Численное моделирование в задачах горения и дифракции ударных волн: алгоритмы на основе метода конечного объема тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Мартюшов, Сергей Николаевич

• Мартюшов, Сергей Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Мартюшов, Сергей Николаевич

Введение

Глава 1. Нелинейные разностные алгоритмы для численного моделирования течений невязкого идеального газа

§ 1.1 Разностный алгоритм Хартена.

§ 1.2 Схема Чакраварти - Ошера.

§ 1.3 Метод коррекции потоков.

§ 1.4 Дискретизация по времени.

§ 1.5 Особенности задания краевых условий в нестационарных разностных задачах настоящего комплекса программ.

Глава 2. Моделирование течений горения и детонации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование в задачах горения и дифракции ударных волн: алгоритмы на основе метода конечного объема»

и детонации, основные области применения. 65

§ 2.2 Описание математических моделей течений горения 72 и детонации газовых смесей.

§ 2.3 Разностный алгоритм на основе схемы Хартена для численного моделирования течений смеси реагирующих невязких газов. 77

§ 2.4 Некоторые особенности вычисления собственных векторов и собственных значений матрицы потоков в разностных алгоритмах.83

Глава 3. Алгоритмы построения расчетных сеток. 91

§3.1 Уравнения Пуассона для построения эллиптических сеток. 92

§ 3.2 Описание алгоритма построения двумерных сеток 99 § 3.3 Построение трехмерных сеток и сеток на 103 поверхности.

§ 3.4 Построение блочных структурированных сеток для расчета течений в областях сложной формы и разномасштабных течений. 105

§ 3.5 Вычисление геометрических величин структурированных сеток в рамках метода конечного объема. 109

Глава 4. Сравнение моделей конечного объема и конечных разностей 114

§4.1 Сравнение метода конечного объема и метода конечных разностей. 114

§ 4.2 Рассмотрение краевых условий в конечно

Объемной и конечно разностной постановке. 129

Глава 5. Численное моделирование течений горения и детонации газовых смесей. 139

§ 5.1 Численное моделирование течений в инжекторах. 143 § 5.2 Численное моделирование инициации детонации в каналах сложной формы. 150

§ 5.3 Численное моделирование работы импульсного детонационного двигателя. 157

§ 5.4 Численное моделирование течений в спиновом детонационном двигателе. 167

§ 5.5 Расчет горения и детонации водородсодержащей газовой смеси под оболочкой реакторного зала. 172

Глава 6. Расчет течений дифракции ударных волн на свободном и закрепленном теле. 181

§ 6.1 Дифракция плоской ударной волны на сфере в ударной трубе .182

§ 6.2 Дифракция плоской ударной волны на сфере в ударной трубе. Трехмерные расчеты. 191

§ 6.3 Переход регулярное — маховское отражение при дифракции ударной волны на цилиндре и цилиндрическом сегменте. 196

Глава 7. Некоторые вопросы разработки исследовательских комплексов программ. Описание комплекса программ для расчета течений горения и детонации газовых смесей. 207

§ 7.1 Описание комплекса программ.207

§ 7.2 Некоторые вопросы разработки исследовательских комплексов программ.214

Заключение.223

Приложение к главе 3.230

Библиографический список.237

Введение

Численное моделирование и вычислительный эксперимент в последние 20-30 лет стали не только одним из основных инструментов научных исследований, но и основой проектно-конструкторской работы. Сегодня проектирование современных машин и механизмов, зданий и сооружений невозможно без использования результатов вычислительного эксперимента. Более того, цифровые фотографии результатов натурных научных экспериментов для получения количественных данных в современных Р1У-технологиях обрабатываются численными математическими методами.

При всем многообразии методов и подходов в численном моделировании можно выделить необходимые составные части этого процесса. Это выбор математической модели в виде систем уравнений или неравенств, адекватно описывающей исследуемые физические процессы, разработка вычислительного алгоритма, или совокупности алгоритмов для численного решения уравнений математической модели, создание на основе этих алгоритмов программ, комплексов или пакетов программ.

Совокупность численных алгоритмов делится на алгоритмы временной и пространственной дискретизации и алгоритмы построения расчетных сеток для получения решения в дискретных точках. В свою очередь комплексы и пакеты программ содержат более или менее развитые системы обработки и визуализации результатов численного эксперимента.

Нелинейные разностные схемы

Численное моделирование многих практически важных задач газовой динамики, связанных с исследованием течений достаточно сложной структуры, целесообразно выполнять на основе модели невязкого нетеплопроводного газа в интегральной форме, допускающей существование обобщенных решений и не требующей явного выделения возникающих в течении разрывов, в сочетании с разностными схемами сквозного счета (РССС) - схемами, основанными на использовании уравнений газовой динамики в интегральной форме (метода конечного объема). В такой постановке обычно рассчитываются как стационарные течения с более или менее многочисленными сильными и слабыми разрывами (в том числе и взаимодействующими между собой), так и нестационарные, при моделировании которых применение РССС особенно оправданно вследствие возможного качественного изменения всей структуры течения со временем.

Для решения нестационарных задач механики сплошной среды естественными преимуществами обладают разностные алгоритмы, основанные на моделировании распада разрыва - схемы типа Годунова (Godunov-type schemes в международной терминологии) высокого порядка аппроксимации. Однако, как было показано С.К. Годуновым [95], задача построения монотонной схемы порядка аппроксимации выше первого на фиксированном шаблоне не имеет решения. Поэтому развитие схем типа Годунова в направлении повышения порядка аппроксимации происходило в нескольких направлениях: методы фильтрации сеточных функций [5], подавляющие высокочастотные гармоники решения, методы введения в областях больших градиентов дополнительных диссипативных членов (члены с "искусственной вязкостью"), сглаживающих решение, либо использование нелинейных алгоритмов расчета, обеспечивающих противопоточный характер схем высокого порядка аппроксимации.

По-видимому, наиболее перспективными среди существующих РССС являются противопоточные методы повышенного (второго и выше) порядка аппроксимации, при построении которых так или иначе, используются характеристические свойства решаемой системы уравнений. К ним относятся схемы с "плюс-минус" расщеплением вектора потока [100,167,182,200], а также все разновидности разностных методов, основанных на использовании точного или приближенного решения задачи о распаде разрыва [120,130,132,172]. Для обеспечения квазимонотонности решения подавляющее большинство этих схем построено с использованием принципа невозрастания полной вариации решения, т.е. принадлежат к семейству TVD (Total Variation Diminishing). Последний термин, предложенный А. Хартеном, объединяет алгоритмы, которые, будучи примененными к решению нелинейных скалярных уравнений или систем уравнений с постоянными коэффициентами, обеспечивают невозрастание полной вариации численного решения; иными словами, исключают возможность как возникновения новых, так и усиления существующих экстремумов решения. Отметим, что в случае гиперболических систем нелинейных уравнений свойство квазимонотонности TVD-схем не доказано и может быть проверено только численными экспериментами.

В последнее 15 лет нелинейные разностные схемы сквозного счета высокого порядка точности, в частности семейства TVD и ENO-схем, находят широкое применение в расчетах газодинамических течений. В настоящей работе описываются вопросы применения TVD-схем, а именно схем Хартена (с работ которого и началось развитие TVD-схем) и Чакраварти к расчетам течений быстрого * горения и детонации газовых смесей и задачам дифракции ударных волн.

Все TVD-схемы, по самому способу их построения, являются существенно нелинейными (даже в случае линейных уравнений с постоянными коэффициентами) и гибридными. Нетрудно показать, что любую из TVD-схем повышенного порядка аппроксимации можно представить в виде комбинации некоторой диссипативной схемы (обычно схемы с разностями против потока o(h)) и дополнительных слагаемых, уменьшающих ее диссипативность. Выделенные слагаемые (по смыслу аналогичные антидиффузионным потокам в методе коррекции потоков Бориса-Бука [108]) обеспечивают повышение порядка аппроксимации схемы от o(h) до o(hp). Однако для придания схеме свойств квазимотонности в соответствии с TVD-принципом антидиффузионные слагаемые (потоки) должны быть ограничены. Способ ограничения антидиффузионных потоков не единственен. Выбор этого способа во многом определяет свойства построенной TVD-схемы. Подробно различные типы ограничителей рассмотрены в работе [36].

Обобщение ТУО-схем на случай систем гиперболических уравнений производится посредством расщепления рассматриваемой системы на уравнения для характеристических переменных и применения к каждому отдельно взятому уравнению построенной в скалярном случае схемы [36,108,120,130,172]. Переход от консервативных переменных к характеристическим и обратно осуществляется локальным образом и является, по сути дела, вариантом приближенного решения задачи о распаде газодинамического разрыва на грани расчетной ячейки.

Использование при сквозном счете интегральных уравнений газовой динамики для консервативных переменных расширяет класс возможных решений уравнений до обобщенных. Однако выполнение условия невозрастания полной вариации не решает единственным образом вопрос о выборе в ходе расчета физически верного решения. В получаемых по ТУЭ-схемам результатах могут возникать так называемые "скачки разрежения" (т.е. разрывы, сопровождающиеся уменьшением энтропии) вместо гладких решений (волн разрежения). При этом для отбора истинного решения приходится привлекать дополнительные соображения: например, требовать неубывания энтропии на разрывах.

Дискретизация по времени. С точки зрения дискретизации по времени разностные схемы метода контрольного объема могут быть явным или неявными. Следует отметить, что физически некорректное моделирование распространения возмущений, связанное с типом разностной схемы, приводит к ухудшению качества численного решения. Явные схемы оказываются лучше согласованными с конечной скоростью распространения возмущений, характерной для гиперболических уравнений, ограничивая их перенос одним шагом сетки за один шаг по времени. Рост мощности современных многопроцессорных вычислительных систем делает оправданным использование простых явных конечно-разностных схем.

Дискретизация по пространству. Различные версии метода контрольного объема отличаются способом вычисления потоков. Одна из характерных особенностей решений системы уравнений газовой динамики состоит в возможности возникновения и распространения разрывов в первоначально непрерывном решении. Наличие этой особенности накладывает определенные требования на численный метод, претендующий на возможность использования в широком диапазоне скоростей течения газа. При расчете высокоскоростных течений важной представляется консервативность разностной схемы, обеспечивающая правильное определение скорости распространения ударных волн и контактных разрывов. В областях малого изменения искомых функций (например, при распространении слабых акустических колебаний) желательно использовать разностные схемы с хорошими дисперсионными и диссипативными свойствами, когда амплитудные и фазовые ошибки при переносе гармоник невелики. К другим требованиям относятся отсутствие нефизических осцилляций решения и достижение как минимум второго порядка, точности в областях, где отсутствуют большие градиенты искомых функций.

В методе Годунова [24] для вычисления газодинамических величин на гранях использовалось точное решение задачи о распаде произвольного разрыва. В дальнейшем стали применяться приближенные решения задачи о распаде произвольного разрыва (одними из первых были получены схемы Ройе [172] и Ошера [164]).

Основная проблема при построении разностных схем расчета потоков заключается в желании повысить порядок аппроксимации и одновременно обеспечить получение монотонного численного решения при наличии слабых и сильных разрывов.

Свойством монотонности обладает схема Годунова [24], имеющая первый порядок точности, а также ее различные модификации. Схема Годунова основана на кусочно-постоянном распределении параметров течения на нижнем временном слое и точном решении задачи о распаде произвольного разрыва.

Как указывалось выше, С.К. Годуновым [23] показано, что не существует линейной монотонной разностной схемы выше первого порядка точности (теорема Годунова). Выход из противоречия между необходимостью получения монотонного решения и повышением порядка аппроксимации предложен в работе В.П. Колгана [40] и независимо в работах А. Хартена [37,130,131,206,207]. Смысл этих и последующих работ данного направления заключается в создании нелинейных механизмов, обеспечивающих непрерывный переход от немонотонной схемы второго порядка аппроксимации с центральными разностями к монотонной схеме первого порядка с односторонними разностями в узлах сетки. Разностные схемы с повышенным порядком аппроксимации используются в узлах, в которых численное решение является гладким, а в точках, решение в которых имеет разрывы, используются монотонные разностные схемы низкой точности.

Принцип минимальных значений производных, применяемый в схеме Колгана [40] позволяет повысить порядок схемы Годунова до второго по всем направлениям, за исключением направления интегрирования. Схема Колгана является неоднородной, но сохраняет свойство монотонности, позволяя уменьшить размывание контактных разрывов и слабых скачков уплотнения, а также достичь большей точности в областях непрерывного изменения решения.

Другой вариант принципа минимальных производных для построения разностных схем второго порядка представлен в работе [204]. Для повышения порядка аппроксимации базовой схемы первого порядка применяются подходы, согласованные с условием неубывания энтропии и его следствиями [154].

Развитие монотонизированных разностных схем повышенного порядка точности связано с работами Ван Лира [196-199]. Недостатки этих подходов (flux limited method). а также метода коррекции потока Бориса-Бука [108, 109] (flux correction transport) связаны с тем, что в них делается попытка добиться монотонности физических переменных (например, скорости и давления), которые, в принципе, не обязаны быть монотонными. Дифференциальные уравнения газовой динамики удовлетворяют принципу максимума для инвариантов Римана, в то время как принцип максимума для физических переменных в уравнениях газовой динамики не имеет места (даже для гладких решений).

Общим для всех методов подобного класса является использование разнообразных монотонизирующих ограничителей потоков с переключателями, зависящими от локальных свойств решения. Имеется много различных ограничителей, начиная от простого ограничителя Ван Лира [200] до сложных, с большим числом переключений [18].

Большинство ограничителей имеют дискретные переключатели типа ma\(fi,f2), что приводит к разрыву первой производной и снижению точности использование абсолютных значений контрольных функций имеет тот же смысл и приводит к тем же последствиям), в связи с чем применяются гладкие ограничители.

В методе FCT на шаге предиктора вносится сильная диффузия, а на шаге корректора - равная ей антидиффузия [109]. Шаг предиктора осуществляется с использованием схемы низкого порядка, гарантирующей отсутствие нефизических осцилляций решения. Ограничение антидиффузии проводится таким образом, чтобы в решении не возникало новых максимумов или минимумов, а имеющиеся экстремумы не усиливались. Несмотря на эффективность метода FCT, дать его теоретическое обоснование достаточно трудно [109].

Перспективный путь создания схем повышенного порядка точности -использование нелинейных разностных схем, в которых аппроксимация может локально ухудшаться - схем TVD (Total Variation Diminishing), или схем, в которых монотонность выполняется только в некотором смысле - схем ENO (Essentially Non-Oscillatory). Схемы TVD и ENO позволяют получить монотонное решение без чрезмерного измельчения сетки, хотя и требуют дополнительных операций на каждом шаге интегрирования по времени.

Схемы TVD. В работах А.Хартена [37, 130,131,206,207] разработан TVD-метод, который обеспечивает выполнение принципа максимума для характеристических переменных (для инвариантов Римана в одномерной газовой динамике) и более точно передает характер поведения разрывных решений.

В противоположность методу FCT, схемы TVD одношаговые, а выбор свободных параметров сводится к выбору ограничителя потока. Простая структура ограничителя и одношаговая структура алгоритма ограничения потоков обеспечивают экономичность схем TVD.

Кроме требования монотонности или требования невозрастания полной вариации, большое влияние на точность расчетов оказывают дополнительные ограничения, в частности условие неубывания энтропии [164]. Это требование необходимо тем или иным способом учитывать при построении разностных схем газовой динамики, чтобы не возникало ударных волн разрежения в звуковой точке при описании сверхзвуковых течений в переменных Эйлера. Требование неубывания энтропии накладывает дополнительные ограничения на разностные

TVD-схемы, а также конструкции ограничителей потоков, усложняя вид переключателей.

Подробный обзор развития ENO-идеологии построения разностных схем дан в работе [82].

Широкое распространение получила нелинейная схема MUSCL [122] и ее модификации, базирующаяся на несколько другой идеологии. Помимо техники ограничения потоков, при построении монотонизированных разностных схем повышенного порядка аппроксимации используется техника монотонной интерполяции сеточных решений (Monotonie Upwind Scheme for Conservation Lows -MUSCL). Вместо потоков из соседних ячеек экстраполируются переменные, величина их производных ограничивается, а уточненные значения подставляются в выражения для потоков. Преимущество схемы MUSCL состоит в возможности повышения точности схемы за счет изменения порядка интерполяции в пределах ячейки.

Другим широко используемым представителем класса TVD - схем является схема Чакраварти-Ошера, основанная на кусочно-параболическом распределении искомых переменных в пределах ячейки [94,119].

Необходимо отметить широкое распространение в последние годы отечественных нелинейных схем высокого порядка точности [17,80,81].

В настоящей работе описываются предложенные автором модификации разностных схем.

Модификация автором а-варианта схемы Хартена [60-62,64,69] заключается в уточнении алгоритма приближенного расчета распада разрыва на границе контрольного объема, предложенного P.L.Roe [172], в соответствии с требованием монотонности профиля скорости звука, установленного M.Vinokur'oM [201]. Указанная модификация была разработана в 1995-1997 гг. Предложена оригинальная реализация TVD-схемы Чакраварти-Ошера в комбинации с временной аппроксимацией по методу Рунге-Кутты третьего суммарного порядка точности (6) [42,65,66,159]. Предложена модификация схемы SHASTA, смысл которой заключается в использовании различной аппроксимации в рамках метода конечного объема для тензора напряжений и для интеграла от тензора потоков через поверхность контрольного объема [51,52,54,55,59]. В целом данная модификация соответствует идее расщепления уравнений по физическим процессам [39, 98] и обеспечивает повышение устойчивости расчетов. Кроме того, автором были введены упрощенные значения весовых множителей к значениям диффузионных потоков.

Конструирование эллиптических расчетных сеток для расчета внутренних течений и течений реагирующих газов.

Прогресс развития численного моделирования в газовой динамике, повышение точности расчетов, качественный скачок в разрешающей способности алгоритмов в последние годы связан в большей степени с прогрессом в конструировании расчетных сеток и включении алгоритма построения сеток в структуру численного алгоритма, чем с повышением порядка точности моделирующего разностного алгоритма [10,106]. В этом смысле можно утверждать, что алгоритм построения расчетной сетки стал частью численного алгоритма решения газодинамической задачи, причем иногда определяющей точность и качество алгоритма в целом.

Основные требования к качеству сетки были сформулированы еще в первых теоретических работах, провозгласивших конструирование расчетных сеток частью вычислительной науки [16,26,193]:

- гладкость или равномерность расчетной сетки, этим свойством харктеризуется небольшое различие в форме и размерах соседних ячеек;

- ортогональность или близость к ортогональности координатных сеточных линий (иногда это свойство снижается до ортогональности на границе или части границы расчетной области);

- невырожденность и малая деформация ячеек (размеры ячеек в разных координатных направлениях должны быть близкими или соизмеримыми);

- адаптация расчетной сетки к виду расчетной области или особенностям решения основной задачи (имеется в виду и сгущение сетки в областях больших градиентов искомых функций, например ударных волн и контактных разрывов, в погранслоях и внутренних слоях, а также согласованность сеточных линий с векторными полями решения, например магнитными полями).

Последнее требование-свойство вызывает необходимость использования подвижных сеток, [26] перестраивающихся в процессе расчета нестационарных течений, и учета движения узлов и граней ячеек сетки в основном алгоритме расчета.

Это же последнее требование устанавливает место построения расчетных сеток в процессе численного моделирования. Расчетная сетка не может быть хорошей или плохой вне зависимости от задачи, которая с ее помощью решается и которая определяет понятие "оптимальности" сетки. Сетка оптимальная для решения одной задачи может быть полностью непригодна для решения другой. Это требование обусловливает в конечном счете и метод построения и выбор типа расчетной сетки. Необходимо отметить, что указанные требования -ортогональность или близость к ортогональности, невырожденность, равномерность и адаптация - являются противоречивыми и построение сетки, оптимально сочетающей эти свойства, составляет само по себе проблему.

В то же время, поскольку задача построения расчетной сетки для многих вычислителей по-прежнему представляется вспомогательной, возникает требование автоматизации процесса построения расчетных сеток [192] и разработки программного обеспечения, которое обеспечивало бы вычислителя оптимальной в некотором смысле расчетной сеткой с минимальными затратами [191].

Одним из источников снижения точности в численном моделировании является использование готовых пакетов программ с целью скорейшего построения расчетных сеток для решения прикладных задач. При этом подчас используются сетки, "оптимальные" совсем для другой постановки задачи.

Сетки различаются идеологией построения, или типом сетки (регулярные или структурированные, неструктурированные, блочные, гибридные) и методами построения, выбором алгоритма построения сетки.

Регулярные сетки широко применяются при решении задач газовой динамики (структурированные сетки с четырехугольными или треугольными ячейками на поверхности и шестигранными в пространстве). Регулярность заключается в том, что сетка представляет собой упорядоченную по определенным правилам структуру данных с выраженными сеточными направлениями [193]. На структурированных сетках сравнительно легко реализуются вычислительные алгоритмы на основе метода конечных разностей или метода конечных объемов и современных монотонных методов высокого порядка точности. Регулярные сетки позволяют использовать методы расщепления для решения многомерных задач и реализовать сравнительно простую векторизацию программы.

Для построения регулярной сетки в сложной области применяется преобразование координат общего вида, основная цель которого состоит в получении равномерной сетки в вычислительном пространстве, представляющем собой прямоугольник. При этом физические границы расчетной области совпадают с координатными линиями в вычислительном пространстве.

Методы построения регулярных сеток делятся на алгебраические, дифференциальные, методы с использованием теории функций комплексной переменной (методы конформных и квазиконформных отображений [6,25,27,175]) и вариационные методы. При этом различные типы методов построения нацелены на удовлетворение одному или нескольким из перечисленных выше противоречивых требований к построению сетки.

Вариационный подход построения расчетных сеток заключается в прямой минимизации суммы нескольких функционалов, отвечающих за различные оптимальные свойства сеток: близости к равномерной, близости к ортогональной, адаптации к решению [50,93,101,140].

Основная идея алгебраических методов [181] состоит в использовании интерполяции граничных данных для расчета внутренних узлов сетки. Контроль за размещением узлов сетки осуществляется с помощью функций растяжения (stretching function). Широкое применение находят метод двух границ (two boundary method), метод многих поверхностей (multi surface method) и метод трансфинитной интерполяции (transfinite interpolation). Алгебраические сетки удовлетворяют критериям гладкости или равномерности расчетной сетки, а также требованиям автоматизации процесса построения расчетных сеток и минимизации затрат.

Для построения конформных сеток применяется преобразование Шварца-Кристоффеля [6,25,27]. К недостаткам конформных сеток относятся: ограничение на размерность сетки (двумерные), нетривиальность выбора последовательности конформных отображений для области сложной конфигурации, сложность построения обратного преобразования (из вычислительного пространства в физическое). Эти методы удовлетворяют критерию ортогональности.

Ортогональные сетки строятся либо методом конформных отображений с последующим растяжением узлов [175] (конформность нарушается, но требование ортогональности соблюдается), либо дифференциальными методами [192,193] (во многих случаях они приводят к сильной деформации сетки в физической области). Уравнения для построения локально ортогональных сеток получаются на основе принципов вариационного исчисления [93].

Дифференциальные сетки строятся на основе решения дифференциальных уравнений в частных производных [83,110,121,192,193,202]. Этот тип сеток удовлетворяет критерию равномерности расчетной сетки. В зависимости от типа решаемых уравнений выделяют гиперболические, параболические и эллиптические сетки.

Гиперболические сетки строятся на основе численного решения системы гиперболических уравнений. Уравнения решаются эффективными маршевыми методами и требуют сравнительно небольших затрат времени. Гиперболические уравнения лишены механизма диффузионного сглаживания, поэтому разрывы в начальных данных (угловые точки на границе расчетной области) сохраняются во всей расчетной области, что, вообще говоря, неприемлемо для построения качественной сетки. Граничные условия в физической области используются не в полной мере, что оказывается существенным для ряда задач.

Алгоритмы построения гиперболических расчетных сеток по экономичности не уступают алгебраическим алгоритмам.

Параболические сетки также строятся маршевым методом, что обеспечивает вычислительную эффективность. Вместе с тем параболические уравнения имеют многие свойства эллиптических уравнений, в частности механизм диффузионного сглаживания, который гарантирует отсутствие изломов координатных линий (слабых разрывов в решении). К их недостаткам относится невозможность использования всех граничных условии в физической области, поскольку для параболических уравнений в маршевом направлении граничные условия не ставятся.

Эллиптические сетки строятся при помощи численного решения системы эллиптических уравнений. Эллиптические системы уравнений (обычно используются уравнения типа Пуассона [192,193] либо, в последнее время, уравнения Бельтрами [83,151]) позволяют получить гладкое решение и учесть граничные условия на всех границах физической области. В силу принципа максимума для эллиптических уравнений обеспечивается взаимно -однозначность отображений физической и вычислительной областей. При этом реализуется достаточно гибкий механизм контроля за размещением внутренних узлов сетки [192,193]. Недостатком подхода является необходимость решения больших систем алгебраических уравнений с помощью итерационных методов, что приводит к увеличению времени, необходимого для построении сетки. Кроме удовлетворения критерию равномерности расчетной сетки, эллиптические сетки за счет задания краевых условий могут удовлетворять условию ортогональности на границе или ее части.

С точки зрения вычислительной эффективности предпочтительнее применение алгебраических методов [181], которые позволяют обеспечить условие локальной ортогональности сетки и ее быструю перестройку. Взаимно-однозначность отображений физической и вычислительной областей обеспечивают методы последовательных конформных отображений [6,25,27] и дифференциальный метод на основе решения эллиптических уравнений в частных производных [83,151,192,193,202].

В остальных случаях взаимно-однозначность отображений не гарантируется, поэтому требуется интерактивный процесс генерации сетки с использованием графических средств. В общем случае этот интерактивный процесс требуется для любых подходов к построению сеток в случае областей достаточно сложной формы, а также в связи с тем, что требования к сетке зависят от специфики решаемых задач.

Требование адаптации к решению основной задачи при построении сетки учитывается в рамках вариационного подхода 116,203] и может реализовываться в рамках дифференциального подхода.

Необходимо отметить, что разделение методов построения сеток на эти основные категории во многом условно: так метод Брэкбилла-Зальцмана [110] адаптации сетки к решению основной задачи может реализовываться как на основе принципов вариационного исчисления, так и в рамках построения дифференциальных эллиптических сеток. Построение алгебраических сеток составляет необходимый этап построения дифференциальных эллиптических сеток, а именно: алгебраическая сетка используется как начальное условие для решения системы эллиптических уравнений.

В то же время для достаточно сложных областей и моделирующих физические процессы систем уравнений становится затруднительным построение единой регулярной сетки. В этом случае критерий адаптации к решению требует более сложных алгоритмов конструирования сеток.

Наиболее наглядно представление об уровне развития алгоритмов построения расчетных сеток и их соответствия критерию адаптации можно составить при рассмотрения многосеточных методов (multigrid methods) для структурированных и неструктурированных сеток [10,106]. При использовании многосеточного метода расчета с чередованием расчетов на грубой сетке (coarse grid) и уточняющей сетке (refining grid) [10,106], последняя строится для уточнения структуры подвижных разрывов, многосеточная структура выделяет движущиеся разрывы и возобновляет расчеты на грубой сетке после прохождения фронтов разрывов. При этом производится построение и последующее уничтожение иерархии сеток в трех или четырех уровнях.

Для таких алгоритмов существенным становится вопрос влияния алгоритма построения сетки на численное решение, в частности его единственность. Для многосеточных методов характерно применение в рамках метода конечного объема более простых разностных схем. Достижение точности моделирования течения достигается в большей степени использованием адаптивной многоуровневой разностной сетки, а не повышением порядка точности алгоритма.

Для некоторых классов задач значительного повышения точности расчета без применения многосеточных методов можно достичь выделением отдельных блоков

- подобластей с резким изменением газодинамических параметров и проведения расчетов на блочных сетках.

Блочные сетки. Для построения сетки в сложной области проводится разделение поля течения на подобласти, в каждой из которых генерируется своя сетка [93]. Выделяют метод многоблочного структурирования (multi-block structuring или zonal block) и метод вложенных сеток (embedding grid) или многосеточный метод [10, 11].

Сетки в разных блоках могут иметь различные топологические характеристики (возможно также решение различных моделирующих систем уравнений в разных блоках).

В методе многоблочного структурирования физическая область разбивается на несколько зон, или блоков. В соответствии с граничными условиями для каждой подобласти, для каждого блока строится своя сетка (zonal block). Различают два подхода к организации обмена данными между соседними блоками: сетки из разных блоков стыкуются но поверхности раздела физической области на зоны (patched grid) или сетки из соседних блоков частично перекрывают друг друга (overlapped grid). В случае совпадения границ блоков при переходе от одной зоны к другой сохраняется консервативность разностной схемы и не требуется интерполяция между соседними блоками (однако требование точного совпадения границ блоков накладывает некоторые дополнительные условия на сетку). В случае пересечения границ блоков каждый блок допускает перемещение относительно других блоков, а при переходе от одного блока к другому консервативность схемы не гарантируется и требуется интерполяция искомых функции в пересекающихся областях.

Метод иерархических блочных структур [106] (многосеточный метод) подразумевает иерархическую вложенность блоков сетки друг в друга. Нижестоящие по иерархии сетки погружаются в вышестоящие. Реализация подхода требует, чтобы подобласти не были разъединены и включали одна другую полностью или частично. Многосеточный метод успешно применяется и при использовании неструктурированных сеток [11].

В настоящей работе приводится описание реализованного автором алгоритма построения эллиптических сеток [63,156,157] (1998-2005 гг.). Для конструирования сеток использовалась система уравнений Пуассона. В рамках единого подхода реализованы алгоритмы построения двумерных сеток на плоскости, на поверхности, трехмерных сеток в пространстве, блочных двумерных и трехмерных сеток.

Общая идея алгоритма описана в работе [193], новым является предложенный автором для трехмерного случая вид контрольных функций, управляющих распределением узлов сетки в расчетной области.

Предложена (2005-2006 гг.) также процедура построения двух- и трехмерных блочных сеток с сохранением гладкости координатных линий на границах сопряжения блоков [65,66,69,159]. Представляется перспективным использование этой простой процедуры совместно с методом переменных направлений для одновременного расчета явным методом течений в областях, разделенных на блоки.

Использование детонации газовых смесей в технике и численное моделирование течений горения и детонации газовых смесей.

К числу задач газовой динамики, которые традиционно исследуются методами численного моделирования, относятся задачи инициации и распространения детонационных волн в реагирующей газовой среде. Причина этого в том, что механизм возникновения и распространения детонации, перехода горения в детонацию и обратно сложен и до конца не изучен, несмотря на значительный объем натурных экспериментов. Численные эксперименты в этих условиях служит для дополнения данных натурных экспериментов и моделирования процесса там, где натурные измерения и визуализация затруднены.

Особый интерес исследования детонации связан с возможностью использования детонации в перспективных двигателях новых конструкций. Сгорание топлива при детонации дает примерно 30%-ый выигрыш энергии по сравнению с топливным циклом горения в современных конструкциях двигателей различных типов. Современные исследования сосредоточены на двух основных направлениях разработки детонационного двигателя: различные конструкции импульсного детонационного двигателя [44,48,49,147] и ротационный детонационный двигатель [13, 76].

В отечественных работах, в частности исследованиях горения и детонации группой В.А.Левина, В.В.Маркова и соавторов [46,47], а также М.Ф.Иванова и соавторов [19], применяются численные схемы метода крупных частиц и схемы Годунова

В зарубежной литературе необходимо отметить широкое использование в 1990-е годы для численного моделирования течений горения и детонации на основе уравнений Эйлера с добавлением уравнений, описывающих горение и детонацию газовых смесей, FCT - метода коррекции потоков [77,144,165] в виде схемы SHASTA (в версии одного из разработчиков схемы SHASTA Оран) и в настоящее время - схем ENO высокого порядка аппроксимации.

Автором предложено применение к системе уравнений, описывающих течения горения и детонации смеси реагирующих газов, TVD-схемы Хартена [67,68,70,158]. Алгоритм на основе метода Хартена реализован в двух вариантах: без расщепления с общим решением уравнений газовой динамики и уравнения кинетики и с раздельным решением на основе схемы Хартена уравнений газовой динамики и уравнения кинетики.

Расчет течений дифракции ударных волн на свободном и закрепленном теле.

Взаимодействие ударной волны со сферой - один из известных тестов в ударной газовой динамике. Несмотря на многочисленные эксперименты, нестационарная смещающая сила на сфере, установленной в ударной трубе, в процессе прохождения ударной волны в экспериментах количественно не определена. Наиболее существенным параметром, определяющим течение в данном случае, является коэффициент сопротивления Со. Для вычислений течений газа с частицами (запыленный газ) или при анализе траектории частицы в сверхзвуковом потоке обычно используется коэффициент сопротивления частицы как некая средняя величина в предположении стационарности течения. В некоторых случаях, однако, предположение о стационарности течения вызывает сомнения.

При измерениях с помощью доплеровского лазерного анемометра прохождения частиц пыли через ударную волну в экспериментах в аэродинамических трубах наблюдается сильное воздействие ударной волны на частицы. С другой стороны, при прохождении ударной волны через запыленный газ сам фронт ударной волны может сильно изменяться под влиянием взаимодействия с частицами. Эти два процесса эквивалентны с точки зрения принципа Галилея. Современные исследования по ускорению микрочастиц посредством прохождения ударных волн требуют понимания природы сопротивления во время нестационарного взаимодействия. Смещающая сила частицы может существенно отличаться от той, которую испытывает частица при стационарном обтекании благодаря отражению ударной волны, дифракции ее на частице и фокусировке за ней.

Имеется небольшое число экспериментальных данных в доступной литературе о нестационарных нагрузках при дифракции ударной волны на теле. В основном эти данные получены оптическими методами.

Дополнением натурных экспериментов служат численные расчеты на основе современных численных методов высокого порядка точности.

Проведенные расчеты осесимметричной дифракции ударной волны на сфере на основе алгоритма Чакраварти-Ошера с использованием дискретизации по времени Рунге-Кутты с суммарным третьим порядком точности [59,65,66,159], показали хорошее совпадение с результатами экспериментов и пригодность алгоритмов для моделирования дифракции ударной волны на сферах малого радиуса (2007-2009 гг.).

Выполнены расчеты трехмерной дифракции ударной волны на сфере для двух вариантов: радиус сферы близок к размерам поперечного сечения ударной трубы (методический расчет) и сфера занимает небольшую часть сечения ударной трубы вдоль ее оси симметрии (2008 г.).

В 1995-1997-гг. проведены расчеты перехода регулярное - маховское (для цилиндрического сегмента) отражение и маховсое - регулярное (для вогнутого криволинейного угла), имевшие целью определение зависимости угла перехода от значений угла сопряжения горизонтальной плоскости и криволинейной поверхности (сегментов выпуклого и вогнутого цилиндра). Такая постановка задачи соответствовала имевшимся на тот момент моделям и гипотезам механизмов перехода регулярное - маховское отражение. Результаты расчетов подтверждали зависимость угла перехода регулярное - маховское (для цилиндрического сегмента) и маховское - регулярное (для вогнутого криволинейного угла) от значений угла сопряжения горизонтальной плоскости и криволинейной поверхности (сегментов выпуклого и вогнутого цилиндра).

Комплекс программ

Описываемые в настоящей работе алгоритмы численного моделирования двух- и трехмерных течений идеального газа, а также течений горения и детонации двухкомпонентных газовых смесей и построения расчетных сеток реализованы в виде программ, объединенных в комплекс программ, который эксплуатировался и развивался более 15 лет [53,56-58,155].

Относительно долгая жизнь комплекса обусловлена прежде всего удачным перспективным выбором основных используемых численных алгоритмов -разностной схемой Хартена второго порядка точности по пространству и времени для уравнений Эйлера и относительно простым в реализации алгоритмом построения эллиптических расчетных сеток на основе решения системы уравнений Пуассона. Схема Хартена положила начало развитию целого направления ТУБ-схем в вычислительной газовой динамике. Применение уравнений Пуассона для конструирования расчетных сеток было достаточно продолжительным и широко распространенным, и лишь в последнее время уступило место использованию уравнений Бельтрами.

Время эксплуатации комплекса совпало с периодом быстрой смены вычислительных машин, структурных изменений, переходом на персональные компьютеры. В работе с комплексом программ важное место занимала переработка его составляющих для переноса на другие вычислительные машины. В первую очередь это касалось программ графического интерфейса и в меньшей степени непосредственно вычислительных программ.

В связи с необходимыми процессами переходов, а также назначением комплекса для численного моделирования газодинамических задач при проведении научных исследований и спецификой рассчитываемых задач с существенно различной постановкой и небольшим объемом расчетов по каждой, комплекс не был оснащен оболочкой для представления его в виде пакета или информационной системы. Этот недостаток, однако, позволяет проще адаптировать программы комплекса для решения новых задач и эксплуатации на новой технике.

На момент разработки комплекса его структура и функциональные возможности представляли научную новизну.

Назначение описанного комплекса определяется как исследовательский комплекс программ, комплекс программ для численного моделирования при проведении научных исследований. В соответствии с этим определяются дальнейшие перспективы его использования и развития.

Необходимо отметить, что основные представленные в работе численные результаты: расчеты течений детонации и быстрого горения [67,68,70,158], расчеты течений в инжекторах [69], расчеты течений в каналах на блочных сетках [65,66,159] были получены в последние 5-6 лет и являются новыми. Программные блоки для расчета этих задач - определенная "модернизация" комплекса программ.

Актуально проведение с использованием комплекса программ расчетов новых задач в области горения и детонации, в каналах и областях сложной формы, на подвижных сетках с определением "обратной связи" - влияния рассчитываемого решения на параметры движения расчетной области.

Также актуально дальнейшее расширение возможностей комплекса модулями расчета течений вязкого сжимаемого газа для ламинарных и турбулентных течений.

Целью работы является разработка численных алгоритмов для проведения вычислительного эксперимента в задачах горения и детонации и дифракции ударных волн путем использования последовательно усложняющихся моделей течений горения и детонации, разработки на основе этих алгоритмов программ в составе долговременного комплекса программ для научных исследований, адаптирующегося под новые классы задач и используемой вычислительной техники.

В работе представлены следующие основные результаты:

1. Разработана модификация «-варианта схемы Хартена [60-62,64,69], которая заключается в уточнении алгоритма приближенного расчета распада разрыва на границе контрольного объема.

2. Предложена оригинальная реализация TVD-схемы Чакраварти-Ошера в комбинации с временной аппроксимацией по методу Рунге-Кутты третьего суммарного порядка точности.

3.Разработана модификация схемы SHASTA (метода коррекции потоков), смысл которой заключается в использовании различной аппроксимации в рамках метода конечного объема для тензора напряжений и для интеграла от тензора потоков через поверхность контрольного объема [51,52,54,55,59].

4. Предложена реализация TVD-схемы Хартена для решения системы уравнений сохранения, соответствующих упрощенной двухстадийной модели, описывающей течения горения и детонации Алгоритм на основе метода Хартена реализован в двух вариантах: без расщепления с общим решением уравнений газовой динамики и уравнения кинетики и с раздельным решением на основе схемы Хартена системы уравнений газовой динамики и уравнений кинетики.

5. Получена модификация математической модели для конструирования многомерных криволинейных эллиптических сеток, заключающаяся в задании специального вида контрольных функций, управляющих геометрической адаптацией сетки. Разработан алгоритм построения двумерных и трехмерных эллиптических сеток на основе этой модификации математической модели. Предложен алгоритм построения двух и трехмерных блочных сеток, сохраняющих гладкость на границе сшивки блоков.

7. Указанные численные методы и алгоритмы были реализованы в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента для течений горения и детонации и дифракции ударных волн.

С помощью указанного комплекса программ были проведены следующие циклы расчетов.

8. Проведен цикл расчетов по численному моделированию течений в инжекторах и каналах с сужениями.

9. Проведен цикл расчетов по численному моделированию течений горения и детонации в пульсационном детонационном двигателе и в пульсационном ротационном детонационного двигателя [117].

10. Проведены расчеты по численному моделированию взрыва водородно-воздушной смеси под оболочкой (контейнментом) атомного реактора.

11. Проведен цикл расчетов осесимметричной дифракции ударной волны на сфере в ударной трубе.

12. Проведен цикл расчетов перехода регулярное - маховское (для цилиндрического сегмента) отражение и маховское- регулярное (для вогнутого криволинейного угла).

Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения и приложения к 3-ей

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Мартюшов, Сергей Николаевич

Основные результаты главы

1. Приводится описание структуры и возможностей комплекса программ расчета нестационарных течений и течений реагирующего газа, составляющих его программ и основных задач, решавшихся с его помощью.

2. Определяется назначение описанного комплекса как исследовательского комплекса программ. В соответствии с этим намечаются дальнейшие перспективы его использования и развития.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

Предложена модификация а-варианта схемы Хартена [60-62,64,69], которая заключается в уточнении алгоритма приближенного расчета распада разрыва на границе контрольного объема, предложенного Ройе [172], в соответствии с требованием монотонности профиля скорости звука, установленного Vinokur'oM [201].

Указанная модификация схемы Хартена использовалась для расчетов задач дифракции ударной волны на летящем теле и теле в ударной трубе с учетом движения обтекаемого тела под действием ударной волны. Математическая постановка этой задачи представляет самостоятельный теоретический интерес, так как непостоянная скорость обтекаемого тела (входящая в интегральную форму уравнений газовой динамики) является функцией от интеграла по времени и по поверхности тела от искомых газодинамических параметров течения.

Реализован алгоритм третьего порядка точности с использованием для пространственной аппроксимации разностного алгоритма Чакраварти-Ошера и для временной аппроксимации - алгоритма Рунге-Кутты третьего порядка точности. Этот алгоритм применялся для моделирования на основе уравнений Эйлера невязкого газа, а также для проведения расчетов в рамках вязкой модели уравнений Новье-Стокса.

Предложена модификация разностной схемы метода коррекции потоков (FCT) в реализации схемы SHASTA Бориса-Бука. Модификация схемы SHASTA заключается в использовании различной аппроксимации в рамках метода конечного объема для конвективной части тензора потоков и членов с давлением, соответствующих шаровому тензору напряжений, через грани контрольного объема [51,52,54,55,59], а также применении предложенных автором более простых весовых множителей к значениям диффузионных потоков. Данная модификация в большей степени соответствует идеологии метода конечного объема [201].

Описан явный алгоритм расчета течений на блочных сетках методом переменных направлений без понижения порядка точности расчета на линиях сшивки областей.

Приведены консервативные краевые на границах сшивки блочной области, понижающие порядок точности до первого, являющиеся аппроксимацией законов сохранения.

Разработан численный алгоритм для решения системы уравнений, описывающих течения горения и детонации смеси реагирующих газов [67,68,70,158]. Алгоритм на основе схемыа Хартена реализован в двух вариантах: без расщепления с общим решением уравнений газовой динамики и уравнения кинетики и с раздельным решением на основе схемы Хартена уравнений газовой динамики и уравнения кинетики.

В первом случае новым является получение измененного вида характеристических переменных. Выписана общая процедура получения матрицы правых и левых собственных векторов моделирующей системы уравнений сохранения, соответствующая [201]. Данная процедура применима для матриц, соответствующих системам уравнений, описывающих газовые смеси с произвольным числом компонент. Это делает возможным распространение алгоритма на более сложные модели, учитывающие все составляющие процесс горения и детонации реакции, описываемые цепочкой кинетических уравнений.

При раздельном решении уравнений газовой динамики и уравнений кинетики новым является организация общего явного оператора шага по времени.

Оператор шага по времени в координатном направлении раскладывался на три последовательных процедуры: расчет газодинамических потоков и потоков кинетических переменных на основе схемы Хартена, расчет изменения концентраций реагирующих компонент в ячейке контрольного объема алгоритмом Гира решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений и получение новых значений переменных по результатам первых двух шагов.

В рамках этого алгоритма возможно использование как полной системы уравнений кинетики для произвольного числа компонент, так и системы трехмерных уравнений газовой динамики, а также уравнений Навье-Стокса для моделирования вязкости.

Получена модификация математической модели и реализован алгоритм построения эллиптических сеток [63,156,157]. Для конструирования сеток использовалась система уравнений Пуассона. В рамках единого подхода реализованы алгоритмы построения двумерных сеток на плоскости, на поверхности, трехмерных сеток в пространстве, блочных двумерных и трехмерных сеток.

Общий вид математической модели описан в работе [193], новым является предложенный автором для трехмерного случая вид контрольных функций, управляющих распределением узлов сетки в расчетной области.

Предложена процедура построения на основе решения уравнений Пуассона двух- и трехмерных блочных сеток с сохранением гладкости координатных линий на границах сопряжения блоков [65,66,69,159].

Проведены циклы расчетов по моделированию течений горения и детонации:

1) течений в инжекторах и каналах с сужениями; указанные течения во многом определяют характер течения в камерах горения и детонации проектируемых конструкций детонационных двигателей; малые размеры инжекторов и подводящих каналов не позволяют в натурном эксперименте провести визуализацию течений;

2) течений горения и детонации, возникающих при запуске пульсационного детонационного двигателя [67,68,70,158]; результаты расчетов дополняют данные экспериментов на стенде и могут служить для доработки конструкции двигателя; полученные результаты дополняют результаты ранее проведенных расчетов [48, 49, 74, 147, 148, 187] (в них использовались другие значения параметров, определяющих течение) и качественно совпадают с ними;

3) течений горения и детонации, возникающих в спиновом детонационном двигателе [117]; результаты расчетов являются начальным приближением для оптимизации геометрии такого двигателя.

4) взрыва водородо-воздушной смеси под оболочкой (контейнментом) атомного реактора; определены случаи наибольшего приращения давления на свод контейнмента; полученные результаты также качественно совпадают с результатами ранее проведенных расчетов [19].

Проведены циклы расчетов течений горения и детонации:

1) осесимметричной дифракции ударной волны на сфере, показавшие хорошее совпадение с результатами экспериментов [184,188];

2) трехмерной дифракции ударной волны на сфере для двух вариантов: радиус сферы близок к размерам поперечного сечения ударной трубы и сфера занимает небольшую часть сечения ударной трубы вдоль ее оси симметрии;

3) перехода регулярное - маховское (для цилиндрического сегмента) нестационарного отражения и маховское - регулярное (для вогнутого криволинейного угла) (в 1995—1997 гг.), имевшие целью определение зависимости величины угла перехода от значений угла сопряжения горизонтальной плоскости и криволинейной поверхности (сегментов выпуклого и вогнутого цилиндра); такая постановка задачи соответствовала имевшимся на тот момент моделям и гипотезам механизмов перехода регулярное - маховское отражение; результаты расчетов подтверждали виды зависимости угла перехода регулярное - маховское (для цилиндрического сегмента) и маховское - регулярное (для вогнутого криволинейного угла) от значений угла сопряжения горизонтальной плоскости и криволинейной поверхности (сегментов выпуклого и вогнутого цилиндра), определенные в

104,105,113,134,135,137,143,145,146,162,183,185,186]; вычисленные значения точек перехода лежат в границах выявленных в [76] зависимостей.

В заключение сформулируем основные направления развития описанных алгоритмов и возможное направления дальнейших исследований. Развитие используемых в описанном комплексе программ алгоритмов предполагается в следующих основных направлениях.

В части совершенствования используемых алгоритмов - переход к многосеточной идеологии для более точного моделирования конфигураций разрывов в течении. Повышение на этой основе точности численного моделирования как по времени, так и по пространству. То же самое относится к процедуре построения расчетных сеток: планируется разработка программы построения многоуровневой расчетной сетки, адаптирующейся к особенностям моделируемого течения.

В области моделирования течений горения и детонации необходимо, в первую очередь, определить математическую модель для дальнейших численных исследований.

Вид основных формул для скоростей реакции при использовании полной цепочки кинетических уравнений для реакции водород-кислородных смесей существенно различается в различных публикациях. Так, например, в статьях H.H. Смирнова с соавт. в сборнике [89], A.M. Старика и Н.С. Титовой в [173], работах [149, 150], а также в [88] существенно различаются не только значения констант в формулах скоростей реакций, но и сам вид этих функций. Дополнительного исследования требует и выбор способа введения безразмерных величин в этих формулах. Применение процедуры введения безразмерных величин представляется автору обязательной ввиду большого разброса значений констант в различных реакциях.

Необходимым этапом дальнейшего совершенствования комплекса программ должен стать переход к модели вязкой реагирующей смеси газов для моделирования ламинарных и турбулентных течений горения и детонации газовых смесей.

Описанные в гл. 2 алгоритмы расчетов течений горения и детонации, а также нестационарных газодинамических течений (гл. 1, 3), алгоритмы построения расчетных сеток, организации блочных расчетов по подобластям и возможности (см. гл. 7) комплекса программ предполагается использовать в дальнейшем для расчета течений горения и детонации, моделирования перехода горения в детонацию и возникновения детонационной волны при прохождении ударной волны по горючей смеси. Такие течения реализуются, в частности, в различных моделях детонационных двигателей. Моделирование работы данных двигателей представляется наиболее интересным и перспективным направлением использования описанного комплекса программ.

Наряду с этим представленные программы и алгоритмы предполагается использовать и в дальнейшем для моделирования течений нереагирующего газа в экспериментальных установках, исследующих движение ударных волн в запыленных средах (дифракция ударной волны на свободной сфере малого размера). Для дальнейших исследований в этом направлении нужен переход к использованию полных уравнений Навье-Стокса как для ламинарных, так и для турбулентных течений.

Необходимой составной частью дальнейшего применения описанных алгоритмов и программ представляется переход к расчетам вычислительной технике, обладающей существенно большей производительностью, в частности, путем использования распределенных вычислений.

Рассмотренные в настоящей работе алгоритмы и программы расчета могут быть использованы для расчета широкого круга задач численного моделирования течений нереагирующего газа, а также течений горения и детонации газовых смесей.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Мартюшов, Сергей Николаевич, 2012 год

1. Баженова Т.В., Бакланов Д.И., Голуб В.В. и др. Получение газовой детонации с повышенными параметрами на установках с раздельной подачей реагентов // Хим. физика.—2003.—Т. 22. -С. 38-^4.

2. Баженова Т.В., Булат О.В., Голуб В.В. и др. Трехмерная дифракция ударной волны // Изв. РАН. МЖГ. —1993 —№ 1. -С. 200-201.

3. Баженова Т.В., Брагин М.В., Голуб В.В., Иванов М.Ф. //

4. Теплофизика высоких температур,—2007.—Т. 45, № 5,—С. 733.

5. Бакланов Д.И., Гвоздева Л.Г. Нестационарные процессы при распространении детонационных волн в каналах переменного сечения // Теплофизика высоких температур. —1995. —Т. 33, №6. -С. 958-966.

6. Балакин В.Б., Буланов В.В. Численное решение задачи о взаимодействии ударной волны с цилиндром в сверхзвуковом потоке // Инж.-физ. журн. -1971. -Т. 24, № 6. -С. 1033-1039.

7. Белинский П.П., Годунов С.К., Иванов Ю.В., Яненко И.К. Применение одного класса квазиконформных отображений для построения разностных сеток в областях с криволинейными границами // Журн. вычисл. математики и мат. физики. —1975. -Т. 15.-С. 1499-1511.

8. Бондаренко Ю.А., Башуров И.И., Янилкин Ю.В. Математические модели и численные методы для решения задач нестационарной газовой газодинамики: Обзор зарубежной литературы,—Саров, 2003.—(Препр. РФЯЦ ВНИИЯФ; 88-2003).

9. Бохон Ю.А., Гальбурт В.А., Гостинцев Ю.А. и др. Развитие взрыва газовой смеси за ударными волнами. М. 1998. (Препр. ИВТАН; №2-416).

10. Васильев A.A., Митрофанов В.В., Топчиян М.Е.

11. Детонационные волны в газах // Физика горения и взрыва. — 1987.—№ 5. —С. 109-131.

12. Войнович П.А., Шаров Д.М. Неструктурированные сетки в методе конечных объемов расчета разрывных течений газа. -Л. 1991.- (Препр. ФТИ им. А.Ф.Иоффе АН СССР № 1534).

13. Войнович П.А., Шаров Д.М. Неструктурированные сетки в методе конечных объемов расчета разрывных течений газа. II. Нестационарная локальная адаптация.—Л. 1991.—(Препр. ФТИ им. А.Ф.Иоффе АН СССР № 1547)

14. Войнович П.Л., Жмакин А.И., Фурсенко A.A. Программа расчета нестационарных разрывных течений идеального газа-Л. 1988.-(Препр. ФТИ им. А.Ф.Иоффе АН СССР № 1268).

15. Войцеховский Б.В. Стационарная детонация // ДАН СССР.-1959-Т. 129, №6-С. 1251-1256.

16. Войцеховский Б.В., Митрофанов В.В., Топчиян М.Е.

17. Структура фронта детонации в газах.—Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1963.

18. Волков К.Н. Дискретизация конвективных потоков в уравнениях Навье—Стокса на основе разностных схем высокой разрешающей способности // Вычислительные методы и программирование,—2004,—Т. 5,—С. 120—145.

19. Волков К.Н. Применение метода контрольного объема для решения задач механики жидкости и газа на неструктурированных сетках // Вычислительные методы и программирование—2005 Т. 6, № 1,—С. 47—64.

20. Волков К.Н. Разностные схемы расчета потоков повышенной разрешающей способности и их применение для решения задач газовой динамики // Вычислительные методы и программирование. —2005.—Т. 6.—С. 146—167.

21. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Квазимонотонные разностные схемы для уравнений газодинамики — М., 1987.-(Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 175).-24 с.

22. Гальбурт В.А., Иванов М.Ф., Минеев В.Н., и др. Воздействие взрыва водорода на защитную оболочку реакторного зала АЭС // Математическое моделирование,— 2002.-Т. 14, № 1. -С. 73-86.

23. Ганжело А.Н., Крайко А.Н., Макаров В.Е., Тилляева H.H. О повышении точности численного решениягазодинамических задач // Соврем, проблемы аэродинамики. М.: Машиностроение, 1987.-С. 87-103.

24. Гвоздева Л.Г. Экспериментальное исследование дифракции детонационных волн в стехиометрической смеси метана с кислородом // Журн. прикл. механики и техн. физики.-1961.-№ 5. -С. 53-56.

25. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник.-1959.-Т. 47, № З.-С. 271-306.

26. Годунов С.К. Уравнения математической физики—М.: Наука, 1971.

27. Годунов С.К., Забродин A.B., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной // ЖВМиМФ,—1961 .—Т. 1, № 6.—С. 1020-1050.

28. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток // ЖВМиМФ.— 1967.—Т. 7, № 5.-С. 1031-1059.

29. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах // ЖВМиМФ,— 1972.—Т. 12. -С. 429-440.

30. Годунов С.К., Роменский Е.И., Чумаков Г.А. Построение сеток в сложных областях с помощью квазиконформных отображений // Тр. Ин-та математики СО АН СССР. Новосибирск: Наука, 1990.-Т. 18.-С. 75-84.

31. Головизнин В.М., Самарский A.A. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной // Математическое моделирование.—1998.—Т. 10, № 1.-С. 86-100.

32. Голуб В.В., Баженова Т.В. Импульсные сверхзвуковые струйные течения. —М.: Наука, 2008.—279 с.

33. Жмакин А.И., Фурсенко A.A. Об одном классе монотонных разностных схем сквозного счета. —Л. 1979.— (Препр. ФТИ им. А.Ф.Иоффе АН СССР № 623) 36 с.

34. Жмакин А.И., Фурсенко A.A. Об одной монотонной разностной схеме сквозного счета // ЖВМиМФ.—1980,—Т. 20, № 4. -С. 1021-1031.

35. Зайцев С.Г., Солоухин Р.И. К вопросу о воспламенении адиабатически нагретой газовой смеси. // Докл. АН СССР.— 1958. -Т. 122, № 6,—С. 1039-1043.

36. Зельдович Я.Б. Об энергетическом использовании детонационного сгорания. // Журн. техн. физики. 1940.-№ 1(17). -С. 1453-1461.

37. Зельдович Я.Б., Когарко С.М., Симонов Н.И.

38. Экспериментальное исследование сферической детонации // Журн. техн. физики. -1957.-Т. 26, вып. 8.-С. 1744-1752.

39. Иванов М.Я., Нигматуллин РЗ. Неявная схема С.К.Годунова повышенной точности для численного интегрирования уравнений Эйлера // ЖВМиМФ.-1987.-Т. 27, № 11. -С. 1725-1735.

40. Ильин С.А., Тимофеев Е.В. Сравнение квазимонотонных разностных схем сквозного счета. II. Линейный перенос возмущений. -JI. 1991,—(Препр. ФТИ им. А.Ф.Иоффе АН СССР № 1550).

41. Ии Х.С., Хартен А. Неявные схемы TVD для гиперболических систем уравнений, записанных в консервативной форме относительно системы криволинейных координат// АКТ. -1987.- Т. 5, № 11.-С. 11-21.

42. Карамышев В.Б. Монотонные схемы и их приложение в газовой динамике. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1994,—99 с.

43. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. — Новосибирск: Наука, 1981. — 304 с.

44. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решении газовой динамики // Учен. зап. ЦАГИ.-1972. -Т. 3, № 6.-С. 68-72.

45. Копченов B.II., Крайко А.П. Монотонная разностная схемы второго порядка для гиперболических систем с двумя независимыми переменными // ЖВМиМФ—1983.—Т. 23, № 4,— С. 848-859.

46. Копысов С.П., Краснопёрое П.Н., Рынков В.Н.

47. Объектно-ориентированный метод декомпозиции области // Вычислительные методы и программирование.—2003.—Т. 4, № 1.-С. 175-193.

48. Крайко А.Н. Некоторые вопросы построения численных алгоритмов для расчета течений идеального газа//Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики М.: ИПМ АН СССР-1987.-С. 33-55.

49. Крайко А.Н. Теоретическое и экспериментальное обоснование концепции пульсирующего двигателя с детонационной волной, движущейся против сверхзвукового потока // Импульсные детонационные двигатели под ред. С.М.Фролова, М: ТОРУС-ПРЕСС 2006,- 592 с.

50. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI: Гидродинамика. М: —2001,-736 с.

51. Левин В.А., Марков В.В. Возникновение детонации при концентрированном подводе энергии // Физика горения и взрыва. -1975,- Т. 11, № 4.-С. 623-633.

52. Левин В.А., Марков В.В., Осинкин С.Ф. Инициирование детонации в водородовоздушной смеси взрывом сферического заряда ТНТ // Физика горения и взрыва.-1995,— Т. 31, № 2.-С. 91-95.

53. Левин В.А., Нечаев Ю.И., Тарасов А.И. Новый подход к организации рабочего процесса пульсирующих детонационных двигателей // Хим. физика. -2001,- Т. 20, № 6.-С. 90-98.

54. Левин В.А., Смехов Г.Д., Тарасов А.И. и др. Численные и экспериментальные исследования модели устройства с пульсирующей детонацией М. 1998.—(Препр. Инст. Мех. МГУ № 42-98).

55. Лисейкин В.Д. О вариационном методе построения адаптивных сеток на п-мерных поверхностях // Докл. АН СССР. -1991,-Т. 319, № 3,— С. 546-549.

56. Мартюшов С.Н. О равномерном движении углового поршня в политропном газе // Точные и приближенные методы исследования задач механики сплошной среды. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983.-С. 78-92.

57. Мартюшов С.Н. Области эллиптичности в задаче об угловом поршне // Численные методы механики сплошной среды.-1984. -Т. 15, №5.-С. 118-131.

58. Мартюшов С.Н. Методика «МОДАМС» для расчета осесимметричных задач обтекания методом конечных объемов.- // Вопросы атомной науки и техники. Методики и программы численного решения задач математической физики.—1988.— вып. 2, М. С. 49-56.

59. Мартюшов С.Н. Модификация метода конечного объема для расчета внешних задач обтекания // Моделирование в механике. -Новосибирск, 1989. -Т. 3(20), № 6,- С. 126-130.

60. Мартюшов С.Н. Плоский секториальный распад разрыва идеального газа. —Свердловск, 1989.—(Препр. Ин-та математики и механики Уральского отделения АН СССР) —69 с.

61. Мартюшов С.Н. Комплекс программ для расчета задач обтекания невязкого газа //Тез. Школы по комплексам программ. —Красноярск: Ин-т выч. техн. КНЦ СО АН СССР, 1990.

62. Мартюшов С.Н. Алгоритм и комплекс программ «МОДАМС» для расчета пространственных задач обтекания в идеальном газе для трансзвукового диапазона Тез. конф. «Актуальные задачи прикладной математики», Саратов, 1991. — Т. 1.

63. Мартюшов С.Н. Комплекс программ «МОДАМС» для расчета задач обтекания для невязкого газа // Тез. конф. «Вычислительные технологии», Ростов н/Д, 1992,—Т. 1, ч. 2

64. Мартюшов С.Н. О встречной и догонной осесимметричной дифракции на сфере // Приближенные методы исследования нелинейных задач механики сплошной среды. —Свердловск: Изд-во УНЦ, 1992. -С. 23—33.

65. Мартюшов С.Н. Расчет пространственных задач обтекания на основе ТУР схемы Хартена // Вычислительные технологии. —Новосибирск, 1995. Т. 14, № 12. С. 219228.

66. Мартюшов С.Н. Расчет двух нестационарных задач дифракции на основе явной Т\/Т) схемы Хартена. Журнал "Вычислительные технологии" Новосибирск, 1996.—'Т. 1, № 2.— С. 82-89.

67. Мартюшов С.Н. Расчет двух нестационарных задач дифракции на основе явной ТУТ) схемы Хартена // Тез. конф. «Математические модели и численные методы механики сплошной среды» под ред. Ю.И. Шокина. Новосибирск, 1996 — С. 388-389.

68. Мартюшов С.Н. Построение двух- и трехмерных сеток для задач газодинамики на основе решения уравнений Пуассона // Изв. вузов. Механика. -1997—№ 4.—С. 108—114.

69. Мартюшов С.Н. Расчет двумерной дифракции по схеме Хартена второго порядка точности // Вычислительные технологии Новосибирск, 1997.—Т. 2, № 6.—С. 53—60.

70. Мартюшов С.Н. Расчет нестационарной дифракции как тест на точность по времени явного алгоритма // Тр. Междунар. конф. МИТ-2009 «Математические и информационные технологии» —Капаоник, Сербия, 2009. —С. 216—220.

71. Мартюшов С.Н., Мартюшова Я.Г. Моделирование течений горения и детонации на основе ТУЭ схемы Хартена 2-го порядка точности // Материалы 5-го Всерос. семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения»,—Казань, 2004.-С. 154-158.

72. Мартюшов С.Н., Мартюшова Я.Г. Численное моделирование струйных течений методом конечного объема на основе ТУЭ схемы 2-го порядка точности // Вычислительные технологии. Новосибирск, 2004.—Т. 9, № 4,—С. 57-65.

73. Мартюшов С.Н., Мартюшова Я.Г. Численное моделирование течений детонации газовых смесей методом конечного объема // Вычислительные технологии. Новосибирск, 2008.—Т. 13, № 1. -С. 88-97.

74. Мартюшов С.Н. Численное моделирование детонации в импульсном детонационном двигателе // Тезисы докладов Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика». Новосибирск, 2011, с. 76.

75. Мартюшов С.Н., Мартюшова Я.Г. Численное моделирование течений в детонационном двигателе // Вычислительные технологии. Новосибирск, 2011.—'Т. 16, № 4 — С.72-79.

76. Мартюшов С.Н. Использование водорода в качестве моторного топлива и конструирование детонационных двигателей // Автогазозаправочный комплекс и альтернативное топливо. Москва, 2011 № 5,-С.13-19.

77. Марчуков Е., Нечаев Ю., Полев А., Тарасов А. Пульсирующие детонационные двигатели // Двигатель. —2003.— Т. 1. -С. 14-17.

78. Некоторые методы исследования высокоскоростных процессов и их применение к исследованию формирования детонации / Г.Д. Саламандра, Т.В. Баженова, С.Г. Зайцев и др. -М.: Изд-во АН СССР, 1959.-92 с.

79. Нестационарные взаимодействия ударных и детонационных волн в газах / Т.В. Баженова, Л.Г. Гвоздева, Ю.П. Лагутов и др. -М.: Наука, 1986.-206 с.

80. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. —М.: Мир, 1990. —661 с.

81. Пеанов М.Я., Крупа В.Г., Нигматуллин Р.З. Неявная схема С.К. Годунова повышенной точности для интегрирования уравнений Навье—Стокса // ЖВМиМФ. —1989. -Т. 29, № 6.-С. 1521-1532.

82. Пинчуков В.И. О численном решении уравнений вязкого газа неявной схемой Рунге—Кутты третьего порядка // ЖВМиМФ. -2002. -Т. 42, № 6.-С. 896-904.

83. Пинчуков В.И. О численном моделировании нестационарных течений на больших интервалах по времени с использованием неявных схем высоких порядков // Математическое моделирование. —2004.—'Т. 16, № 8.—С. 59-69.

84. Пинчуков В.И. Математическое моделирование колебаний, возникающих при втекании струи в полость // Вычислительные технологии. —2007.—Т. 6, № 2.-С. 73-80.

85. Пинчуков В.И., Шу Ч.-В. Численные методы высоких порядков для задач аэрогидродинамики.—Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.-232 с.

86. Построение разностных сеток с помощью уравнений Бельтрами и диффузии / А.Г. Глассер, В.Д. Лисейкин, Ю.И. Шокин и др. —Новосибирск: Наука, 2006.—254с.

87. Родионов A.B. Монотонная схема второго порядка аппроксимации для сквозного расчета неравновесных течений // ЖВМиМФ. -1982. -Т. 27, № 4.-С. 585-593.

88. Родионов A.B. Повышение порядка аппроксимации схемы С.К.Годунова // ЖВМиМФ. -1982. -Т. 27, № 12.-С. 1853-1860.

89. Саламандра Г.Д., Баженова Т.В., Набоко И.М.

90. Формирование детонационной волны при горении газа в трубах //ЖТФ.-1959.-Т. 29, № 11.-С. 1354-1359.

91. Семенов И.В.,. Ухкин П.С., Марков В.В. Численное моделирование двумерных детонационных течений на многопроцессорной вычислительной технике // Вычислительные методы и программирование.—2008,—Т. 9.—С. 119-128.

92. Скребков О.В., Мягков Ю.П., Каркач С.П. Механизм образования возбужденных радикалов ОН при воспламенении газовых смесей Н2—02 ударной волной // ДАН. Физическая химия. -2002, -Е. 383,-Т. 6, № 6.-С. 1^1.

93. Смирнов H.H., Никитин В.Ф., Шурехдели Ш.А. Самоподдерживающиеся волны в метастабильных системах // Импульсные детонационные двигатели, под ред. С.М. Фролов. М.: Торус-Пресс 2006.-592 с.

94. Таки С., Фудзивара Т. Численный анализ двумерных нестационарных детонационных волн // Ракетн. техн. и космонавтика,—1978.—Т. 16, № 1.-С. 93-98.

95. Тарнавский Г. А., Алиев A.B. Математическое моделирование, основные моменты, их особенности ипроблемы // Вычислительные методы и программирование. — 2007.-Т. 8. -С. 297-310.

96. Тилляева Н.И. Обобщение модифицированной схемы С.К.Годунова на произвольные нерегулярные сетки // Учен, зап. ЦАГИ.-1986.-Т. 17, № 2.-С. 18-26.

97. Хайруллина О.Б. Метод расчета блочных оптимальных сеток в двумерных многосвязных областях // Вопросы атомной науки и техники. Сер. математическое моделирование физических процессов.—1992.—№ 1.—С. 62—66.

98. Чакраварти С.Р., Жем K.JI. Расчет трехмерных сверхзвуковых течений с дозвуковыми зонами на основе уравнений Эйлера // АКТ.-1987.-Т. 5, № 11.-С. 22-35.

99. Численное решение многомерных задач газовой динамики / под ред. С.К.Годунова. — М.: Наука, 1976. — 400 с.

100. Численное моделирование на основе метода конечного объема в задачах горения и дифракции ударных волн/ С.Н. Мартюшов. — Новосибирск: Наука, 2011 — 216 с.

101. Щелкин К.И. Два случая нестационарного горения // Журн. эксперим. и теорет. физики.—1959.—№ 36(2).—С. 600-609.

102. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск: Наука, 1967. 167 с.

103. Achasov O.V., Pushkin R.M., Tarasov A.I. et al. Focusing of the shock waves reflected from concave nonlinear surfaces //J. Engineering Physics.-1993.-Vol. 65(5).-P. 548-552.

104. Anderson W.K., Thomas J.L., Van Leer B. Comparison of finite volume flux vector splittings for the Euler equations // AIAA J.—1986. -Vol. 24, N 9.-P. 1453-1460.

105. Azarenok B.N. Variational barrier method of adaptive grid generation in hyperbolic problems of gas dynamics // SIAM J. Numer. Anal.-2002.-Vol. 40, N 40.-P. 651-682.

106. Baklanov D.I., Bormotova T.A., Golub V.V., et al. The influence of shear layer control on DDT // AIAA paper-2003. — P.1207.

107. Bazhenova T.V., Soloukhin R.I. Gas ignition behind the shock wave. / VII Int. Symposium on combustion. London, —1959 — P. 866-875.

108. Ben-Dor G. Shock wave reflection phenomena. Springer Verlag New York. -1992.

109. Ben-Dor G., Takayama K., Kawauchi The transition from regular to Mach reflection and Mach to regular reflection in truly non-stationary flows // J. Fluid Mech.-1980.-Vol. 100.-P. 147-160.

110. Berger M.J., Collela P. Local adaptive mesh refinement for shock hydrodynamics 11 J. Comp. Phys.-1989.-Vol. 82-P. 64-84.

111. Billett S.J., Toro E.F. On WAF-type schemes for multidimensional hyperbolic, conservation laws // J. Comp. Phys.-1997.-Vol. 130, N l.-P. 1-24.

112. Boris J.P., Book D.L. Flux-corrected transport. I: SHASTA, a fluid transport algorithm that works. // J. Comp.Phys.-1973.-Vol. 11, N 1. -P. 38-69.

113. Boris J.P., Book D.L., Hain K. Flux-corrected transport: Generalization of the method // J. Comp.Phys.-1975.-Vol. 18, N 3. -P. 248-283.

114. Brackbill J.U., Saltzman J. Adaptive zoning for singular problems in two directions // J. Comp. Phys. —1982. —Vol. 46. —P. 342-368.

115. Bredin M.S., Skews B.W. The measurement of drag in unsteady compressible flow // Proc. 23rd Int. symp. on shock waves. Arlington, —2001—P. 463^-71.

116. Britan A., Elperin T., Igra O., Jiang J.P. Acceleration of a sphere behind planar shock waves // Experiments in Fluids—1995.— Vol.20.-P.84.

117. Bryson A., Gross W. Diffraction of strong shocks by cones, cylinders, and spheres // J. Fluid Mech. -1961- Vol.lO-P. 1-16.

118. Bykovskii F.A., Mitrofanov V.V., Vedernikov E.F. Continuous detonation combustion of fuel — air mixtures // J. Combust., Expl, Shock Waves.-1997.-Vol. 33(3).-P. 344-353.

119. Bykovskii F.A., Vedernikov E.F. Continuous detonation of a subsonic flow of a propellant // J., Combust.,Expl., Shock Waves. -2003. Vol.39(3) .—P.323-334.

120. Bykovskii F.A., Zhdan S.A., Vedernikov E.F. Continuous spin detonations. //J. Propulsion and Power.—2006,—Vol.22(6).-P. 1204-1216.

121. Bykovskii F.A., Zhdan SA., Vedernikov F.F. Continuous spin and pulse detonation of hydrogen-air mixtures in supersonic flow generated by a detonation wave. Proceedings of 22 ICDERS, Minsk, Belarus, 2009.

122. Chakravarthy S.R., Osher S. High resolution applications of the Osher upwind scheme for the Euler equations //Proc. AIAA 6-th Comp. Fluid Dynamics Conf.-1983.-P. 363-372.

123. Chakravarthy S.R., Osher S. A new class of high-accuracy TVD schemes for hyperbolic conservation laws // AIAA Paper, N 85-0363. -1985.

124. Chakravarthy S.R., Osher S. Computing with highresolution upwind schemes for hyperbolic equations // Lectures in Applied Mathematics.-1985.-Vol. 22, pt. l.-P. 57-86.

125. Chakravarthy S.R., Szema K.-Y., Goldberg U.C. et al. Application of a new class of high accuracy TVD- schemes to the Navier-Stokes equations // AIAA Paper, N 85-0165. -1985.

126. Collela P., Woodward P.R. The piecewise parabolic miethod (PPM) for gas-dynamical simulations // J. Comp. Phys.-1984.-Vol. 54, N l.-P. 174-201.

127. Cordulla A., Vinokur M. //AIAA J.-l983- T. 21. P. 917

128. Davidenko D.M., Gokalp I., Kudryavtsev A. Numerical study of the continuous detonation wave rocket engine // AIAA Paper N 2008-2080.-2008.

129. Davies B., Salmond D.J. // AIAA J.-1985.-T. 23.-P. 954

130. Desbordes D., Danian E., Zitoun R. Pulsed Detonation Prupalsion: Key Issues // High-Speed Deflagration and Detonation: Fundamentals and Control-Moscow: ELEX-KM Publishers,-2001. -384 p.

131. Doudov V.G., Maksirnov V.P. Thermal acoustics of semiclosed volumes.—1986—(Prepr. № 28-86, Institute of theoretical and Applied mechanics, The Syberian Division of of the USSR vAcademy of Sciense).

132. Drella W., Thompkins W.T. // Pros of AIAA 7-th Computational Fluid Conference.—Cincinatti, Ohio,—1985,—P.394.

133. Eidelman S., Grossman W. Pulsed detonation engine. Experimental and theoretical Review // AIAA Paper, 92-3168.— 1992.

134. Harten A. A high resolution scheme for the computation of weak solutions of hyperbolic conservation laws // J. Comp. Phys.— 1983.—Vol. 49.—P. 357-393.

135. Harten A. On a class of high resolution total-variation-stable finite-difference schemes // SIAM J. of Numer. Anal.-1984.-Vol. 21, N1. -P. 1-23.

136. Harten A., Lax P.D., Van Leer B. On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws // SIAM Reviev.-1983.-Vol. 25, N l.-P. 35-62.

137. Harten A., Osher S. Uniformly high-order accurate essentially non-oscillatory scheme // SIAM J. of Numer. Anal.— 1987.—Vol. 24, N 2. -P. 279-309.

138. Heilig W.H. High speed interferometric study of unsteady shock wave processes // Proc. 15th Int. Cong, on high speed photography and photonics.—1982.

139. Heilig W.H. Diffraction of a shock wave by a cylinder // Physics Fluid Suppl.-1969.-Vol. 12, N l.-P. 154.

140. Helms A., Tong S.S. // ASME J. Engrg. Gas Turb. Power.-1985. -Vol. 107.-P.258.

141. Henderson L.F., Lozzi A. Experiments on transition of Mach reflection // J. Fluid Mech.-1975.- Vol.68.-P. 139.

142. Hey wood J.D. Internal Combustion engine fundamentals. Mc.Grow-Hill. N.Y.-1988.

143. Hishida M., Fujiwara T., Wolanski P. Fundamentals of rotating detonations // J. Shock Waves.-2009.-Vol. 19. P. 1-10.

144. Huang W. Variational mesh adaptation: Isotropy and equidistribution//J. Comp. Phys.-2001.-Vol. 174.-P. 903-924.

145. Igra O., Takayama K. Shock tube study of the drag coefficient of a sphere in a nonstationary flow // Proc. Ro. Soc. London A. —1993.—Vol.442.—P.231.

146. Itoh K., Takayama K. Unsteady drag over circular cylinders and aerofoils in transonic shock tube flows // Rep. Inst. High Speed Mech., Tohoku Univ.-Vol. 51.-1986.

147. Itoh S., Okazaki N., Itaya M. On the transition from regular to Mach reflection and Mach to regular reflection in truly non-stationary flows // J. Fluid Mech. 1981-Vol.l08, -P. 383.

148. Jones D.A., Kemister G., Sichel M., Oran ES. The Influence of Cellular Structure on Detonation Transmission // J. Shock Waves—1996. -V. 6.-P. 119-130.

149. Kitade M. Numerical and experimental study of viscous effects on transitions of reflected shock waves. Master thesis, Japan (in Japanese)— Tohoku Univ.—2001.

150. Kosugi T. Experimental study of transition delay in shock wave reflection at various obstacle geometries. Master thesis, , Japan (in Japanese. Tohoku Univ.—2000.

151. Levin V.A., Nechaev Y.N., Tarasov A.L. A new approach to organizing operation cycles in pulsed detonation engines // Control of detonation processes. / ed. G. Roy.— Moscow: Elex-KM Publishers. 2000. -P. 197-201.

152. Levin V.A., Afonina N.E., Gromov V.G. et al. Dynamics of combustion products flow in ring nozzle with semienclosed cavity// Proc. of International colloquim on the dynamics of explosion and reactive system, Minsk, Belarus, 2009. N 185

153. Liberman M.A. Introduction to Physics and Chemistry of Combastion. Berlin: Heidelberg: Shpringer—Verlag—2008.

154. Liberman M.A., Ivanov M.F., Peil O.E. et all. // Combust. Theory Modelling.-2003. -Vol.7-P. 653-676.

155. Liseikin V.D. A computational differential geometry approach to grid generation. Berlin: Springer.-2004.

156. Lucsh P. Parallel and distributed implementation of large industrial applications // Future generation computer Systems— 2000.-Vol.16. -P.649—663.

157. Mahmoudi Y., Mazaheri K. Operator splitting in simulation of detonation structure // Proc. of International colloquim on the dynamics of explosion and reactive system. Minsk, Belarus.-2009.

158. Majda A. Osher S. Numerical viscosity and the entropy condition // Communications on Pure and Applied Mathematics.— 1979,-Vol. 32. -P.797-838.

159. Martyushov S.N. Complex of codes «Modams» for streamproblem calculations for spatial bodies in book of abstract, 2, // Third Russian-Japan Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics.—Vladivostok. Russia.-1992.-P. 139.

160. Martyushov S.N. Construction of calculation grids on the basis of Poisson equation decision. // Proc. of 15—th IMACS World Congress on Scientific Computation, Modelling and Appl.Maths.-Berlin.-1997.-Vol. 2.-P. 191-195.

161. Martyushov S.N. Numerical grid generation in computational field simulation // Proc. of the 6-th International Conf. Greenwich.-1998. -P. 249.

162. Martyushov S.N. Numerical simulation of gas mixed detonation flows by finite volume method // Proc. of 4-th International conference on finite difference methods: Theory and Applications. Rousse, Bulgaria.—2006. —P. 16.

163. Martyushov S.N. Numerical simulation of flows in detonation engines devices// Abstracts of International Conference Mathematical and Informational Technologies. Vrnyachka Banya. Serbia.2011. P. 104.

164. Matsuo K., Aoki T., Kashimura H. Diffraction of a shock wave around a convex corner // Curr. Top. Shock Waves.—1990,— Vol. 208. -P. 252-257.

165. Nettleton M.A. Recent work on gaseous detonations // J. Shock Waves.-2002.-Vol. 12, N l.-P. 3-12.

166. Osher T.S. Riemann solvers, the entropy condition, and difference approximation // SIAM J. of Numer. Anal. -1984,-Vol. 21, N 2.—P. 217-235.

167. Pantov E.G., Fisher M., Kratzel T. Decoupling and recoupling of detonation waves associated with sudden expansion // J. Shock Waves. T1996.-T. 6.-P. 131-137.

168. Pegg R.J., Couch B.D., Hunter L.G. Pulse detonation engine air induction system analysis // FIFF Paper N 96-2918.-1996.

169. Reklis R.P., Thomas P.D. Shock-capturing algorithm for the Navier-Stokes equations // AIAA J.-1982.-Vol. 20, N 9.-P. 12121218.

170. Rizzi A.//AIAA J.-1982. T. 20. P. 1321.

171. Rodi W. Simulation of turbulence in practical flow calculation // Proc. of European congress on computational methods in applied sciences and engineering.—Barcelona.—2000.

172. Rodriguez G., Grandeboueuf P., Khelifi M., Haas J.F. Drag coefficient masurement of spheres in a vertical shock tube and numerical simulation // Proc. 20-th Int. symp. on Shock waves.— Marseille, -1995.-Vol. 3.-P. 43-48.

173. Roe P.K. High resolution TVD—scheme using flux limiters // Lectures in Applied Mathematics.-1985.-Vol. 22, pt. 2.-P. 289309.

174. Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors and difference schemes // J. Comp. Phys.-1981. Vol. 43.-P. 357372.

175. Roy G.D., Frolov S.M., Borisov A.A., Netzer D.W. Highspeed deflagration and detonation. Moscow: ELEX-Publishers. — 2001.-284 p.

176. Roy G.D., Frolov S.M., Borisov A.A., Netzer D.W. Pulse detonation propulsion: chellenges, current status and future perspective // Progress in energy and combastion science.—2004.— Vol. 30.-P. 545-672.

177. Ryskin G., Leal L.G. Orthogonal mapping // J. Comp. Phys. —1983.—Vol. 50.-P. 71-100.

178. Semenov I., Frolov S., Markov V., Utkin P. Shock -to -detonation transition in tubes with shaped obstacles // Pulsed and continuous detonations. Moscow: Torus Press. 2006.—P. 159-169.

179. Shu C.W. Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws // ICASK Report. N97-65.-1997.

180. Shu C.W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. I. // J. Comp. Phys.—1988.—Vol. 77, N 2.—P. 439-471.

181. Shu C.W., Osher S. Efficient, implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. II. // J. Comp. Phys.—1989.—Vol. 83, N l.-P. 32-78.

182. Smirnov N.N., Nikitin V.F., Boichenko et al. Control of deflagration to detonation transition in gaseous systems // Control of detonation processes, ed. G. Roy, Moscow: ELEX-KM Publishers.-2000. -P. 2-6.

183. Smith R.E., Eriksson L.E. Algebraic Grid Generation // Comp. Meth. Appl. Mech. Ing.-1987.-Vol. 64.-P. 285-300.

184. Steger J.L., Warming R.P. Flux-vector splitting of the inviscid gas dynamic equations with application to finite- difference methods // J. Comp. Phys.-1981.-Vol. 40, N 2.-P. 263-293.

185. Sun M., Nakayama K. A note of numerical simulation of vorthical structures in shock diffraction // J. Shock Waves. -2003.-Vol. 13.-P. 25-32.

186. Sun M., Saito T., Tokayama K., Tanno H. Unsteady drag on a sphere by shock wave loading // J. Shock Waves.—2005.-Vol. 14 — P. 3-9.

187. Takayama K., Inoue O. Shock wave diffraction over a 90 degree sharp corner // J. Shock Wave-1991.-N l.-P. 301-312.

188. Takayama K., Sasaki M. Effect of radius of curvature and initial angle on the shock transition over concave and convex walls // Rep. Inst. High Speed Mech. Tohoku Univ. -1983.-Vol. 46

189. Taki S. Fujivara T. A numerical study of detonation resonator, analyses of two-dimensional non stationary // Pulse and continuous detonation propulsion / Eds. G. Roy, S. Frolov. Moscow: TORUS PRESS.-2006.—P. 309-320.

190. Tanno H., Itoh K., Saito T., et al. Interaction of a shock with a sphere suspended in a vertical shock tube // J. Shock Waves.— 2003. -Vol. 13.-P. 191-200.

191. Thomas C., Lombard K. // AIAA Jornal.-1979.-Vol. 17. -P. 1030.

192. Thomas G.O., Jones A. // Comb, and flame -2000. Vol.120. —P.392.

193. Thompson J.F. Reflection on grid generation in 90-s: trends, needs, influences // Numerical Grid Generation in CFD. -Mississippi State University. -1996,-Vol. l.-P. 1029-1100.

194. Thompson J.F., Thames F.C., Mastin C.W. Automatic numerical generation of body-fitted curvilinear coordinate system for field containing any number of arbitrary two-dimensional bodies //J. Comp. Phys.-1974.-Vol. 15.-P. 299-319.

195. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. // Numerical Grid Generation. -N.-Y.: North Holland, 1985.

196. Tsuboi N., Daimon Y., Hayashi A.K. Three-dimensional numerical simulation of detonations in coaxial tubes // J. Shock Waves. -2008,-Vol. 18.-P. 379-392.

197. Tsuhoi N., Hayashi A.K. Numerical study on spinning detonations J., // Proceedings of the combustion institute-2007.— Vol. 31:—P. 2389-2396.

198. Van Leer B. Towards the ultimate conservative finite difference scheme. II. Monotonicity and conservation combined in a second order scheme // J. Comp. Phys.-1974.-Vol. 14, N 4.-P. 361376.

199. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A second order sequel to Godunov's methods // J. Comp. Phys.—1979. -Vol. 32, N l.-P. 101-136.

200. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference schemes. III. Upstream-centered finite-difference schemes for ideal compressible flow // J. Comp. Phys.-1977.-Vol. 23, N 3.-P. 263275.

201. Van Leer B. Towards the ultimate conservative finite difference scheme. IV. A new approach to numerical convection // J. Comp. Phys. -1977. 23. N 3. P. 276-298.

202. Van Leer B. Flux-vector splitting for the Euler equations // Lecture Notes in Phys.-1982.-Vol. 170.-P. 507-512.

203. Vinokur M. An analysis of finite-difference and finite-volume formulations of conservation lows // J. Comp. Phys—1989—Vol. 81. -P. 1-52.

204. Warsi Z.U.A. Numerical grid generation in arbitrary surfaces through a second-order differential — geometric model // J. Comp. Phys. —1986,—Vol. 64.-P. 82-96.

205. Winslow A.M. Adaptive mesh zoning by the equipotential method. UCID-19062. Lowrence Livermore National Labor atories.-1981.

206. Woodward P.B., Colella P. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks // J. Comp. Phys.-1984. -Vol. 54, N l.-P. 115-173.

207. Vang H. An artificial compression method for ENO scheme: the slope modification method // J. Comp. Phys.-1990.-Vol. 89.-P.

208. Yee H.C., Warming R.P., Harten A. Implicit total variation diminishing (TVD) schemes for steady-state calculations // AIAA Paper. 83-1952.-1983.

209. Yee H.C., Warming R.P., Harten A. Application of TVD-schemes for the Euler equations of gas dynamics // Lectures in Applied Mathematics.-1985.-Vol. 22, pt. 2.-P. 357-377.

210. Zhdan S.A., Bykovskii F.A., Vedernikov E.F. Mathematical modeling of a rotating detonation wave in a hydrogen-oxygen mixture // Combustion, Explosion and Shock Waves.-2007.-Voi.43(4).—P. 449^59.125.160.