Формула Айзенберга в псевдовыпуклых областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Роткевич, Александр Сергеевич

• Роткевич, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Роткевич, Александр Сергеевич

Содержание

Введение

I

1 Основные определения

1.1 Основные обозначения

1.2 Класс рассматриваемых областей

1.3 Пространства Харди и Бесова

1.4 Неравенство Харди

2 Формула Коши-Лере-Фантаппье и оценки её ядра

2.1 Теорема Лере. Формула Айзенберга

2.2 Точечные оценки ядра

I

2.3 Интегральные оценки ядра

2.4 Приближение ядра Коши-Лере-Фантаппье

3 Локальные приближения и пространства В^(}(дО,)

4 Построение почти наилучшего локального приближения

5 Два способа псевдоаналитического продолжения

5.1 Продолжение с помощью локальных приближений

5.2 Продолжение с помощью глобальных приближений

I

6 Псевдоаналитическое продолжение функций из классов Бесова

7 Конструктивная характеристика классов Бесова

8 Ограниченность оператора Коши-Лере-Фантаппье в про-

А,

странстве

8.1 Сингулярные интегральные операторы и Т1-теорема

8.2 Доказательство ограниченности оператора Коши-Лере-Фан-таппье в Ьр{дП)

8.3 Ограниченность оператора Коши-Лере-Фантаппье в пространстве ВМО(<9Г2)

9 Ограниченность оператора Коши-Лере-Фантаппье в пространствах Бесова

10 Действие оператора Коши-Лере-Фантаппье в пространствах^)^)

10.1 Ограниченность оператора Коши и оператора Коши-Лере-Фантаппье в пространствах 1^^(60.) в случае логарифмически гёльдерового показателя

10.2 Пример, когда оператор Коши не ограничен в пространстве !/')(Т)

10.3 Пример, когда оператор Коши-Лере-Фантаппье не ограничен в пространстве ¿/^(¿Шг)

Заключение. Основные результаты

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формула Айзенберга в псевдовыпуклых областях»

Введение

Диссертация посвящена изучению свойств и применений интегрального оператора, порождённого интегральным представлением Айзенберга аналитических функций в линейно выпуклых областях.

В анализе функций одной комплексной переменной одним из основных инструментов и предметов изучения является формула Коши. Существенное отличие многомерного случая с этой точки зрения состоит в отсутствии подобной универсальной формулы, восстанавливающей голоморфную функцию по её граничным значениям. Как один из универсальных подходов к этому вопросу можно рассматривать проектор Сегё 5, определяемый как ортогональный проектор пространства Ь2(дО,) на замкнутое подпространство Я2(Г2), порождённое граничными значениями голоморфных функций. Недостаток такого подхода заключается в том, что, за исключением небольшого числа специальных областей, оператор Б выписать в явном виде не удаётся, и получение оценок для этого оператора, как и его применение к конкретным задачам, затруднительно.

Зачастую удобнее рассматривать операторы, порождённые формулами вытекающими из теоремы Лере. Преимущество этих операторов состоит в относительно явной формуле для ядра, часто легко выписываемого по функции задающей область. В 1979 году Л.А. Айзенберг применил теорему Лере к линейно выпуклым областям, получив при этом явную формулу. Точнее, для любой функции /, голоморфной в линейно выпуклой области О = {г € С^ : р(г) < 0} с С2- гладкой границей выполнено соотношение

где сор - дифференциальная форма, выписываемая явно по функции р (по-

(0.1)

дробнее см. в главе 2 или в [1], [8], [11], [30], [31]).

В англоязычной литературе эту формулу часто называют формулой Ко-ши-Лере-Фантаппье (см. [16], [22], [23]), но используют несколько другое выражение для формы В зависимости от контекста будут использоваться оба термина.

Несмотря на простой вид оператора Kd, его свойства до сих пор мало изучены. При этом оказывается, что представление (0.1) можно удачно применить к обобщению одномерных результатов, касающихся аппроксимации голоморфных функций, на многомерный случай.

Первая часть работы посвящена обобщению результата Е.М. Дынькина, полученного в работе [5], в которой, в частности, дана конструктивная характеристика пространств Бесова в областях Радона на комплексной плоскости через глобальные полиномиальные приближения.

Изучение характеристик функциональных пространств на языке аппро-ксимационных процедур — классическая задача, проистекающая из замечания, сделанного Джексоном в 1911 году, о том, что гладкость функции можно характеризовать с помощью её приближений в различных пространствах. Одним из первых результатов в этой области является результат Джексона-Бернштейна, описывающий периодический класс Гёльдера As[—7Г, 7г] при 0 < s < 1 как класс функций, наилучшие приближения которых тригонометрическими многочленами степени п убывают с ростом п как n~s. Касаясь результатов, известных в многомерном случае, отметим, что аналогичная характеристика была получена H.A. Широковым в работе [33] для аналитических классов Гёльдера в строго псевдовыпуклых областях (см. также [9], [10]). Интересно, что предложенный нами результат оказывается схожим со следующей классической теоремой для периодиче-

ских классов Бесова Щя[~тг,7г].

Теорема А. Функция / на [—7г, 7г] принадлежит классу Бесова В3рч[—тг, 7г], 5>0, 1 < р, <? < оо, тогда и только тогда, когда

1/9

< оо (0.2)

при 1 < д < оо, а при д = оо

Вп(Пр<гГ8, п = 1,...,оо, (0.3)

/ 7Г \ 1/Р

где Еп(/)р = т£ I </ !/(#) — Тп(а;)(рб?аг ] — наилучшее приближение функ-тп \_п )

ции / в пространстве 7г,7г] тригонометрическими многочленами степени п.

Метод изучения классов Бесова основан на обобщении понятия псевдоаналитического продолжения, то есть продолжения функции /, заданной в некоторой ограниченной области С С°\ до такой функции Г, определённой во всём пространстве О*, что невязка уравнений Коши-Римана

д{ д{

+ • . +

убывает контролируемым образом при приближении к границе области Скорость этого убывания однозначно характеризует гладкость исходной функции и, например, так же, как и в одномерном случае, / € 1 <

р < оо тогда и только тогда, когда возможно её продолжение с оценкой

J < оо. (0.4)

Основная идея состоит в том, что к оценкам вида (0.4) приводят совершенно различные конструкции псевдоаналитического продолжения. В

ОО 1

настоящей работе приводятся две конструкции продолжения, одна строится по локальным полиномиальным приближениям, другая по глобальным. Таким образом удаётся связать модуль гладкости функции с её глобальными приближениями многочленами, что приводит утверждению в духе теоремы А.

Работа разбита на 10 глав. В главе 1 приводятся основные обозначения, предварительные определения и свойства классов изучаемых функций. Глава 2 посвящена изучению свойств формулы Коши-Лере-Фантаппье, являющейся аналогом формулы Коши. Большая часть оценок, приведённых в этой главе, верна для строго линейно выпуклых областей, однако некоторые пункты выполнены только при условии строгой выпуклости. Как уже сказано выше, гладкость функций мы будем изучать с помощью локальных приближений, поэтому главе 3 устанавливается связь классического определения пространств Бесова, основанного на понятии модуля гладкости, определяемого посредством оператора разности, с полиномиальным модулем гладкости, определяемым с помощью локальных приближений многочленами. Заметим, что результаты этой главы верны для произвольной гладкой области в К/. Особенность аналитических пространств заключается в том, что наилучшее приближение можно искать только среди аналитических многочленов, и в главе 4 строится оператор, дающий локальное наилучшее приближение в пространстве многочленов с ограниченной степенью. В главе 5 приводятся две конструкции псевдоаналитического продолжения — с помощью локальных и глобальных полиномиальных приближений. В главе 6 первая конструкция используется для описания классов Бесова в терминах псевдоаналитического продолжения. А именно, доказывается, что при 1 < р, д < оо (и, естественном обобщении условия

А

на случаи, когда р = оо или д = со) аналитические классы Бесова А* ($1) в выпуклой области = [г 6 О*: р{г) < 0} описываются как классы функций, допускающих продолжение с оценкой

Кг \ф

/ / |дф)|*йаг(г) г-^-^-Чг < оо, (0.5)

о \эпг /

где дПг = {г Е : р(г) = г].

В главе 7 изучается конструктивная характеристика аналитических классов Бесова, в частности доказано, что пространство АрЯ(£1) характеризуется следующим условием при 1 < р, д < оо

ОО 1

]Г - (п"Еп(/)р)я < оо, (0.6)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Роткевич, Александр Сергеевич, 2013 год

Список литературы

1. JI.A. Айзенберг, А.П. Южаков, Интегральные представления и вычеты в комплексном анализе // Наука, Москва (1979).

2. Ю. А. Брудный, Пространства, определяемые с помощью локальных приближений // Труды ММО, т. 24, (1971), 69-132.

3. Ю. А. Брудный, И. П. Иродова, Нелинейная сплайн-аппроксимация функций многих переменных и В-пространства // Алгебра и анализ, т. 4, № 4 (1992), 45-79.

4. В. К. Дзядык, Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами // Наука, Москва (1977).

5. Е. М. Дынькин, Конструктивная характеристика классов С. Л. Соболева и О. В. Бесова // Спектральная теория функций и операторов II, Труды МИАН СССР, т. 155 (1981), 41-76.

6. А. С. Роткевич, Формула Айзенберга в невыпуклых областях и некоторые её приложения // Зап. научн. сем. ПОМИ, т. 389 (2011), 206231.

7. Г.Г. Харди, Дж.И. Литлвуд, Д. Пойа Неравенства // Москва (1948).

8. Г. М. Хенкин, Метод интегральных представлений в комплексном анализе // Комплексный анализ - многие переменные - 1, Итоги науки и техники, Серия Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, т. 7 (1985), 23-124.

9. Н. А. Широков, Прямая теорема в строго выпуклой области в Сп // Исследования по линейным операторам и теории функций. 21, Зап. научн. сем. ПОМИ, т. 206 (1993), 152-175.

10. Н. А. Широков, Равномерные полиномиальные приближения в выпуклых областях в Сп // Зап. научн. сем. ПОМИ, т. 333 (2006), 98-112.

11. К. Adachi, Several complex variables and integral formulas // World Scientific (2007).

12. A. Calderón, Cauchy Integrals on Lipshitz curves and related operators // Proceedings of the National Academy of Sciences (1977), vol. 74, № 4, 1324-1327.

13. G. David, J.L. Journe, S. Semmes, Opérateurs de Calderón-Zygmund,

fonctions para-accrétives et interpolation // Revista Matematica

i

Iberoamericana, vol. 1, № 4, (1985), 1-56.

14. L. Diening, P. Harjulehto, P. Hásto, M. Ruzicka, Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents // Lecture Notes in Mathematics, vol. 2017, Springer-Verlag, Heidelberg (2011).

15. C. FefFerman, E.M. Stein, Hp spaces of several variables // Acta mathematica, vol. 129, № 1 (1972), 137-193.

16. T. Hansson, On Hardy spaces in complex ellipsoids // Annales de l'institut Fourier, vol. 49, № 5 (1999), 1477-1501.

17. P. Harjulehto, P. Hástd, M. Pere, Variable Exponent Lebesgue Spaces on Metric Spaces: The Hardy-Littlewood Maximal Operator // Real Anal.

Exchange, vol. 30, № 1 (2004), 87-104.

!

18. N. Kerzman, E.M. Stein, The Szego kernel in terms of Cauchy-Fantappie kernels // Duke Mathematical Journal, vol. 45, no. 2 (1978), 197-224.

19. V.M. Kokilashvili, S.G. Samko, Operators of harmonic Analysis in Weighted Spaces with Non-standard Growth // Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 352, № 1 (2009), 15-34.

20. A. Korànyi, S. Vagi, Singular integrals on homogeneous spaces and some problems of classical analysis // Annali délia Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, ser. 3, vol. 25, № 4 (1971), 575-648.

21. J. Leray, Le calcul différentiel et intégral sur une variâtâ analytique complexe. (Problème de Cauchy. III) // Bulletin de la Société mathématique de France, vol. 87 (1959), 81-180.

22. L. Lanzani, E.M. Stein, Szego and Bergman Projections Non-Smooth Planar Domains // Journal of geometric analysis, vol. 14, № 1 (2004), 63-86.

23. L. Lanzani, E.M. Stein, The Bergman projection in LP for domains with minimal smoothness // arXiv preprint arXiv:1201.4148vl (2012).

24. N. Levenberg, Approximation m CN // Surveys in Approximation Theory (2006), vol. 2, 92-140.

25. M. Machedon, Szego Kernels on Pseudoconvex Domains with One Degenerate Eigenvalue // The Annals of Mathematics, vol. 128, № 3 (1988), 619-640.

26. J.D. McNeal, E.M. Stein, Mapping properties of the Bergman projection on

convex domains of finite type // Duke Mathematical Journal, vol. 73, № 1 (1994), 177-199.

27. J.D. McNeal, E.M. Stein, The Szego projection on convex domains // Mathematische Zeitschrift, vol. 224, № 4 (1997), 519-553.

28. A. Nagel, J.P. Rosay, E.M. Stein, S. Wainger, Estimates for the Bergman and Szego kernels in C2 // The Annals of Mathematics, vol. 129 (1989), 113-149.

29. L. Pick, M. Ruzicka, An Example of a Space LP^ on wich the Hardy-Littlewood Maximal Operator is not bounded // Expositiones Mathematicae, vol. 19, № 4 (2001), 369-371.

30. R. M. Range, Holomorphic functions and integral representations in several complex variables // Springer Verlag (1986).

31. W. Rudin, Function theory in the unit ball of €d // Springer Verlag (2008).

32. Simon M. Salamon, Hermitian geometry // Invitations to Geometry and Topology, Oxford graduate texts in mathematics, vol. 7 (2002), 233-291.

33. N. A. Shirokov, Jackson-Bernstein theorem in strictly pseudoconvex domains in Cn // Constructive Approximation (1989), vol. 5, № 1, 455-461.

34. E. L. Stout, Hp-functions on strictly pseudoconvex domains // American Journal of Mathematics, vol. 98, № 3 (1976), 821-852.

35. H. Triebel Theory of function spaces III // Birkhauser Basel (2006).