Формулы Фейнмана для эволюционных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Пляшечник, Андрей Сергеевич

• Пляшечник, Андрей Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Пляшечник, Андрей Сергеевич

Оглавление

Введение

1 Эволюционные уравнения, полугруппы и теорема Чернова

2 Параболические уравнения

2.1 Постановка задачи

2.2 Приближающие операторы

2.3 Формула Фейнмана для автономного случая

2.4 Формула Фейнмана в общем случае

2.5 Уравнения на римановых многообразиях

3 Уравнения типа Шредингера

3.1 Постановка задачи

3.2 Одномерный случай

3.3 Приближающие операторы

3.4 Формула Фейнмана

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формулы Фейнмана для эволюционных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами»

Введение

В диссертации получены формулы, представляющие эволюционные семейства, порожденные некоторым классом дифференциальных операторов второго порядка с переменными коэффициентами, с помощью пределов кратных интегралов от элементарных функций от коэффициентов и начальных данных при стремлении кратности к бесконечности. Эти эволюционные семейства дают решение соответствующих задач Коши при некотором классе начальных данных. В работе О.Г. Смолянова, А.Г. Токарева и А. Трумена [15] такой способ представления решений было предложено называть формулой Фейнмана. Наиболее часто используются два вида формул Фенймана. В лагранжевых формулах Фейнмана интегрирование производится по конфигурационному пространству. Первое аккуратное доказательство результата (фактически гипотезы) Фейнмана, относящегося к лагранжевым формулам Фейнмана, было получено в работе Е. Нельсона [17] при помощи теоремы Троттера. В гамильтоновых формулах Фейнмана интегрирование производится по фазовому пространству. Первое аккуратное доказательство аналогичного результата Фейнмана о гамильтоновых формулах было проведено в только что процитированной работе [15], где в качестве основного инструмента доказательства использовалась теорема Чернова. Существует еще один способ представления решений с помощью интеграла по бесконечномерному пространству функций, называемый формулой Фейнмана-Каца. Формулы Фейнмана-Каца могут быть получены с помощью формул Фейнмана: конечномерные интегралы аппроксимируют бесконечномерный интеграл по пространству функций (траекторий). В настоящее время интегрирование по траекториям широко используется в квантовой механике и в квантовой

теории поля (см., например, книги С. Вайнберга [13], М.Е. Пескина и Д.В. Шредера [14]).

Хотя первые гамильтоновы и лагранжевы формулы Фейнмана были получены самим Р. Фейнманом [12] (опиравшимся на одно наблюдение П.А.М. Дирака) более полувека назад, в настоящее время известно сравнительно немного работ, посвященных строгому исследованию формул такого типа; многие результаты лишь анонсированы. Обзор и ссылки на эту тему можно найти в работах О.Г. Смолянова [21] и [22].

Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.

Из полученных в диссертации формул вытекают, в частности, результаты работ М. Гаделья и О.Г. Смолянова [5] и О.Г. Смолянова, Х.ф. Вайцзеккера и О. Виттиха [4]. В первой из них рассматриваются эволюционные дифференциальные уравнения второго порядка и исследуется сходимость формул Фейнмана в пространстве квадратично интегрируемых функций. Полученные в этой работе результаты обобщаются и усиливаются в диссертации, именно, в диссертации допускается, что коэффициенты при производных могут зависеть как от координат, так и от времени; сходимость формул Фейнмана рассматривается в пространстве непрерывных функций и в различных пространствах интегрируемых функций. Во второй работе рассматриваются формулы Фейнмана для уравнений на римановых многообразиях. В диссертации рассматриваются более общие уравнения с переменным множителем перед оператором Лапласа.

Изучаемые в диссертации эволюционные семейства можно разбить по типу соответствующих уравнений на две группы: параболические уравнения и уравнения типа Шредингера.

Параболическому уравнения второго порядка соответствует стохастическое дифференциальное уравнение, решением которого будет некоторый диффузионный процесс. При этом плотность переходной вероятности полученного случайного процесса, являющаяся также интегральным ядром соответствующего эволюционного семейства, будет фундаментальным решением исходного уравнения в частных производных. Построенный случайный процесс определяет меру на пространстве непрерывных функций, а реше-

ние исходного уравнения представляется как интеграл по этой мере. Такое представление называется формулой Фейнмана-Каца. Хотя такой способ и дает точное представление решения, в случае переменных коэффициентов переходные вероятности соответствующего случайного процесса не выражаются через элементарные функции; поэтому на формулы Фейнмана можно смотреть как на применимый для практических вычислений способ приближенного нахождения таких интегралов по бесконечномерному пространству.

Уравнениям типа Шредингера также соответствует интегралы по траекториям; именно они и были введены Фейнманом [12]. Интегрирование в них производится по псевдомере, которая имеет локально неограниченную вариацию; однако свойства таких интегралов во многом схожи со свойствами обычных интегралов. Здесь снова интеграл по траекториям дает точное представление решения, а формулы Фейнмана представляют собой применимый для компьютерных вычислений способ его нахождения.

Перечислим теперь несколько сравнительно недавних результатов о формулах Фейнмана и Фейнмана-Каца, полученных методами, близкими к используемым в диссертации. В работе О.О. Обрезкова [20] рассматривается уравнение типа теплопроводности на компактном римановом многообразии без границы, где старшая часть дифференциального оператора является оператором Лапласа-Бельтрами. В ней также доказаны формулы Фенйнмана-Каца и явно выражена плотность полученной меры относительно меры Винера в терминах геометрических характеристик многообразия. Уравнения типа теплопроводности и Шредингера с оператором Владимирова, являющимся аналогом оператора Лапласа в р-адическом пространстве, с переменным множителем рассмотрены в работе О.Г. Смолянова и H.H. Шамарова [23]. Формулы Фейнмана для операторов на разветвленных многообразиях изучаются в работе О.Г. Смолянова и Д.С. Толстыги [24]. В работе А. Тру-мена и О.Г. Смолянова [10] изучаются формулы Фейнмана для уравнения Шредингера в ограниченной области. Применение формул Фейнмана для решения уравнения Шредингера в бесконечномерном пространстве изучается в работах О.Г. Смолянова [7]; С. Альбеверио, О.Г. Смолянова и А. Хренникова [8]; О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе [9]. Отметим также пионерскую кни-

гу В.П. Маслова [1], в которой для получения формул типа Фейнмана-Каца используются не формулы Фейнмана, а разложение типа Дайсона, а также книгу О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе [11], в которой систематически рассматриваются еще несколько методов получения формул Фейнмана-Каца.

В отличие от перечисленных работ, в диссертации коэффициенты в уравнениях зависят как от пространственных координат, так и от времени; при этом соответствующие операторы могут быть не самосопряженными и даже не симметричными. Кроме того, в диссертации используется более широкий набор функциональных пространств.

При доказательстве результатов диссертации используется обобщение формулы Чернова [16], его доказательство также приведено в диссертации. Это обобщение было анонсировано в статье [18]. Формула Чернова представляет собой обобщение формулы Троттера, с помощью которой в указанной ранее работе Е. Нельсона [17] были впервые доказаны результаты, связанные с формулами Фейнмана. Формула Чернова дает способ приближенного представления сильно непрерывной полугруппы операторов в банаховом пространстве, а при достаточно общих условиях решения эволюционных уравнений выражаются именно через такие полугруппы в различных функциональных пространствах. Мы будем использовать обобщение формулы Чернова на случай, когда операторы зависят от времени. В этом случае полугруппа заменяется на двухпараметрическое эволюционное семейство.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• Доказаны формулы Фейнмана, представляющие решения уравнений типа теплопроводности.

• Доказаны формулы Фейнмана, представляющие решения уравнений типа Шредингера.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе формулируются необходимые определения и вспомогательные утверждения, а также доказывается обобщенная теорема Чернова.

Во второй главе доказываются формулы Фейнмана для уравнений параболического типа. Здесь получены следующие результаты.

Пусть - семейство операторов в пространстве X (его свойства описываются ниже), задаваемое формулой

1,3=1 г=1

При некоторых условиях оно порождает соответствующую эволюционную систему £/"(£, 5). Определим операторы

(^1(*,в)/)(а0 = (27Г^ — 5))_П//2(с^ а(й, ж))~1//2х

Х У еХР (- 2(*-У) ) 1Шу>

(Р2(г,з)/)(х) = /(х + (г-8)ъ(8,х))1

Тогда

[/(£, я) = Нт

п—*оо, тах(^—¿^-х)—>0

где предел понимается в смысле сильной сходимости. Эта формула справедлива в пространствах Ьр(Шп) 1<р<0о, а если коэффициенты не зависят от то и в пространствах Ь^М11) и Со(Кп).

Пусть теперь N - риманово многообразие без края, изометрически вложенное в риманово многообразие М. Пусть Ь(х) - векторное поле на Л^ и а(х), с(х) - скалярные функции на N. Рассмотрим оператор

а(х) . 0 , ч Н = -у^-Длг + дъ(х) + с(х),

где Адг - оператор Лапласа-Бельтрами на N. В этом случае ^з остается без изменений, ^ соответствует сдвигу вдоль траекторий Ь(х), а в качестве ^ рассматриваюся два различных варианта:

(Р»*(Шх) = / ехр 1(У>о1т

Щх) ^ '

где U(x) - £-окрестность точки х в многообразии N, а в качестве (Im,n можно выбрать d^ - расстояние в N или (1м - расстояние в М. Тогда будет справедлива аналогичная формула

UM'N(t, s) = Hm FM>N(t, tn) • ... ■ FM'N(tь s),

n—>oo, max(ifc—

где UM'N(t,s) порождается оператором HM,N, в котором к с{х) добавлена некоторая функция, выражаемая через геометрические характеристики многообразий и их вложения, своя для каждого способа выбора F\.

В третьей главе доказываются формулы Фейнмана для уравнений типа Шредингера. Рассматриваются операторы

■ п ор. п ß

H(t) = -a(t,x) J2 ¿•>(t)g-g- + J2b%z)Q- + c(t,x).

i,j=1 2=1

Операторы F2(t,s) и F^(t,s) имеют тот же вид, что и в предыдущей главе, а Fi(t,s) имеет вид

_-1 jry

(Fi(t, s)f){x) = (2тг)-п/2 det ((£ - s)1+£E + i(t - s)a(s, x)) x

2 i V (ts)1+eE+i(t-s)a(s,x) ) (x-y),(x-y) ] x / e W / Jf(y)dy,

где число £ фиксировано с условием 0 < е < ^^. В этом случае также имеет место формула

U(t,s)= lim F(t,tn)-...'F(t1,s)

п—»oo, max(ife—»0

для порожденного оператором H{t) эволюционного семейства U(i, s), справедливая в пространстве Z/2(Kn).

В заключение выражаю благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Олегу Георгиевичу Смо-лянову за постановку задач, постоянную поддержку и внимание к работе.

Глава 1

Эволюционные уравнения, полугруппы и теорема Чернова

В этом разделе будет доказана обобщенная теорема Чернова, а также ряд вспомогательных утверждений.

Рассмотрим некоторое банахово пространство X над полем действительных или комплексных чисел.

Определение 1. Однопараметрическое семейство ограниченных линейных операторов {T(t), t > 0}7 действующих в X, называется сильно непрерывной полугруппой, если

1. T(t)T(s) = T(t + s).

2. t н-> T(t) сильно непрерывно.

Сильная непрерывность означает, что для каждого х 6 X функция t i—> T(t)x непрерывна. Рассмотрим в пространстве X задачу Коши

= Hu(t), t > 0 (li)

u( 0) = щ,

где H - линейный, не обязательно ограниченный оператор в X. Тогда при определенных условиях будет существовать такая сильно непрерывная полугруппа T(t), что T{t)uQ дает классическое решение задачи (1.1) для некоторого класса начальных данных. Стоит отметить, что T(t)x определено для

всех х е X, хотя задача (1.1) может иметь решение не для всех начальных данных. Определим оператор Н по формуле

Я* = Иш - *

для всех х е X, для которых этот предел существует. Оператор Н называется генератором полугруппы Т(£). Часто оператор Н задается для узкого класса элементов X, например, дифференциальный оператор, заданный на гладких функциях. Тогда Н будет его замыканием. Для случая, когда Н ограничен, верна формула Т(£) = еш. Это обозначение часто используется и в общем случае. Обычная теорема Чернова [6, 3.5, теорема 5.2] дает достаточные условия для существования полугруппы, а также представляет способ вычисления ее элементов.

Теорема 1 (Теорема Чернова). Рассмотрим в банаховом пространстве X семейство ограниченных операторов <5(£)г>о таких, что <

Меш для

всех £ > 0 и к Е N. Пусть для всех х из плотного множества Б существует предел

Л V Я(л)х - X

Ах = Ит -

£->0 t

и множество (Ао — А)И плотно в X для некоторого значения До > и). Тогда замыкание оператора А является генератором сильно непрерывной полугруппы Т(£) и справедлива формула

т{ь)х = Иш я(г/п)пх.

п—»00

Замечание 1. В большинстве случаев выполнено более простое достаточное условие ||ф(£)|| < ешЬ.

В более общем случае оператор Н зависит от переменной £ и задача Коши принимает вид

*№ = H(t)u(t) 0 < s <t < to u(s) = Щ,

(1.2)

В дальнейшем случай зависимости H(t) от времени будем называть общим случаем, а если H(t) не зависит от времени, то это автономный случай.

Определение 2. Двухпараметрическое семейство ограниченных линейных операторов U(t,s), 0 < s < t < to называется эволюционной системой,

1. ¿/(§,5) = I, и(г,г)и(г,з) = и(г,в) для о < в < г < г < ¿0.

2. (¿, з) I—> и(£,«) сильно непрерывно при 0 < 5 < £ < Ц.

Если зависимости от времени нет, то можно вернуться к автономному случаю по формуле [/(¿, з) = Т(Ь — в).

При определенных условиях существует такое эволюционное семейство II(Ь, б), что классическое решение задачи имеет вид 11(1, з)щ.

Обобщенная теорема Чернова дает способ вычисления и(£, а).

Теорема 2 (обобщенная теорема Чернова). Пусть имеется семейство замкнутых операторов {#(£), 0 < £ < Т} таких, что их область определения Оот(Н({)) = В не зависит от £ и плотна в X, для всех £ оператор Н(Ь) взаимнооднозначно отображает И на X и для каждого д £ И множество {Н(1)д}о<г<т ограничено в X. Допустим имеется эволюционное семейство {£/(£, а), 0 < 5 < £ < Т} такое, что

если

||£/(i,i)||<C

(1.3)

при всех 0 < s < t < Т. Пусть для каждого g G D выполнено

(1.4)

при At I 0 равномерно по Ь. Пусть для каждого д £ Б выполнено 11(1, Б)д 6 I) м в)д непрерывно по совокупности переменных t, 5 на

мноэюестве 0 < в < Ь < Т. Пусть имеется семейство ограниченных операторов 5)}о<в^<г такое, что для любого набора О < ¿1 < ... < < Т выполнено

\Шк,Ь-1)...Я(г2м)\\<с (1.5)

H(t)g (1.6)

и для каждого g G D

Q(t + At, t) — I -At-*

при At I О равномерно no t. Тогда для всех f G X

Q(tn, tn-i)...Q(ti, tQ)f - U(b, a)f (1.7)

при n —> oo, tn = b, to = a, max|ii+i — —> О равномерно на множестве О < а < Ъ < Т.

Доказательство. Зададим в пространстве D норму графика Н(0). Тогда D будет банаховым пространством. По теореме о замкнутом графике операторы H(s)H(О)-1 ограничены, а потому при всех 0 < s < t < Т операторы - H(s) = - {H(s)H(О)-1) Я(0) являются ограниченными опе-

раторами из D в X. Для фиксированного g G D из условия (1.6) следует, что множество —H(s))g является ограниченным в X. По теореме Банаха-

Штейнгауза это семейство операторов является равномерно ограниченным. Для фиксированного g G D отображение U(t, s)g является непрерывным в норме графика, а потому образ замкнутого множества 0 < s < t < Т компактен в D.

Зададим е > 0. Тогда найдется конечное множество ди 6 -О, к = такое, что для каждой пары t:s найдется дь с условием \\дь — и{Ь, з)д\\в < е. По условию (1.6) найдется б > 0 так, что при Д£ < 5 для всех ¿и к

выполнено

9к

< е. Тогда получаем

3(г +д г,г)-1

дг

- Н(1) II(г, з)д

<

+ ДМ) -/ Д£

Щ) 9к

+

+

£ +

Д£

+ ¿) - / Д£

- Я (*) (С/(г, % - <?,)

<

-т

\\(и(г,з)д-дк)\\0<(С + 1)б.

Тем самым, доказана равномерная сходимость

Нт яир

д*

- н(г) и (г, з)д

= 0.

(1.8)

Аналогичным образом из (1.4) получаем

'и{г + дм) -1

Нт эир

Теперь докажем (1.7).

Д*

- Я (*)) и (г, з)д

= 0.

(1.9)

\\Qitn, *„_1)...<Э(*2, ¿0)д - и{гп, г0)<?|| <

п

<

3=1 п

\ Ъ3 13~ 1 Ъ' /

0)( вир

вир

<тах(^+1 —)

А*

[/(¿ + ДМ) -7 Д*

<

+

Н{1) и (г, з)д

)

В силу (1.8) и (1.9) это выражение стремится к нулю при max(£j+i— tj) —> О равномерно по 0 < ¿о < tn < Т. Т.к. D плотно в X, то из (1.3) и (1.5) получаем, что теорема справедлива для всех / G X. □

Условие (1.6) неудобно проверять для всех элементов из D. Для упрощения такой проверки используется следующее утверждение.

Предложение 1. В банаховом пространстве (X, || • ||х) рассмотрим подмножество D С X, которое также является банаховым пространством с нормой || • \ причем || • \ \х < С|| • ||_с>. Допустим имеется биективный ограниченный оператор В : D н-> X. Пусть дано семейство операторов A(s), 0 < s < Т с областью определения D{A(s)) D D в банаховом пространстве X такое, что выполнено ||A(s)a;|| < СЦжЦд для всех х G D. Рассмотрим множество Dq С D, плотное в D по норме || • \\d• Возьмем семейство ограниченных операторов A(t, s) в пространстве X такое, что для каждого х G Dq элементы A(t, s)x сходятся к A(s)x в X при t —> О равномерно по s, и найдется такая константа С, что для всех у G Do и всех t выполнено \\A(t, s)y|| < СЦуЦд.

Тогда A(t, s)x сходятся к A(s)x в X при t —> 0 для всех х G D равномерно по s.

Доказательство. Обратный оператор Вограничен по теореме об обратном операторе. Множество B(Dq) будет плотным в X. Выберем х G B(Dq). Тогда

||(А(з) - A{t, s^B^xW < С\\В~1х\\в < С||х||.

Операторы (A(s) — A(t, s))B~1 ограничены, а значит ||(^4(s) — A(t, б)).В_1|| < С. Пусть х G X. Зададим е > 0 и выберем xq G В (Do) такое, что —жо|| <

е. Тогда

\\(A(s)-A(t:s))B-1x\\ < \\(A(s)-A(t,s))B-1x0\\+

+ ||(A(s) - A(t, s))B-\x - ®о)|| < НИМ - A(t, s))^-1^!! + Ce.

Но (А(в) — А^, в))В 1х$ сходится к нулю равномерно по з, а значит то же верно и для х. Отсюда следует, что (А(з) — в))у сходится к нулю для

Часто H(t) состоит из нескольких слагаемых. Следующее утверждение дает возможность проверять условия теоремы Чернова для каждой части отдельно.

Предложение 2. Пусть имеется семейство замкнутых операторов {#(£), 0 < t < Т} таких, что их область определения Dom(H(t)) = D не зависит от t, плотна в X, и для всех t оператор H(t) взаимнооднозначно отображает D на X. Пусть H(t) представляет собой конечную сумму H{t) = H\(t) + ... + Hn(t), где Dom(Hk(t)) ~Э D и для всех х € D выполнено \\Hk(t)x\\ < C||i7(i)x|| и Hk{t)x непрерывна по t. Пусть подмножество Dq плотно в D в норме графика Н(0). Рассмотрим для 1 < к < п семейства ограниченных линейных операторов 6 пространстве X,

удовлетворяющих условиям

всех у Е D равномерно по s.

□

1ШМ)||<С,

(1.10)

для каждого х G Dq выполнено

lim

t—>s

Qk(t,s)x - x t - s

= Hk(s)x

(1.11)

равномерно no s и

Qk(t, s)x - x t - s

< C\\H(0)x

(1.12)

Рассмотрим операторы — з). Тогда для всех х е в

Нт

£—Ь — в

Н(в)х

(1.13)

равномерно по в.

Доказательство. Легко проверить, что

-—---Я(5)х = I ФЦ*, з)...^-!^, 5)-—---1 =

к—1 ^ '

£ з) _ Нк(з)х) +

к=1 ^ ^

п

53 Ш*, 5) - /) Ял(в)а; =

к=2

53 _ +

1

п 1

*)(<Эт(г, 5) - 1)Нк(з)х.

к=2 т=1

Из ограниченности з) получаем я):г — а;

- Я(в)ж

<

г - 5

'в)х - X

Л=1

£ - в

Нк(з)х

п п

+ с5353ПШ«,л)-/)Ял(в)а;||.

к—\ 771=1

Зададим в норму графика Я(0). По теореме о замкнутом графике операторы Я(£)Я(й)-1 являются ограниченными операторами в X, а значит операторы Я(£) являются ограниченными операторами из Б в X. По условию Я(£)ж непрерывна для каждого х £ И, по теореме Банаха-Штейнгауза отсюда следует, что ||Я(£)х|| < СЦжЦд, где константа не зависит от Поэтому \\Нк^)х\\ < СЦжЦд и вместе с (1.12) это дает возможность применить предложение 1, откуда получаем

- х

Нт

= Нк(з)х

равномерно по я для всех х £ И. Используя (1.10) и плотность I) в I, отсюда следует, что Qm.it, з)х = х для каждого х £ X равномерно

по 5. По условию для фиксированного х £ И отображение Нк(з)х отрезка [0, Т] в X непрерывно. Поэтому его образ компактен. Отсюда следует, что

Нт = Нк(з)х

□

равномерно по я.

Более простой вариант для автономного случая выглядит так:

Предложение 3. Пусть имеется оператор Н и множество И С Оот(Н) плотное в X. Пусть Н представляет собой конечную сумму Н = Н\ + ... + Нп, где Оот(Н) С Вот(Нк). Рассмотрим для 1 < к < п семейства ограниченных линейных операторов в пространстве X, удовлетворя-

ющих условиям

\шт<с

и для каждого х £ И выполнено

<-0 í

Рассмотрим операторы = (£)...■ Тогда для всех х £ И

ШЯ®х-х=Нх.

Доказательство. Аналогично предыдущему получаем Я(1)х — х

г

Н X

<

п

к=1

- X

г

Нкх

п п

+с

к=1 т=1

Первое слагаемое стремится к нулю по условию. Для каждого х £ I) выражение — х стремится к нулю. Поэтому в силу плотности И в X и ограниченности оно же стремится к нулю для всех х £ X. □

Глава 2

Параболические уравнения

2.1 Постановка задачи

В качестве Я(£)о<кт будем рассматривать семейство дифференциальных операторов вида

1 71 я2 п Я

т = - £ + + ф,х). (2.1)

i,j = 1 г=1

Мы обычно будем записывать первое слагаемое, примененное к функции /, в матричном виде как x)f"(x)).

Коэффициенты H(t) принимают действительные значения и удовлетворяют следующим требованиям:

1. Гладкость коэффициентов. Для каждого значения t коэффициенты перед частной производной к-го порядка лежат в и ограничены равномерно по переменной t:

l|aiJ(i.-)llc?(R») < С, ||i>'(i,')llc,:m», < С, ||e(i, ОНсда») < С.

(2.2)

2. Непрерывность по Гельдеру. Существуют константы L и 0 < а < 1 такие, что

|a{j{t,x) - < L\t - s\a, |b%x) - b\s, x)\ < L\t - s|a,

\c(t, x) — c(s, ж) | < L\t — s\a. (2.3)

3. Равномерная эллиптичность. Матрица коэффициентов при старшей производной симметрична аг,^(Ь,х) = а^г{1,х), и существует такая положительная постоянная а, что

п п

€ Мп ^ Й- (2-4)

¿,.7=1 к—1

При перечисленных требованиях к коэффициентам Н{€) справедливы следующие утверждения:

Теорема 3. [2, теоремы 8.1.12 и 3.1.13]. Пусть Н(Ь) задан в пространстве Ьр(Жп)\<р<оо с областью определения И^К71). Тогда для каждого р найдутся такие константы шр и Мр > 0, что если ЛеЛ > ир, то А е р(Н(£)) и для всех и 6 выполнено

И1М1р + М1/2||Я«||Р + \\\В2и\\р < Мр\\Хи - Н{1)и\\р.

Теорема 4. [19, теорема 6.14] Пусть с{р,х) < 0. Для каждой функции / £ С1(Вц) уравнение

Н(1)и = /, и{дВя) = 0

имеет единственное решение и £ С3(Дд). Здесь Вц означает замкнутый шар радиуса Я,.

Следствие 1. Зададим Н(1;) на пространстве всех трижды непрерывно дифференцируемых финитных функций Сд (Кп). Тогда для любого пространства Ьр(Шп) 1<р<0о или пространства Со(Кп), состоящего из непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности, найдется такое ш £ К, что для всех А > и образ оператора XI — //"(£) плотен.

2.2 Приближающие операторы

Обозначим через X одно из пространств или пространство

ограниченных непрерывных функций Сь(Ш.п). Через У обозначим пространство , где ^ + ^ = 1, или 1/1 (Мп) соответственно. Тогда для для / € X его норма равна БирдеУ,д^о Всюду в данном разделе С будет обозначать некоторую константу, зависящую только от оценок в (2.2), (2.3), (2.4), размерности п и выбора пространства X. В цепочках неравенств значения этой константы в разных местах не обязаны совпадать.

В дальнейшем мы будем пользоваться известными формулами

(27г)-гг/2(с1еЫ)-1/2 I ехр ¿г = 1, (2.5)

М"

(2тт)-п/2(с1са А)~1'2 I ехр = 1г(АВ), (2.6)

мп

справедливыми для любой положительно определенной матрицы А и произвольной матрицы В.

Рассмотрим в пространстве X при 0 < 5 < I < Т семейство операторов

(*!(«, *)/)(*) = (2-(л - з))-"'-(Ле1а(з,х)) 1/2х

К™

Предложение 4.

(2.7)

Доказательство. Для краткости предположим, что а(р, х) не зависит от £ и будем рассматривать оператор

Ш€)!){х) = (2<к1)-п12{&е1а(х))-1'2х

Докажем, что < е°1 ■ Общее утверждение будет верно т.к. оценки в

(2.2) и (2.4) не зависят от

Сначала рассмотрим случай X = Сь(М.п) или X = Ь00(Шп). С помощью (2.5) получаем

аГ'ЧеЬШ)^ / ехр (.И*)-1^ ('-»)>) !/(„)!,,„ <

М^^Н,))-'/» [ехр 8ир |/(0| =

J \ я )

К"

вир 1/(01- (2.8)

Отсюда следует, что ||7<х(£)|| < 1. Пусть теперь X = Ьх(Мп). В этом случае

\\mfu <

(2**)^ [ [с^Са^ехр (У))) =

{2тт1)-п/2 I det(а(x))-1/2y ехр ^^ (2.9)

К™ Кп

В силу условий (2.4) и (2.2) спектр всех матриц а(х) лежит на некотором отрезке действительной оси [Ль А2], где Ах > 0 и А2 < сю. Поэтому положительный квадратный корень а{х)±1/2 можно выразить по формуле

а(ж)±1/2 = ¿(г1 - а(х))-1 йг,

2ттг J г

где контур Г имеет конечную длину, лежит в области Яе(г) > 0, один раз обходит отрезок [Ах, А2] на расстоянии с1 > 0 от этого отрезка. Функция л/г задана в области Яе(г) > 0 условием л/Т = 1. Из этого представления и

условий (2.2), (2.4) следует, что а{х)±1!2 положительно определены, дважды непрерывно дифференцируемы по параметру ж, и их производные ограничены. В формуле (2.9) в интеграле по dz перейдем к новой переменной у при помощи замены у = a{x)~l!2z, где х рассматривается как параметр. Получим

ll-^i(¿)/|| < (2тгtyn/2J e~y2/2t J |f(x - a{x)xl2y)\dxdy. (2.10)

R™ Rn

Введем функцию r(M) = det(I—M)~l. Пусть U - множество матриц, удовлетворяющих условию \\М\\ < I, где I > 0 выбрано достаточно малым, чтобы функция г(М) вместе с ее двумя первыми производными были определены и ограничены на множестве U. Выберем точку уо > 0 исходя из условия

sup\\d(a(x)1/2)/dx\\<l/y0. (2.11)

¡reR"

Тогда (2.10) можно представить как

(2irtyn/2 J e~y2!2t J\f(x - a{x)l'2y)\dxdy =

R" Rn

(2irtyn/2 J e~y2/2t J | f(x - a(xy/2y)\dxdy+

\\y\\>yo R"

(2irt)~n/2 J е-У2^ J\f(x-a{x)^2y)\dxdy. (2.12)

М\<Уо K"

Рассмотрим интеграл no dx во втором слагаемом в (2.12). Замена переменной интегрирования z = х — а(х)1!2у при фиксированном у с условием ||?/|| < уо в силу (2.11) взаимно однозначна и интеграл принимает вид

f{x - а(х)1/2у) dx = J \f(z)\ det (j - d (a{x)1/2y^j /dx\x=x{y^ dz.

Rn

(2.13)

С помощью оценок

det (i-d (a(x)l/2y) /dx\x=x{y^ - 1 - r'(0)d [a(x)l,2yj jdx\x=x{y,

z)

2

<

_ sup \\r"(M)\\ • sup lldiaC®)1/2)/^!!2,

^ MeU x€in

\\d(a(x)1/2)/dx\x=x{y,z) ~ d(a(x)1/2)/dx\x=z\\ < snp\\d2(a(x)1/2)/dx2\\'\\x(y}z)-z\\ < sup | |c?2(a(^)1/2)/da;2| |-sup | |a(a:)1/2| |-| |y| |

X XX

определитель в (2.13) можно представить в виде

det(/ - d(a{x)l'2y)/dx\x=xMyl = 1 + a(z)y + ß(y, z), (2.14) где ||a(z)|| < С и \ß(y,z)\ < C\\y\\2. Используя (2.13) и (2.14), получаем

J \f(x-a{x)1l2y)\dx = J |/(z)|(l + a(z)y +/%, z))dz.

Подставим полученное выражение во второе слагаемое в (2.12). Линейный по у член даст ноль при интегрировании по симметричной области \\у\\ < уо. Получаем

J (2тTtyn/2e-y2/2i J I f{x - aix)1/2y)\dxdy =

1Ы1<У0 к»

I {2nt)~n/2e~y2i2t J\f(z)\(l + a(z)y + /%, z))dzdy =

\\y\\<yo Rn

J (2тTt)-nl2e-y2'2t J \f(z)\(l + ß(y, z))dzdy <

\\y\\<yo R"

J (27Ttrn'2e-y2'2t j \f(z)\(l + C\\y\\2)dzdy =

\\y\\<y0 R"

J (27rt)-n/2e-y2/2t(l + C\\y\\2)dy<

Ы\<Уо

[ (2ntyn/2e-y2/2t(l + C\\y\\2)dy =

J (2ж)~п12е~у212(1 + Ct\\y\\2)dy < ||/||(1 + Ct). (2.15)

Rn

Оценим первое слагаемое в (2.12). Из (2.2) и (2.4) следует, что СхЦ^Ц < \\a{x)-l/2z\\ < C2\\z\\, где Сг > 0. Поэтому

J (2тit)~n/2e-y2/2t J |/0r - a{xfl2y)\dxdy =

\\y\\>y0 Rn

J J (27ri)~n//2(det 1/2^"2/2i|/(a; - z)\dzdx <

R" \\a(x)-^z\\>y0

С J J rn'2e-Cz2l2t\f(x - z)\dzdx < C\\f\\ J rn'2e-Cz2l2tdz <

R" \\z\\>C Ы\>С

Ce-c/i||/|| J t~n/2e~Cz2/4tdz < Се~с^Ш JГп'2е~с*'*<1г = Се~с/*Ш

||z||>C R"

Соединяя полученное выражение вместе с (2.15) и (2.12), получаем

||*i(i)/|| <(1 + ^ + Се-с/0||/||<е^||/||. Пусть теперь X = Ьр(Шп), где 1 < р < со. Тогда по теореме Рисса-Торина

\\m\\Lp < \\Fmi\\m\\l: < ес\

□

Предложение 5. Для / £ Cg0(Mn) выполнено неравенство

ll^i(M)/-/|| < C(t-s)\\f"\\. (2.16)

Пространство Сд0(Мп) состоит из трижды непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем.

Доказательство. Используя (2.5) и формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме, получим

(РН«, *)/)(:г)-/М = (27r(í-S))-»/2(deta(S,a;))-1/2|exp /(х + у)Оу -/{х) =

Шп

(27г(¿-5))-"/2(detф,^))-1/2| ехр ^ У)) + У) ~/Шу =

(йг(4 - I ехр х

Кп

X + I Г(х + £у)(у,у)(1-0<%1 йу =

(2тг(* - 5))-п/2(ае1а(5,£-)Г1/2х

1

х Iехр (-^'Д'^) /+ €»)(».

Мп О

Линейный член исчез из-за интегрирования по симметричной области. Пусть

д е У. Тогда

2х

1(9. ЖМ)/- Л1 < C(t-s)~"'2Jехр I

R"

1

О К"

- *Г/2|Ы| • ||/"| I J ехр IMI2<& = C(t - s)\\g\\ • \\f'%

□

Предложение 6. Для каждой / G Co0(Rn)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пляшечник, Андрей Сергеевич, 2013 год

Литература

[1] В. П. Маслов, Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана, М.: Наука, 1976.

[2] A. Lunardi, Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems, Birkhauser, 1995.

[3] A. Pazy, Semigroups of linear operator and applications to partial differential equations, Springer, 1983.

[4] O.G. Smolyanov, H. von Weizsäcker, О. Wittich, Chernoff' theorem and discrete time approximations of brownian motion on manifolds, Potential Analysis, 2007, 26, № 1, pp. 1-29.

[5] M. Гадэлья, О. Г. Смолянов, Формулы Фейнмана для частиц с массой, зависящей от координаты, ДАН, 2008, 418, № б, с. 727-730.

[6] K-J. Engel, R. Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equations, Springer, 2000.

[7] О. Г. Смолянов, Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы и квантование Шредингера, ДАН, 1982, 263, № 3, с. 558-562.

[8] S. Albeverio, A. Khrennikov, О. G. Smolyanov, The Probabilistic Feynman-Kac Formula for infinite-dimensional Schrodinger Equation with Exponential and Singular Potentials, Potential Analysis, 1999, 11, c. 157-181.

[9] О. Г. Смолянов, E. Т. Шавгулидзе, Бесконечномерные уравнения Шредингера с полиномиальными потенциалами и интегралы Фейнмана по траекториям, ДАН, 2006, 408, № 1, с. 28-33.

10] О. Г. Смолянов, А. Трумен, Гамилътоновы формулы Фейнмана для уравнения Шредингера в ограниченных областях, ДАН, 2004, 399, № 3, с. 310314.

11] О. Г. Смолянов, Е.Т. Шавгулидзе, Континуальные интегралы, М.: Издательство МГУ, 1990.

12] R. P. Feynman, Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics, 1948, 20, № 2, pp. 367-387.

13] С. Вайнберг, Квантовая теория поля (в 2х томах), М.: ФМЛ, 2003.

14] М. Е. Пескин, Д. В. Шредер, Введение в квантовую теорию поля, Ижевск: РХД, 2001.

15] O.G. Smolyanov, A. G. Tokarev, A. Truman, Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula, J. of Math. Phys., 2002, 43, № 10, c. 51615171.

16] R. P. Chernoff, Note on product formulas for operator semigroups, J. Funct. Anal., 1968. 2, № 2, c. 238-242.

17] E. Nelson, Feynman Integrals and the Schredinger Equation, J. Math. Phys., 1964, 5, № 3, c. 332-343.

18] O.O. Обрезков, О. Г. Смолянов, А. Трумен, Обобщенная теорема Чернова и рандомизированная формула Фейнмана, ДАН, 2005, 400, X2 5, с. 596-602.

19] D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer, 2001.

20] О. O. Obrezkov, The Proof of the Feynman-Kac Formula for Heat Equation on a Compact Riemannian Manifold, Infnite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topic, 2003, 6, № 2, c. 311-320.

21] O.G. Smolyanov, Feynman formula for evolution equations, Trends in stochastic analysis, 2009, 453 pp. 284-302.

[22] О. G. Smolyanov, Schrodinger type semigroups via Feynman formulae and all that, Quantum bioinformation, 2013, 5 pp. 301-314.

[23] О. Г. Смолянов, H. H. Шамаров, Формулы Фейнмана и интегралы по траекториям для эволюционных уравнений с оператором Владимирова, Избранные вопросы математической физики и р-адического анализа, Сборник статей, Тр. МИАН, 2009, 265 с.229-240.

[24] О. Г. Смолянов, Д. С. Толстыга, Формулы Фейнмана для стохастической и квантовой динамики частиц в многомерных областях, ДАН, 2013, 452, № 3, с. 256-260.

Работы автора по теме диссертации

[25] A. S. Plyashechnik, Feynman formula for Schröding er-Type equations with time- and space-dependent coefficients, Russian Journal of Mathematical Physics, 2012, 19, № 3, pp. 340-359.

[26] A. S. Plyashechnik, Feynman formulas for second-order parabolic equations with variable coefficients, Russian Journal of Mathematical Physics, 2013, 20, № 3, pp. 377-379.

[27] А. С. Пляшечник, Формулы Фейнмана для уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, XIX Международная молодежная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов", Тезисы докладов, МАКС Пресс, Москва, 2012.