[18] Шеретов Ю.В. О единственности решений одной диссипативной системы уравнений гидродинамического типа // Математическое моделирование. 1994. Т.6, N 10. С. 35-45.

[19] Шеретов Ю.В. Об одной новой математической модели в гидродинамике. В сб. Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. университет, 1996. С. 124 - 134.

[20] Шеретов Ю.В. О точных решениях квазигидродинамических уравнений. В сб. Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. университет, 1998. С. 213 -241.

[21] Андерсон Д., Таннехшл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир, 1990. Т.2.

[22] Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. С. 616.

[23] Библиотека программ для решения сеточных уравнений /Под ред. Е.С. Николаева/ М.: Изд-во Московского университета, 1984.

[24] M.R. Hestenes and Е. Stiefel, Methods of conjugate gradients for solving linear systems //Nat. Bur. Standards J. 1952. Res. 49. P. 409-436.

[25] David S. Kershaw, The Incomplete Cholesky-Conjugate Gradient Method for the Iterative Solution of Systems of Linear Equations // J. Comput. Phys. 1978. V. 26. № 1. P. 43-65.

[26] Graur L.A., Elizarova T.G., Lengrand J.C. Quasigasdynamic equations with multiple translational temperatures. Laboratoire d'Aerothermique du CNRS, Meudon (Fr), R 97-1,1997.

[27] Morihara H., Ta-Shun Cheng R. Numerical solution of the viscous flow in the entrance region of parallel plates // J. Comput. Phys. 1973. V. 11, №4. P. 550572.

[28] Иванов В.П., Клочков В.П., Козлов П.В., Орланов В.И. Исследование развития ламинарного течения на входном участке плоского канала с помощью лазерного доплеровского измерителя скорости // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1975. №5. С. 175-178.

[29] Гуров Д.Б., Елизарова ТТ., Шеретов Ю.В. Численное моделирование течений жидкости в каверне на основе квазигидродинамической системы уравнений. Журнал Математическое Моделирование, 1996, т. 8, N 7, с. 33-44.

[30] Вабищевич П.Н., Макаров М.М., Чуданов В.В., Чурбанов А.Г. Численное моделирование конвективных течений в переменных "функция тока, вихрь скорости, температура", Институт Математического Моделирования, Препринт N 28, Москва, 1993.

[31] G. de Vahl Davis, Jones LP. Natural convection in a square cavity - a comparison exercise, Int. J. Num. Methods in Fluids, 1983, N 3, p. 227 -248.

[32] Земское B.C. Сегрегация компонентов сплавов, обусловленная явлением барометрической молекулярной диффузии в потенциальных полях гравитационных и центробежных сил. // ДАН СССР. 1977. Т. 233, № 2. С. 341-344.

[33] Земское B.C., Белокурова И.Н., Хавжу Д.М. О распределении примеси в поперечном сечении кристаллов при направленной кристаллизации в невесомости. // Физика и химия обраб. материалов. 1985. № 6. С. 75-80.

[34] Земское B.C., Титков А.А., Белокурова И.Н. и др. Особенности распределения кремния и сурьмы в кристаллах твердых растворов германий-кремний-сурьма, полученных в эксперименте «Универсальная печь» по программе «Союз-Аполлон». // Физика и химия обраб. материалов. 1977. № 5. С. 135-138.

[35] Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на

основе уравнений Навье-Стокса / В.И. Полежаев, А.В. Бунэ, Н.А. Верезуб и др. - М.: Наука, 1987.

[36] Конвективные процессы в невесомости / В.И. Полежаев, М.С. Белло, Н.А. Верезуб и др. - М.: Наука, 1991.

[37] Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов /Под ред. B.C. Адуевского, В.И. Полежаева/ М.: Наука, 1990.

[38] Schwabe D., Scharmann A. Measurements of the critical Marangoni number of the laminar<H>oscillatory transition of thermocapillary convection in floating zones. // Proceedings of the 5th Europian Symposium on Material Sciences under Microgravity - Schloss Elmau, 5-7 November 1984 (E.S.A SP-222).

[39] Грязное В.Л., Ермаков M.K., Никитин C.A., Павловский Д.С. Решение задач конвекции на персональном компьютере: Препр. ИПМ АН СССР. № 481. М., 1990. 20 с.

[40] Дубовик К.Г., Никитин С.А., Полежаев В.И. и др. Конвективные процессы в невесомости и их значение в задачах космической технологии. // Гидродинамика и тепломассообмен в невесомости. М.: Наука, 1982. С. 61-71.

[41] Дубовик К.Г., Павловский Д.С., Полежаев В.И., Федюшкин А.И. Конвективные процессы при получении монокристаллов ВТСП. М., 1989. 47 с. (Препр. ИПМ АН СССР. №434).

[42] Schwabe D., Scharmann A., Preisser F., Oeder R. Experiments on Surface Tension Driven Flow in Floating Zone Melting. I I J. Crystal Growth. 1978. V. 43. P. 305-315.

[43] Chun C.-H., Wuest W. Experiments on the Transition from the Steady to the Oscillatory Marangoni Convection in Floating Zone under Reduced Gravity Effect. //Acta Astronautica. 1979. V. 6. P. 1073-1082.

[44] Eyer A., Leiste H., Nitsche R. Floating zone growth of silicon under microgravity in a sounding rocket 11 J. Cryst. Growth. 1985. Vol. 71. P. 173182.

[45] Carlberg Т. A preliminary report of floating-zone experiments with germanium crystals in a sounding rocket // Proc. V Europ. symp. on mater, sci. under microgravity. Schloss Elmau, 1984. P. 367-373.

[46] Феонычев A.M., Похилко В.И., Калачинская И.С., Ключникова А.В., Елизарова ТТ. Использование эффекта резонанса и осцилляционных режимов конвекции для идентификации собственных частот жидких объемов. // Сборник докладов третьей международной конференции «Идентификация динамических систем и обратные задачи», 1998. С. 219 -235.

[47] Елизарова Т.Г., Калачинская КС., Ключникова А.В., Шеретов Ю.В. Использование квазигидродинамической системы уравнений для моделирования течений теплопроводной жидкости. Труды IV Международной конференции "МАТЕМАТИКА, КОМПЬЮТЕР, ОБРАЗОВАНИЕ", 1997. С. 108 -115.

[48] T.G. Elizarova, I.S. Kalachinskaya, A.V. Kluchntkova, Yu.V. Sheretov. Viscous flow simulation basing on a new hydrodynamic model. Proceedings of the Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on "Physical Sciences in Microgravity", 1997. P. 233 - 236.

[49] Елизарова Т.Е., Калачинская И.С., Ключникова A.B., Шеретов Ю.В. Использование КГД-уравнений для моделирования тепловой конвекции при малых числах Прандтля. Ж. Вычисл. Математики и математической физики. 1998. Т. 38, №10. С. 1732-1742.

[50] Елизарова Т.Е., Калачинская И.С., Ключникова А.В., Шеретов Ю.В. Расчет конвективных течений на основе квазигидродинамических уравнений. В сб. Проблемы математической физики /Ред. Д.П. Костомаров, В.И. Дмитриев/М.: «Диалог-МГУ», 1998. С. 193-208.