Кольцевые вихри в ограниченных сверхпроводниках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.27.01, кандидат физико-математических наук Самохвалов, Алексей Владимирович

• Самохвалов, Алексей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Самохвалов, Алексей Владимирович

Содержание

Введение

1 Тороидальные вихри Абрикосова в изотропных сверхпроводниках

1.1 Структура тороидального вихря Абрикосова

1.2 Тороидальный вихрь Абрикосова в сверхпроводящем цилиндре с током

1.3 Стабилизация тороидального вихря Абрикосова в неоднородном сверхпроводнике

1.4 Заключение к главе 1

2 Проникновение вихревой петли в сверхпроводник 62 '2.1 Вихревое полукольцо вблизи плоской поверхности сверхпроводника

второго рода

2.2 Вихревое полукольцо во внешнем магнитном поле

2.3 Вихревое полукольцо в сверхпроводящем цилиндре с током

2.4 Заключение к главе 2

3 Электромагнитное излучение при движении вихрей в магнитосвя-занных сверхпроводящих пленках

3.1 Взаимный пиннинг вихрей в магнитосвязанных сверхпроводниках

3.2 Уравнение движения вихрей в магнитосвязанных сверхпроводниках

3.3 Высокочастотный отклик магнитосвязанных сверхпроводников

3.4 Заключение к главе 3

Заключение

Приложения

А

В

С

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кольцевые вихри в ограниченных сверхпроводниках»

Введение

Важная особенность смешанного состояния сверхпрововодников второго рода состоит в том, что магнитный поток частично проникает в объем сверхпроводника в виде квантованных вихревых нитей или вихрей Абрикосова [1] (см. также [2, 3]). Присутствие вихрей в сверхпроводнике и взаимодействие вихрей с неоднородностями и дефектами материала (пиннинг) определяют как магнитные свойства сверхпроводников второго рода [4, 5], так и способность последних пропускать транспортный ток без диссипации [6]. Поэтому изучение вихревого состояния сверхпроводников второго рода представляет несомненный интерес как с фундаментальной точки зрения, так и с точки зрения различных приложений.

В настоящей диссертационной работе теоретически изучены свойства кольцевых вихрей (вихревых колец и вихревых петель) в сверхпроводниках второго рода. Особое внимание уделено исследованию влияния поверхности сверхпроводника на поведение и параметры таких вихрей, выяснению условий их возбуждения в сверхпроводящих (СП) стержнях и пленках с характерными размерами порядка глубины проникновения магнитного поля. Выполнен анализ механизмов диссипации и развития вихревой неустойчивости при протекании тока в тонких сверхпроводящих проводах, найдены критические параметры таких сверхпроводящих систем. Подробно изучена структура полей рассеяния, создаваемых локализованными вихревыми объектами в окружающем сверхпроводник пространстве и влияния таких полей на условия формирования вихрей вблизи поверхности сверхпроводника. На примере магнитосвязанных СП пленок рассмотрена возможность коррелированного движения вихрей благодаря наличию взаимодействия через магнитные поля рассеяния. Показано, что подобная дополнительная "слабая" связь между вихрями качественно изменяет условия протекания тока, и может обеспечить бездиссипативное протекание тока даже при полном отсутствии внутреннего пиннинга вихрей в пленках (т.е. в мягких СП материалах). Рассмотрено возникновение узкополосной генерации электромагнитного излучения при относительном движении вихрей в тонких магнитосвязанных СП пленках, что является одним из проявлений нестационарного эффекта Джозефсона [7] в сверхпроводящих системах со слабыми связями. Показано, что поведение магнитосвязанных (МС) сверхпроводников во многом аналогично поведению джозефсоновского элемента, без каких-либо определяемых длиной коге-

ограничений на, геометрические размеры МС системы.

Кольцевые вихри в сверхпроводниках.

Как известно, в сердцевине (керне) вихря, где магнитное поле достигает своего максимума, сверхпроводимость разрушается, и комплексный параметр порядка ф, описывающий сверхпроводящее состояние, оказывается подавленным на расстоянии, определяемом длиной когерентности Центр вихря, где \ф\ = 0, задает в пространстве линию - вихревую нить (ВН), причем фаза ф изменяется на число кратное 2-к при обходе вдоль произвольного контура, охватывающего эту нить. Последнее условие приводит к квантованию магнитного потока в вихре, так что одиночный вихрь с прямолинейной ВН, расположенный далеко от границ сверхпроводника, содержит один квант потока Ф0 = -кКс/е [8].

Основные усилия исследователей (как в теории, так и в эксперименте) сосредоточены на изучении структуры и свойств линейных вихрей, возникающих в сверхпроводниках второго рода под действием внешнего магнитного поля (см. последние обзоры [5, 9, 10], в которых подробно изложены различные вопросы физики вихревого состояния). Поскольку равновесная форма ВН в целом повторяет структуру силовых линий магнитного поля, существенная особенность таких вихрей состоит в том, что вихревая нить имеет свои "начало" и "конец", которые топологически разнесены в пространстве (например, находятся на противоположных поверхностях, ограничивающих объем, заполненный сверхпроводником). Такие вихри могут проникнуть в сверхпроводник только с поверхности, или образоваться в паре с вихрем противоположного направления (пара вихрь-антивихрь) [11].

В последнее время в физике вихревого состояния в сверхпроводниках второго рода появился интерес к изучению более сложных замкнутых вихревых структур, для которых вихревые нити имеют вид колец (или в более общем случае — петель). Кольцевые вихри (вихревые кольца или петли) в сверхпроводниках являются примером компактных магнитных структур, в которых магнитное поле и сверхток локализованы во всех трех направлениях. Характерный размер области локализации такой структуры является внутренним параметром вихря (не зависит от размеров СП системы) и может быть сравним (и даже быть меньше) глубины проникновения магнитного поля Л. Поскольку вихревая нить замкнута в кольцо, топологические ограничения, запрещающие спонтанное образование такого вихря в объеме сверхпроводника, отсутствуют

1Подобные 3.0 локализованные вихревые структуры встречаются в различных неравновесных физических системах [12], а вихревые кольца являются лишь простейшим элементом широкого класса таких структур. Поражает удивительное многообразие топологически различных способов того, как вихревая нить может образовать в пространстве замкнутую структуру [13], превращающуюся в процессе эволюции в устойчивый и компактный частице-подобный узел [14].

Замкнутые вихревые структуры часто рассматриваются в качестве элементарных тепловых возбуждений в высокотемпературных сверхпроводниках в слабых магнитных полях при температуре Т вблизи критической Тс [15]. Удлиненные (эллиптические) вихревые петли, вытянутые преимущественно вдоль СП слоев, и состоящие из перпендикулярных (квазидвумерные вихри) и параллельных слоям (джо-зефсоновские вихри) сегментов (подробнее о вихрях в ВТСП см. обзор [5]) впервые были рассмотрены в работе [16]. Минимальный размер вихря определяется длиной когерентности в СП слое и расстоянием между слоями. Подобные низкоэнергетические флуктуации описывают внутренние степени свободы сверхпроводящей системы, обладающие нулевой суммарной завихренностью (несингулярные флуктуации фазы параметра порядка, пары вихрь-антивихрь и т.д.), и не связаны с традиционно рассматриваемыми линейными вихрями, которые формируются в сверхпроводнике внешним магнитным полем [17]. В работе [18] сделано предположение, что фазовый переход в нормальное состояние сильно анизотропных ВТСП материалов в нулевом магнитном поле связан с тепловым возбуждением вихревых петель (колец). В слабых магнитных полях можно ожидать, что эти дополнительные степени свободы дают важный вклад в термодинамические параметры сверхпроводника вблизи температуры перехода Тс [17]. Выполненные в [19] детальные Монте-Карло расчеты в рамках 31? ХУ-модели показали, что Б —N фазовый переход в нулевом внешнем магнитном поле сопровождается эффективной генерацией кольцевых вихрей. Вблизи фазового перехода натяжение вихревой нити исчезает, а функция распределения вихрей по размеру спадает степенным образом: ~ г~а, где г„ — характерный радиус петли. Отметим, что вблизи перехода анизотропия становится слабой, и эллиптические вихревые петли трансформируются в кольца [14, 19]. Существование при Т ~ Тс тепловых возбуждений в виде кольцевых вихрей может объяснить по мнению автора [18] результаты экспериментов [20, 21], где обнаружены существенные отличия температурной зависимости проводимости аш (и) ~ 500 ст~1) от предсказываемой теорией БКШ. Влияние вихревых петель на упругие свойства вихревой решетки, равновесные термодинамические и магнитные параметры слоистых сверхпроводников теоретически изучено в [22, 23]. Для объяснения аномально большого скачка энтропии, наблюдавшегося в [24] при плавлении вихревой решетки в ВБССО кристалле вблизи Тс, авторы работ [17, 25] предположили, что увеличение внутренней энергии вызвано "взрывным" возбуждением дополнительных степеней свободы в виде кольцевых вихрей. Заметим однако, что подобные флуктуационные механизмы возбуждения кольцевых вихрей вряд ли могут быть существенными в традиционных низкотемпературных сверхпроводниках второго рода.

Другой возможный случай формирования кольцевых вихрей, имеет место, если магнитное поле создается протекающим по сверхпроводнику внешним током, а внеш-

нее магнитное отсутствует. В этом случае вихревые нити охватывают линии тока и имеют вид колец, плоскость которых перпендикулярна линиям тока [6, 26].

Процесс разрушения сверхпроводимости электрическим током в цилиндрическом сверхпроводнике первого рода впервые был теоретически исследован в [27] (см. также [28]). Если созданное током магнитное поле превышает на поверхности критическое значение Нст, в проводе возникает статическое промежуточное состояние, которое представляет собой систему чередующихся неподвижных слоев нормальной и сверхпроводящей фаз, ориентированных перпендикулярно току 2. Динамическая модель резистивного токового состояния предложена в [31]. В этой модели электрическое сопротивление обусловлено течением потока, которое происходит в виде непрерывного схлопывания коаксиальных цилиндрических трубок магнитного потока. Очевидно, что такое периодическое движение магнитного потока генерирует переменную составляющую напряжения на образце. Семейство периодических доменных структур, движущихся как целое с постоянной скоростью в направлении тока, в цилиндрической проволоке было рассмотрено в [32]. Доменная структура созданного током резистивного состояния связала со сложным характером распределения токов в образце. Поскольку и магнитное поле, и нормальные домены создаются самим внешним током, структура промежуточного состояния может быть неустойчивой. Электрические и магнитные неустойчивости токового резистивного состояния в проволоках проявляются в резких перепадах сопротивления при незначительных изменениях величины тока [28].

Протекание тока и диссипация в сверхпроводниках второго рода, как известно, связана с образованием и движением в них вихрей Абрикосова [33, 34, 35, 36]. Рези-стивное состояние является сложным и информативным в физическом отношении состоянием сверхпроводника и поэтому представляет большой физический интерес. Возникающее в этом случае электрическое поле переводит сверхпроводник в нестационарное состояние с зависящим от времени параметром порядка. Несмотря на значительные усилия, механизмы, ограничивающие бездиссипативное протекание тока, изучены далеко не полностью. Особенно много вопросов остаются неясными для ВТСП материалов, где сильные флуктуации, чувствительность к составу и ани-

2Тот факт, что разрушение сверхпроводимости током происходит, когда созданное этим током магнитное поле достигает значения Нст, часто называют правилом Сильсби [29]. Правило Сильсби устанавливает простую связь между максимально допустимым током в сверхпроводнике первого рода и термодинамическим критическим полем Нст: бездиссипативное протекание тока возможно до тех пор, пока создаваемое током магнитное поле на поверхности сверхпроводника не превышает Нст- Более универсальной является модификация этого правила, предположенная Лондоном [30]: сопротивление появляется, если локальная плотность тока на поверхности достигает критического значения ]1 — сНст/Аж\. Заметим, что плотность тока по порядку величины близка плотности тока распаривания в модели Гинзбурга-Ландау ^ == сЯст/3\/бтгА: ^ ~ 1.84^.

зотропия усложняют описание диссипации в этих материалах. Одна из центральных проблем при этом состоит в ответе на вопрос: являются ли преобладающие механизмы диссипации внутренними (т.е. присущими идеально однородному, совершенному сверхпроводнику), или причина диссипации кроется в неоднородности материала [37].

При наличии внешнего магнитного поля, простейшая модель резистивного состояния в сверхпроводниках второго рода предполагает движение решетки вихрей под действием силы Лоренца со стороны внешнего тока [28, 35]. Если внешнее магнитное поле отсутствует, обычно предполагают, что магнитный поток проникает в сверхпроводник под действием тока в виде вихрей двух противоположных направлений: вихрей и антивихрей. Подобные модели достаточно подробно изучены для пленочных структур, когда один из размеров сверхпроводника (толщина пленки ¿) существенно меньше двух других: <1 <С где и Ь соответственно ширина

и длина СП мостика [38, 39]. В этом случае из-за большого размагничивающего фактора, магнитный поток проникает в сверхпроводник под действием тока преимущественно с краев пленки в виде вихрей, "пронизывающих" пленку. Движение вихрей противоположного направления навстречу друг другу и аннигиляция таких вихрей вблизи центра пленки и вызывает диссипацию [40, 41, 42]. Флуктуацион-ное рождение пар вихрь-антивихрь и последующее движение образованных вихрей под действием протекающего по пленке тока существенно, лишь для очень тонких пленок с шириной \¥ < А а = А2/в которых при температуре Тт^т существует характерный для квазидвумерных (21)) систем резистивный переход [4-3, 44].

Если поперечное сечение сверхпроводящего мостика таково, что с1 ~ Ж, в качестве простейшей модели СП проводника уместно использовать сверхпроводящий цилиндр произвольного радиуса гс. В этом случае, опираясь на очевидную аналогию со сверхпроводниками первого рода, можно предположить, что роль движущихся вихревых структур с захваченным магнитным потоком будут играть коаксиальные вихревые кольца. Принято считать, что при протекании тока 3 > ЗсХ = сНсхгс/2 по изолированному проводу (стержню) с радиусом гс из сверхпроводника второго рода, на его поверхности зарождаются, стягиваются и аннигилируют в центре круговые вихревые кольца, приводя к появлению электрического сопротивления [26]. Здесь Нс\— нижнее критическое поле в сверхпроводниках второго рода, при котором становится энергетически выгодным образование вихрей в объеме сверхпроводника [2]. Решение уравнения Лондонов, описывающее кольцевой вихрь Абрикосова с вихревой нитью в форме окружности произвольного радиуса г,„ (тороидальный вихрь Абрикосова) в изотропных сверхпроводниках второго рода с большим параметром Гинзбурга-Ландау к. = А/£ >> 1, впервые было получено в работе [45]. Взаимодействие тороидального вихря Абрикосова с центром на оси произвольного СП цилиндра с по-

верхностью цилиндра рассмотрено в лондоновском приближении в работах [46, 47]. Некоторые универсальные особенности поведения вихревого кольца в толстом сверхпроводящем цилиндре (гс А) установлены в [47] при решении модельного нелинейного уравнения, описывающего вязкое движение такого вихря под действием натяжения собственной вихревой нити и внешнего тока. Динамика зарождения и движения круговых колец из джозефсоновских вихрей в стержне из ВТСП керамики В^.бРЬсмЭггСагСизОу, по которому протекает внешний ток </, изучалась экспериментально в [48] по изменению во времени действительной части х' комплексной динамической магнитной восприимчивости уас = х' + х" • Промежуток времени, в течении которого сигнал х' остается неизменным при выключении тока «/, определяет время жизни колец в цилиндре и составляет в экспериментах десятки секунд для стержня диаметром О.-Зсм. Численное моделирование движения концентрических вихревых колец в цилиндрически симметричном джозефсоновском переходе выполнено в цикле работ [49]-[54], где изучены статические и динамические свойства таких контактов, рассмотрены различные особенности поведения кольцевых вихрей Джозефсона.

Иной способ разрушения сверхпроводимости второго рода внешним током в массивных образцах рассмотрен в работах [15, 55]. Суть этого механизма состоит в том, что при протекании тока оказывается энергетически выгодным образование расширяющихся вихревых колец, направление магнитного поля в которых противоположно направлению магнитного поля внешнего тока. Аналогичный механизм возникновения диссипации в сверхтекучей жидкости был предложен ранее в работах [56, 57] (см., также, обзор [58]). Состояние с вихревым кольцом отделено от безвихревого потенциальным барьером, связанным с собственной энергией вихря. При нулевой температуре барьер исчезает, делая возможным беспороговое рождение кольцевых вихрей с размером порядка длины когерентности £ лишь при плотности тока с, которая сравнима по величине с плотностью тока распаривания [55]. Обобщение этих представлений на случай анизотропного сверхпроводника, когда адекватной формой вихря служит эллипс показало, что данный механизм диссипации может объяснить особенности нелинейных вольт-амперных характеристик тонких УВСО пленок в нулевом магнитном поле [44] и предельно высокие плотности критического тока в сверхпроводящих микромостиках с поперечными размерами, сравнимыми с глубиной проникновения магнитного поля [59, 60]. При ] < ]с становятся существенными термоактивационный или туннельный механизмы образования расширяющихся вихревых колец с радиусом г„, превышающим критическое значение гп(]). Измерения температурной зависимости сопротивления тонких (о? < А) УВСО пленочных структур в слабом магнитном поле показали, что при небольшом внешнем токе ] существует резистивный переход, а линейная диссипация при Ткт < Т < Тс объяс-

няется движением вихрей и антивихрей, возникающих флуктуационным образом в пленке. При увеличении внешнего тока резистивный переход исчезает, сопротивление сохраняется до заметно более низких температур Т < Тцх, а вольт-амперные характеристики (ВАХ) становятся существенно нелинейными. Сравнение полученных данных с моделью расширяющегося под действием тока вихревого кольца [15] показало, что данная модель хорошо описывает особенности ВАХ, когда величина тока ] оказывается достаточной для образования кольцевого вихря с радиусом гп{]) < (I. В работе [37] приведены результаты детальных измерений зависимости электрического поля Е от плотности тока ] в УВСО микромостиках, которые предварительно облучали легкими ионами. По мнению авторов [37] полученные Е(]) характеристики хорошо описываются моделью, которая предполагает туннелирование вихревого кольца через потенциальный барьер. Заметим, что во всех описанных экспериментах использовались пленочные структуры толщина которых не превышала глубину проникновения А. В то же время анализ условий возникновения расширяющегося вихревого кольца и вычисление активационных барьеров были выполнены в [15, 55] для неограниченного сверхпроводника в предположении, что плотность внешнего тока однородна по сечению. В действительности, однако, как было справедливо отмечено в [15], заметное влияние на условия возбуждения вихревого кольца может оказать поверхность сверхпроводника.

Как хорошо известно, на движение магнитного потока в сверхпроводниках второго рода, существенно влияет пиннинг вихрей [33]. Критический ток толстого (гс А) сверхпроводящего стержня в нулевом внешнем магнитном поле вычислен в [6, 61] для модели критического состояния Вина [62]. Если пренебречь дополнительным пиннингом вихрей на поверхности, то при токах выше некоторого значения > ,/С1 в СП стержне развивается неустойчивость, означающая непрерывный коллапс вихревых колец на оси. При токе < </ < 3е магнитный поток проникает вовнутрь стержня на лишь некоторую глубину. Радиус свободной от вихрей цилиндрической области ?'0 вблизи оси определяется из условия равенства силы пиннинга и натяжения вихревой нити: = сНс\Цр, где ]р — плотность критического тока пиннинга. Свободные от вихрей цилиндрические полости создают особенности в распределении тока и были обнаружены недавно магнитооптическими методами у поверхности монокристаллов ВБССО и УВСО при размагничивании сверхпроводящей пластины в перпендикулярном поле [63, 64]. Существование подобных областей означает, что процесс размагничивания СП пластин сопровождается коллапсом вихревых колец с центром на фронте размагничивания, где плотность тока максимальна. Если пиннинг сильный, так что радиус безвихревой зоны сравним с А, локальная связь между магнитной индукцией В и плотностью вихрей п (В = Ф0п) нарушается. В этом случае следует использовать более общие модели критического состояния

[65, 66], которые учитывают нелокальные эффекты и применимы как для описания сверхпроводящих образцов с размерами порядка глубины проникновения Л, так и в том случае, если возникают большие градиенты плотности вихрей Vп/п ~ 1/А. Возможность формирования устойчивого тороидального вихря Абрикосова с размерами меньшими А в сверхпроводнике второго рода с цилиндрической неоднородностью, показанная в работе [67], свидетельствует о том, что и другие механизмы пиннинга могут приводить к появлению весьма компактных замкнутых вихревых структур, слабо взаимодействующих с внешними полями, причем количество подобных вихрей с сверхпроводнике может быть значительным.

Другим фактором, который существенно влияет на поведение и структуру вихрей в ограниченных сверхпроводниках второго рода являются поверхностные эффекты (взаимодействие вихрей с поверхностью сверхпроводника), которые становятся особенно важными в случае больших параметров Гинзбурга-Ландау к, = А/£

[68] и малых размеров образцов Ь ~ А [8]. Поверхностный барьер Бина-Ливингстона

[69] и различные виды краевых барьеров [70, 71, 72] (см. обзор [9], где описаны другие виды барьеров и приведен обширный список работ по этому вопросу), препятствуют проникновению магнитного потока в сверхпроводник и определяют, по крайней мере при отсутствии объемного пиннинга, резистивные и магнитные свойства, сверхпроводящего образца в широком диапазоне магнитных полей и температуры [68, 73]. С увеличением внешнего магнитного поля Но поверхностный барьер уменьшается и исчезает полностью лишь в полях Но = Неп > Нс 1, когда начинается проникновение магнитного потока в сверхпроводник. Поле Неп существенно зависит от как формы образца, (размагничивающего фактора), так и от качества поверхности [73]. В случае идеально гладкой плоской поверхности поле Неп оказывается порядка Яст, а плотность экранирующего мейснеровского тока на поверхности достигает величины тока распаривания. Заметим, что существование поверхностного барьера приводит к появлению вблизи поверхности жесткого сверхпроводника безвихревых областей с характерным размером А, в которых устанавливается мейснеровское состояние. Такие области особенно заметны для образцов с большим размагничивающим фактором, в которых свободная от вихрей область вблизи границ может достигать макроскопических размеров [72]. Нелокальная модель критического состояния, учитывающая влияние поверхностного барьера, предложена в [74].

Если внешнее магнитное поле Н0 < Неп, проникновение вихрей в сверхпроводник происходит в результате флуктуаций, когда вблизи поверхности возникает зародыш в форме вихревой петли [75]. Существует минимальный критический размер петли, такой, что вихрь не "схлопывается" на поверхности, а продолжает развиваться вглубь сверхпроводника. Форма вихревой нити определяется взаимодействием вихря с магнитным полем и упругостью вихревой нити и имеет вид полуокружно-

сти, оканчивающейся на поверхности сверхпроводника. Структура магнитного поля, магнитный поток и свободная энергия вихря Абрикосова с вихревой нитью в форме половины окружности произвольного радиуса вблизи плоской поверхности сверхпроводника второго рода найдены в лондоновском приближении в работах [76, 77]. Общие решения уравнения Лондонов, описывающие структуру вихревой петли произвольной формы в СП цилиндре получены в [78] при изучении условий проникновения магнитного потока в цилиндр при одновременном действии внешнего магнитного поля и тока. В работе [79] вычислено время преодоления вихрем поверхностного барьера и определена зависимость энергии активации образования вихревого зародыша от магнитного поля. Влияние захваченного в образце магнитного потока (магнитной индукции) на величину барьера для одной или нескольких вихревых петель изучено в [80, 81].

Энергетический барьер, возникающий вблизи поверхности сверхпроводника, оказывает влияние на проникновение магнитного потока под действием магнитного поля протекающего по образцу тока [68]. Зависимость критического тока от магнитного поля в пленке из сверхпроводника второго рода теоретически исследована в работе [82], где отмечено, что при малых полях критический ток определяется тем значением, при котором начинается образование вихрей на одной поверхности пленки, их движение и уничтожение на противоположной поверхности. Учет поверхностного (краевого) барьера важен при рассмотрении сверхпроводящей полоски или проволоки с током. В работе [70] было теоретически и экспериментально показано на примере длинной полоски сверхпроводника первого рода, что существование краевого барьера, препятствующего движению нормального домена под действием тока, обеспечивает более высокие значения критического тока, чем следует из правила Сильсби. Отметим, что у сверхпроводника в форме полоски магнитная энергия вихревой нити вне сверхпроводника (энергия полей рассеяния) составляет заметную долю энергетического барьера [38, 70, 83, 84].

Изучение условий проникновения концентрических вихревых колец в сверхпроводящий цилиндр под действием собственного магнитного поля тока выполнено в работах [85, 86, 87]. Формированию таких вихрей у поверхности цилиндра препятствует барьер аналогичный барьеру Бина-Ливингстона [69], который оказывает существенное влияние на движение вихрей и определяет при отсутствии объемного пиннинга величину критического тока. Одним из следствий существования поверхностного барьера является существенное увеличение критического тока, при котором начинается диссипация в нулевом внешнем магнитном поле, по сравнению с Зс\. Условия формирования тороидальных вихрей в полом СП цилиндре и разрушения поверхностного барьера под действием внешнего аксиального магнитного поля изучены в [88]. Для бессиловой конфигурации, когда внешнее магнитное направлено

вдоль оси СП цилиндра, проблема преодоления поверхностного барьера винтовым вихрем рассмотрена в работах [89, 90, 91]. В работе [87] показано, что минимальный критический ток соответствует возбуждению у поверхности цилиндра с током расширяющихся вихревых петель (полуколец). Проникновение магнитного потока в цилиндр начинается, если локальная плотность тока на поверхности близка по величине току распаривания. Аналогичный критерий, устанавливающий условие при котором внешнее однородное магнитное поле перпендикулярное оси проникает в СП цилиндр с током, получено недавно в [78].

Влияние поверхности на структуру вихря Абрикосова оказывается существенным и в том случае, если ВН пересекает поверхность сверхпроводника. Впервые расчет структуры магнитного поля одиночного вихря, перпендикулярного поверхности, выполнен в работах [92, 93] соответственно для тонкой сверхпроводящей пленки и полупространства. Плотность тока в 2D вихре спадает степенным образом: j{r) ~ г-2, т.е. гораздо медленнее, чем в вихре Абрикосова, что обеспечивает эффективное взаимодействие таких вихрей на расстояниях заметно больших Л. В случае полупространства степенной закон спадания тока в вихре справедлив только в поверхностном слое. Эти представления были обобщены на случай анизотропного сверхпроводника и произвольного угла наклона вихревой нити к поверхности в работе [94]. Самосогласованный расчет распределения магнитного поля и структуры керна вихря, перпендикулярного поверхности, выполнен в [95], где отмечено, что расширение керна вихря вблизи поверхности особенно заметно для анизотропного сверхпроводника. Влияния поверхности на распределение магнитного поля в вихре наблюдалось в [96] методами электронной голографии.

Магнитосвязанные вихри и "слабая" связь на их основе

Важный вклад в изучение движения магнитного потока в сверхпроводниках внесли эксперименты с магнитосвязанными (МС) структурами, в которых используется магнитное взаимодействие между двумя идентичными решетками вихрей, находящимися в параллельных электрически изолированных сверхпроводящих пленках. Когда изолирующий слой достаточно тонок, а пиннинг потока в СП пленках слабо выражен, решетки вихрей в обеих пленках строго соответствуют друг другу благодаря магнитной связи. Течение магнитного потока в одной пленке под действием протекающего тока вызывает согласованное движение вихрей в соседней пленке, что приводит к появлению на ней напряжения. Первые эксперименты с магнитосвязанными структурами, названными трансформатором постоянного тока (DC flux transformer), выполнены в [97, 98] на примере пленок, представлявших собой сверхпроводники второго рода. Позднее подобные эффекты были обнаружены и на тонких пленках сверхпроводников первого рода [99, 100]. Периодическая зависимость энергии взаимодействия решеток вихрей в соседних пленках от относительного смещения

этих решеток обеспечивает самосогласованный периодический потенциал пиннинга [101], а необходимая величина связи может быть легко подобрана путем изменения зазора между СП пленками. Переменная составляющая скорости вихрей и, как следствие, переменное электрическое поле и ток, возникают здесь при относительном движении (проскальзовании) решеток вихрей в соседних пленках. Первое упоминание о высокочастотном отклике в трансформаторе постоянного тока появилось в работе [102], где отмечено, что система МС сверхпроводников должна быть чувствительной к воздействию на нее внешним переменным полем. Близкая аналогия между движением вихрей в МС сверхпроводниках и джозефсоновским переходом, независимо показанная в работах [103, 104], означает, что из-за синхронизации движения магнитного потока микроволновым излучением на вольт-амперной характеристике должны наблюдаться ступеньки Шапиро [103]. Генерация электромагнитного излучения при относительном движении решеток вихрей в магнитосвязанных сверхпроводящих пленках в геометрии трансформатора постоянного тока теоретически изучена в работах [105, 106], где также показано, что поведение МС сверхпроводников во многом аналогично поведению джозефсоновского элемента, без каких-либо определяемых длиной когерентности £ ограничений на геометрические размеры МС системы.

Ключевым моментом для построения теории магнитосвязанных сверхпроводников явилось предположение [101] о смещении решетки вихрей как целое в периодическом потенциале пиннинга, создаваемом другой решеткой вихрей. Первые расчеты энергии взаимодействия между решетками вихрей в МС пленках были выполнены в [107, 108] для случая вихрей Абрикосова в тонких пленках [92], когда толщина пленок d существенно меньше глубины проникновения магнитного поля А. Эти результаты были обобщены для пленок произвольной толщины в работах [102, 109], где также была построена детальная теория, описывающая срыв решетки вихрей в магнитосвязанных пленках, и выполнены модельные расчеты вольт-амперных характеристик трансформатора постоянного тока. Теоретические представления [101, 102, 109] были подтверждены детальными измерениями вольт-амперных характеристик и магнитного взаимодействия между вихрями в МС пленках [110, 111]. Измерения силы взаимодействия между вихрями в магнитосвязанных пленках при отсутствии внешнего магнитного поля выполнены в [112], пропуская по соседним пленкам ток в противоположном направлении. Магнитное взаимодействие между решетками вихрей, расположенных в различных слоях конечной стопки магнитосвязанных СП пленок, теоретически изучено в недавних работах [ИЗ, 114].

В последнее время идея трансформатора постоянного тока часто используется для изучения строения вихрей в ВТСП материалах и фазовых переходов между различными конфигурациями таких вихрей. Учитывая слоистое строение и

сильную анизотропию ВТСП, такие сверхпроводники представляются в виде набора двумерных СП плоскостей, связанных между собой в поперечном направлении (вдоль оси с) через эффект Джозефсона [115]. Различные семейства высокотемпературных сверхпроводников существенно отличаются друг от друга степенью анизотропии 7 = ЛС/Хаь > 1, зависящей от величины джозефсоновской связи между плоскостями. Вихревая нить в ВТСП имеет более сложную по сравнению с изотропным случаем структуру и разбивается на расположенные в СП слоях 2.0-вихри, связанные между собой джозефсоновскими вихрями. Если взаимодействие между 21)-вихрями в соседних слоях велико и не подавляется тепловыми флуктуациями или случайным пиннингом, в сверхпроводнике формируются вихревые нити, направленные преимущественно вдоль внешнего магнитного поля. Движение 21)-вихрей под действием внешнего тока происходит согласованно по всей толщине сверхпроводника, что отражает факт сильной корреляции между соседними СП слоями и трехмерный характер сверхпроводимости в таком материале. В противном случае решетки вихрей в СП слоях связаны очень слабо и движутся независимо друг от друга. В экспериментах [116, 117] в геометрии трансформатора постоянного тока и наблюдали движение вихревых нитей в монокристаллах LSCO и YBCO, анизотропия которых невелика (7 ~ 5 — 10) [118]. Внешний ток подводился только к одной из плоскостей ab кристалла и был распределен существенно неоднородно по толщине. Дальний порядок вдоль с-оси разрушается либо тепловыми флуктуациями при температуре Т > Tth, либо из-за сильного отличия величины внешнего тока в слоях. Температура Tth, при которой вихревая нить разбивается на 2£>-вихри, движущиеся в соседних слоях независимо, понижается с увеличением анизотропии и уменьшением внешнего магнитного поля [119]. В работе [120] обнаружено, что сопротивление Rc вдоль оси с уменьшается при Т —>• Tth быстрее, чем сопротивление в плоскости ab. Ниже температуры Tth распределение внешнего тока по толщине становится однородным, а слоистая структура сверхпроводника — несущественной. Простая модель, учитывающая джозефсоновское взаимодействие между слоями, предложена в работе [121] для описания трансформатора постоянного тока на основе ВТСП материалов.

Элегантным и мощным математическим аппаратом, применимым для описания структур магнитного потока в сверхпроводниках, является феноменологическая теория Гинзбурга-Ландау, основанная на общей теории Ландау фазовых переходов второго рода и описывающая сверхпроводящее состояние при помощи комплексного параметра порядка ф(г) [2, 3]. Решение уравнений Гинзбурга-Ландау в виде решетки вихрей в сверхпроводниках второго рода вблизи Яс2, когда |-0| <С 1, получено впервые в [1]. В этой же работе обосновано и другое ключевое приближение, справедливое при достаточном удалении вихревых нитей друг от друга и больших параметрах

Гинзбурга-Ландау /с = А/£ 1. Это приближение, обычно называемое лондонов-ским, использует тот факт, что размер области, в которой \ф\ отличен от единицы, порядка длины когерентности Поскольку эта область мала по сравнению с характерным размером вихря А, то детальная структура керна вихря несущественна. К несомненному достоинству модели Лондонов следует отнести её линейность, что позволяет широко использовать принцип суперпозиции для полей и токов. Хотя в приближении Лондонов можно рассчитать структуру и основные параметры вихря (или совокупности вихрей) для произвольной формы вихревой нити, (см., например, [9]), анализ получаемых решений, как правило, весьма затруднителен [78], за исключением отдельных примеров вихрей Абрикосова специальной формы (вихревое кольцо [45], винтовая вихревая нить [86], и т.д.) когда существенное упрощение задачи связано с использованием дополнительных соображений симметрии. Отметим, что даже в тех случаях, когда форма вихря сильно отличается от прямолинейной, влияние кривизны вихревой нити и взаимодействия различных участков вихревой нити друг с другом на структуру магнитного поля вихря как правило не учитывают и предполагают, что при искривлении вихревой нити происходит увеличение энергии вихря из-за удлинения ВН [122]. Качественные соображения, однако, указывают на обратный эффект: искривление уменьшает удельную энергию вихря из-за взаимодействия параллельных круговых токов, образующих вихрь Абрикосова [123].

Целью настоящей диссертации является теоретическое исследование структуры и свойств кольцевых вихрей в сверхпроводниках второго рода при произвольном радиусе кривизны вихревой нити; изучение влияния поверхности сверхпроводника на поведение и параметры таких вихрей; анализ условий возбуждения и особенностей движения кольцевых вихрей в сверхпроводящих проводниках с характерными размерами порядка глубины проникновения магнитного поля; изучение структуры и роли полей рассеяния, создаваемых локализованными вихревыми объектами в окружающем сверхпроводник пространстве, и влияния таких полей на условия формирования вихрей; изучение возможности коррелированного движения вихрей благодаря наличию "слабой" связи через магнитные поля рассеяния; нахождение условий эффективной генерации электромагнитного излучения при относительном движении решеток вихрей в магнитосвязанных сверхпроводящих пленках.

Практическая значимость. Тенденция, направленная на миниатюризацию электронных устройств, в том числе и сверхпроводящих, приводит к необходимости уменьшения размеров приборов до величин, сравнимых с глубиной проникновения магнитного поля А (для ВТСП материалов А ~ 2000А). Для понимания особенностей работы таких СП приборов и, в частности, механизмов протекания тока и диссипации в сверхпроводниках с поперечными размерами ~ А, требуется адекватное описание происходящих в них процессов, а также разработка соответствующих моделей,

описывающих гальвано-магнитные свойства подобных систем. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для понимания явлений, присущих протеканию тока в тонких СП проводниках с размерами порядка глубины проникновения магнитного поля. Широкое применение эффекта Джозефсона на основе ВТСП материалов наталкивается на трудности создания воспроизводимых джозефсонов-ских элементов. Эти трудности обусловлены тем, что характерные размеры области слабой связи не должны превышать длину когерентности параметра порядка £ (для ВТСП материалов £ ~ 3 - 10А) [И, 124]. Поэтому представляет интерес поиск аналогов эффекта Джозефсона в сверхпроводящих системах, где столь сильное ограничение на размеры отсутствует. В диссертации впервые рассмотрены примеры джозефсоновских систем на основе магнитосвязанных СП пленок и выполнено сравнение поведения таких систем с работой обычного джозефсоновского контакта. Одним из проявлений нестационарного эффекта Джозефсона является возникновение генерации электромагнитного излучения. В диссертации найдены условия при которых в МС сверхпроводниках возникает аналогичная генерации излучения. На защиту выносятся:

• Впервые получено точное решение уравнения Лондонов, описывающее тороидальный вихрь Абрикосова (вихревое кольцо) в сверхпроводниках второго рода и подробно изучены свойства таких вихрей.

• Изучены условия стабилизации кольцевых вихрей в неоднородном сверхпроводнике и обоснована возможность существования устойчивых вихревых колец с размерами порядка глубины проникновения магнитного поля.

• Исследованы механизмы разрушения сверхпроводимости второго рода внешним током в цилиндрическом проводнике произвольного радиуса, связанные с образованием и движением вихрей Абрикосова в форме кольца или петли. Выполнены расчеты критического тока и сформулирован простой критерий возникновения резистивного состояния и диссипации в сверхпроводящем проводе, применимый и к системам с размерами сравнимыми с глубиной проникновения магнитного поля.

• В лондоновском приближении рассчитана структура полей и токов, создаваемых вихревым полукольцом, расположенным у плоской поверхности сверхпроводника второго рода. Детально исследована структура полей рассеяния, и изучена их роль в формировании поверхностного энергетического барьера,.

• Изучена аналогия между относительным движением решеток вихрей в МС сверхпроводниках и поведением обычного джозефсоновского перехода. Показано, что в МС сверхпроводниках имеют место эффекты аналогичные стаци-

онарному и нестационарному эффектам Джозефсона без каких-либо определяемых длиной когерентности £ ограничений на геометрические размеры МС системы.

• Показано, что при относительном движении решеток вихрей в магнитосвя-занных сверхпроводящих пленках возникает эффективная генерация электромагнитного излучения. Частота собственного электромагнитного излучения из МС сверхпроводников зависит от пространственного периода вихревых решеток и скорости относительного движения вихрей, что означает возможность перестройки частоты излучения внешним магнитным полем и током.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 128 страниц, включая 31 рисунок. Список литературы содержит 158 наименований.

Во Введении выполнен краткий обзор экспериментов и теоретических моделей, касающихся особенностей вихревого состояния в ограниченных сверхпроводниках второго рода (сверхпроводящих проводах и пленках). Внимание сосредоточено на примерах формирования замкнутых вихревых структур, когда вихревые нити имеют вид колец или петель, в которых магнитное поле и сверхток локализованы во всех трех направлениях. Описаны существующие представления о механизмах возбуждения кольцевых вихрей и влиянии таких вихрей на различные свойства сверхпроводника. Рассмотрены примеры магнитосвязанных сверхпроводящих систем, работа которых основана на специфической роли полей рассеяния, создаваемых вихрями вне сверхпроводника.

В Главе 1 рассматриваются свойства кольцевых (тороидальных) вихрей Абрикосова в изотропных сверхпроводниках второго рода с большим параметром Гинз-бурга,-Ландау. Получено новое решение уравнения Лондонов, описывающее кольцевой вихрь, и найдены основные параметры такого вихря. Изучено влияние кривизны вихревой нити на свободную энергию вихря в изотропном сверхпроводнике. Рассмотрены вопросы устойчивости кольцевых вихрей и показано, что в неоднородном сверхпроводнике сравнительно легко обеспечить условия стабилизации кольцевого вихря с размерами, не превышающими А. Изучено взаимодействие кольцевых вихрей с внешним током и выполнены расчеты энергетического барьера, препятствующего образованию таких вихрей. Выполнен анализ механизмов разрушения сверхпроводимости и возникновения резистивного состояния в произвольном сверхпроводящем цилиндре, связанные с образованием и движением кольцевых вихрей Абрикосова под действием внешнего тока. Изучена зависимость критических параметров таких сверхпроводящих систем от их поперечного сечения.

В Главе 2 рассматриваются свойства вихревых полуколец и условия их формирования вблизи поверхности сверхпроводника второго рода под действием внеш-

него магнитного поля или протекающего по сверхпроводнику транспортного тока. В лондоновском приближении рассчитана структура магнитного поля, магнитный поток и свободная энергия вихря Абрикосова с вихревой нитью в форме половины окружности произвольного радиуса, касающегося плоской поверхности сверхпроводника. В силу непрерывности магнитного потока такой вихрь создает вне сверхпроводника поле рассеяния, напоминающее по своей структуре поле магнитного диполя. Изучено взаимодействие вихревого полукольца с внешним однородным магнитным полем, параллельным поверхности, и вычислен энергетический барьер, препятствующий расширению вихря вглубь сверхпроводника. Найдены условия формирования вихревого полукольца вблизи поверхности сверхпроводящего провода с током и показано, что этому механизму соответствует минимальное значение критического тока, при котором возможно проникновение магнитного потока в сверхпроводящий цилиндр и возникает диссипация.

В Главе 3 теоретически изучена генерация электромагнитного излучения при относительном движении решеток вихрей в магнитосвязанных сверхпроводящих пленках в геометрии трансформатора постоянного тока. Найдены условия, при выполнении которых сила взаимного пиннинга решеток вихрей изменяется по гармоническому закону от относительного смешения вихрей в пленках в заданном диапазоне значений внешнего магнитного поля. Показано, что в этом случае уравнение, описывающее вязкое движение решеток вихрей в магнитосвязанных пленках, совпадает с уравнением резистивно-шунтированной модели джозефсоновского перехода, а поведение МС сверхпроводников во многом аналогично поведению джозефсоновского элемента. Рассмотрены примеры джозефсоновских систем на основе магнитосвязанных СП пленок и выполнено сравнение поведения таких систем с работой обычного джозефсоновского контакта.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации, которые одновременно являются положениями, выносимыми на защиту.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались на Международных конференциях: "Materials and Mechanisms of Superconductivity and High Temperature Superconductors" (M2S-HTSC-IV, Grenoble, France, 1994), (M2S-HTSC-V, Beijing, China, 1997); "19th International Conference on Infrared and Millimeter Waves" (IR&MM Waves Sendai, Japan, 1994); "21st International Conference on Low Temperature Physics" (LT21, Prague, Chech Republic, 1996); на Нижегородских сессиях молодых ученых, на семинарах ИПФ РАН и ИФМ РАН. Основные положения диссертации опубликованы в 15 работах.

Заключение диссертации по теме «Твердотельная электроника, радиоэлектронные компоненты, микро- и нано- электроника на квантовых эффектах», Самохвалов, Алексей Владимирович

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации, которые одновременно являются положениями, выносимыми на защиту:

• Впервые получено точное решение уравнения Лондонов, описывающее тороидальный вихрь Абрикосова (вихревое кольцо) в сверхпроводниках второго рода и подробно изучены свойства таких вихрей.

• Изучены условия стабилизации кольцевых вихрей в неоднородном сверхпроводнике и обоснована возможность существования устойчивых вихревых колец с размерами порядка глубины проникновения магнитного поля.

• Исследованы механизмы разрушения сверхпроводимости второго рода внешним током в цилиндрическом проводнике произвольного радиуса, связанные с образованием и движением вихрей Абрикосова в форме кольца или петли. Выполнены расчеты критического тока и сформулирован простой критерий возникновения резистивного состояния и диссипации в сверхпроводящем проводе, применимый и к системам с размерами сравнимыми с глубиной проникновения магнитного поля.

• В лондоновском приближении рассчитана структура полей и токов, создаваемых вихревым полукольцом, расположенным у плоской поверхности сверхпроводника второго рода. Детально исследована структура полей рассеяния, и изучена их роль в формировании поверхностного энергетического барьера.

• Изучена аналогия между относительным движением решеток вихрей в МС сверхпроводниках и поведением обычного джозефсоновского перехода. Показано, что в МС сверхпроводниках имеют место эффекты аналогичные стационарному и нестационарному эффектам Джозефсона без каких-либо определяемых длиной когерентности £ ограничений на геометрические размеры МС системы.

• Показано, что при относительном движении решеток вихрей в магнитосвя-занных сверхпроводящих пленках возникает эффективная генерация электромагнитного излучения. Частота собственного электромагнитного излучения из

МС сверхпроводников зависит от пространственного периода вихревых решеток и скорости относительного движения вихрей, что означает возможность перестройки частоты излучения внешним магнитным полем и током.

В заключение автор считает своим приятным долгом поблагодарить своего руководителя кандидата физико-математических наук В.А.Козлова за поддержку и интерес к работе. Автор благодарен также кандидату физико-математических наук А.С.Мельникову за ценные советы и обсуждение полученных результатов.

Чтобы вычислить величину магнитного поля в центре ВН воспользуемся распределением магнитного поля Ну(р,г) в тороидальном вихре Абрикосова, определяемым выражением (1.12). Легко убедиться, что при р = ру, г = О подинтегральная функция в (1.12) спадает очень медленно, что соответствует логарифмической расходимости магнитного поля в центре ВН. Для оценки значения магнитного поля Ну(ру, 0) выделим медленно спадающую часть подинтегральной функции

Используя асимптотическое разложение функции Бесселя (£) для ( >> 1 можно получить следующее поведение функции 3(д,р): со в[д(р-ру)} 5т(2дру) 5(<7,р)~- ,---для д > тах{1, 1/ру, 1/р). жру^1 + д2 кдрь

А.1)

Первое слагаемое в (А.1) приводит к логарифмической расходимости выражения (1.12), если р —> г —» 0, т.к. оо соз[д(р - р„)] V 1 + Я

А.2) где Ко{() — функция Макдональда. Как обычно следует ограничить значение последнего интеграла на расстояниях £ от центра ВН, полагая \р — рУ \ = £/А в (А.2), что приводит к следующему выражению для магнитного поля Ну0 = Ну(ру, 0): о

Я^(ЯРь)1 эт (2дру ж дру

А.З)

Новая подинтегральная функция в (А.З) спадает как д"2, что обеспечивает хорошую сходимость интеграла в выражении (А.З).

Аналогично следует поступать и в том случае, если использовать формулу (1.13) для определения поля Ну0. Используя асимптотические ряды для модифицированных функций Бесселя 1\(() и К\(С) при С ^ 1 можно получить следующее выражение для поля Нуо:

Фо

Д2

Нуд — щдх) з

2тг 16тг р1

А-4) оо ^ ] ¿Я 1г(р^1+Я2)КЛр^1+Я2)

2руЛД16^(1 +я2)3/2.

Отметим, что последнее слагаемое в (А.4) пренебрежимо мало при ру < 1.

Выразим спектральную функцию Sv(q,u) (2.19) через вспомогательную функцию wqu(z), удовлетворяющую следующему неоднородному дифференциальному уравнению с нулевыми начальными условиями: w"qu ~ ^w'qu - (1 + Ч2)Щи = - sin (uz), (B.l) u(O) = «v(0) = 0.

Записывая для уравнения (B.l) функцию Грина, можно получить следующее частное решение:

Z wqu(z) = zKi(zy/l + q2) j dy án{uy)h{y\Jl + q2) o z

-zh{zy/l + q2) J dy sin (uy)I<1(y^/l+^2). (B.2) o

Используя табличный интеграл; oo f 7TU dy Ki(ay) sin (uy) o

2 aVa2 + и получим следующую связь между спектральной функцией и вспомогательной функцией и>чи(г): ! ^ . ™ру!1(руу/1 + д2) , .

•М?, и) = ги^ру) + —, ,--(В.З)

2у 1 + «?2 VI + <72 + и2

Таким образом, чтобы вычислить значение функции Бу(д,и) при произвольных q и и можно решить дифференциальное уравнение (В.1) на интервале г (Е и подставить полученное значение тчи(ру) в (В.З). Данная методика вычисления спектральной функции Бу^^и) особенно эффективна для-больших ^ 1, поскольку позволяет использовать хорошо известные методы решения задачи Коши для дифференциальных уравнений вместо вычисления несобственных интегралов от быстро осциллирующих функций.

Рассмотрим некоторые ассимтотики спектральной функции ^(д,и).

Учитывая в (В.2), что эт (ирь) ~иру при иру < 1, и подставляя полученное выражение в (В.З), легко записать для. к, <С 1 спектр 5щ(<7,и) в виде (2.21,2.22). Чтобы изучить поведение спектра ¿"„(д, и) в другом предельном случае больших значений ? и и, заменим подинтегральную функцию в (2.19)

Д(?,и) = 8Ш (иу) { У < (в 4)

IНРЪ^Т+ФШУ^Г^), У > Ру на функцию

0{д,и) ~ ш^)/!^/! + д^К^р^! + д2) ехр (—\у - рп\у/1 + д2). (В.5)

Можно убедиться, что при ру\/1 + д2 > 1 функции (В.4) и (В.5) с хорошей точностью совпадают всюду, за исключением области у\/Т+ д2 <С 1. Подставляя функцию (В.5) в интеграл (2.19) получим

2Ру^1 + д2Ь(Р^1 + д2)1<1{р^1 + д2)

1 + д2 + и2 х эт иру + и ехр (-ру\] 1 + д2)

Легко видеть, что для рул/1 + д2 >> 1 (В.6) переходит в выражение (2.20).

В.б)

Скалярный потенциал 17р дипольного момента Р = расположенного в плоскости г = 0, как показано на вставке к рис. 19 описывается хорошо известным выражением : иР = РЯ = (х2 + у2 + г2)1,2^>ру. (С.1)

Представим потенциал 17р в виде разложения в двумерный интеграл Фурье по пространственным гармоникам оо +оо

1}р = — J йцехтр^х) J ¿иехр(гиу)3р(д,и,г). (С.2) оо —оо оо +оо — У ехр (—гдж) J ¿у ехр (—ту) 17р(х, у, г). (С.З) оо —оо

Подставляя 17р (С.1) в разложение (С.З) получим следующее выражение для спектральной функции ¿р:

2 гР Т /

8р = --и J со8 «) К0(д ^ + С2), (С.4) о где Ко(С) — функция Макдональда. Используя известный интеграл оо с соз(и()к0(дф^+с)

7Г ехр {—2\/д2 + и2) о \/ ч г и2 можно получить: и ехр (—г\ а2 + и1)

3Р(д,щг) = -гР---(С.5)

V? + и

Таким образом, поведение потенциала /7р, создаваемого дипольным моментом Р, на больших расстояниях от поверхности 3 И, >> ру определяется следующим выражением:

О Г) • I \ г Г , . Г , кап га иР = — / — 1 ^

7Г ] О и з1п (ну) Iи --= ехр (—гуд2 + и2). (С.6) о уд2 + и2

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Самохвалов, Алексей Владимирович, 1998 год

Список литературы

1. А. А. Абрикосов, О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы, ЖЭТФ 32, 1442-1452 (1957).

2. А. А. Абрикосов, Основы теории металлов, Наука, Москва (1987).

3. Д. Сан-Жам, Г. Сарма, Е. Томас, Сверхпроводимость второго рода, Мир, Москва (1970).

4. Н. Ullmaier, Irreversible properties of type-IIsuperconductors, Springer-Verlag, Berlin, (1975).

5. G. Blatter, M. V. Feigel'man, V. B. Gershkenbein, A. I. Larkin, V. M. Vinokur, Vortices in high-temperature superconductors, Rev. Mod. Phys., 66, No.4, 11251388 (1994).

6. А. Кемпбел, Дж. Иветс, Критические токи в сверхпроводниках, Мир, Москва (1975).

7. В. D. Josephson, Phys. Lett. 1, 251 (1962).

8. В. В. Шмидт, Г. С. Мкртчян, Вихри в сверхпроводниках второго рода, УФН 112, 459-490 (1974).

9. Е. Н. Brandt, The flux-line lattice in superconductors, Rep. Prog. Phys. 58, 14651594 (1995).

10. Y. Yeshurun, A. P. Malozemoff, A. Shaulov, Magnetic relaxation in high-temperature supeconductors, Rev. Mod. Phys. 68, 911-949 (1996).

11. К. K. Likharev Superconducting weak linksRev. Mod. Phys. 51, 101-159 (1979)

12. H. K. Moffat t, The energy spectrum of knots and links, Nature, 347, 367-369 (1990).

13. M. Atiyah, Quantum physics and the topology of knots, Rev. Mod. Phys., 67, 977981 (1995).

14. A. T. Winfree, Persistent tangleg vortex rings in generic excitable media, Nature, 371, 233-236 (1994).

15. D. S. Fisher, M. P. A. Fisher, D. Huse, Thermal fluctuations, quenched disorder,phase transitions, and transport in type-II superconductors, Phys. Rev. В 43, 130-159 (1991).

16. J. Friedel, J.Phys.:Condens.Matter 1, 7757 (1989).

17. Z. Tesanovic, Low-magnetic-field critical behavior in strongly type-IIsuperconductors, Phys. Rev. В 51, 16204-16210 (1995).

18. G. F. Williams, Roton excitations in high-Tc supeconductors, Physica В 194-196, 1415-1416 (1994).

19. A. K. Nguyen and A. Sudbo, Onsager loop transition and first-order flux-line lattice melting in high-Tc superconductors, Phys. Rev. В 57, 3123-3143 (1998).

20. R. T. Collins, Z. Schlesinger, F. Holtzberg, C. Feild, U. Welp, G. W. Crabtree, J. Z. Liu, and Y.Fang, Dynamical properties of a high-Tc superconductor: Direct evidence for non-BCS behavior, Phys. Rev. В 43, 8701-8704 (1991).

21. D. van der Marel, M. Bauer, E. H. Brandt, H.-U.Habermeier, D. Heitmann, W. Konig, and A. Wittlin, Infrared observation of two-fluid superconductivity in УВа2С11з07_х, Phys. Rev. В 43, 8606-8009 (1991).

22. G. Caineiro, Vortex-loop fluctuations and vortex-line-lattice melting in layered superconduc Physica С 183, 360-364 (1991).

23. G. Caineiro, Influence of vortex-loop fluctuations on equilibrium properties of layered superconductors., Phys. Rev. В 45(5),2391-2402 (1992); ibid 45(5),2403-2408 (1992)

24. N. Morozov, E. Zeldov, and D. Majer, M. Konczykowski, , Paramagnetic а с susceptibility at the first-order vortex-lattice phase transition, Phys. Rev. В 54, R3784-R3787 (1996).

25. A. K. Nguyen, et al., Phys. Rev. Lett. 77, 1592 (1996).

26. M. Тинкхам, Введение в сверхпроводимость, Атомиздат, Москва (1980).

27. F. London, Superfluids, 1, New York, London (1950).

28. P. П. Хюбенер, Структуры магнитных потоков в сверхпроводниках, Машиностроение, Москва (1984).

29. F. В. Silsbee, J. Wash. Acad. Sci. 6, 597 (1916).

30. H. London, Proc. Roy. Soc. (London) A152, 650 (1935).

31. C. J. Gorter, Physica 23, 45 (1957).

32. А. Ф. Андреев, О разрушении сверхпроводимости током, ЖЭТФ 54, 1510-1519 (1968).

33. P. W. Anderson, Theory of flux creep in hard superconductors, Phys. Rev. Lett. 9, 309-311 (1962).

34. J. Bardeen and M. J. Stephen, Theory of the motion of vortices in superconductors, Phys. Rev. A 140, 1197-1207 (1965).

35. JI. П. Горькое, H. Б. Копнин, Движение вихрей и электросопротивление сверхпроводников второго рода в магнитном поле, УФН 116, 413-448 (1975).

36. М. Tinkham, Flux motion and resistance in high-temperature superconductors, Physica В 169, 66-71 (1991).

37. S. H. Moffat, R. A. Hughes, and J. S. Preston, Quantum fluctuations in current-carrying thin films of YBa2Cu307_5, Phys. Rev. В 55, R14741-R14744 (1997).

38. К. К. Лихарев, Образование смешанного состояния в плоских сверхпроводящих пленках, Изв.Вузов Радиофизика, 14, 919-925 (1971).

39. И. М. Дмитренко, Резистивное состояние широких сверхпроводящих пленок и линии проскальзования фазы, ФНТ 22, 849-869 (1996).

40. A. Andronov, I. Gordion, V. Kurin, I.Nefedov, and I. Shereshevsky, Kinematic vortices and phase slips lines in the dynamics of the resistive state of narrow superconductive thin film chanels, Physica С 213, 193-199 (1993).

41. I. Aranson, M. Gitterman, and B. Ya. Shapiro, Motion of vortices in thin superconducting strips, J. Low Temp. Phys. 97, 215-228 (1994).

42. I. Aranson, V. Vinokur, Surface instabilities and vortex transport in current-carrying superconductjrs, Phys. Rev. В 57, 3073-3083 (1998).

43. В. I. Halperin, D. R. Nelson, Resistive transition in superconducting films, J. Low Temp. Phys. 36, 599-616 1979.

44. S. Q. Chen, W. J. Skocpol, and E. DeObaldia, M. O'Malley, P. M. Mankiewich, Two-and three-dimensional flux unbinding in УВа2Сиз07 thin films at small magnetic fields, Phys. Rev. В 47, 2936-2939 (1993).

45. В. А. Козлов, А. В. Самохвалов, Замкнутые вихри Абрикосова в сверхпроводниках второго рода, Письма в ЖЭТФ 53, 150-153 (1991).

46. V .A. Kozlov, А. V. Samokhvalov, Closed Abrikosov vortices in a superconducting cylinder, Physica С 213, 103-108 (1993).

47. Yu. A. Genenko, Relaxation of magnetic vortex rings in superconducting cylinder: some universal features, Physica С 215, 343-349 (1993).

48. В. Ф. Хирный, В. П. Семиноженко, А. А. Козловский, Ю. А. Гринченко, Обнаружение и исследование свойств круговых вихревых колец в ВЬ.бРЬо^БггСагСизОу сверхпроводниках II рода с током, ФНТ 20, 774-777 (1994).

49. W. Wang, Х.-Х. Yao, Static Josephson Effect in Circularly Symmetric Annular Junction, J. Low Temp. Phys. 71, 463-482 (1988).

50. Q. H. Wang, W. Wang, X.-X. Yao, Soliton return effect in an annular Josephson junction and nonzero minimum voltage and current in the current step, J. Appl. Phys. 71, 1014-1019 (1992).

51. W. Wang, A. L. Thomson, X.-X. Yao, I-V characterictics of a circularly symmetric annular Josephson junction, Phys. Rev. В 43, 2756-2765 (1991).

52. Q. H. Wang, X.-X. Yao, Dynamics of rotationally symmetric solutions in the near-SG held model with application to the fluxon motion in a large area Josephson junction: a collective-coordinate description, Phys. Lett. A 171, 327-334 (1992).

53. Q. H. Wang, W. Wang, X.-X. Yao, Size effect in circularly symmetric annular Josephson junctions and the role of an applied magnetic field junctions, Phys. Rev. В 46, 1173011736 (1992).

54. Q. П. Wang, X.-X. Yao, Circularly symmetric £uxon generation in annular Josephson junctions, Phys. Rev. В 48, 6334-6341 (1993).

55. E. Б. Коломейский, Вихревые кольца и диссипация в сверхпроводниках второго рода, ЖЭТФ 100, 301-306 (1991).

56. С. В. Иорданский, Об образовании вихрей в сверхтекучей жидкости, ЖЭТФ 48, 708-714 (1965).

57. J. S. Langer and М. Е. Fisher, si Intrinsic critical velocity of a superfluid, Phys. Rev. Lett. 19 560-563 (1967).

58. Э. Б. Сонин, УФН 137, 267 (1982).

59. H. Jiang, Y. Huang, H. How, S. Zhang, and C. Vittoria, A. Widom, D. B. Chrisey, and J. S. Horwitz, R. Lee, Observation of ultrahigh critical current densities in high-Tc superconducting bridge constructions, Phys. Rev. Lett. 66 1785-1788 (1991).

60. S. Tahara, S. M. Anlage, J. Halbritter, C.-B. Eom, D. K. Fork, Т. H. Geballe, and M. R. Beasley, Critical current, pinning and edge barriers in narrow YBa2Cu307_s thin films, Phys. Rev. В 41, 11203-11208 (1990).

61. H. Koppe, The current carrying capacity of a hard superconducting wire in zero external field, Phys. Stat. Solidi 17, K229-K232 (1966).

62. C. P. Bean, Phys. Rev. Lett. 8, 250 (1962).

63. M. V. Indenbom, Th. Schuster, H. Kuhn, H. Kronmuller, T. W. Li, A. A. Menovsky, Observation of current strings in Bi2Sr2CaCii208 single crystals, Phys. Rev. В 51, 15484-15491 (1995).

64. V. К. Vlasko-Vlasov, U. Welp, G. W. Grabtree, and D. Gunter, V. Kabanov and V. I. Nikitenko, Meissner holes in supeconductors, Phys. Rev. В 56, 5622-5630 (1997).

65. В. С. Горбачев, С. Е. Савельев, Нелокальные эффекты в модели критического состояния, ЖЭТФ 107, 1247-1268 (1995).

66. G.D'Anna, Meissner-like responce of type-II superconductirrs in the mixed state, Phys. Rev. Lett. 76, 1924-1927 (1996).

67. V. A. Kozlov, A. V. Samokhvalov, Stabilization of toroidal Abrikosov vortex in a nonuniform superconductor, J. of Supercond. 6, 63-68 (1993).

68. L. Burlachkov, A. E. Koshelev, V. M. Vinokur, Transport properties of high-temperature superconductors: Surface vs bulk effect, Phys. Rev. В 54, 6750-6757 (1996).

69. С. P. Bean and J. D. Livingston, Surface barrier in type-II superconductors, Phys. Rev. Lett. 12, 14-16 (1964).

70. J. R. Clem, R. P. Huebener and D. E.Gallus, Gibbs free-energy barrier against irreversible magnetic flux entry into a superconductor, J. Low Temp. Phys. 12, 449477 (1973).

71. E. Zeldov, A. I. Larkin, V. B. Geshkenbein, M. Konczykowsi, D. Majer, B. Khaykovich,

V. M. Vinokur, and H.Shtrikman Geometrical Barriers in high-temperature superconductoi Phys. Rev. Lett. 73, 1428-1431 (1994).

72. I. L. Maksimov, Edge pinning and critical-state structure in thin superconducting films, Europhys. Lett. 32, 753-758 (1995).

73. L. Burlachkov, V. В. Geshkenbein, A. E. Koshelev, A. I. Larkin, V. M. Vinokur, Giant flux creep through surface barriers and the irreversibility line in high-temperature superconductors, Phys. Rev. В 50, 16770-16773 (1994).

74. В. С. Горбачев, С. Е. Савельев, Поверхностные эффекты в нелокальной модели критического состояния, ЖЭТФ 109, 1387-1404 (1996).

75. В. П. Галайко, Образование вихревых зародышей в сверхпроводниках второго рода, ЖЭТФ 50, 1322-1326 (1966).

76. А. В. Самохвалов, Поверхностный барьер для вихревой петли в сверхпроводниках второго рода, ЖЭТФ 108, 1091-1104 (1995).

77. А. V. Samokhvalov, Vortex loops entry into type-II superconductors, Physica С 259, 337-348 (1996).

78. Yu. A. Genenko, A. V. Snezhko, P. Troche, and J. Hoffmann, H. C. Freyhardt, Magnetic self-field entry into a current-carrying type-II superconductor. III. General criterion of penetration for an external field of arbitrary direction, Phys. Rev. В 57, 1164-1172 (1998).

79. В. В. Петухов, В. Р. Чечеткин, Скорость проникновения магнитного потока в сверхпроводники второго рода, ЖЭТФ 65, 1653-1657 (1973).

80. А. Е. Koshelev, Thermally activated penetration of magnetic flux through a surface barrier in high-Tc superconductors, Physica С 191, 219-223 (1992).

81. A. E. Koshelev, Surface barrier in the mixed state of type-II superconductors near equilibrium, Physica С 223, 276-282 (1994).

82. В. В. Шмидт, О критическом токе в сверхпроводящих пленках, ЖЭТФ 57, 2095-2106 (1969).

83. R. P. Huebener, R. Т. Kampwirth and J. R. Clem, Meissner shielding currents and magnetic flux penetration in thin-film superconductors, J. Low Temp. Phys. 6, 275285 (1972).

84. V. G.Kogan, Pearl's vortex near the film edge, Phys. Rev. В 49, 15874-15878 (1994).

85. И.М.Гордион, Проникновение вихрей в цилиндрический SNS-проводник с током, СФХТ 5, 1993-1998 (1992).

86. Yu. A. Genenko, Magnetic self-field entry into a current-carrying type-II superconductor, Phys. Rev. В 49, 6950-6957 (1994).

87. А. V. Samokhvalov, The Onsager-Feynman mechanism of vortex creation in a current-carrying superconducting cylinder, Conference Handbook of LT21 Prague p.97 (1996); Czechoslovak Journal of Physics 46, Suppl.S2,903-904 (1996).

88. R. Mulet and E. Altshuler, Bean-Livingston barriers in ideal type-II superconductors hollow cylinders, Physica С 252, 295-302 (1995).

89. Ю. А. Гененко, Вихревой геликоид в сверхпроводящем цилиндре в продольном магнитном поле. Письма в ЖЭТФ 59, 807-811 (1994).

90. Ю. А. Гененко, Спиральная неустойчивость продольного магнитного вихря в токонесущей тонкой пленке сверхпроводника , Письма в ЖЭТФ 62, 411-416 (1995).

91. Yu. A. Genenko, Magnetic self-field entry into a current-carrying type-II superconductor. II. Helical vortices in a longitudinal magnetic held, Phys. Rev. В 51, 3686-3695 (1995).

92. J. Pearl, Current distribution in superconducting films carrying quantized fluxoids, Appl. Phys. Lett. 5, 65-66 1964.

93. J. Pearl, J. Appl. Phys. 37, 4139 1966.

94. V. G. Kogan, A. Yu. Simonov, and M. Ledvij, Magnetic field of vortices crossing a superconductor surface, Phys. Rev. В 48, 392-397 (1993).

95. О. Fritz, M. Wulfert, H. J. Hug, H. Thomas, H.-J. Guntherodt, Magnetic Field and Order parameter of an anisotropic type-II superconductor with an isolated flux line, Phys. Rev. В 47, 384-389 (1993).

96. J. Bonevich, D. Capacci, K. Harada, H. Kasai, T. Matsuda, R. Patti, G. Pozzi, A.Tonomura, Measurement of London penetration depth from holographic images of superconducting vortices: The influence of specimerit thickness, Phys. Rev. В 57, 1200-1205 (1998).

97. I. Giaever, Magnetic coupling between two adjacent type-II superconductors, Phys. Rev. Lett. 15, 825-827 (1965).

98. I. Giaever, Flux pinning and flux-flow resistivity in magnetically coupled superconducting films, Phys. Rev. Lett. 16, 460-462 (1966).

99. P. R. Solomon, Voltage associated with the coupled motion of flux in type-I superconductors. Phys. Rev. Lett. 16, 50-52 (1966).

100. P. R. Solomon, Flux Motion in Type-I Superconduction, Phys. Rev. 179, 475-485 (1969).

101. P. E. Cladis, R. D. Parks, J. M. Daniels, Phase Incoherence in the dc superconducting transformer, Phys. Rev. Lett. 21, 1521-1524 (1968).

102. J. R. Clem, Theory of magnetically coupled type-II superconducting films, Phys. Rev. В 9, 898-911 (1974).

103. A. Gilabert, I.K. Schuller, V.V. Moshchalkov and Y. Bruynseraede, New Josephson-like effect in a supeconducting transformer, Appl. Phys. Lett. 64, 2885-2887 (1994).

104. V. A. Kozlov, A. V. Samokhvalov, The simulation of the high frequency response of the magnetically coupled type-II superconducting films, M2S-HTSC IV Conference, Grenoble, France, Abstracts&Program, p.75 (1994); Physica С 235-240, 2011-2012 (1994).

105. V. A. Kozlov, A. V. Samokhvalov, The generation of millimeter waves by the flux motion in the magnetically coupled type-II superconducting films, Conference Digest: 94 IR&MM Waves; The 19 International conference on Infrared and Miillimeter Waves, p.27-28 (1994).

106. В. А. Козлов, А. В. Самохвалов, Электромагнитное излучение при движении вихрей в магнитно-связанных сверхпроводящих пленках, ЖЭТФ 113, 1319-1338 (1998).

107. М. D. Sherrill Fluxon Coupling in Dual Thin Films, Phys. Rev. В 7, 1908-1912 (1973).

108. J. R. Manson, M. D. Sherrill, Fluxons in dual thin films, Phys. Rev. В 11, 1066-1069 (1975).

109. J. R. Clem, Theory of the coupling force in magnetically coupled type-II superconducting films, Phys. Rev. В 12, 1742-1752 (1975).

110. J. W. Ekin, B. Serin , J. R. Clem, Magnetic coupling in superposed type-II superconducting films, Phys. Rev. В 9, 912-917 (1974).

111. J. W. Ekin, J. R. Clem, Magnetic coupling force of the superconducting dc transformer, Phys. Rev. В 12, 1753-1765 (1975).

112. M. D. Sherrill, W. A. Lindstrom, Superconducting dc transformer coupling, Phys. Rev. Bll, 1125-1130 (1975).

113. Т. Ре, М. Benkraouda, and J. R. Clem, Magnetic coupling of two-dimensional pancake vortex lattices in a Unite stack of thin superconucting films with transport currents in the two outermost layers, Phys. Rev. В 55, 6636-6643 (1997).

114. Т. Ре, M. Benkraouda, and J. R. Clem, Model calculations for the current-voltage characteristics of moving two-dimensional pancake pancake lattices in a finite stack of thin superconucting thin films with transport currents in the top layer, Phys. Rev. В 56, 8289-8297 (1997).

115. R. Kleiner, P. Muller, Intrinsic Josephson effects in high-Tc superconductors, Phys. Rev. В 49, 1327-1341 (1994).

116. D. Lopez, E. Rodriguez, G. Nieva, F. de la Cruz and S. W. Cheong, Three-dimensional vortex flow in LSCO and YBCO through pseudo dc flux transformer measurements, Physica В 194-196, 1977-1978 (1994).

117. H. Safar, P. L. Gammel,D. A. Huse,S. N. Majumdar, L. F. Schneemeyer, D. J. Bishop, D. Lopez, G. Nieva, and F. de la Cruz, Observation of a nonlocal conductivity in the mixed state of YBa2Cu307_5: Experimental evidence for a vortex line liquid, Phys. Rev. Lett. 72, 1272-1275 (1994).

118. M. Rapp, A. Murk, R. Semerad, and W. Prusseit, c—Axis conductivity and intrinsic Josephson effects in YBa2Cu307_«, Phys. Rev. Lett. 77, 928-931 (1996).

119. Yu. Eltsev, W. Holm, and 0. Rapp, Transition from intact to short decoupled vortices in the vortex liquid of YBa2Cu307-5, Phys. Rev. В 49, 12333-12336 (1994).

120. Yu. Eltsev and 0. Rapp, Vortex liquid in single-crystal YBa2(Cui-xFex)307-s of varying anisotropy, Phys. Rev. В 51, 9419-9422 (1995).

121. К. К. Uprety and D. Dominguez, Simple model for the dc flux transformer in layered superconductors with Josephson coupling, Phys. Rev. В 51, 5955-5964 (1995).

122. П. Де Жен, Сверхпроводимость металлов и сплавов, Мир, Москва (1968).

123. И. М. Дубровский, О геликоидальной неустойчивости прямолинейного вихря Абрикосова в анизотропном сверхпроводнике, ЖЭТФ 111, 1869-1878 (1997).

124. А. Бароне, Дж. Патерно, Эффект Джозефсона: физика и применение, Мир, Москва (1984).

125. V. A. Kozlov, А. V. Samokhvalov, Closed Abrikosov vortices: structure, excitation and collapse, M2S-HTSC IV Conference, Grenoble, France, Abstracts&Program, p.90 (1994).

126. А.В.Самохвалов, Тороидальные вихри Абрикосова в сверхпроводниках второго рода, Вторая Нижегородская сессия молодых ученых, Тезисы докладов, Нижний Новгород, с.44 (1997).

127. А. V. Samokhvalov, Expanding vortex rings in a current-carrying superconducting cylinder, Physica С, направлена в печать.

128. E. H. Brandt, Fluctuation, "melting", depinning, creep and diffusion of the flux-line lattice in high-Tc superconductors, Physica В 169, 91-98 (1991).

129. Б. И. Ивлев, Н. Б. Копнин, УФН 142, 435- (1984).

130. Jl. М. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля, Наука, Москва (1988).

131. В. D. Josephson, Supercurrents throught barriers, Adv. Phys. 14, 419-451 (1965).

132. B. D. Josephson, Potential difference in the mixed state of type-II superconductors, Phys. Lett. 16, 242-243 (1965).

133. P. Фейман, Статистическая механика, Мир, Москва (1972), с.355.

134. Г. С. Мкртчан, Ф. Р. Шакирзянова, Е. А. Шаповал, В. В. Шмидт, Взаимодействие вихря с границей раздела двух сверхпроводников, ЖЭТФ 63, 667-669 (1972).

135. А. V. Samokhvalov, Abrikosov vortex loop near the surface of superconductor, M2S-HTSC V Conference, Beijing, China, p.Ill (1997); Physica С 282-287, 2163-2164 (1997).

136. В. В. Schwartz, Dissipation in type-Пsuperconductors via thea.c. Josephson effect, Phys. Lett. 20, 350-351 (1966).

137. И. О. Кулик, ЖЭТФ 50, 1617 (1966).

138. A. Т. Fiory, Quantum interference effects of a moving vortex lattice in A1 Elms, Phys. Rev. Lett. 27, 501-503 (1971).

139. K. Lee, G. Park, L. E. Amatuni, and K. Y. Constantinian, Microwave properties of high-Tc YiBa2Cu30y superconducting bridges on Y2BaCu05 substrates, J. Appl. Phys. 74, 1448-1450 (1993).

140. K. Lee, I. Iguchi, S. Lee, and G. Park, Behavior of high-Tc У!Ва2Си3Оу superconducting bridges in a microwave field, Physica С 221, 254-260 (1994).

141. A. Schmid and W. Hanger, J. Low Temp. Phys. 11, 667 (1973).

142. P. Martinoli, 0. Daldini, C. Leemann, and E. Stocker, A.C. quantum interference in superconducting films with periodically modulated thickness, Solid State Commun. 17, 205-209 (1975).

143. E. Rosseel, M. Van Bael, M. Baert, R. Jonckheere, V.V. Moshchalkov and Y. Bruynseraede, Depinning of cages interstitial vortices in superconducting а — WGe films with an antidot lattice, Phys. Rev. В 53, R2983-R2986 (1996).

144. JI. Э. Аматуни, А. А. Ахумян, К. И. Константинян и др., Собственное электромагнитное излучение ВТСП тонкопленочных мостиковых структур, Письма в ЖЭТФ 50, 355-358 (1989).

145. L. Е. Amatuni, К. Y. Constantinian, R. В. Hayrapetian, G. A. Ovsyannikov, V. N. Laptev, V. I. Makhov, Self-radiation phenomena in LTSC and HTSC bridges, IEEE Trans.

on Magnetics 27, 2724-2727 (1991).

146. J. Konopka and G. Jung, Emission of microwaves from d.c.-biased Y — Ba — Cu — 0 thin films, Europhys. Lett. 8, 549-553 (1989).

147. J.R. Clem, Flux-flow noise in superconductors, Phys. Reports 75, 1-55 (1981). Phys. Rev. В 1, 2140 (1970);

148. P. Martinoli, 0. Daldini, C. Leemann, B. Van den Brandt, Josephson oscillation of a moving vortex lattice, Phys. Rev. Lett. 36, 382-385 (1976).

149. К.К.Лихарев, Введение в динамику джозефсоновских переходов, Наука, Москва (1985), с.47.

150. J.R. Clem, Simple model for the vortex core in a type II superconductor, J. Low Temp. Phys. 18 427-434 (1975).

151. К. К. Лихарев, Б. Т. Ульрих Системы с джозефсоновскими контактами. Основы теории, Моск. ун-т, Москва (1978), с.22.

152. S. Han, В. Bi, W. Zhang, and J.E. Lukens, Appl. Phys. Lett. 64, 1424 (1994).

153. J. M. Roberts, B. Brown, B. A. Hermann, et al., Phys. Rev. В 49, 6890 (1994).

154. L. Antognazza, B.H. Moeckly, Т.Н. Geballe, at al., Phys. Rev. В 52, 4559 (1995).

155. J.R. Clem, B. Bumble, S.I. Raider, W. J. Gallagher, and Y. C. Shih, Ambegaokar-Baratoff-Ginzburg-Landau crossover effects on the critical current density of granular superconductors, Phys. Rev. B, 35, 6.637-6641 (1987).

156. N. Gronbech-Jensen, M.R. Samuelsen, Long range magnetic interaction between Josephson junctions, Phys. Rev. Lett., 74, 170-173 (1995).

157. V.P. Koshelets, A. Shchukin, and I.L. Lapytskaya, Phys. Rev. B, 51, 6536 (1995).

158. N. Thyssen, H. Kohlstedt, and A.V.Ustinov, Experimental study of flux flow and resonant modes in multi-junctions Josephson stacks, in 1996 Applied Superconductivity Conference, Pittsburg (1996), p.132.