Дифференциальные комплексы, ассоциированные с пуассоновыми многообразиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Шурыгин, Вадим Вадимович

• Шурыгин, Вадим Вадимович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шурыгин, Вадим Вадимович

Введение

Глава 1 Слоения. Пуассоновы многообразия.

Расслоения Вейля

§1.1 Слоения на многообразиях.

§1.2 Скобка Схоутена-Нейенхейса.

§1.3 Пуассоновы многообразия.

1.3.1 Симплектические многообразия.

1.3.2 Пуассоновы многообразия.

1.3.3 Когомологии Пуассона. Модулярный класс пуассонова многообразия.

1.3.4 Дифференциал Кошуля.

§1.4 Алгебры Вейля. Расслоения Вейля.

§1.5 Структура фробениусовых алгебр Вейля.

Глава 2 Квантовые когомологии де Рама

§2.1 Когомологии двойного комплекса Брылинского.

§2.2 Квантовые когомологии де Рама

Глава 3 Пуассоновы структуры на расслоениях Вейля

§3.1 Лифты тензорных полей в расслоения Вейля.

3.1.1 Реализации тензорных операций.

3.1.2 Полный лифт ковариантных тензорных нолей

3.1.3 Полный лифт контравариантных тензорных полей

3.1.4 Вертикальный лифт контравариантных тензорных нолей

§3.2 Расслоения Вейля пуассоновых многообразий.

3.2.1 Полный лифт пуассоновой структуры.

3.2.2 Вертикальный лифт пуассоновой структуры

3.2.3 Полный лифт слоения. Связь слоевых когомологий слоения и его лифта.

3.2.4 Полный лифт регулярной пуассоновой структуры

3.2.5 Модулярные классы лифтов пуассоновых структур на расслоениях Вейля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциальные комплексы, ассоциированные с пуассоновыми многообразиями»

Актуальность темы. В настоящее время теория пуассоновых многообразий является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов современной дифференциальной геометрии, имеющим широкие применения в математической физике (см., например, монографии В.И.Арнольда и А.Б. Гивенталя [1], М.В. Карасева и В.П. Маслова [11], В.В. Трофимова и А.Т.Фоменко [23], [25], Дж. Марсдена и Т. Ратью [71], А. да Силвы и А. Вейнстейна [92], И. Вайсмана [97]).

Активно изучаются различные геометрические свойства пуассоновых структур, особенно в связи с задачами квантования. Здесь в первую очередь следует отметить основополагающую работу Ф. Байена, М. Флато, К. Фронсдаля, А. Лихнеровича и Д. Штернхаймера [34], в которой было указано, что «квантование следует понимать как деформацию структуры алгебры классических наблюдаемых», а кроме того работы М. Кон-цевича [64], Дж.Донина [43], Я. Грабовского [54], X. Омори, Й.Маеды, Н. Миязаки и А. Йошиоки [81, 82].

Общая теория деформаций ассоциативных алгебр была развита в работах М. Герстенхабера [49]—[52]. Алгебраические аспекты теории деформаций пуассоновых структур также исследовались в работе Й.Хюбш-манна [60].

А. Лихнерович [67] ввел в расмотрение так называемые иуассоновы ко-гомологии пуассонова многообразия и показал, что в случае симнлекти-ческого многообразия они изоморфны когомологиям де Рама. Ж.-Л. Ко-шуль [66] ввел понятие гомологий пуассонова многообразия, впоследствии названных Ж.-Л. Брылинским каноническими.

В работе Х.-Д. Као и Ж. Чжоу [38] было начато изучение когомоло-гий комплекса, получаемого деформацией комплекса де Рама пуассонова многообразия. Эти когомологии были названы ими квантовыми когомо-логиями де Рама пуассонова многообразия. В частности, было доказано, что для случая симплектического многообразия квантовые когомологии получаются деформационным квантованием когомологий де Рама. В работе Ж.-Л. Брылинского [36], с использованием результатов работ [66] и [67], был получен ряд результатов о строении двойного дифференциального комплекса, естественным образом ассоциированного с пуассоновой структурой.

В работах Ю.М. Воробьева и М.В. Карасева [10], X. Аскарраги, А. Переломова и Х.Переса Буэно [33], В.Гинзбурга и Дж.Лю [53], Й.Хюбш-манна [60], Н. Наканиши [78], И. Вайсмана [96], А.Вейнстейна [101], П. Сю [102, 103] изучены свойства иуассоновых когомологий и приведены многочисленные примеры их вычисления. Работа в этом направлении активно ведется и в настоящее время (см. работы А. Гаммеллы [48], И. Кос-манн-Шварцбах [65], П. Моннье [75, 76], А. Пишерё [84], К. Роже и П. Ван-хеке [88]).

В работах Г. Митрича и И. Вайсмана [73], Я. Грабовского и П.Урбанского [55, 56] были построены и изучены различного типа лифты симплектических и иуассоновых структур на касательные расслоения. Э. Окассой [80] и В.А. Браиловым [2] изучались лифты симплектических структур на расслоения Вей ля.

Расслоение Вейля ТАМ гладкого многообразия М, определяемое локальной алгеброй А (алгеброй Вейля), было введено А. Вейлем [99] как обобщение расслоения (TV, д)-скоростей Ш. Эресмана [45]. К классу расслоений Вейля относятся, в частности, касательные расслоения. Геометрия расслоений Вейля и, в частности, лифты тензорных структур и связ-ностей с гладкого многообразия М на расслоение Вейля ТАМ, изучались А. Моримото [77], Л. Паттерсоном [83], П.Юэном [105].

А.П. Широковым [29] было обнаружено, что расслоение Вейля ТАМ несет на себе структуру гладкого многообразия над алгеброй А. Это позволило применять при изучении геометрических структур на расслоениях Вейля методы теории многообразий над алгебрами. Изучению геометрии многообразий над коммутативными ассоциативными алгебрами и их вещественных реализаций посвящены работы А.П. Нордена [16], [17], Б.А. Розенфельда [20], А.П. Широкова [26], [27], В.В. Вишневского [5], [6], [7], Г.И. Кручковича [14] и других авторов (ссылки на обширную литературу можно найти в монографии В.В. Вишневского, А.П. Широкова и В.В. Шурыгина [9], а также в работах [29], [8]). Наличие структуры гладкого многообразия над алгеброй А на расслоении Вейля ТАМ приводит к появлению на этом расслоении геометрических объектов специального типа, а именно, А-гладких геометрических объектов (в частности, А-продолжений геометрических объектов с базового многообразия М), а также вещественных геометрических объектов, являющихся реализациями А-гладких геометрических объектов. Реализации тензоров и тензорных операций в пространствах над фробениусовыми алгебрами посвящены работы В.В. Вишневского [6] и Г.И. Кручковича [14]. Геометрия расслоения Вейля ТАМ как многообразия над алгеброй А изучалась в работах А.П. Широкова [29], В.В. Шурыгина [30], А.Я. Султанова [21].

Соответствие, относящее гладкому многообразию его расслоение Вейля, представляет собой ковариантный функтор, принадлежащий к классу так называемых функторов, сохраняющих произведение. Изучению функторов, сохраняющих произведение, и их связи с функторами Вейля посвящено много работ, библиографию которых можно найти в монографии И. Коларжа, П. Михора и Я. Словака [63].

Цель работы. Целью работы является решение следующих вопросов геометрии и топологии иуассоновых многообразий и геометрии гладких многообразий над алгебрами.

1. Вычисление квантовых когомологий де Рама пуассоновых многообразий.

2. Построение лифтов контравариантных тензорных полей и пуассоновых структур с гладкого многообразия на его расслоение Вейля.

3. Изучение свойств пуассоновых структур на расслоениях Вейля гладких многообразий, их связей с иуассоновыми структурами на базовых многообразиях и вычисление их модулярных классов.

Методы исследования. В работе используются методы геометрии и топологии пуассоновых многообразий, теории многообразий над алгебрами, теории слоений.

Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение при проведении научных исследований и чтении спецкурсов в Казанском, Московском, Нижегородском, Новосибирском и Саратовском государственных университетах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

Международная конференция «Колмогоров и современная математика» (Москва, 16-21 июня 2003 г.).

IX Международная конференция «Дифференциальная геометрия и приложения» (Чехия, Прага, 30 августа - 3 сентября 2004 г.).

XII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 12-15 апреля 2005 г.).

Всероссийские молодежные научные конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2003, 2005 г.).

Кроме того, результаты работы регулярно докладывались на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета и заседаниях Казанского городского геометрического семинара.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 печатных работах автора [106]—[112].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа набрана в системе ВД^Х и содержит 135 страниц. Список литературы насчитывает 112 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шурыгин, Вадим Вадимович, 2006 год

1. Арнольд, В.И. Симплектическая геометрия / В.И. Арнольд,A.Б. Гивенталь. Ижевск: Изд. дом «Удмуртский университет», 2000. - 168 с.

2. Браилов, В.А. Инволютивные наборы на алгебрах Ли и расширения кольца скаляров / В.А. Браилов // Вестн. МГУ. Мат. Мех. 1983. - № 1. - С. 47-51.

3. Вагнер, В.В. Алгебраическая теория дифференциальных групп /B.В. Вагнер // ДАН СССР. 1951. - Т. 80, № 6. - С. 845-848.

4. Вагнер, В.В. Алгебраическая теория касательных пространств высших порядков / В.В. Вагнер // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. Вып. 10. - М.: Изд-во МГУ, 1956. - С. 31-88.

5. Вишневский, В.В. Пространства над алгебрами, определяемые аффинорами: дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.04. 1972.

6. Вишневский, В.В. О вещественных реализациях тензорных операций в пространствах над алгебрами / В.В. Вишневский // Изв. вузов. Математика. 1974. - № 5. - С. 62-65.

7. Вишневский, В.В. Многообразия над плюральными числами и полукасательные структуры / В.В. Вишневский // Итоги науки и техники. / ВИНИТИ. Т. 20: Проблемы геометрии. - М., 1988.C. 35-75.

8. Вишневский, В.В. Интегрируемые аффинорные структуры и их плюральные интерпретации /В.В. Вишневский // Итоги науки и техн. / ВИНИТИ. Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. - М., 2002. - С. 6-64.

9. Вишневский, В.В. Пространства над алгебрами / В.В. Вишневский, А.П. Широков, В.В. Шурыгин. Казань: Изд-во Казанского университета, 1984. - 264 с.

10. Воробьев, Ю.М. О пуассоновых многообразиях и скобке Схоутена / Ю.М. Воробьев, М.В. Карасев // Функ. Анализ и Прилож. 1988. -Т. 22, Вып. 1. - С. 1-11.

11. Карасев, М.В. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование / М.В. Карасев, В.П. Маслов. М.: Наука, 1991. - 368 с.

12. Кириллов, А.А. Локальные алгебры Ли / А.А. Кириллов // Успехи мат. наук. 1976. - Т. 31, № 4. - С. 57-76.

13. Кобаяси, Ш. Основания дифференциальной геометрии. В 2 т. Т. 1. / Ш. Кобаяси, К. Номидзу; перевод с англ. Л.В. Сабинина. М.: Наука, 1981. - 344 с.

14. Кручкович, Г.И. Гииеркомплексные структуры на многообразиях, I / Г.И. Кручкович // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. -Вып. 16. М.: Изд-во МГУ, 1972. - С. 174-201.

15. Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр / Ч. Кэртис, И. Райнер; перевод с англ. Б.Н. Гартштейн и др.]; под ред. С.Д. Бермана. М.: Наука, 1969. - 668 с.

16. Норден, А.П. О параллельном перенесении дуальных векторов / А.П. Норден // Уч. зап-ки. / Казан, гос. ун-т. Т. 110. - Вып. 3. -Казань, 1950. - С. 95-103.

17. Норден, А.П. О структуре связности на многообразии прямых неевклидова пространства / А.П. Норден // Изв. вузов. Математика. -1972. № 12. - С. 84-94.

18. Пирс, Р. Ассоциативные алгебры / Р. Пирс; перевод с англ. А.С. Ра-пинчука и В.И. Янчевского; иод ред. А.Е. Залесского. М.: Мир, 1986. - 544 с.

19. Постников, М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия / М.М. Постников. М.: Наука, 1987. - 480 с.

20. Розенфельд, Б.А. Неевклидовы геометрии / Б.А. Розенфельд. М.-Л.: ГИТТЛ, 1955. - 744 с.

21. Султанов, А.Я. Продолжения тензорных нолей и связностей на расслоение Вейля / А.Я. Султанов // Изв. вузов. Математика. 1999.- № 9. С. 81-90.

22. Трофимов, В.В. Построение канонических координат на орбитах коирисоединенного представления групп Ли / В.В. Трофимов // Труды семин. по вект. и тенз. анализу Вып. 25. Ч. 2. - М.: Изд-во МГУ, 1993. - С. 148-151.

23. Трофимов, В.В. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоно-вых дифференциальных уравнений / В.В. Трофимов, А.Т. Фоменко. М.: Факториал, 1995. - 448 с.

24. Уэллс, Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / Р. Уэллс; перевод с англ. Е.М. Чирки; под ред. Б.С. Ми-тягина. М.: Мир, 1976. - 286 с.

25. Фоменко, А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения / А.Т. Фоменко. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 413 с.

26. Широков, А.П. Об одном типе G-структур, определяемых алгебрами / А.П. Широков // Труды геометр, семин. / ВИНИТИ. Т. 1.- М., 1966. С. 425-456.

27. Широков, А.П. Пространства определяемые алгебрами: дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.04. / А.П. Широков Казань, 1965.

28. Широков, А.П. Замечание о структурах в касательных расслоениях / А.П. Широков // Труды геометр, семин. / ВИНИТИ Т. 5. - М., 1974. - С. 311-318.

29. Широков, А.П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами / А.П. Широков // Итоги науки и техники. / ВИНИТИ. Т. 12: Проблемы геометрии. - М., 1981. - С. 61-95.

30. Шурыгин, В.В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй / В.В. Шурыгин // Успехи мат. наук.- 1993. Т. 48, № 2 (290). - С. 75-106.

31. Шурыгин, В.В. О когомологиях многообразий над локальными алгебрами / В.В. Шурыгин // Изв. вузов. Математика. 1996. - № 9.- С. 74-88.

32. Abouqateb, A. Le classe modulaire d'une variete de Poisson reguliere et la classe de Reeb de son feuilletage symplectique / A. Abouqateb, M. Boucetta // C. R. Acad. Paris. Ser. I. - 2003. - Vol. 337. - Pp. 6166.

33. Azcarraga, J.A. de. The Schouten-Nijenhuis bracket, cohomology and generalized Poisson structures / J.A. de Azcarraga, A.M. Perelomov, J.C. Perez Bueno // J. of Physics. A: Math. Gen. 1996. - Vol. 29. -Pp. 7993-8009.

34. Bayen, F. Deformation theory and quantization / F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer // Ann. of Physics. -1978.-Vol. 111.-Pp. 61-110.

35. Bertelson, M. Foliations associated to regular Poisson structures Электронный ресурс] / M. Bertelson. Режим доступа: http://arxiv.org/abs/math.DG/0010191, свободный.

36. Brylinski, J.-L. A differential complex for Poisson manifolds / J.-L. Brylinski // J. Diff. Geom. 1988. - Vol. 28. - Pp. 93-114.

37. Candel, A. Foliations I / A. Candel, L. Conlon. Graduate Studies in Math. - Vol. 23. - 2000. - 402 p.

38. Cao, H.-D. On quantum de Rham cohomology Электронный ресурс] / H.-D. Cao, J. Zhou. Режим доступа: http://arxiv.org/abs/math.DG/9806157, свободный.

39. Conn, J. Normal forms for analytic Poisson structures / J. Conn // Ann. of Math. 1984. - Vol. 119. - Pp. 577-501.

40. Conn, J. Normal forms for smooth Poisson structures / J. Conn // Ann. of Math. 1985. - Vol. 121. - Pp. 565-593.

41. Courant, T.J. Dirac manifolds / T.J. Courant // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. - Vol. 319. - Pp. 631-661.

42. Donin, J. On the quantization of Poisson brackets / J. Donin // Adv. in Math. 1997. - Vol. 127. - Pp. 73-93.

43. Eck, D.J. Product-preserving functors on smooth manifolds / D.J. Eck //J. Pure Appl. Algebra. 1986. - Vol. 42. - Pp. 133-140.

44. Ehresmann, С. Les prolongements d'une variete differentiable. II. L'espace des jets d'ordre r de Vn dans Vm / C. Ehresmann // C. R. Acad. Sci. 1951. - T. 233. - Pp. 777-779.

45. El Kasimi-Alaoui, A. Sur la cohomologie feuilletee / A. El Kasimi-Alaoui // Compositio Math. 1983. - Vol. 49. - Pp. 195-215.

46. El Kasimi-Alaoui, A. Cohomologie bigraduee de certains feuilletages / A. El Kasimi-Alaoui, A. Tihami // Bull. Soc. Math. Belg. 1986. -T. 38, Ser. B, Fasc. 2. - Pp. 144-156.

47. Gammella, A. An approach to the tangential Poisson cohomology based on examples in duals of Lie algebras / A. Gammella // Pacific J. Math.- 2002. Vol. 203. - Pp. 283-319.

48. Gerstenhaber, M. On the deformation of rings and algebras / M. Gerstenhaber // Ann. of Math. 1964. - Vol. 79. - Pp. 59-103.

49. Gerstenhaber, M. On the deformation of rings and algebras, II / M. Gerstenhaber // Ann. of Math. 1966. - Vol. 84. - Pp. 1-19.

50. Gerstenhaber, M. On the deformation of rings and algebras, III / M. Gerstenhaber // Ann. of Math. 1968. - Vol. 88. - Pp. 1-34.

51. Gerstenhaber, M. On the deformation of rings and algebras, IV / M. Gerstenhaber // Ann. of Math. 1974. - Vol. 99. - Pp. 257-276.

52. Ginzburg, V.L. Poisson cohomology of Morita-equivalent Poisson manifolds / V.L. Ginzburg, J.-H. Lu // Duke Math. J. 1992. - Vol. 68.- Pp. A199-A205.

53. Grabowski, J. Deformational Quantization of Poisson structures / J. Grabowski // Rep. Math. Phys. 1995. - Vol. 35. - Pp. 267-281.

54. Grabowski, J. Tangent lifts of Poisson and related structures / J. Grabowski, P. Urbanski // J. of Physics. A: Math. Gen. 1995.- Vol. 28. Pp. 6743-6777.

55. Grabowski, J. Tangent and cotangent lifts and graded Lie algebras associated with Lie algebroids / J. Grabowski, P. Urbanski // Ann. Global. Anal. Geom. 1997. - Vol. 15. - Pp. 447-486.

56. Grabowski, J. On characterization of Poisson and Jacobi structures / J. Grabowski, P. Urbanski // Central European J. Math. 2003. -Vol. 1. - Pp. 123-140.

57. Heitsch, J.L. A cohomology for foliated manifolds / J.L. Heitsch // Comment. Math. Helv. 1975. - Vol. 50. - Pp. 197-218.

58. Houh, Ch.-S. Tensor fields and connections on a cross-section in the tangent bundle of order r / Ch.-S. Houh, S. Ishihara // Kodai Math. Semin. Repts. 1972. - Vol. 24. - Pp. 234-250.

59. Huebschmann, J. Poisson cohomology and quantization / J. Huebschmann //J. fiir Reine und Angew. Math. 1990. -Vol. 408. - Pp. 57-113.

60. Hurder, S. The Godbillon measure of amenable foliations / S. Hurder // J. Diff. Geom. 1986. - Vol. 23. - Pp. 347-365.

61. Kainz, G. Natural transformations in differential geometry / G. Kainz, P. Michor // Czech. Math. J. 1987. - Vol. 37. - Pp. 584-607.

62. Kolar, I. Natural operations in differential geometry / I. Kolar, P.W. Michor, J. Slovak. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1993.- 434 pp.

63. Kontsevich, M. Deformation quantization of Poisson manifolds / M. Kontsevich // Lett. Math. Phys. 2003. - Vol. 66. - Pp. 157-216.

64. Kosmann-Schwarzbach, Y. Modular vector fields and Batalin-Vilkovisky algebras / Y. Kosmann-Schwarzbach // "Poisson Geometry". Banach Center Publications. - 2000. - Vol. 51. - Pp. 109-129.

65. Koszul, J.-L. Crochet de Schouten-Nijenhuis et cohomologie / J.-L. Koszul // "Elie Cartan et les Math. d'Aujour d'Hui", Asterisque, hors-serie. 1985. - Pp. 251-271.

66. Lichnerowicz, A. Les varietes de Poisson et leurs algebres de Lie associees / A. Lichnerowicz //J. Diff. Geom. 1977. - Vol. 12. -Pp. 253-300.

67. Lichnerowicz, A. Varietes de Poisson et feuilletages / A. Lichnerowicz // Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 1982. - T. 4. - Pp. 195-262.

68. Lie, S., Theorie der Transformationsgruppen, (Zweiter Abschnitt, unter Mitwirkung von Prof. Dr. Friedrich Engel) / S. Lie. Leipzig: Teubner, 1890.

69. Luciano, O.O. Categories of multiplicative functors and Weil's infinitely near points / O.O. Luciano // Nagoya Math. J. 1988. - Vol. 109. -Pp. 67-108.

70. Marsden, J. Introduction to Mechanics and Symmetry. A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems. 2nd ed. //J. Marsden, T. Ratiu. Texts in Applied Math. - Vol. 17. - New York: Springer-Verlag, 1999. - 582 p.

71. Michor, P.W. Remarks on the Schouten-Nijenhuis bracket / P.W. Michor // Suppl. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Serie II. 1987. - Vol. 16. - Pp. 207-215.

72. Mitric, G. Poisson structures on tangent bundles / G. Mitric, I. Vaisman // Diff. Geom. and Appl. 2003. - Vol. 18. - Pp. 207-228.

73. Molino, P. Riemannian foliations / P. Molino. Progress in Mathematics. - Vol. 73. - Boston-Basel: Birkhauser, 1988. - 339 pp.

74. Monnier, P. Poisson cohomology in dimension two / P. Monnier // Israel J. Math. 2002. - Vol. 129. - Pp. 189-207.

75. Monnier, P. A cohomology attached to a function / P. Monnier // Diff. Geom. Appl. 2005. - Vol. 22. - Pp. 49-68.

76. Morimoto, A. Prolongation of connections to bundles of infinitely near points / A. Morimoto // J. Diff. Geom. 1976. - Vol. 11. - Pp. 479-498.

77. Nakanishi, N. Poisson cohomology of plane quadratic Poisson structures / N. Nakanishi // Publ. RIMS, Kyoto Univ. 1997. - Vol. 33. - Pp. 7389.

78. Nijenhuis, A. Jacobi-type identities for bilinear differential concomitants of certain tensor fields, I / A. Nijenhuis // Indag. Math. 1955. - Vol. 17. - Pp. 390-403.

79. Okassa, Б. Relevements des structures symplectiques et pseudo-Rie-manniennes a des varietes de points proches / Б. Okassa // Nagoya Math. J. 1989. - Vol. 115. - Pp. 63-71.

80. Omori, H. Weyl manifolds and deformation quantization / H. Omori, Y. Maeda, A. Yoshioka // Adv. in Math. 1991. - Vol. 85. - Pp. 224255.

81. Omori, H. Poincare-Cartan class and deformation quantization of Kahler manifolds / H. Omori, Y. Maeda, N. Miyazaki, A. Yoshioka // Commun. Math. Phys. 1998. - Vol. 194. - Pp. 207-230.

82. Patterson, L.-N. Connexions and prolongations / L.-N. Patterson // Canad. J. Math. 1975. - Vol. 27. - Pp. 766-791.

83. Pichereau, A. Cohomologie de Poisson en dimension trois /A. Pichereau // C. R. Acad. Paris. Ser. I. - 2005. - Vol. 340. -Pp. 151-154.

84. Reinhart, B.L. Foliated manifolds with bundle-like metrics /B.L. Reinhart // Ann. Math. 1959. - Vol. 69. - Pp. 119-132.

85. Reinhart, B.L. Harmonic integrals on foliated manifolds / B.L. Reinhart // Amer. J. Math. 1959. - Vol. 81. - Pp. 529-536.

86. Roger, C. Cohomologie (p, q) des feuilletages et applications / C. Roger // Asterisque. 1984. - Vol. 116. - Pp. 195-213.

87. Roger, C. Poisson cohomology of the affine plane / C. Roger, P. Vanhaecke // J. Algebra. 2002. - Vol. 251. - Pp. 448-460.

88. Scheffers, G. Verallgemeinerung der Grundlagen der gewohnlichen komplexen Funktionen / G. Scheffers // Berichte Sachs. Akad. Wiss. -1893. Vol. 45. - Pp. 828-842.

89. Schouten, J.A. Uber Differentialkonkomitanten zweier kontravarianter Grofien / J.A. Schouten // Indag. Math. 1940. - Vol. 2. - Pp. 79-85.

90. Shurygin, V.V. The structure of smooth mappings over Weil algebras and the category of manifolds over algebras / V.V. Shurygin // Lobachevskii J. Math. 1999. - Vol. 5. - Pp. 29-55.

91. Silva, A.C. da. Geometric Models for Noncommutative Algebras / A.C. da Silva, A. Weinstein. Berkeley Lecture Notes. - 2000. — Vol. 10. - 184 pp.

92. Vaisman, I. Varietes riemanniennes feuilletees / I. Vaisman // Czech. Math. J. 1971. - Vol. 21. - Pp. 46-75.

93. Vaisman, I. Cohomology and Differential Forms / I. Vaisman. Pure and Applied Mathematics. - Vol. 21. - New York: Marcel Dekker, 1973.- 284 p.

94. Vaisman, I. ^/-cohomology of Lagrangian foliations / I. Vaisman // Monatshefte Math. 1988. - Vol. 106. - Pp. 221-244.

95. Vaisman, I. Remarks on the Lichnerowicz-Poisson cohomology / I. Vaisman // Ann. Inst. Fourier Grenoble. 1990. - Vol. 40. - Pp. 951963.

96. Vaisman, I. Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds / I. Vaisman. Progress in Math. - Vol. 118. - Basel: Birkhauser, 1994.- 205 pp.

97. Vaisman, I. Second order Hamiltonian vector fields on tangent bundles / I. Vaisman // Differential Geoin. 1995. - Vol. 5. - Pp. 153-170.

98. Weil, A. Theorie des points proches sur les varietetes differentiables / A. Weil // Colloque internat. centre nat. rech. sci. Vol. 52. - Strasbourg, 1953. - Pp. 111-117.

99. Weinstein, A. The local structure of Poisson manifolds / A. Weinstein //J. Diff. Geom. 1983. - Vol. 18. - Pp. 523-557.

100. Weinstein, A. The modular automorphism group of a Poisson manifold / A. Weinstein // J. Geom. Phys. 1997. - Vol. 23. - Pp. 379-394.

101. Xu, P. Poisson cohomology of regular Poisson manifolds / P. Xu // Ann. Inst. Fourier Grenoble. 1992. - Vol. 42. - Pp. 967-988.

102. Xu, P. Morita equivalence of Poisson manifolds. / P. Xu // Commun. Math. Phys. 1991. - Vol. 142. - Pp. 493-509.

103. Yano, К. Tangent and Cotangent Bundles / K. Yano, S. Ishihara. -Pure and Applied Mathematics. Vol. 16. - New York: Marcel Dekker, 1973. - 423 p.

104. Yuen, P.C. Sur la notion d'une G-structure geometrique et les A-prolongements de G-structures / P.C. Yuen // C. R. Acad. Sci. 1970. - Vol. 270. - Pp. 1589-1592.Список работ автора по теме диссертации

105. Shurygin, V.V., jr. On the projective limit of fibered manifolds / V.V. Shurygin, jr. // International Conference "Kolmogorov and Contemporary Mathematics", Moscow, Russia, June 16-21, 2003.: Abstracts. Moscow, 2003. - P. 853.

106. Шурыгин, В.В. (мл.) Когомологии двойного комплекса Брылинско-го пуассоновых многообразий и квантовые когомологии де Рама / В.В. Шурыгин (мл.) // Изв. вузов. Математика. 2004. - № 10 (509). - С. 75-81.

107. Шурыгин, В.В. (мл.) О структуре кольца квантовых когомологий де Рама пуассоновых многообразий / В.В. Шурыгин (мл.) // Уч. зап-ки. / Казан, гос. ун-т. Т. 147, кн. 1. - Казань: Изд-во КГУ, 2005. - С. 192-196.

108. Shurygin, V.V., jr. Poisson structures on Weil bundles / V.V. Shury-gin, jr. // Lobachevskii J. Math. 2005. - Vol. 17. - Pp. 229-256.