Компьютерное моделирование процессов спиновой динамики в магниторазбавленных твердых телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Деменев, Алексей Геннадьевич

• Деменев, Алексей Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Деменев, Алексей Геннадьевич

Оглавление

Введение

1. Обзор: численное моделирование спиновой динамики

1.1. Введение

1.2. Основные трудности численного моделирования спиновой динамики

1.3. Классификация основных микроскопических моделей

1.4. Моделирование квантовых многочастичных систем

1.5. Спиновые кластеры

1.6. Пространственно регулярные спиновые системы

1.7. Пространственно неупорядоченные спиновые системы

1.8. Выводы

2. Моделирование динамики двух- и трехспиновых кластеров, связанных диполь-дипольным взаимодействием

2.1. Введение

2.2. Пара спинов в постоянном основном и медленно меняющемся слабом дополнительном внешних магнитных полях

2.3. Тройка спинов в постоянном внешнем магнитном поле. Разделение медленных и быстрых переменных

2.4. Результаты численного моделирования

2.5. Выводы

3. Компьютерное моделирование динамики системы многих спинов, связанных диполь-дипольным взаимодействием

3.1. Введение

3.2. Постановка задачи

3.3. Теория и .метод

3.4. Реализация метода

3.5. Результаты численного моделирования

3.5.1. Временные автокорреляционные функции системы спинов, связанных диполь-дипольным взаимодействием

3.5.2. Поперечная временная автокорреляционная функция системы спинов, связанных анизотропной частью диполь-дипольного взаимодействия (модель Андерсона)

3.6. Выводы

Заключение

Литература

Приложение

Приложение 1. Результаты статистической обработки автокорреляторов суммарного магнитного момента, полученных в ходе моделирования низкоконцентрированной системы спинов, связанных диполь-дипольным взаимодействием

Приложение 2. Результаты статистической обработки поперечных автокорреляционных функций, полученных в ходе моделирования низкоконцентрированной системы спинов, связанных диполь-дипольным взаимодействием 11-5 Приложение 3. Результаты статистической обработки продольных автокорреляционных функций, полученных в ходе моделирования низкоконцентрированной системы спинов, связанных диполь-дипольным взаимодействием 117 Приложение 4. Результаты прямой оценки погрешности поперечной автокорреляционной функции, полученной в ходе моделирования низкоконцентрированной системы спинов, связанных анизотропной частью диполь-дипольного взаимодействия (модель Андерсона)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Компьютерное моделирование процессов спиновой динамики в магниторазбавленных твердых телах»

Введение

Актуальность проблемы. Без преувеличения можно сказать, что в настоящее время математическое моделирование стало одним из важнейших методов в научных исследованиях. Разработка эффективных методов математического моделирования для решения встающих перед исследователями проблем способствует ускорению научно-технического прогресса. Численное статистическое моделирование, используемое в данной работе, является одним из важнейших видов математического. Методы численного статистического моделирования находят в настоящее время широкое применение для решения различных математических задач физики, механики, химии, биологии, кибернетики. Расширение области статистического моделирования связано с быстрым развитием вычислительной техники и особенно многопроцессорных вычислительных систем, которые позволяют одновременно моделировать много независимых статистических экспериментов.

Компьютерное моделирование во многом дополняет натурный эксперимент. Дело в том, что при непосредственном сравнении теории с экспериментом часто бывает трудно разделить влияние тех или иных приближений и ошибок, связанных с выбором неудачной модели. Сравнивая результаты машинного эксперимента с данными натурного эксперимента, можно проверить, насколько хорошо мо-

дельная система описывает реальную систему. Компьютерное моделирование существенно дополняет теоретические подходы тем, что сравнивая результаты расчетов для выбранной модельной системы с результатами, полученными аналитически статистическими методами, можно оценивать влияние приближений, использованных при аналитических исследованиях. Поэтому несомненно важно иметь хорошо разработанную методологию применения вычислительной техники для математического моделирования.

Данная работа посвящена разработке и применению методологии компьютерного моделирования в спиновой динамике, обширной области проблем, связанных с эволюцией спиновых систем под воздействием внешних полей и внутренних (спин-спиновых) взаимодействий (см., например, обзор [2]). Спиновая динамика является важной частью магниторезонансной спектроскопии, дающей обширную информацию о физических, химических и биологических процессах в конденсированных средах (см., например. [22, 23, 25, -52, 54]).

Спин (понятие, пришедшее из квантовой механики) — аналог классического момента количества движения микроскопической частицы — атома, иона, атомного ядра и др. В микромире наличие спина у частицы всегда сопровождается наличием магнитного момента. В физике магнитных явлений, частью которой является спиновая динамика, понятие "спин" по-существу отождествляется с понятием "магнитный момент".

В современных технологиях широко применяются магниторазбав-ленные твердые тела. Например, они используются как рабочие вещества для мазеров и лазеров, ядерных мишеней в ускорителях и так далее. Типичный представитель таких объектов — это кристалли-

ческий или аморфный образец, содержащий хаотически распределенные парамагнитные примеси: ионы, ядра, свободные радикалы. При исследовании биологический процессов в ткани специально вводятся "спиновые метки", изучение спиновой динамики дает обширную информацию о процессах химической кинетики и так далее. В качестве параметра разбавленности спиновой системы для кристаллического образца обычно используется безразмерная концентрация / = N/Nu, т.е. отношение числа спинов N к общему числу узлов решетки Ntll потенциально им доступных.

Магнитные свойства твердого — кристаллического или аморфного — магнетика с малой концентрацией магнитных центров являются традиционным объектом изучения (см., например, [2, 24, 26. 28, 5, 7, 45]). Однако, остаются неисследованными многие разделы теории спиновой динамики таких систем, связанные с процессами установления равновесия в низкоконцентрированных спиновых системах. Существующие аналитические методы теоретического анализа не дают возможности исследовать процессы спиновой динамики на временах, представляющих интерес для экспериментальных методов и приложений. В таких системах имеет место иерархия величин спин-спиновых взаимодействий, определяющих процессы спиновой динамики, в очень широком диапазоне значений. Эти взаимодействия, определяющие процессы спиновой динамики, образуют квазинепрерывный ряд значений, порожденный хаотическим распределением магнитных центров.

Теоретическое исследование упирается в необходимость построения многоспиновых корреляционных функций, что аналитическими методами строго сделать не удается, а полуфеноменологические мето-

ды не допускают точного учета последствий делаемых приближений. В аналогичной ситуации в случаях высококонцентрированных или пространственно регулярных спиновых систем имитационное моделирование дало ценную дополнительную информацию (см., например, [12, 13]). В случае низкоконцентрированных систем, однако, прямое использование методов, применявшихся для высококонцентрированных систем, невозможно,и разработка альтернативного метода является безусловно актуальной.

Целями данной работы являются:

• разработка метода компьютерного моделирования спиновой динамики в магниторазбавленных твердых телах;

• реализация этого метода в виде модульной программы для ЭВМ;

• использование разработанного метода для изучения нескольких фундаментальных процессов спиновой динамики.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения.

В первой главе проводится обзор существующих методов численного моделирования спиновой динамики и очерчивается область применимости разных методов, выявляются их сравнительные возможности. Продемонстрированы успехи использования этих методов для решения задач физики магнитных явлений в твердых телах.

Из проведенного анализа следует, что, несмотря на значительные достижения, в компьютерном моделировании спиновых систем существует ряд практически важных нерешенных проблем. Одной из них, находящейся в центре данной диссертации, является созда-

ние эффективных методов численного компьютерного моделирования пространственно неупорядоченных спиновых систем с низкой концентрацией хаотически распределенных магнитных центров.

Во второй главе сформулированы принципы предложенного метода моделирования спиновой динамики низкоконцентрированных спиновых систем с хаотическим распределением спинов и описано исследование динамики малоспиновых кластеров, которой во многом определяется динамика обсуждаемых систем с низкой концентрацией магнитных центров, случайным образом распределенных по образцу.

Метод в целом состоит в следующем. Для приготовления модельного образца генерируется случайное распределение спинов при заданной концентрации. Для отделения быстрых переменных от медленных классифицируются спиновые кластеры, производится их ранжирование в группы по величинам внутрикластерных взаимодействий. Для приготовления начального состояния генерируется случайное распределение ориентаций спинов. Для того, чтобы можно было обоснованно интегрировать уравнения для быстрых и медленных переменных с разными шагами, проводится сглаживание системы уравнений движения (УД) для спинов, записанных в квазиклассическом пределе. Для сглаживания в уравнениях для медленных переменных усредняются значения быстрых на шаге интегрирования медленных. Проводится численное интегрирование сглаженной системы УД, вычисляются целевые макровеличины. Для термодинамического усреднения целевых макровеличин расчеты повторяются много раз с разными начальными состояниями. Для конфигурационного усреднения расчеты повторяются для разных модельных образцов.

Моделирование динамики малых кластеров предпринято в первую

очередь для верификации метода. Вначале была решена в первом порядке теории возмущений квантовая задач для двухспинового кластера (взаимодействие между спинами — диполь-дипольное, квантовое число 5 = 1/2), находящегося в сильном постоянном и слабом переменном магнитных полях. Получены аналитические выражения для зависимости от времени проекций суммарного магнитного момента системы. Показано, что ¿-проекция суммарного магнитного момента спинового кластера является квазиинтегралом движения, а х- и ^/-проекции осциллируют с квазичастотами порядка константы межчастичного взаимодействия.

Этот результат положен в основу численного моделирования динамики трехспинового кластера в квазиклассическом пределе: спиновое квантовое число 5 —>• оо, постоянная Планка Тг —>■ 0, причем ^сопя^ УД решаются численно методом Дормана-Принса (типа Рунге-Кутта 5-го порядка) для заданных констант взаимодействия и начальных ориентаций спинов. Для системы с двумя временными масштабами эволюции — сильно взаимодействующая пара и отдель-ныи спин — был применен как метод лобового моделирования, так и предложенный нами метод, позволяющий отделить быстрые движения от медленных и проводить интегрирование УД с различными шагами для быстрых и медленных переменных. Сравнением результатов тестовых расчетов по вышеупомянутому методу и контрольному была показана работоспособность предложенного метода. Это явилось основанием для его последующего распространения на системы не только с двумя, но и со многими временными масштабами эволюции.

В третьей главе описаны методика и результаты моделирования

многоспиновых систем с низкой концентрацией магнитных центров. Был разработан метод компьютерного эксперимента, сочетающий молекулярную динамику и метод Монте-Карло, позволяющий отделить быстрые движения от медленных, используя кластерное разложение. Метод реализован в виде программы на языке Гог1гап-77 для системы спинов, равновероятно распределенных в кубическом образце; минимальное расстояние между спинами фиксировано. Используя данный метод удалось рассчитать временные спиновые автокорреляционные функции для аморфного тела с малой примесью парамагнетика.

Уверенность в работоспособности данного метода значительно укрепилась после использования его для изучения динамики спиновой системы, в которой известно точное аналитическое решение'. Обнаружилось практическое совпадение форм поперечной автокорреляционной функции для модели Андерсона, полученной в ходе компьютерного моделирования и рассчитанной по точной аналитической формуле.

Вычисления по данному методу легко распараллеливаются. Во-первых, компьютерный эксперимент может проводиться параллельно на разных компьютерах с разными пространственными конфигурациями. Во-вторых, можно параллельно интегрировать уравнения движения с разными начальными условиями при заданной пространственной конфигурации. В-третьих, вычисления при интегрировании системы уравнений легко векторизуются. Т.е. при реализации метода можно эффективно использовать вычислительную технику с параллельной обработкой данных. Это позволяет рекомендовать данный метод, при соответствующей адаптации, для исследования других пространственно нерегулярных систем.

Проведенное численное исследование дает предсказание поведения

спада свободной индукции, поперечного и продольного автокоррелятора на средних временах, что делает возможной в рамках натурного эксперимента проверку адекватности модели классических спинов, связанных диполь-дипольным взаимодействием, для описания спиновой динамики в конкретных материалах. Примененный метод компьютерного моделирования позволяет находить и другие макроскопические спиновые функции для магниторазбавленных твердых тел.

Это исследование дает возможность оценить обоснованность сделанных предположений и область применимости полуфеноменологических теорий,, позволяющих получить аналитические выражения для основных временных корреляционных функций, описывающих процессы спиновой динамики в магниторазбавленных твердых телах.

Научная новизна результатов.

В диссертационном исследовании получены следующие новые результаты.

1. Разработан метод численного исследования временной эволюции магниторазбавленных спиновых систем с квазинепрерывным рядом временных масштабов элементарных процессов.

2. Создан и верифицирован метод компьютерного моделирования спиновой динамики с низкой концентрацией хаотически распределенных магнитных центров.

3. Компьютерное моделирование вышеуказанным методом позволило исследовать несколько фундаментальных процессов спиновой динамики в магниторазбавленных твердых телах на временах, представляющих практический интерес и недоступных аналитическим методам.

Научная и практическая значимость.

Созданный метод исследования процессов спиновой динамики в системах с низкой концентрацией случайным образом распределенных магнитных центров может быть использован для моделирования многих процессов, представляющих интерес в физике твердого тела и в других областях науки (химической кинетике, исследовании биологических процессов и т.д.).

Результаты, полученные в ходе компьютерного моделирования по созданному методу, дали важную для теории магнитного резонанса и ее приложений информацию о процессах спиновой динамики, обусловленных магнитными диполь-дипольными межчастичными взаимодействиями в магниторазбавленных твердых телах на временах, недоступных иным методам. Эта информация наряду с той, которая получается при аналитическом исследовании указанных систем, позволяет создать полную теорию формы линии магнитного резонанса, спин-решеточной релаксации, процессов установления равновесия в средах, широко используемых в современных технологиях.

Компьютерная программа, созданная в ходе реализации метода, может быть использована для моделирования временной эволюции иных пространственно-нерегулярных многочастичных систем, динамика которых определяется межчастичными взаимодействиями.

На защиту выносятся:

• метод компьютерного моделирования спиновой динамики в низкоконцентрированных магниторазбавленных твердых телах;

• результаты расчета временных спиновых корреляционных функций низкоконцентрированного парамагнетика, полученные с помощью компьютерного моделирования, определяющие характер

длинновременных процессов установления равновесия;

• метод и результаты компьютерного моделирования трехспино-вой системы — двухспиновый кластер и отдельный спин, связанных диполь-дипольным взаимодействием;

• результаты математического моделирования динамики квантовой двухспиновой системы с диполь-дипольным взаимодействием спинов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

• Международном конгрессе " Computer Systems and Applied Mathematics (С.-Петербург, 1993);

• Межрегиональной научно-технической конференции "Математическое моделирование систем и явлений" (Пермь, 1993 г.);

• Международной конференции "Математическое моделирование процессов обработки материалов" (Пермь, 1994 г.);

• Международном конгрессе AMPERE — Magnetic Resonance and Related Phenomena (Казань, 1994 г.);

• Молодежной научной школе "Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений" (Казань, 1998 г.);

• физическом семинаре "Радиоспектроскопия" Пермского государственного университета;

• общефизическом семинаре Пермского государственного университета;

• семинаре кафедры "Моделирование в науке и технике1' Пермского государственного технического университета;

• объединенном семинаре кафедр информатики и ВТ, теоретической физики Пермского государственного педагогического университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в

6-ти следующих работах.

1. Деменев А. Г. Компьютерное моделирование процессов спиновой динамики в твердых телах с низкой концентрацией магнитных центров // Магнитный резонанс в твердых телах. Труды Молодежи, научн. школы "Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений" 3-6 ноября 1998 г., Казань. Под ред. проф. Жихарева В.А. КФТИ КНЦ РАН. Изд-во Хэтер,-1998 г. С.75-76.

2. Деменев А. Г. Компьютерное моделирование спиновой динамики в магниторазбавленных твердых телах. //Математическое моделирование. Т.8. N8. 1996. С.47-56.

3. A.G. Demenev, Е.К. Henner. Computer Simulation of Spin Dynamics in Magnetically Dilute Solids // Magnetic Resonance and Related Phenomena. Ext. Abstracts of the XXVIIth Congress AMPERE. Kazan, 1994, v.l, p. 196-197.

4. Деменев А. Г. О методе компьютерного моделирования спиновой динамики в магниторазбавленных твердых телах. //Математическое моделирование процессов обработки материалов. Тез. докл. междун. конф. Пермь: ПГТУ, 1994. С.19.

5. Деменев А. Г., Хеннер Е. К. Метод численного моделирования спиновой динамики в магниторазбавленных твердых телах // Радио-

спектроскопия, вып.21., Перм. ун-т, Пермь, 1993, с.6-16.

6. Деменев А. Г., Хеннер Е. К. Компьютерное моделирование спиновой динамики пространственно нерегулярных твердых тел. //Математическое моделирование систем и явлений. Тез. докл. Меж-региональн. научн.-техн. конф. Секц. 1, 2. Пермь: ПГТУ, 1993. С.135-136.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Деменев, Алексей Геннадьевич

3.6. Выводы

Из сравнения результатов, полученных в рамках модели Андерсона в ходе численного моделирования вышеописанным методом, с точны

Pue Д8.

Поперечная автокорреляционная функиия в молели Анлерсона н о

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

•

N. • 0 8

10 t, D ми, полученными аналитически, можно сделать следующий вывод. Метод статистического моделирования, разработанный и использованный в данной работе, успешно прошел проверку на работоспособность в описании нерегулярных спиновых систем с низкой концентрацией парамагнитных центров.

Из сравнения результатов, полученных для системы спинов, связанных диполь-дипольным взаимодействием, с полученными из точно решаемой модели Андерсона, можно сделать следующий вывод. На малых временах поведение спада свободной индукции неплохо описывается моделью Андерсона, т.е. следует ожидать, что крылья линии магнитного резонанса лоренцовы. Но уже на средних временах порядка нескольких Д~! заметно существенное отличие спада свободной индукции от обычной экспоненты в сторону корневой. Т.е. модель Андерсона заведомо хуже описывает центральную часть линии магнитного резонанса.

Проведенное сравнение результатов компьютерного моделирования с предсказаниями полуфеноменологических теорий позволило достоверно доказать, что формы спада свободной индукции и поперечной автокорреляционной функции уже на временах t > Е 1 довольно неплохо описываются корневой экспонентой. Описание простой экс-понентой пригодно лишь на временах t < Е \

Форма спада свободной индукции Fx(t), полученная в ходе компьютерного моделирования системы спинов, связанных диполь-дипольным взаимодействием, соответствует результатам ряда натурных экспериментов с разбавленными парамагнетиками (см. например, [4-5]).

Заключение

Сформулируем кратко основные результаты данной диссертации. 1. Разработан метод компьютерного моделирования процессов спиновой динамики магниторазбавленных низкоконцентрированных спиновых систем. Метод использует кластерное разложение для отделения быстрых процессов от медленных, усреднение быстрых переменных с учетом иерархии временных масштабов, существующей в исследуемой системе. Метод реализован в виде модульной программы для ЭВМ на языке Гог1:тап-77.

2. Метод верифицирован двумя способами: применением к простой трехспиновой системе, имеющей два масштаба эволюции, для которой возможно получение численного решения с произвольной точностью и без данного метода, и применением к многочастичной системе в рамках модели Андерсона, имеющей точное аналитическое решение.

3. Метод применен к исследованию спиновой динамики низкоконцентрированной системы хаотически распределенных спинов при реальном (диполь-дипольном) взаимодействии. Вычислялись поперечные и продольные временные автокорреляционные функции, представляющие интерес в приложениях спиновой динамики. Проведенное сравнение результатов компьютерного моделирования с предсказаниями полуфеноменологических теорий позволило достоверно доказать, что формы спада свободной индукции и поперечной автокорреляционной функции уже на временах t > Е"1 описываются корневой экспонентой.

Проведенное исследование дает возможность оценить обоснованность сделанных предположений и область применимости полуфеноменологических теорий, позволяющих получить аналитические выражения для основных временных корреляционных функций, описывающих процессы спиновой динамики в магниторазбавленных твердых телах.

В данной работе основные усилия были направлены не столько на решение прикладных задач, сколько на создание нового метода исследования и всестороннюю проверку его работоспособности. В спиновой динамике существует ряд проблем, которые практически не исследованы в деталях, а имеющиеся экспериментальные факты не нашли достоверного объяснения (см., например, [2]). Эти проблемы группируются вокруг изучения установления равновесия — задачи общефизического значения. Те полуфеноменологические методы и модели, которые используются в теории формы линии и продольной релаксации, к анализу указанных проблем либо неприменимы вообще, либо последствия их применения невозможно проконтролировать. Корреляционные функции, возникающие в теории установления равновесия, с помощью развитого в данной работе метода могут быть найдены не менее эффективно, чем те, которые исследованы выше. Однако компьютерные ресурсы, необходимые для изучения длинно-временной динамики и расчета сложных корреляторов, требуются существенно большие, чем использованы в данной работе и доступны в настоящее время ее автору (хотя и вполне реальные).

На протяжении лет работы над проблемами, обсуждаемыми в диссертации, автор сотрудничал с рядом людей, выражение благодарности которым является его приятным долгом. Хочется выразить искреннюю признательность Е.К. Хеннеру, под научным руководством которого была выполнена эта работа, за благожелательное внимание и помощь на протяжении всех этих лет. Автор благодарен И.В. Каганову и Ф.С. Джепарову за постоянное внимание, проявляемое к данной работе, и обсуждения ее результатов, что оказало очень сильное стимулирующее воздействие. Автор выражает признательность за внимание и помощь на начальном этапе работ В.К. Хеннеру и Т.С. Белозеровой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Деменев, Алексей Геннадьевич, 1999 год

Литература

[1] Anderson P. W. Theory of Paramagnetic Resonance Line Breadth in Diluted Crystals// Phvs.Rev. 1951. V.82. P.342-354.

[2] Atsarkin V.A. Spin Dynamics of Paramagnetic Impurities in Solids// Magn. Reson. Rev., 1991, v.16, No. 1. p. 1-33.

[3] Banerjee V., Dattagupta S. The effect of disorder oil the relaxational properties of a quantum spin glass// Physica A, Vol. 224, 1996. P.226-231.

[4] Chen S., Ferrenberg A. M., Landau D. P. Multi-Hit Swedsen-Wang Monte-Carlo Algorithm// in Computer Simulation Stadies in Condenced-Matter Physics IV. Springer Proceedings in Physics. Vol. 76 /Eds.: D. P. Landau, Iv. K. Mon, H. B. Shiitler. SpringerVerlag Berlin Heidelberg, 1993. p.210-214.

[5] Grant W. G. C., Strendberg W. G. P. Line Shapes of Paramagnetic Resonance of Cromium in Ruby// Phvs. Rev. 1964. V.135. N3A. P.A727-A739.

[6] A.G. Demenev, E.K. Henner. Computer Simulation of Spin Dynamics in Magnetically Dilute Solids// Magnetic Resonance and Related Phenomena. Ext. Abstracts of the XXVIIth Congress AMPERE. Kazan, 1994, v.l, p. 196-197.

[7] Dzheparov F.S., Henner E.K. Magnetic Resonance in Magnetically Diluted Solids at Low Temperatures// Phys. Stat. Sol. (b). 1989. V.151, No.2. P.663-674.

[8] Drabolt D. A, Fedders P. A. Dipolar broadening in magnetically diluted lattices// Phys. Rev. B.,Vol.37, 1988. P.3440-3447.

[9] Fahy S. Ground-State Projection with Auxiliary Fields: Imaginary-Time and Simulation-Time Dynamics// In Computer Simulation Stadies in Condencecl-Matter Physics IV. Springer Proceedings in Physics, Vol. 76 /Eds.: D. P. Landau, K. K. Mon, H. B. Shiitler. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1993. P.122-134.

[10] Fye R. M. Simulating Spin-Fermion Systems: Kondo Lattice Results// in Computer Simulation Staclies in Condencecl-Matter Physics IV. Springer Proceedings in Physics, Vol. 72 /Eels.: D. P. Landau, Iv. Iv. Mon, H. B. Shiitler. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1993. p. 115-130.

[11] Klenin M. A., Blame M. Computer Experiment on the Dilute Three-Dimensional Heisenberg Magnet: Infinite Temperature// Phys. Rev. B, Vol. 14, No. 1, 1976. p. 235-240.

[12] lensen S. J. KHansen E. K. Dynamics of Classical Spins with Dipolar Coupling in a Rigid Lattice at High Temperatures// Phys. Rev. B., Vol. 13, No. 5, 1976. P.1903-1918.

[13] lensen S. J. K. , Platz 0. Free-Induction Decay Shapes in Dipolar-Coupled Rigid Lattice of Infinit Nuclear Spins// Phys. Rev. B, 1973, v.14, N 1, p. 31-37.

[14] Makivic M.. Jurrell M. Dynamics of Two-Dimensional Quantum Spin Systems// Computer Simulation Stadies in Conclenced-Matter Physics V. Springer Proceedings in Physics, Vol. 75 /Eds.: D. P. Landau, Iv. Iv. Mon, H. B. Shiitler. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1993. P.80-93.

[15] McMillan W. L. //Phys. Rev. A. — 1965. - Vol. 138. — P.442.

[16] Ogielski A. T. Dynamics of three-dimensional Ising glasses in thermal equilibrium// Phys.Rev. B. - 1985. - Vol. 32. — P.7384-7398.

[17] Rieger H. Aging in disordered systems// Physica A, Vol.224, 1996. P.267-278.

[18] Selke W. Monte Carlo Simulations of Dilute Ising Models// in Computer Simulation Stadies in Condenced-Matter Physics IV. Springer Proceedings in Physics, Vol. 72 /Eds.: D. P. Landau, Iv. K. Mon, H. B. Shiitler. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1993. P. 18-26.

[19] Stcmffer D. Ising-Model Relaxation as Testing Ground for Modern Computers// In Computer Simulation Stadies in Condenced-Matter Physics IV. Springer Proceedings in Physics, Vol. 76 /Eds.: D. P. Landau, Iv. Iv. Mon, H. B. Shiitler. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1993. p.5-17.

[20] Stinchombe R. B. Stochastic non-equilibrium systems and quantum spin models// Physica A, Vol.224, 1996. P.248-253.

[21] Wang F.. Suzuki M. Time-evolution of damage in the Ising model// Physica A, Vol.223, 1996. P.31. 49.

[22] Абрагам А.. Блини Б. Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов. — М.: Мир, — 1972, т.1, 651 е.. т.2, 349 с.

[23] Абрагам А., Гольдман М. Ядерный магнетизм: порядок и беспорядок. М.: Мир, 1984. Т.1., 300 е., т.2, 360 с.

[24] Авагян Э. В.. Ацаркин В. А., Васнева Г. А. Исследование спиновой динамики в магниторазбавленном кристалле методом усиленной восприимчивости// ЖЭТФ. 1983. Т.85. С.1790-1800.

[25] Александров И. В. Теория магнитной релаксации. М.: Наука, 1975. 399 с.

[26] Алътшулер С. А., Козырев Б. М. Электронный парамагнитный резонанс, М.: Наука, 1973. 672 с.

[27] Ацаркин В. А. Динамическая поляризация ядер в твердых диэлектриках. М.: Наука, 1980, 195 с.

[28] Ацаркин В. А., Васнева Г. А., Делшдов В. В. Спиновые пакеты и спектральная диффузия в магниторазбавленной системе с ди-польным взаимодействием// ЖЭТФ. 1986. Т.91. С.1523-1535.

[29] Белозерова Т. С.. Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Пермь, 1996 г.

[30] Белозерова Т. С., Хеннер Е. К. Дипольные спиновые стекла: моделирование методом Монте-Карло// Физ. тверд, тела. 1984. Т.26. N1. С.83-88.

[31] Боголюбов Н. Н., Митрополъский Ч. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 503 с.

[32] С.Л.Гинзбург С.JI. Необратимые явления в спиновых стеклах.-М.: Наука, 1989, 149 с.

[33] Гребенников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.- 256 с.

[34] Деменев А. Г. Компьютерное моделирование спиновой динамики в магниторазбавленных твердых телах// Математическое моделирование. Т.8. N8. 1996. С.47-56.

[35] Деменев А. Г. О методе компьютерного моделирования спиновой динамики в магниторазбавленных твердых телах// Математическое моделирование процессов обработки материалов. Тез. докл. междун. конф. Пермь: ПГТУ, 1994. С. 19.

[36] Деменев А. Г., Хеннер Е. К. Метод численного моделирования спиновой динамики в магниторазбавленных твердых телах// Радиоспектроскопия, вып.21., Перм. ун-т, Пермь, 1993, с.6-16.

[37] Деменев А. Г., Хеннер Е. К. Компьютерное моделирование спиновой динамики пространственно нерегулярных твердых тел// Математическое моделирование систем и явлений. Тез. докл. Межрегиональн. научн.-техн. конф. Секц. 1, 2. Пермь: ПГТУ, 1993. С. 135-136.

[38] Джепаров Ф. С. Кластерные разложения для задач спиновой динамики в неупорядоченных парамагнетиках // Современные методы ЯМР и ЭПР в химии твердого тела. Черноголовка, 1990, с. 77-79. Extended Abstracts of 26th Congress AMPERE. Athens, 1992. P..380.

[39] Джепаров Ф. С., Каганов И. В.. Хеннер Е. К. Спиновая динамика в твердых низкоконцентрированных парамагнетиках: Препринт ИТЭФ 49-96, М.: ИТЭФ, 1996, - 20 с.

[40] Джепаров Ф. С., Лундин А. А., Хазанович Т. Н. Форма линии магнитного резонанса в магнито-разбавленных твердых телах с пространственной корреляцией и неоднородным уширением// ЖЭТФ. 1987. т.92, N0. 2. С.554-568.

[41] Джепаров Ф.С., Хеннер Е. К. Классификация и регуляризация спин-спиновых взаимодействий в магниторазбавленных твердых телах// ЖЭТФ, 1993, т.104, с.36667-3692.

[42] Джепаров Ф. С., Хеннер Е. К. Магнитный резонанс в магниторазбавленных твердых телах при низких температурах// ЖЭТФ. 1989. Т.96, N5. С.1844-1862.

[43] Займан Дж. Модели беспорядка. М.: Мир, 1982.- 672 с.

[44] Каганов И. В. Спиновая динамика в низкоконцентрированных парамагнетиках// Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Пермь: ПГУ, 1998 г.- 90 с.

[45] Лебедев Я. С., Муромцев В. И. ЭПР и релаксация стабилизируемых радикалов. М.: Химия, 1978.

[46] Левитан Ю.Л., Соболь И. М. О датчике псевдослучайных чисел для персональных компьютеров// Математическое моделирование, т.2, N 8, 1990, с.119-123.

[47] Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980. 304 с.

[48] Методы Монте-Карло в статистической физике/ Под ред. К.Биндера - М.:Мир, 1982, 400 с.

[49] А. Найфэ. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984, 53-5 с.

[•50] Основы моделирования и первичная обработка данных. Справ, изд./ Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. - М: Финансы и статистика, 1983. — 471 с.

[51] Салихов К. М., Семенов А. Г., Цветков Ю. Д. Электронное спиновое эхо и его применение. Новосибирск: Наука, 1976, 342 с.

[52] Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса. — М.: Мир, 1981.- 448 с.

[53] Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990, 512 с.

[54] Хеберлен У., Меринг М. ЯМР высокого разрешения в твердых телах. М.: Мир, 1980.

[55] Хеннер Е. К. Метод локального эффективного поля в численном моделировании неупорядоченных систем: дипольные спиновые стекла// ФТТ. 1984. т.26, N9. С.2779-2784.

[56] Хеннер Е. К. Спиновая динамика в магниторазбавленных твердых телах при низких температурах// Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Пермь, 1990 г.- 312 с.

[•57] Хеннер Е. К. Термодинамика квазиравновесной низкотемпературной магниторазбавленной спиновой системы// Физ. тверд, тела. 1988. Т.ЗО. N9. С.2569-2575.

[58] Хеннер В. К., Хеннер Е. К. Статистическая теория спектральной плотности корреляционной функции продольных компонент спинов в магниторазбавленных твердых телах// Физ. тверд, тела. 1990. Т.32. N3. С.859-866.

[59] Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 544 с.

[60] Эрнст Р., Боденхаузен Дж., Вокаун А. ЯМР в одном и двух измерениях. М.: Мир, 1982.