Эффективные схемы метода конечных элементов в задачах строительной механики с использованием новых вариационных подходов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.03, доктор технических наук Сливкер, Владимир Исаевич

• Сливкер, Владимир Исаевич
• доктор технических наук
• 1983

Оглавление диссертации доктор технических наук Сливкер, Владимир Исаевич

Предисловие.

Основные обозначения.

Введение.II

Глава I. Метод конечных элементов в форме метода переме щений - особые и вырожденные ситуации.

§1. Особенности алгоритмизации метода перемещений при учёте дополнительных связей.

§2. "Ложные" степени свободы и их алгоритмическая обработка.

§3. Учёт кинематических воздействий на систему.

§4. Нуль-податливые и нуль-жёсткие элементы.

§5. Вариационное описание нуль-элементов.

§6. Доказательство вспомогательных алгебраических предложений.

Глава 2. Метод конечных элементов в форме смешанного ме тода расчёта. Новые вариационные постановки задач.

§1. Об одной смешанной вариационной постановке задач для упругих систем.

§2. Смешанный функционал в частных задачах.

§3. Пример. Расчёт балки ступенчатого сечения, покоящейся на упругом основании, с использованием функционала ^ .III

§4. Метод двух функционалов.

§5. Примеры применения метода двух функционалов.

§6. Метод двух функционалов в плоской задаче теории упругости (схема метода конечных элементов).

§7. Учёт статических краевых условий.

Нуль-жёсткие элементы.

§8. Примеры применения метода двух функционалов к плоской задаче теории упругости.

Глава 3. Смешанная форма метода конечных элементов в задачах о спектре.

§1. Об одном эффекте, возникающем при применении метода конечных элементов в смешанной форме к задачам о свободных колебаниях и устойчивости упругих систем.

§2. Метод двух функционалов в частотном анализе упругих систем.

§3. Метод двух функционалов в частотном анализе упругих систем.

Примеры применения.

§4. Смешанный функционал ^^ в задачах о спектре.

Глава 4. Об одном варианте метода конечных элементов в форме метода сил.

§1. Вариационная постановка задачи расчёта упругих систем в усилиях.

§2. Функционал в частных задачах.£

§3. Учёт разрывов в напряжениях при минимизации функционала .«

Глава 5. Метод конечных элементов в задачах расчёта упругих тел с полостями, заполненными несжимаемой жидкостью.

§1. Расчёт упругих систем, опирающихся на гидродомкраты.

§2. Упругое тело с полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью.

Глава 6. Метод конечных элементов в задачах расчёта фундаментных плит.

§1. Модель основания с двумя коэффициентами постели. 0 назначении характеристик двухпараметрового упругого основания.

§2. Основные функционалы и расчётные зависи -мости для изгибаемых пластин. Матрицы жёсткости конечных элементов.

§3. Учёт работы упругого основания при расчёте изгибаемых пластин.

§4. Метод двух функционалов в задачах изгиба пластин средней толщины. Матрицы податливости и грузовые члены для прямоугольных и треугольных конечных элементов.

§5. Краткое описание программного комплекса

КОРПУС-ЕС.

§6. Примеры расчёта.

Глава 7. Некоторые вопросы программной реализации метода конечных элементов.

§1. Матрица жёсткости конечного элемента при нежёстком присоединении элемента к узлам.

§2. Процедура исключения внутренних степеней свободы. Матрицы жёсткости суперэлемента.

§3. Решение системы линейных алгебраических уравнений с симметрической ленточной матрицей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффективные схемы метода конечных элементов в задачах строительной механики с использованием новых вариационных подходов»

Одним из возможных путей ускорения научно-технического дрог -ресса является путь совершенствования качества проектных решений объектов промышленного и гражданского строительства, транспортных сооружений, машиностроительных конструкций, гидротехнических сооружений и т.п. Основой рационального проектного решения сложной конструктивной системы является её прочностной расчёт, позволяющий вскрыть дополнительные резервы несущей способности конструкции, запроектировав её с большей надёжностью и экономичностью. Достоверный прогноз поведения конструкции в различных режимах её эксплуатации немыслим без детального и достаточно точного её расчёта, а сложность современных конструктивных схем диктует необходимость опираться на численные методы расчёта в тех их модифика -циях, которые хорошо приспособлены к проведению расчётов на сов -ременных ЭВМ, обладают достаточной универсальностью и точностью при приемлимых затратах временных ресурсов и ресурсов памяти используемой вычислительной установки.

В этом отношении благоприятными возможностями обладает метод конечных элементов, недаром подавляющее большинство действующих в широкой промышленной эксплуатации программных комплексов, разработанных как в нашей стране, так и за рубежом, основаны именно на методе конечных элементов.

Вместе с тем, несмотря на более чем двадцатилетнюю историю метода (если отсчёт вести со времени его второго рождения в работах Клафа 1960г.) и не утихающий до сих пор поток публикаций и программных разработок, метод всё же остро нуждается в развитии и совершенствовании, что связано главным образом с такими проблемами как расширение возможностей программных реализаций, увеличение их экономичности, уточнение результатов получения напряжённого состояния конструкций, приспособление метода и программ к задачам со специфическими особенностями и т.д. В теоретическом плане первоочередной интерес представляет разработка новых вариационных пос -тановок задач расчёта упругих систем и связанных с ними схем ме -тода конечных элементов, позволяющих расширить границы примени -мости соответствующих алгоритмов и программ. Именно на этом пути просматриваются ближайшие возможности и перспективы дальнейшего прогресса как в развитии самого метода конечных элементов, так и в результатах его практического применения.

Проблема развития эффективного математического аппарата и его численной реализации вообще и алгоритмов метода конечных элементов в частности признана одним из первоочередных направлений в развитии современной строительной механики [l09,II8,30j , она является крупной проблемой, имеющей важное народнохозяйственное значение. Её решение необходимо для проектирования более надёжных и экономичных конструкций, сокращения сроков и трудоёмкости проектирования.

Решение сформулированной выше проблемы было предусмотрено заданиями координационных планов Государственного Комитета по науке и технике Совета Министров СССР и планами и программами важ -нейших научно-исследовательских работ в области строительства ГОССТРОЯ СССР:

1. "Разработать и сдать в Государственный фонд пакет прикладных программ (ППП) для прочностных расчётов строительных конст -рукций" (задание 0.80.15.04.15, 1976-80гг.).

2. "Разработать проект инструкции по расчёту и проектированию плитных фундаментов каркасных зданий и сооружений башенного типа" (тема 0.55.05.09.02.01.Д4.а, 1976-80гг.).

3. "Создать и ввести в эксплуатацию в ЩИИСК им.Кучеренко, НИИАСС, Ленинградском Промстройпроекте и Гипрогражданпромстрое унифицированную подсистему автоматизированного расчёта и конструирования сложных пространственных строительных конструкций в диалоговом режиме с использованием средств машинной графики" (задание 0.Ц.027.04.10, 1981-85гг.). Необходимость выполнения указанных работ, являющихся важнейшей составной частью в общей проблеме создания системы автоматизированного проектирования объектов строительства, потребовала кри -тического пересмотра существующих подходов к разработке программного обеспечения прочностных расчётов строительных конструкций на основе ЖЭ и стимулировала исследования, проведённые в диссертации.

Автор выражает глубокую признательность доктору физико-математических наук профессору Розину Леониду Александровичу за постоянное внимание к работе и ряд ценных советов и консультаций.

Основные обозначения

1. К ~ матрица жёсткости

JRp - вектор грузовых членов - приведённых к узлам обобщённых сил (15- - матрица податливости

D - вектор грузовых членов - приведённых к узлам обобщённых перемещений

Если необходимо подчеркнуть, что матрица (или вектор) относятся не ко всей конструкции в целом, а только к некоторому, скажем в -му, конечному элементу, то используется дополнительный нижний индекс "е", например

Re э К,^ з *

2. С - матрица (или тензор) коэффициентов упругости среды

В-С . так что (£-C<£ 5 <£ = 1)6 - тензор напряжений, <£ - тензор деформаций.

3. IR*1- ft-мерное эвклидово пространство

4. Векторы из If^ отождествляются с одностолбцовой матрицей.

5. В качестве символа транспонирования используется верхний индекс " Т ".

6. В покомпонентной форме некоторая матрица записывается в виде

А=

СЬ а mi

OL in,

CL run или

А={аЛ и™

М ГПхП

7. Для компонент тензоров используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.

8. Символ (звёздочка) систематически используется для пометки точных решений.

9. Черта сверху над некоторой величиной свидетельствует о том, что эта величина заранее известна (например, р ).

10. Волнистая черта сверху "^ " (тильда) применяется для обозначения возмущённых величин.

11. "Нулик" в качестве индекса как правило применяется в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, что данная величина удовлетворяет некоторым условиям однородности (например, удовлетворяет однородным краевым условиям или однородному дифферен -циальному уравнению).

12. Нижние индексы, установленные после запятой в списке индексов, используются для обозначения производных, например ^ = —-— или С ) = -

Ъ Ц, Э йС{

13. Функционалы снабжаются нижними индексами, указывающими на те функции, по которым предполагается варьирование, например

14. - энергия деформации упругого тела, выраженная через перемещения.

W - дополнительная энергия, представленная через комлоненчэ ты напряжённого состояния.

ВВЕДЕНИЕ

Как это уже отмечалось в предисловии к работе, проблема развития и совершенствования метода конечных элементов в широком смысле слова является актуальной проблемой, направленной на решение задач, вытекающих из практических нужд сегодняшнего дня и перс -пективных потребностей развития народного хозяйства страны, и поэтому является важной народнохозяйственной проблемой.

Целью настоящего исследования является разработка научных положений, методов, алгоритмов и программ для решения сложных за -дач строительной механики методом конечных элементов, имеющая большое научное и прикладное значение в связи с открывающимися перспективами повышения универсальности, экономичности и точности прочностных расчётов конструкций за счёт

- расширения возможностей как самого метода конечных элементов в форме метода перемещений, так и его программных реализаций

- повышения эффективности схем метода конечных элементов

- разработки приёмов приспособления метода конечных элементов в особых и вырожденных ситуациях, в задачах со специфическими особенностями

- разработки новых схем МКЭ в смешанной форме

- уточнения результатов получения напряжённого состояния конструкций в рамках МКЭ.

Для достижения этой цели

- изучены и теоретически обобщены вариационные постановки задач расчёта упругих систем, служащие осноеой для построения новых схем метода конечных элементов в форме метода перемещений, смешанного метода и метода сил

- разработаны способы расширения области применимости действующих программных комплексов без изменения самих программ и тем самым расширен круг решаемых ими задач

- разработаны рекомендации по построению алгоритмов прочностного расчёта конструкций, позволяющие учитывать ряд специфических особенностей, присущих расчётным схемам

- разработаны основы вариационного метода определения напряжённого состояния системы по известным приближённым значениям перемещений

- проанализированы существующие и разработаны новые эффективные способы частотного анализа упругих систем на базе ЖЭ

- разработаны практические рекомендации построения отдельных компонент программного обеспечения МКЭ, позволяющие повысить его эффективность и упростить программирование

- разработан и внедрён в проектную практику программный комплекс КОРПУС-ЕС для расчёта фундаментных плит на основе ЖЭ.

Научная новизна работы. При разработке и реализации методов расчёта упругих систем на основе ЖЭ получен ряд новых научных результатов. Научную новизну работы составляют и на защиту выносятся следующие основные научные результаты:

- совершенствование алгоритмов ЖЭ в форме метода перемещений, обеспечивающее обработку особых и вырожденных ситуаций в расчётной схеме

- введение нового понятия нуль-элемент в строительную механику; математическое исследование свойств нуль-элементов; конструирование серии нуль-податливых элементов стержневого и нестержневого типов; выработка рекомендаций по их практическому применению; установление сеязи нуль-элементов с модифицированным функционалом Лагранжа

- новая смешанная обобщённая вариационная постановка задач расчёта упругих систем, отличающихся от известных смешанных ва -риационных постановок тем, что она порождается выпуклым функционалом

- новый вариационный метод в строительной механике - метод двух функционалов (МДФ)

- обнаружение эффекта качественного искажения спектра упругой системы в смешанной форме МКЭ, связанного с засорением спектра лишними часшотами; построение фильтрующего алгоритма на основе МДФ; обоснование неравенств, связывающих частоты дискретных систем, полученных на основе использования различных ва -риационных постановок задач

- МКЭ в форме метода сил на основе использования метода штрафа; способы учёта разрывов в полях напряжений для МКЗ в форме метода сил и в смешанной форме

- алгоритмы расчёта упругих систем, опирающихся на гидродомкраты; связь с вариационной постановкой задач

- алгоритм и программный комплекс по расчёту фундаментных плит; вариационное обоснование перехода от модели упругого слоя конечной толщины к двухпараметровому упругому основанию; введение специальных конечных элементов, учитывающих работу упругого основания за пределами плана плиты

- набор новых алгоритмов программной реализации МКЭ (формирование матриц жёсткости элементов при нежёстком способе присоединения элементов к узлам; формирование матриц жёсткости суперэлементов; решение систем линейных алгебраических уравнений с симметрической ленточной матрицей при минимизации затрат на обменные операции между основной памятью и магнитным носителем) .

Практическая ценность работы. Методы, алгоритмы, вычислительный комплекс и результаты исследований, представленные в диссертации, могут быть использованы широким кругом организаций и предприятий для выполнения прочностных расчётов разнообразных конструций с целью повышения надёжности, долговечности и экономичности объектов при сокращении сроков и уменьшении трудоёмкости проектиро -вания.

Отдельные теоретические результаты использованы в программных разработках многих проектных и научно-исследовательских органи -заций Москвы, Ленинграда, Киева, Харькова, Сведловска, Кишинёва, и др. городов.

Программные комплексы КОРПУС-ЕС, АВРОРА-ЕС, ПУСК-ЕС включены в государственный фонд алгоритмов и программ, они используются более чем в 50 проектных организаций страны при реальном проектировании объектов промышленного и гражданского строительства. Использование программного комплекса КОРПУС-ЕС регламентируется руководством по расчёту и проектированию плитных фундаментов каркасных зданий и сооружений башенного типа (НИИОСП им.Герсе -Еанова).

Разработанные в диссертации новые вариационные постановки задач расчёта упругих систем включены в специальный курс по строительной механике, они используются при выполнении учебных научно-исследовательских работ и дипломном проектировании студентами гидротехнического и физико-механического факультетов Ленинградского ордена Ленина политехнического института им.М.И.Калинина. Разработанный в диссертации способ учёта работы упругого основания, расположенного за пределами плана плиты, включён в учебное пособие по методу конечных элементов [l7] , предназначенное для студентов ВТУЗов.

Совокупность сформулированных и обоснованных в диссертации научных положений и разработанных методов можно квалифицировать как новое песрпективное направление в строительной механике, заключающееся в создании эффективных схем метода конечных элементов на основе новых вариационных постановок задач и расширении воз -мохностей программных реализаций МКЭ. Полученные в диссертации научные результаты, разраёотанные алгоритмы и программы, их реализующие, непосредственно приложимы к решению проблемы автоматизации прочностных расчётов конструкций, имеющей важное народнохозяйственное значение.

- 16

Общая характеристика проблемы. Краткий обзор литературы.

Вариационные постановки задач расчёта упругих механических систем, имеющие глубокие исторические корни , за последние годы вновь стали предметом пристального внимания и изучения. Если в ранний период своего становления они рассматривались с чисто механических позиций, как отражение общих энергетических свойств упругих систем, то в дальнейшем именно они обогатили строительную механику наиболее мощными средствами анализа (см.,например, |б4]). Ключевую роль в этом отношении сыграл основополагающий метод В.Ритца в различных его модификациях.

Новый импульс, стимулирующий дальнейшее углублённое изучение и развитие вариационных постановок задач расчёта упругих систем, возник благодаря двум обстоятельствам:

1. изобретение, исторически первое Р.Курантом в 1943 г. [148] , специального способа построения координатных функций в методе Ритца - функций с компактным носителем, приведшее в конечном итоге к методу конечных элементов

2. запросы техники в развитии машиноориентированных достаточно универсальных численных методов расчёта, каковыми оказались различные варианты вариационно-разностных методов.

-[отя вариационные постановки задач в строительной механике не переставали привлекать внимание исследователей с момента их зарождения и до настоящего времени (публикации на эту тему практически неперечеслимы), всё же в ретроспективном отношении можно с известной дозой субъективности выделить наиболее значительные этапные работы 1, заслуживающие оыть отмеченными либо как генех) Следует отметить, что наряду с вариационными постановками линейных задач развивались и вариационные принципы нели раторы новых идей, либо как осмысливание, обобщение и фиксация опыта, накопленного предшественниками.

После длительного периода почти безраздельного господства вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно (и присоединившегося к ним позднее вариационного принципа граничных условий Трефт-ца) с большой полнотой освещенных в ставшей классической и не утерявшей своего научно-методического значения монографии Л.С.Лей -бензона этапной стала серия работ Э. Рейсснера ["l 69, МО ,

9&3» которым в первую очередь обязаны своим признанием смешанные вариационные принципы. Справедливости ради заметим, что значительно раньше Рейсснера смешанная вариационная постановка задач строительной механики была обнаружена в начале нашего века Хеллингером^ъ]. Эта работа повидимому оказалась преждевременной, а инженерная мысль того времени не подготовленной к её восприя -тию, правильной оценке и применению, чем и объясняется сорокалетний период её забвения. Хотя в силу исторической справедливости известный смешанный функционал следовало бы назвать функционалом Хеллингера-Рейсснера (как это и делается в некоторых публикациях), однако сложившаяся традиция, которой в дальнейшем будем следовать и мы, связывает его с именем одного Э.Рейсснера. нейной строительной механики как геомет рического, так и физи -ческого происхождения. Это чрезвычайно интересное и богатое теоретическими результатами и приложениями обобщение вариационных постановок задач здесь сознательно не затрагивается, так как его рассмотрение увело бы нас в сторону от главных целей работы, ограниченных проблемами метода конечных элементов, решение которых существенно уже в линейных задачах строительной механики.

Через 5 лет после выхода в свет первой из отмеченных публикаций Э.Рейсснера появилась статья Ху 0s£l(I955r.), в которой предложена новая вариационная постановка задач расчёта упругих систем, отличающаяся тем, что вместе с полями перемещений и напряжений независимому варьированию подвергаются и деформации, т.о. в общем случае трехмерной задачи 15 функций ,LL. on

4J L ределяются из условий стационарности функционала, именуемого ныне повсеместно функционалом Ху - Вашицу, поскольку считается, что Вашицу [ 479 ] пришёл к аналогичной вариационной постановке задач независимо от Ху. Надо сказать, что в вычиплительном отношении вариационный принцип Ху-Вашицу не нашёл широкого практического использования, его значение, по крайней мере на сегодняшний день, ограничено теоретическими рамками.

Взаимосвязь различных вариационных постановок задач, их обобщённая операторная форма установлена в статье Е.Тонти Ia2.s] . Это была первая попытка классификации вариационных принципов , паутиной линий отображающая связь различных операторных и вариационных постановок задач. В этой же статье впервые приводятся вариационные постановки задач расчёта упругих систем, основанные на введении в функционал разрешающих функций, являющихся общим решением соответствующих однородных операторных уравнений. Работа Тонти вызвала широкий научный резонанс и не будет преувеличением сказавь, что с тех пор почти все наиболее значительные исследования по вариационным принципам строительной механики содержат ссылки на неё. Казалось, что эта работа покрывает все белые пятна по вариационным принципам и является исчерпывающей. Однако, одновременно со статьёй Тонти выходит в свет статья В.Прагера t9l] , и выясняется, что вариационный подход даёт возможность дальнейшего ослабления требований на гладкость решения задачи, при этом используется функционал, допускающий к сравнению разрывные перемещения, деформации и напряжения.

Статья Прагера послужила отправной точкой оригинальной вариационной постановки задач, принадлежащей Тонгу и Пиану t Ц. Имея в виду конкретные прикладные потребности, вызванные к жизни методом конечных элементов, эти авторы построили набор функционалов, у которых поля одних функций (скажем, перемещений) независимо варьируются во всей области определения решения задачи, тогда как другие функции (например, напряжения) варьируются только на некоторых поверхностях (линиях), разделяющих область О^ на непересекающиеся подобласти. Соответствующие этим функционалам схемы метода конечных элементов названы авторами гибридными схемами ЖЭ. Интересно отметить, что эта же идея независимого варьирования разных функций (прогибов и поворотов) в области и на межэлементных границах конечных элементов эксплуатируется в работах японских учёных Кикучи и Андо f A'SG,И5& 3 » что позволило им простыми средствами преодолеть известные затруднения МКЭ в теории изгиба тонких пластин, связанные с требованием непрерывности первой производной от функции прогибов.

В 1978 г. выходят в свет две книги [ 1 , Ю2.3, в которых с единых методологических позиций изложены все важнейшие известные к этому моменту вариационные постановки задач для упругих систем и предложены некоторые новые постановки. В частности, в книге Л.А.Розина i'loi] в обсуждаемом здесь аспекте обращает на себя внимание предложение использовать комбинированные вариационные постановки задач, когда рассматриваемая область разделяется на две или несколько частей, в каждой из которых определяются разные функционалы. Эти вариационные постановки задач приводят к комбинированным схемам ЖЭ, применение которых в некоторых случаях (например, в контактных задачах) оказывается эффективным.

Важнейшей особенностью книги Л.А.Розина является также то обстоятельство, что в ней вариационные постаноки задач расчёта упругих систем рассматриваются в тесной взаимосвязи с методом конечных элементов.

Нельзя не отметить, наконец, вышедшую из печати в 1983г. обширную монографию В.Л.Бердичевского [э] , посвящённую всестороннему рассмотрению вариационных принципов механики сплошной среды. Основное внимание в этой работе .уделяется аналитическому подходу, связанному с построением расчётных моделей в различных средах , в том числе в средах с усложненными свойствами, на базе вариационно асимптотического метода. Численные методы решения задач затрагиваются в этой книге в меньшей степени, поэтому в дальнейшем ссылаться на работу [s] не будем.

Хорошо известны три основные формы метода конечных элементов, историческим предшественником которых являются три основных метода строительной механики стержневых систем: ГЖЗ в форме метода перемещений, в смешанной форме и в форме метода сил. В силу целого ряда технических, исторических, а также инженерно-психологи -ческих обстоятельств, неоднократно обсувдавшихся в литературе, МКЭ первоначально возник и развивался в форме метода перемещений, причём эта форма МКЭ сохраняет своё привилегированное положение и в настоящее время. Это доминирующее положение определяется не только сопоставительным количеством публикаций,, но (и это главное) и чисто практическими обстоятельствам!: подавляющее большинство эксплуатируемых программных реализаций базируется на МКЭ в форме метода перемещений.

Надо сказать, что ещё 20-30 лет назад, в домашинный период, когда строительная механика по преимуществу была механикой стержневых систем, соотношение между основными классическими методами было иным, более равноправным. Однако и тогда это равноправие не было полным, более популярным, повидимому в силу прозрачности физического толкования канонических уравнений, был метод сил. Это обстоятельство проявилось и а том, что первый программные разработки по расчёту стержневых систем, принадлежавшие Р.А.Резникову (програшш серии CM [94J ), были основаны на методе сил. Осознание разработчиками программ алгоритмических преимуществ метода перемещений, а также возникновение и быстрое распространение метода конечных элементов, способствовали выдвижению на первый план метода перемещений. Если не считать отдельных, порой весьма удачных, разработок энтузиастов, то методы сил и смешанный метод в программах по строительной механике были почти полностью преданы забвению. В основном русле публикаций стали находиться теперь работы по МКЭ в форме метода перемещений. Именно на этом пути черпаются исследователями открывающиеся всё новые возможности и перспективы, строятся новые типы конечных элементов, обосновываются теоремы сходимости схем МКЭ, выдвигаются новые идеи реализационного порядка (например, идеи суперэлементов) [2,90,107,119,99,101] и т.д.

Вместе с тем при практическом использовании программных разработок для схем МКЭ в форме метода перемещений специалисты по автоматизированному проведению прочностных расчётов столкнулись с рядом трудностей. Эти затруднения вызывались такими обстоя -тельствами как наличие в расчётной схеме опорных закреплений, не являющихся сонаправленными с осями общей системы координат, наличие абсолютно жёстких тел или элементов, обладающих бесконечной жёсткостью по некоторым направлениям (простейший пример-несжимаемый в продольном направлении стержень), необходимость учёта кинематических воздействий на систему и др. С позиций строительной механики общим признаком подобных особенностей в расчетных схемах является наличие сложных связей между обобщёнными перемещениями дискретитаованной системы, которые играют роль основных неизвестных величин для МКЭ в форме метода перемещений. Изучение этих особенностей и алгоритмических способов преодоления возникающих при этом затруднений привело к разделению связей на две группы (моносвязи и полисвязи) и разработке усовершенствованного алгоритма метода перемещений, позволяющего-не только изба -виться от указанных затруднений, но и повысить эффективность алгоритма за счёт снижения требований, предъявляемых алгоритмом к ресурсам ЭВМ как по времени счёта, так и по потребностям в основрамм, реализующих стандартный алгоритм МКЭ в форме метода перемещений, учесть эти особенности в расчётных схемах за счёт специ -ального способа описания исходной информации без какого-либо изменения самих программ и тем самым расширить возможности деист -вующих в промышленной эксплуатации программных реализаций МКЭ• Последовательное осуществление этой идеи привело к созданию так называемых нуль-элементов [бб] , теоретическое обоснование и обобщение которых оказалось возможным на основе использования вариационного подхода.

С развитием МКЭ и ростом числа и качества егю программных реализаций отчётливо стали проявляться и недостатки метода. Основной недостаток МКЭ в форме метода перемещений, сознаваемый уже давно, является, как это ни парадоксально, продолжением его основного преимущества.

В самом деле, важнейшей особенностью вариационной постановки задачи, использующей функционал полной потенциальной энергии системы, является ослабление требований на гладкость решения, по терминологии Ж.Деклу [4l] используется симметричная или полуслабая формулировка обобщённого решения. Такое расширение области опреной памяти оказалось возможным в рамках прог деления решения с одной стороны помогает строить пространство допустимых к сравнению функций перемещений, а с другой стороны оно оказывается слишком "слабым" для напряжений, поскольку операция дифференцирования, требуемая при переходе от перемещений к напряжениям, нарушит непрерывность компонент напряжённого состояния.

Не желая отказываться от преимуществ, исследователи, естествен -но, стали искать пути избавления от недостатков или хотя бы сглыАйвания их негативного влияния.

Пусть (LL решение для перемещений, полученное на основании минимизации лагранжиана на некотором конечномерном подмножестве множества кинематически допустимых перемещений IX ^. я) Понятие кинематически допустимых перемещений нуждается в уточнении. В учебной и научной литературе часто встречается определение кинематически допустимых перемещений в сугубо механическом смысле как перемещений, не противоречащих связям, нало -женным на систему. Следует чётко понимать, что на формально математическом уровне под этим определением подразумевается выполнение двух требований: а) перемещения должны удовлетворять кинематическим краевым условиям б) перемещения должны быть достаточно гладкими функциями. Поскольку в различных определениях решения задачи (сильное, слабое, полуслабое [4l] ) требу -ется различная гладкость перемещений , то и само множество ки -нематически допустимых перемещений IX изменяется имеете с изменением определения решения задачи.

Пусть Д - оператор, отображающий перемещения в напряжения (В бгЧ* Аа^ свл)

Во многих случаях инженер владеет априорной информацией о гладкости напряжений при точном решении задачи в классическом смысле и, если эта информация вступает в противоречие с наблюдаемой (ожидаемой?) гладкостью & , возникает желание "облагородить" решение (Б* , отобразив его на более гладкое множество б^Ре^ (в.2)

Таким образом существо проблемы заключается в построении сглаживающего оператора Р , проецирующего разрывное решение (Еэ^на некоторую поверхность, гладкость которой согласована с имеющейся априорной информацией. При этом отображении ожидается, что точ

К, ность напряжений чэ будет выше точности <Ь . Имеются попытки решения этой задачи на основе использования разностных формул повышенной точности при определении узловых значений напряжений [l49, 177,172,I43J. Зтот путь, однако, не алгоритмичен, неясно, как его использовать на неравномёрных треугольных сетках.

Некоторое время надежды возлагались на идеш Барлоу, отмеченную в известкой книге Стренга и Фикса по которой решение (Б^ ищется по формулам (B.I), но в некоторых, называемых "оптимальными", точках, отличных от узловых, в которых погрешность над -ряжений гарантированно минимальная. Эта идея также не нашла ши -рокого применения в силу затруднений, возникающих при поиске оптимальных . точек, кроме того, пользователь интересуется, как правило, напряжениями в узловых точках сетки конечных элементов. Своеобразный способ получения непрерывных полей напряжений предложен и реализован Либиньяком [l60,I6l] . Пусть Р - некоторый оператор, отображающий напряжения (Б^ в непрерывные напряжеН. -о ния . Конкретный способ построения оператора Р для рассуждений Лубиньяка несущественен, однако практически Лубиньяк осредняет напряжения в узлах сетки конечных элементов, а распределе ние напряжений по самим конечным элементам принимается по тем же самым функциям формы, каковые используются для аппроксимации пе К. К. ремещений. Если рассматривать разность полей напряжений (Б и как систему начальных напряжений, то уравнения МКЭ запишутся в виде [48] т

-в )dSfc.+RP«0 (в.з)

- матрица связи узловых перемещении с деформациями. Эту систему уравнений Лубиньяк решает итерационно, приписывая индекс ( L) величинам, получающимся в результате I -ой итерации

Ш,. + (в.4)

О-) .

Поскольку , , то итерационный процесс (В.4) окончательно переписывается в виде св.5)

Этот алгоритм опробован Лубиньком в задаче о консольной балке под действием нагрузки, распределённой по закону квадратной параболы на свободном конце, а также в задаче о толстостенной трубе, нагруженной внутренним давлением. Результаты расчётов показали существенное увеличение точности в определении напряжений при 5 итерациях. К сожалению способ Лубиньяка не имеет до сих пор теоретического обоснования, не ясны условия сходимости итерационного процесса. Кроме того, как это отмечает и сам Лубиньяк, возникают алгоритмические осложнения в задачах с разрывными полями усилий. Наконец, итеративный характер процедуры Лубиньяis ка делает её малопрогодной в задачах со многими загружениями, поскольку временные затраты приблизительно пропорциональны количеству затружений.

Интересная идея получения узловых значений напряжений (усилий) в МКЭ принадлежит А.В.Вовкушевскому [22] . В соответствии с пред^-ложением А.В.Вовкушевского вместе с узлом, в котором отыскиваются напряжения, рассматривается "звезда элементов" ^99] , т.е. область, состоящая из конечных элементов, примыкающих к данному узлу. Сам этот узел назовём центром звезды. Пусть к. - число уз -лов звезды, включающее её центр. Для конкретности рассмотрим задачу изгиба плит. В пределах звезды введём новую аппроксимацию перемещения ЬУ , не связанную, вообще говоря, с той аппроксима -цией, которая применялась при определении узловых значений перемещений, полагая

S S где ^.(х), ^-.(у ) - полиномы степени l и j от X z у , подлежащие определению коэффициенты. Всего в разложении 2

В.6) имеется (S+I) неизвестных коэффициентов Ct. У

Потребуем, чтобы в каждом узле звезды аппроксимации (В.6) удовлетворяли тем перемещениям, которые получены на основании конечно-элементного решения. Каждый узел при этом обеспечивает уравнений, где М - число степеней свободы узла. Так при трёх степенях свободы имеем для ТТЪ-го узла s s к aJiCx^^c^vV*0

В.7) l=o j-o t=o jm=i, .,k.) где перемещения и повороты ЛП-го узла.

Подберём число S таким образом, чтобы выполнялось неравенство св.8)

Система уравнений (В.7) при условии (В.8) является переопреде -лённой, поэтому её решение можно искать, например, по методу наименьших квадратов. Заметим, что в некоторых случаях эту систему целесообразно несколько "облагородить", поставив центр звезды в более привилегированное положение по отношению к остальным узлам. Этого можно добиться введением весового множителя р>1 в те уравнения системы (В.7), которые отвечают центру звезды.

После определения коэффициентов СЦ. напряжения в центре звезды определяются дифференцированием (В.6) с последующим использованием физических соотношений.

Надо сказать, что А.В.Вовкушевский применял свою идею к плоской задаче теории упругости. Наша попытка воспользоваться этим же способом в задаче об изгибе плит не увенчалась успехом. Основная трудность заключалась в том, что окончательная система уравнений метода наименьших квадратов, хотя имеет и невысокий порядок, однако крайне плохо обусловлена и потому весьма чувствительна даже к небольшим изменениям в величинах U)^, 9ХУП, О^т m=i,.,K).

Другим недостатком способа А.В.Вовкушевского является его ориентация на непрерывные поля напряжений.

В зарубежной технической литературе большой популярность^ пользуется так называемый метод сопряжённых аппроксимаций Одена [164,165] в рецептурном виде (без попыток истолкования) проникающий даже в учебную литературу [юз] . Описание метода Одена можно найти в переведённой на русский язык книге [75] , однако изложение его там запутано громоздкими индексными преобразованиями и несущественными деталями, мешающими выделить основную идею. Проще всего проследить за схемой Одена на простом примере о растяжении стержня.

Функционал Лагранжа растянутого стержня в стандартных обозначениях имеет вид в 5 г* к-5 (¥ - УУ

В.9) о

В соответствии с методом сопряжённых аппроксимаций Одена полагается (вло) где N - продольная сила в стержне.

Относительно координатных функций ^ предполагается, что они являются линейной комбинацией координатных функций Ф , т.е.

• К причёи система биортогональна системе по метРике

Lig^5 этом и состоит сопряжённость)

B.I2)

Из (В.II) и (В.12) находим матрицу коэффициентов влз)

В силу закона Гука и из аппроксимации перемещений продольная сила записывается в виде

Далее, невязка между величинами продольных сил, определяемых формулами (В.10) и (B.I4), ортогонализуется по каждой из координатных функций ^р» и в силу биортогональности получим отсюда

Окончательно продольная сила определяется по формуле

H'ff (В.17)

Этот же результат можно получить при менее трудоёмких вычислениях, отказавшись от предварительного определения координатных функций , требующего обращения матрицы по (В.13). Е самом деле, вместо (В.10) мокко сразу воспользоваться представлением

В. 18) и тогда соотношение (В.15) запишется в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно коэнивдюнтов X к f (ВЛ9) причём в методе конечных элементов в силу локализации носителей координатных функций матрица этой системы является редкозаполненной.

Заметил, что систему уравнений (В.19) можно рассматривать как систему Ритца для функционала

О'« S(~N-EF-u'V* св.20) при. аппроксимациях (В.10) для перемещений и (В.18) для усилий, хотя сам Оден не связывает свой метод с какой-либо вариационной постановкой задачи.

Метод сопряжённых аппроксимаций Одена, приводя к непрерывным полям усилий (напряжений), обладает целям рядом недостатков:

1. Для определения коэффициентов ЗСКтребуется формирование и решение системы линейных алгебраических уравнений

2. Статические краевые условия точно не удовлетворяются.

3. Аппроксимация усилий жёстко связала с аппроксимацией перемещений и не оставляет свободы выбора иных координатных функ -ций .

4. Вариационная трактовка разрешающих уравнений метода Одена показывает, что эти уравнения следуют из условий стационарности функционала , не имеющего чётко выраженного физического энергетического) смысла, что видно хотя бы из размерности величин, входящих в лодинтегральное выражение в (В.20). 5. Метод ориенитирован на получение непрерывных полей напряжений и не позволяет учесть разрывы, вызываемые, например, разрывами в константах упругости в двумерных и трехмерных задачах.

Рассматриваемый в главе 2 диссертации метод двух функционалов в определённом смысле (процедурно) близок методу Одена, так как он также требует решения системы линейных алгебраических уравнений, которая имеет вид

B.2D и которая трактуется как система Ритца для функционала

§5„« MU-У*. (В.22) причём функционалу придаётся чёткое энергетическое ис толкование.

Оставляя исследователю определённую свободу в выборе системы координатных функций "{^к} » мет°Д двух функционалов позволяет кроме того строго удовлетворять статическим краевым условиям, а также учитывать возможные разрывы в полях напряжений.

Большие возможности открываются в случае использования смешанной формы МКЭ, при этом:

- независимо аппроксимируются перемещения и напряжения, что позволяет производить выбор аппроксимантов напряжений из множества функций нужной гладкости, а также удовлетворять точно статическим краевым условиям

- напряжения определяются непосредственно из решения системы линейных алгебраических уравнений, что упрощает логику программы

- в задачах, содержащих производные высокого порядка (начиная с четвёртого) смешанный метод, строящийся на основе функционалов рейсснероЕа типа, позволяет освободиться от трудностей согласования функций формы, обеспечивающих так называемую совместность конечных элементов. Напри -мер, в задачах изгиба тонких пластин получила распространение схема МКЭ [l9j , основанная на функционале Гер-рмана [154] , при этом допустимы простейшие (линейные на треугольниках и билинейные на прямоугольниках) аппроксимации перемещений и моментов.

Многочисленные примеры применения смешанной формы МКЭ (см., например, [173,141,162] ) свидетельствуют о её высокой эффективности. Вместе с тем разработчики программ промышленного значения как правило избегают её использования, хотя есть и удачные иск -лючения [94] , что объясняется следующими обстоятельствами:

- число неизвестных узловых параметров, а вместе с ним и порядок разрешающей системы уравнений увеличены по сравнению с МКЭ в форме метода перемещений

- система теряет одно из важнейших положительных качеств - положительную определённость матрицы

Особенную неприятность разработчикам программ доставляет второй из отмеченных недостатков. Некоторые возможности обхода возникающих на этом пути затруднений указаны в нашей статье [43] . Другая, принципиально отличная возможность, связана с построением нового смешанного функционала , порождающего положительно определённую систему уравнений Ритца [П4,11б] . Платой за это (в задачах с производными выше второго порядка) является восстановление требований на гладкость перемещений до уровня их гладкости в МКЭ в форме метода перемещений.

МКЭ в форме метода сил, несмотря на ряд привлекательных его свойств, к настоящему времени наименее распространён. Главная трудность его применения заключается в требовании статической допустимости полей напряжений (усилий). Использование разрешаю -щих функций типа функции ЭРИ в плоской задаче теории упругости позволяет автоматически удовлетворять уравнениям равновесия, но повышает порядок производных в функционале и требует последующего её дифференцирования для определения напряжений. Кроме того, использование функций напряжений вызывает необходимость принятия особых мер в задачах с многосвязными областями. Активным сторонником и пропагандистом МКЭ в форме метода сил был Фрайес де Вебеке [l50,I5l] . Де Вебеке принадлежит разработка так называемых равновесных конечных элементов, когда выполнение уравнений равновесия в дифференциальной форме подменяется приближённо выполнением уравнений равновесия конечного элемента в целом. Близкие по идее конечно-элементные подходы используются М.Д.Никольским [72,73] .

После сведения задачи к конечно-мерной в методе сил нетривиальным оказывается вопрос автоматического построения так называемой основной системы метода сил.

Значительный прогресс в этом направлении достигнут в работах Л.А.Розина и В.Г.Бусыгина [Ю0,1б] , проанализировавших эту проблему на формально алгебраическом уровне, что позволило им пост -роить ряд эффективных алгоритмов, в том числе алгоритмы, основанные на идее псевдообращения матриц.

С нашей точки зрения представляется весьма перспективной идея использования метода сил, основанная на минимизации функционала Кастильяно, пополненного штрафным членом [17б] . Возможности, открывающиеся на этом пути, повидимому ещё не исчерпаны (так же как нераспознаны до конца и трудности). Некоторые детали соответствующих алгоритмов, а также связь мевду МКЭ в форме метода сил со штрафным членом в функционале и постановкой динамических задач в свёртках, принадлежащей Гуртину [l52] , рассматриваются далее в главе 4 диссертации.

ЖЭ нашёл широкое применение не только в статических задачах, но и в задачах динамики [lll,5l] , в частности, в задачах определения частот и форм свободных колебаний упругих систем. Практи -ческие результаты, получаемые при использовании смешанной формы МКЭ в частотном анализе и в задачах устойчивости упругих систем, опубликованные в литературе [163,156] , демонстрируют высокую точность смешанного метода в проблеме собственных значений. Вместе с тем теоретические оценки, позволяющие производить сравнительный анализ частот, получаемых по ЖЭ в форме метода пере -мещений и в смешанной форме, в литературе отсутствуют.

Исследование этого вопроса показало, что такие оценки могут быть получены, более того, на этом пути проявились некоторые важные особенности, присущие МКЭ в смешанной форме применительно к задачам о собственных значениях [50] . Оказалось, что формальное распространение смешанной формы МКЭ на задачи частотного анализа чревато опасностью заражения спектра дискретной системы дополнительными, названными нами "паразитическими", собственными числами. Выявление этой неприятной в вычислительном отношении перспективы потребовало изучения средств её ликвидации с целью восстановления доверия к спектру конечно-мерной системы, полученной на основе дискретизации исходной континуальной задачи при помощи смешанной формы МКЭ. При этом неожиданно проявилась особая роль обсуждавшегося ранее метода двух функционалов, распространённого на задачи о спектре упругой системы [lis] .

В строительной механике существуют классы задач, обладающие рядом специфических особенностей, которые вызывают определённые осложнения при использовании стандартных схем МКЭ и основанных на них программных реализаций. В частности, одной из таких задач со спецификой является задача о расчёте конструкций, опирающихся на систему гидродомкратов. Континуальным аналогом этой задачи служит задача об определении напряжённо-деформированного состояния упругого тела, имеющего внутренние полости, полностью заполненные идеальной несжимаемой жидкостью. Проблемы подобного сорта возникают, например, в задачах геомеханики и биомеханики .

Постановка таких задач потребовала разработки специально приспособленных для их решения алгоритмов , ориентированных на эффективные способы учёта особенностей поведения под нагрузкой рассматриваемых упругих систем.

Особого рассмотрения в связи с большими практическими потребностями проектирования и наличием ряда усложняющих расчёт обстоятельств потребовала задача о расчёте плитных конструкций, покоя -щихся на упругом основании. В качестве механической модели упругого основания здесь используется простейший её вариант, позволяющий учитывать распределительные свойства грунтового основания за пределами плана плиты (модель основания с двумя коэффициентами постели). Большим расчётным достоинством этой модели по сравнению с такими широко распространёнными моделями как полупространство, слой конечной толщины и т.п. является то обстоятельство, что она позволяет сохранить размерность задачи в рамках МКЭ, не увеличивая её за счёт рассмотрения координаты упругого основания по глубине. В то же время эта модель может быть использована для приближённого описания указанных выше более сложных моделей [2l] . Близость моделей упругого слоя конечной толщины и двухпараметро-вого основания может быть истолкована в разных смыслах [5,14,57] , в том числе и на вариационной основе. Последовательное применение вариационной идеи к схеме сведения модели слоя к двухпара -метровому основанию, принадлежащей В.З.Власову и Н.Н.Леонтьеву, позволило выявить наилучшую в энергетическом смысле функцию поперечного распределения перемещений по глубине слоя [lI2] .

Далее, применение схем метода конечных элементов к задачам расчёта фундаментных плит потребовало разработки специальной методики по учёту вклада упругого основания в общий энергетический потенциал механической системы "плита + упругое основание". Эта методика содержит как средства коррекции матриц жёсткости конечных элементов изгибаемой плиты за счёт работы упругого основания, так и средства учёта энергетического вклада упругого основания, расположенного за пределами плана плиты [47,45] . Задача расчёта фундаментных плит имеет и другие специфические особенности, например, из-за необходимости учёта совместной работы плиты и жёсткого верхнего строения, что потребовало разработки специализированной методики и соответствующего алгоритма [44,69] .

Публикации на тему о различных формах МКЭ и соответствующих им вариационных постановках задач в большинстве своём содержат как теоретическую часть, так и прикладной, реализационный аспект, который, если и не выступает всегда в явном виде, то во всяком случае подразумевается. Работы, тяготеющие к вычислительному ас -пекту метода конечных элементов, связаны с именами многих известных отечественных и зарубежных учёных, а создание крупных вычислительных комплексов - с коллективами, ими возглавляемыми. Благодаря этим работам в настоящее время основные, принципиаль -ные вопросы реализационного аспекта метода конечных элементов хорошо изучены. Вместе с тем имеется много деталей организации вычислений, от рационального решения которых самым существенным образом зависит эффективность программной реализации. Это обстоя -тельство, справедливое не только по отношению к МКЭ, но и к современным вычислительным проблемам более широкого назначения, в чёткой форме отмечается в книге И.В.Романовского [105] : ". имеется широкий круг практически важных задач, в которых вычислительная в традиционном понимании

часть действий оказывается очень скромной, и основные сложности лежат в логической структуре алгоритма. В таких задачах (а размеры и время счёта в них часто бывают значительными) обычно особенно существенно правильно организовать вычисления."

Именно эти соображения послужили поводом и оправданием для включения в диссертацию отдельных моментов программной реализации МКЭ вплоть до фрагментов программ на языке PL/I [26,79j . Мы не останавливаемся здесь на обзоре соответствующих литературных источников, так как ссылки на работы предшественников имеются непосредственно в тексте диссертации.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Сливкер, Владимир Исаевич

- 355 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе, состоят в следующем:

1. Изучены особенности построения алгоритмов метода перемещений при учёте дополнительных связей. Введена классификация связей (моносвязи и полисвязи) по признаку их алгоритмической обра -ботки. Предложен приём искусственного введения полисвязей, приводящий к улучшению таких показателей алгоритма как потребляемый ресурс памяти и время счёта.

2. Введено понятие ложных степеней свободы системы (в алгоритмах метода перемещений), определены формальные условия их обнаружения и способы обезвреживания.

3. Разработана методика использования нуль-податливых и нуль-жёстких элементов, определены их формальные свойства. Сконструирована серия нуль-податливых элементов стержневого и нестержневого типов. Установлена возможность расширения области применения программ по строительной механике (без изменения самих программ) за счёт использования нуль-податливых элементов при описании входной информации.

4. Дана вариационная трактовка нуль-элементов, установлена её связь с модифицированным функционалом Лагранжа.

5. Предложена новая смешанная вариационная постановка задач для упругих систем, из которой как частный случай следуют принцип возможных перемещений Лагранжа, частный вариант вариационного принципа Рейсснера (установленного на кинематически допустимых перемещениях), и вариационный принцип физических соотношений Тонти.

6. Показано, что данная вариационная постановка задач порождается обобщённым функционалом ^^ смешанного типа, завися щим от числового параметра "K.€[o,l3 • Доказано, что при условии 1/2<"Х.<1 функционал минимален в точке стационарности, причём уравнениями Эйлера для этого функционала служат линейные комбинации уравнений равновесия и физических соотношений. Установлен общий вид функционала Фив где лагранжиан, - рейсснериан упругой системы.

7. Установлено интегральное тождество, на основе которого введено определение "сильного" решения по напряжениям, в отличие от "слабого" решения, определяемого формальным дифференцированием перемещений с последующим использованием физических соотношений.

8. Предложен функционал определенный на множестве l статиs чески полудопустимых напряжений, т.е. напряжений, удовлетворяющих статическим краевым условиям. Установлена эквивалентность задачи поиска сильного решения и точки стационарности функционала f&g. Доказаны теоремы о минимуме в точке стационарности, о единственности минимума, о его существовании.

9. Для функционалаполучен аналог формулы Клапейрона, уста -новлена связь функционала с функционалом Рейсснера.

10. Разработан метод двух функционалов (МДФ), основанный на последовательной минимизации функционала ££ и возмущённого функ-ционала^^е. Введено понятие согласования по порядку конечномерных множеств и и Т , на которых минимизируются «ЙГ^иЙ^. соответственно.

На ряде примеров продемонстрировано существование согласованных множеств.

11. Проведена детализация МДФ применительно к плоской задаче теории упругости при линейных (билинейных) аппроксимациях пере мещений и напряжений на треугольных (прямоугольных) конечных элементах. Рассмотрены алгоритмические способы учёта статических краевых условий, предложено использование в этих целях нуль-жёстких элементов. Приведены примеры, свидетельствующие об эффективности МДФ.

12. Проведено исследование возможностей применения смешанной формы МКЭ к задачам о спектре. Обнаружена возможность просачивания в спектр дискретной системы смешанного метода "паразитических" час тот, способных внести в картину спектра искажение качественного характера.

13. МДФ распространён на задачи частотного анализа упругих систем. Дана геометрическая интерпретация частотных характе -ристик дискретизованных систем, получены строгие оценки, связывающие лагранжевы частоты, рейсснеровы частоты и часто, ты МДФ. Показана фильтрующая особенность МДФ, позволяющая освободиться от засорения спектра паразитическими частотами.

14. Дано распространение обобщённого смешанного функционала на задачи о спектре. Установлена возможность получения частотных характеристик на основе функционала , которые оценивают лагранжевы частоты с двух сторон.

15. Функционал Гуртина для задач динамики в свертках перенесён на статическую постановку задачи. Показано, что в общем случае гуртиниан не экстремален в точке стационарности, однако он минимален на множестве » статически полудопустимых напряжений. Трактовка функционала Гуртина как функционала Кастильяно со штрафным членом приводит к постановке задач МКЭ в форме метода сил по своей сложности эквивалентной МКЭ в форме метода перемещений.

16. Разработаны способы учёта разрывов в полях напряжений при минимизации гуртиниана алгоритмы переносятся на МДФ на этапе минимизации функционала обе .

17. Разработаны специальные алгоритмы, позволяющие производить расчёт упругих систем, опирающихся на гидродомкраты. Алгоритмы обобщены на задачи расчёта упругих тел с полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью. Установлена связь этих алгоритмов с вариационной постановкой задачи и, в частности, с видоизменённой формой функционала Беличко--Кулака.

18. Подробно изучены возможности МКЭ в задачах расчёта фундаментных плит при использовании двухпараметровой модели упругого основания. С этой целью решена задача о наилучшем (в энергетическом смысле) приближении двухпараметровой моделью упругого слоя конечной толщины.

19. В единой форме (с использованием общих свойств) представлены матрицы жёсткости конечных элементов изгибаемой плиты как при применении теории изгиба тонких плит, так и теории изгиба плит средней толщины. В последнем случае для МКЭ в форме метода перемещений использован принадлежащий В.П.Бол-дычеву способ двойной аппроксимации углов поворота, несколько обобщённый за счёт введения специального параметра. Установлен вид соответствующего этому способу функционала.

20. Разработана методика коррекции матриц жёсткости конечных элементов изгибаемой плиты за счёт работы упругого основания. Предложены и подробно изучены нашедшие широкое применение так называемые "бесконечные" конечные элементы типа "клин" и "полоса", позволяющие приближённо учитывать энергетический вклад двухпараметрового упругого основания, расположенного в плане за пределами изгибаемой плиты.

21. Для задач изгиба пластин средней толщины разработан вариант МДФ, согласованный со способом двойной аппроксимации углов поворота. Получены в явном виде матрицы податливости и грузовые члены для прямоугольных и треугольных конечных элементов изгибаемой плиты средней толщины.

22. Разработан программный комплекс "КОРПУС-ЕС" для расчёта фундаментных плит, нашедший широкое применение в проектной практике.

23. На основе обобщённых жордановых преобразований предложен алгоритм формирования матриц жёсткости конечных элементов при нежёстком способе присоединения элементов к узлам. Изучены формально математические свойства обобщённых жор -дановых преобразований. Эти преобразования положены в основу построения специальной процедуры исключения внутренних степеней свободы при формировании матриц жёсткости супер -элементов - так называемой процедуры статической конденсации.

24. Разработаны новые алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений с симметрической ленточной матрицей, позволяющие оптимально использовать доступный программе ресурс памяти с целью сокращения числа обменных операций. Б варианте операционной системы, допускающей совмещение обменных операций с работой центрального процессора, минимизируются обмены, не совмещаемые с работой процессора.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Сливкер, Владимир Исаевич, 1983 год

1. Абовский Н.П., Андреев Н.И., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука,1978,287с.

2. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М.: Стройиздат, 1983, 488с.

3. Алфутов Н.А. Основы расчёта на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978, 311с.

4. Артеменко В.В. К вопросу определения минимальной ширины ленты в симметричных системах линейных алгебраических урав -нений. В кн.: ЭВМ в исследованиях и проектировании объек -тов строительства. Киев: Будивельник, 1970.

5. Барвашов В.А. К расчёту осадок грунтовых оснований, пред -ставленных различными моделями. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1977, М, с.25-27.

6. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982, 447с.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.:Наука,1969,367с.

8. Белявский Е.И., Клемперт Ю.З. Статический анализ упругих стержневых систем произвольного вида. В сб.: Алгоритмы и алгоритмические языки. М.:ВЦ АН СССР,1969,вып.4,с.95-113.

9. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983, 447 с.

10. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчёт на прочность' деталей машин. М.: Машиностроение, 1979, 702 с.

11. Блейх Ф., Мелан Е. Уравнения в конечных разностях статикисооружений. Харьков: ОНТИ, 1936, 379 с.

12. Болдычев Б.П. О решении статических и динамических задач изгиба пластины средней толщины. Известия ВНИИГ, т.120. Л.: Энергия, 1978, с. 86-93.

13. Болдычев Б.П. Двойная аппроксимация угла поворота при расчёте пластины средней толщины методом конечных элементов.- Известия ВНИИГ, т.133. Л.: ^Энергия, 1979, С.68-74.

14. Бородачев Н.М. 0 возможности замены сложных моделей упру -гого основания более простыми. Строит, механика и расчёт сооружений, 1975, СМ, с. 37-39.

15. Бусыгин В.Г. Исследование алгоритмов автоматического выбора основной системы в методе сил с учётом разреженности матриц. В кн.: Метод конечных элементов и строительная механика. Л., ЛПИ, 1979, вып.,363, с.51-54.

16. Вайнберг Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. Киев: Будивельник, 1973, 488 с.

17. Варвак П.М., Бузун И.М., Городецкий А.С., Пискунов В.Г.,

18. Толокнов Ю.Н. Метод конечных элементов. Киев: Вища школа, 1971, 174 с.

19. Велихов П.А. Влияние отверстий на распределение напряже -ний в растянутой полосе. Известия Императорского Московского инженерного училища. Часть П. Научные труды, 1907, сентябрь, вып.1, с. 11-91.

20. Виссер В. Применение криволинейного элемента смешанного типа для расчёта оболочек. В кн.: Расчёт упругих конструкций с использованием ЭВМ, т.1. Л.: Судостроение, 1974,с. 230-254.

21. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. Избранные труды, т.Ш. М.: Наука, 1964, 472 с.

22. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, I960, 491 с.

23. Вовкушевский А.В. 0 вычислении напряжений при решении задач упругости методом конечных элементов. Известия ВНИИГ, т. 133. Л.: Энергия, 1979, с. 18-22.

24. Возгрина Ж.Д., Гордеев В.Н. и др. Система ПАРАДОКС-ЕС. -- Фонд алгоритмов и программ для ЭВМ в отрасли "Строитель -ство". Инж. техн. раздел, вып. 1-223. М.: ЦНИПИАСС, 1977, 120 с.

25. Галасова К.П., Сливкер В.И. Программная система проектирования плит на упругом основании (КОРПУС-ЕС). Гос. фонд алгоритмов и программ, МОФАП-АСС, вып. У1-61. М.:ЦНИИпроект, 1982, 132 с.

26. Галасова К.П., Сливкер В.И. К вопросу о решении систем линейных алгебраических уравнений с симметричной ленточной матрицей. В кн.: Применение ЭВМ в расчётах строительных конструкций. - Труды ин-та Ленинградский Промстройпроект. Л.: 1983, С. 115-125.

27. Галган А.Б., Игнатов В.П., Куркин А.Н., Лашков Е.А., Якобсон Л.С. Подсистема ВВОД для обработки входной информации в 111111 проектирования строительных конструкций(ППП СК)на ЕС ЭВМ. Рефер. и .ф. ВДНИС, серия Ш, вып. 8. М.: 1978.

28. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967, 575 с.

29. Гильман Г.В., Лдеитриев Л.Г., Боренко B.C. Программа рас -чёта пространственных геометрически нелинейных систем (ГАММА-2). Киев: КиевЗНИИЕП, 1973, 201 с.

30. Гольденблат И.И. О развитии некоторых актуальных проблем строительной механики в СССР за 60 лет. Строит, механика и расчёт сооружений, 1982, j£6, с. 5-10.

31. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. Экономика и математические методы, 1974, т.Х, ШЗ, с. 568-591.

32. Гордон Л.А., Готлиф А.А. Статический расчёт бетонных и железобетонных гидротехнических сооружений. М.: Энергоиздат, 1982, 239 с.

33. Гордон Л.А., Корсакова Л.В. Способы уточнения метода конечных элементов применительно к задачам изгиба пластин средней толщины. Известия ВНИИГ, т.133. Л.: Энергия, 1979, с. 59-67.

34. Гордон Л.А., Скоморовский Я.Г., Фридман Е.Ш., Шойхет Б.А. Расчёт и экспериментальные исследования пластин средней толщины. Известия ВНИИГ, т.95. Л.: Энергия,1971, с.142-166.

35. Гордон Л.А., Шойхет Б.А. Об одном способе численного расчёта тонких пластин и оболочек. Известия ВНИИГ, т. 98. Л.: Энергия, 1972, с. 34-42.

36. Городецкий А.С. Оптимальное привлечение внешней памяти ЭЦВМ при решении линейных уравнений. В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. XIX. Киев: Буди -вельник, 1973, с. II6-II8.

37. Городецкий А.С. Численная реализация метода конечных элементов. В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. XX. Киев: Будивельник, 1973.

38. Городецкий А.С., Заворицкий В.И., Лантух-Лященко А.И., Рассказов А.О. Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений. М.: Транспорт, 1981, 143 с.

39. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971, 1094 с.

40. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных зна -чениях. М.: Мир, 1970, 328 с.

41. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976, 95 с.

42. Елсукова К.П., Сливкер В.И. Программа расчёта плит на упругом основании с учётом жёсткости верхнего, строения (ПУО-5). Фонд алгоритмов и программ для ЭВМ в отрасли "Строительство", вып. I-I86. М.: ЦНШШАСС, 1974, 28 с.

43. Елсукова К.П., Сливкер В.И. К расчёту изгибаемых пластин по методу конечных элементов. В кн.: Метод конечных эле -ментов и строительная механика. Л.: ЛПИ, 1974, с. 45-59.

44. Елсукова К.П., Сливкер В.И. К вопросу о совместном расчёте фундаментных плит и жёсткого верхнего строения. В кн.: Расчётно-теоретические исследования и применение ЭВМ в строительстве. - Труды ГПИ Ленпромстройпроект. Л., 1974,с. 58-70.

45. Елсукова К.П., Сливкер В.И. Некоторые особенности МКЭ при расчёте конструкций на упругом основании. В кн.: Методконечных элементов и строительная механика.Л.:ЛПИ, 1976, вып. 349, с.69-80.

46. Ефимов Ю.Н., Сапожников Л.Б., Троицкий А.П. Программа статического и динамического расчёта сооружений по методу конечных элементов для ЭВМ типа М-220. Л.: ВНИИГ им.Веденеева, 1972, 201 с.

47. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1978, 541 с.

48. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1967, 460 с.

49. Исполов Ю.Г., Сливкер В.И. Об одном эффекте, возникающем при использовании метода конечных элементов в смешанной форме.-Строит.механика и расчёт сооружений,1984,Щ,с.43-48.

50. Кандидов В.П., Чесноков С.С., Выслоух В.А. Метод конечных элементов в задачах динамики. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1980, 164 с.

51. Карпенко Н.И. Теория деформирования железобетона с трещинами. М.: Стройиздат, 1976, 208 с.

52. Клемперт Ю.З., Париков В.И., Сливкер В.И. 0 процедуре вычисления матрицы жёсткости призматического стержня.-В кн.: Расчёт пространственных конструкций,вып.ХУ1.М.:Стройиздат,1974, с. 179-189.

53. Колосова Г.С. К расчёту плит на упругом основании беско -нечной протяжённости. Известия ВНИИГ, т. 136. Л.; Энергия, 1980, с. 126-131.

54. Колосова Г.С. Об учёте неограниченной зоны основания при расчёте плит МКЭ. В кн.: Прочность и устойчивость инженерных конструкций. Барнаул, 1981, с. 13-19.

55. КоренеЕ Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971. 287 с.

56. Коробов В.М. Об использовании модели упругого основания с двумя коэффициентами постели при расчёте плит. Строит, механика и расчёт сооружений, 1976, JM, с. 47-48.

57. Коробов В.М., Сливкер В.И. К р:.ш;.нию плоской задачи тео -рем упругости для прямоугольных областей на ЭВМ. Вычислительная и организационная техника в строительстве и проектировании, вып. II-4. М.: Гипротис, 1968.

58. Коробов В.М., Сливкер В.И. Расчёт прямоугольных диафрагм методом конечных элементов. В кн.: Абрамов Н.И. и др. Механизация инженерно-строительных расчётов. Л.: Стройиздат, 1969, с. 114-123.

59. Кретов В.И., Вишневецкий А.И. 0 получении матрицы жёсткости суперэлемента. Строит, механика и расчёт сооружений, 1983, №5, с. 61-63.

60. Кукишев В.Л., Фридман В.М. Вариационно-разностный метод в теории упругих колебаний, основанный на принципе Рейсснера. Изв. АН СССР.МТТ, 1976, №5, с. II2-II9.

61. Кудряшов А.Б., Чубань В.Д., Шевченко Ю.А. Некоторые вопросы реализации метода конечного элемента на ЭВМ. Программирование, 1976, №6, с. 35-43.

62. Лебедев В.Н., Соколов А.П. Введение в систему программирования ОС ЕС. М.: Статистика, 1978, 144 с.

63. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости. М.: Гостехиздат, 1943, 287 с.

64. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. ГЛ.: Наука, 1965, 519 с.

65. Методические рекомендации по определению коэффициентов жёсткости оснований, зданий и сооружений. Киев: НИИСК,1977,32 с.

66. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.: Гостехиздат, 1952, 216 с.

67. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970, 512 с.

68. Монахенко Д.В., Галасова К.П., Сливкер В.И. Автоматизированная система расчёта и проектирования плитных фундаментов. Тезисы докладов первого отраслевого совещания по автома -тизации проектирования "САПР-83". М.: ЦНИИатоминформ, 1983, с. 84-86.

69. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980, 254 с.

70. Москаленко В.Н. К применению уточнённых теорий изгиба пластинок в задачах о собственных значениях. Инж. журнал, т. I, 1961, №3.

71. Никольский М.Д. Об уравнениях линейной теории упругости в напряжениях. В кн.: Экспериментальные и теоретические исследования по механике твёрдых деформируемых тел.

72. Л.: Сб. трудов ЛИИЖТа, 1978, с.70-74.

73. Никольский М.Д. Формы МКЭ, основанные на принципе Кастилья-но. -Строит.механика и расчёт сооружений, 1983, Щ, с. 23-28.

74. Норри Д. ,де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981, 304 с.

75. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976, 464 с.

76. Олман Д.Дж. Треугольные конечные элементы для расчёта изгибаемых пластин при постоянных и линейно распределённых изгибающих моментах. -В кн.:Расчёт упругих конструкций с использованием ЭВМ,т.I.Л.:Судостроение,1974,с.80-101.

77. Павилайнен В.Я. Расчёт оболочек в многоволновых системах. Л.: Стройиздат, 1975, 134 с.

78. Париков В.И., Сливкер В.И. Матрица жёсткости конечного элемента при нежёстком присоединении элемента к узлам. -Известия ВНИИГ,т.164,Л.:Энергия,1983,с.20-28.

79. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983, 382 с.

80. Пастернак П.Л. Основы нового метода расчёта фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. М.: Стройиздат, 1954, 55 с.

81. Перевозов С.А., Сливкер В.И. и др. Программная системаоптимального проектирования железобетонных каркасов многоэтажных промзданий АВРОРА-ЕС. Гос. фонд алгоритмов и программ (МОФАП-АСС), вып. У1-62. М.: ЦНИИпроект,1982, 158с.

82. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Особенности алгоритмизации метода перемещений при учёте дополнительных связей. В кн.: Метод конечных элементов и строительная механика. Л.: ЛПИ, 1976, вып. 349, с. 28-36.

83. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчёт упругой системы, опертой на гидродомкраты. Строит, механика и расчёт сооружений, 1979, Шу с. 65-69.

84. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. О реализации сложных кинематических условий при расчёте дискретных систем методом перемещений. В кн.: Метод конечных элементов и строительная механика. Л.: ЛПИ, 1979, вып. 363, с. 26-39.

85. Победря Б.Е. Некоторые общие теоремы механики деформируемого твёрдого тела. ПММ, 1979,т.43,вып.3,с. 531-541.

86. Полак Л.С. Вариационные принципы механики, их развитие и применение к физике. М.: Физматгиз, I960.

87. Поляк Б.Т., Третьяков Н.В. Метод штрафных оценок для за -дач на условный экстремум. IBM и МФ,1973,т.13,М,с.34-46.

88. Постнов В.А., .Дмитриев С.А., Елтыдюе Б.К., Родионов А.А. Метод суперэлементов в расчётах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979, 287 с.

89. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчётах судовых конструкций. Л.: Судостроение,1974,342с.

90. Прагер В. Вариационные принципы линейной статической теории упругости при разрывных смещениях, деформациям и напряжениях. В со. переводов "Механика", 1969, J£5(II7), с. 139-144.

91. Рабинович И.М. Случаи неопределённости и бесконечности, встречающиеся при решении статически неопределимых задач.- Изв. Моск. высшего технич. училища,1929,Щ.

92. Рабинович И.М. Курс строительной механики, т.1. М.: Строй-издат, 1950, 387 с. т. П. М.: Стройиздат, 1954, 544 с.

93. Резников Р.А. Решение задач строительной механики на ЭЦМ. Л.: Стройиздат, 1971, 311 с.

94. Резников Р.А. ВХОД язык описания исходной информации для ЭВМ, вып.2. М.: Гипротис,1972.

95. Резников Р.А., Якобсон Л.С. 0 некоторых условно-экстре -мальных алгоритмах автоматизации расчётов стержневых систем,- В кн.: Вопросы автоматизированного проектирования объектов строительства. М.: ЦНИПИАСС,1974,вып.5,с. 180-187.

96. Рекомендации по расчёту фундаментов каркасных зданий повышенной этажности. Киев: НИИСК, 1972, 40 с.

97. Рейсснер Э. 0 некоторых вариационных теоремах теории упругости. В кн.: Проблемы механики сплошной среды. М.: Изд-во АН СССР, 1961, с. 326-377.

98. Розин Л.А. Расчёт гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. Л.: Энергия, 1971, 214 с.

99. Розин Л.А. Автоматизация алгоритма метода сил в строи -тельной механике. Строит, механика и расчёт сооружений, 1976, М, с. 21-26.

100. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.:Стройиздат, 1977, 128 с.

101. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978, 223 с.

102. Розин Л.А. Развитие метода Бубнова-Галеркина в задачах строительной механики. Строит, механика и расчёт .сооружений, 1982, №6, с. 10-15.

103. Розин Л.А., Гордон Л.А. Метод конечных элементов в тео -рии пластин и оболочек. Известия ВНИИГ, т.95. Л. :Энергия, 1971, с. 85-97.

104. Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1977, 352 с.

105. Руководство по расчёту статически неопредежмых железобе -тонных конструкций (НИИЖБ). М.: Стройиздат, 1975, 193 с.

106. Сахаров А.С., Кислоокий В.Н., Киричевский В.В., Альтенбах И. Габберт У., Данкерт Ю., Кепплер X., Кочык 3.

107. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Вища школа, 1982, 479 с.

108. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979, 392 с.

109. Седов Л.И. О перспективных направлениях и задачах в механике сплошных сред. -ПММ, 1976, т.40, вып.6.

110. Серебряный Р.В. Расчёт тонких шарнирно-соединённых плит на упругом основании. М.: Госстройиздат, 1962, 63 с.

111. Синицын А.П. Метод конечных элементов в динамике сооружений. М.: Стройиздат, 1978, 231 с.

112. Сливкер В.И. Об одной смешанной вариационной постановке задач для упругих систем. -Изв.АН СССР, МТТ, 1982, М, с. 88-97.

113. Сливкер В.И. Метод двух функционалов в частотном анализе упругих систем.-Известия ВНИИГ, т.169, Л.:Энергия, 1984, с. 20-27.

114. Сливкер В.И. Смешанный вариационный принцип строительной механики, порождаемый выпуклым функционалом.-Исследованияпо теоретич.основам расчёта строит.конструкций.Л.:ЛИСИ,1983, с. II4-I2I.

115. Сливкер В.И., Елсукова К.П. К расчёту плит на упругом основании с учётом жёсткости верхнего строения. -В кн.:Рас-чётно-теоретические исследования. Сб.трудов НИИОН при ГПИ Ленинградский Промстройпроект,вып.4,Л.,1972,с.22-39.

116. Смирнов А.Ф. Об основных направлениях научных исследований в области теории и методов расчёта сооружений на оди-надцатую пятилетку. Строит.механика и расчёт сооружений, 1981, М, с. 4-9.

117. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Стержневые системы.М.:Строй-издат, 1981, 512 с.

118. Сосис П.М. Статически неопределимые системы. Киев: Буди-вельник, 1968, 311 с.

119. Стренг Г. Линейная алгебра и её применения. М.: Мир, 1980, 454 с.

120. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977, 349 с.

121. Тимошенко С.П. Курс сопротивления материалов. М.-Л.: Гостехиздат, 1932, 587 с.

122. Тонти Е. Вариационные принципы в теории упругости. В сб. переводов "Механика", 1969, №5(117), с. 124-138.

123. Угодчиков А.Г., Длугач М.И., Степанов А.Е. Решение краевых задач плоской теории упругости на цифровых и аналого -вых машинах. М.: Высшая школа, 1970, 528 с.

124. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970, 564 с.

125. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.-Л.: Физматгиз, 1963, 734 с.

126. Филин А.П., Тананайко О.Д., Чернева И.М., Шварц М.А. Алгоритмы построения разрешающих уравнений механики стержневых систем. Л.: Стройиздат, 1983, 232 с.

127. Филоненко-Бородич М.М. Некоторые приближённые теории упругого основания. Учёные записки МГУ, вып.46, механика,1940, с. 3-18.

128. Филоненко-Бородич М.М. Простейшая модель упругого осно -вания, способная распределять нагрузку. В сб. трудов МЭИИТ, вып.53. М.: Трансжелдориздат, 1945.

129. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: Физматгиз, 1959, 364 с.

130. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1. М.: Физматгиз, 1962, 607 с.

131. Фридман В.М., Чернина В,С. Видоизменение метода Бубнова--Галеркина, связанное со смешанным вариационным принципом в теории упругости. Изв. АН СССР.МТТ,1969,Щ, с.64-78.

132. Хорват Золтан. Расчё машинным путём несущих конструкций.- В сб. материалов П международного симпозиума автоматизации строительного проектирования стран СЭВ. Сопот: 1973, ноябрь.

133. Шапошников Н.Н. Исследование вопросов применения метода конечных элементов к расчёту тонкостенных пространственных конструкций. Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук. М.:МИИТ,1973, 43 с.

134. Шапошников Н.Н. Использование метода конечных элементов для решения задач теории упругости. В сб.: Расчёты на прочность, вып. 16. М.: Машиностроение, 1975.

135. Шапошников Н.Н., Тарабасов Н.Д., Петров В.В., Мяченков В.И. Расчёты машиностроительных конструкций на прочность и жёсткость. М.: Машиностроение, 1981, 333 с.

136. Adini A. and Clough Analysis of plate bending by the finite element method.-Rept. submitted on the Nat.Sci. Soundation Grant, G 7337»1960.

137. Anderheggen E. Finite element bending eguilibrium analysis.- T. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civil. Eng., 95,1969,p. 841-857.- S75

138. Cantin G. An eguation solver of very large capacity. Int. T.Numer. Meth.Eng., 1971, V.3,N3,p. 379-388.

139. Cook R.D., Shan V.N. A cost comparison of two static condensation stress recovery algorithm.- Int. T. Numer. Meth.Eng.,1978,V.12,N4,p. 581-588.

140. Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations.-Bulletin of the Amer. Math. Soc.,1943,V.49,p.1—23»

141. Gurtin M.E. Variational principles for linear elastodynamics.- Arch. Eat# Mech.Anal.,1964,N16,p. 54-50.155* Hellinger E. Der allgemeine Ansatz der Mechanik der

142. Kontinua Encyclopadie der Mathematischen Wi ssenschaften, 1914-,V.4,Part 4,p. 602-694-.

143. Herrmann L.R. Finite element bending analysis for plates.- T. Eng.Medi .Div. ,1967,3fflt5tP* 13-26.155* Ни H.C. On some variational principles in the theory of elasticity and plasticity. Scientia Simica,1955,V.4-,F1, P. 33-54.

144. Kikuchi F., Ando Y. Some finite element solutions for plate bending problems by symplied hybrid displacement method . Nucl. Eng. and Des.,23,1972,N2,p. 155-178.

145. Kirsch G. Die Theorie der Elastizitat und die Bedurfnisse der Festigkeitslehre Zeitschrift des Vereines deutscher, Ingenieure,1898,Bd.42,N29, s.797-807.

146. Louibignac G., CantinG., Touzot G. Continuous stress fields in finite element analysis. AIAA T.,1977fV.15> N11,p. 1645 - 1647.

147. Louibignac G., Touzot G. Iterative algorithm to obtain continuous stresses by finite elements method. Int. Symp. Innovative Numer. Anal. Eng. Sei.,Versailles,1977» S.1,1977,p.2/9 - 2/12.

148. Mirza F.A.,Olson M.D. The mixed finite element method in plane elasticity. Int.J.Num.Meth.Eng.,1980,V15,N2,p. 275 289.

149. Nemat Nasser S.,Horgan C.O. Variational methods for eigenvalue problems with discontinuous coefficients - Mech. Today,1980,N5,p. 365 - 376.

150. Oden J.T., Brauchli H.J.Qfi the calculations of consistent stess distributions in finite element approximations.-Int. J.Num.Meth.Eng.,1971 ,H3»P. 317 325.

151. Oden J.T., Reddy J.N. Note on an approximate method for computing consistent conjugate stresses in elastic finite elements. Int.J.Numer.Meth.Eng.,1973,V.6,N1,p. 55-61.

152. Pao Г.С. Solving large structural stiffness matrix equations in resumable segments. Comput and Struct.,1981,V.14,N3-4, p. 247 - 254.

153. Peters G., Wilkinson J.H. Eigenvalues of Ax= Bx with band symmetric A and В Compat. J.,1971,N14.

154. Pian T.H.H., Tong P; Basis of finite element methods for solid continua. Int.J.Num. Meth.Eng.,1969,V.1,p. 3-28.169» Reissner E. On a variational theorem in elasticity.- J.Math, and Rhys., 1950,V.29,N2,p. 90 95.

155. Bcharpf D.W. A new method of stress calculation in the matrix displacement analysis. Comput and Struct.,1978, V.8,N3-4,p. 465 - W.

156. Schnack E., Drumm R. Zur exakten Erfassung des Randspan-nungsvektors bei der Hybridspannungmethode. Z. angew. Math.,1982,V.62,H4,s. 167 - 170.

157. Segul W.T. Computer programs for the solution of linear algebraic equations. Int.J.Numer.Meth.Eng.,1973»V.7, N4,p. 479 - 490.

158. Striklin J.A. Integration of Area Coordinates in Matrix Structural Analysis. AIAA Journal,1968,N10,p. 2023.

159. Tong P. Exast solution of certain problems by finite element method. - AIAA Journal,1969»N1,p. 178 - 180.179* Washizu К. Variational methods in elasticity and plasticity- Pergamon Press, 1968.

160. Weinstein A* Some numerical results in intermediate problems for eigenvalues. Numerical solution of partial differential equations.N.Y. : Acad. Press, 1966, p. 167- 191.

161. Wilson E.L* , Bathe K.J., Doherty W.P. Direct solutionof large systems of linear eguations. Comput. and Struct., 1974-,V.4,N2,p. 363 - 372.

162. Yang T.Y. A finite element analysis of plates on a two parameter foundation model.Comput. and Struct.,1972^4, p. 593 614.