Численное моделирование внутренних течений электропроводящей жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Клевцова, Анна Владимировна

• Клевцова, Анна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Клевцова, Анна Владимировна

Введение.-

ГЛАВА 1. Течения электропроводящей жидкости в трубах и каналах.

1.1. Движение вязкой электропроводящей жидкости с прямолинейными линиями тока.

1.2. Некоторые аналитические результаты и данные опытов.

1.2.1. Течение Куэтта.

1.2.2. Течение Гартмана.

1.3. Течение в круглых трубах.

1.3.1. Труба с тонкими проводящими стенками.

1.3.2. Труба с непроводящими стенками.

1.4 Неустойчивость МГД-течений.

1.4.1. Условие неустойчивости Стюарта.

1.4.2. Условие неустойчивости Локка.

1.5. Резюме.

ГЛАВА 2. Общие положения вычислительной дииамики.электропроводящей жидкости в тонких трубках в поперечном.магнитном поле.

2.1. Определяющие дифференциальные уравнения движения.незакрученного МГД-потока.

2.2. Неявная разностная схема для уравнений движения незакрученного потока.- 47

2.3 Процедура численного решения уравнения (2.19) и разностных уравнений дляУ,¥иР2.- 49

2.4 Граничные условия.- 51

2.4.1. Входное сечение.- 51

2.4.2. Внутренняя поверхность канала.- 51

2.4.3. Ось канала.- 51

2.4.4. Вывод граничного условия на оси канала.- 52

2.4.5. Раскрытие координатной неопределенности для V и XV на оси.- 55

2.5 Пример расчета прямоточного МГД-потока.- 57

2.6. Выводы.- 61

Глава 3. Численная модель закрученного потока электропроводящей жидкости в узких трубках при воздействии на них магнитного поля.- 62

-33.1. Определяющие уравнения.

3.2. Осесимметричное приближение для закрученного потока электропроводящей жидкости в трубе с непроводящими стенками.

3.3. Численный метод.

3.3.1. Обобщение алгоритма Л.М. Симу ни на случай переменного по сечению канала давления.

3.3.2. Разностная аппроксимация уравнения (3.14).

3.3.3. Разностная аппроксимация уравнения неразрывности.

3.4. Результаты расчетов закрученного потока проводящей жидкости.

3.5. Выводы.

Глава 4. Автомодельные течения вязкой проводящей жидкости в канале с частично проводящими стенками.

4.1. Математическая модель гидроэлектродинамики для каналов с частично проводящими стенками.

4.1.1. Численное решение уравнений (4.1), (4.3), (4.5).

4.1.2. Краевые условия.

4.2. Влияние напряженности магнитного поля на течение электропроводящей жидкости в канале с частично проводящими стенками.

4.3. Влияние углового размера окон проводимости на характер течения вязкой проводящей жидкости в рельсовой камере.

4.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование внутренних течений электропроводящей жидкости»

Магнитная гидродинамика развивалась параллельно со становлением теории электричества и магнетизма. Основополагающие исследования в магнитной гидродинамике выполнили в нашей стране Л.Д. Ландау, Я.И. Френкель, А.Б. Ватажин, Г.А. Любимов, А.Г. Куликовский, С.А. Регирер., за рубежом Дж. Гартман, Р. Гарднер, Т. Каулинг, Дж. Шеклиф, Дж. Хант, З.Блевис. Большой вклад в развитие теории МГД течений внесли Я.С. Уфлянд, Г.А. Остроумов, A.B. Тананаев, А.Е. Якубенко, Н.М. Тучин, O.A. Лиелаусис и многие другие. В настоящей работе будет рассмотрен класс так называемых внутренних течений, т.е. течений в трубах и каналах. Движения в трубах, по-видимому, являются наиболее распространенным классом движений проводящих жидкостей, наблюдаемых в проточных трактах МГД-устройств. Важное прикладное значение, а также возможность получения точных и приближенных аналитических решений объясняют тот факт, что течения в трубах в теоретическом плане изучаются уже продолжительное время и такие исследования уже можно назвать классическими.

Актуальность работы

Магнитная гидродинамика это обычная гидродинамика, дополненная объемными силами электромагнитной природы, позволяющими управлять потоком, а также извлекать из него или вводить в него энергию. Такая возможность, имеющая принципиальный характер, сразу же формирует основу для конструирования МГД-генераторов различного назначения, а также других устройств, например, электромагнитных насосов, индукционных электрорасходомеров и т.д. Исследования по динамике вязких проводящих жидкостей оставались бы актуальными, даже если бы имелась лишь гипотетическая возможность создания устройства термоядерного синтеза. Необходимым элементом такого устройства является система охлаждения реактора. Для указанной системы существует проблема, состоящая в том, как оценить и, если возможно, снизить потери давления в охлаждающих трубах, обусловленные наложенным магнитным полем, которое необходимо в реакторе для удержания плазмы. Найденный в четвертой главе работы эффект снижения сопротивления отвечает сформулированной парадигме.

Состояние проблемы

Обобщению теоретических исследований ламинарных течений проводящих сред в каналах посвящен труд [33]. Теоретическому и экспериментальному изучению установившихся ламинарных течений в круглых трубах посвящены многие работы. Аналитические решения задач о распределении скорости и индуцированного магнитного поля представляются в виде тригонометрических рядов [33], которые довольно громоздки и иногда плохо сходятся даже при больших числах Гартмана [17, 42]. Имеются также теоретические работы, базирующиеся на приближенном подходе, основанном на выделении в потоке характерных областей, для каждой из которых выписываются свои приближенные уравнения. Такой метод впервые был применен Шерклифом для трубы с непроводящими стенками [41] и затем обобщен на случай проводящих стенок [59]. Этот метод в последствии был развит и усовершенствован А.Г. Куликовским [14]. Следует заметить, что метод Фурье не является единственным методом, позволяющим интегрировать точные, т.е. не упрощенные уравнения магнитной гидродинамики. В работах Г.А. Гринберга [9] путем применения метода функций Грина выводятся интегральные уравнения, численные решения которых могут проводиться при помощи метода последовательных приближений. Однако вопрос о преимуществах этого подхода в сравнении с методом Фурье остается пока еще открытым.

В настоящее время широко исследуются течения электропроводящих жидкостей под воздействием постоянных и переменных электромагнитных полей в различных технических устройствах, а также в биологических системах, в частности потому, что кровь является электропроводящей средой. Широко известно положительное влияние полей постоянных магнитов на кровь [18]. Лечебное воздействие магнитным полем на сосуды человека осуществляется полями малой интенсивности. Несмотря на то, что первые опыты такого воздействия относятся к 1780 году, этот вопрос недостаточно изучен. Целью настоящей работы является получение более подробной информации о движении электропроводящих жидкостей под воздействием слабых электромагнитных полей и построение быстрых и эффективных численных моделей для расчета внутренних МГД течений.

Кажется естественным, что воздействие поперечного магнитного поля изменяет поперечный градиент давления в каналах с движущейся электропроводящей жидкостью. Однако, установленный в 1969 году Хантом [51] факт существования режима МГД течения с параллельными оси канала линиями тока (автомодельного течения) дает основания надеяться на наличие целого класса МГД движений в прямых каналах постоянного либо слабо меняющегося сечения, либо имеющих небольшую кривизну осевой линии, для которых продольный градиент давления приближенно является функцией лишь аксиальной координаты ,и быть может, времени. При этом продольная диффузия импульса является несущественной. В этом случае аксиальная координата оказывается маршевой. Возможность выделения такой координаты позволяет существенно упростить технологию построения численного решения, поскольку в таких условиях решение пространственной задачи сводится к последовательности одномерных (при наличии осевой либо плоской симметрии течения) или двумерных (в отсутствии симметрии) задач. Модели такого типа носят название приближения узкого канала. Их использование оказывается весьма полезным при численном исследовании течений, осложненных химическими реакциями, наличием частиц и т.д. [2,31].

Цель работы

Целью данной работы является разработка приближенных математических моделей магнитно-гидродинамических течений в каналах и эффективных методов их численной реализации.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

О развивающемся незакрученном течении электропроводящей жидкости во входном участке канала с непроводящими стенками.

О закрученном течении проводящей жидкости в трубе с непроводящими стенками.

О стабилизированном МГД-течении в канале с частично проводящими стенками.

Краткое содержание работы

Теоретическая направленность данной работы предопределила круг рассматриваемых задач о ламинарных МГД-течениях в канале. Предпочтение отдано развивающимся и стабилизированным движениям вязкой проводящей жидкости в круглых трубах. Основная цель, преследуемая здесь и далее, состоит, большей частью в рассмотрении математических аспектов проблемы, связанных с построением алгоритмов численной реализации поставленных задач, а также с разработкой тех или иных приближений, упрощающих рассмотрение физических явлений.

Материал, представленной диссертационной работы структурирован по главам. Всего в работе четыре главы.

В первой главе, которая является вводной, приводится общая постановка задачи о стабилизированном течении проводящей жидкости в каналах произвольной формы поперечного сечения. Представлены так же классические результаты по автомодельным течениям в каналах, а так де сведения по устойчивости МГД-потоков.

Во второй главе в рамках безындукционного приближения получены уравнения магнитной гидродинамики, определяющие не осесимметричные процессы в осесимметричных каналах. Отличительной особенностью данного подхода является неучет аксиальной диффузии импульса и магнитного поля, что позволяет выделить маршевую переменную л: и соответствующим образом выстроить технологию проведения вычислений. Процедура численного решения уравнения для U состояла в использовании подхода JI.M. Симуни, обобщенного в данной работе на случай неосесимметричного течения. Для разрешения системы уравнений движения жидкости относительно р2 через поправку давления мы использовали широко известную процедуру SIMPLE. При этом, уравнение неразрывности аппроксимировались с помощью центральных разностей во внутренних точках. Для расчета в граничных точках мы применяли трехточечные направленные разности второго порядка. Поправку давления рассчитывали в области расширенной по всему периметру фиктивными узлами. Причем в фиктивных узлах величина поправки давления предполагалась равной нулю. Для расчета поправки давления во внутренних узлах мы использовали разностный оператор такой же, как в работе С. Патанкара и по своему виду близкий к разностному оператору уравнения Пуассона. Для разрешения полученной схемы алгебраических уравнений применялся метод Гаусса-Зейделя. В заключении с использованием полученной поправки давления мы производили коррекцию распределений давления и плоского поля скоростей с V и Ж-компонентами по всей расчетной области. Итерационный процесс продолжали до удовлетворения уравнения неразрывности и уменьшения нормы разности между двумя последовательными распределениями расчетных величин до значений меньших наперед заданной величины 8 = 10"4.

При использовании метода конечных разностей и цилиндрических координат {д:,г,в) не обойтись без применений условий при г = 0 для рассчитываемых величин. В работе получено нелокальное граничное условие вида: и0=-С$Шу, У г где и0 - значение продольной компоненты скорости на оси канала; у — элементарная окружность, содержащая осевую точку.

По результатам расчетов по несимметричной модели во второй главе предложено осесимметричное приближение магнитогидродинамических процессов в тонких трубках.

В третьей главе рассмотрена численная модель закрученного потока электропроводящей жидкости в узких трубках при воздействии на них магнитного поля. Приводится приближенное доказательство равенства нулю среднего по сечению канала индуцированного тока в случае развивающегося течения и при наличии крутки. Способом осреднения всех соотношений модели по окружной координате получены приближенные уравнения закрученного потока в осесимметричных каналах. Исследован эффект совместного влияния напряженности магнитного поля и крутки потока на тенденцию к образованию возвратных движений. Выявлен эффект демпфирующего воздействия магнитного поля на интенсивность малых движений, реализующихся в сечении трубы.

В четвертой главе рассмотрены автомодельные течения вязкой проводящей жидкости в каналах с частично проводящими стенками. В этом случае линии тока являются параллельными оси трубы, вектор скорости имеет вид V = (£/,0,0), а градиент давления, входящий в осевую проекцию уравнения импульсов является постоянной величиной. В таких условиях все гидродинамические и физические величины могут зависеть лишь от полярных координат г и в, введенных в плоскостях нормальных сечений трубы. Поэтому удается исключить нелинейные конвективные члены в уравнении движения, и оно становится не параболическим как ранее, когда мы рассматривали развивающиеся течения, а эллиптическим. Далее предполагается, что стенки канала выполнены в виде рельсовой камеры, причем два обращенных друг к другу рельса являются проницаемыми для электрического тока, а два других являются участками изоляции канала. Таким образом, электрические заряды могут заходить в поток и выходить из него через участки проводимости и, поэтому, во внешней электрической цепи может возникать индуцированный движением жидкости электрический ток. Было исследовано влияние поперечных токов на поля скоростей в канале. Если во внешней электрической цепи возникал ток, то при том же перепаде давления средняя скорость жидкости заметно увеличивалась в сравнении со случаем течения в канале с непроводящими стенками. Этот эффект составлял величину порядка 25%. В данной главе выполнены также параметрические расчеты по влиянию чисел Гартмана и углового размера окон проводимости на распределения гидродинамических и электромагнитных величин.

Основные научные результаты

1. Получено граничное условие, позволяющее вычислять значения искомых магнитогидродинамических величин на полярной оси при неосесимметри-ческих процессах.

2. Разрешена координатная неопределенность, возникающая при вычислениях радиальной и окружной компонент скорости на оси трубы.

3. Построено осесимметричное приближение для описания незакрученно-го МГД-течения в узких осесимметричных трубках.

4. Предложено также осесимметричное приближение для описания закрученного МГД-потока в трубках круглого поперечного сечения.

5. Выявлен эффект увеличения скорости за счет движения заряженных частиц поперек потока в каналах с частично проводящими стенками.

Методика исследований

Решение поставленных задач осуществлялось с использованием численных методов, в том числе метода конечных разностей, методов моделирования на ЭВМ и методов матричной и векторной алгебры.

Теоретическое значение работы состоит в том, что в ней представлены оригинальные математические модели и методы их численной реализации, позволяющие существенно расширить круг решаемых задач магнитной гидродинамики.

Практическое значение работы определяется возможностью использования предложенных приближений в инженерных расчетах по оценке влияния магнитных полей на характер течения вязкой проводящей жидкости в трубах и каналах. Результаты работы использовались при выполнении курсовых и дипломных работ студентами ММФ ТГУ.

Публикации по работе

1. Корнелик С.Е., Клевцова А.В,.Павлова O.A. Движение эритроцита в аневризме кровеносного сосуда под действием магнитного поля. // Вычислительная гидродинамика, г. Томск. Изд-во Томского университета. 1999г, с. 68-74,

2. Бубенчиков A.M., Клевцова A.B., Фирсов Д.К. Приближение «узкого канала» для течения электропроводящей жидкости. // Вестник ТГУ. Бюллетень оперативной научной информации. 2001. №4, с. 53-64.

3. Бубенчиков A.M., Клевцова A.B., Фирсов Д.К. Течение электропроводящих жидкостей в тонких трубках в поперечном магнитном поле //Математическое моделирование. 2003. Т. 15 №9, с. 76-87.

4. Бубенчиков A.M., Клевцова А.В, Харламов С.Н. Закрученный поток проводящей жидкости в узких трубах при наличии магнитного поля. //Математическое моделирование. 2004. Т. 16, №9, с. 109-122

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались:

1. На III Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (2—4 октября 2002 г., г. Томск).

2. На Международной конференции по математике и механике (16-18 сентября 2003 г., г. Томск).

3. На IV Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (5-7 октября 2004, г. Томск).

4. На семинаре кафедры вычислительной математики и компьютерного моделирования ТГУ под руководством профессора A.B. Старченко.

- 125. На семинарах кафедры теоретической механики ТГУ под руководством профессора A.M. Бубенчикова.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Клевцова, Анна Владимировна

- 1064.4. Выводы

1. Предложен алгоритм для решения автомодельных задач магнитной гидродинамики, состоящий в использовании полярных координат, специального условия в начале координат, симметричных разностей и метода Гаусса-Зейделя.

2. Расчетами выявлено, что движение проводящей среды в рельсовой камере, находящейся в поперечном магнитном поле, индуцирует электрические токи во внешней электрической цепи.

3. Эти токи становятся причиной снижения сопротивления в сравнении со случаем течения проводящей жидкости в канале с изолированными стенками.

- 107-Заключсние

Таким образом, в работе:

1. Получено граничное условие, позволяющее вычислять значения искомых магнитогидродинамических величин на полярной оси при неосесимметри-ческих процессах.

2. Разрешена координатная неопределенность, возникающая при вычислениях радиальной и окружной компонент скорости на оси трубы.

3. Построено осесимметричное приближение для описания незакрученно-го МГД-течения в узких осесимметричных трубках.

4. Предложено также осесимметричное приближение для описания закрученного МГД-потока в трубках круглого поперечного сечения.

5. Выявлен эффект увеличения скорости за счет движения заряженных частиц поперек потока в каналах с частично проводящими стенками.

Достоверность полученных результатов обеспечивается проведением тестовых расчетов, сравнением с аналитическим решением. А так же сравнением с экспериментальными данными по профилям скорости коэффициенту сопротивления.

Научная новизна работы состоит в разработке простых осесимметричных приближений МГД-течений для незакрученного и закрученного потоков, а также в разработке эффективного алгоритма для численного решения неосе-симметричных задач в цилиндрических координатах.

В настоящей работе использовано допущение 11ет «1, которое гарантирует слабый уровень индуцированных магнитных полей. В результате чего магнитное поле не может быть причиной изменяющей поперечный градиент давления. Поэтому, модель приближения «узкого канала», распространенная в обычной динамике вязкой жидкости нашла здесь широкое применение в МГД постановках задач. Однако, известно, что модель безындукционного приближения в случае стабилизированного (автомодельного) движения совпадает с точной постановкой задачи. Поэтому все решения, представленные в диссертации и относящиеся к этому случаю следует рассматривать как результат использования строгой постановки задачи. Нельзя не отметить, что вычислительная технология, примененная нами для решения задач о развивающихся течениях неотъемлемой частью которой является SIMPLE процедура, примененная для разрешения движений малой интенсивности в плоскостях нормальных сечений канала все-таки является достаточно сложной. По-видимому, здесь могут быть предложены более простые решения, опирающиеся на дальнейшее упрощение исходных уравнений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Клевцова, Анна Владимировна, 2004 год

1. Адамчевский И. Электрическая проводимость жидких диэлектриков. — JL: Энергия, 1972. Френкель Я. И. Собрание избранных трудов

2. Бубенчиков A.M., Харламов С.Н. Модель расчета турбулентного течения равновесного диссоциирующего газа в канале//Мат. моделирование. 1992, Т.4. №3. с. 3-10.

3. Бубенчиков A.M., Ливаев Р.З. Некоторые автомодельные задачи магнитной гидродинамики// Вестник ТГУ. Бюллетень оперативной научной информации 2001, №4. с. 32-35.

4. Бубенчиков A.M., Клевцова A.B., Фирсов Д.К. Течение электропроводящих жидкостей в тонких трубках в поперечном магнитном поле //Математическое моделирование. Т.15 №9, 2003 г.

5. Бубенчиков А.М, Харламов С.Н. Математические модели неоднородной анизотропной турбулентности во внутренних течениях. Томск. Издательство Томского государственного университета, 2001. — 448 с.

6. Бубенчиков A.M., Клевцова A.B., Фирсов Д.К. Приближение «узкого канала» для течения электропроводящей жидкости. // Вестник ТГУ, бюллетень оперативной научной информации, численные модели в динамики вязкой жидкости, №4, стр. 53-64, август 2001г.

7. Бубенчиков A.M., Клевцова А.В, Харламов С.Н. Закрученный поток проводящей жидкости в узких трубах при наличии магнитного поля. //Математическое моделирование. .Т. 16, №9, стр. 109-122, 2004г.

8. Ватажин А. Б., Любимов Г. А., Регирер С. А. Магнитогидродинамиче-ские течения в каналах. М.: Наука, 1970.

9. Гринберг Г.А. Об установившемся течении проводящей жидкости в прямолинейной трубе с двумя непроводящими стенками и двумя про- Поводящими, параллельными внешнему магнитному полю // Прикладнаяматематика и механика т.ХХУ, 1961, с.1024-1034.

10. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. М. Изд-во Иностранной литературы, 1959.- 132 с.

11. Кирко И. М. Жидкий металл в электромагнитном полею М. JL «Энергия», 1964.

12. Корнелик С.Е., Клевцова A.B., Павлова O.A. Движение эритроцита в аневризме кровеносного сосуда под действием магнитного поля. // Вычислительная гидродинамика, изд Томского университета, стр. 6874, 1999г.

13. Кочин Н. В., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматгиз., 1963, ч. I.

14. Куликовский А. Г. О медленных стационарных течениях проводящей жидкости при больших числах Гартмана. «Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа», 1968, №2, с.3-10.

15. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматгиз, 1959.

16. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: Гостех-издат, 1959.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука 1986. 736с.

18. Левицкий Е. Ф., Кузьменко А.И., Лаптев Б.И. Комплексное применение природных лечебных факторов и поля постоянных магнитов в эксперименте и клинике. Томск. Изд-во Томского госуниверситета 2001 154с.

19. Лиелаусис О. А. Гидродинамика жидкометаллических МГД-устройств. Рига, «Зинатне», 1967.

20. Остроумов Г. А. К вопросу о гидродинамике электрических разрядов. -ЖТФ, 1954. Т. 24, №Ю, с. 1915.

21. Остроумов Г. А. Наблюдение электрокондуктивной конвекции в электролитах. ЖЭТФ, 1955. Т. 29, №4 (10), с. 529.

22. Остроумов Г. А. О результатах измерения электропроводности изолирующих жидкостей. ЖЭТФ, 1961. Т. 41, №2 (8), с.441-444.

23. Остроумов Г. А. Электрическая конвекция (обзор) ИФЖ, 1966. Т. 10, №5, с. 683.

24. Остроумов Г. А. Об «инжекции зарядов» в изолирующей жидкости при электроакустических явлениях. Электронная обработка материалов. Кишинев, 1975, №1 (61), с. 35-37.

25. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей. М.: Наука, 1979. 316 с.

26. Памфилов А. В. , Долгая О. М. Журнал физической химии, 1963, Т. 37, №8, с. 1800-1804.

27. Патанкар С. Методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. Москва. Энергоатомиздат. 1984.-152с.

28. Рубашов И. Б., Бортников Ю. С. Электрогазодинамика. — М.: Атомиз-дат, 1971.

29. Симуни Л.М. Численное решение задач о теплообмене при изотермическом движении вязкой жидкости в плоской трубе// ИФЖ. 1966 Т.10 №1. с.86-91.

30. Сканави Г. И. Физика диэлектриков (область слабых полей). М. — JL: Гостехиздат, 1949.

31. Старченко A.B., Бубенчиков A.M., Бурлуцкий Е.С. Математическая модель неизотермического турбулентоного течения газовзвеси в трубе на основе смешанного эйлерово-лагранжевого представления // ТВТ -2002. Т.4, №3. С. 449-459.

32. Стреттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М. JL: Гостехиздат, 1948.

33. Сухотин А. М. Вопросы теории растворов электролитов в средах с низкой диэлектрической проводимостью. — М.: Госхимиздат, 1959.

34. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966.

35. Тананаев А. В. Течения в каналах МГД-устройств. М.: Атомиздат,1979.-368 с.

36. Тучин H. M. Влияние проводимости стенки на сопротивление движению жидкого металла в круглой трубе в магнитном поле. — «Теплофизика высоких температур», 1963, т. 1, №1, с. 118-120.

37. Уфлянд Я. С. Установившееся течение электропроводящей жидкости в прямоугольном канале при наличии поперечного магнитного поля. -«Журнал тех. физики», 1960, т. 30, №10, с. 1256-1258.

38. Френкель Я. И. К теории электрического пробоя в диэлектриках и электронных полупроводниках. — ЖЭТФ, 1938. Т. 8, №12, с. 12921302.

39. Френкель Я. И. Собрание избранных трудов. M. - JL: Изд-во АН СССР, 1968, т. 2.

40. Хожаинов А. И. Турбулентное течение жидкого металла в магнито-гидродинамических каналах круглого сечения. «Журнал тех. физики», 1966. т. 36, №1, с. 147-150.

41. Шерклиф Дж. Теория электромагнитного измерения расхода. М. «Мир», 1965.

42. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712с.

43. Якубенко А. Е. Стационарное течение вязкой несжимаемой проводящей по трубам в однородном и неоднородном магнитном поле. -«Изв. АН СССР. Отд. тех. наук», 1961, №1, с. 90-95.

44. Bleviss Z. О. Magnetogasdynamics of hypersonic Couette flow. "J Aerospace Sei." 1958, v. 25, №10, p. 601-615.

45. Chang C. C., Lundgren T. S. Duct flow in magnetohydrodynamics. -"ZangewMath. andPhys.", 1961, Bd 12H. 2, S. 100-144.

46. Gardner R.A., Liroudis P.S. Magneto-fluid-mechanics pipe flow in a bran-swse magnetic field. Part 2//Jeurnal of Fluid Mechanics, 1971. Vol. 43, pt. l,p. 129-141.

47. Gold R. R. Magnetohydrodynamic pipe flow. Part 1. "J. Fluid Mech.", 1962, v. 13, part 4, p.505-512.- 11348. Hartmann J. Hg-Dynamics. I. Det. Kgl. Danske Videnskab Selskab.

48. Math.-fys. Medd.", 1937, Bd 15, №6.

49. Hartman J., Lasarus F. Hg.-Dynamics. II Det. Kgl. Danske Videnskab. Selskab. "Math.-fys. Medd.", 1937, Bd 15, №7.

50. Hunt J.C.R. Magneto hydrodynamic flow in rectangular ducts. «J.Fluid Mech.», 1965. V.21, part 4, p. 577-590.

51. Hunt J. C. R. Aunigucness theorem for magnetohydrodynamic duct flows. "Proc. Cambridge. Philos. Soc.", 1969. v. 65, №2, p.319.

52. Ihara S., Tajima K., Matsushima A. The flow of conducting fluids in circular pipes with finite conductivity under uniform traverse magnetic fields. -"Bull. Sci. and Engng Res. Lab. Waseda Univ.", 1963, v. 22, p. 1-9.

53. Ihara S., Tajima K., Matsushima A. The flow of conducting fluids in circular pipes with finite conductivity under uniform traverse magnetic fields. -"Trans. ASME", v. 89, №1, p.29-36.

54. Kohlrausch F. Praktische Physik. -Lpz.rTeubner, 1955. B. 2.

55. LockR. C., Proc. Roy. Soc., 233A, 105,1955.

56. Maciulaitis A., Loeffler A. L., Calcanes J. I. Experimental investigation of MHD-flows through circular numbers. In: Intern. Symp. on magnetohydrodynamic power generation. Solzburg, 1966, SM 74/195.

57. Murgatroyd W. Phil. Mag., 44, 1348 (1955).

58. Shercliff J. A. Steady motion of conducting fluids in pipes under traverse magnetic fields. "Proc. Cambridge. Philos. Soc.", 1953, v. 49, №1, p. 136144.

59. Shercliff J. A. The flow of conducting fluids in circular pipes under traverse magnetic fields. "J. Fluid Mech.", 1956, v. 1, part 6, p.644-666.

60. Stnart J. T., Proc. Roy. Soc., 221A, 189, 1954.