Эволюция сложных распределенных систем, развивающихся в режиме с обострением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Белавин, Владимир Анатольевич

• Белавин, Владимир Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Белавин, Владимир Анатольевич

1. Введение.

Глава 1. Квазилинейное уравнение теплопроводности с источником. Постановка задачи. Исследование основных свойств ее решений.

Исторические предпосылки и основные свойства синергетического подхода. 16 Постановка задачи.

Основные понятия.

Основные свойства решений задачи (7).

Методика исследования задачи (7).

Новые результаты, полученные автором в процессе исследования.

Глава 2. Исследование задачи (7) при наличии флуктуаций.

Исследование флуктуаций пространственного распределения.

Обобщение модели. Источники и стоки с меньшей нелинейностью; флуктуации, уменьшающие энергию системы.

Сложные собственные функции, их устойчивость и распад.

Исследование модели в случае цилиндрической симметрии системы.

Глава 3. Синергетический подход и демография.

Формирование синергетического подхода в демографии.

Режим с обострением в демографической системе.

Синергетический подход к моделированию глобальных демографических процессов.

Некоторые демографические аспекты предложенной модели.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эволюция сложных распределенных систем, развивающихся в режиме с обострением»

Наука наших дней претерпевает глубокие изменения, затрагивающие практически все ее сферы, что позволяет говорить о вхождении ее в качественно новый, постклассический этап развития. Эти изменения вызваны как внутренней логикой развития самой науки, во многом обусловленной ее переходом к познанию сложно-организованных систем, так и всем ходом развития современной цивилизации <.>. Эти тенденции могут иметь самые разные проявления, но в своем, по-видимому, наиболее концентрированном виде они нашли свое выражение в синергетике» [1].

Синергетику можно рассматривать как современный этап развития идей кибернетики и теории систем. В то же время вряд ли есть основания сомневаться в том, что синергетика несет в себе нечто принципиально новое.

Кибернетика и различные варианты общей теории систем изучают в основном процессы поддержания некоторых равновесных состояний в технических, биологических, социальных системах, посредством использования механизмов отрицательной обратной связи. При этом они рассматривают в основном такие случаи, когда нелинейная система может быть представлена как квазилинейная. Синергетика же занимается исследованием физических основ самоорганизации, изучает существенно неравновесные системы и существенно нелинейные процессы эволюции таких систем.

Начиная с работ А.Н.Колмогорова, И.Г.Петровского, Г.С.Пискунова [ 2], А.Тюринга [ 3], И.Пригожина [ 4], Г.Хакена [ 5] (см. также работы [ 6]-[ 8]) при моделировании явлений самоорганизации в различных системах часто используют математические модели, в основе которых лежат системы нелинейных параболических уравнений типа реакция-диффузия. Например, для случая одного уравнения и одной пространственной переменной: ди 8 dt дх

С(и)— дх Q(u). (1)

Здесь t — время, х — пространственная координата; в качестве и могут выступать концентрации химических веществ, различные температуры (электронные, ионные) в плазме, различные виды в биологии, товары в экономике, группы расселения в социальных науках. Правая часть уравнения (1) описывает объемные источники и стоки. Они могут толковаться как реакции, происходящие с компонентами и или как нелинейное влияние прямых и обратных связей в биологических, экономических и др. системах. Они могут передавать и внешнее влияние в открытых системах. Например, поступление в каждую точку (или объем) системы энергии, вещества, информации за счет внешних воздействий или за счет их кинетики в самой точке пространства (а не за счет диффузии от соседей). Здесь могут проявляться: нелокальное взаимодействие элементов среды через распределительные функции целого организма, аналоги нейронных связей в мозгу или в нейрокомпьютерах, «многочастичных столкновений» в каталитических процессах на решетках. Здесь же в экономических задачах происходит учет функции спроса, определяемой по данным социологических опросов и настройки констант модели по поведению системы в прошлом.

В экономике часто встречается упрощенный вариант уравнения (1) без учета локальной диффузии: f^ = £("), (2) dt или еще более простой (стационарный) вариант:

Q(u) = о. (3)

Опыт многих частных задач синергетики показывает, что даже относительно простые «точечные» уравнения (2) и (3) колоссально усложняются в возможностях проявления своей пространственной организации при введении хаоса на микроуровне, что и отражает уравнение (1).

Так, в работах В.А.Галактионова, А.А.Самарского, С.П.Курдюмова [ 9],[ 10] было показано, что нелинейные зависимости Q{u) и С(и) в (1) и (2) во многих случаях приводят к гиперболическому нарастанию процессов во времени. При этом в решении за конечный промежуток времени возникают особенности, кризисы, бифуркации. Такие режимы называются режимами с обострением.

Режимы с обострением имеют место в большом количестве реальных систем. Сверхбыстрые процессы, идущие в режиме с обострением, имеют приложения во многих областях науки, физике, химии, социологии и др., связаны с глобальным прогнозированием и механизмами прохождения кризисов - актуальнейшей проблемой современности.

Важной особенностью для такого класса режимов для уравнения вида (1) является вырождение многих сложных произвольных нелинейных зависимостей С(и), Q(u) в (1) в более простые виды зависимостей (см. [ 9]-[ 13]). В таких случаях на асимптотической стадии уравнение (1) можно заменить (в зависимости от вида С(и) и Q(u)) на:

- уравнение с экспоненциальными коэффициентами Соехр(ои) и Q0exp(j3u); уравнение со степенными коэффициентами CoUff и уравнение Гамильтона-Якоби; при этом только уравнения со степенными зависимостями обладают сложным спектром устойчивых (или метастабильных) динамических структур, имеющих различные локализованные формы в пространстве. Локализация определенных форм структур обусловлена явлением инерции тепла, подробно изученным А.А.Самарским, С.П.Курдюмовым, В.А.Галактионовым и другими учеными (см., например, [ 9]-[ 13]).

Эти математические идеи и выводы привели к формулировке антропного принципа в синергетике [ 14]-[ 18]: при развитии режимов с обострением только узкий класс моделей (со степенными зависимостями для С = Со иа, Q — Qo и^, и только в определенном диапазоне значений аир) может описывать эволюцию сложных систем с большим числом различных структур и форм организации.

Синергетика уже долгое время успешно применяется для построения моделей в различных естественных науках, таких, как, например, физика плазмы (открытие Т-слоя), или моделирование сложных химических процессов при каталитических реакциях. Использование синергетического подхода для поиска универсальных принципов формирования и эволюции сложных систем, необходимых для моделирования эволюционных процессов и катастрофических ситуаций, является актуальной задачей современных системных исследований, выходящей за рамки конкретных приложений.

Сложные распределенные системы являются нелинейными и многопараметрическими объектами. Они требуют разработки специальной стратегии исследования и создания эффективных вычислительных технологий.

Для численных расчетов режимов с обострением необходимы алгоритмы, позволяющие рассчитывать значения переменных, изменяющихся в сотни и тысячи раз.

Многопараметричность приводит к необходимости создания специальных методов анализа решений, сравнения их с экспериментальными данными, выделения параметров порядка системы.

Одной из важных и интересных систем, развивающихся в режиме с обострением, является демографическая система. С точки зрения системного подхода понятие "демографическая система" является синонимом понятия "население", и обозначает "ту же совокупность людей, которая составляет и общество, но рассматриваемую с точки зрения возобновления поколений" [19].

В последнее время стала очевидной необходимость рассмотрения народонаселения Земли как единой распределенной нелинейной системы. Демографические модели стали все шире использовать другие социальные и даже естественнонаучные дисциплины для понимания законов эволюции демографической системы.

Однако, демографам до сих пор, "как правило, пока приходится иметь дело с фрагментарными вкраплениями системно-исторической логики в общий контекст демографических исследований, что ограничивает ее влияние на понимание сущности и закономерностей изучаемых процессов" [19]. Существенной особенностью большинства современных демографических исследований является разделение населения Земного шара на регионы и раздельное рассмотрение процессов роста населения в каждом из них.

Одним из ключевых моментов системного подхода в демографии является выявление законов развития всей демографической системы, неизменных в течение длительного времени. Таким фундаментальным законом, например, является гиперболический закон роста населения Земли. Современные специальные исследования соответствующей модели и сравнение ее с кривыми, построенными на основе реальных исторических данных о численности народонаселения мира в различные эпохи, приведены в работах С.П.Капицы1. В них показано, что развитие человечества в течение 100 тысяч лет и более происходит в режиме с обострением:

N(t) = Со / {tr 0, С0 = 186х Ю9, Т0 = 2007 год.

Изучение внутренних законов пространственно-временной эволюции сложных систем, развивающихся в режиме с обострением (и, в частности, демографической системы), основанное на математическом моделировании, сбалансированном сочетании аналитических и численных методов исследования, является актуальной задачей современной прикладной математики.

Цель данной диссертационной работы:

- Численное построение и исследование решений задачи Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности с источником, развивающихся в режиме с обострением. Исследование решений системы уравнений, полученной методом осреднения. Сравнительный анализ фазовых траекторий метода осреднения и фазовых траекторий задачи Коши. Исследование применимости метода осреднения для построения решений указанной задачи.

- Исследование поведения решений осредненной системы и решений задачи Коши при введении флуктуаций различного вида.

- Построение на основе синергетического подхода математической модели эволюции сложных распределенных систем, развивающихся в режиме с обострением. Применение построенной модели для описания эволюции демографической системы. Исследование зависимости закономерностей развития от значений параметров модели. Изучение устойчивости решений, развивающихся в режиме с обострением, по отношению к флуктуациям различного вида.

Для достижения сформулированных целей в диссертационной работе были поставлены следующие основные задачи:

1. Реализация численных методов решения задачи Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности со степенным видом зависимостей в коэффициенте теплопроводности и источнике.

2. Разработка и реализация алгоритмов автомодельной обработки и построения фазовых траекторий решений указанной задачи.

3. Реализация численных методов построения решений методом осреднения.

4. Разработка алгоритмов сравнительного анализа фазовых траекторий метода осреднения и фазовых траекторий задачи Коши.

5. Сопоставление полученных численных результатов с известными из аналитических исследований свойствами решений указанной задачи.

1 Например, в статье: Капица С.П. Математическая модель роста народонаселения Земли. //Матем.

6. Разработка методики включения в исследуемую задачу флуктуаций различного вида.

7. Построение комплекса программ, позволяющего проводить численное исследование решений задачи Коши, развивающихся в режиме с обострением, и решений осредненной системы, их анализ при различных значениях параметров и при наличии флуктуаций различного вида.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Краткое содержание последующих глав:

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Белавин, Владимир Анатольевич

Заключение.

В настоящей диссертации были получены следующие наиболее значимые результаты:

1. Получен и исследован ряд новых свойств решений задачи Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности с источником. Впервые показано, что для малых начальных функций выход на автомодельный режим происходит уже на квазистационарной стадии, далекой от момента обострения.

Впервые показано, что асимптотики фазовых траекторий решений задачи Коши, развивающихся в режиме с обострением, всегда являются автомодельными, и указан критерий, определяющий границы применимости метода осреднения для построения решений задачи Коши, развивающихся в режиме с обострением. Впервые показана возможность перехода между фазовыми траекториями решений при наличии флуктуаций параметров модели.

2. Создан комплекс программ для исследования закономерностей эволюции нелинейной распределенной системы, описываемой моделью на основе задачи Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности с источником, позволяющий в диалоговом режиме изменять параметры модели, следя за соответствием между получаемыми результатами и известными данными.

Разработаны алгоритмы автомодельной обработки и построения фазовых траекторий решений данной задачи. Предложен новый алгоритм сравнительного анализа эволюции численных решений задачи Коши и решений, полученных методом осреднения.

3. Впервые предложена математическая модель демографической системы, рассматривающая человечество как единую нелинейную распределенную систему. Предложена методика определения диапазона значений параметров модели.

Показано, что закон роста полной численности народонаселения Земли сохраняется при наличии флуктуаций пространственного распределения населения. Впервые показано, что флуктуации пространственного распределения приводят к появлению в эволюции человечества нескольких периодов с сокращающейся (по мере приближения к настоящему времени) длительностью. Впервые показано, что флуктуации параметров модели могут служить механизмом смены закона роста, наблюдающейся в настоящее время.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Белавин, Владимир Анатольевич, 2005 год

1. В.С.Степин, В.И.Аршинов. Предисловие //Сб. «Самоорганизация и наука», М., 1994.

2. А.Н.Колмогоров, И.Т.Петровский, Н.С.Пискунова. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества и его применение в одной биологической проблеме. //Бюллетень МГУ. 1937. Т.1, №6. С.1-26.

3. A.Turing The chemical basis of morphogenesis. //Phyl. Trans. R.C. London. B-1952. V.237. P.37-71.

4. Г.Николис, И.Пригожин. Самоорганизация в неравновесных системах. М. Мир, 1980.

5. Г.Хакен. Синергетика. М. Мир, 1980.

6. Т.С.Ахромеева, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий, А.А. Самарский. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М. Наука, 1992.

7. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. Сб-к. М. Наука, 1996.

8. С.П.Капица, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий. Синергетика и прогнозы будущего. М. Наука, 1997.

9. В.А.Галактионов, А.А. Самарский. Методы построения приближенных автомодельных решений нелинейных уравнений теплопроводности. //Матем. Сборник. 1982. Т. 118, №3. С.222-322, 1983. Т.121, №2. С.131-155.

10. Режимы с обострением. Становление идеи. Сб-к. М. Наука, 1999.

11. А. А. Самарский, В.А.Галактионов, С.П.Курдюмов, А.П.Михайлов. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

12. В.А.Белавин, С.П.Капица, С.П.Курдюмов. Математическая модель глобальных демографических процессов с учетом пространственного распределения. //ЖВМиМФ, 1998. Т. 38, №6.

13. В.А.Белавин, С.П.Курдюмов. Режимы с обострением в демографической системе. Сценарий усиления нелинейности. //ЖВМиМФ, 2000. Т. 40, №2. С.238-251.

14. Е.Н.Князева, С.П.Курдюмов. Антропный принцип в синергетике. //Вопр. Философии, 1997. №3. С. 62-79.

15. V.A.Belavin, E.N.Knyazeva, S.P.Kerdyumov. Blow-up and laws of coevolution of complex systems. //Phystech. Journal. 1997. V.3, №1. P. 107-113.

16. В.А.Белавин, С.П.Курдюмов. Глобальный демографический кризис: опасности и надежды. //Сб-к «Синергетика» №2. М. МГУ, 1999. С. 5-10.

17. А.Г.Вишневский. Воспроизводство населения и общество, М.: Финансы и статистика, 1982.

18. В.А.Белавин. Синергетический подход к моделированию глобальных демографических процессов. // Сб. Синергетика, философия, культура. М., Изд-во РАГС, 2001. С. 262-272.

19. В.А.Белавин. Синергетика и развитие человечества. // Сб. Глобализация. Синергетический подход. М., Изд-во РАГС, 2002. С. 60-69.

20. В.А.Белавин, С.П.Курдюмов. Режимы с обострением. Законы самоорганизации коэволюции сложных систем. //Проблемы перехода России к устойчивому развитию. Матер, научн.-практ. семинара. Москва, 1997. С.282-288.

21. В.А.Белавин, С.П.Курдюмов. Синергетика и демография. Глобальные проблемы и надежды на рубеже веков. //Материалы международной научно-практической конференции «Анализ систем на рубеже тысячелетия». М.,1999. С. 72-91.

22. В.А.Белавин. Синергетический подход к исследованию демографических процессов.//Тезисы Восьмой международной конференции «Математика. Образование. Компьютер», 2001. С. 128.

23. В.А.Белавин, Е.Н.Князева, С.П.Курдюмов. Новые типы связи пространства и времени в сложных системах. //Материалы международной научно-практической конференции «Анализ систем на рубеже тысячелетия». М.,1999. С. 38-40.

24. В.А.Белавин. Синергетика и математические модели в демографии. //Тезисы Девятой международной конференции «Математика. Образование. Компьютер», Дубна, 2002. С. 281.

25. Я.И.Нисанов, В.А.Белавин. Обзор дискуссии о синергетических моделях в системе демографических знаний. //Тезисы Девятой международной конференции «Математика. Образование. Компьютер», Дубна, 2002. С. 286.

26. Я.И.Нисанов, В.А.Белавин. Нелинейность и синергетический подход в существующей демографической парадигме. //Материалы научной конференции «Ломоносовские чтения-2003». М., «ТЕИС», 2003. С. 149-151.

27. В.А.Белавин. Квазилинейное уравнение теплопроводности с источником. LS-режим. Метод осреднения и автомодельность. //Препринт №51 ИПМатем. РАН, 1998.

28. В.А.Белавин, С.П.Курдюмов. Математическая модель глобальных демографических процессов. // Препринт №97 ИПМатем. РАН, 1996.

29. Г.Николис, И.Пригожин. Познание сложного. М.: Наука, 1990.

30. Г.Хаген. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. М.: Мир, 1991.

31. Е.Н.Князева, С.П.Курдюмов. Синергетика как новое мировоззрение. Диалог с И.Пригожиным. //Вопр. философии, 1992, № 12, с.3-20.

32. Е.Н.Князева, С.П.Курдюмов. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. М.: Наука, 1994.

33. Е.Н.Князева, С.П.Курдюмов. Основания синергетики. С-Пб.: Алетейя, 2002.40 .Г.Г.Еленин, С.П.Курдюмов. Условия усложнения организации нелинейной диссипативной среды. Препринт № 106 ИПМатем. АН СССР, 1977.

34. Т.С.Ахромеева, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий, А.А.Самарский. Нестационарные диссипативные структуры и диффузионный хаос. М., Наука, 1992, 541с.

35. Г.Г.Еленин, К.Э.Плохотников. Об одном способе качественного исследования одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности с нелинейным источником тепла. //Препринт ИПМ АН СССР № 91, 1977.

36. А.А. Самарский, Н.В.Змитренко, С.П.Курдюмов, А.П.Михайлов. Тепловые структуры и фундаментальная длина в среде с нелинейной теплопроводностью и объемными источниками тепла. //ДАН СССР, № 227, 1976, с. 321.

37. С.П.Курдюмов. Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее организации. //Препринт ИПМ РАН №39, 1979.

38. А.А.Самарский. Теория разностных схем. М., Наука, 1989.

39. Ф.Броделъ. История и общественные науки. Историческая деятельность. //Философия и методология истории. М.: Прогресс, 1977. С.115-142.

40. F.Lorimer. The development of demography. //The study of population. An inventory and appraisal. Ed. Dy P.Hauser and O.Dunkan. Chicago, 1959.

41. М.В.Птуха. Очерки по истории статистики XVII-XVIII веков. М.:1945.5Х.С.П.Капица. Феноменологическая теория роста населения Земли. //Успехи физ. Наук, 1996, т. 166, № 1, с.63-79.

42. С.П.Капица. Математическая модель роста народонаселения Земли. //Матем. Моделирование. 1992. Т.4. № 6. С.65-79.

43. С.П.Капица, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий. Синергетика и прогнозы будущего. М., Наука, 1997.

44. С.П.Капица, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий. Синергетика и прогнозы будущего. М., Наука, 1997.

45. А.В. Подлазов. Теоретическая демография, как основа математической истории. //Препринт №73 ИПМатем. РАН, 2000.

46. Г.Г.Малинецкий. Нелинейная динамика ключ к теоретической истории?// Общественные науки и современность, 1997, №4. С.98-111.

47. А.В.Подлазов. Основное уравнение теоретической демографии и модель глобального демографического перехода. //Препринт №88 ИПМатем. РАН, 2001.

48. С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий, А.В.Подлазов. Историческая динамика. Взгляд с позиции синергетики. //Препринт № 85 ИПМатем. РАН, 2004.

49. М.Ичас. О природе живого: Механизмы и смысл. М., Мир, 1994.