Колебания и устойчивость упругой и вязкоупругой пластины в сверхзвуковом потоке газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Лунёв, Андрей Вячеславович

• Лунёв, Андрей Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лунёв, Андрей Вячеславович

Список основных обозначений.

Введение.

Глава 1. Общая постановка задачи флаттера пластины на основе линеаризованной потенциальной теории сверхзвукового обтекания

1.1. Давление аэродинамического взаимодействия.

1.2. Вывод уравнения колебаний полосы.

1.3. Вывод уравнения колебаний пластины.

Глава 2. Колебания и устойчивость упругой полосы и пластины.

2.1. Исследование флаттера упругой полосы при поперечном обтекании без учета интегральных слагаемых.

2.2. Исследование флаттера упругой полосы при обтекании, близком к поперечному, без учета интегральных слагаемых.

2.3. Исследование колебаний упругой полосы в рамках линеаризованной потенциальной теории сверхзвукового обтекания.

2.4. Случай заделки кромок полосы без учета интегральных слагаемых.

2.5. Колебания и устойчивость упругой пластины без учёта интегральных слагаемых.

2.6. Колебания и устойчивость упругой пластины в рамках линеаризованной теории сверхзвукового обтекания.

Глава 3. Вязкоупругая полоса и пластина

3.1. Случай шарнирного закрепления кромок полосы.

3.2. Случай заделки кромок полосы.

3.3. Исследование флаттера вязкоупругой шарнирно закрепленной пластины.б б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Колебания и устойчивость упругой и вязкоупругой пластины в сверхзвуковом потоке газа»

В диссертационной работе исследуются колебания и устойчивость пластин, взаимодействующих с потоком газа. Численными методами решается основная задача — установление области значений параметров, при которых колебания упругой или вязкоупругой полосы или пластины будут устойчивыми. При заданной геометрии и механических свойствах колеблющегося элемента конструкции речь идет об определении скорости потока, по достижении которой колебания становятся неустойчивыми. Когда скорость потока превышает некоторое критическое значение, взаимодействие деформируемой поверхности с потоком приводит или к резкому возрастанию деформации обтекаемой поверхности в квазистатическом режиме, или к возникновению колебаний с нарастающей амплитудой. Оба эти явления представляют собой потерю устойчивости. То, что происходит в первом случае, называется дивергенцией, во втором — флаттером (от английского "flutter" — вибрировать, трепетать).

В 194 6 году была опубликована работа [64] (Garric I.E., Rubinow S.E.), в которой впервые было получено уравнение движения пластины в сверхзвуковом потоке газа. Через 10 лет, в 1956 году в работе [65](Nelson Н.С., Cunningham H.J.) впервые исследовалась устойчивость такой пластинки; в 1958 году Дун Мин-Дэ [2 6] свёл задачу исследования устойчивости к некоторому алгебраическому уравнению относительно частоты колебаний, в результате получилось достаточно сложное уравнение, которое исследовалось с помощью рекуррентных соотношений.

Прогресс в развитии теории колебаний и устойчивости пластин был обусловлен открытием закона плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей, в рамках которого связанная, вообще говоря, задача аэроупругости «развязывалась» с помощью формулы «поршневой теории».

Закон плоских сечений был открыт в 1947 г. А.А.Ильюшиным и проблема панельного флаттера пластин получила на тот момент законченную математическую формулировку, приведшую к эффективным аналитическим методам исследования.

Первые постановки задач в рамках поршневой теории и строгие аналитические результаты принадлежат

А.А.Мовчану с группой сотрудников [53-5 6]. Была рассмотрена задача о флаттере прямоугольной пластины в простейшем случае, когда вектор скорости потока параллелен плоскости пластины и также параллелен одной из её сторон. Если изучать асимптотическую устойчивость(а именно так поступали и поступают до сих пор практически все), то дело сводится к задаче о поведении спектра несамосопряженного оператора четвертого порядка (основная часть - бигармонический оператор) в зависимости от скорости потока. Как видно, даже в этой простейшей постановке задача оказывается далеко не тривиальной, тем не менее A.A. Мовчану с сотрудниками удалось получить результаты, благодаря которым во многом выявились принципиальные моменты проблемы, которые долгое время оставались эталонными.

Работы, которые последовали за этими (теперь уже ставшие классическими) публикациями, в той или иной степени использовали постановку A.A. Мовчана; большое число конкретных результатов (и соответственно публикаций) обусловлено разнообразием методов решений -численных, приближенных, типа Бубнова-Галёркина и др.; различной геометрией и строенем пластин, наличием электромагнитных полей и т.д. Итоги этих исследований подведены в известных монографиях и обзорах Н.В.Баничука[10], С.М.Белоцерковского, Ю.А.Кочеткова и

A.A.Красовского [11], А.С.Вольмира [24], Дауэлла [25], Р.Е.Лампера [48], П.М.Огибалова и М.А.Колтунова[58], Г.Фершинга[61], Р.Л.Бисплинхоффа и Н.Эшли[63] и др.

Ситуация изменилась в середине 90-х годов XX в., когда были сформулированы новые постановки задач панельного флаттера (А.А.Ильюшин, И.А.Кийко) [31] , установлены некоторые общие свойства спектра бигармонического оператора, разработан численно-аналитический метод для его исследования[1-8], решены классы новых задач и обнаружены новые механические эффекты (И.А.Кийко, С.Д.Алгазин)[9].

Впоследствии были получены некоторые частные результаты по флаттеру пластин переменной толщины или жесткости[33-34], а также в частной постановке - задача оптимизации (В.И.Исаев, А.А.Кадыров) [35], [37] .

Отдельное направление в исследовании вязкоупругой полосы и пластины было сформировано в основополагающих работах А.А.Ильюшина и И.А.Кийко и продолжено в работах

B.И.Матяша [52] и Г.С.Ларионова [4 9-50]. Первоначально работы по исследованию флаттера вязкоупругих пластин проводились с использованием так называемого метода усреднения и тогда же был обнаружен парадокс, согласно которому малая вязкость материала пластины приводила к почти двукратному уменьшению критической скорости флаттера. В последующем этот парадокс был разрешен в работах И.А.Кийко и В.В.Показеева[41], [59], [60] .

Новый интерес к исследованию панельного флаттера возникает в связи с новейшими (начиная с 2000г.) результатами исследований, в которых используется выражение для давления аэродинамического взаимодействия, существенно уточняющее известную формулу поршневой теории слагаемыми, имеющими качественно новый механический смысл.

Первые результаты в этом направлении в условиях поперечного обтекания полосы были получены в уже упомянутых работах [64], [65]. Так, в 1946 г. в работе [64] в двумерной постановке было получено интегро-дифференциальное уравнение движения конечной пластины, обтекаемой однородным сверхзвуковым потоком. В 195 6 г. Нельсон и Каннингхем [65] рассмотрели задачу об устойчивости такой пластины. Были проведены конкретные вычисления с помощью метода Бубнова-Галёркина в двух- и четырехчленном приближении и получены границы устойчивости. Их сравнение с экспериментальными результатами показало очень хорошее совпадение.

В 1958 г. Дун Мин-Дэ[26] аналитически нашел общее решение интегро-дифференциального уравнения движения пластины и получил частотное уравнение. Эта работа сводит решение задачи о флаттере в точной постановке к решению алгебраического частотного уравнения.

В работах А.Г.Куликовского и В.В.Веденеева [17]-[23] исследуются задачи устойчивости безграничной упругой пластины, конечной упругой прямоугольной пластины, обтекаемой с одной стороны потоком газа, при наличии с другой стороны покоящегося газа. В указанных статьях была получена система уравнений и граничных условий и показано, что устойчивость пластин определяется поведением корней дисперсионного определителя системы. При этом для нахождения спектра собственных частот применялся асимптотический метод глобальной неустойчивости. В результате были обнаружены два типа неустойчивости: низкочастотный и высокочастотный флаттер. Первый является флаттером связанного типа, этот тип неустойчивости хорошо описывается с помощью поршневой теории и подробно исследован в литературе. Второй является флаттером с одной степенью свободы и не может быть получен в приближении поршневой теории. В.В.Веденеевым были описаны физические механизмы возбуждения обоих типов флаттера, критерии устойчивости и частоты, при которых происходит наиболее интенсивный рост колебаний. Была проведена оценка точности и показано, что используемый асимптотический метод даёт очень хорошие результаты для пластин. Помимо этого в указанных работах было рассмотрено влияние конструкционного демпфирования и рассеяния энергии в материале пластины на высокочастотный флаттер. Показано, что возможно сочетание параметров, при которых демпфирование не сможет подавить флаттер. В трёхмерной постановке решена задача о высокочастотном флаттере прямоугольной пластины. Для собственных форм колебаний пластин получено условие усиления их в потоке газа и описан простой физический механизм возбуждения. Исследованы возможности искажения флаттерных форм колебаний по сравнению с колебаниями в вакууме. Сформулирован алгоритм расчёта флаттера и проведены конкретные вычисления. Показано, что возможны ситуации, когда пластина совершает высокочастотные флаттерные колебания при отсутствии низкочастотного флаттера.

В 200 6 г. была опубликована работа И.А.Кийко и С. Д. Алгазина [9] , в 200 9 - работа И.А.Кийко и В. В. Показеева[40] , где было получено выражение для давления аэродинамического взаимодействия на основе линеаризованного уравнения потенциала возмущения потока. В этих работах предполагается, что полоса и пластина обтекаются с одной стороны потоком газа, который направлен, в общем случае, под углом к её кромкам. Было показано, что выражение для давления аэродинамического взаимодействия и соответствующее уравнение колебаний полосы имеет существенно различную структуру в тех случаях, когда вектор скорости потока немного отклоняется от поперечного направления(«почти поперечное» обтекание) и когда вектор скорости потока направлен вдоль полосы параллельно её кромкам, в предположении задания однородных граничных условий (шарнирное опирание или заделка).

В случае обтекания, близкого к поперечному, было получено точное выражение для избыточного давления, которое принципиально отличается от формул поршневой теории, что приводит к новым малоизученным задачам на собственные значения. Предложена новая приближенная постановка задачи флаттера прямоугольной пластины, удлиненной поперек потока.

В случае обтекания, близкого к продольному, было получено точное выражение для потенциала, а при продольном обтекании - и для избыточного давления. Показано, что при чисто продольном обтекании, при условии М 1, критическая скорость флаттера совпадает с фазовой скоростью распространения возмущений по полосе, что совпадает со следствием поршневой теории.

Несмотря на большое количество исследований, многие из существенных сторон явления флаттера изучены недостаточно. В настоящее время задача исследования панельного флаттера остается весьма актуальной: совершенствование характеристик современных летательных аппаратов неизбежно требует уменьшения их массы и жесткости панелей обшивки, что повышает возможность возникновения флаттера, поэтому требуется более строгая постановка задачи и исследование флаттера пластин из новых конструкционных материалов.

Целями диссертационной работы являются:

1. Постановка новых задач о флаттере полосы и пластины из упругого и вязкоупругого материала.

2. Исследование этих задач и обнаружение новых, представляющих интерес механических эффектов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ

1. Обнаружен одномодовый флаттер упругой полосы при близком к поперечному обтекании.

2. Обнаружен одномодовый флаттер упругой пластины при близком к поперечному обтекании.

3. Получены оценки критической скорости флаттера для вязкоупругой полосы и пластины при поперечном и близком к поперечному обтекании в уточненной поршневой теории.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ Результаты работы обсуждались на следующих научных конференциях: научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 16-25 апреля 2008 года, 16-24 апреля 2009 года, 16-24 апреля 2010 года); международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГУ, 19-2 3 ноября 200 9 года); международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» поев. 85-летию со дня рождения проф. Л.А. Толоконникова (Тула, ТулГУ, 17-21 ноября 2008 года

ПУБЛИКАЦИИ

Всего теме диссертационного исследования посвящено 8 опубликованных работ автора. Основные научные результаты отражены в [44,51].

СТРУКТУРА РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Лунёв, Андрей Вячеславович

3.4. ВЫВОДЫ

Проведены расчёты критической скорости флаттера вязкоупругой полосы и пластины в уточненной поршневой теории при граничных условиях шарнирного опирания и заделки кромок. Расчёты по уточненной поршневой теории показывают, что значения критической скорости флаттера уменьшаются на 10-15% по сравнению с аналогичными расчётами в поршневой теории. При этом показано, что вязкость материала практически не влияет на значения критической скорости флаттера. Характер изменения критической скорости флаттера вязкоупругой полосы и пластины в целом повторяет картину, наблюдаемую в упругом случае: при отклонении вектора скорости потока от поперечного направления критическая скорость слабо возрастает до некоторого значения, а затем, с ростом угла отклонения происходит её резкое снижение.

Заключение.

1. Предложена новая постановка задачи о флаттере полосы и пластины из упругого и вязкоупругого материала.

2. Обнаружен одномодовый флаттер упругой полосы при обтекании, отличном от поперечного.

3. Обнаружен одномодовый флаттер упругой пластины при поперечном и отличном от поперечного обтекании.

4. Впервые исследован флаттер вязкоупругой полосы и пластины при граничных условиях заделки кромок.

5. Получены оценки значений критической скорости флаттера упругой и вязкоупругой полосы и пластины при поперечном и отличном от поперечного обтекании в уточненной поршневой теории.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лунёв, Андрей Вячеславович, 2010 год

1. Алгазин С. Д. Численно-аналитическое исследование флаттера пластин и пологих оболочек: Авторефер. дис. . д-ра физ.-мат. наук М. 1999. 28 с.

2. Алгазин С. Д. Численно-аналитическое исследование флаттера пластин и пологих оболочек: Дис. . д-ра физ.-мат. наук М. 1999. 28 с.

3. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Численно-аналитическое исследование флаттера пластины произвольной формы в плане // Прикл. математика и механика. 1997. Т.60. вып.1. С.171-174.

4. Алгазин С.Д., Кийко И. А. Исследование собственных значений оператора в задачах панельного флаттера / / Изв. РАН. МТТ. 1999. №1.С.170-176.

5. Алгазин С.Д., Кийко И. А. Вычислительный эксперимент в задаче о флаттере пластины произвольной формы в плане // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1999. №6.С.62-64.

6. Алгазин С.Д. г Кийко И. А. Численные алгоритмы классической матфизики. III. Флаттер пластины произвольной формы в плане // М. 2001. 27с. (Препр. ИПМмех РАН, №684).

7. Алгазин С.Д., Кийко И. А. О флаттере пластины // Докл. РАН. 2002. Т.3 8 3.№3. С.343-345

8. Алгазин С.Д. г Кийко И. А. Численное исследование флаттера прямоугольной пластины // ЖПМТФ. 2003. Т.44.№4. С.35-42.

9. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек // М., Наука. 2006. 247 с.

10. Баничук Н.В. Устойчивость азро- и гидроупругих систем. В кн.: Машиностроение. Энциклопедия в сорока томах. Раздел I. Инженерные методы расчётов. Том 1-3. Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин. М., Машиностроение, 1994.

11. Белоцерковский С.М., Кочетков Ю.А., Красовский A.A., Новицкий В.В. Введение в аэроупругость // М.Наука. 1980. 340 с.

12. Болотин В.В. О критических скоростях в нелинейной теории аэроупругости // Машиностроение и приборостроение. 1958. №3.

13. Болотин В.В. К вопросу об устойчивости пластины в потоке сжимаемого газа // Вопросы прочности материалов и конструкций. М.1959.

14. Болотин В.В. Нелинейный флаттер пластин и оболочек // Инж.сб. i960. Т.28. С.55-75.

15. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. // М.: Физматгиз, 1961. 399 с.

16. Болотин В.В. Нестационарный флаттер пластин и пологих оболочек в потоке газа // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1961. №1.С.159-162. физ.-мат. наук. 01.02.04. М., 1995. 96с.

17. Веденеев В.В., Куликовский А.Г. Неустойчивость плоской упругой пластины, обтекаемой потоком газа // Тезисы докладов XII школы-семинара «Современные проблемы аэрогидродинамики». Туапсе, 2004. М.: Издательство МГУ. С.22.

18. Веденеев В. В. Неустойчивость безграничной упругой пластины, обтекаемой потоком газа // Известия РАН. МЖГ. 2004. №4. С.19-27.

19. Vedeneev V.V. Analytical investigation of plate flutter in supersonic gas flow // European conference for aerospace sciences(EUCASS). Moscow, 2005. CD paper.

20. Веденеев В.В. Флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа // Известия РАН. МЖГ. 2005. №5. С.155-169.

21. Веденеев В. В. О высокочастотном флаттере пластины // Известия РАН. МЖГ. 2006. №2. С.163-172.

22. Vedeneev V.V. High-frequency flutter of rectangular plates // 6th European solid mechanics conference (ESMC). Budapest, 2006. CD paper.

23. Веденеев В.В. Высокочастотный флаттер прямоугольной пластины // Известия РАН. МЖГ. 2006. №4. С. 173-181.

24. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа // М.Наука. 1976. 416 с.

25. Дауэлл Панельный флаттер. Обзор исследований аэроупругой устойчивости пластин и оболочек // Ракетная техника и космонавтика. №3. 1970. с.3-24.

26. Дун Мин~Дэ Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании // Доклады АН СССР. 1958. Т. 120. № 4. С. 726-729.

27. Ильюшин А. А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей // ПММ. 1956. Т. 20. вып.6. С.733-755.

28. Ильюшин А.А., Кийко И. А. Колебания прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа //

29. Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1994. №4. С.40-44.

30. Ильюшин A.A. Динамика // Вестник МГУ сер.1. Математика, механика. 1994. №3, с.79-87

31. Ильюшин A.A., Кийко И.А. Закон плоских сечений в сверхзвуковой аэродинамике и проблема панельного флаттера // Изв. РАН. МТТ. 1995. №6. С.138-142.

32. Ильюшин A.A., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки. // ПММ, 1994. Т.58, вып. 3. С. 167-171.

33. Ильюшин A.A., Ларионов Г.С., Филатов А.Н. К усреднению в системах нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. // Докл. АН СССР. 19 69. Т. 188. № 1. С. 49-52.

34. Исаев В. П. Флаттер ортотропной полосы постоянной толщины // Моск. гос. техн. ун-т «МАМИ». М. 2002. 6 с. Деп. в ВИНИТИ 01.02.2002. №204-В2002.

35. Исаев В.П., Кийко И. А. Флаттер анизотропной полосы // Моск. гос. техн. ун-т «МАМИ». М. 2002. 6 с. Деп. в ВИНИТИ 01.02.2002. №202-В2002.

36. Исаев В.П., Кийко И. А. Аэроупругие колебания и устойчивость ортотропной полосы переменной толщины / / Моск. гос. техн. ун-т «МАМИ». М. 2 0 02. Деп. В ВИНИТИ 01.02.2002. №203-В2002.

37. Исаулова Т.Н., Лавит И.М. Аэродинамическая устойчивость консольно защемленной косоугольной пластинки. // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2 009. Вып. 2. С.90-104.

38. Кадыров A.K., Кийко И. А. Флаттер упругой полосы переменной толщины // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Мат. Мех. Информ. 2005. Т.Н. вып. 2.

39. Кийко И. А. Флаттер вязкоупругой пластины // Прикл. матем., механика. 1996. Т. 60. Вып. 1. С. 172-175.

40. Кийко И. А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемых потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью. // Пр. матем. мех., 1999, т. 63, вып. 2. С.305-312

41. Кийко И. А., Кудрявцев Б.Ю. Нелинейные аэроупругие колебания прямоугольной пластины. // Вестн. МГУ. Сер.1, Матем., мех. 2005. №1. С.68-71

42. Кийко И. А., Показеев В.В. Колебания и устойчивость вязкоупругой полосы в потоке газа // Докл. РАН. 2005. Т. 401. №3. С. 342-344.

43. Кийко И.А., Показеев В.В. К постановке задачи о колебаниях и устойчивости полосы в сверхзвуковом потоке газа // Известия РАН. МЖГ. 2009. №1. С. 159-166.

44. Кийко И. А., Показеев В.В., Кадыров А. К постановке задач об аэроупругих колебаниях пластины // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ. 2007. Т. 13. Вып. 2. С.91-97.

45. Кийко И. А., Лунёв A.B. Флаттер вязкоупругой полосы // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1, Математика. Механика. 2010. №5. С.68-69.

46. Кудрявцев Б.Ю. Исследование задачи о флаттере в нелинейной постановке. Изв. ТулГУ, 2006, с.61-68.

47. Кудрявцев Б.Ю. Колебания и устойчивость упругой полосы в сверхзвуковом потоке газа. // Дисс. канд. физ.-мат. наук. 01.02.04. М., 1995. 96с.

48. Кудрявцев Б.Ю. Флаттер упругой пластины, находящейся в потоке газа, при умеренных сверхзвуковых скоростях // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ. 2005. Т. 11. Вып.З. С. 99102.

49. Лампер P.E. Введение в теорию флаттера // М., Машиностроение. 1990. 144 с.

50. Ларионов Г. С. Устойчивость колебаний вязкоупругой пластинки при больших сверхзвуковых скоростях. // В сб. Вопр. Вычисл. и прикл. мат. Ташкент. 1970. Вып. 3. С. 156-163.

51. Ларионов Г. С. Нелинейный флаттер упруговязкой пластины. // Изв. АН СССР. МТТ. 1974. №4. С.95-100.

52. Лунёв A.B. Колебания и устойчивость упругой пластины в рамках линеаризованной теории сверхзвукового обтекания / / Проблемы машиностроения и автоматизации №2. 2010. С. 101-103.

53. Матяш В.И. Флаттер вязкоупругой пластинки. // Механика полимеров. 1971. № 6. С. 1077-1083

54. Мовчан A.A. Некоторые вопросы колебаний пластинки, движущейся в газе.// Тр. Ин-та мех. АН СССР, Изд. АН СССР, 1955. С.36.

55. Мовчан A.A. О колебаниях пластинки, движущейся в газе.// Прикл. матем., механика. 1956. Т.XX. С.221-222.

56. Мовчан A.A. Устойчивость лопатки, движущейся в газе.// Прикл. матем., механика. 1957. Т.XXI. С. 700706.

57. Мовчан A.A. Об устойчивости панели, движущейся в газе.// Прикл. матем., механика. 1957. Т.XXI. С.231-243.

58. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек. // Механика деформируемого твердого тела. М., 1978. С. 67122. (Итоги науки и техники, ВИНИТИ; т.11).

59. Огибалов П.М. , Колтунов М.А. Оболочки и пластины // М. Моск. Ун-т. 1969. 419 с.

60. Показеев В. В. Флаттер вязкоупругой прямоугольной пластины //

61. Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ. 2005. Т. 11. Вып.3. С. 132-138.

62. Показеев В. В. Флаттер упругой и вязкоупругой консольно закрепленной полосы.// Прикл. матем. механика. 2008. Т. 72, вып.4. С. 625-632.

63. Фершинг Г. Основы аэроупругости // М., Машиностроение. 1984. 600 с.

64. Основы газовой динамики. Сб. статей под ред. Г. Эммонса // Пер. с англ. М.: Издво иностр.лит., 1963. 702 с.

65. Bisplinghoff R.L., Ashley Н. Principles of aeroelasticity // New-York: Dower. 1975. 527 p.

66. Garric I.E., Rubinow S.E. Flutter and oscillating air-force calculations for an airfoil in a two-dimensional supersonic flow // NACA. 1946. Report № 846. 25 p.

67. Nelson H.C., Cunningham H.J. Theoretical investigation of flutter of two-dimensional flat panels with one surface exposed to supersonic potential flow // NACA. 1956. Report № 1280. 24 p.