Изучение спектральных характеристик одной несамосопряженной задачи с гладкими коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гаджиева, Тамила Юсуповна

• Гаджиева, Тамила Юсуповна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гаджиева, Тамила Юсуповна

Введение.3 стр

Глава I. Краевая задача типа Т. Редже, порожденная дифференциальным уравнением 2п -го порядка в регулярном случае.20 стр

§1.1. Постановка задачи.20 стр

§ 1.2. Асимптотические формулы для решений уравнения l{f) = X2np{x)f{x).23 стр

§1.3. Вспомогательные утверждения.27 стр

§ 1.4. Асимптотика решений для уравнения

НУ'У2'0 + Ф)У = Л2ПР(*)У.38 стр

§ 1.5. Оценка роста функции Грина задачи Н0 в регулярном случае.44 стр

§ 1.6. 2п -кратное разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям краевой задачи Н0 в регулярном случае.53 стр

Глава II. Изучение спектральных характеристик задачи Н0 в нерегулярном случае.59 стр

§ 2.1. Исследование спектра задачи Н0 в нерегулярном случае.59 стр

§ 2.2. Изучение ядра резольвенты и его оценка в нерегулярном случае.67 стр

§ 2.3. 2п -кратное разложение в ряд по собственным функциям краевой задачи Н0 в нерегулярном случае.71 стр

§ 2.4. Определение вычета ядра резольвенты краевой задачи Н0 в случае простого полюса Л = Л0 и доказательство единственности разложений.73 стр

Глава III. Оценка нормированных собственных функций задачи Н0 в случае дифференциального уравнения второго порядка.85 стр

§ 3.1. Оценка нормированных собственных функций спектральной задачи

Я0 при п- 1 в случае постоянных коэффициентов.85 стр

§ 3.2. Оценка нормированных собственных функций спектральной задачи

Н0 при п = 1 в случае гладких коэффициентов.101 стр

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изучение спектральных характеристик одной несамосопряженной задачи с гладкими коэффициентами»

Пусть на отрезке [0, а] задан линейный дифференциальный оператор

Ь(х, — ,Л), порожденный обыкновенными дифференциальными сЬс уравнениями, коэффициенты которых зависят от параметра Я. Обозначим для краткости границу отрезка [0, а] через Г и рассмотрим спектральную задачу с1

Ь{х, — ,Л)и-0, 0<х<а (1) сЬс

Я(х, — ,Л)и- 0, хеГ, (2)

3кх с1

В формуле (2) Я(х, —, Л) - некоторый линейный граничный оператор, с1х также зависящий от параметра Я, представляет собой большой объект исследования.

Поставим задачу определения тех значений параметра Я, при которых задача (1)-(2) имеет нетривиальные решения.

Задача (1)-(2) являлась предметом исследования многих авторов. Отметим, прежде всего, классические работы Г.Д. Биркгофа [1] и Я.Д. Тамаркина [2].

В этих работах была развита техника асимптотического решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, позволяющая в ряде важных случаев исследовать не только спектр (5)-(6), но и изучить вопросы, связанные с разложением произвольных функций в ряды по собственным функциям спектральной задачи (1)-(2).

Фундаментальную роль в изучении спектральных свойств задачи (1)-(2) сыграла работа М.В. Келдыша [3]. В этой работе М.В.Келдыш ввел важнейшее понятие п -кратной полноты системы собственных функций спектральной задачи.

Поскольку из полноты системы собственных и присоединенных функций не следует, вообще говоря, возможность разложения произвольной функции в ряд по этой системе, то условия регулярности Я.Д. Тамаркина [2] являлись наиболее общими условиями, позволяющими получить разложение функций из определенного класса в ряды по фундаментальным функциям спектральной задачи.

Спектральная задача вида (1)-(2) в связи с решением смешанных краевых задач рассматривалась М.Л. Расуловым [4], К.В. Брушлинским [5] и другими авторами. В этих работах налагались такие ограничения на само уравнение и краевые условия, при которых выполнялось условие регулярности Я.Д. Тамаркина.

Замечательным обстоятельством является, однако, тот факт, что многие важные для приложения задачи приводят к спектральным задачам, где условия регулярности Я.Д. Тамаркина заведомо не выполняются. Примером такой задачи является следующая спектральная задача, возникающая в квантовой теории рассеяния:

Эта задача была рассмотрена впервые итальянским физиком Т. Редже [6], который в случае р(х) = 1 показал, что система собственных функций задачи (3)-(4) полна и изучил асимптотику собственных чисел этой задачи.

- у" + д{х)у = Л2р(х)у (О <х<а)

3)

Я0) = 0, у\а)-1Ху{а) = 0.

4)

А.О. Кравицкий [7] указал класс функций, которые допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям задачи Т. Редже, когда р(х) = 1.

В работах М.М. Гехтмана, И.В. Станкевича [8] задача Т. Редже была обобщена на случай уравнения четвертого порядка.

Чтобы получить краевые условия обобщающие условия излучения (4), вначале рассматривается некоторый самосопряженный в Z2(0,oo) оператор с непрерывным спектром, а затем изучается аналитическое продолжение резольвенты этого самосопряженного оператора на риманову поверхность («нефизические листы»).

Б.Л. Коган [9], Б.С. Павлов [10], М.В. Буслаева [11] и А.М. Магерамов [12] рассмотрели обобщение задачи Т. Редже на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.М. Гехтман [13] и Г.А. Айгунов [14] рассмотрели обобщение задачи Т. Редже для дифференциального оператора четного порядка при р(х) = 1. Более общий случай уравнения n-го порядка, когда все коэффициенты Р,(х)(/ = \,п) зависят от спектрального порядка X рассмотрен в работах Шкаликова A.A. [15].

Укажем еще работу Е.А. Барановой [16], в которой изучалась обратная задача для уравнения 2п -го порядка без промежуточных членов с краевыми условиями содержащими спектральный параметр Я.

Отметим также работу Г.А. Айгунова [17], где рассмотрен случай дифференциального оператора 2и-го порядка при р(х) Ф1, где различаются два случая р{а) Ф 1 регулярный и р{а) -1 - нерегулярный, причем в этой работе рассмотрены для нерегулярного случая два подслучая: а) р(а) = 1, р'{а) Ф 0; б) р{а) = 1, р\а) = 0, а- р"(а) + ß -Р2(а) * 0.

Оставался открытым вопрос, что же будет, если р(а) = \, Р\°) — Р"(а) = — = р(/'+1) (а) = 0 (*)

Диссертанту удалось найти в этом общем нерегулярном случае (*) условие необходимое для определения асимптотики спектра, оценки ядра резольвенты и определения класса функций, для которых имеет место 2п-кратное разложение по собственным функциям заданной задачи.

Если первые две главы диссертации посвящены вопросам разложения в равномерно сходящиеся ряды по собственным и присоединенным функциям задачи (5)-(6), то третья глава посвящена оценкам собственных функций задачи (3)-(4) для регулярного и нерегулярного случаев.

Результаты, установленные в III главе диссертации, примыкают к кругу вопросов, относящихся к известной проблеме В.А. Стеклова [18]-[19] об условиях ограниченности (в терминах весовой функции р(х)) ортонормированной системы многочленов Рп (х, р) на всем интервале ортогональности или ее части, где /?(*)>(). В последнее время значительно возрос интерес к этой проблеме. Сравнив результаты работ Я. Л. Геронимуса [20], Е.А. Рахманова [21] и М.У. Амброладзе [22], можно заметить аналогию в асимптотическом поведении общих ортонормированных многочленов Рп(х'Р) и нормированных собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. Поэтому было бы интересно выяснить, справедливы ли утверждения теорем в случае общих ортонормированных полиномов. Заметим, что и ортонормированные полиномы, и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля обладают свойством ортогональности. В диссертации доказывается, что асимптотические свойства собственных функций не связаны непосредственно с ортогональностью, а обусловлены специальным характером колеблемости решений дифференциального уравнения, величина же максимально возможного роста последовательности нормированных собственных функций определяется только нормировочным условием.

Аналогичные оценки для задачи Штурма-Лиувилля рассматривались многими авторами, начиная с Ж. Штурма и Ж. Лиувилля в 1836 г. [23], В.Я. Якубова [24]-[27] в 1967 г. в работах [28]-[29] В.А. Ильина, И. Йо, И.А. Шишмарева, В.В. Жикова [30], М.М. Гехтмана [31]-[33], Г.А. Айгунова [34]-[40].

Настоящая работа посвящена изучению этого круга задач. Перейдем к изложению содержания диссертации. о

В § 1.1 рассматривается в пространстве Ь (0,оо) краевая задача, порождаемая дифференциальным уравнением х>0, 0<агёЯ<~ (5) скАп п и краевыми условиями:

0)(о) = о, у = (6)

Считается, что функции д(х)еС[0|й], ау причем при х>а, р(х) = 1, q{x) = = 0, а при 0 <х<а р{х) > 0.

Обозначим через ук{х,Х) линейно-независимые решения уравнения

5), которые при х>а совпадают с функциями еткЯх. Будем полагать, что нумерация корней ' ч>к {м>к - корни степени 2п из 1) определяется соотношением

ЫеО'Яро) < ЯеС/Я^ )<.< ) (7) где <рк = тк 2^р(х) , к = 0,2« — 1, 0 < ащЯ < —, (Я = а + /г). Тогда при х > а

2 п общее решение уравнения (5) будет определяться равенством

2л—1

Д*Д)= ЕС/^. (8) к=0

7U

Пусть к = 0, п -1, 0 < arg Я < —. При этих условиях п

ReO'/bfj.) = |/l|cos arg/l + —+ — =-|A|sin arg/l + V In) v kn n 0

Поэтому при к - 0, п -1 ехр(г'Я^х) е Ь (0, оо).

Аналогично убеждаемся, что при к = п,2п — 1 соответствующие

О О экспоненты не принадлежат Ь (0, оо). Так как /(х) е I, (0, оо), то приходим к условиям

Сп =Си+1 -■■■ = ^2п-1 (9)

Условия (9) равносильны, как легко видеть, условиям у0,.,^,.,у2„-1)х=а=0, 1. (10)

Запись УУ [/уУ2„-.\) означает, что в определителе Вронского отсутствует функция у} (х).

Чтобы определить решение /(хД) в промежутке [0,<я] нужно решить спектральную задачу Н0: = Л2"р(х)/(х) + ё(х), 0 <х<а, (11)

13) где 1(/) = (-1У/(2"\х) + д(х)Дх).

В дальнейшем будем различать два случая.

Случай, когда р(а) * 1 будем называть регулярным, а случай р{а) = 1 -нерегулярным.

Первая глава посвящена изучению спектральных характеристик задачи Н0 в регулярном случае.

Введем класс функций £) , удовлетворяющих условиям: а) /(х) е Сг^ , ¡л = , т - некоторое натуральное число; б) /*>(0) = /*>(а) = 0,* = 0,2и-1; т раз в)/— /.-// (0) = 0, £ = 0,л-1,

Р Р т раз

Л. -/.-// (д) = 0, А: = 0,2«-1. Р Р /

Здесь / т раз

1/.1//

Р Р х) есть значение в точке х результата применения т -1) -ой итерации оператора / к функции —I/. Р

С учетом того, что собственные значения задачи Я0 простые, тогда основной результат первой главы дает следующая

Теорема 1.6.1. Пусть у' = 0,2и-1, /л = 2пт и р(х), <?(х) е С^, тогда при т = 2 эти функции допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям (р (х) задачи Н0 вида: « = Е С рА'р<рр (х) ,и = 0,2 л -1) (14) р=1

Коэффициенты Ср в случае простого полюса Я вычисляются явно. Разложение (14) единственно.

Доказательство теоремы 1.6.1 основано на нескольких леммах

В § 1.2 доказывается лемма, дающая асимптотические формулы для решений уравнения /(/) = Я2пр(х)/(х) равномерно по 0 < х < а.

В § 1.3 при \Я\ оо приводятся подготовительные леммы.

Определим сектора Тк на плоскости Я посредством неравенств: кж „ кж л < arg Я <— + —, к = 0,2л-1, п п 2п

Введем еще сектора Тк, которые получаются из секторов Тк к = 0,2«-1) путем зеркального отображения относительно вещественной оси в плоскости Я.

Рассмотрим определитель Л(А), определяемый равенством

А(Л)=ик(у,-) к,]= 0,2л-1

15)

Спектром задачи Н0 будем называть совокупность всех чисел Л, для которых А (Л) - 0. Эти числа называются собственными значениями спектральной задачи Н0.

В § 1.4 изучено асимптотическое поведение функции при \Л\ —> оо и найдена асимптотика собственных значений задачи в регулярном случае.

Пусть ЛеТк, к = 1,п, тогда асимптотика собственных значений задачи #0 в регулярном случае определяется формулой:

Ли

1 ( 1 V! ГП7Г —1пС0 + О —

2 \т))

16) где т-Ы, N + + 2,. (^У - натуральное число).

При ЛеТк, к = 0,п-1

Ы,

Лт = —I тж + — 1пС0 + о\ — й? ^ 2 \ту

17) где т = И,N + + 2,. {И - некоторое натуральное число).

В остальных секторах может быть только конечное число собственных значений задачи Н0.

В § 1.5 изучается ядро резольвенты задачи Н0 в регулярном случае. Доказывается

Лемма 1.5.1. В комплексной плоскости X = а + /г существует последовательность расширяющихся замкнутых контуров Г^ , на которых / я производная по х от ядра резольвенты равномерно по 0 < х < а,

0<t <а допускает оценку dlR°(x,t,Ä) дх1

С\Я\~2п+1+\ 0 < / < 2« -1. (18)

В § 1.6, основываясь на леммах, приводимых в предыдущих параграфах, доказывается теорема 1.6.1.

Во второй главе рассматривается задача Н0 в нерегулярном случае. Рассматривается случай, когда р(а) = 1, р'(а) = р"(а) = . = р{2"-]\а) = 0, ар(2п)(а) + ßq(a) Ф 0, где

У [clnY ( np+l2yr^ r2n-(k+p-2) С\п l„Y , пр+12урrk r2n-(k+p-2) a~ lu i \p+2 U ^ 2n 2n / , \3 ( , \p-2{ ' Ь2пС2п ' p-M пГ k=2 HJ p-Mnj ^ j причем ) = 0 ПРИ z> У) (19)

Р = (-1)л.

Будем считать, что все собственные значения задачи Н0 в нерегулярном случае, как и выше, простые. Тогда основной результат этой главы дает следующая

Теорема 2.3.1. Пусть /Дх)е£>А, / = 0,2и-1, /л = 2пт и ц(х),р{х) е С^ д-р тогда при т > и +1 эти функции допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям фр(х) задачи Н0 вида:

Л (*) = I С,7 = 0,2/1-1),

Р=1

20) где коэффициенты Ср вычисляются явно. Разложение (20) единственно.

Доказательство данной теоремы основано на нескольких леммах.

В § 2,1 изучается асимптотическое поведение функции Л(2) при |Д| -> со. Получены асимптотические формулы для собственных значений задачи Н0:

Если ЯеГ., к = \,п , тогда имеем т а лт + т\пт + ш1п

Г N

--1п Сп

Vм/ где т = Ы,Ы + + 2,. (./V - натуральное число).

Если ЯеТ., к = 0,п-1 Я т а

7гт-т\пт- т 1п а -1пС„

Vм/ где тп — N+ + 2,. (Ы - натуральное число), С0 —

2 т "

С(р,д) - ар(2п)(а) + ^ 0, а а и ¡3 определяются с помощью формул (19).

В § 2.2 дается оценка роста функции Грина задачи Н0 в нерегулярном случае.

Лемма 2.2.1. Если задача Н0 нерегулярна, то в комплексной плоскости Я = а + 1Т существует последовательность расширяющихся замкнутых контуров Гдг, на которых / -я производная по х от ядра резольвенты х,1, Л) равномерно по 0 <х< а, 0 <г< а допускает оценку

С\^п2~гп+м, 0</<2я-1.

§ 2.3 посвящен получению 2п -кратных разложений в ряд по собственным функциям краевой задачи Н0 в нерегулярном случае, где доказывается теорема 2.3.1.

§ 2.4 посвящен вычислению вычета ядра резольвенты спектральной задачи Н0 в случае простого полюса Я = Лр и доказательству единственности разложения (20). В § 2.4 доказана следующая

Теорема 2.4.1. Пусть все собственные числа Яп спектральной задачи Н0 однократны и Л - 0 не является собственным числом.

Тогда разложение (20) единственно.

Доказательство данной теоремы основывается на леммах 2.4.1-2.4.3. д1Я\х,1,Л) дх!

Пусть й)0,а)1,.,со2п1 - различные корни степени 2п из единицы, упорядоченные таким образом, что а>2п-\-у = ~£0у • Из чисел гЛй)^ (V = 0,1,.,2«- 1;Л - комплексное число) составим матрицу Вандермонда Ж (Л). В дальнейшем будем также пользоваться разбиением матрицы И/(Л) на квадратные блоки

ЩЛ) =

К (V *Г12(А) ж2Х(л) ^22ах

Линейные формы условий иу{у,Л) получаются заменой у - го столбца матрицы 1¥{Л) столбцом [^(а),.,У2"1)(<я)].

Введем векторные обозначения для краевых значений Г {а) = [Г, (я), Г2 (а)], У, (а) = (у(а),.,/п~1\а)), Г2(а) = (а),.у2"~1\а)), У(у, Л) = \У\ Л), У2 (у, Л)], V, (у, Л) = (Ц0 (у, Л),.,ипх {у, Л)), ¥2(у,Л) = (ип(уА),.,и2п1(у,Л)).

Справедлива следующая

Лемма 2.4.1. Вектор строки У{а) и У(у,Л) при Лф 0 связаны соотношением

Для формулировки леммы 2.4.2 введем обозначения

- ганкелева матрица 2л-го порядка, у которой элементы с суммой индексов V равны 1, а остальные, нулю. Нумерация элементов начинается с нуля. Положим: кк,{Л,/л) = Л#2и2А/Мт, к,1 = 0,.,и -1,

21)

Л = [1Д,.Д2"-1], М =

С = ] = Ж21 (1) • Ж,, (I)-1, ^ (Я, /¿) = [кш ,сш].

Элементы матрицы - однородные полиномы по Л и ¡л степени не выше 2п — 2.

Лемма 2.4.2. Если для векторов У(а), 2{а) выполнены условия

У2(у,Л) = У2(^) = О, то при Л, /IФ О а)Вгт (а) = (М- Я)Г, (а)^(Л,^(а).

Лемма 2.4.3. Если (рр{х),(ря{х) - собственные функции задачи 2.4.1, отвечающие простым собственным значениям Лр,Лц, а Фр1(я),ФчХ{а) -вектор-строки: то рр {х)(рд {х)р{х)сЬ + ФрХ (а)^ (Лр,Лд )Фд1 (а) = гр3„, о где гр Ф 0 при всех р, а <5рд - символ Кронекера.

Таким образом, с учетом формул (2.3.3) и (2.3.5) мы получаем явный вид Ср в разложении (2.3.1) в случае простого полюса Лр, а именно:

2/7-1

WP(t)p{t)Y^TH -fj^

CD =--^-, (22) p

2 «я2;-1 • + 0 где = a Fn(Äp,Äp) определяется формулой (21).

Третья глава посвящена оценке нормированных собственных функций спектральной задачи в случае дифференциального уравнения второго порядка. Глава состоит из двух параграфов.

§ 3.1 посвящен оценке нормированных собственных функций спектральной задачи Н0 при п = 1

- у" + q{x)y = Я2 р(х)у, хе(0,а), а>0, (23) у(0) = 0, у'{а) + (Я - ihX)y{ä) = 0, H&R, heR, h*0 (24) а 2 Л""

Р(х)\у(х)\ dx = 1, где X - 8 + г'сг. (25) о )

Очевидно, что при Н - 0, h = 1 задача (23)-(25) совпадает с задачей Я0 при п-1.

Пусть д(х) = q> 0, р(х) = р> 0.

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 3.1.1. Нормированные собственные функции задачи Я0 при п = 1 в регулярном случае (когда рФ 1) равномерно по к ограничены, т. е. О < С, < maxi у(х)| < С,, где С, и С, не зависят от к. хе[0,а]' 1

Теорема 3.1.2. Для нормированных собственных функций задачи Н0 при п = 1 в нерегулярном случае (когда р = 1) справедлива следующая оценка

С,-VlnÄ: < maxi(л;)| < С2 VmА:, е[0,а]' 1 где С, и С2 не зависят от к.

В § 3.2 доказано, что в случае гладких коэффициентов (ф)еС[0а]) р(х) е Ct20 а]) для задачи Я0 при п = 1 (т. е. задачи (23)-(25)) имеют место следующие теоремы:

Теорема 3.2.1. Пусть q{x) е С[0 а], р(х) е Ct20 а], Н = 0, /2 = 1, тогда нормированные собственные функции задачи Н0 при п = 1 в регулярном случае (р(а) ^1) равномерно ограничены, т. е.

О < С, < maxi v(x)| < С,, где С, и С, не зависят от к. хф,аТ 1

Теорема 3.2.2. Пусть q(x)&C[üa], р(х) е С^ а], Н = 0, h = 1, тогда для нормированных собственных функций задачи Я0 при я = 1 в нерегулярном случае (когда р{а) = 1) справедлива следующая оценка

С, л/lnÄ: < тах\ук (jc)| < С2 л/lnк , где С, и С2 не зависят от к.

По материалам диссертации были сделаны сообщения на научно-теоретических конференциях, проводимых в Дагестанском государственном университете (2005 - 2009 гг.), на межвузовских конференциях «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (2007

2009 гг.) на заседаниях семинара по спектральной теории кафедр дифференциальных уравнений и математического анализа (2005 - 2009 гг.) при ДГУ, на семинаре проф. A.A. Шкаликова и проф. А.Г. Костюченко при механико-математическом факультете МГУ в 2009 г.

Основные результаты диссертации отражены в работах [43]-[52].

Пользуясь случаем, приношу искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Г.А. Айгунову за постоянное внимание и руководство работой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гаджиева, Тамила Юсуповна, 2010 год

1. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations. Frans. Amer. Math Soc. 9, (1908), 373-395.

2. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Петроград, 1917.

3. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР, 77. I (1951), 11-14.

4. Расулов М.Л. Вычетный метод решения смешанной задачи для дифференциальных уравнений и формулы разложения произвольной вектор функции по фундаментальным функциям граничной задачи с параметром, Матеем. Сборник, 48, 3 (1959).

5. Брушлинский К.В. О росте решения смешанной задачи в случае неполноты собственных функций // Известия AIT СССР, серия матем., 23, 6 (1959) С. 893-912.

6. Редже. Т. Аналитические свойства матрицы рассеяния // Математика (сб. переводов), 7, 4, 1963. С. 83-89.

7. Кравицкий А.О. О разложении в ряд по собственным функциям одной несамосопряженной краевой задачи, ДАН СССР, 170,6, 1966. С. 1255-1258.

8. Гехтман М.М., И.В.Станкевич. Изучение аналитических свойств ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка на римановои поверхности // ДАН СССР.1968.Т.182.№ 1. С. 23-26.

9. Коган Б.Л. "Резонансное" представление решений гиперболической системы первого порядка на плоскости // Диф. уравнения, 7, 7, 1971. С. 12501262.

10. Павлов Б.С. Теория рассеяния и "нефизический лист" для системы обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН СССР, 193.1, 1970, 3639.

11. Буслаева M.B. Теорема разложения по резонансным состояниям канонического дифференциального оператора // Вест. ЛГУ. Серия матем., I, 1972. С. 13-20.

12. Магерамов А.М. Кандидатская диссертация // Инст. мех. и матем., АН Азерб. ССР, 1972.

13. Гехтман М.М. О некоторых аналитических свойствах ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора четного порядка на римановой поверхности // ДАН СССР. Москва, 1971. Т. 201.№ 5. С. 1025 -1028.

14. Айгунов Г. А. Об одной краевой задаче, порождаемой несамосопряженным дифференциальным оператором 2п — го порядка на полуоси//ДАН СССР, 213,5, 1973. С. 1001-1004.

15. Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Функц. анализ и его приложения. 1982.Т. 16.Вып.4. С.92-93.

16. Баранова Е.А. Об обратной задаче спектрального анализа для одного класса задач с параметром в краевых условиях // Диф. уравнения 8, 12, 1972. С. 2130-2139.

17. Айгунов Г. А. Об одной краевой задаче, порождаемой несамосопряженным дифференциальным оператором 2п — го порядка на полуоси // ДАН СССР, 213, 5, 1973, 1001-1004.

18. Стеклов В.А. б асимптотическом выражении некоторых функций, определяемых линейным дифференциальным уравнением второго порядка, и их применение к задаче разложения произвольной функции в ряд по этим функциям. Харьков: Изд-во ХГУ, 1956.

19. Суетин П.К. Проблема В.А Стеклова в теории ортогональных многочленов // М.: ВИНИТИ. Математический анализ. 1977.Т.15.

20. Геронимус Я.Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. -М.: Физматгиз, 1958.

21. Рахманов Е.А. О гипотезе В.А. Стеклова // Матем. сб. 1981. Т. 114. №2. С. 269-298.

22. Амброладзе М.У. О возможной скорости роста многочленов, ортогональных с непрерывным положительным весом // Матем. сб. 1991. Т. 182. №3,-С. 322-332.

23. Sturm С. Sur les equations différentielles du second order // J. Math. Pures Appl., I (1). 1836.-P. 106-186.

24. Якубов В.Я. Оптимальный нагрев неоднородного стержня // Тезисы докладов конф. молодых научных работников. Секция физ.-мат. наук. Горький, 1966.

25. Якубов В.Я.Оценки для нормированных в L2 собственных функций эллиптического оператора // ДАН СССР.1984.Т.247.№1. С. 35-37.

26. Якубов В.Я. Различные порядки роста нормированных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с непрерывным весом // Дифф. уравнения 1993.Т.29. № 6. С. 982-989.

27. Якубов В.Я. Точные оценки для собственных функций задачи Штурма-Лиувилля // ДАН России. 1993.Т.331.№ 2. С. 148-149.

28. Ильин В.А., Йо И. Равномерная оценка собственных функций и оценка сверху числа собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса // Дифф. уравнения. 1979. Т. 15. №7. С. 1164-1174.

29. Ильин В.А., Шишмарев И.А. О точных оценках собственных функций в замкнутой области // Материалы к совместному советско-американскому симпозиуму по уравнениям в частных производных. -Новосибирск, август, 1963.

30. Жиков В.В. Об обратных задачах Штурма-Лиувилля на конечном отрезке // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. Т. 31. Вып. 5. С. 965-976.

31. Гехтман М.М. О принципе предельной амплитуды // ДАН СССР. 1963 .Т. 153 .№ 1.-С.20-23.

32. Гехтман М.М. Загиров Ю.М., Якубов В.Я. Об асимптотическом поведении собственных функций спектральной задачи Штурма — Лиувилля //Функц.анализ и его приложения. 1983. Т. 17. №3. С. 71- 72.

33. Гехтман М.М. Об асимптотическом поведении нормированных собственных функций спектральной задачи Штурма Лиувилля на конечном отрезке//Мат. сб. 1987.Т.133(175).№ 2. С. 184-199.

34. Айгунов Г:А. Асимптотическое поведение нормированных собственных функций оператора типа Штурма — Лиувилля для уравнений в частных производных в Ы-мерном шаре // Матем.заметки.-М., 1999. Т.65. Вып. № 4. С. 622-625.

35. Айгунов Г.А. Об ограниченности ортонормированных собственных функций одного класса нелинейных операторов типа Штурма Лиувилля с весовой функцией неограниченной вариации на конечном отрезке // УМН.-М.,2000. Т.55.№ 4. С.213-214.

36. Айгунов Г.А. Об ограниченности ортонормированных собственных функций нелинейной краевой задачи типа Штурма Лиувилля с неограниченной сверху весовой функцией на конечном отрезке // УМН.-М., 2002. Вып.Т.57.№ 1. С. 145-146.

37. Айгунов Г.А. Асимптотическое поведение решений задачи Коши и собственных функций нелинейной задачи типа Штурма-Лиувилля на конечном отрезке в случае непрерывной весовой функции // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естест. науки. 2002. № 1. С.3-12.

38. Айгунов Г.А. . Асимптотическое поведение решений задачи Коши и собственных функций нелинейной задачи типа Штурма-Лиувилля взависимости от гладкости весовой функции // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естест. науки. 2002. № 2. С.3-10.

39. Айгунов Г.А. Асимптотическое поведение нормированных собственных функций одного эллиптического оператора в N-мерном шаре // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естест. науки. 2002. № 3. С.3-16.

40. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы, М., 1969.

41. Horn. I, Math. Annallen 49, 1897, 473-496.

42. Гаджиева Т.Ю. Асимптотика собственных значений для одной нерегулярной краевой задачи типа Редже // Сб. статей ассоциации молодых ученых Дагестана, Махачкала, 2006. Вып. №34. С. 129-136.

43. Гаджиева Т.Ю. Изучение асимптотики собственных значений одной нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 4-го порядка на отрезке 0,а] // Материалы третьей Межд. научн. конференции, Махачкала, 2007. С. 68 -72.

44. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Асимптотика собственных значений и оценка ядра резольвенты одной нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2«-го порядка на отрезке 0,а] // УМН. Москва, 2008 г. Том 63. Вып. 1 (379). С. 157-159.

45. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Оценка ядра резольвенты одной регулярной краевой задачи,порожденной дифференциальным уравнением-го порядка на отрезке 0,а. II Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. Ростов-на-Дону, 2008. № 6(148). С.5-7.

46. Гаджиева Т.Ю. Оценка ядра резольвенты одной нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением -го порядка на отрезке 0, а] // Изв. вузов Сев. Кав. р. Естеств. науки. Ростов-на-Дону, 2008. № 6(148). С.8-9.

47. Гаджиева Т.Ю. Об оценке нормированных собственных функций задачи типа Редже в случае постоянных коэффициентов // Межвуз. н.-тем. сб. «ФДУ и их приложения». Махачкала, 2009. Вып. 5. С. 73-84.

48. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Об оценке нормированных собственных функций задачи типа Т. Редже в случае гладких коэффициентов // Межвуз. н.-тем. сб. «ФДУ и их приложения».Махачкала, 2009. Вып. 5. С. 18-26.

49. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Изучение собственных значений одной нерегулярной несамосопряженной краевой задачи на отрезке 0,а] // Материалы четвертой Межд. научн. конференции. Махачкала, 2009. С. 26 -28.