Градуированные кольца частных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Канунников, Андрей Леонидович

• Канунников, Андрей Леонидович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Канунников, Андрей Леонидович

Оглавление

Введение

1 Предварительные сведения и результаты

1.1 Основные понятия теории градуированных колец и модулей

1.2 Градуированные матричные кольца

1.3 Градуированные аналоги классических понятий

1.4 Ортогональная полнота в теории колец

2 Кольца частных градуированных колец

2.1 Существенные и рациональные расширения

2.2 Полное градуированное кольцо частных

2.3 Классическое градуированное кольцо частных

2.4 Порядки в градуированных матричных кольцах

3 Градуированные кольца Голди

3.1 Основные свойства

3.2 Строение полного градуированного кольца частных

3.3 Существование и строение классического градуированного кольца частных

3.4 Случай главных правых градуированных идеалов

4 Ортогональное градуированное пополнение

4.1 Основное булево кольцо

4.2 Критерий ортогональной полноты кольца С^9Г(]:1)

4.3 Построение ортогонального градуированного пополнения

4.4 Случай градуированных колец Голди

4.5 Локализации

4.6 Кольца с однородным дифференцированием

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Градуированные кольца частных»

Введение

Диссертация посвящена градуированным кольцам частных градуированных по группе колец. В диссертации доказаны градуированные аналоги теоремы Фейса—Утуми о порядках в матричных кольцах, теорем Голди о порядках во вполне приводимых кольцах, а также построено и исследовано ортогональное градуированное пополнение — аналог кольца частных, лежащего в основе теории ортогональной полноты Бейдара— Михалёва.

В последнее время отмечается значительный интерес к кольцам и другим алгебраическим структурам, снабжённым градуировкой. Это объясняется тем, что многие важные классы колец допускают естественную градуировку, например, кольца многочленов, матричные кольца, групповые кольца. В 1979 и 2000 годах Настасеску и ван Ойстаейен выпустили монографии [28, 32], посвящённые кольцам и модулям, градуированным по группе, причём в [28], как и во всех работах раннего периода, рассматривалась только градуировка по группе Ъ целых чисел.

Естественный и важный вопрос в теории градуированных колец — какие свойства градуированного кольца или модуля, рассматриваемого без градуировки, равносильны соответствующему градуированному аналогу этого свойства, и при каких условиях. Стандартный градуированный аналог понятия классической теории колец получается, если в определении этого понятия вместо всех элементов рассматривать только однородные, вместо всех идеалов (подмодулей) — только градуированные и т. п. Такие градуированные аналоги принято обозначать приставкой gr-. Например, gr-apтинoв ^г-нётеров) модуль — это гра-

дуированный модуль с условием минимальности (максимальности) для градуированных подмодулей.

При построении структурной теории градуированных колец важную роль играют градуированные кольца частных — такие кольца частных, которые естественным образом наследуют градуировку кольца. Каждое градуированное кольцо R обладает полным правым градуированным кольцом частных Qgr(R), в которое вкладывается любое другое правое кольцо частных кольца R. Кольцо Qgr(R) является градуированным аналогом полного правого кольца частных Q(R) и может быть построено аналогичными способами [2, 26, 32, 38]. Другим важным правым кольцом частных является классическое Qci(R), образуемое с помощью локализации по мультипликативной системе всех регулярных элементов данного кольца R (и существующее при выполнении условий Ope). При построении его градуированного аналога Q9^{R) используется та же конструкция, но среди регулярных элементов берутся только однородные для наследования градуировки [32]. Одной из первых проблем в теории градуированных колец частных является получение градуированной версии теоремы Голди, описывающей кольца, чьи классические кольца частных вполне приводимы. Строение вполне приводимых колец описывает теорема Молина—Веддербарна—Артина, градуированный аналог которой известен [3, 27, 32].

В конце 1950-х годов английский математик Альфред Голди исследовал порядки во вполне приводимых кольцах, установив, что для полупервичного нётерова справа кольца R кольцо Qci(R) существует и вполне приводимо. Позднее Голди показал, что условие нётеровости справа можно ослабить до системы следующих двух условий:

1) кольцо R удовлетворяет условию максимальности для правых аннуляторов;

2) кольцо R не содержит бесконечных прямых сумм правых идеалов.

Кольца со свойством 2) стали называть конечномерными справа, а кольца со свойствами 1) и 2) — правыми кольцами Голди. Например, кольцо к[хi,£2,...] многочленов над полем к от счётного числа коммутирующих переменных — коммутативное ненётерово кольцо Голди с полем частных к(хi, Х2, ■ • •)•

Голди доказал не только достаточность, но и необходимость условий 1), 2) и полупервичности кольца для полной приводимости его классического правого кольца частных.

Теорема Голди ([14, 17, 21]). Для кольца R следующие условия равносильны:

(1) R — полупервичное правое кольцо Голди;

(2) правый идеал в R существен в точности тогда, когда он содержит хотя бы один регулярный элемент;

(3) кольцо R обладает правым классическим кольцом частных Qd{R), которое является вполне приводимым кольцом.

При выполнении этих условий кольцо Qci(R) просто в точности тогда, когда кольцо R первично.

Часто утверждение о первичных кольцах Голди называют первой теоремой Голди, а о полу первичных кольцах — второй, так же, как в случае теорем Молина—Веддербарна—Артина. Отметим также, что вполне приводимые кольца являются правыми (и левыми) кольцами Голди и совпадают со своими кольцами частных, поэтому для полупервичного правого кольца Голди R справедливо равенство Qci{R) = Q(R)-

Отдельно выделим случай колец главных правых идеалов, так называемых pri-колец (от англ. principal right ideal rings). В 1962 году А. Голди [22] описал первичные и полупервичные pri-кольца.

Третья теорема Голди ([22, 25]).

1. Полупервичные pri-кольца — в точности конечные прямые суммы первичных pri-колец.

2. Первичные pri-кольца — в точности матричные pri-кольца

над нётеровыми справа областями Ope.

Перейдём к градуированным правым кольцам Голди. Так называются [28, 32] градуированные кольца, не содержащие бесконечных прямых сумм градуированных правых идеалов (gr-конечномерные справа) и удовлетворяющие условию максимальности для правых градуированных аннуляторов.

Один из первых градуированных вариантов теоремы Голди доказан в монографии [28] 1979 года.

Теорема ([28], предложение 9.2.3). Пусть R = 0n€2-Rn — gr-no-лупервичное правое градуированное кольцо Голди, Rq = фп^0 Rn> = фтг>0Яп. Предположим, что выполнено хотя бы одно из условий:

(1) R+ содержит центральный однородный регулярный элемент;

(2) R = Rq и ни один минимальный gr-первичный идеал кольца R не содержит R+ ;

(3) R = Rq и R+ содержит однородный регулярный элемент;

(4) все однородные элементы в Rq нильпотентны.

Тогда существует и вполне gr-приводимо кольцо Q9^{R).

Там же приведён пример gr-полупервичного коммутативного градуированного кольца Голди, для которого классическое градуированное кольцо частных не является вполне gr-приводимым. Тем самым показано, что стандартный градуированный аналог второй теоремы Голди неверен.

Пример ([32], пример 8.4.7; [23]; [28], пример 9.2.2). Пусть к -поле, кольцо R = k[X,Y\f(XY) градуировано группой Ъ (обозначим х = Х + {XY) и у = Y + (XY)):

Rn — <

kxn, п > О, k, п = О, ку~п, п< 0.

Легко видеть, что кольцо Q9J(R) совпадает с кольцом R и не является gr-артиновым (и тем более, вполне gr-приводимым), а [х,у) — gr-существенный идеал, все однородные элементы которого — делители нуля.

Мы покажем, что полное градуированное кольцо частных Q9T(R) кольца R из этого примера вполне gr-приводимо и, в частности, не совпадает с классическим Q9Jl(R). Поэтому градуированный вариант теоремы Голди следует рассматривать для колец частных Q9^ и Qgr отдельно. Отметим, что как вопрос об их совпадении, так и вопрос о полной gr-приводимости кольца Q^, упираются в проблему существования однородного регулярного элемента в каждом gr-существенном правом идеале кольца R. В неградуированном случае это условие выполнено и такой проблемы не возникает, но повторение рассуждений Голди в градуированном случае приводит, вообще говоря, к неоднородному регулярному элементу. Эта проблема решалась в работах [23, 28, 29, 30, 32] наложением дополнительных ограничений на однородные компоненты кольца R и градуирующую группу G.

В 1986 году в работе [30] был доказан градуированный вариант теоремы Голди в предположении, что Re — полупервичное левое кольцо Голди, а на само кольцо R было наложено ограничение, эквивалентное е-точности слева (Rg ф 0 => Rg-iRg Ф 0 для всех g G G). Сформулируем правосторонний вариант этой теоремы.

Теорема ([30], предложение 1.4). Пусть R — е-точное справа градуированное кольцо с множеством однородных регулярных элементов S, Re — полупервичное правое кольцо Голди. Тогда верны следующие утверждения:

1) S — правое множество Ope в R;

2) множество Se = S П Re совпадает с множеством всех элементов кольца Re, регулярных в Re;

3) кольцо Q9cl(R) = RSсуществует, вполне gr-приводимо и

е-точно справа;

4) дб1-1 = Л51-1 и (д^-Че = ад-1-

В 2000 году Гудёрл и Стэффорд [23] доказали градуированную версию первой теоремы Голди для gr-пepвичныx колец, градуированных абелевой группой. Этот результат вошёл в монографию [32] 2004 года.

Теорема ([23]; [32], теорема 8.4.4). Если группа С абелева и С-градуированное кольцо Л gr-первично, то кольцо существует и

вполне gr-пpивoдимo.

В этой же монографии получен вариант второй теоремы Голди для gr-пoлyпepвичныx колец, сильно градуированных конечной группой.

Теорема ([32], теорема 8.4.9). Если К — дг-полупервичное правое градуированное кольцо Голди, сильно градуированное конечной группой (3, то Яе — полупервичное правое кольцо Голди, кольцо (5с/(-й) = существует, сильно С-градуировано и вполне дг-приводимо, при этом

(¿ЙГ(Д))е = ОсКДе) = ад"1.

Мощным логическим средством исследования в теории колец является метод ортогональной полноты, разработанный К. И. Бейдаром и А. В. Михалёвым в конце 1970-х и начале 1980-х годов ([1, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 18, 19] и др.). Его основная идея состоит в рассмотрении полупервичных колец как булевых произведений первичных, что позволяет теоремы с определённой логической структурой о первичных кольцах „поднимать" до теорем об ортогонально полных полупервичных кольцах. Основные объекты теории строятся последовательно по заданному полупервичному кольцу А: его полное правое кольцо частных ф = (¿(А), центр С кольца ф (называемый расширенным центроидом кольца А) и булево кольцо В идемпотентов кольца С. С помощью кольца В вводится понятие ортогональной полноты и строится ортогональное пополнение О (А) кольца А. На кольцо О (А) удаётся перенести теоремы, справедливые в классе первичных колец, если их условия и заключения имеют

определённую логическую структуру.

Целью работы является развитие структурной теории градуированных колец с помощью полного и классического градуированных колец частных, а также построенного ортогонального градуированного пополнения для градуированно полупервичных колец.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные результаты состоят в следующем:

1. Градуированный аналог теоремы Фейса—У ту ми о порядках в матричных кольцах (теорема 2.4.4).

2. Градуированные варианты теорем Голди:

1) о строении полного градуированного кольца частных (теорема 3.2.2);

2) о существовании и строении классического градуированного кольца частных (теоремы 3.3.3, 3.3.4, 3.3.5);

3) о строении колец главных правых градуированных идеалов (теоремы 3.4.2, 3.4.3);

3. Построение ортогонального градуированного пополнения и его применения:

1) строение основного булева кольца (теорема 4.1.3);

2) критерии ортогональной полноты полного градуированного кольца частных gr-пoлyпepвичнoгo кольца (теорема 4.2.4, следствие 4.2.6, теорема 4.2.8);

3) построение ортогонального градуированного пополнения и описание его структуры (предложение 4.3.1);

4) его применение к градуированным кольцам Голди (теоремы 4.4.3, 4.4.4);

5) его применение к градуированным кольцам с однородным дифференцированием (теоремы 4.6.7, 4.6.11).

Методы исследования. В диссертации используются методы классической теории колец, теории градуированных колец, а также методы теории ортогонального пополнения Бейдара—Михалёва, развитые для градуированных колец.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер; полученные результаты вносят вклад в развитие теории градуированных колец на основе градуированных частных частных.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях:

— международный алгебраический симпозиум, посвящённый 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора А. В. Михалёва (Москва, 2010);

— VIII международная конференция „Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Саратов, 2011);

— X международная конференция „Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Волгоград, 2012);

— международная конференция „Мальцевские чтения", посвящён-ная 80-летию В. П. Шункова (Новосибирск, 2012),

а также на следующих семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ:

— научно-исследовательский семинар по алгебре;

— семинар „Кольца и модули";

— семинар „Алгебра и теория моделей".

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [36]-[41].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, содержащих 18 разделов, и списка литературы. Библиография содержит 41 наименование. Текст диссертации изложен на 108 страницах.

Краткое содержание диссертации по главам

Глава 1 носит вспомогательный характер. В ней приводятся необходимые сведения и доказываются предварительные результаты. Раздел 1.1 содержит начальные сведения из теории градуированных колец и модулей. В разделе 1.2 исследуются градуированные матричные кольца с хорошими градуировками, то есть такими, при которых матричные единицы однородны. Указано условие, при котором подколь-цо скалярных матриц является градуированным и может быть отождествлено с основным кольцом. Полученные в этом разделе результаты применяются при доказательстве градуированного аналога теоремы Фейса—Утуми в разделе 4.2. В разделе 1.3 приводятся и кратко обсуждаются стандартные градуированные аналоги классических понятий, встречающиеся в диссертации. В разделе 1.4 собраны сведения о булевых кольцах и ортогональной полноте из [7], которые понадобятся в главе 4.

Глава 2 содержит ряд результатов о градуированных кольцах частных. В разделе 2.1 собраны предварительные результаты о gr-существенных и gr-paциoнaльныx расширениях модулей и градуированном сингулярном подмодуле. В разделе 2.2 рассматривается полное правое градуированное кольцо частных Сд9Г(Я) градуированного кольца Я. Доказан критерий его gr-peгyляpнocти и установлен изоморфизм между кольцами С29Г(Я) и С}(Яе) в каждом из двух случаев: 1) кольцо Я е-точно справа и gr-нeeингyляpнo справа; 2) кольцо Я точно справа и слева. Раздел 2.3 содержит предварительные сведения и результаты о классическом правом градуированном кольце частных С^у^Я) градуированного кольца Я. В разделе 2.4 доказаны градуированные аналоги теорем Утуми о кольцах частных (в том числе полных) матричных колец и Фейса—Утуми о порядках в матричных кольцах.

Теорема 2.4.4. Пусть ф — С-градуированное кольцо, п Е М, д = (#1,... ,дп) е Сп, дъ ■ ■ ■ ,дп € Сеп^Эиррф), Я — градуированное

подпредколъцо в С^п^д), $ — множество всех однородных регулярных элементов в Я, Для системы М = {е^}^ матричных единиц в Сдп(Л)), с^бу = 1, обозначим Ам := {а 6 Я | аМ С Вм = {Ь € Я | МЪ С Я} и = ВмАм П (2- Тогда верны следующие утверждения:

1- (Рм)п(д) = ВМАМ.

2. Если ф п{д) — ЯБ , то найдётся система N однородных матричных единиц в Сдп{д), для которой В^А^ — градуированный правый порядок в (дп{д)-

3. В предположениях пункта 2: если ф — градуированное тело, то ^дг (для любой системы N из пункта 2) — градуированный правый порядок в ф и С2п(д) = N П 5)-1.

Глава 3 посвящена градуированным кольцам Голди. В разделе 3.1 доказываются вспомогательные утверждения о gr-пoлyпервичных правых градуированных кольцах Голди. В разделе 3.2 доказывается критерий полной gr-пpивoдимocти полного правого градуированного кольца частных С}9Г{Я) градуированного кольца Я. Для gr-пoлyпep-вичных правых градуированных колец Голди условия этого критерия выполняются.

Теорема 3.2.2. Рассмотрим следующие условия на градуированное кольцо Я:

(1) Я — дг-полупервичное правое градуированное кольцо Голди;

(2) кольцо Я дг-полупервично, дг-несингулярно справа и дг-конеч-номерно справа;

(3) кольцо Я дг-несингулярно справа и дг-конечномерно справа;

(4) кольцо С}дг дг-несингулярно справа и дг-конечно мерно справа;

(5) кольцо С29Г вполне дг-приводимо.

Между условиями (1)—(5) имеются следующие логические связи:

(1) (2) (3) (4) (5).

В разделе 3.3 исследуется классическое правое градуированное кольцо частных С(Я) правого градуированного кольца Голди Я.

Теоремы 3.3.3, 3.3.4, 3.3.5. Для градуированного правого кольца Голди Я кольцо (¿¿{Я) существует и вполне дг-приводимо в каждом из следующих случаев:

(1) кольцо Я е-точно справа и кольцо Яе полупервично;

(2) группа С периодична и кольцо Я дг-полупервично;

(3) кольцо Я имеет конечный носитель и дг-полупервично.

В разделе 3.4 доказаны градуированные аналоги третьей теоремы Голди о строении (полу)первичных колец главных правых идеалов.

Теорема 3.4.2. Для градуированного кольца Я равносильны следующие условия:

(1) Я — дг-полупервичное дг-рп-кольцо;

(2) Я = (ВГ=1 Яг, где п^Мк каждое кольцо Яг — дг-первичное дг-рп-кольцо, причём существует такой элемент д £ С, что каждый правый градуированный идеал в каждом кольце Яг содержит порождающий элемент степени д.

При выполнении этих условий кольца (^^(Я^), г — 1 ,...,п, (¿¿(Я) существуют, вполне дг-приводимы и дсЦЯ) = С29Г(Я) =

ек1«?№) = е« <З9Г(ъу

Теорема 3.4.3. Для дг-рп-кольца Я равносильны условия:

(1) Я — дг-первичное кольцо;

(2) Я = 1гПп(д)ь' ) где И — некоторая правая градуированная область Оре, п е д = (#1,... ,дп) € Н £ Сеп^д^д'1 | 1 ^ г, э ^ п}.

При выполнении этих условий С^дг(Я) = (^^(Я) = Тп(д), где Т — градуированное тело, причём Тд-\тд. — С£дг(П)д-\}1т11-1д. для всех 1 ^ г, 3 ^ п1 т е С.

В частности, если в (2) элемент И можно взять из центра группы (7 (например, если группа С абелева), то Я = -Оп(р) и (^^(И) = Т.

Глава 4 посвящена ортогональному градуированному пополнению. Основное кольцо R предполагается gr-полупервичным. В разделе 4.1 построено булево кольцо В = B(R), относительно которого далее рассматривается ортогональная полнота модулей и колец. Мотивирован выбор кольца В, дано его описание и установлена его ортогональная полнота. В разделе 4.2 введено понятие ортогональной gr-полноты — ортогональной полноты однородных компонент. Доказано, что кольцо Q9r = Q9r(H) ортогонально gr-полно, а также доказан критерий его ортогональной полноты.

Теорема 4.2.8. Если gr-полупервичное кольцо R точно во всех компонентах слева или справа, то кольцо Qgr ортогонально полно в точности тогда, когда выполнено хотя бы одно из условий: группа G конечна или кольцо В конечно.

В разделе 4.3 построено ортогональное градуированное пополнение Ogr(R) кольца R, дано его поэлементное описание, установлена его связь с ортогональным пополнением кольца Re при условии полупервичности последнего. В разделе 4.4 ортогональное градуированное пополнение применяется к исследованию gr-полупервичных градуированных колец Голди.

Теоремы 4.4.3, 4.4.5. Пусть R — gr-полупервичное правое градуированное кольцо Голди. Тогда Ogr(R) = где Ri,..., Rn — gr-первичные правые градуированные кольца Голди. Если при этом группа G абелева, то Qgr{R) = Qgr{Ogr{R)) = ®?=1 <Э2"(Д0-

В разделе 4.5 исследуются локализации ортогонально (gr-)полных gr-полупервичных колец по ультрафильтрам кольца В. Установлена gr-первичность образуемых факторколец. В разделе 4.6 применение метода ортогональной полноты иллюстрируется на градуированных кольцах с однородным дифференцированием (при котором производные однородных элементов однородны). С однородным дифференцированием d на градуированном кольце R связывается функция 5, пе-

реводящая степени однородных элементов в степени их (ненулевых) производных. Данная функция частично определена на группе (?, и её область определения, вообще говоря, расширяется при продолжении дифференцирования на кольцо дг. С помощью введённой функции удаётся доказать однородность продолженного дифференцирования, что позволяет включить его в сигнатуру кольца и применить метод ортогональной полноты. Доказаны градуированные аналоги теоремы И. Херстейна для первичных колец и её обобщение на полупервичные кольца, полученное К. И. Бейдаром и А. В. Михалёвым.

Теорема 4.6.11. Пусть Я — дг-полупервичное кольцо с однородным дифференированием й таким, что с1(х)с1(у) = с1(у)с1(х) для всех х, у £ Я. Предположим, что кольцо С^дг ортогонально полно. Тогда существует такой элемент и £ В, что кольцо иОдг коммутативно и ограничение (I на (1 — и)Одг — дифференцирование с нулевым квадратом.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Александру Васильевичу Михалёву за постановку задач, руководство работой и поддержку, а также Виктору Тимофеевичу Маркову, Ирине Николаевне Балабе и Елене Игоревне Буниной за ценные советы и полезные обсуждения.

Глава 1

Предварительные сведения и результаты

1.1 Основные понятия теории градуированных колец и модулей

Градуированные кольца

Определение. 1. Кольцо Я называется С-градуированным (или градуированным по группе (7), если

где {Я9 | д 6 С} — семейство аддитивных подгрупп кольца Я таких, что Я5Я/г С для всех д,Н £ С. Если при этом Я^Я/г, = Я^ для всех 6 С, то кольцо Я называется сильно градуированным.

2. Элементы множества /г(Я) = У Я5 называются однородными,

ненулевой элемент г £ Я5 называется однородным элементом степени д\ обозначение: с^г = д.

Всюду далее фраза „Я — градуированное кольцо" означает, что кольцо Я градуировано по группе (2.

Пример 1.1.1. 1. Поле С комплексных чисел можно градуировать группой Ъч — {0,1}:

С = М 0 Ж, Со = к, Сх = Ж, 16

2. Тело Н кватернионов можно градуировать группой Ъ<1 ф Ъ^. Ж2Ф = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}:

и = 1ежеде ш, н(0>0) = к, н(0д) = ж, и(11о) = л И(1Д) = т.

В обоих случаях градуировка сильная.

Определение. Градуированное кольцо Я называется

— д-точным справа (слева), где д € С, если для любого г £ Ь(Я)\ 0 найдётся такое г' £ /г(Я), что гг' £ Яд \ 0 (г'г £ Яд \ 0);

— точным справа (слева), если оно р-точно справа (слева) для всех д € С.

— д-точным (точным), если оно д-точно (точно) справа и слева.

Предложение 1.1.2 ([32], предложение 1.1.1). Для градуированного кольца Я верны следующие утверждения:

1) 1 € яе;

2) если элемент г £ Яд обратим, то г~1 £ Яд-1,'

3) кольцо Я сильно градуировано тогда и только тогда, когда Яе = ЯдЯд-1 для всех д Е С.

Очевидно, что сильно градуированное кольцо точно справа и слева. Обратное неверно, как показывает следующий пример.

Пример 1.1.3. 1. Кольцо многочленов Я = А[х] над кольцом А естественным образом градуировано по группе Ъ:

Яп = Ахп при 77, ^ 0 и Яп = 0 при п < 0.

Данная градуировка не является сильной, так как, например,

0 = Я-гЯ2 ф #1 = Ах.

Эту градуировку далее будем называть стандартной.

2. Кольцо многочленов Я — А[х] можно градуировать по группе Ъп, положив

| А[хп] при к = О, к 1 хкА[хп] при 1 < к ^ п - 1. Если А — область целостности, то кольцо А[х] точно во всех компонентах (так как не содержит делителей нуля), но не является сильно градуированным, поскольку

ДтД^гг = хпА[хп] ф Л[хп] = Щ.

Скрещенные произведения

Определение. 1. Пусть А — кольцо, II(А) — множество всех его обратимых элементов, С — группа, сг : С —> А^А, а : О2 —>■ и (А) — два отображения. Обозначим а(д)(а) через 9 а. Четверка (А, (7, а, а) называется скрещенной системой, если выполнены следующие условия (а е А, д,Н,к € С):

(1) 9^а) = а(д,Н) 9На а^/г)"1;

(2) а(д, К)а{дк, к) —9 а(Н, к) а(д, Нк)\

(3) а{д,е) = а(е,д) = 1;

(4) еа = а.

2. Пусть (А, О, а, а) — скрещенная система. Свободный левый А-модуль с базисом (7, на котором определено умножение по правилу

(ад)(ЪК) = (а9Ьа(д,К))д1г, а,Ь € А, д,И е О,

называется скрещенным произведением и обозначается А * 6?(сг, а) (используется также обозначение А^О).

3. Если а(д) = при всех д Е С, то скрещенное произведение А*С(сг, а) называется скрещенным групповым кольцом и обозначается

4. Если а(р, К) = 1 при всех д, Н £ (2, то скрещенное групповое кольцо АЬС называется косым групповым кольцом и обозначается АО.

5. Если а(д) = при всех д Е (? и а(ду И) = 1 при всех д, И Е О, то скрещенное групповое произведение А * С(сг, а) превращается в обычное групповое кольцо АС.

Предложение 1.1.4 ([32], предложение 1.4.1, 1.4.2).

1. Скрещенное произведение Я = А * С(сг, а) превращается е С-градуированное кольцо, если положить Яд = Ад. При этом Яе = А и каждая однородная компонента Я содержит обратимый элемент д.

2. Всякое С-градуированное кольцо Я такое, что при каждом д Е (7 компонента Яд содержит обратимый элемент ид причём ие = 1, является скрещенным произведением для скрещенной системы (Яе,С,сг,а), где а(д)(а) = идаи~1, а(д,Ь) =

Градуированные модули и гомоморфизмы

Определение. Правый модуль X над градуированным кольцом Я называется С-градуированным, если

Х = ®Х91 д&в

где {Хд | д Е С} — семейство таких аддитивных подгрупп в абелевой группе (X, +), что ХдЯь С Хф для всех д, К Е С.

2. Элементы множества Н(Х) = и Хд называются однородными;

део

ненулевые элементы в Хд называются однородными степени д.

3. Для элемента х Е X и подмножества Т С X определяются носители: 8ирр(а:) = {д Е С | хд ф 0} и Эирр(Т) = и 8ирр(х).

хет

4. Градуированный модуль Хц назовём ^-точным (д Е (7), если для любого ненулевого х Е Ь(Х) существует такое г Е Н(Я), что 0 ф хг Е Мд.

Аналогично определяются левый С-градуированный модуль и О-г'радуированный бимодуль. Всюду далее фраза „Хц — градуированный модуль" означает, что X — С-градуированный модуль над С-градуиро-ванным кольцом Я.

Определение. Подмножество (в частности, идеал или подмодуль) градуированного кольца или модуля называется градуированным, если с каждым своим элементом оно содержит все его однородные компоненты.

Решётку всех идеалов (подмодулей) не обязательно градуированного кольца Я (модуля X) будем обозначать через ТсЦЯ) (С(Х)), а решётку всех градуированных идеалов (подмодулей) градуированного кольца Я (модуля X) - через 1вРг{Я) (&Г(Х)).

Определение. 1. Гомоморфизм (р : Я —>• 5 градуированных колец называется однородным, если <£>{Яд) С Бд для всех д £ С.

2. Гомоморфизм / : Хц —> Уд градуированных модулей называется однородным степени д Е (7, если /(Хь) Я Уф Для всех Н е О. Аддитивная группа всех таких гомоморфизмов обозначается через НОМд(Х,У)г

3. Гомоморфизмы градуированных Д-модулей из аддитивной подгруппы

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Канунников, Андрей Леонидович, 2013 год

Литература

1] Авраамова О. Д. Обобщённые теоремы плотности // Дисс. ... канд. физ.-мат. наук, специальность 01.01.06, М., 1989 — 78 с.

2] Балаба И. Н. Кольца частных полу первичных градуированных колец. Труды международного семинара „Универсальная алгебра и приложения", Волгоград, 2000, с. 21—28.

3] Балаба И. Н. Градуированные кольца и модули // Дисс. ... докт. физ.-мат. наук, специальность 01.01.06, М., 2012 — 212 с.

4] Балаба И.Н., Ефремов В. А. Градуированные кольца частных полупервичных градуированных колец // Чебышёвский сборник. - Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2010. — Т. 11. — Вып. 1(33). - С. 20-30.

5] Бейдар К. И. Кольца с обобщёнными тождествами, I // Вестник МГУ, Мат., мех., 1977, №2, с. 19-36.

6] Бейдар К. И. Кольца частных полу первичных колец / / Вестник МГУ, Мат., мех., 1978, №5, с. 36-43.

7] Бейдар К. И., Михалёв А. В. Ортогональная полнота и алгебраические системы // Успехи математических наук, 1985, т. 40, Вып. 6, с. 79-115.

8] Бейдар К. И., Михалёв А. В. Функтор ортогонального пополнения // Абелевы группы и модули. Вып. 4. 1986. С. 3-19.

9] Джекобсон Н. Строение колец. Издательство иностранной литературы. 1961.

[10] Залесский А.Е., Михалёв А.В. Групповые кольца //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. — М: ВИНИТИ, том 2, 1973. С. 5-118.

[11] Захаров В. К. Ортопополнение модулей, колец и булевых алгебр. — В кн.: Упорядоченные множества и решётки. — Саратовский ун-т, 1976, №4, с. 54-65.

[12] Ламбек И. Кольца и модули. — М.: Факториал Пресс, 2005.

[13] Михалёв А. В. Ортогонально полные многосортные системы // ДАН СССР, №6, 1986, С. 1304-1308.

[14] Туганбаев А. А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. - М.: МЦНМО, 2009.

[15] Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, I. М.: Мир. 1977.

[16] Харченко В. К. Некоммутативная теория Галуа. — Новосибирск: Научная книга, 1996.

[17] Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.

[18] Beidar К. I., Martindale W. S., Mikhalev А. V. Rings with generalized identities. M.Dekker, 1995.

[19] Chen-Lian Chuang. Boolean valued models and semiprime rings. Proc. of the International Conference of Algebra in Memory of Prof. К. I. Beidar, p. 23-53, 2005.

[20] Goldie A. W. The structure of prime rings under ascending chain conditions// Proc. London Math. Soc. - 1958. - V. 8.- P. 589-608.

[21] Goldie A. W. Semi-prime rings with maximal conditions// Proc. London Math. Soc. - 1960. - V. 10,- P. 201-220.

[22] Goldie A. W. Non-commutative principal ideal rings// V. XIII. 1962.

[23] Goodearl K., Stafford T. The Graded Version of Goldie's Theorem, Contemporary Math. 259, 2000, 237-240.

[24] Herstein I. N. A note on derivations. Canad. Math. Bull., 21, 1978, p. 369-370.

[25] Jatengaonkar A. V. Left principal ieal rings // Lect. Notes Math. Springer. 1970.

[26] Jespers E., Wauters P. A general notion of noncommutative Krull rings // J. of Algebra, 1988. V. 112. P. 388-415.

[27] Liu Shaoxue, Beattie X., Fang Hongjin. Graded division rings and the Jacobson density theorem. Journal of Boijing Normal University (Natural Science), 1991, vol. 27, N 2, 129-134.

[28] Nastasescu C., van Oystaeyen F. Graded and Filtered Rings and Modules. Lect. Notes Math. Springer. 1979.

[29] Nastasescu C., van Oystaeyen F. Graded Ring Theory // North-Holland, Amsterdam. 1982.

[30] Nastasescu C., Nauwelaerts E., van Oystaeyen F. Arithmetically graded rings revisited // Comm.Alg., 1986, v.14, N10, p. 1191-2017.

[31] Nastasescu C. Some construction over graded rings. Application //J. Algebra. 1989. V. 120. P. 119-138.

[32] Nastasescu C., Van Oystayen F. Graded ring theory. — Amsterdam, North-Holland, 2004.

[33] Tewari K. Complexes over a complete algebra of quotients. Canad. J. Math., 19, 1967, p. 40-57.

[34] Utumi Y. On quotient rings // Osaka J.Math. - 1956. — V. 8. — P.dirOo-18.

[35] Yahya H. A note on graded regular rings// Comm. Alg., 1997. V.25JV 1. P.223-228.

Работы автора по теме диссертации

[36] Канунников A. JI. Градуированные варианты теоремы Голди // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 2011, №3, с. 46-50.

[37] Канунников A. JI. Градуированные варианты теоремы Голди, II // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 2013, №3, с. 47-51.

[38] Балаба И. Н., Канунников А. Л., Михалёв А. В. Градуированные кольца частных ассоциативных колец, I // Фундаментальная и прикладная математика, 2012, 2, с. 3-74.

[39] Канунников А. Л. Ортогональное градуированное пополнение гра-дуированно полупервичных колец // Фундаментальная и прикладная математика, выпуск 7, 2013, с. 117-150.

[40] Канунников А. Л. Порядки в градуированных матричных кольцах

[41] Канунников А. Л. Об одном применении метода ортогональной полноты в теории градуированных колец // Алгебра и логика, 2013, том

// Вестник МГАДА, 2013, №1(20), с. 52-56.

52, №2, с. 145-154.

/