Флуктуационные и шумозависимые процессы при квазистационарных и динамических бифуркационных переходах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор физико-математических наук Суровяткина, Елена Дмитриевна

• Суровяткина, Елена Дмитриевна
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Суровяткина, Елена Дмитриевна

ВВЕДЕНИЕ.

ЧАСТЬ I. ПРЕДБИФУРКАЦИОННЫЕ ФЛУКТУАЦИИ: РОСТ И НАСЫЩЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ ШУМА И ВРЕМЕНИ КОРРЕЛЯЦИИ.

Глава 1. Предбифуркационное усиление и насыщение шума в системах, описываемых нелинейными отображениями.

§1.1. Общая характеристика явления предбифуркационного усиления шума.

§ 1.2. Линейная теория.

§ 1.3. Оценки интенсивности флуктуаций вблизи порога бифуркации удвоения периода.

§ 1.4. Оценки флуктуации после прохождения точки бифуркации.

Ослабление эффекта усиления при быстрых бифуркационных ; переходах.

§ 1.5. Время установления флуктуаций.

§ 1.6. Результаты численного моделирования.

§ 1.7. Усиление шума вблизи точек разрыва бифуркационной диаграммы системы, описываемой мультимодальным отображением.

§ 1.8. Обобщенная теория роста и нелинейного насыщения предбифуркационного усиления шума в нелинейных отображениях.

Глава 2. Рост и насыщение времени корреляции флуктуаций вблизи бифуркационного порога.

§ 2.1. Линейная теория: неограниченный рост времени корреляции

§ 2.2. Нелинейная теория: насыщение времени корреляции вблизи бифуркационного порога.

§ 2.3. Сравнение теоретической оценки с результатами численного моделирования.

Глава 3. Предбифуркационное усиление шума в нелинейном осцилляторе.

§ 3.1. Динамическая модель осциллятора, испытывающего бифуркации спонтанного нарушения симметрии.

§ 3.2. Флуктуации при медленном изменении параметров системы: приближение ВКБ.

§ 3.3. Насыщение флуктуаций в окрестности точки бифуркации.

§ 3.4. Ослабление эффекта усиления флуктуации при быстром изменении параметров осциллятора.

§ 3.5. Результаты численного моделирования.

Глава 4. Метод измерения уровня шума с использованием явления предбифуркационного усиления шума.

§ 4.1. Объекты измерения. Бифуркационные режимы.

§ 4.2. Возможная методика измерений.

Выводы к части 1.

ЧАСТЬ II. ЯВЛЕНИЕ ШУМОЗАВИСИМОГО ГИСТЕРЕЗИСА ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ БИФУРКАЦИЯХ И ФЛУКТУАЦИИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ПОМОЩИ МОДУЛИРОВАННЫХ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ.

Глава 5. Явление шумозависимого гистерезиса в нелинейных осцилляторах.

§ 5.1. Шумозависимый гистерезис при бифуркациях удвоения периода

§ 5.2. Шумозависимый гистерезис при прохождении через зону хаоса в окно периодичности.

§ 5.3. Явление шумозависимого гистерезиса в мультистабильном нелинейном осцилляторе.

§ 5.4. Явление шумозависимого гистерезиса в нелинейном осцилляторе при бифуркации спонтанного нарушения симметрии.

§ 5.5. Гистерезис в системе связанных осцилляторов в присутствии шума.

§ 5.6. Использование явления шумозависимого гистерезиса для измерения слабых шумов.

Глава 6. Флуктуационные явления при передаче информации при помощи хаотических сигналов. Одноканальная схема передачи информации.

§ 6.1. Передача информации путем модуляции параметров отображения, генерирующего хаотические последовательности

§ 6.2. Воздействие шумов на точность определения информационного параметра в одноканальной схеме.

§ 6.3. Оценки помехоустойчивости одноканальной схемы.

§ 6.4. Численное моделирование качества восстановления параметров хаотических последовательностей в присутствии шумов.

Глава 7. Флуктуационные явления при передаче информации при помощи хаотических сигналов. Многоканальная схема.

§7.1. Передача информации путем модуляции двух и более параметров.

§ 7.2. Оценки погрешности восстановления информационных параметров в многоканальной схеме передачи сигналов.

§ 7.3. Численное моделирование многоканальной схемы модуляции и восстановления параметров в присутствии шумов.

Выводы к части II.

ЧАСТЬ III. ГРАНИЦА МЕЖДУ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМ И СТОХАСТИЧЕСКИМ РЕЖИМАМИ БИФУРКАЦИОННОГО ПЕРЕХОДА.

Глава 8. Бассейны притяжения периодических режимов при динамических бифуркациях удвоения периода.

§ 8.1. Детерминированный и стохастический режимы бифуркационных переходов.

§ 8.2. Общая характеристика формирования бассейнов притяжения периодических режимов при бифуркации удвоения периода.

§ 8.3. Оценки критического уровня шума, необходимого для разрушения границ бассейнов притяжения.

§ 8.4. Граница между детерминированным и стохастическим режимами бифуркационного перехода с учетом структуры бассейнов притяжения.

Глава 9. Формирование бассейнов притяжения периодических режимов при быстром прохождении через зону хаоса в окно прозрачности.!.

§9.1. Нарушение вероятностной симметрии периодических режимов при быстром прохождении через зону хаоса в окно прозрачности

§ 9.2. Бассейны притяжения периодических режимов в отсутствие шума.

§ 9.3. Влияние шума на структуру бассейнов притяжения периодических режимов.

§ 9.4. Интерпретация результатов численного моделирования на основе линейной теории возмущений.

Глава 10. Бассейны притяжения конечных состояний в связанных системах с переменными параметрами.

§ 10.1. Описание связанной системы с переменными параметрами

§ 10.2. Эволюция бассейнов притяжения при изменении коэффициентов связи в системе осцилляторов в отсутствие шумов.

§ 10.3. Формирование картины бассейнов притяжения конечных состояний при динамических бифуркациях.

§ 10.4. Воздействие шума на формирование бассейнов притяжения

§ 10.5. Нарушение вероятностной симметрии в нелинейном осцилляторе при бифуркации спонтанного нарушения симметрии.

Выводы к части III.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Флуктуационные и шумозависимые процессы при квазистационарных и динамических бифуркационных переходах»

Изучение флуктуационных процессов в нелинейных системах и устройствах представляет собой одну из центральных задач статистической радиофизики. Хорошо известны классические проблемы радиофизики, связанные с ограничением чувствительности усилителей и конечностью ширины спектральной линии генераторов, что обусловлено воздействием естественных и технических шумов [1] - [3]. Флуктуационные явления присущи всем реальным системам и принципиально неустранимы.

Исследования последних лет убедительно показали, что в нелинейных системах воздействие шума может индуцировать новые более упорядоченные режимы, приводить к образованию более регулярных структур, увеличивать степень когерентности, вызывать рост флуктуаций и увеличение отношения сигнал/шум и т.д. Одним из наиболее ярких примеров указанного типа поведения нелинейных систем под воздействием шума является эффект стохастического резонанса [4]-[5].

Из разнообразных проблем, обсуждаемых в литературе и не нашедших адекватного решения, наибольший интерес представляют флуктуационные процессы в системах с бифуркациями. Флуктуации, вызванные даже слабым шумом вблизи порога бифуркации, могут повлечь за собой серьезные изменения в макроскопическом поведении нелинейной системы [6]: сократить время пребывания около неустойчивого состояния [7] - [8]; повлиять на выбор одного из нескольких возможных устойчивых состояний в мультистабильных системах [9] -[13]; шум может индуцировать новые переходы, совершенно неожиданные с точки зрения обычного детерминистического описания [14], [15], [16], [34].

Кроме того, действие шумов при бифуркационных переходах приводит к явлению спонтанного нарушения симметрии, которое играет важную роль в теории фазовых переходов (ферромагнетизм, сверхпроводимость, сверхтекучесть [17], [18]), в теории взаимодействий элементарных частиц [19], в теории физического вакуума [20], в теории эволюции Вселенной в рамках "горячей модели"[21] и в других системах самоорганизующихся системах и устройствах [22].)

С проблемами флуктуаций, во многом сходными с проблемами статистической радиофизики, приходится сталкиваться в гидродинамике, акустике и физике плазмы, биофизике. Речь идет о теории турбулентности [23], [27], [35], физике линейных и нелинейных случайных волн в акустике [24], нелинейных процессах в биофизике [33]. Многие важные вопросы нелинейного взаимодействия и самовоздействия случайных волн были разработаны в физике плазмы [25], [26]. Математическим основам теории динамических систем находящихся под воздействием шума посвящена недавно вышедшая монография [28].

Таким образом, изучение влияния шума на нелинейные системы с бифуркациями представляет значительный интерес как для б статистической радиофизики, так и для других нелинейных дисциплин, так что результаты, полученные в данной работе для радиофизических моделей, могут оказаться полезными для понимания природы бифуркационных закономерностей в других областях естествознания.

В данной диссертации решается фундаментальная проблема воздействия шумов на нелинейные системы, совершающие как квазистационарные, так и динамические бифуркационные переходы. Эта проблема охватывает широкий круг физических явлений (предбифуркационное усиление шума, предбифуркационное увеличение времени корреляции, шумозависимый гистерезис) и связана с разнообразными приложениями (измерение слабых шумов в нелинейных бифуркационных системах, шумовые предвестники бифуркаций, снижение нежелательного действия шумов, контроль над бифуркационными процессами для достижения заданного постбифуркационного состояния в условиях воздействия шума и др.).

Целью исследований явилось изучение сложной динамики поведения нелинейных систем, испытывающих квазистационарные и динамические бифуркационные переходы в присутствии шумов, и развитие теории флуктуационных процессов, происходящих в непосредственной близости к точке бифуркации.

Основные направления исследования:

1. Явление предбифуркационного усиления и нелинейного насыщения интенсивности шума и родственное ему явление роста и насыщения времени корреляций.

2. Флуктуации при динамических бифуркациях: шумозависимый гистерезис и флуктуационные характеристики хаотических систем с модулируемыми параметрами.

3. Предсказуемость постбифуркационных состояний при динамических бифуркациях в присутствии шумов: нарушение вероятностной симметрии и бассейны притяжения постбифуркационных режимов.

Эти направления составляют содержание трех частей диссертации.

Исследования флуктуационных проблем проводились теоретически и экспериментально с помощью методов численного моделирования. В качестве объектов исследования выступали динамические системы с дискретным временем, описываемые нелинейными отображениями, и нелинейные осцилляторы, описываемые дифференциальными уравнениями, которые служат моделями для реальных цепей и устройств. Исследуемое в диссертации квадратичное отображение хорошо описывает бифуркационные явления в неавтономном диссипативном осцилляторе и в автогенераторе с запаздывающей обратной связью [58]. Система связанных отображений может служить адекватной моделью двух резисторно связанных ЯЬ-диод цепей, синфазно возбуждаемых внешней гармонической силой [109].

Физическим прототипом нелинейного осциллятора, демонстрирующего бифуркацию спонтанного нарушения симметрии и описываемого дифференциальным уравнением второго порядка, могут служить, в частности, поперечные одномерные колебания плоского стержня (линейки), вдоль оси которого действует нарастающая во времени сдавливающая сила.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Нелинейный анализ явления предбифуркационного усиления шума, оценка интенсивности вынужденных флуктуаций в непосредственной близости к точке бифуркации, определение границы применимости линейной теории.

2. Анализ явления предбифуркационного роста времени корреляции флуктуационного процесса, который заканчивается нелинейным насыщением непосредственно вблизи бифуркационного порога.

3. Исследование явления шумозависимого гистерезиса в системах с бифуркациями, каскадами бифуркаций и при прохождении через хаос в окно периодических режимов.

4. Установление структуры бассейнов притяжения постбифуркационных состояний на плоскости «начальные условия -скорость бифуркационного перехода». Анализ проведен как для первой бифуркации удвоения периода, так и для более сложных бифуркаций, в частности, при переходе через каскад бифуркаций удвоения периода, зону хаоса в режим периодических колебаний.

5. Определение границы между детерминированным и стохастическим сценариями бифуркационного перехода на плоскости «интенсивность шума — скорость перехода». Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в следующем:

- впервые проведен нелинейный анализ явления предбифуркационного усиления шума и выявлен эффект нелинейного насыщения флуктуаций вблизи бифуркационного порога;

- обнаружено явление предбифуркационного роста времени корреляции флуктуационного процесса при приближении к точке бифуркации, которое сопровождается нелинейным насыщением интервала корреляции в непосредственной окрестности точки бифуркации;

- выявлен эффект взаимного влияния коэффициента связи и скорости изменения бифуркационного параметра на структуру бассейнов притяжения аттракторов в системе связанных отображений;

- впервые проанализирован бифуркационный переход через каскад бифуркаций, зону хаоса в окно периодических режимов и показано, что постбифуркационное состояние такой системы может быть предсказуемым;

- определены условия нарушения вероятностной симметрии постбифуркационных состояний для нелинейной системы при ю бифуркации удвоения периода и при переходе через каскад бифуркаций, зону хаоса в окно периодических режимов; - предложен новый метод измерения слабых внутренних шумов в нелинейных бифуркационных системах на основе явления предбифуркационного усиления шума. Практическая ценность работы:

Флуктуационные явления и процессы, изученные в работе, широко распространены в физических и технических системах и потому представляют значительный практический интерес.

Во - первых, проведенный в диссертации анализ флуктуационных и шумозависимых бифуркационных явлений создает предпосылки для снижения нежелательного действия шумов, например, путем увеличения скорости бифуркационных переходов, путем оптимизации выбора схем, избегающих бифуркации в рабочей области.

Во - вторых, явление предбифуркационного усиления шума и явление шумозависимого гистерезиса могут послужить основой новых методов измерения слабых шумов в радиофизических системах: по величине коэффициента предбифуркационного усиления шума, по ширине гистерезисной петли, по времени пребывания около неустойчивой ветви.

В-третьих, анализ влияния флуктуаций в системах передачи информации путем модуляции параметров хаотических сигналов и последовательностей позволяет определить помехоустойчивость таких и систем с тем, чтобы оценить их перспективность для скрытой передачи информации как в компьютерных сетях, так и в реальных каналах связи.

В-четвертых, значительный практический интерес представляют изученные в диссертации предсказуемые бифуркационные переходы. Такие переходы открывают широкое поле для управления бифуркационными процессами и для достижения заданного постбифуркационного состояния в условиях воздействия шума.

В-пятых, разработанные в диссертации алгоритмы создают основы для обнаружения бифуркационных переходов на основе статистических предвестников бифуркаций, в частности, за счет эффекта усиления предбифуркационного шума и эффекта увеличения времени корреляции.

В работу включены результаты, полученные в рамках проектов, выполненных при поддержке РФФИ (гранты: № 00-02-17741, № 02-0217418).

Личный вклад автора заключается в выборе направления исследований, в постановке и решении основных задач диссертации. Основная часть теоретических исследований выполнена автором самостоятельно. Существенную поддержку развиваемого автором в диссертации научного направления на начальном этапе исследований оказывал научный консультант д. ф.-м. н., проф. Ю. А. Кравцов.

Разработка всех вычислительных схем и проведение основной части численных экспериментов, включая обработку и интерпретацию полученных результатов, принадлежит автору. В постановке задачи предсказуемости постбифуркационных состояний при динамических бифуркациях на начальном этапе исследований и обсуждении результатов принимал участие О. Я. Бутковский. К исследованиям шумозависимого гистерезиса и бассейнов притяжения постбифуркационных режимов привлекались аспиранты, ныне к. ф.-м. н. Бильчинская С. Г. и к. ф.-м. н. Рычка И. А. (Камчатский государственный технический университет), руководство которыми осуществлялось автором совместно с проф. Ю. А. Кравцовым.

Достоверность научных выводов подтверждается согласованностью теоретических результатов с результатами численных экспериментов, а также с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Выявленные основные закономерности, определяющие ход флуктуационных процессов вблизи порога бифуркаций: рост интенсивности флуктуаций и времени корреляций при медленном изменении управляющего параметра, ослабление предбифуркационного усиления шума при быстром прохождении точки бифуркации; нелинейная теория ограничения роста интенсивности флуктуаций и времени корреляции вблизи бифуркационного порога.

2. Результаты анализа предбифуркационного усиления шума и смежных явлений для разнообразных бифуркационных переходов: бифуркация удвоения периода, бифуркация спонтанного нарушения симметрии, скачкообразные бифуркационные переходы.

3. Результаты исследования протекания гистерезисных явлений при быстром прохождении точки бифуркации в присутствии шумов (явление шумозависимого гистерезиса).

4. Установленные основные закономерности, определяющие границу между детерминированным и стохастическим сценариями бифуркационного перехода.

5. Методы измерения слабых шумов в радиофизических и иных бифуркационных системах, основанные на явлении предбифуркационного усиления шума и явлении шумозависимого гистерезиса.

В своей совокупности эти положения составляют основу нового научного направления статистической радиофизики - теории флуктуационных процессов при квазистационарных и динамических бифуркационных переходах.

Апробация работы. Результаты, включенные в диссертацию, докладывались и обсуждались на семинарах в ИКИ РАН, ИРЭ РАН, Московском государственном педагогическом университете, Московском энергетическом институте, междисциплинарном семинаре «Синергетика» (Физический факультет МГУ), а также на следующих международных конференциях:

• International Conference "Chaotic, fractal and nonlinear signal processing", Mystic, USA (1995);

• 5th International Specialist Workshop. Nonlinear Dynamics of Electronic

Systems, Moscow (1997);

• International Council for Computeralgebra, Gettysburg, USA (1998);

• Вторая международная конференция "Современные направления в компьютерной физике", Дубна, Россия (2000);

• International Council for Computeralgebra, Liverpool John Moores University, UK (2000);

• Международная конференция "Progress in Nonlinear Sciences", Нижний-Новгород, Россия (2001);

• 6-я Международная конференция CHAOS'Ol, Саратов, Россия (2001);

• 16-й международный симпозиум по нелинейной акустике, Москва, Россия (2002);

• International Conference on Plasma Research and Applications -PLASMA-2003, Warsaw, Poland;

• VIII Polish School of the Modal Analysis, AGH, Krakow, Poland (2003);

• Научная школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2003»;

• Second SPIE International Symposium on Fluctuations and Noise, Maspalomas, Spain (2004);

• 1st General Assembly of the European Geosciences Union, Nonlinear Processes in Geophysics, Nice, France (2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 31 печатной работе, которые отмечены звездочкой (*) в списке литературы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех частей, разделенных на 10 глав, и заключения. Текст содержит 264 страницы машинописного текста, в том числе 52 рисунка. Каждая часть заканчивается формулировкой основных результатов. Библиография включает 133 наименования.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Суровяткина, Елена Дмитриевна

Заключение

Исследовано явление шумозависимого гистерезиса в системах с динамическими бифуркациями в присутствии шумового воздействия.

Показано, что явление шумозависимого гистерезиса является универсальным свойством динамических бифуркаций, оно возникает при бифуркациях удвоения периода, при бифуркации спонтанного нарушения симметрии, при бифуркации скачка и при переходе нелинейной системы через каскад бифуркаций удвоения периода и через область развитого хаоса в окно периодических режимов. Установлены основные закономерности явления, в частности, рост размеров гистерезисной петли при уменьшении шума

Предложены методы измерения шумов по времени пребывания системы в окрестности неустойчивой ветви и по размеру петли гистерезиса. Такие методы перспективны для измерения весьма слабых шумов в различных бифуркационных системах, например, в лазерах и полупроводниковых устройствах. На примере дискретных отображений для обоих методов получены калибровочные кривые.

Результаты проведенного в данной главе анализа явления шумозависимого гистерезиса могут быть использованы для снижения нежелательного действия шумов в технических системах, например, путем увеличения скорости бифуркационных переходов, путем оптимизации выбора схем, избегающих бифуркации в рабочей области.

Глава 6. Флуктуационные явления при передаче информации при помощи хаотических сигналов. Одноканальная схема передачи информации

Проблема передачи информации при помощи хаотических сигналов широко обсуждается в литературе [88], [92], [94]. Эта проблема имеет множество аспектов. Наибольшее внимание сейчас уделяется системам с синхронизацией [84], [85], которые основаны на сравнении входного (принимаемого) сигнала хаотической природы с хаотическим сигналом, генерируемым на приемном конце [81], [82], [86]-[88]. Как только было установлено, что хаотические системы могут быть синхронизированы [89]-[92], стало очевидно: хаотические сигналы можно использовать в качестве носителей при передаче информации. Основной мотивацией применения такого типа носителей явилось желание скрыть информацию в хаосе. К настоящему времени она оказалась несостоятельной, поскольку современные способы передачи информации с использованием хаоса обладают слабой криптостойкостью. Кроме того, использование хаоса для коммуникаций имеет ряд общих черт с информационными технологиями с так называемым расширением спектра сигнала. Применение этих методов первоначально было связано со специальными, в том числе военными, приложениями. Развитие мобильных средств связи предполагает потенциальное применение хаоса в системах связи, в которых при определенных условиях они могут иметь ряд преимуществ. Поэтому важно сравнить характеристики хаотических коммуникационных систем с традиционными, для того, чтобы обнаружить, какими же реальными преимуществами они обладают.

Несколько медленнее развивается другое направление исследований, основанное на решении обратных задач нелинейной динамики. Речь идет о восстановлении временного хода управляющих параметров хаотической системы на передающем конце по измеренным значениям хаотических сигналов (как непрерывных, так и дискретных) на приемном конце. Демонстрационные примеры передачи сигналов путем модуляции и последующей демодуляции параметров хаотических систем имеются в работах [94]-[96]. В этом случае синхронизация передающей и приемных систем не требуется.

Задача восстановления временного хода управляющего параметра значительно упрощается при наличии априорной информации о структуре хаотической системы и о значениях всех ее параметров, за исключением одного. Тогда все изменения в хаотическом сигнале можно приписать единственному неизвестному еще информационному параметру. Такой способ передачи информации был эффектно продемонстрирован В. С. Анищенко с соавторами [83], [97] на примерах передачи изображений. Этот метод допускает обобщение на случай двух и более переменных параметров.

Несмотря на внимание к проблеме, флуктуационные характеристики систем передачи информации, использующих восстановление управляющих параметров, анализу еще не подвергались. В данной главе рассмотрение проводится на примере гладкого многопараметрического отображения, аппроксимируемого полиномами или тригонометрическими функциями, но некоторые выводы относятся и к отображениям более общего вида. Результаты анализа качества восстановления сигналов при передаче сообщений путем модуляции параметров хаотических последовательностей, представленные в диссертации, опубликованы в работах [103]-[106].

§ 6.1. Передача информации путем модуляции параметров отображения, генерирующего хаотические последовательности

Рассмотрим одномерное отображение х(п+\)=Р(хп,а), (6.1) параметры которого а{п)-{а0,я/,., } могут зависеть от дискретного времени п и служат переносчиками информации. Предполагается, что отображение (6.1) допускает хаотические режимы, и что переменная х является безразмерной величиной, представляющей собой отношение реального электрического сигнала и(п) к характерному напряжению (70: х(п) = и(п)Ш0. В качестве 110 может выступить, например, максимальное значение модуля и, и0~тах(и), или же значение и, соответствующее неподвижной (неустойчивой) точке отображения ип+1 = Ф(ип). Мы примем первый способ нормировки х=и/тах(и), так что переменная х по величине не превышает единицу: х<1.

Предположим, что все параметры ак, за исключением единственного значения ар, известны. Тогда в согласии с идеей, высказанной в работах [83], [97] (в первоначальной форме — применительно к системам с непрерывным временем) неизвестный параметр ар можно найти из уравнения (6.1).

Фактическое нахождение информационного параметра ар{п) из уравнения (6.1) существенно упрощается, если отображение Е(х,а) линейно зависит от набора параметров а=(а0,.,ак). В этом случае уравнение (6.1) принимает вид к к=1 где /к - заданный набор достаточно гладких (скажем, дифференцируемых) функций, например, степенных, к(х)=хк, (6.3) если отображение Г(х, а) представляется полиномом, или же набором тригонометрических функций, скажем к (х) ~ к** (6-4) если Г(х) дается конечным отрезком ряда Фурье.

Изолируя в уравнении (6.2) слагаемое, содержащее неизвестный параметр ар(п), перепишем это уравнение в виде х„) + ар(п)/(хп), (6.5) где через Р(р){х) обозначено отображение Р(х) за вычетом слагаемого с неизвестным параметром ар(п):

Г{р)(х) = Е(х)-ар/р(х). (6.6)

В силу (6.5) параметр ар(п) можно выразить через значения хп+! и хп. р /рЫ

Выражения такого рода служат дискретным аналогом алгоритмов восстановления информационных сообщений, разработанным ранее для непрерывных систем [83], [97] (в работе [97] даны также алгоритмы и для дискретной системы Хенона -Хейли).

Приведем несколько примеров восстановления информационного параметра ар(п) по двум соседним членам последовательности хп и xn+J. В случае полиномиального отображения

F(x) = а0 + of] jt +. + акх формула (6.7) принимает вид

Хп+\ ~F(p)(xn) ((. оч ар („) =-Jii-. (6.8) х"

В простейшем случае квадратичного отображения

F[x,a0,a2] = a0 +а2х2 (6.9) имеем если информационным является параметр а0(п), и если информация передается путем модуляции параметра а2 (п).

В случае логистического отображения F(x) = Ях( 1 - х), в котором имеется единственный информационный параметр Л(п), восстановление информации производится по формуле хп(1~хп)

Сходная по структуре формула восстановления информационного параметра sin х„ возникает и в случае отображения синусоидальной формы

F(x) = ai sin x.

Согласно (6.7), из двух отсчетов xn+i и хп определяется одно значение параметра ар(п). Соответственно этому три отсчета хп, xn+¡ и хп+2 обеспечивают нахождение двух значений ар(п) и ap(n+Y), а К+1 отсчетов хп, xn+¡.xn+K дают К значений ар(п), ар{п+1),., ар(п+К-1). Иными словами, из К+1 отсчетов извлекаются К значений информационного параметра.

Упрощённая схема практической реализации предлагаемого алгоритма передачи информации приведена на рис. 6.1. Практическая реализация предполагает:

1. Кодирование информационного сообщения (генерацию значений хп хаотическим отображением).

2. Передачу значений хп, генерируемых хаотическим отображением, при помощи любой из известных систем передачи сообщений (амплитудная, частотная, кодоимпульсная и т. д.): закодированное информационное сообщение в цифровом виде поступает на вход преобразователя цифрового сигнала в двоичный, двоичное информационное сообщение, в свою очередь, поступает на вход модулятора, формирующего сигнал, который затем передается в среду распространения сигнала;

3. Приём сигнала из среды распространения, затем последовательное преобразование в двоичный поток и, затем, в цифровой сигнал. Приём цифрового сигнала хаотическим декодером и восстановление информационного сообщения (определение информационного параметра ak при помощи формул типа (6.7, 6.8)), для конкретных пользователей.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Суровяткина, Елена Дмитриевна, 2004 год

1. Рис. 6.1. Упрощенная схема практической реализации передачи информации путем модуляции параметров хаотических последовательностей.

2. При наличии шумов в канале связи и в приемнике наблюдаемый сигнал уп представляет собой смесь передаваемого сигнала хп и флуктуационной компоненты уп:у„ = х„+ 1/и. (6.10)

3. В присутствии шумов оценка ар параметра ар дается формулой. (6.7), в которую вместо х„ следует подставить зашумленный сигнал (6.10):1. Уп+1-ЪР)(Уп) (6Л1)р(Уп)

4. Разлагая F(pj(yn) и /р(у„) в ряд по степеням шумового воздействия ц и ограничиваясь только линейными членами разложения, находим, что линейная по у погрешность оценки ар=ар(п)-ар(п) дается выражениемдГ лар = г/„+1 — уп1. Г1. (6.12)дх

5. В этом приближении оценка ар оказывается несмещенной. Очевидно, учет квадратичных по у членов приведет к некоторому смещению оценки ар по отношению к ар.

6. Су не менее чем в два раза, поскольку в хаотическом режиме параметр

7. Н2 заведомо превышает единицу. Множитель f 2 при х<1 тожепревышает единицу, и в результате1. T2a,p><T2v. (6.14)

8. Пусть на передающем конце параметр а(п) принимает два значения: <я(1) в случае передачи единицы и а^ в случае передачи нуля (для упрощения записи индекс «р» мы временно опускаем). Запишем эти значения в видеaw=A+А, а(0)=А-А. (6.17)

9. При одинаковых частотах появления единиц и нулей и при одинаковой средней энергии сигналов, отвечающих нулю и единице, решение о приеме единицы принимается при условииа(п) > | а(1) + а(0) . = А, (6.18а)а решение о приеме нуля — при условииа(п)<А (6.186)

10. Р^ = \ Ра (<*)<*<* = 1 ~ \Ра (6-19)оо —Дгде Р^а) — плотность вероятности погрешности а.

11. В случае гауссовой плотности вероятности имеем1. Р(1) =1-Ф07), (6.20)ошгде Ф {ф — гауссов интеграл вероятности, а

12. Л- = -(А/ <Уа) = „ • (6.20Л)2сга

13. Подобным же образом оценивается и вероятность ошибки при приеме нуля: рЩ> = 1 -Ф(т}+), 7.+= А/аа.

14. Согласно (6.20) при \т.\»1 имеет место асимптотическая формула1. Р»'^*-"2'2. (6.21)2 п

15. Если управляющий параметр а{п) принимает более чем два значения а(п) = {а{., / = 1,2 то идентификация /-го символапроизводится при условии выполнения двустороннего неравенства:а(И) <а< а®. (6.22)

16. Вероятность ошибочного приёма информационного /-го сообщения в этом случае определяется формулой:1. Р • = 11 ОШ , I А6.23)-00 щгде пороговые величины 77,- в общем случае, следует определять индивидуально для каждого /-го значения управляющего параметра.

17. Рассмотрим численные примеры, иллюстрирующие возможности передачи информации путем модуляции параметров отображений в хаотическом режиме.

18. Все описанные в данной работе алгоритмы: можно реализовать на отображениихп+1 = а\ ^ хп + а2 ^ 2хп + аз ^ + «4 ^ 4хп • (6-24)

19. Информационное сообщение представлялось в виде последовательностей нулей и единиц.

20. При исследовании влияния шума на достоверность восстановления информационного сообщения предполагалось, что значение шумового процесса уп равномерно распределены в интервале (-/,+/), так, что функция распределения дается выражением1