Динамика вихрей в слоистой модели океана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.28, кандидат физико-математических наук Вагина, Ирина Михайловна

• Вагина, Ирина Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вагина, Ирина Михайловна

1 Вводная

глава

1.1 Предисловие.

1.2 Математическое введение.

1.2.1 Вывод уравнений сохранения потенциального вихря

1.2.2 Формальное решение. Интегральные инварианты.

1.2.3 Метод контурной динамики.

1.2.4 Стационарное осесимметричное решение

1.2.5 Уравнения трехслойной модели

2 Динамика хетона над подводной возвышенностью в двухслойной жидкости

2.1 Самодвижущийся хетон.

2.1.1 Эффект стратификации

2.1.2 Эффекты наклона оси хетона и вертикального распределения завихренности

2.2 Хетон в зональном течении.

2.2.1 Эффект скорости потока.

2.2.2 Эффект высоты и горизонтальной протяженности возвышенности.

3 Трехслойная квазигеострофическая модель: динамика внутритермо-клинных линз

3.1 Слияние круговых вихрей.

3.2 Эволюция эллиптического вихря.

3.3 Бароклинные эффекты в динамике линз.

3.3.1 О детектировании линз на поверхности океана.

3.3.2 О влиянии рельефа дна на движение линз

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика вихрей в слоистой модели океана»

Понятие хетон было введено Хоггом и Стоммелом [55], чтобы подчеркнуть способность дискретной (точечной) бароклинной вихревой пары переносить тепло. "Хетон (кеЬоп)" - производное от "кеаГ, т. е. теплота, тепло. Действительно, при выполнении традиционных в геофизической гидродинамике геострофического и гидростатического приближений [6, 15] любой вихрь верхнего (нижнего) слоя, имеющий отрицательную (положительную) интенсивность, индуцирует локальное искривление поверхности раздела между слоями в виде впадины, и тогда говорят о "теплом хетоне". Смена знаков завихренности вихрей на противоположные влечет смену знака кривизны поверхности раздела, что соответствует "холодному хетону". Поскольку в условиях устойчивой стратификации нижний слой должен быть более плотным и более холодным, то интегральное количество тепла в области, содержащей вихри указанного вида, очевидно, будет аномальным по отношению к последнему в любой другой равновеликой области. Поэтому ясно, что именно движение хетонов, представляющих собой комбинации вихрей противоположных вращений, в большей степени, чем перемещение каких-либо других вихревых структур, приводит к перераспределению тепла (тепла и солей - в океане). Понятие "хетон" используется и для вихрей с конечными горизонтальными размерами (вихревых пятен - областей с постоянными значениями потенциальной завихренности Пх и П2 в верхнем и нижнем слоях соответственно). Если центры вихревых пятен разных слоев совпадают, говорят, что хетон имеет "вертикальную ось", если разнесены на некоторое расстояние - "наклонную ось". Возможные механизмы формирования теплого (холодного) хетона с вертикальной осью подо льдом в океане связаны с процессами таяния (намораживания) льда [32, 33, 34, 35]. Схема образования хетона с наклонной осью за счет механизма бароклинной неустойчивости фронта аномалии потенциального вихря преставлена в [68]. Вихревая структура, полученная на основе инструментальных наблюдений к югу от Австралии вдоль 132° восточной долготы в Антарктическом Циркумполярном Течении в январе-марте 1977 года на научно-исследовательском судне "Профессор Зубов" и представляющая собой хетон с наклонной осью, приведена на рисунке 1.

Хетоны генерируются в лабораторных экспериментах источниками и стоками массы [46, 47], механическим локальным закручиванием жидкости верхнего слоя [89], а также тепловыми источниками [53]. Такие вихри естественно возникают при развитии неустойчивости бароклинных течений, связанных с феноменом глубокой конвекции в океане [27, 1, 48, 62]. Хетонная идеализация применяется также при анализе динамики тропических циклонов и ураганов в атмосфере [41], поверхностных температурных аномалий [32, 33, 34, 35], средиземноморских внутритермоклинных линз (тес1с1у) [56] и неустойчивости пограничных течений в океане [81].

В данной работе анализу динамики распределенных хетонов уделяется существенное внимание. Характерным свойством распределенных вихрей является тенденция к слиянию достаточно близко расположенных друг к другу одноименных по знаку завихренности вихревых пятен. Различные аспекты проблемы слияния бароклинных вихрей детально обсуждаются в ряде теоретических [5, 10, 12, 26, 28, 30, 31, 37, 40, 43, 44, 45, 51, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 74, 91, 92, 93, 94, 96, 97, 98, 99, 100, 101] и экспериментальных [46, 47] работ. В то же время, практически ничего неизвестно известно о поведении вихревых пар, находящихся в окрестности возмущений рельефа дна.

Рис. 1: Пространственная структура хетона с наклонной осью, полученная на основе прямых инструментальных наблюдений в Антарктическом Циркумполярном Течении

Указанные обстоятельства позволяют полагать, что тема диссертации актуальна как с теоретической, так и с практической точек зрения.

ЗООО

2000

10000

79]

Целью работы является исследование геострофических вихревых движений в двух-и трехслойной жидкости.

Основные этапы работы:

1) вывод уравнений движения границ вихревв1х пятен в рамках традиционной двух- и трехслойной квазигеострофических моделей;

2) адаптация метода контурной динамики (МКД) на случай слоистых моделей с учетом внешнего поля (зональное течение и рельеф дна);

3) исследование нелинейной эволюции вихревых пятен;

4) анализ полученных результатов и их интерпретация применительно к океанским условиям.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использованы современные методы математической физики, а также численные двух- и трехслойная модификации МКД.

Научную новизну составляют основные положения, выносимые на защиту:

1. Изучены особенности взаимодействия хетона с подводной возвышенностью. Полученные результаты дают представление о роли стратификации, внешнего течения, высоты и горизонтальных размеров горы в формировании вихревой структуры в окрестности возвышенности.

2. Построена математическая модель внутритермоклинных вихрей (линз) в рамках трехслойной квазигеострофической аппроксимации.

3. На основе численного моделирования с помощью МКД получены критерии слияния круговых линз и устойчивости эллиптических линз в зависимости от числа Фруда.

4. Получено теоретическое подтверждение вероятного проявления внутритермоклинных вихрей на поверхности океана и, как следствие, возможности детектирования их дистанционными методами.

5. Исследованы механизмы взаимодействия линз с изолированной подводной возвышенностью малой высоты. В частности, получен критерий захвата топографией части внутритермоклинного вихря.

Достоверность полученных результатов и выводов. Основные результаты работы получены аналитическими методами теории дифференциальных уравнений. Достоверность результатов определяется обоснованностью уравнений геофизической гидродинамики и эффективностью их применения в мировой практике. Часть результатов представлена в аналитической форме, что допускает непосредственную проверку. Результаты, полученные численно с помощью МКД, многократно тестировались на решениях, полученных другими вычислительными методами, а также, при возможности, сравнивались с лабораторными и натурными измерениями, что также убеждает в их достоверности.

Научная и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер и относится к области фундаментальных исследований. Она выполнялась в рамках проектов РФФИ (01-05-64646-а и 10-05-00646-а). Практическая значимость работы определяется тем, что результаты формируют основу для создания более общих гидродинамических моделей.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из трех глав, заключения и списка литературы, содержит 66 страниц (включая 36 рисунков и список литературы из 102 наименований).

Заключение диссертации по теме «Океанология», Вагина, Ирина Михайловна

4 Заключение

Полученные в работе результаты свидетельствует о содержательности слоистых квази-геострофических моделей, позволяющих в общих чертах исследовать роль стратификации в динамике вихрей синоптического масштаба.

Сформулируем основные результаты, выносимые на защиту:

1. Изучены особенности взаимодействия хетона с подводной возвышенностью. Полученные результаты дают представление о роли стратификации, внешнего течения, высоты и горизонтальных размеров горы в формировании вихревой структуры в окрестности возвышенности.

2. Построена математическая модель внутритермоклинных вихрей (линз) в рамках трехслойной квазигеострофической аппроксимации.

3. На основе численного моделирования с помощью метода контурной динамики получены критерии слияния круговых линз и устойчивости эллиптических линз в зависимости от числа Фруда.

4. Получено теоретическое подтверждение вероятного проявления внутритермоклинных вихрей на поверхности океана и, как следствие, возможности детектирования их дистанционными методами.

5. Исследованы механизмы взаимодействия линз с изолированной подводной возвышенностью малой высоты. В частности, получен критерий захвата топографией части внутритермоклинного вихря.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вагина, Ирина Михайловна, 2012 год

1. Бышев В. И. О некоторых особенностях внутритермоклинной линзы на субполярном фронте в Северной Атлантике // Океанология. 1992, т. 32, вып. 4, с. 1012-1018.

2. Гряник В. М. Динамика сингулярных геострофических вихрей в двухуровенной модели атмосферы (океана) // Изв. АН СССР. ФАО. 1983, т. 19, № 3, с. 227-240.

3. Гряник В. М. Теоретические модели динамики локализованных квазигеострофи-ческих вихрей в атмосфере и океане // Исследования вихревой динамики и энергетики атмосферы и проблемы климата. Л. Гидрометеоиздат. 1990, с. 31-60.

4. Жмур В. В., Щепеткин А. Ф. Взаимодействие между двумя квазигеострофиче-скими бароклинными вихрями: тенденция к сближению и слиянию // Изв. АН СССР. ФАО. 1992, т 28, № 5, с. 538-551.

5. Каменкович В. М., Кошляков М. Н., Монин А. С. Синоптические вихри в океане // Л. Гидрометеоиздат. 1987, 512 с.

6. Козлов В. Ф. Метод контурной динамики в модельных задачах о топографическом циклогенезе в океане // Изв. АН СССР. ФАО. 1983, т. 19, № 8, с. 845-854.

7. Козлов В. Ф., Макаров В. Г. Моделирование эволюции неустойчивых геострофических вихрей в баротропном океане // Океанология. 1984, т. 24, вып. 5, с. 737-743.

8. Козлов В. Ф., Макаров В. Г., Соколовский М. А. Численная модель бароклин-ной неустойчивости осесимметричных вихрей в двухслойном океане // Изв. АН СССР. ФАО. 1986, т. 22, № 8, с. 868-874.

9. Ламб Г. Гидродинамика // М.-Л. Гостехиздат. 1947, 927 с.

10. Ларичев В. Д., Резник Г. М. О столкновении двумерных уединенных волн Росс-би // Океанология. 1983, т. 23, вып. 5, с. 725-734.

11. Макаров В. Г. Комплекс программ для исследования методом контурной динамики плоских вихревых течений идеальной жидкости // Метод контурной динамики в океанологических исследованиях. Владивосток. ДВО АН СССР. 1990, с. 28-39.

12. Макаров В. Г. Вычислительный алгоритм метода контурной динамики с изменяемой топологией исследуемых областей // Моделирование в механике. 1991, т. 5(22), № 4, с. 83-95.

13. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика // Пер. с англ. М. Мир. 1982, т. 1,2. 811 с.

14. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции // М. Наука. 1983, 750 с.

15. Соколовский М. А. Моделирование трехслойных вихревых движений в океане методом контурной динамики // Изв. АН СССР. ФАО. 1991, т. 27, JV2 5, с. 550562.

16. Соколовский М. А. Устойчивость осесимметричного трехслойного вихря // Изв. АН СССР. ФАО. 1997, т. 33, № 1, 16-26.

17. Соколовский М.А., Веррон Ж., Вагина И.М. Влияние подводного препятствия малой высоты на динамику распределенного хетона // Изв. РАН. ФАО. 2001, т. 37, № 1, с. 131-143.

18. Филюшкин Б.Н. Исследование внутритермоклинных линз средиземноморского происхождения (16 рейс НИС "Витязь", 3 июня 16 сентября 1988 г) // Океанология. 1989, т. 29, вып. 4, с. 296-298.

19. Филюшкин Б.Н., Соколовский М.А., Кожелупова Н.Г., Вагина И.М. О динамике внутритермоклинных линз // Докл. РАН. 2010, т. 434, JV8 5, с. 688-691.

20. Филюшкин Б.Н., Соколовский М.А., Кожелупова Н.Г., Вагина И.М. Отображение внутритермоклинных вихрей на поверхности океана // Докл. РАН. 2011, т. 439, № 1, с. 118-121.

21. Филюшкин Б.Н., Соколовский М.А., Кожелупова Н.Г., Вагина И.М. Эволюция внутритермоклинных вихрей при прохождении над подводной возвышенностью // Докл. РАН. 2011, т. , № , с. .

22. Хайрер Э., Нерсетт С, Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи // М. Мир. 1990, 512 с.

23. Amoretti М., Dukin D., Fajans J., Pozzoli R., Rome M. Asymmetric vortex merger: Experiments and simulations // Phys. Plasmas. 2001, v. 8, JY2 9, p. 3865-3868.

24. Barbosa J. P., Metais O. Large-eddy simulations of deep-ocean convection: analysis of the vorticity dynamics // J. Turbulence. 2000, v. 1, 009, p. 1-31.

25. Basdevant C., Couder Y., Sadourny R. Vortices and vortex-couples in two-dimensional turbulence, or long-lived couples are Batchelor's couples // Lect. Notes Phys. 1984, v. 230, p. 327-346.

26. Brown M.G. Are SO FAR float trajectories chaotic? // J. Phys. Oceanogr. 1990, v. 20, № 1, p. 139-149.

27. Carton X. Hydrodynamical modelling of oceanic vortices // Surveys in Geophys. 2001, v. 22, № 3, p. 179-263.

28. Cerretelli C., Williamson С. H. K. The physical mechanism for vortex merging // J. Fluid Mech. 2003, v. 475, p. 41-77.

29. Chao S.-Y., Shaw P.-T. Close interactions between two pairs of heton-like vortices under sea ice // J. Geophys. Res. 1999, v. 104, № C10, p. 23591-23605.

30. Chao S.-Y., Shaw P.-T. Fission of heton-like vortices under sea ice //J- Oceanogr. 1999, v. 55, № 1, p. 65-78.

31. Chao S.-Y., Shaw P.-T. Slope-enhanced fission of salty hetons under sea ice // J. Phys. Oceanogr. 2000, v. 30, № 11, p. 2866-2882.

32. Chao S.-Y., Shaw P.-T. Heton shedding from submarine-cany on plumes in an Arctic boundary current system: Sensitivity to the undercurrent //J- Phys. Oceanogr. 2003, v. 33, № 9, p. 2032-2044.

33. Carton X., Daniault N., Alves J., Chérubin L., Ambar I. Meddy dynamics and interaction with neighboring eddies southwest of Portugal: Observations and modeling //J. Geophys. Res. 2010, v. 115, C06017.

34. Couder Y., Basdevant C. Experimental and numerical study of vortex couples in two-dimensional flows // J. Fluid Mech. 1986, v. 173, p. 225-251.

35. Cushman-Roisin B., Sutyrin G. G., Tang B. Two-layer geostrophic dynamics. Part I: Governing equations // J. Phys. Oceanogr. 1992, v. 22, № 2, p. 117-127.

36. Dritschel D. G. Contour surgery: a topological reconnection scheme for extended integrations using contour dynamics // J. Comput. Phys. 1988, v. 77, № 1, p. 240-266.

37. Fine K. S., Driscoll C. F., Molmberg J. H., Mitchell T. B. Measurements of symmetric vortex merger // Phys. Rev. Lett. 1991, v. 67, № 5, p. 588-591.

38. Flatau M., Schubert W. H., Stovens D. E. The role of baroclinic processes in tropical cyclone motion: the influence of vertical tilt // J. Atmos. Sci. 1994, v. 51, N2 1, p. 25892601.

39. Flierl G.R. Models of vertical structure and the calibration of two-layer models // Dyn. Atmos. Oceans. 1978, v. 2, № 4, p. 341-381.

40. Fujiwhara S. The mutual tendency towards symmetry of motion and its application as a principle in meteorology // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1921, v. 47, p. 287-293.

41. Fujiwhara S. On the growth and decay of vortical systems // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1923, v. 49, p. 75-104.

42. Fujiwhara S. Short note on the behavior of two vortices // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1931, ser. 3, v. 13, p. 106-110.

43. Griffiths R. W., Hopfinger E. J. Experiments with baroclinic vortex pairs in a rotating fluid // J. Fluid Mech. 1986, v. 173, p. 501-518.

44. Griffiths R. W., Hopfinger E. J. Coalescing of geostrophic vortices // J. Fluid Mech. 1987, v. 178, p. 73-97.

45. Gryanik V. M., Doronina T. N., Olbers D., Warncke T. H. The theory of three-dimensional hetons and vortex-dominated spreading in localized turbulent convection in a fast rotating stratified fluid // J. Fluid Mech. 2000, v. 423, p. 71-125.

46. Helfrich K. R., Battisti T. M. Experiments on baroclinic vortex shelding from hydrothermal plumes // J. Geophys. Res. 1991, v. 96, № C12, p. 12511-12518.

47. Helfrich K. R., Send U. Finite-amplitude evolution of two-layer geostrophic vortices // J. Fluid Mech. 1988, v. 197, p. 331-348.

48. Hogg N. G., Stommel H. M. The heton, an elementary interaction between discrete baroclinic geostrophic vortices, and its implications concerning eddy heat-flow // Proc. R. Soc. Lond. 1985, v. A 397, p. 1-20.

49. Hogg N. G., Stommel H. M. How currents in the upper thermocline could advect meddies deeper down // Deep-Sea Res. 1990, v. 37, № 4, p. 613-623.

50. Hopfinger E. J., van Heijst G. J. F. Vortices in rotating fluids // Ann. Rev. Fluid Mech. 1993, v. 25, p. 241-289.

51. Ingersoll A.P. Inertial Taylor columns and Jupiter's Great Red Spot //J. Atmos. Sei. 1969, v. 26, № 7, p. 744-752.

52. Käse R.H., Zenk W. Reconstructed Mediterranean salt lens trajectories //J. Phys. Oceanogr. 1987, v. 17, № 1, p. 158-161.

53. Legras, B., Dritschel, D.G. The elliptical model of two-dimensional vortex dynamics. I. The basic state // Phys. Fluids. 1991, v. A3, p. 845-854.

54. Lin S.-J. Contour dynamics of tornado-like vortices // J. Atmos. Sei. 1992, v. 49, № 18, p. 1745-1756.

55. Marshall J., Schott F. Open-ocean convection: observation, theory, and models // Rev. Geophys. 1999, v. 37, № 1, p. 1-64.

56. Masina S., Pinardi N. The halting effect of baroclinicity in vortex merging //J. Phys. Oceanogr. 1993, v. 23, № 8, p. 1618-1637.

57. McWilliams J. C., Zabusky N. Interaction of isolated vortices. I: Modons colliding with modons // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1982, v. 19, № 3-4, p. 207-227.

58. Melander M. V., McWilliams J. C., Zabusky N. J. Asymmetrization and vorticity-gradient intensification of an isolated two-dimensional vortex through filamentation // J. Fluid Mech. 1987, v. 178, p. 137-159.

59. Melander M. V., Zabusky N. J., McWilliams J. C. Asymmetric vortex merger in two dimensions: Which vortex is 'victorious'? // Phys. Fluids. 1987, v. 30, № 9, p. 26102612.

60. Meunier P., Ehrenstein U., Leweke T., Rossi M. A merger criterion for two-dimensional co-rotating vortices // Phys. Fluids. 2002, v. 14, № 8, p. 2757-2766.

61. Morel Y., McWilliams J. Effect of isopycnal and diapycnal mixing on the stability of oceanic currents // J. Phys. Oceanogr. 2001, v. 31, № 8, p. 2280-2296.

62. Nof D., Simon L. M. Laboratory experiments on the merging of nonlinear anticyclonic eddies //J. Phys. Oceanogr. 1987, v. 17, № 3, p. 343-357.

63. Overman E. A. II, Zabusky N. J. Evolution and merger of isolated vortex structures // Phys. Fluids. 1982, v. 25, № 8, p. 1297-1305.

64. Pavia E. G., Cushman-Roisin B. Merging of frontal eddies //J. Phys. Oceanogr. 1990, v. 20, № 12, p. 1886-1906.

65. Polvani L. M. Two-layer geostrophic vortex dynamics. Part 2. Alignment and two-layer V-states // J. Fluid Mech. 1991, v. 225, p. 241-270.

66. Polvani L. M., Zabusky N. J., Flierl G. R. Applications of contour dynamics to two-layer quasi-geostrophic flows // Fluid Dyn. Res. 1988, v. 3, p. 422-424.

67. Polvani L. M., Zabusky N. J., Flierl G. R. Two-layer geostrophic vortex dynamics. Part 1. Upper-layer V-states and merger //J. Fluid Mech. 1989, v. 205, p. 215-242.

68. Reznik G., Kizner Z. Two-layer quasi-geostrophic singular vortices embedded in a regular flow. Part 1. Invariants of motion and stability of vortex pairs. J. Fluid Mech. 2007, v. 584, p. 185-202.

69. Reznik G., Kizner Z. Two-layer quasi-geostrophic singular vortices embedded in a regular flow. Part 2. Steady and unsteady drift of individual vortices on a beta plane. J. Fluid Mech. 2007, v. 584, p. 203-223.

70. Richardson P.L., Tychensky A. 1998. M eddy trajectories in the Canary Basin measured during the SEMAPHORE experiment 1993-1995 // J. Geophys. Res. 1998, v. 103, № Cll, p. 25,029-25,045.

71. Richardson P.L., Walsh D., Armi L., Schröder M., Price J.F. Tracking three meddies with SOFAR floats // J. Phys. Oceanogr. 1989, v. 19, JV* 3, p. 371-383.

72. Savchenko V. G., Emery W. J., Vladimirov O. A. A cyclonic eddy in the Antarctic Circumpolar Current south of Australia: Results of Soviet-American observations aboard the R/V Professor Zubov // J. Phys. Oceanogr. 1978, v. 8, № 9, p. 825-837.

73. Schultz Tokos K.L., Hinrichsen H.-H., Zenk W. Merging and migration of two meddies // J. Phys. Oceanogr. 1994, v. 24, № 10, p. 2129-2141.

74. Shimada K., Kubokawa A. Nonlinear evolution of linearly unstable barotropic boundary currents //J. Phys. Oceanogr. 1997, v. 27, № 7, p. 1326-1348.

75. Schultz Tokos K., Hinrichsen H. H., Zenk W. Merging and migration of two meddies // J. Phys. Oceanogr., 1994, v. 24, № 10, p. 2129-2141.

76. Smeed D.A. Baroclinic instability of three-layer flows. Part 1. Linear stability // J. Fluid Mech. 1988, v. 194, p. 217-231.

77. Sokolovskiy M. A. Stability analysis of the axisymmetric three-layered vortex using contour dynamics method j/ Comput. Fluid Dyn. Journal. 1997, v. 6, № 2, p. 133-156.

78. Sokolovskiy M. A., Verron J. Finite-core hetons: Stability and interactions //J. Fluid Mech. 2000, v. 423, p. 127-154.

79. Sokolovskiy M. A., Verron J. Four-vortex motion in the two layer approximation: Integrable case. // Regular k Chaotic Dyn. 2000, v. 5. № 4, p. 413-436.

80. Stammer D., Hinrichsen H.-H., Käse R. H. Can meddies be detected by satellite altimetry? // J. Geophys. Res., 1991, v. 96, № C4, p. 7005-7014.

81. Tang B., Cushman-Roisin B. Two-layer geostrophic dynamics. Part IP Geostrophic turbulence // J. Phys. Oceanogr. 1992, v. 22, № 2, p. 128-138.

82. Thivolle-Cazat E., Sommeria J., Galmiche M. Baroclinic instability of two-layer vortices in laboratory experiments //J. Fluid Mech. 2005, v. 544, p. 69-97.

83. Tychensky A., Carton X. Hydrological and dynamical characterization of meddies in the Azores region: a paradigm for baroclinic vortex dynamics //J. Geophys. Res., 1998, v. 103, № Cll, p. 25,061-25,079.

84. Yalcke S., Verrón J. On interactions between two finite-core hetons // Phys. Fluids.1993, v. A5, № 8, p. 2058-2060.

85. Valcke S., Verrón J. Cyclone—anticyclone asymmetry in the merging process // Dyn. Atmos. Oceans. 1996, v. 24, № 1-4, p. 227-236.

86. Valcke S., Verrón J. Interactions of baroclinic isolated vortices: The dominant effect of shielding //J. Phys. Oceanogr. 1997, v. 27, № 4, p. 524-541.

87. Velasco Fuentes O.U. Chaotic advection by two interacting finite-area vortices // Phys. Fluids. 2001, v. 13, № 4, p. 901-912.

88. Velasco Fuentes O.U. Chaotic advection by two interacting finite-area vortices / / Phys. Fluids, 2001, v. 13, № 4, p. 901-912.

89. Verrón J., Hopfinger E. The enigmatic merging conditions of two-layer baroclinic vortices // C. R. Acad. Sci. Paris. 1991, v. 313. Ser. II, p. 737-742.

90. Verrón J., Hopfinger E., McWilliams J. C. Sensitivity to initial conditions in the merging of two-layer baroclinic vortices // Phys. Fluids. 1990, v. A2, A1"2 6, p. 886889.

91. Verrón J., Valcke S. Scale-dependent merging of baroclinic vortices // J. Fluid Mech.1994, v. 264, p. 81-106.

92. Yasuda I. Geostrophic vortex merger and streamer development in the ocean with special reference to the merger of Kuroshio warm core ring //J. Phys. Oceanogr. 1995, v. 25, № 5, p. 979-996.

93. Yasuda I., Flierl G. R. Two-dimensional asymmetric vortex merger: Contour dynamics experiment //J. Oceanogr. 1995, v. 51, № 2, p. 145-170.

94. Yasuda I., Flierl G. R. Two-dimensional asymmetric vortex merger: merger dynamics and critical merger distance // Dyn Atmos. Oceans. 1997. v. 26, № 3, p. 159-181.

95. Zabusky N. J., Hughes M. H., Roberts K. V. Contour dynamics for the Euler equations in two dimensions //J. Comput. Phys. 1979, v. 30, AT2 1, p. 96-106.