Классические граничные задачи для эллиптических систем уравнений второго порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Тупякова, Вера Павловна

• Тупякова, Вера Павловна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тупякова, Вера Павловна

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

Введение

Глава I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЯХ И СИСТЕМАХ

Глава II. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

С ПАРАМЕТРОМ X В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Исследование системы на эллиптичность

§ 2. Задача Дирихле в полупространстве И: {г > 0

§ 3. Задача Дирихле в полупространстве D': {х > 0

§ 4. Задача Дирихле для одной эллиптической системы в

полупространстве В: \хп > 0

Глава III. ЗАДАЧА НЕЙМАНА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 1. Задача Неймана для многомерной эллиптической системы с

параметром X

§ 2. Задача Неймана для многомерной эллиптической системы с

параметрами X = Л1 = Х2 =

Глава IV. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

С ПАРАМЕТРОМ 2 В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

■ § 1. Третья краевая задача в полупространствах Н : {х > 0},

Н': {у > 0}, Н" :{г> 0}

§ 2. Некоторые другие граничные задачи

§ 3. Граничная задача с более общим граничным условием

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классические граничные задачи для эллиптических систем уравнений второго порядка»

Введение

Важным разделом теории уравнений с частными производными является теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем уравнений. Среди таких задач наибольший интерес представляют так называемые нефредгольмовые задачи, исследование которых, как правило, сводится к изучению сингулярных интегральных уравнений, а они в многомерном случае далеко не всегда относятся к классам достаточно изученных. Наиболее существенные результаты в теории классических граничных задач для общих эллиптических уравнений второго порядка принадлежат Ж.Жиро [35]. Эти результаты изложены в монографии [36]. Уравнения и системы уравнений с двумя независимыми переменными изучены достаточно полно [2,3]. Гораздо сложнее обстоит дело с эллиптическими уравнениями и системами с многими независимыми переменными [31].

В 1937 году И.Г. Петровский [19] выделил широкий класс систем уравнений в частных производных, которые теперь называются эллиптическими по Петровскому. Эллиптические по Петровскому системы уравнений с частными производными второго порядка помимо многочисленных приложений в проблемах физики имеют чисто теоретический интерес. На решениях этих систем обобщаются многие факты, справедливые для решений одного эллиптического уравнения [20], например, все достаточно гладкие решения таких систем аналитичны. Однако свойства разрешимости классических граничных задач для эллиптических по Петровскому систем существенно отличаются от случая одного уравнения. В 1948 году A.B. Бицадзе построил пример эллиптической по Петровскому системы двух уравнений второго порядка, для которой нарушалась нётеровость задачи Дирихле [1]. Эту систему можно записать в виде одного комплексно-

го уравнения, которое теперь называется уравнением Бицадзе [15]. В вещественной форме систему A.B. Бицадзе можно записать так:

В связи с системой A.B. Бицадзе для эллиптических по Петровскому систем встал вопрос классификации по характеру разрешимости граничных задач. Классические граничные задачи для эллиптических по Петровскому систем не всегда нётеровы, поэтому класс таких систем, для которых задача Дирихле корректна, должен характеризоваться некоторыми дополнительными ограничениями. Вскоре такие дополнительные ограничения нашел М.И. Вишик [8]. Он усилил эллиптичность по Петровскому требованием сильной эллиптичности, т.е. либо положительной, либо отрицательной определенности симметрической составляющей характеристической матрицы системы. Сильно эллиптические системы в смысле разрешимости классических граничных задач ведут себя точно так же, как одно эллиптическое уравнение, т.е. эти задачи всегда нётеровы.

В настоящее время хорошо разработана теория эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Известны работы И.В. Бицадзе [1-3], М.И. Вишика [11], Б.В. Боярского [4,5], Н.Е. Товмасяна [23] и других авторов. В многомерном случае исследована только задача Дирихле для определенных классов эллиптических систем. Интересные результаты получены, например, в работах B.C. Виноградова [7], P.C. Сакса [24,25], А.И. Янушаускаса [29-34], Г.В. Васильевой [6], В.И. Шевченко [28] и других. Известно, что для многомерных эллиптических систем, не удовлетворяющих условию сильной эллиптичности, нарушается не только фредгольмовость, но и нётеро-

-Ли + 2~ Mv + vv)=0 ох у/

-zlv + 2 — (иг +v„)=0

вость задачи Дирихле. Поэтому остается актуальным исследование задачи Дирихле для более широких классов эллиптических систем и исследование разрешимости задачи Неймана и других граничных задач для тех систем, для которых нарушается корректность задачи Дирихле. Так как исследование такого рода задач, как правило, сводится к изучению сингулярных интегральных уравнений, то вопрос о разрешимости данных задач достаточно рассмотреть в полупространстве [31].

В ряде задач представляют интерес системы, зависящие от некоторых параметров. В пространстве любой размерности наиболее хорошо изучена следующая система:

д " ди ■

-AuJ■+Л-—- = 0, у = 1,...,л ,

дх] /=1 дх1

где Л - вещественный параметр, которую можно рассматривать как семейство систем, зависящее от параметра Л. Собственные числа характеристической матрицы этой системы имеют вид:

следовательно, при Л< 1 все собственные числа характеристической матрицы данной системы имеют одинаковые знаки, поэтому система сильно эллиптична при Л < 1. При Л = 1 рассматриваемая система вырождается, а при Л > 1 - снова эллиптична, но уже не сильно эллиптична, так как /ип

имеет знак плюс, а все остальные ц ■ - минус, поэтому характеристическая

матрица этой системы не является положительно либо отрицательно определенной.

Настоящая работа является продолжением исследований по теории разрешимости граничных задач для многомерных эллиптических систем. Перейдем к характеристике содержания работы.

Во введении даётся краткий обзор литературы по эллиптическим системам уравнений с частными производными второго прядка, изложены основные результаты диссертации.

В первой главе изложены вспомогательные сведения об эллиптических уравнениях и системах.

Во второй главе рассмотрена задача Дирихле для системы

3

-Ци) + \—(их + \у+\уг) = О

ох '

-Цу) + Х—(их+уу+пх) = 0 (0.1)

ду *

3

02 '

, д2 д2 2 д2 где Ь = —— + —— + С\ —-, С] - некоторая постоянная, в следующей пос-

дх1 ду1 дг2

тановке: найти регулярные в полупространстве О: {г>0} решения системы (0.1), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям:

гдеА - заданные достаточно гладкие функции.

В §1 система (0.1) исследуется на эллиптичность. Показано, что возможны следующие случаи.

2 1

1. Если С| < 1, то при \<С1 система сильно эллиптична, а при Л>1

система не сильно эллиптична.

2. Если с2 < 1, то при Х> с2 система не сильно эллиптична, а при Х<1 система сильно эллиптична.

Случай, когда 1 < X < с^ , то есть система (0.1) является системой составного типа не рассматривается.

В §§2,3 данной главы рассматривается характер разрешимости задачи Дирихле для системы (0.1) с непрерывно дифференцируемыми стремящимися к нулю на бесконечности граничными данными в полупространствах В: {!>()}, В': {х>0}, В": {у>0*}. В результате исследований получено,

о

что при X = С| +1 задача Дирихле (0.1),(0.2,) в полупространстве В: {г>0}

ненётерова. Результат формулируется в виде теоремы.

Теорема 2.1. Если/ gи И в граничном условии (0.2) задачи Дирихле для системы (0.1) непрерывно дифференцируемые стремящиеся к нулю на

2

бесконечности функции и X ф с^ +1, то задача Дирихле для системы (0.1) в полупространстве И разрешима и решение её единственно.

Кроме этого рассмотрены различные ситуации нарушения нётерово-сти задачи Дирихле для полупространств В': {х>0} и В": {у>0}. Для полупространства В': {х>0} вопрос о разрешимости исследуемой задачи сводится к исследованию одного уравнения с частными производными второго порядка в плоскости переменных у, ъ.

-[(-Х + 1 + С12)Ц + (2-Х) ^ У = Р( у, 2). (0.3)

дг2 ду2

Рассматриваются различные случаи разрешимости задачи Дирихле для системы (0.1) в зависимости от типа уравнения (0.3). Показано, что если уравнение (0.3) эллиптично, то задача (0.1), (0.2) имеет единственное решение. Если уравнение (0.3) гиперболично или параболично, то однородная задача Дирихле для системы (0.1) имеет бесконечное множество ограниченных на бесконечности решений. Аналогичный результат получен для задачи Дирихле для системы (0.1) в полупространстве В{у>0}.

В §4 данной главы рассматривается задача Дирихле для системы

а Д дЫ;

ох j сЬсг-

и 52

где Ь- ^а^-—, а,, 1=1,и а^ - постоянные. Требуется

к=1 Зхд.

найти регулярные в полупространстве О: {хп>0} решения системы (0.4), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям:

и] у _л =Ф/ .7=1,-.и, (0.5)

хп -и

где щ - заданные достаточно гладкие функции. Задача исследуется при помощи преобразования Фурье. Результат формулируется в виде теоремы. Теорема 2.2. Если выполнены неравенства Х<ап или

2 2 ап aj +2ajan-ananaj -X(2ajan-aj) + X aj <0, у =

то задача Дирихле (0.4),(0.5) с непрерывно дифференцируемыми стремящимися к нулю на бесконечности граничными функциями ср}-, у=7,... ,п в полупространстве D разрешима и имеет единственное решение.

В третьей главе, состоящей из двух параграфов, рассматривается задача Неймана в полупространстве Нп: {хп>0} для многомерных эллиптических систем.

В §1 для системы

я п ди-

-Ди^.+Я,—2^ = 0, 7 = 1(0.6) 7 /=1 1

рассматривается задача Неймана в следующей постановке: найти регулярные в полупространстве Нп :{хп >0} решения системы (0.6), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям:

ди

(0.7)

где fj, у = 1 ,...,п - заданные достаточно гладкие функции. Получено представление решений системы (0.6) через регулярные в полупространстве Н„ гармонические функции.При помощи преобразования Фурье вопрос о разрешимости исследуемой задачи сводится к исследованию системы линейных алгебраических уравнений. Результат резюмирует следующая теорема.

Теорема 3.1. Если /у, у = 1 ,...,п в граничном условии (0.7) задачи

Неймана для систем (0.6) дифференцируемые стремящиеся к нулю на бесконечности функции и параметр X Ф 2, то задача Неймана (0.7) для системы (0.6) в полупространстве Нп разрешима и её решения определяются единственным образом с точностью до произвольной постоянной.

Получены явные формулы для решения данной задачи.

В §2 в полупространстве Нп : {хп > 0} для системы

исследуется задача Неймана (0.7). Установлена зависимость параметров Л и Л„, при которой нарушается нётеровость данной задачи. Основной результат формулируется в виде теоремы.

Теорема 3.2. Если fj, у = 1 ,...,п в граничном условии (0.7) задачи

Неймана для системы (8) непрерывно дифференцируемые стремящиеся к

Дм7- + Х-— V—± = 0, J = \,...,n-\ дх] .=1 дхг

дх 4

(0.8)

нулю на бесконечности функции, то при X*—— задача Неймана (0.8),

Хп-\

(0.7) в полупространстве Нп разрешима и решение её единственно.

Четвёртая глава содержит три параграфа, в которых исследуется характер разрешимости некоторых граничных задач. При помощи преобразования Фурье вопрос о разрешимости данных задач сводится к исследованию системы линейных алгебраических уравнений.

В § 1 рассматривается третья краевая задача для системы

-Au + X—(uY + vv+w7)=0 дх\х у и

$ ( \ -Ау + Х—(их + уу + м>2)=0 (0.9)

О! '

в полупространствах Н : {х >0}, Н': {у > 0}, Н": {г > 0}. Исследуется граничная задача в следующей постановке: найти регулярные в полупространстве Н : {х> 0} решения системы (0.9), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям:

Мх+Нх=0=Л> ух+Щх=о=/2> ^*+с4с=о=/з> (0Л0)

где /ь^2,/з - заданные непрерывные стремящиеся к нулю на бесконечности функции, а, Ь, с, 1 - постоянные.

Получено представление решений системы (0.9) через регулярные в полупространстве Я гармонические функции. Показано, что разрешимость данной задачи зависит от постоянных а, Ь, с, фигурирующих в граничном условии (0.10). Аналогичные результаты полученны для третьей краевой задачи для системы (0.9) в полупространствах Н': {у > 0}, Н": {г >0}. Результат формулируется в виде теоремы.

Теорема 4.1. Третья краевая задача для системы (0.9) с непрерывными стремящимеся к нулю на бесконечности граничными функциями в полупространствах Н : {х> 0}, Н': {у >0}, Н": {г >0} при ?ф\ разрешима и её решения определяются единственным образом, если а<0, ¿КО, с<0.

В §2 рассматриваются некоторые другие граничные задачи для системы (0.9) в полупространстве Н : {х >0}. Так исследуется задача для системы (0.9) в следующей постановке: найти регулярные в полупространстве Н : {х > 0} решения системы (0.9), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям:

ди ,

а--\-ои

дх

г ду и

= /ь +

х=0

= /2> Чх-0=/з, (°Л1)

х=0

где/ь^,/з - заданные непрерывные стремящиеся к нулю на бесконечности функции, а, Ь, с, ?ф\ - постоянные. Используется представление решений системы (0.9) через регулярные в полупространстве Я гармонические функции. Получены условия , при которых задача (0.9),(0.11) имеет единственное решение. Доказывается следующая теорема.

2-Я

Теорема 4.2 Если выполнены неравенства аЬ<0 и-а(Ъ - а) < 0

Я

то задача (0.9), (0.11) с непрерывными стремящимися к нулю на бесконечности граничными функциями /ь , /з в полупространстве Н : {х > 0} разрешима и имеет единственное решение.

Здесь же рассматривается однородная задача для системы (0.9) с граничными условиями

Эху

и\ п = 0, V л = 0, 1х=0 1х=0 дх

= 0. (0.12)

х=0

Доказывается, что задача (0.9), (0.12) имеет единственное решение при Я< 1 или Я>2. В заключении §3 данной главы рассматривается ещё од-

на граничная задача для системы (0.9), характер разрешимости которой зависит от параметра Я. Требуется найти регулярные в полупространстве Н : {х> 0} решения системы (0.9), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям

I |

м1*=о=Л' уио=/2- + = (0-13)

где/ь^,/з - заданные непрерывные стремящиеся к нулю на бесконечности функции, а, Ь, с, Аф 1 - постоянные. Основной результат формулируется в виде теоремы.

Теорема 4.4. Если а/3 <0 и Я>2 либо Я<0, то задача (0.9), (0.13) с непрерывными стремящимися к нулю на бесконечности граничными функциями /ь^2,/з в полупространстве Я разрешима и решение её определяется единственным образом.

В §3 рассматривается граничная задача для системы (0.9) в полупространстве Л1: {ах+Ру+угУ0} с более общим граничным условием

А^.Ви

дv

= (0-14)

ах+Р^у+уг

д д д д 2 г2 2

где — = а — + |3— + у—, а, Д у - постоянные, причём а+р+у=\, А,В -Эу дх ду дг

заданные матрицы (3x3), с1е1 АфО, и=(и^,\V) - вектор решений системы, - заданный вектор граничных функций. Результаты исследований, проведённых в этой главе, резюмирует следующая теорема.

Теорема 4.5. Если/1,/2,/3 в граничном условии (0.14) для системы (0.9) непрерывные стремящиеся к нулю на бесконечности функции и Я^2, то задача (0.9), (0.14) в полупространстве Е разрешима и решение её единственно.

Нумерация формул и теорем внутри глав - сквозная.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37]-

[44].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тупякова, Вера Павловна, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Бицадзе A.B. Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными // Успехи матем. наук. 1948.Т.3,N6. -С. 211-212.

2. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. 204с.

3. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981,- 448 с.

4. Боярский Б.В. Об одной краевой задаче для системы уравнений в частных производных первого порядка эллиптического типа // Докл. АН СССР. - 1955. -Т. 102,N2.-С. 201-204.

5. Боярский Б.В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами // Мат. сб. - 1957. - Т. 43, N 4. - С. 451-503.

6. Васильева Г.В. К задаче Дирихле для многомерного аналога системы Бицадзе. - Докл. АН СССР. - 1978. - Т. 238, N 4. - С. 816-819.

7. Виноградов B.C. Об Одной эллиптической системе, не имеющей нётеровых граничных задач // Докл. АН СССР. - 1971. - Т. 199, N 5. - С. 1008-1010.

8. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений //Мат. сб.-1951,- Т. 29, N 3. -С.615-676.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1976. -528с.

10. Гельфанд И.М., Петровский И.Г., Шилов Г.Е. Теория систем дифференциальных уравнений с частными производными // Тр. III Всесоюз. математического съезда. М.: Изд. АН СССР, - 1958,- Т. 3. -С. 65-72.

11. Головко Е. Задача Дирихле для несильно эллиптической системы уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс, -1987. Вып. 40.-С. 9-15.

12. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир. - 1965. - 830с.

13. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, - 1971. - 432с.

14. Лопатинский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Укр. мат. журн. - 1953. - Т. 5, N2. - С. 123-151.

15. Математическая энциклопедия, т. 1. Бицадзе уравнение. - М.: Советская энциклопедия, -1977. - С. 449.

16. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа, - М.: Изд-во иностр. лит., 1961. - 256с.

17. Михлин С.Г. Спектр пучка операторов в теории упругости//Успехи мат.наук.-1973.т.28-3(171).С.43-82.

18. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Физматгиз, 1968.-512с.

19. Петровский И.Г. О системах дифференциальных уравнений, все решения которых аналитичны // ДАН СССР. - 1937. - Т. 17, N 7, - с.339-342.

20. Петровский И.Г. О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными // Успехи метем, наук. - 1946. - Т. 1, вып. 3-4 (13-14). - С. 44-70.

21. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. - 400с.

22. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977.-660с.

23. Товмасян Н.Е. Общая краевая задача для эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентами. - Дифференц. уравн., - 1966, Т. 2, N 1,С. 3-23.

24. Сакс P.C. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений. Новосибирск: изд. НГУ, 1975. - 164с.

25. Сакс P.C. О нётеровых краевых задачах для некоторых классах слабо эллиптических систем дифференциальных уравнений. - В кн.: Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: наука, 1978, С.237-253.

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35,

36.

37.

Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для одной многомерной эллиптической системы уравнений в частных производных // Исследования по многомерным эллиптическим системам уравнений в частных производных / Ин-т матем СО АН СССР. Новосибирск, 1986. С. 119-128.

Хермандер JI. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965. 380с.

Шевченко В.И. Об эллиптических системах трех уравнений с четырьмя независимыми переменными. - Докл. АН СССР, 1973, т. 210, N 6, с. 1300-1302. Янушаускас А. К теории многомерных эллиптических систем. - Сиб. мат. журн., 1980, Т. 21, N2, С. 223-231.

Янушаускас А. К вопросу о корректности задач для систем уравнений с частными производными второго порядка. - Диф. уравн., 1980. Т. 16, N 1, с. 150160.

Янушаускас А. Задача о наклонной производной теории потенциала. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1985. -262с.

Янушаускас А. Методы потенциала в теории эллиптических уравнений. -Вильнюс.: Москлас, 1990. -261с.

Янушаускас А. Много мерные эллиптические системы с переменными коэффициентами. - Вильнюс.: Москлас, 1990. - 178с. Янушаускас А. И. Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных и интегро-дифференциальные уравнения.-Иркутск:Изд-во Иркут.ун-та, 1997.-168с.

Giraud G. Nouvell methode pour traiter certains problems relatifs oux equations du type elliptque. - Journ. de mathem. pures et appl., 199,118, p. 111-143. Miranda С. Partial Differential Equations of Elliptic type. Berlin; Heideberg; N.Y., 1970. P. 370.

Тупякова В.П. К задаче Дирихле для одной многомерной эллиптической системы уравнений в частных производных // Дифф. операторы и их приложения, - межвузовский сборник научных работ. Чита, 1991, с. 64-68.

38. Тупякова В.П. К задаче Дирихле для эллиптических систем уравнений в частных производных второго порядка // Межвузовский сборник научных работ. Чита, 1992 с.14-18.

39. Тупякова В.П. К задаче Неймана для одной многомерной эллиптической системы уравнений в частных производных. Чита: ЧитПИ, 1992 /Рукопись деп. в ВИНИТИ 09.09.92, N 27 54-В92, 7с.

40. Тупякова В.П. Задача Неймана для эллиптической системы уравнений второго порядка. Чита: ЧитПИ, 1992 /Рукопись деп. в ВИНИТИ 09.09.92, N 27 53-В92, 9с.

41. Тупякова В.П. Об одной граничной задаче эллиптической системы уравнений второго порядка //Аналитические и конструктивные методы исследования дифференциальных уравнений. -Сб.науч.тр.ИГУ,-Иркутск:Иркут.ун-т.Д993,С.68-72.

42. Тупякова В.П. Об одной граничной задаче эллиптической системы уравнений второго порядка // Молодежь и современный мир. Тезисы докладов. - Чита: ЗабГПУ и ЧитГТУ, 1997, с.145-147.

43. Тупякова В.П. Об одной граничной задаче для эллиптической системы уравнений второго порядка // Вестник Читинского Государственного технического университета: Выпуск 5 - Чита: ЧитГТУ, 1997, с. 156-160.

44. Тупякова В.П. Граничная задача для эллиптической системы уравнений второго порядка в полупространстве // Математический анализ и его приложения: Выпуск 3 - Чита: ЗабГПУ, 1998, с. 83-88.