Характеристические свойства некоторых операторов гармонического анализа в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции и пространствах Харди тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Фам Тиен Зунг

• Фам Тиен Зунг
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фам Тиен Зунг

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ПЕРЕСТАНОВОЧНОСТЬ ОПЕРАТОРОВ РИМАНА--ЛИУВИЛЛЯ С ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ ФУРЬЕ

§ 1.1. Преобразование Фурье функций в пространствах Лебега и предварительные сведения.

§ 1.2. Теорема Беллмана-Голубова для операторов

Римала-Лиувилля

Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ХАРДИ HP И ОГРАНИЧЕННОСТЬ ОПЕРАТОРА РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ReH1.

§ 2.1. Пространство Нр и его свойства.

§ 2.2. Ограниченность оператора Римана-Лиувилля в пространстве Нр.

§ 2.3. Случай р — 1.

Глава 3. ОГРАНИЧЕННОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДНЕЙ ОСЦИЛЛЯЦИИ.

§ 3.1. Весовые пространства функций ограниченной средней осцилляции.

§ 3.2. Ограниченность обобщенного оператора

Харди-Литтлвуда.

§ 3.3. Ограниченность оператора Римана-Лиувилля в классическом пространстве ВМО.

§ 3.4. Ограниченность одного класса интегральных операторов в классическом пространстве ВМО.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Характеристические свойства некоторых операторов гармонического анализа в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции и пространствах Харди»

В теории функций хорошо известны задачи об изучении свойств операторов классического и гармонического анализа, действующих в вещественных или комплексных нормированных пространствах. Из всего многообразия мы рассматриваем, в основном, три задачи. Первая из них связана со свойством перестановочности операторов с преобразованиями Фурье, вторая посвящена получению теорем о представлении элементов классических пространств Харди Нр в верхней полуплоскости и, наконец, третья задача посвящена проблеме ограниченности интегральных операторов в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции. Все три задачи объединены тем, что в них проявляются новые свойства операторов дробного интегрирования Римана-Лиувилля.

Остановимся подробнее на характеристике каждой из перечисленных задач и приведем известные результаты. Сначала дадим необходимые определения.

Пространство Лебега Lv = Lp{—оо, оо), 1 < р < оо состоит из всех измеримых функций, для которых конечна норма

Для пространств Лебега на более узких множествах - полуось R+ (О, оо), интервал (а, Ь) С R := (—оо, оо), мы пользуемся обозначениями Lp(0, оо) и Lp{a, b), а также соответствующими модификациями в обозначениях норм.

На пространстве Лебега L1 определено преобразование Фурье & : V оо f(x)\pdx <00 при рб[1,оо),

WfWoo ■= esssup I/(ж)I < 00 при р — оо.

L1 —» L°° в виде оо

1 ' ----Ja:t, f(x) := := у /(*)е»*<Й. (0.1) оо

В том случае, если 6 L1, то верна формула обращения оо

Д.т) = -1= J f{t)e-^dt. (0.2)

-оо

В частном случае, если / четная функция, то преобразование Фурье / также является четной функцией и формула (0.1) может быть записана в виде оо f(x) = у ^ J ДО cos xtdt. (0.3) о

Если же / нечетна, то и / нечетна. В этом случае оо

-if(x) = y^J f(t) sin xtdt. (0.4) о

Если функция / определена на полуоси (0,оо), то правые части в (0.3) и (0.4) называются косинус- и синус преобразованием Фурье и обозначаются fc и fs, соответственно.

В классической монографии Е. Титчмарша ([19], Теорема 69) для функций / G L2(0, оо) доказаны равенства t оо ( оо Л J fc{x)dx — J < J dy > cos txdx

0 О 1.T J и оо Л оо ( X

J Ц^-dx = J I i J f{y)dy COS txdx t о l 0

В работе Б. И. Голубова [9] эти формулы обобщаются для функций 6 Lp( 0, оо) при 1<р<2и1<р<2, соответственно.

Первая из рассматриваемых нами задач состоит в обобщении результатов Б. И. Голубова для более общих операторов Римана-Лиувилля На и Ва таких, что оо

Ha(f)(x) := J ^-f(t)dt, х > О, а > 0, X И х

BQ(f)(x) :=-LJ(x- t)a-lf(t)dt х>0, а > 0. о

Известно [21], что эти операторы сопряжены друг к другу и ограничены в пространстве Lp(0, оо), первый - при 1 < р < оо, а второй - при 1 < р < оо. При а = 1 интегралы Римана-Лиувилля обычно называют оператором Харди и оператором Харди-Литтлвуда, соответственно.

Более подробно необходимые сведения о свойствах операторов Римана-Лиувилля и преобразования Фурье приведены в первой главе, где дается решение первой задачи.

Вторая задача имеет корни в теории рядов Фурье. В 1928 г. Г. Г. Харди [32] доказал, что класс Lp (1 < р < оо) инвариантен относительно (С, ^-преобразований коэффициентов Фурье. В 1944 г. Р. Беллман [22] доказал двойственный результат для класса Lp (1 < р < оо), опираясь на работу Г. Г. Харди [32] и некоторые общие теоремы о рядах Фурье. Отметим, что развитию тематики, начатой в работах Г. Г. Харди [33] и Р. Беллмана [22] посвящены статьи [1], [3], [4], [29], [49].

Рассматриваемая нами задача связана с внутренней характеристикой пространств Харди Нр, которые определяются следующим образом.

Пусть U = {z = х + iy : х G (—00,00), у > 0} - верхняя полуплоскость комплексной плоскости. Пространство Харди HP(U) = = HPi 1 < р < оо, является банаховым пространством всех аналитических функций F на U, удовлетворяющих условию 1 \1/Р Ц^Цяр := sup I у IF(x + iy)\pdx J <00, 1 < р < оо,

Ц^РЦяоо := sup \F(z)\, р = оо. zeU

Классическая теория пространств Харди Нр отражена в монографиях А. Зигмунда [12], Н. К. Бари [2], Дж. Гарнетта [8], К. Беинетта и Р.К. Шарпли [23], И. М. Стейна [45] и других авторов. При р — 1, пространство ReH1 изоморфно пространству Харди Н1 однозначных аналитических в верхней полуплоскости функций F{z). Один из важных результатов доказан Ч. Фефферманом [28] о том, что пространство В МО функций ограниченной средней осцилляции является вещественным сопряженным к пространству ЯеНл. Существенную роль также играет Теорема Ф. Джона и JT. Ниренберга. [33], имеющая широкие применения. Б. И. Голубов [10] доказал теорему о представлении функций из пространств Н1 с помощью Сб'-пар преобразований Фурье, а также ограниченность оиератораРимана-Лиувилля На в пространстве ReH1 и ограниченность оператора Харди-Литтлвуда в пространстве ВМС.

Пусть р € [1,2]. Следуя Б. И. Голубову [10] мы называем пару (а, Ъ) функций a(t) и b{t) Сб'-парой преобразований, если существует функция / G Lp такая, что для t > 0 справедливы равенства = A(f), b{t) = f3(i)где оо / \ 1 d f r/ .sinxt 7 т = ш J

00 00 / N Id f „. . 1 — cos xt , fs(t) = ~""77 / f{x)-dx. n at J x oc

Дополняя результаты Е. Титчмарша ([19], Теорема 95) и Б. И. Голуб-ова ([10], Теорема D) мы устанавливаем критерий представления функций F €Е Нр в виде со

F(z) = J (a(t) - ib{t)) eizidt, > 0 о а также показываем, что интеграл

00

Ф{г) = J(A{t) - iB(t))eiztdt, у > О о принадлежит Нр, где t t A(t) = i ]{t- xr-1a(x)dx, B(t) = x)a~1b(x)dx, о 0 и 1/У < a < 1.

Кроме этого, мы показываем, что оператор Римана-Лиувилля На ограничен в пространстве ReH1. При а = 1 аналогичный результат доказан Б. И. Голубовым [10].

Третья задача посвящена нахождению условий ограниченности весового оператора Харди-Литтлвуда X О где X

W(x) = J w(t)dt. о в весовых пространствах ВМО(и>,Щ функций ограниченной средней осцилляции, определяемых следующим образом. Пусть ги(х) > 0 -весовая локально суммируемая функция. Мы говорим, что функция / принадлежит весовому пространству функций ограниченной средней осцилляции и записываем f £ ВМО(ю,Ш), если /' £ Ь1ос(ги,Ж) и удовлетворяет условию

11/11* == SUPT7F7п / 1/0*0 - //.^K^da; < оо, /ск W U J J I где

W(J) := J w(x)dx, fIiW := ^yy J f{x)w{x)dx i i При ги = 1 эта задача, исследована Б. И. Голубовым ([10], Теорема 2).

Дополняя и обобщая этот результат, мы устанавливаем ограниченность весового оператора Харди-Литтлвуда в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции BMO(w, К), когда вес ги подчиняется условию удвоения

W(2I) < cW(J) для любого I Clc положительной константой с, не зависящей от /.

Кроме этого устанавливается ограниченность операторов Римана-Лиувилля и более общих интегральных операторов в классических пространствах ВМО на полуоси.

За последние двадцать лет критерии весовой ограниченности интегральных операторов в функциональных пространствах разрабатывались В. И. Буренковым [5]; М. Л. Гольдманом [11], [30], [31]; Р. Ойнаро-вым [15]; В. Д. Степановым [17], [18], [46], [47], [48] и многими другими авторами. В особенности для пространств ограниченной средней осцилляции эти вопросы изучались в работах Б. И. Голубова, Б. Мукенхоупта и Р. Видена [41]; К. Лая [34], [35] и других авторов.

Диссертация состоит из настоящего введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов и списка литературы.

Перейдем к изложению содержания диссертации. Первая глава "Перестановочность операторов Римана-Лиувилля с преобразованиями Фурье. "

В этой главе рассматривается задача о перестановочности операторов Римана-Лиувилля с преобразованиями Фурье.

Основными результатами главы являются следующие теоремы. В первой из них доказывается перестановочность операторов Римана-Лиувилля с косинус-преобразованием Фурье.

Теорема 1.5. Если / е LP(0,оо), где р G (1,2], 1 /р' < а < 1, р' = -^у, то почти всюду на (0, оо) справедливы равенства

В следующей теореме установлен двойственный результат. Теорема 1.6. Если / £ 1/(0, оо), где р е (1,2], 1 /р' < а < 1, р' = то почти всюду на (0, оо) справедливы равенства

Ha{fc)(x) = BJJUx)< na(fs)(x) = BJJ)a(x).

В особом случае р = 1 предыдущие утверждения усиливаются следующим образом.

Теорема 1.7. Если / 6 ^(О. оо), и а > 0, то для всех х е (0. оо), справедливы равенства

Аналогичные теоремы имеют место для расширений операторов Римана-Лиувилля на всю действительную ось следующего вида

Ba(fe)(x) = Ha(f)c(x)t Ва{ fs)(x) = Ha(f)a(x)

Ва(Шх) = Ha(f)c{x), Ba(fs)(x) = Ha{f)s(x). x

В М)(х) = о о 1

J(N - * < о V х и оо а-1

Н „(/)(*) = ^

J{t ^ f{t)dt, X > О х

1<1а

Теорема 1.8. Если / б Lp(-oo,oo), где 1 < р < 2,1/р' < а < 1> р' = > то почти всюду на (—оо. оо) справедливо равенство

Ba(f)(x)=HM)(x).

Теорема 1.9. Если / 6 Lp(-оо,оо), где 1 < р < 2, 1/р' < а < li У — ^zji то почти всюду на (—оо. оо) имеет место равенство

Н„(/)(,;) - С(7)(.х').

Вторая глава "Характеристические свойства пространств Харди Нр и ограниченность оператора Римана-Лиувилля в пространстве ReHL" мы рассматриваем задачу о представлении функций из пространств Нр с помощью CS'-nap преобразований Фурье (Теоремы 2.6 и 2.7), а также доказываем ограниченность оператора Римана-Лиувилля На в пространстве ReH1 (Теорема 2.9). Теоремы 2.6, 2.7, 2.9 дополняют результаты Е. Титчмарша ([19], Теорема 95) и Б. И. Голубова [10].

Теорема 2.6. Пары (а, Ь) и (—6, а) одновременно являются С5-парами преобразований Фурье тогда и только тогда, когда существует F(z) е Нр,р е (1,2], такая, что оо

F(z) = J (a{t) - ib(t)) eiztdt, > 0. (0.5) о

Теорема 2.7. Пусть 1 < p < 2 и интеграл (0.5) представляет функцию F(z) е Нр, в верхней полуплоскости > 0. Тогда интеграл оо ф(*) = J(A(t) - iB{t))eizidt, > 0 тоже принадлежит Нр, где t

A(t) = xY~la(x)dx, = ^ У (« - x)°~lb(x)dxt о и l/p' < a < 1.

Более того, справедливо неравенство

Ф||лр<С(а,р)|И|Яр.

Теорема 2.9. Пусть интеграл (0.5) представляет функцию F(z) Е Я1 в верхней полуплоскости Qz > 0. Тогда интеграл ос

Ф(г) = J(A(t) - iB(t))elzidt, у > 0 о тоже принадлежит в Я1, где t t A(t) = ^ J(t - x)a~1a(x)dx, B(t) = x)a~lb{x)dx, о 0 и a > 0.

Более того, справедливы неравенства

Ф||я1 < C(a)||F||/fi, ||Я„/||леЯ1 < C\\f\\ReHu

В третьей главе "Ограниченность интегральных операторов в весовом пространстве функций ограниченной средней осцилляции" рассматривается задача об ограниченности обобщенного оператора Харди-Литтвуда и оператора Римана-Лиувилля в пространстве функций с весовой ограниченной средней осцилляцией наМ (§ 3.2); (§ 3.3), а также более общих интегральных операторов в классическом пространстве функций ограниченной осцилляции на R+ (§ 3.4).

Сначала доказывается следующий аналог известной Леммы Кальде-рона-Зигмунда.

Теорема 3.3. Пусть ги(х) удовлетворяет условию удвоения и функция и(х) б Ll(w,I) такова, что 1

W{I) I

X < S, где s > О, I С М. Тогда существует последовательность {Ik} попарно непересекающихся открытых интервалов 4с/ такая, что и(&-)| < s п.в х £ / — UIk, 1 s <

W(h) h

J \u(x)\w(x)dx < 2s,

J \u(x)\w(x)dx. к 5 j

Кроме этого нам потребуется обобщение известной Теоремы Джона-Ниренберга.

Теорема 3.4. Пусть ги(х) удовлетворяет условию удвоения, / С R. Если / е BMO{w, R) то для любого А > О xel: \f(x) - fi,w\ > Л} < Ci схр (-щ;) , где С\ и Сч не зависят от /, I и Л.

Одним из основных результатов третьей главы является следующая теорема.

Теорема 3.7. Пусть w{x) удовлетворяет условию удвоения. Тогда неравенство

Г/11* < сц/11* выполняется для всех / € BMO(w,M) с константой С, не зависящй от /.

Следующий результат является обобщением теоремы Б. И. Голубова для расширений операторов Римана-Лиувилля на всю действительную ось.

Теорема 3.10. Пусть а > 0, и BQ- расширение интегрального оператора Римана-Лиувилля на действительную ось. Тогда неравенство l|Ba/||*< сип/11, выполняется для всех / € В МО (Ж) с константой С (а), не зависящй от /'.

Завершает третью главу критерий ограниченности в пространствах ВМО(Ш+) общих интегральных операторов с неотрицательным ядром. Теорема 3.11. Пусть ядро к(х,у) > 0 удовлетворяет условиям: X

J k(x,y)dy = 1, X > О о и найдется число р > 1 такое, что А sup х1'р

C€R+ где 1 /р + 1/У = 1. Тогда

IIA7II* < C(P)\\f\U.

Теорема 3.11 проиллюстрирована примером с оператором типа Римана-Лиувилля с ядром ка(х, у) -^{х — ос > 0. При а мы получаем

Теорему Б. И. Голубова с оператором Харди на полуоси.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору, член-корреспонденту РАН Степанову В. Д. за постановку задачи, полезные советы, внимание к работе и неоценимый опыт научной деятельности.

X /

L/p кр'{х, y)dy оо.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фам Тиен Зунг, 2009 год

1. Алшынбаева Е. Преобразование коэффициентов Фурье некоторых классов функций. // Матем. заметки. 1979. Т. 25. № 1. С. 645-651.

2. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ, 1961.

3. Берчиян О. Я. О преобразованиях коэффициентов Фурье. // Со-общ. АН Груз. ССР. 1990. Т. 137. № 1. С. 25-28.

4. Берчиян О. Я. О преобразованиях Харди и Беллмана коэффициентов Фурье функций из симметричных пространствах. // Матем. заметки. 1992. Т. 53. № 4. С. 3-12.

5. Буренков В. И., Голъдман М. Л. Неравенства типа Харди для модулей непрерывности. // Труды МИ АН. 1999. Т. 227. С. 92108.

6. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

7. Колмогоров А. И, Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

8. Гарнетт Док. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

9. Голубое Б. И. Об одной теореме Беллмана о коэффициентах Фурье. // Матем. сб., 1994. Т. 185, № 11. С. 31-40.

10. Голубое Б. И. Об ограниченности операторов Харди и Харди-Литтвуда в пространствах ReH1 и В МО. // Матем. сб., 1997. Т. 188, № 7. С. 93-106.

11. Гольдман М. Л. Точные оценки норм операторов типа Харди на конусах квазимоиотонных функций. // Труды МИАН, 1999. Т. 232. С. 92-108.

12. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Том 1. М.: Мир, 1965.

13. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Том 2. М.: Мир, 1965.

14. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Гостехиздат, 1957.

15. Ойнаров Р. Двусторонние оценки нормы некоторых классов интегральных операторов. // Тр. МИАН. 1993. Т. 204. С. 240-250.

16. Прохоров Д. В., Степанов В. Д. Весовые оценки для операторов Римана-Лиувилля и приложения. // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2003. Т. 243. С. 278-301.

17. Степанов В. Д. О весовых неравенствах типа Харди для дробных интегралов Римана-Лиувилля.// Сибир. матем. журнал, 1990. Т. 31. № 3. С. 186-197.

18. Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Весовые оценки для интегральных операторов на полуоси с монотонными ядрами. // Сибир. матем. журнал, 2004. Т. 45. № 6. С. 1378-1390.

19. Тит,чмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.-Л: Гостехиздат, 1948.

20. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

21. Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

22. Bellman R. A note on a theorem of Hardy on Fourier constants. // Bull. Amer. Math Soc., 1944. V. 50. P. 741-744.

23. Bennett С., Sharpley R. С. Interpolation of operators. Pure and Applied Mathematics 129. Academic Press, Boston. 1988. Bennett C., Devore R. A., Sharpley R. C. Weak L°° and BMO. // Ann. of Math. 1981. V. 113. P. 601-611.

24. Bloom S. Hardy integral estimates for the Laplace transform. // Proc. Amer. Math. Soc., 1992. V. 116. N 2. P. 417-426.

25. Burkholder D. L., Gundy R. F., Silverstein M. L. A maximal function characterization of the class Hp. // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 157. P. 137-153.

26. Calderon A. P., Zygmund A. On the existence of certain singular integrals. // Acta Math., 1952. V. 88, P. .85-139.

27. Coifman R. R., Fefferman C. Weighted norm inequalities for maximal functions and singular integrals. // Studia. Math., 1974. V. 51. P. 241250

28. Fefferman C. Interpolation between Hp spaces: The real method. // Trans. Amer. Math. Soc., 1974. V. 191. P. 75-81.

29. Goldberg R. R. Average of Fourier coefficients.// Pacific J. Math., 1959. V. 9. P. 695-699.

30. Goldman M. L. On integral inequalities on the cone of functions with monotonicity properties. // Soviet Math. Dokl. 1992. V. 44. N 2. P. 581-587.

31. Goldman M. L., Heinig H. P., Stepanov V. D. On the principle of duality in Lorentz spaces. // Canad. J. Math. 1996. V. 48. N 5. P. 959-979.

32. Hardy G. H. Notes on some points in the integral calculuc. // Messenger of Math., 1928. V. 58. P. 50-52.

33. John F., Nirenberg L. On functions of bounded mean oscillation. // Comm. Pure Appl. Math., 1961. V. 14, P. 415-426.

34. Lai Qinsheng. Linear monotone operators and weighted BMO. // Proc. Amer. Math. Soc., 1994. V. 120. P. 875-887.

35. La i Qinsheng, Pick L. The Hardy operator, La0 and BMO. //J. London Math. Soc., 1993. V. 48. P. 167-177.

36. Latter R. H. A decomposition of Hp(Rn) in terms of atoms. // Studia Math., 1978. V. 62. P. 92-101.

37. Lomakina E.N., Stepanov V.D. On the Hardy-type integral operators in Banach function spaces. // Publ. Mat. 1998. V. 42. P. 165-194.

38. Martin-Reyes J.F., Sawyer E. Weighted inequalities for Riemann-Liouville fractional integrals of order one and greater. // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V. 106. P. 727-733.

39. Moricz F. The harmonic Ccsaro and Copson operators on the spaces LP(R), 1 < p < 2.// Studia Math., 2002. V. 149, № 3. P. 267-279.

40. Muckenhoupt B. Hardy's inequalities with weights. // Stud. math. 1972. V. 34 N 1. P. 31-38.

41. Muckenhoupt В., Wheeden R. L. Weighted bounded mean oscillation and the Hilbert transform. // Studia Math., 1976. V. 54. P. 221-237.

42. Prokhorov D. V. On the boundedness and compactness of a class of integral operators // J. London Math. Soc. 2000. V. 61. P. 617-628.

43. Sinnamon G. Hardy's inequality and monotonicity. // Proc. „Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis"(FSDONA 2004), Acad. Sci. Czech Republic, Milovy, 2004. P. 292-310.

44. Sinnamon G., Stepanov V. D. The weighted Hardy inequality: New proofs and the case p = 1. // J. London Math. Soc., 1996. V. 54. P. 89-101.

45. Stein E. M. Harmonic analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1993.

46. Stepanov V. D. Weighted inequalities for a class of Volterra convolution operators. I j J. London Math. Soc., 1992. V. 45. P. 232-242.

47. Stepanov V. D. Integral operators on the cone of monotone functions. // J. London math. Soc., 1993. V. 48. P. 465-487.

48. Stepanov V. D. Weighted norm inequalities of Hardy type for a class of integral operators. // J. London Math. Soc., 1994. V. 50. P. 105120.

49. Young F. H. Transformations of Fourier coefficients. // Proc. Amer. Math. Soc., 1952. V. 3. P. 783-791.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

50. Pham Tien Zung. On the boundedness of the Hardy operator in weighted BMO space.// Analysis Mathematica. 2009. V. 35, № 4. P 249-259.

51. Pham Tien Zung. On Bellman-Golubov theorems for the Riemann-Liouville operators.// J. Funct. Spaces Appl., 2009, V. 7, № 3. P 289-300.