Граничный метод решения прикладных задач математической физики и его приложения в геомеханике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Федоров, Фома Михайлович

• Федоров, Фома Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Федоров, Фома Михайлович

Введение

1. Методы решения дифференциальных уравнений в виде рядов. Краткий обзор

1.1. Метод специальных конструкций рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными (подход А.Ф.Сидорова).

1.2. Операторный метод.

1.3. Проекционные, вариационные и интегральные методы

2. Основы граничного метода

2.1. Основная идея метода.

2.1.1. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных.

2.1.2. Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных.

2.2. Специальные системы алгебраических уравнений

2.3. Исследование СЛАУ.

2.4. О некоторых рекуррентных соотношениях

2.5. О высших порядках дифференциальных операторов

2.6. Высшие производные сложной функции.

2.6.1. Сложная функция от одной переменной

2.6.2. Сложная функция от двух переменных

2.7. О методах улучшения скорости сходимости рядов

2.8. Дробное дифференцирование и граничный метод

Одномерные линейные задачи теории теплопроводности

3.1. Ограниченная область. Декартова система координат

3.2. О собственных функциях и собственных числах краевых задач.

3.3. Полуограниченная область. Декартова система координат.

3.4. Уточнение граничных условий на радиусе теплового влияния

3.5. Приближенные решения.

3.6. Цилиндрическая система координат.

Одномерные нелинейные задачи теории теплопроводности

4.1. Задачи с нелинейностью 1-го рода.

4.2. Задачи с нелинейностью П-го рода.

Задачи с подвижными границами

5.1. Однофазные задачи. Точные решения.

5.2. Приближенные решения.

5.3. Обратные задачи.

5.4. Двухфазные задачи.

Системы дифференциальных уравнений в частных производных 208 6.1. Линейные уравнения тепломассообмена.

6.2. Нелинейные уравнения тепломассообмена

7. Задачи с переменным направлением времени

7.1. Задача с коэффициентом sign(x) при производной по времени.

7.2. Задача с коэффициентом x2n+l при производной по времени.

8. Математическое моделирование процессов тепло-мас-сообмена, обусловленных освоением северных территорий 253 8.1. Математическая модель размыва мерзлых горных пород

8.4. Расчет ламинарного пограничного слоя течения вдоль поверхности магнитного шлюза.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Граничный метод решения прикладных задач математической физики и его приложения в геомеханике»

Актуальность проблемы. Метод математического моделирования, как инструмент научного познания, сформулированный и развиваемый усилиями отечественных научных школ академиков А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, Н.Н. Янен-ко, Г.И. Марчука, Н.Н. Моисеева и А.Ф. Сидорова, представляет собой содержание триады "модель - алгоритм - программа", т. е. предполагает выполнение трех последовательных этапов исследования - построение математической модели, разработка вычислительных алгоритмов и программы их реализации на компьютере. Несмотря на многообразие всех физических и технических проблем, возникающих при решении научных и прикладных задач, их строгое математическое описание, если это возможно, сводится, как правило, к ограниченному числу классов дифференциальных уравнений, т.е. различные физические процессы допускают сходные математические описания. Так, нестационарные процессы диффузии, теплопроводности, фильтрации и т.д. описываются одним и тем же уравнением параболического типа (уравнением теплопроводности), стационарные процессы диффузии, теплопроводности, течения несжимаемой жидкости, электростатики и т.д. описываются уравнением эллиптического типа (уравнением Лапласа или Пуассона), малые колебания стержней, акустические и электромагнитные колебания и т.д. описываются уравнением гиперболического типа (волновым уравнением). Эти уравнения и их сочетания чаще всего и являются основой математической модели рассматриваемых физических явлений. В свою очередь, разработка вычислительных алгоритмов тесно связана с разработкой общих методов решения дифференциальных уравнений в частных производных. Таковыми в основном являются аналитические методы (точные и приближенные) (JI.B. Канторович [64, 65], Б.Г. Галеркин [40], Г.А. Гринберг [47], А.А. Дородницын [55], JI.B. Овсянников [114, 115], А.А. Самарский, С.П. Курдюмов, В.А. Галактионов [38, 39, 132, 133], В.Н. Монахов [109-111], М.А. Алексидзе [1], В.Д. Купрадзе [86, 87], А.Ф. Сидоров, Н.Н. Яненко, В.П. Шапеев [125, 146], А.Д. Полянин [120], В.П. Маслов [96], Э.М. Карташов [70, 71], Н.Х. Ибрагимов [230], С.С. Титов [156, 157], Ю.М. Григорьев [46], М.Ю. Филимонов [207], М. Танака [232], X. Фуджита [225], Ж. Филип [239] и др.), численные методы (А.Н.Тихонов, А.А.Самарский [122, 130-132], Г.И. Марчук [98, 99], Н.Н. Яненко [218-220], С.К. Годунов [41], Н.Н. Моисеев [107, 108], Ю.И. Шокин [216], А.Н. Коновалов [80, 219, 233], Ф.П. Васильев [29, 30], И.В. Фрязинов [212, 213], П.Н. Вабищевич [21-23], А.Ф. Воеводин [34, 35], В.И. Дро-бышевич [56-58], В.И. Васильев [24-28] и др.) и метод прямых (И.С. Березин [13], С.Г. Михлин [105, 106], О.А. Лисковец [91] и др.). Яркий пример удачного сочетания аналитических и численных методов моделирования нелинейной модели - нелинейная теплопроводность плюс нелинейное объемное энерговыделение - отражен в работах А.А. Самарского и его соратников С.П. Курдюмова, В.А. Галактионова, А.П. Михайлова [38, 39, 133]. Следует отметить, что для каждой задачи математической физики (и даже в пределах одной задачи) имеется свой наиболее рациональный метод решения с точки зрения экономии времени, труда и достижения наибольшей точности. Преимущества (такие, как обозримость, бы строта достижения конечного численного результата и т.д.) и недостатки, причем очень существенные, (например, ограниченный круг применения) аналитических методов перед численными методами в достаточной мере описаны в различной литературе [70, 120, 146 и др.]. Тем не менее, остановимся на некоторых моментах преимущества аналитических методов решения дифференциальных уравнений в частных производных перед численными, отмеченными академиками А.Ф.Сидоровым, Н.Н. Яненко и их учениками [146, 156, 157]. Прежде всего они указали, что трудности проблемы аналитического представления решений привели к двум направлениям развития теории уравнений с частными производными. В первое вошли теоремы существования решений краевых задач или задач Коши. Однако даже при доказанных теоремах существования локальная структура решения большой частью остается неясной. Это затрудняет анализ необходимых для практики решений и их более глубокое осмысление. Ко второму относятся методы приближенного интегрирования, заключающиеся в построении цепочки моделей, для которых возможны эффективные аналитические или численные решения.

Вместе с тем, как правило [120, 146 и др.], численное решение позволяет получить конкретный ответ на конкретный вопрос, но не дает представления о структуре решения. Поэтому интерес к выделению классов аналитических решений возрос именно в связи с появлением большого численного материала расчетов, нуждающихся в интерпретации. Далее, точные решения дифференциальных уравнений служат прекрасными тестами для приближенных методов их интегрирования и дают представление о структуре общего решения. Как показывает практика решения задач на ЭВМ приближенными методами, наличие теста полезно не только при выборе приближенного метода, но и на других этапах технологической цепочки при решении задачи на ЭВМ. Оно помогает быстрее отладить программу, оценить погрешность результата и гарантирует его достоверность. Значение точных решений дифференциальных уравнений этим не исчерпывается. Их знание позволяет изучить свойства решений и глубже проникнуть в физику явлений, описываемых дифференциальными уравнениями [146]. Даже те частные точные решения дифференциальных уравнений, которые не имеют ясного физического смысла, могут быть использованы в качестве "тестовых" задач при проверке корректности и оценке точности различных численных, асимптотических и приближенных аналитических методов. Кроме того, допускающие точные решения модельные уравнения и задачи служат основой для разработки новых численных, асимптотических и приближенных методов, которые, в свою, очередь, позволяют исследовать уже более сложные задачи, например, тепло- и массопереноса, не имеющие точного аналитического решения [120]. Таким образом, каждое точное решение дифференциальных уравнений имеет большую ценность, во-первых, как точное описание реального процесса в рамках данной модели, во-вторых, как тест для апробации и сравнения различных численных методик, в-третьих, как теоретический факт, осмысление которого помогает совершенствовать используемые модели [156, 157].

Необходимо отметить еще одно не менее важное достоинство аналитических методов. Представление аналитического решения одной и той же задачи в различных эквивалентных функциональных формах (тождественных в смысле числа) имеет большую практическую ценность, так как позволяет варьировать решением в зависимости от постановки задачи. Например, представление решения тепловой задачи в форме ряда Фурье удобно для больших времен, а в виде формулы суммирования Пуассона более подходит для малых времен [70, 93].

Таким образом, разработка новых экономичных, простых и универсальных аналитических методов решения дифференциальных уравнений в частных производных, доступных не только инженерам, конструкторам, но и открытых для успешного применения методов математического моделирования, является весьма актуальной проблемой.

Основу данной диссертации составляют следующие научные отчеты по госбюджетным темам, выполненным в ОПМВТ ЯНЦ СО РАН и в НИИПМиИ при ЯГУ, ответственным исполнителем и научным руководителем которых был автор:

1. Разработка методов решения ОДУ и уравнений в частных производных. N гос. per. 78069293 , Фонды ОПМВТ ЯНЦ СО РАН, Якутск, 1983, 212 с.

2. Разработка граничного метода для решения прикладных задач математической физики. N гос. per. 01.87.0082046 , Фонды ОПМВТ СО РАН, Якутск, 1990, 195 с.

3. Разработка и применение математических методов в экологических системах. Фонды НИИПМиИ при ЯГУ, Якутск, 1995, 48 с.

4. Исследование и разработка задач для неклассических уравнений математической физики и прикладной экологии. Фонды НИИПМиИ при ЯГУ, Якутск, 2000, 107 с.

Цель работы заключается в разработке нового аналитического метода моделирования физических явлений, описы-вемых дифференциальными уравнениями в частных производных, и в построении математических моделей некоторых процессов тепло-массообмена, обусловленных освоением северных территорий, и их численной реализации.

В диссертации разрабатывается новый аналитический метод решения (в основном на примере решения задач теплопроводности) дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями, названный автором разработки граничным методом. Известно, что для получения точных аналитических решений линейного уравнения теплопроводности и вообще линейных дифференциальных уравнений в частных производных наиболее часто используются четыре основных классических метода: метод разделения переменных (метод Фурье), метод конечных интегральных преобразований (метод Гринберга), операционный метод (метод Лапласа) и, наконец, метод источников (метод функций Грина).

Метод Фурье (метод разделения переменных) - метод отыскания частных решений дифференциальных уравнений

Lu)(x, у) = Ми - Nu = 0, х € Rn, у £ Rm, (1) где M(N) - линейное дифференциальное выражение, содержащее производные только по переменным х(у), с коэффициентами, также зависящими только от х{у). Одно и то же дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, целое семейство систем координат, в которых оно допускает разделение переменных, т.е. приводится к виду (1). Задача отыскания систем координат, допускающих разделение переменных, тесно связана с групповыми свойствами дифференциальных уравнений. Применение методов теории групп Ли позволяет описать все решения с разделенными переменными многих классических уравнений (Лапласа, Гельмголь-ца, Шредингера, волнового уравнения и др.). На этом пути получается также целый ряд соотношений из теории специальных функций. Метод разделения переменных был предложен для решения волнового уравнения Ж.Д' Аламбером (J.D'Alember, 1749), с достаточной полнотой метод был развит в начале 19 в. Ж. Фурье (J. Fourier) и в полной общности сформулирован М.В. Остроградским в 1828 [17, 103].

Метод интегральных преобразований представляет собой совокупность методов (классифицируемых по типу интегрального преобразования с конечными и бесконечными пределами) решения линейных дифференциальных уравнений при заданных краевых или начальных условиях, состоящих в переходе от данного уравнения к уравнению для интегрального преобразования искомой функции. Последнее уравнение может оказаться более простым. В случае конечных пределов интегрирования данный метод называется методом конечных интегральных преобразований или методом Гринберга. Работами Н.С. Кошлякова [82], Г.А. Гринберга [47], И. Снеддона [148], Г. Дейча [52] интегральные преобразования Фурье и Ханкеля распространены на конечную область исключаемых переменных. Г.А. Гринберг [47] разработал идею, предложенную Н.С. Кошляковым [82] и обобщил этот метод для решения задач теплопроводности (диффузии) с подвижными границами [48-50], т.е. для решения линейных дифференциальных уравнений с нелинейными граничными условиями. Именно это обстоятельство обусловило выделение метода Гринберга как самостоятельного метода. Для решения полностью линейных задач наибольшее распространение получил операционный метод (метод Лапласа).

Метод Лапласа, преобразование Лапласа или операционный метод - метод отыскания частных решений дифференциальных уравнений в частных производных с помощью интеграла (преобразования) Лапласа:

JfOO f(z)exp(-pz)dz. (2) о

Многие интегралы вида (2) были рассмотрены П.Лапласом в 1812 г. [235].

Проблема обращения преобразования Лапласа, как задача отыскания решения f(x) интегрального уравнения первого рода (2), относится к классу некорректных задач и может быть решена, в частности, посредством регулирующего алгоритма. Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности, по многочленам Чебышева, в

Лежандра, Якоби и Лагерра [32, 52-54, 83, 222].

Метод функций Грина, метод источников - метод отыскания решения дифференциальных уравнений в частных производных с помощью функции Грина. Функция Грина названа по имени Дж. Грина [229], впервые рассмотревшего один ее частный случай в своем исследовании по теории потенциала.

Функция Грина краевой задачи для линейного дифференциального уравнения - фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям. Начальные и граничные условия заменяются системой простейших источников, и задача решается для каждого простейшего источника. Полное решение исходной задачи получается в результате суммирования решений для элементарных источников [16, 112, 149]. Метод функции Грина и в настоящее время не потерял своей актуальности [45].

Более подробный обзор работ по приближенным методам решения дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями применительно к решению задач тепло-массообмена можно найти в работах [74, 75, 84].

Автор надеется, что предлагаемый здесь метод займет достойное место среди вышеупомянутых методов, более того, если эти методы принципиально не пригодны для точного решения нелинейных задач, то граничный метод применим не только для приближенного, но иногда и для точного решения нелинейных задач.

По исторически сложившейся традиции предлагаемый метод можно было бы назвать методом степенных рядов, однако автор склонен назвать его граничным методом. И вот почему: во-первых, в настоящее время степенные ряды применяются при решении дифференциальных уравнений в частных производных в сочетании с другими методами, например, вариационными, и то при получении приближенных решений; во-вторых, основная идея предлагаемого метода основывается на предположении, что искомое решение удовлетворяет (естественно, в предельном смысле) исходному дифференциальному уравнению в граничных точках, что может быть определяющим при названии метода.

Метод степенных рядов применяется со времен Эйлера и является классическим методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). С его помощью был открыт ряд трансцендентных функций (специальных функций математической физики), чрезвычайно обогативших арсенал анализа. Но до настоящего времени попытка применения его к решению дифференциальных уравнений в частных производных (в смысле единого самостоятельного метода) не увенчалась успехом. Ключ к применению степенных рядов для решения уравнений в частных производных с краевыми условиями дает, по-нашему мнению, граничный метод. В рамках настоящей диссертации в основном рассматриваются вопросы формального характера, т.е. методологические аспекты применения граничного метода к решению различных уравнений математической физики, включая и системы уравнений. Теоретические вопросы общего характера типа: сходимость рядов, оценка скорости сходимости и ряд других, составляют отдельную тему. Таким образом, круг вопросов, связанных с граничным методом, образует новое перспективное направление в решении уравнений математической физики, ориентированных для изучения прикладных задач.

Работа состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы. Формулы имеют тройную нумерацию: первое число означает главу, второе — пункт, и третье — номер формулы внутри пункта. Теоремы, леммы, предложения, следствия, замечания, примеры, а также таблицы имеют сквозную нумерацию.

Первая глава содержит краткий обзор работ, в которых используются различные функциональные ряды для решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Во второй главе излагаются основы нового аналитического метода решения дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями. Приводятся основная идея предлагаемого метода и его общая схема применения. Изучаются системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) специальных видов, которые необходимы при применении граничного метода, а также некоторые специальные рекуррентные соотношения. При решении задач с подвижными границами данным методом появляется необходимость неоднократного дифференцирования сложных функций. Приводятся формулы дифференцирования высших порядков сложных функций от одного и двух переменных.

Третья глава посвящается технике применения граничного метода для получения точного аналитического решения одномерных линейных задач теплопроводности. Изложение основано на примерах решений простых задач, всего приводятся более 10 примеров в зависимости от характера задач.

В четвертой главе даны приближенные аналитические решения нелинейных задач теории теплопроводности в зависимости от типа нелинейности - задач с нелинейностью

1-го рода, т.е. нелинейных из-за зависимости от температуры коэффициентов теплопроводности А(Т), удельной объемной теплоемкости С(Т), а также задач с нелинейностью П-го рода, т.е. нелинейных из-за нелинейной зависимости плотностей тепловых потоков q(T) от температуры.

Пятая глава посвящена вопросам аналитического решения граничным методом задач с подвижными границами. Задачи с подвижными границами имеют очень широкое практическое приложение в различных областях науки и техники. Выводятся точные решения однофазных задач, при этом подвижная граница £(t) входит в решении как параметр. Для определения £(<) предлагается 3 способа. Показано, что предлагаемый метод особенно удобен для решения так называемых обратных краевых задач с подвижными границами, например, задач стефановского типа. Подход, предложенный для решения однофазных задач, обобщается на двухфазные задачи. Предлагается два способа решения двухфазных задач: первый связан с вводом радиуса теплового влияния R(t) во второй зоне, а второй — с применением метода дробного дифференцирования.

В шестой главе отражаются особенности применения граничного метода для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями на примере решения линейных и нелинейных задач тепло-и массопереноса.

В седьмой главе излагается схема применения граничного метода для решения неклассических задач математической физики, в частности, для решения параболического уравнения с переменным направлением времени. Найдены точные аналитические решения для задач с коэффициентами sign(x) и x2n+l при производной по времени.

Восьмая глава посвящена математическому моделированию конкретных физических процессов, связанных с технологией разработки месторождений минерального сырья. Изучена математическая модель размыва мерзлых горных пород с целью достижения эффективности диспергирования глинистых пород, содержащих полезное ископаемое, и максимальной скорости их оттаивания. Проведено математическое моделирование процесса течения ламинарного пограничного слоя вдоль поверхности магнитного шлюза.

Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность члену-корреспонденту РАН В.Н. Монахову, профессорам д.ф.-м.н. И.Е. Егорову, д.ф.-м.н. А.Г. Подгаеву, д.ф.-м.н. С.В. Попову, а также к.ф.-м.н. В.З. Борисову, к.ф.-м.н. В.Е. Федорову за полезные обсуждения и советы.

Основные результаты диссертации по разрабоке граничного метода изложены в монографии автора [202], а материалы главы 8 по применению граничного метода при математическом моделировании реальных процессов опубликованы в работах [129, 195-197, 223]. В совместных публикациях автору в основном принадлежат: математическая постановка задач, идеи решений, общее руководство, а соавторам - конкретные выкладки, расчеты и проведение экспериментальных работ.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Федоров, Фома Михайлович

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

I. Разработан новый аналитический метод решения дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями. Он назван граничным методом. При этом: изложены основная идея и алгоритм метода решения дифференциального уравнения второго порядка в частных производных с краевыми условиями; исследованы специальные СЛАУ, даны их замкнутые решения; по сути дела, к решению этих систем сводится решение линейных дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями; получены условия сходимости соответствующих рядов; на многочисленных примерах решения одномерных линейных и нелинейных задач теплопроводности с различными краевыми условиями в декартовой и цилиндрической системе координат, в ограниченной и неограниченной областях, а также систем линейных и нелинейных уравнений тепло-массообмена, отработана техника применения граничного метода; получены известные точные аналитические решения; предложены простые приближенные формулы расчета типичных линейных и нелинейных тепловых задач, в зависимости от типа нелинейности; указаны границы применения этих решений на основе проведения численных оценок точности; приведены новые аналитические решения однофазных задач с подвижными границами, при этом неизвестная граница входит в решение как параметр; для определения этой границы указаны три способа; предложенные формулы особенно эффективны при решении так называемых обратных задач, что и показано на конкретных примерах; данный подход обобщен и на двухфазные задачи; получены новые точные аналитические решения краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени; рассмотрены задачи в области — 1 < х < 1 с коэффициентами sign(x) и x2n+l при производной по времени. II. Построены и численно исследованы математические модели процессов тепло-массообмена, обусловленных освоением северных территорий. При этом: в рамках теории пограничного слоя предложена математическая модель процесса течения слоя ферромагнитных частиц вдоль поверхности магнитного шлюза с целью повышения извлечения тонких классов тяжелых компонентов (немагнитных металлов: золота, олова, платины и т.д.) полезных ископаемых; на основе граничного метода получены основные расчетные параметры процесса; предложена математическая модель гидравлического способа оттаивания высокоглинистых мерзлых пород в режиме абляции с целью достижения эффективности диспергирования глинистых фракций; на основе граничного метода произведен расчет важнейших параметров разработки мерзлых глинистых пород непрерывным снятием талой зоны дождеванием.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Федоров, Фома Михайлович, 2002 год

1. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. - М.: Наука, 1978.

2. Андреев В.К. Вопросы прикладного функционального анализа // Учебное пособие. Красноярск: КГУ, 1998.

3. Арэ Ф.М., Балобаев В.Т. Защита грунта от зимнего промерзания при помощи воздушно-ледового покрова. М.: Наука, 1965.

4. Бабенко Ю.И. Тепло-массо-обмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. Ленинград: Химия, 1986.

5. Бакакин В.П. Опыт управления теплообменом деятельного слоя мерзлых горных пород в целях повышения их разработки. М.: АН СССР, 1955.

6. Балобаев В.Т. Процессы теплообмена на поверхности мерзлых мелкодисперсных пород при послойном оттаивании // Тепло- и массо-обмен в мерзлых почвах и горных породах. М.: АН СССР, 1961.

7. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Теория и приложения к геофизической гидродинамике. -Д.: Гидрометеоиздат, 1982.

8. Баутин С.П. Использование специальных рядов для приближенного расчета движения слабых ударных волн по покоящейся неоднородной среде // Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск, 1975. Т.б, N1. С. 5-12.

9. Баутин С.П. Исследование области сходимости специальных рядов, решающих некоторые задачи газовой динамики // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1978. - Т.9, N4. -С. 5-17.

10. Баутин С.П., Дерябин C.J1. О существовании аналитических решений задачи о разлете газа в вакуум при наличии угловой точки // Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды. Свердловск, 1985. - С. 3-14.

11. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. М.: Мир, 1970.

12. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. Часть 1. М.: Высшая школа, 1982.

13. Бсрсзин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.II М.: Физ-матгиз, I960.

14. Бернштейи С.Н. Собрание сочинений. Т.1 М.: АН СССР, 1952. -С.251-252.

15. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. Т.З М.: АН СССР, 1960.

16. Берс JL, Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, пер. с англ. М.: Мир, 1966.

17. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

18. Бондаренко Б.А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. Ташкент: "Фан", 1987.

19. Бондаренко Б.А., Филатов А.Н. Квазиполиномиальные функции и их приложения к задачам теории упругости. Ташкент: "Фан", 1978.

20. Бондаренко Б.А., Ходжаниязов Д. Полиномиальные и присоединенные решения уравнения теплопроводности и его итераций // Известия АН Уз. ССР, 1974. N5. - С. 18-24.

21. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. М.: МГУ, 1993.

22. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: МГУ, 1987.

23. Вабищевич П.Н. Численное решение краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени. // Журнал вычислит, математики и мат. физики. 1992. Т.2, N3. - С. 434-442.

24. Васильев В.И. Численное интегрирование дифференциальных уравнений с нелокальными граничными условиями. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1985.

25. Васильев В.И. Численное моделирование процессов тепло- и мас-сопереноса в криолитозоне: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1995.

26. Васильев В.И., Максимов A.M., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Тепло-массоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. М.: Наука, 1997.

27. Васильев В.И., Попов В.В., Тимофеева Т.С. Вычислительные методы в разработке месторождений нефти и газа. Новосибирск: Наука, 2000.

28. Васильев В.И., Тихонова О.А. Численное решение задач теплопроводности с меняющимся направлением времени. // Мат. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1995. - Т. 2, N2. - С. 84-91.

29. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

30. Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностный метод решения двухфазных задач Стефана. ЖВМ и МФ, 1963. т.З, №5. - С. 874-886.

31. Васин В.В., Сидоров А.Ф. О некоторых методах приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений // Изв. высших учебных заведений. Математика, 1983. N7(254). - С. 13-27.

32. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.- М.: Наука, 1976.

33. Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. М.: Стройиздат, 1975.

34. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эфолю-ционных систем. Новосибирск: Наука, 1993.

35. Воеводин А.Ф., Никифоровская B.C. Математическое моделирование процессов массопереноса в системах открытых водотоков // Мат. заметки ЯГУ. 1996, т.З, №2. - С. 114-120

36. Врагов В.Н. Аналитичность решений задачи Е для одного вырождающегося эллиптического уравнения// Дифференц. уравнения.- 1976. Е.12, №1 - С.36-40.

37. Гаврилова М.К. Климат Центральной Якутии. Якутск: ЯВДГОК, 1973.

38. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарский А.А. Локализация тепла в нелинейных средах // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. №10. С. 1836-1841.

39. Галеркин Б.Г. Вестник инженеров и техников, 1915. Т.1, №19. -С. 897-908.

40. Годунов С.К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

41. Гольдман В.Г., Знаменский В.В., Чистопольский С.Д. Гидравлическое оттаивание мерзлых горных пород. Магадан: ВНИИ-1, 1970.

42. Градштейн И.С.,Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.

43. Грауэрт Г., Реммерт Р. Аналитические локальные алгебры. М.: Наука, 1988.

44. Греков М.А. Функции Грина для периодических задач упругой полуплоскости // Известия РАН, Механика твердого тела. 1998. -№4 С. 173-178.

45. Григорьев Ю.М. Методы решения задач моделирования деформаций тел и электромагнитной совместимости: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 2000.

46. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. M.-JI.: Изд-во АН СССР, 1948.

47. Гринберг Г.А. Об одном возможном методе подхода к рассмотрению задач теории теплопроводности, диффузии, волновых и им подобных явлений при наличии движущихся границ и о некоторых иных его приложениях // ПММ. 1967. Т. 31, вып. 2. - С. 393-403.

48. Гринберг Г.А. О решении обобщенной задачи о промерзании жидкости, а также родственных задач теории теплопроводности, диффузии и других // ЖТФ. 1967. - №37. - С. 1598.

49. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена // Проблемы теплообмена. М.: Атомиздат, 1967. - С. 41-96.

50. Дейч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Физматгиз, 1958.

51. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Наука, 1966.

52. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление, 2 изд. М.: Наука, 1974.

53. Дородницын А.А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики // Труды 3-го Всес. матем. съезда, Т. III, июнь-июль, 1956. М.: Изд-во АН СССР, 1958. С. 447-453.

54. Дробышевич В.И. Алгоритм решения двухфазной задачи Стефана на основе формул потоковой прогонки // Числ. методы и пакеты программ для решения уравнения мат. физики. Новосибирск, 1985. - С. 82-93.

55. Дробышевич В.И. О сходимости методов с различными временными шагами в подобластях // Докл. РАН, 1996. 346, №3. - С. 315-318.

56. Дробышевич В.И., Яушева JI.B. Анализ моделей и алгоритмов процессов тепломассопереноса в каталитических реакторах // Авто-матиз. построения алгоритмов для задач матем. физики. Новосибирск, 1983. - С. 72-77.

57. Егоров И.Е. Аналитичность решений сингулярных эллиптических уравнений // Матем. сб. 1987. - Т. 133 (175), №2. - С. 147-153.

58. Егоров И.Е., Федоров В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1995.

59. Зубов Е.Н., Сидоров А.Ф. О решении одной краевой задачи для неустановившегося пространственного течения газа и распространении слабых сферических ударных волн // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1972. - Т.З, N3. - С. 32-50.

60. Казанцев С.Г. Об интегральной реализации операторов в методе начальных функций // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1985. - N72. - С. 32-35.

61. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.

62. Канторович JI.B. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных // ДАН СССР, 1934. Т.2, N2. - С. 532-534.

63. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: ГИТТЛ, 1952.

64. Кармазин В.В. Повышение эффективности использования магнитных полей в процессах магнитного обогащения // Новые способы сепарации руд в магнитных полях. Апатиты: Кольский филиал АН СССР, 1981. - С. 35-45.

65. Кармазин В.И., Закиева Н.И., Технологические возможности магнитно-флокуляци-онной сепарации тонких классов руд россыпных месторождений // Горный информационно-аналитический бюллетень. М.: МГГУ. - С. 60-62.

66. Кармазин В.И., Кармазин В.В. Магнитные методы обогащения. -М.: Недра, 1984.

67. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.- М.: Наука, 1964.

68. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 1985.

69. Карташов Э.М. Новые интегральные соотношения для аналитических решений уравнений параболического типа в нецилиндрических областях // Докл. РАН, 2000. 374, №2. - С. 168-172.

70. Клейн Ф. История математики в XIX столетии. М.: Наука, 1989.

71. Ковалевская С.В. Научные труды. К теории дифференциальных уравнений в частных производных. М.: АН СССР, 1948.

72. Коздоба JI.A. Методы решения задач затвердевания (обзор) // Физика и химия обработки материалов. 1973. - №2. - С. 41-59.

73. Коздоба А.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М: Наука, 1975.

74. Козманов М.Ю. Метод решения некоторых краевых задач для систем квазилинейных уравнений первого порядка // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1976. - Т. 7, №2. -С. 44-53.

75. Козманов М.Ю. К задаче распада произвольного разрыва // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1977. -Т. 8, №2. - С. 45-52.

76. Коковихина О.В. Об одном приближенном методе расчета распространения волн типа цунами по наклонному берегу // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1976. - Т.7, N7. - С. 45-53.

77. Коковихина О.В., Сидоров А.Ф. Специальные конструкции рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1984.- Т.15, N3. С.72-84.

78. Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: НГУ, 1983.

79. Корзунин Л.Г., Филимонов М.Ю. О представлении решений уравнения Кортевега-де Фриза в виде степенных рядов // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1985.- Т.16, N5.- С.57-67.

80. Кошляков Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Гостехиздат, 1936.

81. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М.: Наука, 1974.

82. Кудряшев Л.И., Меньших Н.Л. Приближенные решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Машиностроение, 1979.

83. Кузьмин В.Я., Лебедев В.Д., Чуев Ю.В. Пути совершенствования аналитических моделей развития // Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1971. - вып.26. - С. 5-14.

84. Купрадзе В.Д. О приближенном решении задач математической физики // УМН. 1967. - 22, №2. - С. 59-107.

85. Купрадзе В.Д., Алексидзе М.А. Об одном приближенном методе решения граничных задач // Сообщ. АН ГССР, 1963. 30, №5. - С. 529-536.

86. Лавров Н.П., Самышин В.К., Чуркин А.Е., Перльштейн Г.З. Особенности разработки мерзлых пород гидросмывом // Совершенствование технологии разработки россыпных месторождений. Магадан: ВНИИ-1, 1982. - С. 3-14.

87. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

88. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: ГИФМЛ, 1961.

89. Лисковец О.А. Метод прямых (обзорная статья) // Дифференциальные уравнения, 1965. Т.1, №12. - С. 1662.

90. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978.

91. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.

92. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло-и массопереноса. М.: Госэнергоиздат, 1963.

93. Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Автомодельное решение задачи о про-таивании мерзлого грунта // Изв. АН СССР: МЖГ. 1988. №6. -С. 72-78.

94. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. М.: Наука, 1987.

95. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. М.: Наука, 1975.

96. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

97. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.

98. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М.: Просвещение, 1988.

99. Математическая энциклопедия. Т.5. М.: Советская энциклопедия, 1984.

100. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986.

101. Миллер У. Симметрия и разделения переменных, пер. с англ. М.: Мир, 1981.

102. Михайлов Ю.А., Глазунов Ю.Т. Вариационные методы в теории нелинейного тепло-и массопереноса. Рига: "Зинатне", 1985.

103. Михлин С.Г. Прямые методы в математической физике. М.: ГТ-ТИ, 1951.

104. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965.

105. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. -М.: Наука, 1971.

106. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М: Наука, 1979.

107. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

108. Монахов В.Н. Разрешимость стационарных задач тепловой двухфазной фильтрации // Мат. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1999. -Т.б. №1. - С. 46-53.

109. Монахов В.Н., Тлюстен С.Р. Тестовые решения начально-краевых задач для системы уравнений двухфазной фильтрации // Краевые задачи теории фильтрации. (Динамика сплошной среды; Т. 108) -Новосибирск, 1994. С. 121-125.

110. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы, 2 изд. -М.: Наука, 1969.

111. Общее мерзлотоведение. Новосибирск: Наука, 1974. - 292 с.

112. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1978.

113. Овсянников Л.В. Нелинейные задачи Коши в шкале банаховых пространств. // ДАН СССР. 1971. - Т. 200, №4 - С. 789-792.

114. Олейник О.А., Радкевич Б.В. Об аналитичности решений линейных уравнений с частными производными // Итоги науки. Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1971. - С. 7-252.

115. Павлов А.В. Теплообмен почвы с атмосферой в северных и умеренных широтах территории СССР. Якутск: ИМ СО АН СССР, 1975.- 302 с.

116. Павлов А.В., Оловин Б.А. Искусственное оттаивание мерзлых пород теплом солнечной радиации при разработке россыпей. Новосибирск: Наука, 1977.

117. Перлыитейн Г.З. Водно-тепловая мелиорация мерзлых пород на Севере-Востоке СССР. Новосибирск: Наука, 1979.

118. Полянин А.Д., Вязьмин А.В., Журов А.И., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. М.: Факториал, 1998.

119. Попов С.В. Классы корректности краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 2000.

120. Попов Ю.П., Самарский А.А. Вычислительный эксперимент // Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1988. - С. 16-78.

121. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.

122. Пятков С.Г. Индефинитные спектральные задачи и их приложения к теории краевых задач для уравнений математической физики: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1994.

123. Распопов В.Е., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Применение метода дифференциальных связей к одномерным условиям газовой динамики // Изв. вузов. Математика. 1974. №11. (150). - С. 69-74.

124. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985.

125. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.: Наука, 1973. -336 с.

126. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига: "Звайгзне", 1967.

127. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

128. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Нелинейные монотонные схемы для уравнения переноса // Док. РАН. 1998. Т.361, №1. - С. 21-23.

129. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука, 1997.

130. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

131. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

132. Сергеев Ю.Н., Савчук О.П., Кулеш В.П., Комарова Т.С. Математическое моделирование морских экологических систем. Л.: Наука, 1977.

133. Сидоров А.Ф. О некоторых классах решений уравнения нестационарной фильтрации // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1984 - Т.15, N2. - С. 121-133.

134. Сидоров А.Ф. Приближенный метод решения некоторых задач о пространственном истечении газа в вакуум // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1976. - Т.7, N5. - С. 137— 148.

135. Сидоров А.Ф. О некоторых представлениях решений квазилинейных гиперболических уравнений // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1975. - Т.6, N4. - С. 106-115.

136. Сидоров А.Ф. Метод решения некоторых краевых задач для нелинейных уравнений гиперболического типа и распространение слабых ударных волн // ПММ, 1972. Т.36, вып.З. - С. 426-434.

137. Сидоров А.Ф. Об оптимальном безударном сжатии газовых слоев // ДАН СССР. 1990. - Т.313, №2. - С. 283-287.

138. Сидоров А.Ф. Безударное сжатие баротропного газа // ПММ. -1991. Т.55, №5. - С. 769-779.

139. Сидоров А.Ф. Исследование особенностей нестационарных конических течений газа // ДАН(Россия). 1994. - Т.335, №6. - С. 732-735.

140. Сидоров А.Ф., Хайруллина О.Б. Процессы безударного конического сжатия и разлета газа. // ПММ. 1994. - Т. 58, №4. - С. 81-92.

141. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

142. Скуба В.Н., Первенцев И.П., Саввин Е.Д., Миронов В.П., Болотов Р.П. Гидравлическая добыча и переработка многолетнемерзлых песков с высоким содержанием глины // БНТИ. Проблемы Севера.- Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1983. С. 17-20.

143. Снеддон И. Преобразование Фурье. М.: ИЛ, 1955.

144. Соболев C.JI. Уравнения математической физики, 4 изд. М.: Наука, 1966.

145. Спиваков Ю.Л. Специальные классы решений линейных дифференциальных уравнений и их приложения к анизотропной и неоднородной теории. Ташкент: "Фан", 1986.

146. Справочник по специальным функциям,- М.: Наука, 1979.

147. Терсенов С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск.: Наука, 1983.

148. Терсенов С.А. Об аналитичности решений одного класса диффрен-циальных уравнений, вырождающихся на границе // Докл. АН СССР. 1976. - Т.228, №6. - С. 1294-1297.

149. Тешуков М.В. Пространственная задача о распространении контактного разрыва в идеальном газе // Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1977. вып.32. - С.82-94.

150. Тешуков М.В. Построение фронта ударной волны в пространственной задаче о поршне // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1978. - вып.33. - С.114-132.

151. Титов С.С. Решение уравнений с особенностями в аналитических шкалах банаховых пространств. Препр. - Екатеринбург, 1999.

152. Титов С.С. Решение уравнений с особенностями в аналитических банаховых шкалах: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Екатеринбург, 2000.

153. Титов С.С. Решение периодических задач Кощи с помощью специальных тригонометрических рядов // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1978. - Т.9, N2. С. 112-124.

154. Титов С.С. О решениях нелинейных уравнений в частных производных в виде многочленов по одной из переменных // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1977. - Т.8, N1,- С.144-149.

155. Титов С.С. Решение двумерного уравнения Лейбензона в виде многочлена по пространственным переменным // Динамика многофазных сред. Новосибирск: Наука, 1982. - С. 291-294.

156. Титов С.С. Разложение решения нелинейного уравнения в двойные ряды // Дифференциальные уравнения. Минск, 1978. - Т.XIV, N10. - С. 1844-1850.

157. Титов С.С., Устинов В.А. Исследование многочленных решений двумерного уравнения фильтрации Лейбензона с целым показателем адиабаты. Там же. С. 64-70.

158. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. Курс высшей математики и математической физики. -М.: Наука, 1980. вып.7.

159. Тихонов О.Н., Физические основы элетромагнитного обогащения руд. Ленинград: ЛГИ, 1980.

160. Тихонов О.Н. Закономерности эффективного разделения минералов в процессах обогащения полезных ископаемых. М.: Недра, 1984.

161. Федоров Ф.М. О сходимости интегрального метода для задач теплопроводности // Тез. докл. конф. "Технические проблемы Севера". Якутск, 1978. - С. 56-58.

162. Федоров Ф.М. К вопросу сходимости интегрального метода для задач типа Стефана // Тез. докл. конф. "Технические проблемы Севера". Якутск, 1978. - С. 60-62.

163. Федоров Ф.М. Приближенный метод решения задач теории теплопроводности, основанный на анализе граничных условий // Тез. докл. научно-практ. конф. "Вопросы прикладной математики и механики". Якутск, 1980. - С. 35-36.

164. Федоров Ф.М. Граничный метод в задачах линейной теплопроводности // Препринт. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1986.

165. Федоров Ф.М. Граничный метод в задачах нелинейной теплопроводности // Препринт. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1988.

166. Федоров Ф.М. Простые формулы решения однофазных задач Стефана. // Приложение термодинамики сплошных сред к тепловой защите инженерных сооружений и природных обьектов. Якутск: ЯГУ, 1986. - С. 36-41.

167. Федоров Ф.М. О решении некоторых линейных систем алгебраических уравнений // Исследование систем, описываемых дифференциальными уравнениями. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1986. - С. 77-84.

168. Федоров Ф.М. Уточнение граничных условий на границе теплового влияния // Методы прикладной математики и математической физики. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1987. - С. 31-37.

169. Федоров Ф.М. Применение граничного метода для решения задач теплопроводности с осевой симметрией // Дифференциальные уравнения и их приложения. Якутск: ЯНЦ СО АН СССР, 1989. - С. 47-54.

170. Федоров Ф.М. О некоторых специальных рекуррентных соотношениях // Ученые записки ЯГУ, серия: Математика, Физика. -Якутск: ЯГУ, 1994. С. 74-78.

171. Федоров Ф.М. Граничный метод решения краевых задач с переменным направлением времени // Тезисы докладов. Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической физики. -Новосибирск, 1995. С. 93.

172. Федоров Ф.М. Граничный метод в задачах с переменным направлением времени. // Мат. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1995. - Т.2, N2. - С. 52-60.

173. Федоров Ф.М. Сходимость интегрального метода для задач теплопроводности // Методы прикладной математики и автоматизация научного эксперимента. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1980. - С. 67-75.

174. Федоров Ф.М. Граничный метод решения задач теплопроводности. // БНТИ. Методы и алгоритмы прикладной математики. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1980. - С. 24-27.

175. Федоров Ф.М. О сходимости граничного метода для задач теплопроводности. Там же. С. 27-29.

176. Федоров Ф.М. Приближенные аналитические решения линейного уравнения теплопроводности, полученные граничным методом // Методы и алгоритмы прикладной математики в задачах теплофизики и обработки эксперимента. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1983. - С. 50-58.

177. Федоров Ф.М. Аналитическое решение одной краевой задачи с переменным направлением времени граничным методом // Тез. докл. 2 Междунар. конф. "Дифферен. уравнения и их прил.", Саранск, сент., 1996. Саранск, 1996. - С. 120.

178. Федоров Ф.М. Аналитическое решение параболического уравнения с переменным направлением времени // Тез. докл. II Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ-96), ч. I. Новосибирск, 1996. - С. 94.

179. Федоров Ф.М. Граничный метод как инженерный метод решения дифференциальных уравнений в частных производных // Там же, часть III. С. 280.

180. Федоров Ф.М. Аналитическое решение одной краевой задачи с переменным направлением времени // Тез. докл. III Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ-98), 4.IV. Новосибирск, 1998. - С. 43.

181. Федоров Ф.М. Аналитическое решение одной неклассической задачи математической физики // Тез. докл. Междунар. семинар "Дифференциальные уравнения и их приложения.", Самара, 25-29 июня 1996. Самара, 1996. - С. 37.

182. Федоров Ф.М. Аналитическое решение обратных задач типа Стефана // Там же. С. 38.

183. Федоров Ф.М. Решение одной задачи с переменным направлением времени граничным методом // Матем. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1996. - Т.З №2. - С. 62-71.

184. Федор ов Ф.М, Обратная задача с подвижной границей в области 0 < х < £(t) // Матем. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1997. - Т.4, №2. - С. 60-67.

185. Федоров Ф.М. Граничный метод в задачах с переменным направлением времени // Тез. докл. II Междунар. конф. по матем. моделированию, Якутск, 28 июня-2июля 1997, Якутск, 1997. - С. 60.

186. Федоров Ф.М. Аналитическое решение двухфазной задачи типа Стефана комбинированным методом // Тез. докл. Междунар. конф. "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 18-24 августа 1999 г. Красноярск: КГУ, 1999. - С. 198-199.

187. Федоров Ф.М., Захарова А.П. Применение граничного метода к решению нелинейной задачи теплопроводности // Приложение термодинамики сплошных сред к тепловой защите инженерных сооружений и природных объектов. Якутск: ЯГУ, 1986. С. 30-36.

188. Федоров Ф.М., Саввин Е.Д. Скорость оттаивания мерзлых глинистых пород при размыве // БНТИ. Проблемы горного дела Севера.- Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1981. С. 7-11.

189. Федоров Ф.М. Саввин Е.Д. Математическая модель размыва мерзлых горных пород. Тезисы докладов. Международная конференция по математическому моделированию. Якутск. 1994. - С. 155-156.

190. Федоров Ф.М., Саввин Е.Д. К расчету пограничного слоя течения вдоль поверхности магнитного шлюза // Тез. докл. II Междунар. конф. по матем. моделированию, Якутск, 28 июня-2июля 1997. -Якутск, 1997. С. 189.

191. Федоров Ф.М., Саввинова Т.А. Аналитическое решение задач сте-фановского типа граничным методом. // Дифференциальные уравнения и их приложения. Якутск: ЯНЦ СО АН СССР, 1989. - С. 55-63.

192. Федоров Ф.М. Саввинова Т.А. Граничный метод в задачах тепло-и массопереноса // Мат. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1994. - Т.1, N2. - С. 84-91.

193. Федоров Ф.М.Саввинова Т.А. Высшие производные сложной функции одной переменной // Мат. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1995.- Т.2, N1.-C. 72-80.

194. Федоров Ф.М.Саввинова Т.А. Высшие производные сложной функции двух переменных // Мат. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1996. -Т.З, N1.-C. 57-62.

195. Федоров Ф.М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.

196. Филимонов М.Ю. Представление рядами решений нелинейного уравнения транзвуковых течений // Численные методы механики сплошной среды. — Новосибирск, 1986.- Т.17, N6. С. 132-136.

197. Филимонов М.Ю. Применение специальных рядов к исследованию нестационарных околозвуковых течений газа // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1987. - Т.1(18), N1. - С. 117-125.

198. Филимонов М.Ю. Применение специальных рядов к решению смешанных задач Коши для нелинейных уравнений с частными производными // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1989. - Т.3(20), N6. - С. 146-150.

199. Филимонов М.Ю. Об одном подходе к решению смешанной задачи Коши для нелинейного волнового уравнения с малым параметром // Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды. Свердловск, 1985. - С. 80-87.

200. Филимонов М.Ю. О представлении специальными рядами решений нелинейных уравнений типа Коши-Ковалевской с неаналитическими начальными данными // Сибирский журнал индустриальной математики. 2001. Т. IV, №1(7). - С. 198-203.

201. Филимонов М.Ю. Специальные ряды и их приложения // Современные проблемы мат. моделирования: Тр. / VIII Всерос. школа-семинар. Ростов н/Д, 1999. - С. 231-239.

202. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.2 М.: Наука, 1964.

203. Фридман А. Уравнения параболического типа. М.: Мир, 1968.

204. Фролов В.Н. Специальные классы функций в анизотропной теории упругости. Ташкент: "Фан", 1981.

205. Фрязинов И.В. О решении третьей краевой задачи для двумерного уравнения теплопроводности в произвольной области локально-одномерным методом // ЖВМ и МФ. 1966. - Т.6, №23. - С. 487-502.

206. Фрязинов И.В., Бакирова М.И. Об экономичных разностных схемах решения уравнения теплопроводности в полярных, цилиндрических и сферических координатах // ЖВМ и МФ. 1972. - Т.12, №2. -С. 352-363.

207. Хе Кан Чер Об аналитичности решения одного класса вырождающихся уравнений // Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики. Новосибирск, 1979. - С. 142-145.

208. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.

209. Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск: Наука, 1979.

210. Чекмарева О.М. Решение задачи Стефана, когда движение поверхности фазового перехода происходит по закону у(т) = VA т2 + Вт + h // Журнал технической физики, 1974. Т.64, N10.- С. 2043-2050.

211. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

212. Яненко Н.Н., Карначук В. И., Коновалов А.Н. Проблемы математической технологии // Числ. методы механики сплош. среды. 1975.- Т.6, №4. С. 128-138.

213. Яненко Н.Н., Коновалов А.Н., Бугров А.Н., Шустов Г.В. Об организации параллельных вычислений и "распараллеливании" прогонки // Численные методы механики сплошной среды. 1978. - Т.9, №7.- С. 139-146.

214. Янушаускас А. Аналитическая теория эллиптических уравнений. -Новосибирск: Наука, 1979.

215. Doetsch G. Handbuch der Laplase-Transformation, Bd 1-3. В asel, 1950.

216. Fedorov F.M., Savin E.D. On Calculation of the Bouhdary Layer of a Flow Along the Surface of a Magnetic Gate // Матем. заметки ЯГУ.- Новосибирск, 1998. Т.5 №1, - С.144-149.

217. Filimonov M.Yu., Korzunin L.G., Sidorov A.F. Approximate methods for solving nonlinear initial boundary-value problems based on special costruction of series // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. -1993. V. 2, №9. - P. 101-125.

218. Fujita H. The exact pattern of a concentraion-dependent diffusion in a semi-infinite medium. Part II. // Textile Res. 1952. - V. 22. - P. 823.

219. Goodman T.R. The heat balance integral and its application to problems involving a change of phase // Transe. ASME. 1958. - V. 80, №2. - P. 335.

220. Goodman T.R. The heating of slabs with arbitrary heat inputs // J. of the Aero/Space Sci. 1959. - V. 26, №3. - P. 187.

221. Goodman T.R., Shea J.J. The melting of finits slabs // J. Appl. Mech.- 1960. V. 27. - P. 16.

222. Green G. An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism. Nottingham, 1828.1.ragimov N.H. (editor). CRC Handbook of Lie Group to Differential Equations, V.l. Boca Raton: CRC Press, 1994. - 429 p.

223. Kaper H.G., Kwong M.K., Lekkerker C.G., Zettl A. Full-and partial-range eigen-function expansions for Sturm Liouville problems with indefinite weights // Proc.Roy.Soc. Edinburgh Sect.A. - 1984. - V. 98.- P. 69-88.

224. Kawahara Т., Tanaka M. Interactions of traveling fronts: an exact solution of a nonlinear diffusion equations // Phys. Lett. 1983. -V.97. - P. 311.

225. Nirenberg L. An abstract form of the nonlinear Cauchy-Kowalewski theorem // J. Diff. Geom. 1972. - №6. - P. 561-576.

226. Nishida T. A note on a theorem of Nirenberg // J. Diff. Geom. 1977.- №12. P. 629-633.

227. Petrowsky I.G. Sur I'analyticite des solutions des systemes d'equations differentielles // Матем. сб. 1939. - T.5(47). - С. 3-70.

228. Philip J. General method of exact solution of the concentraion-dependent diffusion equation // Australian Journal of Physics. 1960.- V.13, №1. P. 13-20.

229. Tikhonov O.N., Dembovsky V.V. Automatic process control in ore treatment metallurgy. Part 3. Measuring instruments and controllers. -Cairc: GEBO, 1973.

230. Treves F. On the theory of linear partial differential operators with analytic coefficients // Tran. Amer. Math. Soc. 1969. - 137. - P. 1-20.

231. Treves F. An abstract nonlinear Cauchy-Kowalewski theorem // Tran. Amer. Math. Soc. 1970. - 150. - P. 77-92.