Динамика конечномерных геофизических течений и влияние различных механизмов вязкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.29, кандидат физико-математических наук Гледзер, Алексей Евгеньевич

• Гледзер, Алексей Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гледзер, Алексей Евгеньевич

1 Введение.

2 Динамика и диаграммы режимов движения тяжелого волчка в поле сил Кориолиса.

2.1 О медленных движениях в редуцированных уравнениях стратифицированной жидкости в поле сил Кориолиса.

2.1.1 Геострофическое приближение, горизонтальная стратификация.

2.1.2 Приближение с быстрыми модами, отклонение от геострофического равновесия.

2.1.3 Улучшенные приближения к точной системе.

2.1.4 Выводы к разделу 2.1.

2.2 Перемежаемость в параметрах Ra-Ta в динамике волчка с вязким трением.

2.2.1 Уравнения движения.

2.2.2 Стационарные решения.

2.2.3 Фазовые портреты полной системы.

2.2.4 Фазовые диаграммы для системы с изотропным трением.

2.2.5 Выводы к разделу 2.2.

3 Определение эффективной вязкости в квазидвумерных геофизических течениях.

3.1 Вязкое трение в квазидвумерных потоках.

3.2 Эффективная вязкость в моделях с конечными элементами на ^-плоскости.

3.3 Выводы главе 3.

4 Захват и высвобождение массы вихревыми структурами.

4.1 Стационарный вихрь в набегающем потоке.

4.2 Нестационарный вихрь в переменном однородном потоке.

4.3 Выход частицы из области циркуляции.

4.4 Захват частицы в область циркуляции.

4.5 Взвешенные тяжелые частицы в поле вихря.

4.6 Выводы к главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика конечномерных геофизических течений и влияние различных механизмов вязкости»

Актуальность темы. В течение ряда лет при изучении качественных и часто количественных характеристик геофизических течений (в том числе и их лабораторных моделей) широко используются конечномерные модели. Эти модели, записанные в форме систем обыкновенных дифференциальных уравнений, могут включать в себя от нескольких до нескольких десятков или даже сотен переменных. В качестве примера систем такого рода можно упомянуть известную трёхмодовую модель Лоренца, в кота-рой был обнаружен новый объект механики и математики— странный аттрактор. Эта, а также другие системы могут быть получены при использовании в уравнениях с частными производными метода Галёркина с ограниченным числом базисных функций. В упомянутой системе Лоренца решение уравнений тепловой конвекции описывается всего тремя функциями.

Другой областью применения конечномерных систем с небольшим числом степеней свободы является исследование фотохимических процессов в атмосфере, где пол-нал фотохимическая система включает в себя тысячи реакций, точная динамика которых с трудом поддаётся анализу. В то же время существует возможность для заданного интервала внешних условий выделить относительно простую систему, описывающую динамику "основных" компонент.

Необходимость построения таких моделей обусловлена тем, что часто те или иные свойства гидродинамических течений проявляются в достаточно узком диапазоне внешних определяющих параметров и начальных данных, который заранее неизвестен. Кроме трудностей качественного анализа поведения систем, поиск значений этих параметров для систем с очень большим числом переменных был бы весьма трудоёмким. В таком подходе платой за быстрый расчёт систем с относительно небольшим числом переменных, но с широким интервалом изменения внешних параметров является неопределенность в оценке влияния отброшенных мод на поведение системы.

Однако даже если число базисных функций достаточно велико, всё равно возникает проблема описания роли неучтённых мод в разложении искомых полей. Как правило, не учитываются моды, отвечающие мелкомасштабному движению. А их влияние на рассматриваемые движения может быть грубо представлено в изменении величин затухания или трения, то есть сводиться к определенрио величин эффективной вязкости. Такая ситуация встречается, например, для течений в тонких слоях жидкости, где масштабы по одной из координат намного меньше других, или в погранслоях.

Следует отметить, что в численных методах, принимающих в расчёт большое число неизвестных задачи, имеются способы параметризовать влияние не разрешаемых сеткой масштабов на разрешаемые масштабы течения, в частности, сюда относятся методы, применяемые в LES, например, в численном моделировании турбулентности.

Целью работы является изучение различных моделей эффективной вязкости при описании динамики течений жидкости, представляемых с помощью некоторых конечномерных галёркинских аппроксимаций уравнений движения. Термин эффективная вязкость означает, что соответствующие члены уравнения движения включают в себя не только затухание, но и некоторые другие эффекты воздействия неучтённых мод на рассматриваемые масштабы движения. Рассматриваются конвективные течения в эллипсоидальной полости, в которой поля скорости и температуры представляются в виде линейных по координатам полей. Для стратифицированной жидкости в эллипсоиде получены также результаты в отсутствие диссипативных эффектов по разделению движений на быстрые и медленные, для которых влияние вязкости может быть существенно различным. Интерес к этим движениям обусловлен тем, что в недиссипатив-ном случае рассматриваемые движения представляют класс точных решений уравнений Навье-Стокса.

Другой случай относится к движению в тонком по вертикали и ограниченном по горизонтали слое. Здесь эффективное трение в системе определяется наряду с эффектами релаксационного типа, которые связаны с кривизной вертикального профиля скорости в слое. Наконец, модель эффективной вязкости исследуется в применении к уравнениям мелкой воды на /^-плоскости в линейном приближении. Эта задача ставится в связи с расчётом океанских течений с использованием конечных элементов при относительно небольшом числе переменных.

Влияние релаксаций, рассмотренное в задаче о тонком слое жидкости, изучается также в другой постановке— при рассмотрении взаимодействия частиц конечных размеров с отличающейся от жидкости плотностью с внешним вихревым течением. Здесь этот эффект может ускорить выход частиц из вихревой зоны по сравнению с соответствующей пассивной примесью. Эти выводы получены для модели океанского вихря в набегающем потоке.

Научная новизна и результаты работы.

1. Для течения стратифицированной жидкости в эллипсоиде, уравнения движения для которой эквивалентны уравнениям тяжёлого волчка, предложена последовательность динамических систем, занимающих промежуточное положение между геострофическим приближением, определяющим медленные движения, и точными уравнениями стратифицированной жидкости в эллипсоидальной полости. Учёт быстрых колебаний приводит к значительному изменению частот медленных движений при увеличении параметра стратификации, а также к изменению амплитуд движений по сравнению с геострофическим, для которого быстрые моды отфильтрованы. Одна из редукций является линеаризованной формой уравнений тяжёлого волчка, позволяющая в аналитической форме оценить отклонение фазовых траекторий от геострофической.

2. При учёте вязких членов в уравнениях Навье-Стокса проанализированы режимы движения жидкости в плоскости чисел Рэлея и Тэйлора, обобщающая результаты, известные ранее при включении в уравнения рэлеевского трения. Найдена область для этих параметров, в которой режимы характеризуются значительной перемежаемостью. Как показывают численные эксперименты, она обусловлена анизотропным трением в системе.

3. Для квазидвумерных течений с помощью конечномерных галёркинских аппроксимаций, учитывающих вертикальное распределение поля скорости в тонких слоях, определяются эффекты придонного трения в плоскопараллельном течении несжимаемой жидкости. Получаемые упрощённые уравнения, описывающие квазидвумерную динамику поля скорости, включают в себя, кроме рэлеевского трения, слагаемые релаксационного типа с характерной зависимостью от предшествующей истории. Для длинноволновых возмущений скорости эти зависимости эквивалентны перенормировке нелинейных членов и величин линейного трения.

4. При использовании соответствующих аппроксимаций для двумерных гидродинамических уравнений (в частности, для уравнений мелкой воды) при расчёте методом конечных элементов с грубым разрешением получена схема с относительно небольшим числом переменных, которая учитывает более высокие степени, чем линейные, функций по горизонтальным координатам в представлении поля скорости и высоты свободной поверхности. Показано, что учёт таких полей способствует сглаживанию колебаний на масштабах порядка размеров конечных элементов, которые появляются при недостаточном разрешении мелкомасштабных движений в численной схеме. При этом изменяются амплитуды крупномасштабных движений.

5. В модели взаимодействия вихря в набегающем потоке с частицами примеси получены оценки ширины пограничного слоя между вихревой зоной и областью внешнего течения. При описании движения инерционных частиц конечной величины, когда динамика зависит от предшествующей истории движения частицы (уравнение Буссинеска-Бассета-Озеена) исследуются времена выхода частиц из вихря в сравнении со случаем пассивных частиц. Здесь появляется дополнительный механизм захвата частиц движущимся вихрем, который может способствовать процессу кластеризации ансамбля частиц в рассматриваемом потоке.

Научная и практическая значимость.

Результаты диссертации могут найти применение для параметризации дисси-пативных эффектов в конечномерных и численных моделях атмосферы, океана и климата, а также для оценки в этих моделях роли негеострофических факторов в развитии медленных составляющих движения. Исследовано проявление вязкости и способы её параметризации в конечномерных динамических системах.

Достоверность результатов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением аналитических и численных методов решения поставленных задач, а также сравнением с результатами, рассмотренными другими авторами.

Апробация работы.

Результаты, приводимые в диссертации, неоднократно докладывались в работе Grachiiertenkolleg "Komplexe Dynamische Systeme" при университете г.Бремен (1998 г.); на семинаре в рабочей группе Dr.J.Schroter в Институте полярных и морских исследований им. Альфреда-Вегенера (AWI) в г.Бремерхафен (2000 г.); на семинарах ЛГГ Института физики атмосферы РАН и Института океанологии РАН; на конференции EGS (г.Гаага, 1999 г.).

Публикации.

По теме диссертации были опубликованы три работы [93], [94], [95].

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, общего заключения, списка литературы (95 наименований). Работа содержит 34 рисунка. Общий объём 105 страниц.

Заключение диссертации по теме «Физика атмосферы и гидросферы», Гледзер, Алексей Евгеньевич

5 Основные выводы.

1. Для движения тяжёлого волчка в бездиссипативном приближении показано, что отклонение траекторий от геострофического движения происходит только в одну сторону в переменных угловых скоростей Wi, ш2 в зависимости от знака параметра стратификации S. Вблизи геострофической траектории это отклонение идет по нормали к ней.

Построение последовательности аппроксимаций, уточняющих геострофическое приближение, которое в модели совпадает с уравнением термического ветра, осуществляется с помощью уточнений соотношений термического ветра. При этом агеостро-фические компоненты движения связаны с параметром стратификации и фазовыми характеристиками завихренности. В атмосферной трактовке это соответствует формулам для зависимости горизонтальных компонент ускорения от высоты.

Учёт вертикальной завихренности для медленных движений, которая не входит в соотношения термического ветра, также приводит к существенному уточнению описания медленной динамики в системе.

2. Для движения тяжёлого волчка с притоком тепла и неизотропным по завихренности и по градиентам температуры трением были найдены отличия на диаграмме Ra — Та от случая рэлеевского трения. Именно, существует узкая область параметров, в которой малые отклонения от них, либо малые отклонения от начального геострофического состояния, либо небольшие периодические внешние воздействия, связанные с притоком тепла, приводят к разрушению геострофических режимов и возникновению негеострофических периодических колебаний в системе. Период таких движений в терминах атмосферных параметров составляет порядка недели и более.

3. Для анализа воздействия неучитываемых масштабов на динамику, описываемую гидродинамическими уравнениями, рассмотрены два случая: течение в тонком слое жидкости и двумерные плоские течения на /^-плоскости. Для первой конфигурации— течения в тонком слое жидкости над плоской поверхностью, показано, что учёт динамики распределения скорости по высоте приводит к появлению в уравнениях плоского движения как рэлеевского трения, так и членов релаксационного типа. Для последних характерна зависимость от предшествующей истории течения. В предельном случае длинноволновых возмущений скорости проведено упрощение таких слагаемых, которое даёт эффект перенормировки нелинейных членов в уравнении и величины линейного трения. Рассмотрен также переход к описанию диссипации в уравнениях с помощью квадратичного трения.

В другом случае, для уравнений мелкой воды при расчёте крупномасштабных движений на /9-плоскости методом конечных элементов получена численная схема, которая учитывает более высокие, чем линейные функции по координатам в представлении поля скорости и высоты свободной поверхности. Показано, что учёт таких функций способствует подавлению нефизических колебаний на масштабах конечных элементов, которые появляются при недостаточном описании мелкомасштабных составляющих поля скорости в численной схеме. Амплитуды крупномасштабных возмущений скорости также уменьшаются до значении, соответствующих аналитическим расчетам. 4. При рассмотрении динамики частиц в поле возмущённого вихря в набегающем потоке изучается толщина слоя вблизи сепаратрисы, в котором возможен обмен частицами между областями внутри и вне вихря. Показано аналитически, что эта толщина в окрестности критической точки пропорциональна корню квадратному из величины возмущения поля вихря. Проведены сравнения расчётов по теоретической формуле с результатами численных экспериментов для частиц, стартующих в различных областях относительно вихря.

При описании движения инерционных частиц конечной величины, когда динамика зависит от предшествующей истории движения частицы (уравнение Буссинеска-Бассета-Озеена), исследуются времена выхода частиц из вихря в сравнении со случаем пассивных частиц. Здесь появляется дополнительный механизм захвата частиц движущимся вихрем, который может способствовать процессу кластеризации ансамбля частиц в рассматриваемом потоке.

Показано также, что при сильно отличающихся плотностях жидкости и тяжёлых частиц влияние интеграла Бассета оказывается незначительным. Это существенно упрощает процедуру численного счёта.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гледзер, Алексей Евгеньевич, 2004 год

1. Арнольд В.И. "Математические методы классической механики."// М.: Наука, ГРФМЛ, 1974, 431 с.

2. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов A.M. "Системы гидродинамического типа и их применения."// М.: Наука, ГРФМЛ, 1981, 366 с.

3. Гледзер Е.Б., Макаров А.Л. "Определение эффективной вязкости в конечномерных каскадных моделях турбулентности."// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1985, т. 21, N9, с. 899-906.

4. Глуховский А.Б., Должанский Ф.В. "Трехмодовые геострофические модели конвекции вращающейся жидкости."// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1980, т. 16, N5, с. 451-462.

5. Данилов С.Д., Довженко В.А., Крымов В.А. "Спектры энергии сильнозакритиче-ского квазидвумерного течения."// Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2000, т. 36, N2, с. 284-293.

6. Должанский Ф.В., Пономарев В.М. "Простейшие медленные многообразия баро-тропных ибароклинных движений вращающейся жидкости."// Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2002, т. 38, N3, с. 316-330.

7. Должанский Ф.В. "Лабораторное исследование устойчивости движения жидкости в эллипсоидальной полости."// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1972, т. 8, N6, с. 661-664.

8. Должанский Ф.В. "О влиянии сил Кориолиса на формирование конвективного процесса внутри эллипсоида."// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1973, т. 9, N9, с. 908-918.

9. Должанский Ф.В., Кляцкин В.И., Обухов A.M., Чусов М.А. "Нелинейные системы гидродинамического типа."// М.: Наука, 1974, 160 с.

10. Должанский Ф.В., Мямлина Л.А. "О влиянии механизма нелинейного взаимодействия на устойчивость конвективных течений в поле сил Кориолиса."// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1976, т. 12, N1, с. 3-14.

11. Должанский Ф.В., Плешанова Л.А. "Автоколебания и явления неустойчивости в простейшей модели конвекции."// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1979, т. 15, N1, с. 17-28.

12. Должанский Ф.В., Плешанова Л.А. "Простейшая нелинейная модель конвекции и ее геофизическое применение."// В книге "Физика атмосферы и проблемы климата." (отв.ред. Голицын Г.С., Яглом A.M.) М.гНаука, 1980, с. 95-113.

13. Должанский Ф.В., Плешанова Л.А. "Регулярные и нерегулярные автоколебания конвективной ячейки внутри эллипсоида."// В книге "Нелинейные волны. Сто-хастичность и турбулентность." (отв.ред. Гапонов-Грехов А.В.) г.Горький, ИПФ АН СССР, 1980, с. 140-145.

14. Должанский Ф.В., Крымов В.А., Манин Д.Ю. "Устойчивость и вихревые структуры квазидвумерных сдвиговых течений."// Успехи физ. наук, 1990, т. 160, N7, с. 1-47.

15. Должанский Ф.В., Манин Д.Ю. "Влияние турбулентного слоя Экмана на динамику крупномасштабных движений."// Докл. РАН, 1992, том 322, N6, с. 1065-1069.

16. Должанский Ф.В., Голицын Г.С. "Лабораторное моделирование глобальных геофизических течений (обзор)."// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1977, т. 13, N8, с. 795-818.

17. Жмур В.В. "Дисковая модель мезомасштабного вихря в потоке со сдвигом скорости."// Океанология, т.28, в.5, 1988, с. 709-714.

18. Жуков В.Т., Страховская Л.Г., Федоренко Р.П., Феодоритова О.Б. "Об одном направлении в конструировании разностных схем."// Журнал выч. мат. и мат. физики, 2002, т. 42, N2, с. 222-234.

19. Заславский Г.М. "Стохастичность динамических систем."// М.: Наука, 1984, 271 с.

20. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. "Теоретическая физика, т.6. Гидродинамика."// М.: Наука, ГРФМЛ, 1986, 733 с.

21. Лойцянский Л.Г. "Наследственные явления в турбулентных движениях."// Изв. АН СССР. МЖГ, 1982, N2, с. 5-19.

22. Максименко Н.А., Орлов О.И. "Интегральные характеристики ядра квазистационарного "гауссова" вихря в однородном или сдвиговом потоках."// Океанология, т.31, в.1, 1991, с. 34-41.

23. Марчук Г.И., Саркисян А.С. "Математическое моделирование циркуляции океана."// М.: Наука, ГРФМЛ, 1988, 304 с.

24. Мельников В.К. "О поведении траекторий системы, близкой к автономной гамиль-тоновой системе."// ДАН СССР, т.142, N3, 1962, с. 542-545.

25. Мельников В.К. "Качественное описание сильного резонанса в нелинейной системе."// ДАН СССР, т.148, N6, 1963, с. 1257-1260.

26. Милн-Томсон J1.M. "Теоретическая гидродинамика."// М.: Мир, РЛМН, 1964, 655 с.

27. Министерство обороны СССР. "Атлас океанов— Северный Ледовитый Океан."// 1980.

28. Обухов A.M. "К вопросу о геострофическом ветре."// Изв. АН СССР. Сер. географ. и геофиз., 1949, т.13, N4, с. 281-306.

29. Океанология. Физика океана, т.2. Гидродинамика океана, (отв. ред. Каменкович В.М., Монин А.С.)// М.: Наука, 1978, 455 с.

30. Педлоски Дж. "Геофизическая гидродинамика в 2-х т."// М.: Мир, РЛКИАГ, 1984, 811 с.

31. Пономарев В.М., Хапаев А.А., Чхетиани О.Г. "Роль спиральности в формировании вторичных структур в экмановском пограничном слое."// Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2003, т. 39, N4, с. 435-444.

32. Рабинович М.И., Сущик М.М. "Когерентные структуры в турбулентных течениях."// В книге "Нелинейные волны: Самоорганизация." М.:Наука, 1983, с. 56-85.

33. Сазонов И.А., Черноусько Ю.Л. "Вихревые режимы при обтекании горы зональным потоком в /?-канале."// Изв. АН. Физика атмосферы и океана, 1998, т. 34, N1, с. 25-32.

34. Сивухин Д.В. "Общий курс физики, т.1. Механика."// М.: Наука, ГРФМЛ, 1989, 576 с.

35. Флетчер К. "Численные методы на основе метода Галеркина."// М.: Мир, РЛМН, 1988, 352 с.

36. Шенсине А., Монтгомери Р., Симо К., Джервер Дж. "Простые хореографические движения N тел: предварительное изучение."// В книге "Современные проблемы хоаса и нелинейности." (отв. ред. Симо К.) Москва-Ижевск: ИКомИ, 2002, 303 с.

37. Babuska I., Rhenboldt YV.C. "Error estimates for adaptive finite element computations."// SIAM J. Numer. Anal., 15(4):736-754, 1978.

38. Baiocchi C., Brezzi F., Franca L.P. "Virtual bubbles and Galerkin-least-squares type methods (Ga. L. S)."// 1992, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 105 (1993) 125-141, North-Holland.

39. Brezzi F., Hughes T.J.R., Franca L.P., Russo A. "b = /fir."// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 145, 329-339(1997).

40. Brezzi F., Fortin M. "Mixed and Hybrid Finite Element Methods."// Springer-Verlag, 1991.

41. Brezzi F., Franca L.P., Hughes T.J.R., Russo A. "6 = /g instituto di analisi numerica del consiglio nazionale delle ricerche."// Publication N1000. Pavia, 1996.

42. Bernardet P., Butez A., Deque M., Ghil M., Pfeffer R.L. "Low-Frequency Oscillations in a Rotating Annulus with Topography."// J. Atmos. Sci.1990. vol.47, 3023-3043.

43. Charney J.G., De Vore J.G. "Multiple Equilibria in the Atmosphere and Blocking."// J. Atmos. Sci.1979. vol.36, 1205-1216.

44. Cox S.M., Roberts A.J. "Initialization and the quasi-geostrophic slow manifold."// arXiv:nlin.CD/0303011 vl 7 Mar 2003.

45. Crowe C.T., Chung J.N., Troutt T.R. "Particle interactions with vortices."// Chapter 20, Fluid Vortices, ed. S.I.Green, Kluwer Academic Publishers, 1994.

46. Danilov S.D., Dolzhanskii F.V., Dovzhenko V.A., Krymov V.A. "An advanced investigation of interaction of allocated quasi-two-dimensional vortices."// CHAOS, 1996, vol.6 , N3, 297-308.

47. Dolzhanskii F.V., Ponomarev V.M. "On mechanical prototypes of fundamental hydrodynamical invariants and slow manifolds."// (preprint).

48. Dolzhanskii F.V., Manin D.Yu. "On the effect of turbulent Ekman layer on global atmospheric dynamics."// Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics, 1993. vol. 72, 93105.

49. Dewar W.K., Flierl G.R. "Particle traectories and simple models of transport in coherent vorticies."// Dyn. Atmos. and Oceans, 1985, vol. 9, 215-252.

50. Feigiu A.M. "News of Russian Academy of Sciences."// Physics of Atmosphere and Ocean, 38(5), 581-628, 2002.

51. Feigin A.M. "Nonlinear dynamic models of atmospheric photochemical systems: Methods for construction and analysis (Review)."// IZV ATMS OCEAN PHY+38:(5) 513-554 2002.

52. Franca L.P., Frey S.L., Hughes T.J.R. "Stabilized finite element methods: I.Application to the advective-difFusive model."// Сотр. Meth. in Appl. Mech. and Eng., 95: 253276, 1992.

53. Franca L.P., Russo A. "Deriving Upwinding, Mass Lumping and Selective Reduced Integration by Residual-Free BUBBLES."// Applied Mathematics Letters, vol. 9, 83-88(1996).

54. Franca L.P., Russo A. "Mass Lumping Emanating from Residual-Free BUBBLES."// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 142, 353-360(1997).

55. Franca L.P., Russo A. "Approximation of the Stokes Problem by Residual-Free Macro BUBBLES."// East-West Journal of Numerical Analysis, vol. 4, 265-278(1996).

56. Franca L.P., Russo A. "Unlocking with Residual-Free Bubbles."// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1995.

57. Franca L.P., Farhat C. "BUBBLE Functions Prompt Unusual Stabilized Finite Element Methods."// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1994.

58. Fung J.C.H. "Gravitational settling of particles and bubbles in homogeneous turbulence."// JGR, vol.89, Cll, 20,287-20,297, November 15, 1993.

59. Fung J.C.H. "Effect of nonlinear drag on the settling velocity of particles in homogeneous isotropic turbulence."// JGR, vol.103, C12, 27,905-27,917, November 15, 1998.

60. Fung J.C.H. "Residence time of inertial particles in a vortex."// JGR, vol.105, C6, 14,261-14,272, June 15, 2000.

61. Jin F.-F., Ghil M. "Intraseasonal Oscillations in the Extratropics: Hopf Bifurcation anf Topographic Instabilities."// J. Atmos. Sci.1990. vol.47, 3007-3022.

62. Holmes P., Lumley J.L., Berkooz G. "Turbulence, coherent structures, dynamical systems and symmetry."// Cambridge University Press, 1996.

63. Kim I., Elghobashi S., Sirignano W.A. "On the equation for spherical-particle motion: effect of Reynolds and acceleration numbers."// J.Fluid Mech. (1998), vol.367, 221-253.

64. Konovalov I.В. "Application of neural networks for studying nonlinear relationships between ozone and its precursors."// J.Geophys.Res-Atmos 107: (Dll) art.no. -4122 JUN 2002.

65. Legras В., Ghil M. "Persistent Anomalies, Blocking and Variations in Atmospheric Predictability."// J. Atmos. Sci.1985. vol.42, 433-471.

66. Lesieur M. "Turbulence in Fluids."// Kluwer Academic Publishers, 1997.

67. Lorenz E.N. "Attractor Sets and Quasi-Geostrophic Equilibrium."// J. Atmos. Sci.1980. vol.37, 1685-1699.

68. Lorenz E.N. "On the existence of a slow manifold."// J. Atmos. Sci.1986. vol.43, 15471557.

69. Lorenz E.N., Krishnamurthy V. "On the nonexistence of a slow manifold."// J. Atmos. Sci.1987. vol.44, 2940-2950.

70. Lorenz E.N. "Simplified dynamic equations applied to the rotating-basin experiments."// J. Atmos. Sci.1962. vol.19, 39-51.

71. Meneveau Ch., Katz J. "Scale-Invariance and Turbulence Models for Large-Eddy Simulation."// Annu. Rev. Fluid Mech. 2000. 32:1-32.

72. Myers P.G., Weaver A.J. "A diagnostic barotropic finite-element ocean circulation model."// Journal of Atmospheric and Oceanic Technology, 12: 511-526, 1994.

73. Nielsen P. "On the motion of suspended sand particles."// JGR, vol.89, Cl, 616-626, January 20, 1984.

74. Le Provost C. "On the use of finite element methods for ocean modelling."// Advanced Physical Oceanographic Numerical Modelling, 557-580, 1986.

75. Le Provost C., Poncet A. "Sur une methode numerique pour calculer les marees oceaniques et littorales."// C. R. Acad. Sci., B285, 349-352, 1977.

76. Le Provost C., Poncet A. "Finite element method for spectral modelling of tides."// Int. J. Num. Methods Eng., 12, 853-871, 1978.

77. Le Provost C., Rougier G., Poncet A. "Numerical Modeling of the harmonic constituents of the tides with application to the English Channel."// J. Phys. Oceanogr., 11, N8, 1123-1138, 1981.

78. Le Provost C. "An application of finite element methods for modelling wind driven circulations in a stratified ocean., 5th International Conference on Finite Elements in Water Resources."// Springer-Verlag, New York, 567-576, 1984.

79. Le Provost С., P.Vincent P. "Finite Element for modelling ocean tides."// Parker B. (ed) Tidal Hydrodynamics, pages 41-60. John Wiley and Sons Inc., 1991.

80. Reznik G.M., Zeitlin V., Ben Jelloul M. "Nonlinear theory of geostrophic adjustment. Parti. Rotating shallow-water model."// J.Fluid Mech. (2001), vol. 445, 93-120.

81. Reznik G.M., Grimshaw R. "Nonlinear geostrophic adjustment in the presence of a boundary theory of geostrophic adjustment."// J.Fluid Mech. (2002), vol. 471, 257283.

82. Roesner K.G., Schmieg H. "Instabilities of spin-up and spin-down flows inside of liquidfilled ellipsoids."// Proc. Colloque Pierre Curie, 1-5 Sept., 1980, Paris.

83. Smagorinsky J. "General circulation experiments with the primitive equations."// Mon. Weath. Rev., 91, 3, 99-164.

84. Stommel H. "The westward intensification of wind-driven ocean currents."// Trans, of the American Geoph. Union, 29, 202-206, 1948.

85. Tomasset F. "Implementation of Finite Element for Navier-Stockes Equations."// Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin, 1981.

86. Valentin F.G.C., Franca L.P. "Combining stabilized finite element methods."// Matematica Aplicada e Computacional, vol. 14, N3, 67-82(1995).

87. Veronis G. "Wind-driven ocean circulation-Parti. Linear theory and perturbation analysis."// Deep-Sea Research, 1966, vol. 13, 17-29.

88. Veronis G. "Wind-driven ocean circulation-Part2. Numerical solutions of the non-linear problem."// Deep-Sea Research, 1966, vol. 13, 17-29.

89. Weiss J.B. "Hamiltonian maps and transport in structured fluids."// Physica D 76, 1994, 230-238.

90. Гледзер A.E. "Захват и высвобождение массы в вихревых структурах океана."// Изв. АН. Физика атмосферы и океана, 1999, т. 35, N6, с. 838-845.

91. Гледзер А.Е. "Определение эффективной вязкости в квазидвумерных геофизических течениях."// Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2003, т. 39, N4, с. 466478.

92. Гледзер А.Е. "О медленных движениях в редуцированных уравнениях стратифицированной жидкости в поле сил Кориолиса."// Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2003, т. 39, N6, с. 735-748.