Экстремальные задачи для сумм типа Бора линейных операторов на пространстве ограниченных аналитических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Хамматова Диана Маратовна

• Хамматова Диана Маратовна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Хамматова Диана Маратовна

Введение

Глава 1. Неравенства Бора и Бора-Рогозинского

1.1. Аналог классической теоремы Бора

1.2. Оценка в общем случае

1.3. Оценка снизу

1.4. Радиус Бора-Рогозинского для аналитических функций

1.5. Радиус Бора-Рогозинского для оператора Чезаро

1.6. Радиус Бора-Рогозинского для класса подчинений

Глава 2. Обобщения теоремы Бора

2.1. Обобщённое неравенство Бора

2.2. Аналог неравенства Бора для свёртки

2.3. Обобщённые операторы Чезаро

2.4. Технические леммы

2.5. Улучшенное неравенство Бора со степенями

Глава 3. Неравенство Вейслера в пространствах Бергмана

3.1. Две вспомогательные леммы

3.2. Аналог неравенства Бернулли для моментов

3.3. Дополнительные замечания

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экстремальные задачи для сумм типа Бора линейных операторов на пространстве ограниченных аналитических функций»

Введение

Актуальность темы исследования. Представленная диссертация посвящена систематическому исследованию неравенств типа Бора для линейных операторов на пространстве ограниченных аналитических функций.

Одним из классических результатов теории функций комплексного переменного является знаменитая теорема Бора, сформулированная в своём первоначальном виде датским математиком Харальдом Бором ещё в 1914 году в работе [16].

Харальд Бор занимался проблемой абсолютной сходимости для ряда Дирихле В процессе исследования он пришёл к необходимости изучения соотношений между модулем степенного ряда и суммой модулей его членов

Как известно, изучение степенных рядов тесно связано с изучением аналитических функций. В частности, рассматривая такую функцию в единичном круге Ю = {г € С : | < 1}, мы можем раскладывать её в ряд в начале координат.

то

Допустим, что функция f (z) = ak zk ограничен а в D. На пространстве

к=о

таких функций можно ввести норму:

||/||то = SUp |/(Z)|.

zeD

Что в этом случае можно сказать про сумму Бора

то

Bf (z):= £ klrk, М = Г? k=0

Теорема Бора в её окончательном виде даёт следующий ответ на этот вопрос.

то

Теорема 0.1. Пусть функция f (z) = ^ akzk ограничена и аналитична в D.

к=о

Тогда выполняется неравенство

то -

lrk < If ||то при всех таких z, что |z| = г < -, (1)

3

к=о

причём константа 3 не может быть улучшена.

Стоит отметить, что сам Бор в 1914 году доказал неравенство (1) только для г < 6- Точный результат, приведённый выше, был получен независимо Риссом, Шуром и Винером позже. Впоследствии были получены и другие доказательства этой теоремы (см., например, [54, 55, 63]). Константа | называется радиусом Бора.

Теорема Бора и связанные с ней результаты имеют большое значение для решения широкого круга задач, возникающих в геометрической теории функций. Геометрическая теория функций, в свою очередь, является значимым разделом современной математики, включающим в себя большое количество результатов как прикладного, так и теоретического характера. Многие теоремы этой теории стали классическими, их характерной особенностью является элегантность и простота формулировок.

Большой вклад в развитие геометрической теории функций внёс известный математик Г. М. Голузин. Множество красивых результатов, полученных Голузиным, можно найти в его монографии "Геометрическая теория функций комплексного переменного" [? ].

Исследования в этой области были продолжены и существенно дополнены такими учёными, как Н. А. Лебедев и И. М. Милин. Лебедеву и его ученикам принадлежит ряд результатов, связывающих геометрическую теорию функций с другими разделами математики (см. [? ], [? ]). В частности, некоторые результаты Лебедева и Милина были использованы Л. Де Бринжом при доказательстве гипотезы Бибербаха [25].

Среди известных математиков, внесших большой вклад в развитие теории, можно назвать также Ф.Г. Авхадиева, Л.А. Аксентьева, В. Н. Дубинина, М. В. Келдыша, М. А. Лаврентъева, Н. Г. Макарова, С.Р. Насырова, И. И. Привалова, Д.В. Прохорова, А. Ю. Солынина и многих других.

В последние годы появилось большое количество работ, тем или иным об-

разом связанных с теоремой Бора. Интерес к этой тематике существенно возрос после статьи П. Г. Диксона [27], который показал связь между неравенством Бора и банахововыми алгебрами, удовлетворяющими неравенству фон Неймана. В этом контексте теория получила своё развитие в работах [14], [26] и [54].

Этой тематикой также занимались такие крупные математики как Э. Бом-бьери и Ж. Бургейн. Бомбьери ещё в 1962 году [17] оценил сумму Бора для некоторых значений г, а в 2004 году Бомбьери и Бургейн в совместной статье [18] получили красивые результаты для асимптотического случая.

Существует много различных результатов, имеющих отношение к неравенству Бора, но отличающихся друг от друга постановкой задачи, методами и целями исследования. Можно рассматривать неравенства подобного типа для различных классов функций или пытаться получить обобщения. Некоторые из таких результатов можно найти в статьях [8, 12, 39-41, 54] и обзорах [3, 31]. Также стоит обратить внимание на монографию Г. Кресина и В. Мазьи [45], в шестой главе которой доказывается ряд интересных оценок типа Бора, а также приводится много ссылок на другие известные результаты по той же тематике.

Среди недавних работ стоит отметить статьи [9-11, 35, 49-51, 56, 57].

Известны также неравенства типа Бора в многомерных пространствах. Исследования по этой теме можно найти в работах Л. Айзенберга, X. Боаса, Д. Хавинсона и их соавторов [4-6, 15].

Изучением неравенств типа Бора для гармонических отображений занимались такие математики, как Ю. Абу-Муханна, И. Р. Каюмов, С. Поннусами, Н. Шакиров, С. Евдоридис, А. Расила и С. Алхалифах [1, 9, 11, 30, 43].

Исследования в этом направлении относятся как к геометрической теории функций, так и к теории экстремальных задач аналитических функций и имеют большое значение во многих смежных областях математики.

Одной из интересных задач, связанных с неравенством Бора, является изу-

чение и оценка величины

( Л В1 (*)

т(г) = вир -гг^ут—.

\г\=г ||/Нто

Теорема Бора даёт ответ только для г < |. Что можно сказать про другие значения Э. Бомбьери [17] в 1962 году доказал, что

, , 3 — л/8(1 - г2) . . г

т(г) =--- для 1/3 < г < 1/л/2.

Другое доказательство этой формулы можно найти в [42]. Для г > — задача оказалась намного более сложной. В первую очередь, можно применить неравенство Коши-Буняковского и получить оценку

/то \1/2 / \ 1/2 и ^ и

в,(г) < т«,|2 Е н <

\к=0 / \к=0 )

л/1—г2'

Оказалось, что это неравенство является строгим, то есть, что для г > 1/л/2 имеет место оценка т(г) < —==• Этот результат можно найти в статье Э. Бомбьери и Ж. Бургейна [18], причём доказательство достаточно нетривиально.

В этой же статье авторам удалось получить также и оценку снизу. Они показали, что для любого £ > 0 существует константа с = с(е) > 0, такая, что

1 \ 3/2+е

ь(г) > (1 - г2)~1/2 - (с

т(г) > (1 - г2) 1/2 - (с log- I г ^ 1.

1 - г

Поведение функции т(г) при г ^ 1 исследовали также П.Б. Дьяков и М.С. Рамануджан в работе [28].

Возьмём функцию f (z) = Ето=0anZn, голоморфную вВ,и применим к ней оператор Чезаро С. Этот оператор был описан в статье [33] и подробно изучен в [20, 62]. Он действует следующим образом:

то / п \

V(*) := Е Е Ч

п=о\ п +1 к=о J

или, в интегральной форме,

1

о

Пусть оператор Чезаро С действует на классе Б всех голоморфыых в Р функций /, таких, что | f(z)| < 1 в Р. Тогда для него можно определить аналог суммы Бора:

то / п \

С>М :- Е Е ^О

п=0\П +1 к=0 )

В настоящей диссертации доказан аналог теоремы Бора для оператора Чезаро, а также представлены оценки аналога суммы Бора для этого оператора при любых значениях г < 1. Эти результаты являются аналогами оценок Бом-бьери и Бургейна. В частности, их статья послужила важной отправной точкой при доказательстве нижней оценки.

N-1

(г) .

к=0

Известна теорема (см. [59], а также [48, 61]).

Теорема 0.2. Пусть /(х) — ^ТО=0ак%к Е Б. Тогда для любого N > 1 неравенство

^( *)1 < 1

выполняется при < 2, причём константа 2 не может быть улучшена.

Указанная константа 2 называется радиусом Рогозинского. В статье [7] этот результат был обобщен на многомерные степенные ряды в полных областях Рейнхарта с той же константой г — 2.

Применим к частным суммам (г) тривиальную оценку

(*)| —

00

¡(г) аьгк

к=М

то

<|¡(г)1 + £ |а* 1гк —:Я1М(г), ^ — г.

к=М

Можно поставить вопрос так: при каких значениях ^ величина Я^(х) не будет превышать единицы? Очевидно, множество таких значений будет кругом некоторого радиуса. По аналогии с радиусом Бора будем называть эту величину радиусом Бора-Рогозинского, а сумму (г) - суммой Бора-Рогозинского.

Для оператора Чезаро С аналогом суммы Бора-Рогозинского будет величина

то

1с / и| + ^ а 1фк (г), (з)

к=М

то

где фк(г) — - ^

1 V"4 гп+1

г п+1 ' п=к

Неравенство Бора-Рогозинского можно записать в другом виде:

то

Ьк|гк < 1 -|д(г)1 — ¿Щд(г),дР)

к=М

для соответствующих значений г — Таким образом, можно обобщить понятие радиуса Бора-Рогозинского в терминах расстояния до границы образа.

Пусть ф(х) - две аналитические в Р функции. Говорят, что функция

ф подчинена (см. [29? ]) функции /, если существует функция п Е Б, такая, что п(0) — 0 и ф(х) — /(п(х)) для ^ Е Р. При этом пишут ф -< Известно ([29]), что если при этом / однолистна в Ю, то

ф ^ ¡(0) — ф(0)иф(Щ с ¡-(Щ.

Результаты, связанные с подчинением и более общим понятием квазиподчинения в контексте теоремы Бора, а также некоторые классические теоремы можно найти в статьях [1, 2, 10, 13, 52, 58, 60].

Для данной аналитической и однолистной в ©функции / введём обозначение $(/) — {д : д -< /} и О — /(Р).

В статье [1] был доказан аналог теоремы Бора для функций из класса $(/)

Аналог неравенства Бора-Рогозинского для класса подчинений $(/) вы-

глядит так. Для любого д € Б(/) неравенство

то

1д(*)| + £ 1Ък 1гк < И(0)| + (0),дП) (4)

к=М

выполняется при г < г^, где г^ € (0,1] - некоторое число.

В представленной диссертации значительное внимание уделяется вычислению радиуса Бора-Рогозинского для функций из класса В7 а также получению аналогичного результата для оператора Чезаро. Рассмотрены разные постановки задачи. Также получен радиус Бора-Рогозинского для класса подчинений.

Существуют различные подходы к обобщению неравенства Бора. Одним из наиболее естественных путей является замена функций гк в классической

то

сумме Бора ^ на функции более общего вида^(г). В этом случае задачу к=0

можно поставить так: при каких значениях г выполняется неравенство

то

|ао|Ыг) + Е 1ак 1^к(г) < Ро(г)? к=1

Для дополнительного обобщения вместо | а01 можно рассматривать |а0|р, где р € (0, 2]. Ответ на этот вопрос с некоторыми дополнительными условиями па функции ^(г) получен в данной диссертации.

Полученный результат имеет очевидную значимость, поскольку с его помощью можно получать как уже известные неравенства, так и новые. Соответствующая теорема предлагает общий метод решения задачи получения аналогов теоремы Бора для линейных операторов. Классический результат Бора следует из неё при ^= р = 1.

Также с помощью доказанной теоремы можно получить аналоги неравенства Бора для операторов свёртки и так называемых обобщённых операторов Чезаро Са (в том числе, для классического оператора Чезаро, приведённого ранее). Подробно речь об этом пойдёт ниже.

Другой способ обобщения теоремы Бора состоит в изучении величины

то

В^(г):= ^ к 1Ргк, Р € (0, 2]. к=0

Очевидно, что это обобщение: при р = 1 получаем сумму Бора. Известно, что для р Е (0, 2) и / Е В

/ 1 V-2 В>> (") ~ {—■) , 1

Этот результат получили П.Б. Дьяков и М.С. Рамануджан в 2000 году [28]. Знак здесь означает существование верхней и нижней оценок с конечными константами. Обозначим

Вр(г) = зирВ? (г).

!еВ

В 2019 году И.Р. Каюмов и С. Поннусами [42] получили следующий результат.

Теорема 0.3. Пусть ¡(х) = ^акгк Е В, р Е (0, 2]. Тогда

{г(1 _ а2)р л

ар + —-- } , 0 <г< 22

1 - гаР) ~ ~

£-1

О -1-

аЕ[0,1] [ 1 — ГОР

и

/ 1 \ 1-2

Вр(г) < -, 2§-1 < г < 1.

\1 _ Г2-Р;

При этом стоит отметить, что при р > 2 и г < 1 имеем Вр(г) = 1, так что этот случай не представляет интереса и рассматриваться не будет.

Как известно, константа | в теореме Бора не может быть улучшена. Тем не менее, есть возможность уточнить неравенство, добавляя в него дополнительные слагаемые.

Для г Е (0,1) обозначим через Зг площадь римановой поверхности функции /-1, определённой на образе круга < г при отображении / Е В. Если г = 0, положим Зг = 0.

И.Р. Каюмов и С. Поннусами в 2018 году [41] доказали теорему:

Теорема 0.4. Пусть /(г) = ^акгк Е В. Тогда,

±Ыг" + 11 (|) < 1, 0<г<3,

к=0

и

причём числа и 16 не могут, быть улучшены. Более того,

00

Ы2 + £ к|г* + 8 С< 1, 0 < г < 1,

к=1 ^ '

причём числа, также не могут быть улучшены.

Исследования в этом направлении были продолжены в 2020 году А.А Пс-магиловым, И.Р. Каюмовым и С. Поннусами [35]. В этой статье авторам удалось

■к

добавить в левую часть ещё одно слагаемое, содержащее )2, а также, пока-

зать, что больше никаких положительных слагаемых добавлять нельзя.

Результат, полученный в результате текущего исследования, объединяет две описанные группы теорем. Рассматривается вопрос, можно ли добавлять аналогичным образом дополнительные слагаемые к сумме Вр(г) и каким при

с

этом будет коэффициент при

До сих пор мы рассматривали функции /, голоморфные и ограниченные в единичном круге Ю Перейдём теперь в пространство Харди Нр. Это пространство состоит из всех таких функций /, голоморфных в Ю, что ||/\\нр < го.

Здесь ||/||#р - величина, которая для 0 < р < го и функции / € Нр задаётся формулой

/ 2-к \ р

II/\\нр := «пр ( 2- [ц(геш)Г¿в 0<г<М 2к J

а при р = го

|/\\Нр = впр |/(^)|. |г|<1

При р > 1 эта величина будет являться нормой в пространстве Нр. Введём обозначение /г(г) = /(гх). Пусть Нр и Н4 - пространства Харди, 0 < р < д. Ф. Б. Вейслер [65] в 1980 году доказал, что для любой / € Нр

||/г ||#? < II/||яр ^^ Г < А - < 1.

V д

При р = 2 неравенство Вейслера можно считать интегральным аналогом неравенства Бора.

Говорят, что функция /, аналитическая в единичном круге Ю, лежит в весовом пространстве Бергмана Ар(и))7 если

ИЛим := I \¡(г)\рп(\г\)йг I < то. V ю !

Здесь п - интегрируемая, неотрицательная на [0,1) функция, которую называют весом Бергмана.

Подробное изложение теории пространств Бергмана можно найти, например, в монографии X. Хеденмальма и его соавторов [34].

Определим моменты веса п как

1

,„, = / ш > 0

о

Для удобства будем считать дальше, что Н0 = 1.

Наиболее часто рассматривают веса вида па(г) = 2(а — 1)(1 — г2)а—2, где а > 1. Пространства с такими весами мы будем обозначать Ара.

а'

œ

Известно, что для f(z) = ^ anzn G H1 выполняется неравенство Карле-

п=о

мана [22]:

1 ап\ 1 ^ II £\\

< wjwh1 .

п + 1

\П=оП + 1)

Легко увидеть, что отсюда следует неравенство ||/||^2 < Ц/Цнь что, в свою очередь, даёт

\\ Д а? <и\\нр, 0 <Р< ж.

Неравенство Карлемана является частным случаем классического неравенства Харди-Литтлвуда [32]. А именно, для функций из пространства Харди^, 0 < р < 2 выполняется неравенство

I |2

У^ \а'п\ < п II / 112

(п +1)2/р—1 <при\нр ■

п=0 ^ '

В статье [24] была выдвинута следующая гипотеза, уточняющая это неравенство.

то

Гипотеза 0.5. Пусть f(z) = Y1 апгп £ Нр, 0 < р < 2. Тогда

п=0 i

,2 ^ 2 ап I

I ^ГО 1 ап|2 I

^ {п)) <\\ЛЫ, с, (п) = С^_, (5)

В 1987 Я. Бурбеа [21] доказал эту гипотезу дляр = |, к Е N. Позже были получены результаты, доказывающие гипотезу для нескольких первых коэффициентов ([19, 46]). Окончательное доказательство гипотезы было получено А. Куликовым в 2022 году в работе [47].

Можно заметить, что слева в (5) стоит величина ||/\\^2 . Значит, для к > 1

2/р

выполняется неравенство

\\ Йаркк < \\ Йнр, 0 <р < ж.

Различные неравенства подобного типа, связывающие пространства Харди и пространства Бергмана, были получены в статьях [23, 24].

В 2019 году в работе [23] был доказан аналог неравенства Вейслера в пространствах Бергмана для некоторых значений а.

Теорема 0.6. Пусть 0 < р < q < ж и а = в+г для некоторого п Е N. Тогда,

и и и и 1~Р

\\Л\\ач < \\л\а£ для всех / Е аа ^^ г<>-< 1.

Можно предположить, что и для произвольных весов п при г = — должно выполняться неравенство \\ /г \\а2ч (т) < ЦЛ^^)? т° есть

1

1 2- 2q ( ^ 1 2-

2W j f^) 2pw(P)dedp < i jlf(pew)i2pw(p)dedp j . (6)

) pw(p)dвб.р < ( ^ I /|¡(ре:9)|2pw(p)dвdp 0 0'"' \ 0 0 )

Для того чтобы проверить эту гипотезу, можно рассмотреть функцию, не обращающуюся в нуль на Ю Для таких функций можно записать |/(г)\2(1 = |/ч^)\2, выполнить разложение в ряд, воспользоваться равенством Парсеваля и сравнить коэффициенты в левой и правой частях неравенства (6).

Такой функцией является, к примеру /(г) = ег. Для неё неравенство (6) равносильно неравенству

Являясь частным случаем, оно также представляет самостоятельный интерес, поскольку на него можно смотреть как на обобщение неравенства Вернул л и для моментов.

При исследовании неравенства (7) неожиданно выяснилось, что выдвинутая гипотеза неверна, то есть, что существует такой вес п и такое значение д, что неравенство (6) не выполняется при г = -д.

В настоящей диссертации приводятся некоторые достаточные условия на моменты, при которых неравенство (7) верно, а также приводится конкретный пример веса, при котором невыполнение этих условий влечёт за собой невыполнение неравенства (7).

Цели и задачи диссертационной работы.

• Получение аналога теоремы Бора для оператора Чезаро, а также исследование асимптотического поведения суммы Бора для этого оператора.

• Нахождение радиуса Бора-Рогозинского для аналитических в единичном круге функций, оператора Чезаро и класса подчинений.

• Обобщение теоремы Бора и применение полученных результатов к оператору свёртки и обобщённым операторам Чезаро.

• Доказательство аналога неравенства Бора для суммы Бора с коэффициентами, возведёнными в степень, при добавлении дополнительного слагаемого.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно. Результаты первой главы и первых трёх

параграфов второй главы получены и опубликованы в соавторстве с И.Р. Каю-мовым и С. Поннусами. При проведении исследования И.Р. Каюмову и С. Пон-нусами принадлежат постановки задач и выбор метода исследования.

Результаты, связанные с неравенством Вейслера, получены совместно с И.Р. Каюмовым, А.Д. Барановым. Постановка задач и метод исследования принадлежат И.Р. Каюмову и А.Д. Баранову. Доказательство теорем было выполнено автором самостоятельно.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании линейных операторов, действующих на пространстве ограниченных аналитических функций. Некоторые из доказанных теорем являются существенным обобщением классических результатов и позволяют получать много новых результатов как следствие из них.

Методы исследования. В диссертации использовались методы геометрической теории функций комплексного переменного. При получении нижних оценок был использован метод, разработанный Бомбьери и Бургейном для построения ультраплоских многочленов.

Для проверки полученных результатов, обеспечения точности вычислений и проведения численных экспериментов был использован пакет компьютерной алгебры "Wolfram Mathematical

Положения, выносимые на защиту:

• Получен аналог теоремы Бора для оператора Чезаро, установлены верхняя и нижняя оценки суммы Бора в асимптотическом случае.

• Получены радиусы Бора-Рогозинского для аналитических и ограниченных в единичном круге функций, для оператора Чезаро и для класса подчинений.

• Разработан общий метод получения аналогов теоремы Бора для линейных операторов.

• Получен аналог неравенства Бора для суммы Бора с коэффициентами, возведёнными в степень, при добавлении дополнительного слагаемого.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1) XIV Международная Казанская школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы - 2019», 7-12 сентября 2019 г., г. Казань.

2) XVIII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2019», 25-30 ноября 2019 г., г. Казань.

3) St. Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis, 28 сентября - 1 октября 2020 г., г. Санкт-Петербург.

4) Международная научная конференция «Уфимская осенняя математическая школа - 2020», 11-14 ноября 2020 г., г. Уфа.

5) XIX Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чте-ния-2020», 1-4 декабря 2020 г., г. Казань.

6) Международная научная конференция «Уфимская осенняя математическая школа - 2022», 28 сентября - 1 октября 2022 г., г. Уфа

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в 12 печатных работах, из них 4 статьи [36-38, 44] опубликованы в рецензируемых журналах, входящих в список ВАК РФ или приравненных к ним, а также в изданиях, индексируемых в базах данных Web of Science и Scopus, 8 работ опубликованы в сборниках трудов конференций как тезисы докладов [????????].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в опубликованные работы. И. Р. Каюмову, С. Поннусамп и А. Д. Баранову в совместных публикациях принадлежат постановки задач и указание метода исследования.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 91 страницы. Библиография включает 77 наименований.

Содержание работы

Во введении приводится краткая история исследований и обзор имеющихся задач, связанных с неравенством Бора. Формулируется ряд классических результатов, обосновывается научная новизна и значимость проделанной работы. Также в этом разделе обозначены цели исследования, определена методология и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена изучению поведения сумм типа Бора и Бора-Рогозинского для оператора Чезаро

то / п \

Vм = Е Е«Фп

п=о\а + k=0 J

В разделе 1.1 доказана оценка этого оператора.

Утверждение 1.1.1. Для любых z, таких, что |z| = г £ [0,f £ Б выполняется неравенство

1Сf (z)l< -log 1

г 1 — г

Основным результатом этого раздела является следующая теорема, являющаяся аналогом теоремы Бора для операторов Чезаро.

Теорема 1.1.2. Пусть f £ Б и f(z) = J2TO=0anzn- Тогда,

Cf (г) < -log 1

1

для г < R, где R = 0.5335... - положительный корень уравнения

1

2х = 3(1 — х) log .

1 — х

R

В разделе 1.2 изучается поведение аналога суммы Бора для оператора Чезаро при всех значениях г. В частности, интерес представляет случай г — 1. Доказана оценка сверху, верная для всех г Е [0,1).

Теорема 1.2.1. Пусть f Е В и f(z) = ап%п■ Тогда, для, г Е [0,1) выполняется неравен,cm,во

1 /1 + г

Cf(г) < -у log(1 + г) + log(1 — г).

Чтобы понять, насколько точна эта оценка, необходимо построить пример, дающий оценку снизу. Такой пример приведён в разделе 1.3. Построена функция f Е В, для которой

1.13808... ,

Cf(r) —, чч л-~-я- при г — 1.

(а + 1)v1 — r v1 — г

Переходим к изучению радиуса Бора-Рогозинского. В разделе 1.4 доказаВ

Бора.

Теорема 1.4.1. Пусть f Е В и f(z) = J2то=0 akzk■ Тогда для всех m,N Е N

то

I№m)I + ^ kkk < 1 для Г < Rm,N,

k=N

где |z| = г Е (0,1)7 a Rm,N - минимальный положительный корень уравнения

фm,N(г) := 2rN(1 + rm) — (1 — r)(1 — rm) = 0, причём радиус Rm,N не может быть улучшен. При, этом

lim Rm,N = 1 и lim Rm,N = An ,

N^to m—

где Ам - минимальный положительный корень уравнения 2гм = 1 — г.

Вторая теорема соответствует другому классическому результату, где в сумме Бора модуль нулевого коэффициента возводится в квадрат. Доказана

Теорема 1.4.3. Пусть / е В и /(г) = ^ТО=0 акгк. Тогда, для всех т, N е N

то

|дт2 + Е а 1гк < 1 ^я ,

к=М

где = г е (0,а Я'тм - минимальный положительный корень уравнения

гм (1+ гт) — (1 — г)(1 — гт) = 0, причём радиус К'т м не может быть улучшен. При, этом

Ит Я'тд = 1 и 11т Я'т^ = Ам,

м^то т^то '

где А'м - минимальный положительный корень уравнения = 1 — г.

В разделе 1.5 мы возвращаемся к оператору Чезаро и доказываем для него упрощённые аналоги теорем 1.4.1 и 1.4.3.

Теорема 1.5.1. Пусть /(г) = ^ТО=0ак%к аналитична в |/(г) < 1 в Ю7 фм(г) определены равенством

г

Фк(г) ■= 1 —

г ] 1 — х 0

Тогда,

то 11

Iе¡(¿)1 + Е 1акIФк(г) < -для г<рм,

к=м г г

где = г, Рм - минимальный положительный корень уравненияфм(г) = 07

фм(г) = —(1 — г) ^(1 +г)+ 2гм+1 — (1 — г)фм(г).

Радиус Рм является наилучшим.

Теорема 1.5.2. Пусть f(z) = ^^=0akzk аналитична, в D If(z)I < 1 6 D фN(г) определены равенством

г

г) := - —— dx. г 1-х

Тогда

11

f(z)I2 + Y1 IakФ(г) < ^ log2 — при v<P'n,

k= N 1 —

где |z| = г, P'n - минимальный положительный корень уравнения^ N(г) = 07

1 1 rN

^N(Г) = — ^ log(1 + Г) log + — NфN(Г).

Радиус P'n является наилучшим.

Полным аналогом теоремы 1.4.1 будет следующий результат.

Теорема 1.5.3. Пусть f(z) = ^^=0akzk аналитична в D If(z)I < 1 6 D фN(г) определены равенством

г

Фk(г) := 1 / —dx.

г J 1 — х 0

m, N Е N

11

/( OI + Х) |ak|фл(0 < ^ log^1^ n'PU r<Pm,N, k= N 1 —

где |z| = г, Pm,N - минимальный положительный корень уравнения

— (1 — г) log (1 + rm) + 2rm (rN — NфN(r)(1 — r)) = 0.

Радиус Pm,N не может быть улучшен. Более того,

lim Pm,N =1 и lim Pm,N = Bn ,

где BN - минимальный положительный корень уравнения

2 N

= 2 NфN (г) + 1.

1

Раздел 1.6 содержит результаты, связанные с классом подчинений для заданной функции, описанным выше. Для него верна следующая теорема

Теорема 1.6.1. Пусть функции fug аналитичны в единичном круге D f однолистна в D f(D) = Q и g Е S(f). Тогда для всех m,N Е N неравенство

то

|g(zm)l + ^ |bklrk < If(0)l + dist(f(0),rn)

k=N

выполняется для |z| = r < rJmN, где rmN минимальный положительный корень уравнения

f Л —rm\2

4rm - (1 - rm)2 + 4rN (N(1 - O+Of1-^ ) =0.

Значение 7m N достигается для функции Кебе f(z) = z/(1 - z)'2. этот результат можно улучшить.

Теорема 1.6.3. Пусть функции, fug аналитичны в единичном круге D f однолистна и выпукла в D f(D) = Q и g Е S(f). Тогда, для всех m,N Е N неравенство

то

Ig(zm)I + £ |bkIrk < If(0)I + dist(f(0),df (D))

k=N

выполняется, для г < pm N, где pm N ~ минимальный положительный корень уравнения

3rm - 1 + 2rN ( —— ) = 0.

(1 - rm\

(^T—7)

1 — г

Значение достигается для выпуклой функции, f(z) = z/(l — г).

В главе 2 изучаются разные способы обобщения неравенства Бора. Основная цель раздела 2.1 - обобщение неравенства Бора путём замены в соответствующей сумме функций гп на функции более общего вида. При

этом, как можно было ожидать, возникают некоторые условия на эти функции. Справедлива

Теорема 2.1.1. Пусть {(к(т)}ТО=0 _ последовательность неотрицательных

то

непрерывных функций на интервале [0,1), таких, что ряд ^ (к(г) сходится

к=0

локально равномерно наг Е [0,1).

Пусть Я - минимальный положительный корень уравнения

2 то

(0(х) = (х). р к=1

Тогда, если неравенство

2 то

(0(Г) > (г)

Р к=1

выполняется для г Е [0, К), то для функции /(г) = ^<ТОТО=0акхк Е В и числа рЕ (0, 2] выполняется

то

В1 ((,Р, г) := 1ао1Р(о(г) + ^ |«к|(к(г) < (о(г) <?лл есеж г < Я.

к=1

Если на некотором интервале (Я, Я + е) верно (0(х) < (2/р)^2 ТО=1 (к (х)> то число Я не может быть улучшено.

В случае, когда функции, (к(х) (к > 0) являются гладки,м,и, последнее условие эквивалентно неравенству

2то

(0(Я) <"Е(к(Я). р к=1

Из этой теоремы можно вывести много интересных результатов. В частности, в разделе 2.2 рассматривается операция свёртки

то

(/ * д)(г) = ^афкхк, х Е В

к=0

произвольной функции / Е В и гипергеометрической функции Гаусса

(а)к (Ь) }

то

к ( а) к( )

Р(г) = А^ , 1к

к=0 ( ) к(1) к

где а,Ь,с- комплексные числа, с = —т7 т = 0,1, 2,..., а (а)к - символ Похгам-мера

(а)к : = а(а + 1) ••• (а + к — 1) = , к е N.

г(а)

Из теоремы 2.1.1 выводится следующий результат.

Теорема 2.2.1. Пусть /(г) = ^к=0 акгк е Б ир е (0, 2]. Пусть 7к заданы, равенством

ж

Р (г) = ^ Ъгк, 1к

„ (а)к (Ь)к

к=о (с)к(1)к ,

причём функция Р такова, что а,Ь,с> — 1 и 7к имеют одинаковый знак при, к > 0. Тогда

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хамматова Диана Маратовна, 2023 год

Список литературы

1. Abu-Muhanna, Y. Bohr phenomenon in subordination and bounded harmonic classes / Y. Abu-Muhanna // Complex Var. Elliptic Equ.— 2010.^ Vol. 55, n0. n._ Pp. 1071-1078.

2. Ahu-Muhanna, Y. Bohr radius for subordinating families of analytic functions and bounded harmonic mappings / Y. Abu-Muhanna, R. M. Ali, Z. C. N. S. F. Hasni //J. Math. Anal. Appl. - 2014. - Vol. 420, no. 1. - Pp. 124-136.

3. Ahu-Muhanna, Y. On the Bohr inequality / Y. Abu-Muhanna, R. M. Ali, S. Pon-nusamy; Ed. by N. G. et al. — In "Progress in approximation theory and applicable complex analysis" Springer optimization and its applications, 2016. — Vol. 117.-pp. 265-295.

4. Aizenberg, L. Multidimensional analogues of Bohr's theorem on power series / L. Aizenberg // Proc. Amer. Math. Soc. 2000.^ Vol. 128, no. 4.— Pp. 1147-1155.

5. Aizenberg, L. Generalization of Caratheodory's inequality and the Bohr radius for multidimensional power series / L. Aizenberg // Oper. Theory: Adv. Appl. 2005. - Vol. 158. - Pp. 87-94.

6. Aizenberg, L. Generalization of a theorem of Bohr for basis in spaces of holo-morphic functions of several complex variables / L. Aizenberg, A. Aytuna, P. Djakov // J. Math. Anal. Appl. - 2001. - Vol. 258, no. 2. - Pp. 429-447.

7. Aizenberg, L. On the Rogosinski radius for holomorphic mappings and some of its applications / L. Aizenberg, M. Elin, D. Shoikhet // Studia Math. — 2005. — Vol. 168, no. 2. — Pp. 147-158.

8. Ali, R. M. A note on the Bohr's phenomenon for power series / R. M. Ali, R. W. Barnard, A. Y. Solynin //J. Math. Anal. Appl.- 2017. Vol. 449, no. 1. Pp. 154-167.

9. Alkhaleefah, S. A. Bohr phenomenon for special family of analytic functions and harmonic mappings / S. A. Alkhaleefah // Problemy Analiza - Issues of

Analysis. - 2020. - Vol. 9, no. 3. - Pp. 3-13.

10. Alkhaleefah, S. A. On the Bohr inequality with a fixed zero coefficient / S. A. Alkhaleefah, I. R. Kayumov, S. Ponnusamy // Proc. Amer. Math. Soc. 2019. — Vol. 147, no. 12. — Pp. 5263-5274.

11. Alkhaleefah, S. A. Bohr-Rogosinski inequalities for bounded analytic functions / S. A. Alkhaleefah, I. R. Kayumov, S. Ponnusamy // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2020. - Vol. 41, no. 11. - Pp. 2110-2119.

12. Beneteau, C. Remarks on the Bohr phenomenon / C. Beneteau, A. Dahlner, D. Khavinson // Comput. Methods Fund. Theory. — 2004. Vol. 4, no. 1.— Pp. 1-19.

13. Bhowmik, B. Bohr phenomenon for subordinating families of certain univalent functions / B. Bhowmik, N. Das // J. Math. Anal. Appl— 2018.^ Vol. 462, no_ 2. — Pp. 1087-1098.

14. Blasco, O. The Bohr radius of a Banach space / O. Blasco // In Vector measures, integration and related topics, Birkhauser Verlag, Basel — 2010.^ Vol. 201. — Pp. 59-64.

15. Boas, H. P. Bohr's power series theorem in several variables / H. P. Boas, D. Khavinson // Proc. Amer. Math. Soc. 1997.^ Vol. 125, no. 10.— Pp. 2975-2979.

16. Bohr, H. A theorem concerning power series / H. Bohr // Proc. London Math. Soc. _ 1914. _ v0i. 13. no. 2. - Pp. 1-5.

17. Bombieri, E. Sopra un teorema di H. Bohr e G. Ricci sulle funzioni maggioranti delle serie di potenze / E. Bombieri // Boll. Un. Mat. Ital. — 1962. — Vol. 17, no. 3. — Pp. 276-282.

18. Bombieri, E. A remark on Bohr's inequality / E. Bombieri, J. Bourgain // Int. Math. Res. Not. - 2004. - Vol. 80. - Pp. 4307-4330.

19. Bondarenko, A. An inequality of Hardy-Littlewood type for Dirichlet polynomials / A. Bondarenko, W. Heap, K. Seip // J. Number Theory. — 2015. — Vol. 150. — Pp. 191-205.

20. Boundedness of generalized Cesâro averaging operators on certain function spaces / M. Agrawal, P. Howlett, S. Lucas et al. //J. Com pu t. Appl. Math. 2005. - Vol. 180. - Pp. 333-344.

21. Burbea, J. Sharp inequalities for holomorphic functions / J. Burbea // Illinois J. Math. - 1987. - Vol. 31, no. 2. - Pp. 248-264.

22. Carleman, T. Zur Theorie der Minimal achen / T. Carleman // Math. Z. — 1921. - Vol. 9, no. 1-2. - Pp. 154-160.

23. Contractive inequalities for Bergman spaces and multiplicative Hankel forms / F. Bayart, O. Brevig, A. Haimi et al. // Trans. Amer. Math. Soc. 2019.— Vol. 371, no. 1.- Pp. 681-707.

24. Contractive inequalities for Hardy spaces / O. Brevig, J. Ortega-Cerdà, K. Seip, J. Zhao // Fund. Approx. Comment. Math. 2018.— Vol. 59, no. 41.— Pp. 41-56.

25. de Branges, L. A proof of the Bieberbach conjecture / L. de Branges // Acta math. - 1985. - Vol. 154. - Pp. 137-152.

26. Défaut, A. Bohr's power series theorem and local Banach space theory / A. Defant, D. G. a, M. Maestre // J. Reine. Ange. Math.- 2003,- Vol. 557. ^ Pp. 173-197.

27. Dixon, P. G. Banach algebra satisfying the non-unital von Neumann inequality / P. G. Dixon // Bull. Lond. Math. Soc.- 1995.- Vol. 27, no. 4.

28. Djakov, P. B. A remark on Bohr's theorems and its generalizations / P. B. Djakov, M. S. Ramanujan //J. Analysis. - 2000. - Vol. 8. - Pp. 65-77.

29. Duren, P. Univalent Functions / P. Duren. — Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 259, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo: Springer-Verlag, 1983.

30. Evdoridis, S. Improved Bohr's inequality for locally univalent harmonic mappings / S. Evdoridis, S. Ponnusamy, A. Rasila // Indag. Math. (N.S.). — 2019. — Vol. 30. _ Pp. 201-213.

31. Garcia, S. R. Finite Blaschke products and their connections / S. R. Gar-

cia, J. Mashreghi, W. T. Ross.^ Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland: Springer International Publishing AG, part of Springer Nature, 2018.

32. Hardy, G. H. Some new properties of fourier constants / G. H. Hardy, J. E. Lit-tlewood // Math. Ann. - 1927. - Vol. 97. Pp. 159-209.

33. Hardy, G. H. Some properties of fractional integrals II / G. H. Hardy, J. E. Lit-tlewood // Math. Z. - 1932. - Vol. 34. - Pp. 403-439.

34. Hedenmalm, H. Theory of Bergman Spaces / H. Hedenmalm, B. Korenblum, K. Zhu. — New York: Graduate Texts in Mathematics, Vol.99. Springer-Verlag, 2000.

35. Ismagilov, A. Sharp Bohr type inequality / A. Ismagilov, S. Ponnusamy, I. Kayu-mov // J. Math. Anal, and Appl— 2020.— Vol. 489. https://doi.org/10. 1016/j . jmaa. 2020.124147.

36. Kayumov, I. On the Bohr inequality for the Cesâro operator / I. Kayumov, D. Khammatova, S. Ponnusamy // Comptes Rendus. Mathématique. — 2020. Vol. 358, no. 5. — Pp. 615-620.

37. Kayumov, I. Bohr-Rogosinski phenomenon for analytic functions and Cesâro operators / I. Kayumov, D. Khammatova, S. Ponnusamy // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2021.— Vol. 496, no. 2. https://doi. org/10.1016/J . JMAA. 2020.124824.

38. Kayumov, I. The Bohr Inequality for the Generalized Cesâro Averaging Operators / I. Kayumov, D. Khammatova, S. Ponnusamy // Mediterranean Journal of Mathematics.- 2022.- Vol. 19, no. 1. https://doi.org/10.1007/ s00009-021-01931-1.

39. Kayumov, I. R. Bohr inequality for odd analytic functions / I. R. Kayumov, S. Ponnusamy // Comput. Methods Fund. Theory. — 2017. — Vol. 17.— Pp. 679-688.

40. Kayumov, I. R. Bohr's inequalities for the analytic functions with lacunary series and harmonic functions / I. R. Kayumov, S. Ponnusamy //J. Math. Anal, and Appl. - 2018. - Vol. 465. - Pp. 857-871.

41. Kayumov, I. R. Improved version of Bohr's inequality / I. R. Kayumov, S. Pon-nusamy // Comptes Rendus Mathématique. — 2018. — Vol. 356, no. 3. — Pp. 272-277.

42. Kayumov, I. R. On a powered Bohr inequality / I. R. Kayumov, S. Pon-nusamy // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 2019.— Vol. 44.^ Pp. 301-310.

43. Kayumov, I. R. Bohr radius for locally univalent harmonic mappings / I. R. Kayumov, S. Ponnusamy, N. Shakirov // Math. Nachr. 2018.— Vol. 291.- Pp. 1757-1768.

44. Khammatova, D. Refinement of Powered Bohr Inequality / D. Khammato-va // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2022.^ Vol. 43, no. 10.— Pp. 2954-2960.

45. Kresin, G. Sharp Real-Part Theorems: A Unified Approach (Lecture Notes in Mathematics, 1903) / G. Kresin, V. Maz'ya. — Berlin: Springer Berlin, Heidelberg, 2007.

46. Kulikov, A. A contractive Hardy-Littlewood inequality / A. Kulikov /j Bull. Lond. Math. Soc. - 2020. - Vol. 53. - Pp. 740-746.

47. Kulikov, A. Functionals with extrema at reproducing kernels / A. Kulikov // Geom. Fund. Anal. - 2022. - Vol. 32. - Pp. 938-949.

48. Landau, E. Darstellung und Begriiundung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie / E. Landau, D. Gaier. — Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1986.

49. Liu, G. Refined Bohr inequality for bounded analytic functions / G. Liu, Z. H. Liu, S. Ponnusamy // Bulletin des Sciences Mathématiques. — 2021. — Vol. 173, no. 11. — P. 103054.

50. Liu, M. S. Multidimensional analogues of refined Bohr's inequality / M. S. Liu, S. Ponnusamy // Proc. Amer. Math. Soc.- 2021. - Vol. 149. - Pp. 2133-2146.

51. Liu, M. S. Bohr-type inequalities of analytic functions / M. S. Liu, Y. M. Shang, J. F. Xu jj J. Inequal. Appl. — 2018. — Vol. 345. https://doi.org/10.1186/

s 13660-018- 1937-y.

52. Liu, Z. H. Bohr radius for subordination and K-quasiconformal harmonie mappings / Z. H. Liu, S. Ponnusamy // Bull. Malays. Math. Sei. Soc.— 2019.^ Vol. 42. _ pp. 2151-2168.

53. Paulsen, V. I. On Bohr's inequality / V. I. Paulsen, G. Popescu, D. Singh // Proc. London Math. Soc.— 2002.- Vol. 85, no. 2.- Pp. 493-512.

54. Paulsen, V. I. Bohr's inequality for uniform algebras / V. I. Paulsen, D. Singh // Proc. Amer. Math. Soc. - 2004. - Vol. 132, no. 12.- Pp. 3577-3579.

55. Paulsen, V. I. Extensions of Bohr's inequality / V. I. Paulsen, D. Singh // Bull. London Math. Soc. - 2006. - Vol. 38, no. 6. - Pp. 991-999.

56. Ponnusamy, S. New inequalities for the coefficients of unimodular bounded functions / S. Ponnusamy, R. Vijayakumar, K.-J. Wirths // Results in Mathematics.— 2020.^ Vol. 75, no. 107. https://doi.org/10.1007/ s00025-020-01240-1.

57. Ponnusamy, S. Improved Bohr's phenomenon in quasi-subordination classes / S. Ponnusamy, R. Vijayakumar, K.-J. Wirths // J. Math. Anal. Appl. — 2022. — Vol. 506, no. 1. https://doi.Org/10.1016/j . jmaa.2021.125645.

58. Robertson, M. S. Quasi-subordination and coefficient conjectures / M. S. Robertson 11 Bull. Amer. Math.Soc.- 1970.-Vol. 76. Pp. 1-9.

59. Rogosinski, W. Uber Bildschranken bei Potenzreihen und ihren Abschnitten / W. Rogosinski // Math. Z. - 1923. - Vol. 17, no. 1. - Pp. 260-276.

60. Rogosinski, W. On the coefficients of subordinate functions / W. Rogosinski // Proc. London Math. Soc. 1943. Vol. 48, no. 2.- Pp. 48-82.

61. Schur, I. Uber die Abschnitte einer im Einheitskreise beschränkten Potenzreihe / I. Schur, G. Szegö // Sitz.-Ber. Preuss. Acad. Wiss. Berlin Phys.-Math. Kl. 1925. Pp. 545-560.

62. Stempak, K. Cesaro averaging operators / K. Stempak // Proc. Royal Soc. of Edinburgh. - 1994. - Vol. 124A. - Pp. 121-126.

63. Tomic, M. Sur un théorème de H. Bohr / M. Tomic // Ma,th. Scand. — 1962. —

Vol. 11.- Pp. 103-106.

64. Watson, G. A Treatise on the Theory of Bessel Functions / G. Watson. — Cambridge, UK: 2nd Edition. Cambridge University Press, 1995.

65. Weissler, F. Logarithmic Sobolev inequalities and hypercontractive estimates on the circle / F. Weissler // J. Fund. Anal.— 1980.^ Vol. 37, no. 2.— Pp. 218-234.