Исследование анизотропных пространств Соболева на нерегулярных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Головко Андрей Юрьевич

• Головко Андрей Юрьевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Головко Андрей Юрьевич

3.1 Случай 1 < р < ж

3.2 Случай р =1

3.3 Важные частные случаи

Заключение Список литературы

54

Актуальность темы исследования, степень ее разработанности и история вопроса

Диссертация посвящена исследованию ряда свойств весовых пространств типа пространств Соболева на нерегулярных областях: вложения пространств, оценки норм производных, мультипликативные неравенства типа неравенств Гальярдо-Ниренберга, плотность множества гладких функций.

В 1938 году С.Л. Соболев в работе [26] (результат приведен также в монографии [25]) для ограниченных областей п-мерного евклидова пространства с условием конуса установил теорему вложения пространства (С) функций с производными порядка в Е N суммируемыми в степени р > 1с нормой

II/ 11%8(С) IIьр(С) + II/1|ьр(с)

\а\=з

в пространство Лебега Ьд(С) функций, суммируемых в степени д: Wp(G) ^ Ьд (С), 1 <р<д< го, й — ^ + ^ > 0. Пространс тва Wp(G) называются теперь пространствами Соболева. Последнее неравенство между параметрами определяет максимальное значение д, при котором это вложение имеет место. Эта теорема вложения была применена С.Л. Соболевым в теории уравнений с частными производными.

Теорема вложения с соболевским предельным показателем позднее была распространена на области более широкого класса.

В 1960 году В.Г. Мазья в работе [22] (результат приведен также в монографии [23]) установил непрерывность оператора вложения Ж* (С) ^ Ьд(С) для областей,

принадлежащих классам, определенным им в терминах емкостных неравенств при тех же соотношениях на параметры.

В 1980 году Ю.Г. Решетняк в работе [24] установил вложение пространства (С) в пространство Ьд(С) для областей с условием Джона, а в 1983 году О.В. Бесов в работах [3]-[4] (результат приведен также в монографии [5]) для области с условием гибкого рога.

В 2000 году Т. Кильпелайнен и Д. Малы в работе [35] доказали теорему вло-

жения пространства ^^(С) в Ьд (С) для облает ей с а- условием Джона. Вложение для нерегулярных областей, то есть для областей, не удовлетворяющих условию гибкого конуса (а > 1), имеет место при более сильных ограничениях на параметры, чем для областей с условием конуса. При этом максимальное значение д в этой теореме меньше соболевского и зависит от а.

В 2001 году О.В. Бесов в работе [13] обобщил этот результат, доказав вложение 1№р(С) ^ Ьд(С) при всех й Е N с максимально возможным д.

В 2008 году Б.В. Трушин в работе [28] получил обобщение этой теоремы на случай областей с условием анизотропного гибкого а-конуса. В 2011 году О.В. Бесов в работах [11], [12] обобщил этот результат на случай областей более общего вида.

В 2010 году О.В. Бесов в работе [2] установил теорему вложения пространств типа пространств Соболева, в нормы которых входит сумма норм не всех частных производных порядка в.

В диссертации этот результат обобщен на анизотропный по порядку производных и показателям суммируемости случай.

Примеры применения теорем вложения в теории уравнений в частных производных можно, в частности, найти в монографиях С.Л. Соболева [25] и Л.С. Панкратова [38].

В 1959 году Э. Гальярдо и Л. Ниренберг в работах [33], [37] для областей п-мерного евклидова пространства с гладкой границей получили мультипликативную оценку лебеговских нормы функций и норм частных производных через

норму функции и нормы частных производных более высокого порядка

в

Е к(О < С«МО ( Е \\°а/«МО ) + СУ«МО. (О-О-1)

|а:|=/ \|а|=в

называемую теперь мультипликативным неравенством Гальярдо-Ниренберга. Полученные оценки они использовали при исследовании уравнений с частными производными.

При этом последнее слагаемое в правой части неравенства (0.0.1) в случае неограниченной области с гладкой границей можно убрать, и будет справедливо неравенство

^ (О) < сII/||[г(О) ( ^ \\Ьр(с)

Эти оценки были получены при 1 < р,р,д,г < ж, в Е N. I Е I < в, 1/в < в < 1 и выполнении соотношения

I-2 = в (з-^

(' - Й +(1 - (" -г).

^ \ Р/ \ Г.

В 1959 году В.П. Ильин в работе [17] для областей с условием конуса получил

мультипликативные оценки лебеговской нормы функции.

В 1960 году В.Г. Мазья в работе [22] доказал мультипликативные неравенства в случае в = 1 для областей более общего вида, принадлежащих классам, определенным им в терминах емкостных неравенств (результат также приведен в монографии [23]).

В 2020 году О.В. Бесов в работе [6] доказал мультипликативное неравенство с большим количеством множителей в правой части.

Вопрос о мультипликативных неравенствах для нерегулярных областей, а также анизотропный вариант мультипликативных неравенств, оставался открытым. Этот вопрос изучен в диссертации.

В 1953 году Д. Дени и Д. Лионе в работе [32] установили плотность множества гладких функций в пространствах Соболева \¥р(С), в норму которых входит сум-

ма норм всех несмешанных частных производных порядка, не превышающего й, для произвольной области С.

В 1974 году В.И. Буренков в работе [14] установил плотность множества гладких функций в пространствах Соболева (С) для произвольного открытого множества С с

В 1975 году В.И. Буренков в работе [31] распространил эти результаты на более общий класс функциональных пространств, получив необходимые и достаточные условия плотности множества гладких функций.

В 1982 году В.И. Буренков в работе [29] (результат приведен также в монографии [30]) построил линейный оператор приближения функций из пространства Соболева гладкими функциями.

Плотность множества гладких функций в весовых пространствах Соболева установлена для весов, удовлетворяющих условию Макенхаупта, В.М. Гольд!птенцом и А.Д. Ухловым в работе [34]. В математической литературе имеются и некоторые результаты для весов, равных функции расстояния до границы (работы [7], [20]).

Следует отметить, что даже в для двумерного шара плотность множества гладких функций в пространстве Соболева имеет место не для произвольных весов (пример приведён В.В. Жиковым в работе [16]).

В диссертации установлена плотность множества гладких функций в весовых пространствах типа пространств Соболева с произвольным весом, локально ограниченным и локально отделенным от нуля, для произвольного открытого множества С. Эти результаты обобщаются на случай пространств типа пространств Соболева с нормами, содержащими в качестве слагаемых нормы лишь избранных частных производных. Рассмотрены важные частные случае таких пространств. При этом рассматривается анизотропный случай.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование анизотропных пространств Соболева на нерегулярных областях»

Цель работы

Цель диссертации состоит в исследовании ряда свойств весовых пространств типа пространств Соболева на нерегулярных областях: вложения, оценки норм произ-

водных, мультипликативные неравенства типа неравенств Гальярдо-Ниренберга, плотность множества гладких функций.

Методы работы

В работе использованы интегральные представления функций и производных через производные более высоких порядков, оценки слабого и сильного типов для линейных операторов, действующих из Ьр в Ьд7 построение разбиения единицы специального вида, интегральные неравенства.

Научная новизна

Все представленные в диссертации результаты являются новыми.

Результаты, выносимые на защиту

• Установлены аддитивные оценки (теорема вложения) лебеговских норм функций и норм частных производных через норму функции и нормы частных производных более высокого порядка для функций из анизотропных пространств типа пространств Соболева на нерегулярных областях. Установлены необходимые условия выполнения полученных оценок. Найдено максимальное значение для показателя д в теореме вложения в Ьд(С) и показана неулучшаемость оценок для норм функций.

• Установлены мультипликативные оценки (мультипликативные неравенства типа неравенств Гальярдо-Ниренберга) лебеговских норм функций и частных производных через норму функции и нормы частных производных более высокого порядка для функций из анизотропных пространств типа пространств Соболева на нерегулярных областях. Установлены необходимые условия выполнения полученных оценок. Для областей с условием конуса доказана неулучшаемость полученных оценок.

• Установлена плотность множества гладких функций в анизотропных весовых пространствах типа пространств Соболева с весами, локально ограниченными и локально отделенными от нуля, для произвольного открытого множества.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть применены в теории функций и в теории уравнений с частными производными. Плотность множества гладких функций может быть использована для дальнейшего изучения теории функциональных пространств.

Достоверность

Достоверность результатов обеспечена строгостью и корректностью математических доказательств и рассуждений.

Апробация работы

• На всероссийских научных конференциях МФТИ (Долгопрудный, МФ-ТИ(ГУ)) (2011, 2012, 2013, 2017 годы).

• На семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики отдела теории функций МИАН (Семинар Никольского) под руководством чл.-корр. РАН. О.В. Бесова (2012, 2017 годы).

• На международной конференции "Функциональные пространства и теория приближения функций" (посвященной 110-летию со дня рождения академика С.М. Никольского) (Москва, МИАН, май 2015).

• На международной конференции FSDONA (Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis) (Prague, Czech Republic, July 2016).

• На международной конференции "Весовые оценки дифференциальных и интегральных операторов и их приложения" (Астана, Казахстан, ЕНУ, май 2017).

• На научном семинаре кафедры высшей математики МФТИ (апрель 2022).

Структура работы

Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы, включающего в себя 48 наименований.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из которых 3 статьи в изданиях, индексируемых в базе данных RSCI ([40]-[42]), оставшиеся 6 — тезисы конференций ([43]-[48]). Работы [40] и [42] опубликованы в журналах, индексируемых в базах данных Web of Science и Scopus. Работа [42] опубликована в журнале, входящем во второй квартиль (Q2) по показателю SJR.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, приводится обзор работ, посвященных теме диссертации, описывается ее структура и дается краткое содержание диссертации. Приводятся основные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе установлены аддитивные оценки (теорема вложения) ле-беговских норм функций и частных производных через норму функции и нормы частных производных более высокого порядка для функций из анизотропных (по порядку производных и показателям суммируемости) пространств типа пространств Соболева на нерегулярных областях. Установлены необходимые условия выполнения полученных оценок. Найдено максимальное значение дляд в теореме вложения в Lq(G) и показана неулучшаемость оценок для норм функций. В данной главе рассматриваются области с условием гибкого а-конуса.

и

Определение 1. (работа [13]) При а > I облаеть С С называется областью с условием гибкого а-конуса, если при некоторых Т* > 0, к > 0 для любого х € С существует кусочно гладкий путь 7 : [0,Т*] ^ С,^(0) = х, '\ < 1 почти всюду, и такой, что р(7> при, 0 <Ь < Т*, где р — расстояние от точки до границы этой области.

При этом при а = 1 область называют также областью с условием гибкого конуса. Область с условием гибкого конуса называют регулярной.

Область С, не удовлетворяющую условию гибкого конуса, называют нерегулярной.

Пусть N — множество натуральных чисел, п € М, п > 2; — п-мерное евклидово пространство, 1 < т < п, г0 = 0, 1 < г1 < ¿2 < ... < гт = п — натуральные числа, п^ = г^ — Хз : {1, 2,... ,п} ^ {0,1},

1 При + 1 < % < ,

Хз(0 = .

0 при 1 < г < 1 и при г^ + 1 < г < гт = п.

При а € Ъп+ положи м а? := Хза = (0,..., ... , 0,..., 0), так что

т

а = а з. 3=1

В данной главе рассматриваются анизотропные пространства типа пространств Соболева с нормой

т

^2 ^2 цва?(с) + (ву

3=1 а=аЗ ,\a\=Sj

Эти пространства являются обобщением (на анизотропный по порядку производных и показателям суммируемости случай) пространств типа пространств Соболева, рассмотренных О.В. Бесовым в 2010 году в работе [2].

Основным результатом первой главы является следующая теорема.

Теорема 1. (работ,а, [40]) Пусть С С — область с условием гибкого а-конуса, а > 1; ,т € М, I € Ъп, 1 < т < п, I < , 1 < д,г < ж, р^ < д, г < д, 1 < Pj < ж при всех ] = 1, т.

Тогда справедлива оценка

[ т

Е 11°"/к (о <с (Е Е к (О + ИЛк (О)| (0-0.2)

для функций / с конечной правой частью при выполнении для всех ] = 1,т соотношений

— , ч / „ч а (п — 1) +1 а1 - - < - (а - 1) > (в, - 1)--^--.

я< 3 ( ) ■ =Т== Р.1

1=1,1=0

Случай Sj = б, Pj = р при всех ] = 1, т будем называть изотропным. Теорема 1 является обобщением на анизотропный по порядку производных и показателям суммируемости случай теоремы вложения, полученной в изотропном случае О.В. Бесовым в 2010 году в работе [2].

Приведен пример области с условием гибкого а-конуса при а > 1, для которой

при ,т Е М, I Е Ъ+, 1 < т < п, I < 1 < р^ ,д,г < ж (при всех ] = 1,т), ^ < ^ + I, и при выполнении при некотором 1 < ] < т, соотношения

1-П-> - (а - 1) ± (* - 1) - а (п "1) + 1

9 <=7& Р'

оценка (0.0.2) не имеет места.

Таким образом, теорема 1 является неулучшаемой на классе областей с условием гибкого а-конуса при I = 0 (оценка норм функции), а также при а = 1 (области

при котором справедлива теорема вложения.

Для доказательства теоремы 1 используются интегральные представления частных производных через частные производные более высокого порядка и саму

а

Для вывода некоторых оценок с помощью интегральных представлений вдоль

условиям. Для выполнения этих условий пути из определения 1 заменяются "исправленными". Такое "исправление" путей также описано.

Во второй главе установлены мультипликативные оценки (мультипликативные неравенства типа неравенств Гальярдо-Ниренберга) лебеговских норм функций и частных производных через норму функции и нормы частных производных более высокого порядка для функций из анизотропных пространств типа пространств Соболева на нерегулярных областях. Установлены необходимые условия выполнения этих оценок. Для областей с условием гибкого конуса показана неулучшаемость полученных оценок.

Основным результатом второй главы является следующая теорема.

Теорема 2. (работ,а [40]) Пусть С С Шп — область с условием гибкого а-конуса, а > 1; ,т Е М, I Е Ъ+, 0 < 0 < 1, 1 < т < п, I < , 1 < д,г < ж,

Ро < <1, г < д, 1 < pj < ж при вссх ] = 1, т. Пусть г < д в случае I = 0, а = 1.

Тогда мультипликативное неравенство типа неравенства Гальярдо-Ниренберга

/ \ в 1т \

Ек(о<стНад^(Е Г н^(о) + с«/ (о (°-0-3)

|а|=/ а=а/

справедливо для функций, / с конечной правой, частью при, выполнении для всех

] = 1,т соотношений,

п „ I , , ч / _ ч а(п — 1) + 1 \

а1 - - < 0 и - (а - - 1) - 1- ) +

4 \ г=1,г=3

/ / т

(1 - в)\ -^ - (с - 1)( > - т| |. (0.0.4)

Условие г < д в случае I = 0, а = 1 можно опустить, ее ли все т неравенств в (0.0.4) строгие.

При т = 1 для областей с гладкой границей (а = 1) теорема 2 содержит результат Гальярдо-Ниренберга для д > р, д > г.

Таким образом, эта теорема является обобщением известных результатов при д> г, д > р па анизотропный по порядку производных и показателям суммируемости случай и на случай нерегулярных областей.

Приведен пример области с условием гибкого а-конуса при а > 1, для которой при ,т Е М, I Е Ъ+, 0 < 0 < 1, 1 < т < п, I < , 1 < pj ,(рг < то (при всех ] = 1,т), ^ < ^ + I и при выполнении при некотором ^ 1 < ] < т, соотношения

(ч - (а - 1) £ (., - 1) - ) +(1 - в) (-п)

4 \ г=1>г= /

мультипликативное неравенство (0.0.3) не имеет места. Таким образом, при а = 1 теорема 2 является неулучшаемой.

Сравнение необходимых и достаточных условий выполнения неравенства

т

существенно отличаются. То есть возможна ситуация, когда при совпадении дру-

т

т

изводных).

а = 1

усиление неравенства (0.0.3), в котором в правой части отсутствует второе слагаемое.

Для этого введем класс областей с условием неограниченного гибкого конуса. Определение 2. Область С С назовем областью с условием, неограниченного гибкого конуса, если при, некотором к > 0 для любого х Е С существует кусочно гладкий путь 7 : [0; +то) ^ С, 7(0) = х, |7'| < 1 почти всюду, такой, что р(7(£)) > К для любого Ь > 0.

Для данных областей установлена следующая теорема.

Теорема 3. (работ,а, [40]) Пусть С С — область с условием неограниченного гибкого конуса, Sj,т Е М, I Е Ъ+, 0 < 0 < 1, 1 < т < п, I < Sj, 1 < (¡,г < то,

Pj < Я, г < я, 1 < Pj < то при всех ] = 1,т. Пусть г < д в случае I = 0. Тогда, мультипликативное неравенство

/ \ 9 1т \

£н^ 1к(о<си/Ш-'о(£ £ \\°а1 Ц(о) (0-0.5)

\а\=1 з 1

справедливо для функций / с конечной правой частью при выполнении для всех ] = 1,т соотношений

Показано, что неравенство (0.0.5) не может выполняться для классов областей с условием гибкого а-конуса при а > 1 ни при каких значениях параметров.

Приведено доказательство теорем 2 и 3. Для доказательства теорем используются интегральные представления частных производных через частные производные более высокого порядка и саму функцию по гибкому а-конуса. При этом рассматриваются гибкие а-конусы различной "длины".

Мультипликативные оценки выводятся из совокупности аддитивных оценок варьированием "длины" гибких а-конусов.

В третьей главе установлена плотность множества гладких функций в анизотропных весовых пространствах типа пространств Соболева с весами, локально ограниченными и локально отделенными от нуля.

Введем понятие локально ограниченной и локально отделенной от нуля функции.

Определение 3. Пусть С С Кп — открытое множество. Назовем весовую функцию V : С ^ (0, +ж) локально ограниченной и локально отделенной от нуля, если т£{у(х) : х Е К} > 0 и : х Е К} < ж для любого компакта

Этот класс содержит все положительные непрерывные на множестве С функции. Существуют локально ограниченные и локально отделенные от нуля функции, не удовлетворяющие условию Макенхаупта (а также функции, удовлетворяющие условию Макенхаупта, не являющиеся локально ограниченными и локально отделенными от нуля).

Будем использовать следующие обозначения.

Пусть па открытом множестве С С Кп задана положительная измеримая функция V. Для локально суммируемой па С функции / введем обозначение

К а С.

1 < < то

Через Сто(С) обозначим множество функций, бесконечно дифференцируемых С

Пусть £ С Ъ+ — непустое конечное множество мультииндексов, содержащее 0. V = {Vа : а Е £}, где уа — положительные измеримые па С функции. Рассмотрим пространство типа пространства Соболева £Ьр^(С) с нормой

I | I | | £Ьр ,0(О) ^ ^ 11^ (О).

аЕ£

Такие пространства в безвесовом случае рассматривались В.П. Ильиным в 1968 году в работе [18].

В этом пространстве при определенных условиях па множество £ устанавливается плотность множества гладких функций.

Пусть е Е {0,1}п. Положим е' = (1,1,..., 1) - е, е а := (е\а\,..., епап), где мультииндекс а Е Неравенства между мультииндексами понимаются покоординатно.

Пусть 3 = (31,... , 3п) — некоторый мультииндекс. Пусть

£е(3) := {еа : а Е £, е'а < е'3}.

Через М£е (3) обозначим выпуклую оболочку точек еа Е £е (3)•

Обозначим через Т(£) множество мультииндексов 3 таких, что е3 Е М£е (3) для любого е Е {0,1}п.

£

из условия 3 < а Е £ следует, что 3 Е Т(£).

Теорема 4. (работ,а [42]) Пусть С С Кп — от,крытое множество, £ — допустимое множество мультииндексов.

Тогда, множество Сто(С) П £Ьр^(С) плот,но в весовом пространстве типа пространства Соболева £Ьр^(С), где 1 < р < то7 г!а : С ^ (0, +то) — локально

а Е £

Результат теоремы является новым и в безвесовом случае.

Утверждение теоремы при некоторых дополнительных условиях на множество £ верно и при р = 1.

Пусть Е МЕе(Р), е* Е {0,1}п, е* < е. Обозначим через |е*| количество равных 1 координат в е*. Плоскость

Ье* = {^ : £ - ^ = - )} (0.0.6)

содержит и параллельна соответствующей координатной плоскости.

Назовем мини-плоскостью относительно плоскость вида (0.0.6) наименьшей размерности |е*|, удовлетворяющую условию: выпуклая оболочка точек множества М8е(@) П Ье* содержит Для данной точки существует одна или несколько мини-плоскостей относительно еД. Будем говорить, что точка является точкой типа А(0) относительно М8е(@), если существуют мини-плоскость Ье* и точка ет Е М 8е ) П Ье*, для штор ой е*т > е*/3 + е*.

Обозначим через Т-10)(8) множество мультииндексов [5 Е Т(8) таких, что Е М8е(Р) и является точкой типа А(0) относительно М8е(]3) для любого е Е

{0,1}п

Определяем по индукции Т(+)1(8) = Т*|0) (8

Конечное непустое множество мультииндексов 8 назовем А(0)-допустимым, если из условия @ < а Е 8 следует, что @ Е Т,0)(8) при некотором натуральном к.

Теорема 5. (работ,а [42]) Пусть С С Кп — от,крытое множество, 8 ^(0)-допустимое множество мультииндексов.

Тогда, множество Сж(С) П 8(С) плот,но в весовом пространстве типа пространства Соболева 8(С), где : С ^ (0, +ж) — локально ограниченные и локально отделенные от нуля функции, при, всех а Е 8.

Важным частным случаем пространств типа пространств Соболева8(С), для которых выполняются условия теорем 4 и 5, являются невесовые простран-

ства, изучаемые в первой и второй главе диссертации {ср^ = р при всех ] = 1,ш, г = р). Для них установлена плотность множества гладких функций, в том числе и при р =1.

Следствие 1. (работа [42]) Пусть С С Кп — открытое множество. Тогда, множество Сж(С) П ^^^С) плот,но в весовом пространстве типа

пространства Соболева с нормой

т

1 1 $ 1 1 (О) = ^ 1 1 1 1 ьр,у а(о) + 1 11 1 1 (О),

3=1 а=а ,|а|=в^

где 1 <р < то, т Е М, 1 < т <п, Е Ъ+ (при всех ] = 1,т), уа : С ^ (0, +то)

а =

а?, |а| = (при всех ] = 1,т) и при а = 0.

Еще одним важным частным случаем являются весовые пространства с доминирующей смешанной производной.

Следствие 2. (работа [42]) Пусть С С Кп — открытое множество. Тогда, множество Сто(С) П (С) плотно в весовом пространстве (С) с доминирующей смешанной производной с нормой

1 1 3 1 1 ^ (О) = ^ 1 1 Е>а^ 1 1 (О),

аЕZ+,а<т

где 1 < р < то т ~ мультииндекс, : С ^ (0, +то) — локально ограниченные

а <

Приведены доказательства теорем 4 и 5, а также следствий 1 и 2. В заключении излагаются итоги выполненного исследования, перспективы дальнейшей разработки темы.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю: член-корреспонденту РАН, профессору Бесову Олегу Владимировичу за внимание к работе и полезные советы.

Глава 1

Теорема вложения

Эта глава посвящена необходимым и достаточным условиям выполнения аддитивных оценок (теорема вложения) лебеговских норм функций и частных производных через норму функции и нормы частных производных более высокого порядка для функций из анизотропных (по порядку производных и показателям суммируемости) пространств типа пространств Соболева на нерегулярных областях.

1.1 Основные обозначения, формулировка теоремы

Будем пользоваться следующими обозначениями: С С Кп — открытое множество, п > 2, р(х) = Кп \ С), р1(х) = шт{р(х), 1} В(х, Я) = {у : \у — ж| < Я}, х

— характеристическая функция открытого шара В(0,1). Обозначим через Со°(С)

— множество бесконечно дифференцируемых финитных функций с носителем в области С.

Приведем определение области с условием гибкого а-конуса, введенного О.В. Бесовым в 2001 году в работе [13].

Определение 1.1.1. При а > 1 облаетъ С С Кп называется областью с условием гибкого а-конуса, если при некоторых Т * > 0, к > 0 для любо го х Е С существует кусочно гладкий путь 7 : [0,Т*] ^ С,^(0) = х, |7< 1 почти всюду, и такой, что р(^(£)) > кЪ° при 0 <Ь < Т*.

При этом при а = 1 область называют также областью с условием гибкого конуса.

Область с условием гибкого конуса называют регулярной.

Область С, не удовлетворяющую условию гибкого конуса, называют нерегулярной.

В диссертации также будет использоваться следующий класс областей п-мерпого евклидова пространства, которые мы назовем областями с условием неограниченного гибкого конуса.

Определение 1.1.2. Область С С назовем областью с условием, неограниченного гибкого конуса, если при, некотором к > 0 для любого х Е С существует кусочно гладкий путь 7 : [0; ^ С, 7(0) = х, |7'| < 1 почти всюду, такой, что (£)) > К для любого Ь > 0.

Пусть N — множество натуральных чисел, п Е М, п > 2; — п-мерное евклидово пространство, 1 < т < п, г0 = 0, 1 < г\ < < ... < гт = п — натуральные числа, п3 = 13 — гз—1, Хз : {1, 2,... ,п} ^ {0,1},

1 при гз-—1 + 1 < г < 13,

Хз = _

0 при 1 < г < %з—1 и при + 1 < г < гт = п.

При а Е положи м а3 := \за = (0,..., ... , 0,..., 0), так что

т

а = ^ а3. При х Е положи м х = (х1,..., хт ), где х3 = (х^._ 1+1,.. .Х{.) Е

з=1 ' '

Мы будет рассматривать анизотропные пространства типа пространств Соболева с нормой

т

3=1 а=аЗ ,\a\=Sj

Эти пространства являются обобщением (на анизотропный по порядку производных и показателям суммируемости случай) пространств типа пространств Соболева, рассмотренных О.В. Бесовым в 2010 году в работе [2]. т = 1

(порядка в = $1), а при т = п сумма лебеговских норм лишь несмешанных част-

ных производных (своего порядка для каждой координаты). При 1 < т < п будут промежуточные по набору производных пространства типа пространств Соболева.

Например, при п = 3, т = 2, 51 = 2 52 = 3 это могут быть пространства типа пространств Соболева с нормами:

д2/

дх2

+

ЬР1 (С) д2

д2

д х1 д х2

+

ьР1 (с)

дЦ

д х22

+

ьР1 (с)

д3/

дх3

+ 1 I / I

д х2

+

ьР1 (с)

д3/

дх2

+

ьР2 (с)

дЦ

дх3

д3/

дх"^дх3

+

+

ьР2 (с)

ьР2 (с)

Ьг (С) ■

ьР2 (с) д3/

Ьг(С) ;

д х2 д х23

+

ьР2 (с)

Теорема 1.1.1. (работ,а [40]) Пусть С С — область с условием гибкого а-конуса, а > 1; ,т Е М, I Е Ъ+, 1 < т <п, I < , 1 < д,г < ж, pj < д, г < д, 1 < Pj < ж при всех ] = 1, т. Тогда, справедлива оценка

^ 11 ва1 1 1 ^(С) <с ( ^ 11г>а111ьРо(С) + 11 Лк(с)

.7=1 а.=а?,

(1.1.1)

Ы =1

для функций / с конечной правой частью при выполнении для всех ] = 1,т соотношений

п

а1 - п < з, - (а - 1) (5г - 1)

«=1, *=3

а (п - 1) + 1 Рз

(1.1.2)

В правой части стоит норма анизотропного пространства типа пространства Соболева. При I = 0 теорема 1.1.1 является теоремой вложения такого пространства в пространство Лебега.

Случай = в, р^ = р при всех ] = 1, т будем называть изотропным. Теорема 1.1.1 является обобщением на анизотропный по порядку производных и показателям суммируемости случай теоремы вложения, полученной в изотропном случае О.В. Бесовым в 2010 году в работе [2].

Доказательство теоремы будет приведено в параграфе 1.4.

1.2 Исправление путей интегрального

представления

Для вывода некоторых оценок с помощью интегральных представлений вдоль пу-

полпительпым условиям. Для выполнения этих условий мы "исправим" пути из определения 1.1.1.

Лемма 1.2.1. Пусть С С — область с условием гибкого а-конуса. Тогда при некоторых 5 Е (0, 2) , е0 Е (0,1), К > 0, С, С0 для каждой точки х Е С существует кусочно гладкий путь 7 = 7Х : [0, Ьх] ^ С и непрерывная кусочно гладкая функция 7 : [0, ЬХ] ^ [0, то) такие, что

7(0) = х, |У| < 1п. в., ц(¿) > К*", 0 < Г7(¿) < бр^)), ц(4) > ¿2,

| (£)| < Со почти всюду,

(¿') < ц(£') (1.2.1)

при В(7(¿),6Гч(¿)) П В(7(г"),5ц(*")) = 0//' Е [0,4],

?х 1 (У — 7(0А ,

вир вир -—х —~- ^ < С.

7 УЕ^0 Г7М V б0)

Доказательство приведено в работах Т. Кильпелайнена, Д. Малы [35] и О.В. Бесова [13].

Лемма 1.2.2. Пусть х0 Е Пусть = х0 + Ье при Ь Е [0, £*], где |е\ = 1. Пусть 7 (0 = сЪ + с0^ ^е с, с0 > 0. Пусть е0с < 1. Тогда

1 .7 у — 7(0^

V б0Г,у (0 У

^ < С = С (с, £0),

'0 7 (0 V е07у (0 С , 0

Доказательство.

Оценка справедлива, так как

Г 1 (У — 7(0^/ [ь

0 7 (0 V е0г-у (0 у ^ < сО

где 0 < и < ¿2, | <

При доказательствах следующих лемм будут построены пути Г = Г(£, х) и функции г = г(£), удовлетворяющие определенных соотношениям. Эти пути и функции мы будем использовать при выводе аддитивных и мультипликативных оценок.

Лемма 1.2.3. Пусть С С — область с условием гибкого а-конуса.

Тогда, при, некоторых е0 Е (0,1), к0 > 0, То > 0, с, С для любого х Е С существует кусочно гладкий путь Г = Г(£, х) : [0,Т0] ^ С, Г(0) = х, |Г'| < 1 почти всюду и непрерывная кусочно гладкая функция г = гГ : [0,Т0] ^ [0, ж) : г(£) > 0 при Ь > 0, г(0) = 0, |r'(t)| < с для почти всех г(£) < 1 , х), дС),

съ > г(г) > щр при 0 <г <Т0 и

[ Т° 1 (У- ^ ,х) и,С

вир вир —т~\Х\ -г^— ) сИ < С.

г у&с]о гг^)

С* < С. (!•">

Доказательство.

Для произвольной точки х Е С рассмотрим путь 7 и функцию т^ из леммы 1.2.1. Тогда путь

х + (£, 0, ■ ■ ■, 0) при Ь Е

г(£ ,х) = <х + (г^ (0) - г, 0, ■■■, 0) при гЕ

Л (г - ц (0))

0

(0)

>7 (0)

Л (0)

2 ' ' 7*

при 1Е [г^(0), 1Х + г^(0)]

и кусочно гладкая функция

( )=

при Ь Е [0, г^(0)],

г^у(£ - г^(0)) при 1Е [ц(0), 1Х + г^(0)]

удовлетворяют утверждению леммы.

В самом деле, условие |г'(£)| < с очевидно выполнено, откуда в силу оценки (£ х) > существует число Т0 > 0 такое, ч то 1Х + г^ (0) > Т0 для любо го х Е С. Соотношение г(£) < 2dist(Г(í,х),дС) следует из леммы 1.2.1.

2

Так как r^(0) < 1, то r(t) > ta при t G (0,r^.(0)]. Из соотношения (1.2.1) следует, что r^(t) > SГ^(0) при t G [0,£Г^(0)]. Отсюда r(t) > Sr^(0) > S {ц+цУ ta при t G [r^(0), (1 + 5)r^(0)].

Заметим, что r(t) > K(t — r^(0))a > к ta при t > (1 + 5)r^(0). Таким

образом существует к0 > 0 такое, что r(t) > K0tа при t G (0,То].

Неравенство (1.2.2) следует из соответствующих неравенств из лемм 1.2.1 и 1.2.2.

Лемма 1.2.4. Пусть G С Rn — область с условием бесконечного гибкого конуса.

Тогда, при, некоторых е0 G (0,1), к0 > 0, с, С для любого х G G существует кусочно гладкий путь Г = Г(£, х) : [0, то) ^ G, Г(0,х) = х, |Г'| < 1 почти всюду и непрерывная кусочно гладкая функция r = rr : [0, то) ^ [0, то) : r(t) > 0 при, t > 0,r(0) = 0, lr'(t)l < с для почти ecext, r(t) < 1 dist^i,х),дС), ct > r(t) > K0t при, 0 < t < то,

[то 1 (У — Г(*,х) \

sup sup / -^ггХ -)dt < С

r vggJ0 rr(t) V ^orr(t) J

Доказательство.

Доказательство отличается от доказательства леммы 1.2.3 лишь построением бесконечного пути 7 : [0, то) ^ G. Положим r7(t) = p(^(t)), где 7 — бесконечный путь из определения 1.1.2, р(х) — регуляризоваииое расстояние от х до Rn\G (см., например, монографию [27]), то есть р — бесконечно дифференцируемая функция на G и при некотором N > 1

—р(х) < р(х) < р(х), |gradр| < N (х G G).

Тогда при некотором 6 G (0,1)

Sr7(t') < ^(t") (1.2.3)

при В(7(t'),8r1 (t')) П В(7(t")^^(t")) = 0, t', t" G [0, то].

Зафиксируем £ G (0, 2).

Путь 7 будет представлять вписанную в 7 бесконечную ломаную с вершинами 7 (t ¡), 0 = t0 < t\ < ... < ti < ..., где пр и iE N

U = sup{t E (tt-i, +ж) : В(7(t),er1 (t) П В(7(tt-i),er^(t,-i) = 0}

(ti < ж в силу соотношения (1.2.3)).

Через 7 : [0, ж) ^ G обозначим путь, состоящий из отрезков, последовательно соединяющих точки 7(t¿), и параметризованный с помощью длины дуги, отсчитываемой от х = 7 (0) = 7(0). Пусть при этом {т^}Ж ^значения параметров последовательных вершин 7, так что 7(т») = 7(tг) ПРИ ^ E Z+.

Через гj : [0, ж) ^ (0, ж) обозначим непрерывную функцию, принимающую значения r^(Ti) = er7(ti) (i E Z+) и линейную та каждом отрезке [r^-1,Ti],

Заметим, что lim Ti = +ж (так как г7 ограничена снизу положительным числом). Поэтому исправленный путь 7(т) определен при всех т E [0; +ж).

Свойства путей 7 и функций г^ (аналогичные свойствам путей 7 и функций г^ из леммы 1.2.1) устанавливаются также, как и в работе [13].

1.3 Интегральное представление функций

Воспользуемся усреднением из работы О.В. Бесова [2] (такое усреднение ранее рассматривалось им и в работах [8], [10]) для 0 <t < Т0 (в случае области с усло-

0 < < ж

Г

{Dßf)t (х) = /П^-¿(f, 5=,Г(t,х) -х^ Dtf (х + y)dy

(-DißiJ n<j( уз, 5!, г с ,х)

X 3]( yj, 5=, Г' (t ,х) -х>) f(x + y)d у,

3=1

где ß E Z+, \ß| < Sj (при всех j = l, m), r(t) = T'r(t)7 а множители ядра усреднения

при всех j = l,m удовлетворяют соотношениям (см. работу [2]):

Кп, J (-, 5=, F (t ,х)-х^ E ож (В (р (t ,х) -х>, 5)

g, P(i, х) - = D^Kni „ (у, SJ, P(i,х) -

при а3 = 0 или а-7 = ß3

K(f](y\ ^, r'(i,х) -хЛ

,J \ yjm )

<

CX ( f ^^ + | r(t)-a>-И+1-^-1, (1.3.1)

Приведем определение и лемму из монографии И. Стеина [27] (1.1.8). Определение 1.3.1. Семейство F измеримых множеств eR" называется регулярным, если существует константа с0 > 0 такая, что для любого S € F существует от,крытым шар В D S с центром в начале координат такой, что mes(S) > со mes( В).

G С Rn.

Тогда, для почти всех х € G для произвольного регулярного семейства F, содержащего множества сколь угодно малой меры, справедливо равенство

lim -I | f(x + у) - f(x)\dy = 0.

s €F, mes(S )JS

mes(S)^0

Заметим, что семейство

В ( P(t, х) — хХ, ^ ) :t € (0, t*x]

^(t ,X) -X , € (0, «}

является регулярным, так как тг(0 = t для каждой точки при I < £ * для некоторого I * > 0.

В силу соотношения (1.3.1) при некотором С > 0

sm -p<i -х) - х1)

3=1

C

<

mes^QB (Г(*,х) - х,

при Ь Е (0, £*]. Функция В3/ локально суммируема в силу теоремы вложения (см., например, [2]).

Таким образом, в силу леммы 1.3.1 для почти всех х Е С

Дш |(В3/)» -В3]'(х)| =

Нш

„,у', 4=, Р'((,х) - х^ х

п*

3=1

(В3/(х + у) -И3/(х))йу| <

I

В3] (х + у) -В3] (х) | dy

С Нш

т , ,

П В(Г(г,х)-а*,т)

3 = 1

ше^ДВ ,х) -х,^

= 0,

откуда Нш^ (О3/)t = В3/ почти всюду.

Записав формулу Ньютона-Лейбница для {В3/)г (х) по Ь для отрезка [0, Т], где Т Е (0,Т0] (здесь и в дальнейшем в случае области с условием неограниченного гибкого конуса Т Е (0, ж)), получаем интегральное представление функции В3/ для почти каждой точки х Е С. Из этой формулы следует, что почти всюду па С справедливо неравенство

|В3/(х)| <

"Т

д ~дЪ

В 3 ( х)

dt+ | (В3/)Т (х)

(1.3.2)

для любого Т Е (0,Т0].

В работе [2], используя результаты работы [9], О.В. Бесов показал, что

д_ ~дъ

(В3/(х)

=1

х

Ш

у1 - г (г ,х)

Щ

Е |Ва/(y)\dy■

(1.3.3)

г=1 \ л/т ' а=а3,|о;|=

Из соотношений (1.3.1) — (1.3.3) следует, что

/ m \

D13 f (x)| < C {Aof (x) + Y,Aj9j (x)J ,

Ml <C[Aof(x)^AjSj(x) | , (1.3.4)

j=i

где §j(x) = \Daf (x)| ,

a=a? ,\a |=Sj

m m

—n — / s ' + mm — о / s ' — mm* /

Aof (x) = r(T ) à' ^TV / \/(у)\ф, (1.3.5)

•/\î,-r(T,x)|<r (т )

m E

fT E(Si-1) -«- E (*-1)-|£| f Aj g (x) = b=i r(t) ^^ / g(y)dydt. (1.3.6)

J0 J\y-T(t,x)l<r(t)

1.4 Доказательство теоремы вложения

Доказательство основано на оценках норм интегральных операторов А0, Aj (при всех j = 1,т).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Головко Андрей Юрьевич, 2023 год

Список литературы

[1] Бесов О. В. Вложения пространств дифференцируемых функций переменной гладкости // Труды МИАН. — 1997. — Т. 214. — С. 25-58.

[2] Бесов О.В. Интегральные оценки дифференцируемых функций на нерегулярных областях // Математический сборник. — 2010. — Т. 201, № 12. — С. 69-82.

[3] Бесов О. В. Интегральные представления функций в области с условием гибкого рога и теоремы вложения // Доклады АН СССР. — 1983. — Т. 273, Л" 6. - С. 1294-1297.

[4] Бесов О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения для области с условием гибкого рога // Труды МИАН СССР. — 1984. — Т. 170. - С. 12-30.

[5] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. — 2-ое издание, переработанное и дополненное. — Москва: Наука, 1996. — 480 с.

[6] Бесов О.В. Мультипликативные оценки производных на области // Математические заметки. — 2020. — Т. 108, № 4. — С. 507-514.

[7] Бесов О.В. О плотности финитных функций в весовом пространстве С.Л. Соболева // Труды МИАН СССР. - 1983. - Т. 161. - С. 29-47.

[8] Бесов О.В. Пространства функций дробной гладкости на нерегулярной области // Математические заметки. — 2003. — Т. 74, № 2. — С. 163-183.

[9] Бесов О.В. Пространства функций дробной гладкости на нерегулярной области // Труды МИАН. - 2010. - Т. 269. - С. 31-51.

[10] Бесов О.В. Пространства функций типа Лизоркина-Трибеля на нерегулярной области // Труды МИАН. — 2008. — Т. 260. — С. 25-36.

[11] Бесов О. В. Теоремы вложения Соболева для анизотропно нерегулярных областей // Доклады РАН. 2011. Т. 438. Л» 5. С. 586-589.

[12] Бесов О. В. Теоремы вложения Соболева для анизотропно нерегулярных областей // Труды МФТИ. - 2011. - Т. 3, № 1. - С. 18-27.

[13] Бесов О.В. Теорема вложения Соболева для областей с нерегулярной границей // Математический сборник. — 2001. — Т. 192, № 3. — С. 3-26.

[14] Буренков В. И. О плотности бесконечно дифференцируемых функций в пространствах Соболева для произвольного открытого множества // Труды МИАН СССР. - 1974. - Т. 131. - С. 39-50.

[15] Габидзашвили М.А. Весовые неравенства для анизотропных потенциалов // Труды Тбилисского математического института. — 1986. — Т. 82. — С. 25-36.

[16] Жиков В.В. О весовых соболевских пространствах // Математический сборник. - 1998. - Т. 189, № 8. - С. 27-58.

[17] Илвин В.П. Некоторые неравенства в функциональных пространствах и их применение к исследованию сходимости вариационных процессов // Труды МИАН СССР. - 1959. - Т. 53. - С. 64-127.

[18] Илвин В.П. Об условиях справедливости неравенств между Ьр-нормами частных производных функций многих переменных // Труды МИАН СССР. - 1968. - Т. 96. - С. 205-242.

[19] Кокилашвили В.М., Габидзашвили М.А. О весовых неравенствах для анизотропных потенциалов и максимальных функций // Доклады АН СССР. _ 1985. _ т. 282, № 6. - С. 1304-1306.

[20] Кудрявцев Л.Д. О построении последовательности финитных функций, аппроксимирующих функции весовых классов // Труды МИАН СССР. — 1980. - Т. 156. - С. 121-129.

[21] Лабутин Д.А. Неулучшаемость неравенств Соболева для класса нерегулярных областей // Труды МИАН. — 2001. — Т. 232. — С. 218-222.

[22] Мазья В.Г. Классы областей теоремы вложения функциональных пространств // Доклады АН СССР. - 1960. - Т. 133, № 3. - С. 527-530.

[23] Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. — Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1985.

_ 41б с.

[24] Решетняк Ю.Г. Интегральные представления дифференцируемых функций в областях с негладкой границей // Сибирский математический журнал. - 1980. - Т. 21, № 6. - С. 108-116.

[25] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / Под редакцией O.A. Олей ни к. — 3-ье издание, переработанное и дополненное. — Москва: Наука, 1988. — 336 с.

[26] Соболев С.Л. Об одной теореме функционального анализа // Математический сборник. — 1938. — Т. 4(46), № 3. — С. 471-497.

[27] Стеин И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / Под редакцией В.И. Буренкова. — Москва: МИР, 1973. — 344 с.

[28] Трушин Б.В. Теоремы вложения Соболева для некоторого класса анизотропно нерегулярных областей // Труды МИАН. — 2008. — Т. 160. — С. 297-319.

[29] Burenkov V.I. Mollifying operators with variable step and their application to approximation by infinitely differentiable functions // Nonlinear analysis, function spaces and applications. — 1982. — V. 2, № 49. — P. 5-37.

[30] Burenkov V.I. Sobolev spaces on domains. — Leipzig: Teubner-Texte zur Mathematik, 1998. - 312 p.

[31] Burenkov V.I. The density of infinitely differentiable functions in spaces of functions specified on an arbitrary open set // Theory of cubature formulas and applications of functional analysis to some problems in mathematical physics (Russian). Institute Mathematical, Akademija Nauk SSSR Sibirskoe Otdelenie, Novosibirsk. - 1975. - P. 9-22.

[32] Deny J., Lions J. Les espaces du type de Beppo // Annales de I'nstitut Fourier. - 1953/1954. - V. 5. - P. 305-370.

[33] Gagliardo E. Ulterori propriété di alcune classi di funzioni in prn variabili // Ricerche di Matematica. - 1959. - V. 8. - P. 24-51.

[34] GoFdshtein V., Ukhlov A. Weighted Sobolev spaces and embedding theorems // American Mathematical Society. - 2009. - V. 36, № 7. - P. 3829-3850.

[35] Kilpelainen T., Maly J. Sobolev inequalities on sets with irregular boundaries // Zeitschrift Analysis Anwendungen. - 2000. - V. 19, № 2. - P. 369-380.

[36] Marcinkiewicz J. Sur l'interpolation d'opérations // Comptes Rendus de l'Acadë mie des Sciences. - 1939. - V. 208. - P. 1272-1273.

[37] Nirenberg L. On elliptic partial differential equations // Annali délia Scuola Normale Superiore di Pisa. — 1959. — Ser. Ill, V.13, Fasc. II. — P. 115-162.

[38] Pankratov L. Homogenization in variable Sobolev spaces. — Москва: Физма-ткнига, 2018. — 196 p.

[39] Whitney H. Analytic extentions of differentiable functions defîned in closed sets // Transactions of the American Mathematical Society. — 1934. — V. 36. _ p. 63-89.

Работы автора по теме диссертации:

[40] Головко А.Ю. Аддитивные и мультипликативные анизотропные оценки интегральных норм дифференцируемых функций на нерегулярных областях // Труды МИАН. - 2015. - Т. 290. - С. 293-303.

[41] Головко А.Ю. Мультипликативные неравенства типа Гальярдо-Ниренберга для областей с нерегулярной границей // Труды МФТИ. — 2012. - Т. 4, № 4. - С. 31-40.

[42] Головко А.Ю. Плотность гладких функций в анизотропных весовых пространствах Соболева с весами, локально ограниченными и локально отделенными от нуля // Математические заметки. — 2021. — Т. 109, № 5. — С. 681-690.

Тезисы конференций

[43] Головко А.Ю. Аддитивные и мультипликативные анизотропные оценки интегральных норм функций из пространств Соболева на нерегулярных областях // Труды 60-й всероссийской научной конференции МФТИ. — 2017. — Прикладная математика и информатика. — С. 304-305.

[44] Головко А.Ю. Мультипликативные неравенства типа Гальрдо-Ниренберга для нерегулярных областей // Труды 54-й научной конференции МФТИ. _ 2011. — Управление и прикладная математика, Т. 1. — С. 40.

[45] Головко А.Ю. Плотность гладких функций в весовых пространствах Соболева с весами, локально отделенными от нуля // Труды 56-й научной конференции МФТИ. — 2013. — Управление и прикладная математика, Т. 1. - С. 24-26.

[46] Головко А.Ю. Плотность гладких функций в весовых пространствах Соболева с весом, равным непрерывной функции расстояния до границы // Труды 55-й научной конференции МФТИ. — 2012. — Управление и прикладная математика, Т. 1. С. 22-23.

[47] Головко А.Ю. Теоремы вложения анизотропных пространств Соболева для областей с нерегулярной границей // Тезисы докладов международной конференции "Функциональные пространства и теория приближений функций", посвященной 110-летию со дня рождения академика С.М. Никольского (МИАН). - 2015. - С. 126-127.

[48] Golovko A. Yu. Anisotropic estimates for integral norms of differentiable functions on irregular domains // The abstract book of the International Scientific Conference "Weighted estimates of differential and integral operators and their applications"(Astana, Kazakhstan). — 2017. — C. 46-49.