Корреляционные функции случайных точечных процессов, связанных с бесконечной симметрической группой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат физико-математических наук Бородин, Алексей Михайлович

• Бородин, Алексей Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бородин, Алексей Михайлович

Введение

Глава 1. Корреляционные функции — общий подход (теорема Б)

§0. Постановка задачи

§1. Предварительные сведения

§2. Теорема Б

§3. Метод

§4. Правило Мурнагана-Накаямы

§5. Упрощение проблемы моментов

§6. Три операции над обобщенными функциями

§7. Решение упрощенной проблемы моментов

§8. Существенные структуры

§9. Доказательство теоремы 2.1 (теоремы Б)

§10. Отсутствие кратностей

Глава 2. Детерминантнал структура корреляционных функций, ядро Уиттекера (теоремы А и В)

§1. Общий формализм (теорема В)

§2. Спетральные меры тг и процессы Т'г

§3. Распределение 1\ (г, з)

§4. Ядро Уиттекера (теорема А)

Глава 3. Мультипликативные распределения на графе Шура (теорема Д)

§1. Введение

§2. Граф Шура. Планшерелевское распределение

§3. Мультипликативные распределения. Существование

§4. Мультипликативные распределения. Единственность

Typeset Ьу Лд^-ТеХ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Корреляционные функции случайных точечных процессов, связанных с бесконечной симметрической группой»

Рассмотрим множество разбиений натурального числа п, или, что то же самое, множество диаграмм Юнга с п клетками, и обозначим его через ¥„. Диссертация посвящена изучению случайных точечных процессов, являющихся пределами некоторых вероятностных распределений на множествах ¥п при п —>■ оо.

Вероятностные распределения на Yn, т.е. случайные разбиения или диаграммы Юнга, рассматривались с разных точек зрения многими авторами, см., например, [4], [5], [7], [8], [9], [11], [12], [13], [17], [24], [29], [32], [33], [34], [35].

В асимптотических задачах для случайных разбиений часто выполняется закон больших чисел: почти все разбиения большого числа п оказываются асимптотическими одинаковыми, что приводит к предельным кривым (работы Логана-Шеппа [35], Вершика-Керова [4], [7] о росте диаграмм Юнга, распределенных по мере Планшереля). Менее изучены ситуации, когда закона больших чисел нет, и предельным объектом является мера с бесконечномерным носителем.

Именно такая ситуация и рассматривается в диссертации: предельная мера определена на некотором пространстве локально конечных точечных конфигураций и, тем самым, может интерпретироваться как случайный точечный процесс. Наиболее известным примером точечного процесса, возникающего из случайных разбиений, является процесс Пуассона-Дирихле. С разных точек зрения им занимались многие авторы: Вершик-Шмидт [8], [9], Ювенс [24], Уоттерсон [43], Гриффите [26], [27], Питман [39], [40], Кингман [33], [34], и др. Точечные процессы, изучаемые в диссертации, оказываются значительно сложнее, чем процесс Пуассона-Дирихле.

Рассматриваемые в диссертации точечные процессы возникли в связи с работой Вершика, Керова и Ольшанского [31] о гармоническом анализе на бесконечной симметрической группе.

Пусть Sin) — симметрическая группа степени n, 5(оо) = Un>i5'(n) — бесконечная симметрическая группа, состоящая из финитных перестановок натуральных чисел. Введем обозначения

G = S{оо) х S{oo), К = diagS(oo) = {(д,д) eG\ge S(co)} С G. Пара (G, К) является парой Гельфанда [36]. Несложно показать, что регулярное представление Тгед группы G в пространстве i2(S(оо)), заданное формулой

Treg(g,h)f)(x) = ¡(g-'xh), неприводимо (это следует из того, что все классы сопряженности группы S(оо), не содержащие единицу, бесконечны). Этот факт резко контрастирует с ситуацией для конечных и компактных групп, где разложение регулярного представления на неприводимые играет исключительно важную роль.

В 1993 году А. М. Вершик, С. В. Керов и Г. И. Ольшанский [31] предложили конструкцию "обощенных регулярных представлений" Tz группы G, параметризуемых комплексным параметром z. При z —V оо эти представления аппроксимируют стандартное регулярное представление, описанное выше. Представления Tz для конечных г оказываются приводимыми. Нашей основной задачей будет описание разложения обобщенных регулярных представлений на неприводимые.

Мы следуем [31] в описании конструкции этих представлений ниже.

Предложение (Theorem 1.1, [31]). Существует единственное отображение рп : S(n) -» S(n — 1), коммутирующее с двусторонним действием группы S(n — 1) на S(n) и S(n — 1).

Отображения^ называются каноническими проекциями. Определим проективный предел X = proj lim ^(гг) относительно этих проекций. Это компактное топологическое пространство, содержащее 5(оо) как всюду плотное подмножество. Элементы пространства X называются виртуальными перестановками.

Правое действие группы G = 5(оо) х ,5(оо) на S(oo) может быть продолжено до непрерывного действия группы G на пространстве X виртуальных перестановок.

Для всякого t > 0 обозначим через /if вероятностную меру на S(n) такую, что /и?({ж}) = гДе через [ж] обозначено число циклов перестановки х Е S(n), t)n = t(t + 1). (t + п — 1) — символ Похгаммера. При t = 1 эта мера совпадает с равномерной вероятностной мерой на S(n).

Предложение (Theorem 1.3, [31]). Зафиксируем t > 0. Тогда Pnil^t) = для всех п = 1,2,. Таким образом, существует вероятностная мера = proj lim/i" на X. Мера fj,t является К-инвариантной и G-квазиинвариантной.

Можно показать, что меры t > 0, попарно дизъюнктны (Theorem 1.4, [31]).

Действие группы G на X обладает замечательным аддитивным 1-коциклом с : X х G Z, который определяется равенством с(х,д) = \рп{хд)] — [р^(ж)], где п настолько велико, что д € G(n). Имеет место равенство fit(d(xg)) = tc^'^^{dx), t> 0, яех, geG. (1.1)

Возьмем 2 £ С \ {0} такое, что t = \z\2. Благодаря (1.1), мы можем определить унитарное представление Т2 группы G в гильбертовом пространстве % = L2(X, ¡it) формулой

Tz(g)f)(x)=f(xg)z<x^, х е X, geG, f е П. (1.2)

Определенные таким образом обобщенные регулярные представления Тг имеют предел при 2Ч0иг4оо; при г —} со представления Тг стремятся к регулярному представлению Тгед.

Обозначим через Ф выпуклое множество всех положительно определенных К-биинвариантных функций на группе (7, равных 1 в единице группы. Крайние точки множества Ф называются экстремальными сферическими функциями пары (С, К). Они находятся в естественном взаимно-однозначном соответствии с (нормированными экстремальными) характерами группы 5(оо) (см. [15]), которые, в свою очередь, параметризуются симплексом Тома О, состоящим из троек и = (а, (3,7), где см. [41], [5]. Для каждой точки и € О мы будем обозначать через фш € Ф соответствующую экстремальную сферическую функцию, и через Т(и>) — циклическое унитарное представление группы С, порожденное функцией фш. Представления Т(ш) — это в точности все неприводимые сферические унитарные представления пары Гельфанда (С, К). Каждая функция ф £ Ф единственным образом записывается в виде где m — вероятностная мера на fi, называемая спектральной мерой для ф. Эта мера также описывает разложение циклического унитарного представления, порожденного функцией ф, в прямой интеграл неприводимых представлений Т(ш).

Заметим, что в пространстве % представления Tz есть выделенный if-инвариантный вектор /о = 1. Можно показать, что этот вектор является циклическим, если и только если z (Theorems 3.2, 5.2, [31]).

Для целых г явное разложение представлений Tz на неприводимые было получено в [31]. Разложение для нецелых z является более сложной задачей. Всюду в дальнейшем мы предполагаем, что г € С \ Z.

Согласно сказанному выше, для нецелых z разложение Tz на неприводимые задается некоторой вероятностной мерой на симплексе Тома, которую мы будем обозначать через mz.

Предложение (Theorem 5.4, [31]). Спектральные меры mz сосредоточены на грани а = («1 > а2 > . > 0), /3 = (/?!> >•••> 0), 7 > 0, оо оо i=1 ¿=1 симплекса Тома.

Оказывается, что удобнее описывать не сами меры тг, а некоторую их модификацию. А именно, мы будем описывать меры тг на пространстве заданные формулой т'г = т2 ® е где 5 — параметр на полуоси К+, t = \г\2.

Поставим в соответствие каждой точке шей' локально конечную точечную конфигурацию вЕ* = 1\ {0} следующим образом:

Н- (804,8012,.,-801,-302, ■■•), где мы опускаем все нули в последовательностях а, /3. Тогда мера т'г может рассматриваться как мера на пространстве точечных конфигураций, или, согласно традиционной терминологии, как точечный случайный процесс. Мы будем обозначать этот точечный процесс через

Аналогично можно определить случайный точечный процесс Тг, отвечающий мере тг — соответствие между точками и £ ^ и точечными конфигурациями имеет вид а,(3,7) н- (аьа2,- • • • • )■

Переход от V? к Т'г есть просто умножение всех точек конфигурации на случайный независимый масштабный множитель, имеюший гамма-распределение с параметром £ = \х\2. Переход от Р' к "Рг, благодаря последнему предложению, тоже весьма прост — надо разделить все координаты точек случайной конфигурации на сумму их модулей.

Один из способов описания точечных случайных процессов — вычисление их корреляционных функций

Рп(х1,.,хп), п = 1,2,., жь . ,хп € к*.

Грубо говоря, рп{х\,., хп)(1х1 ■ • • ¿хп есть вероятность найти точку случайной конфигурации в каждом из инфинитезимальных интервалов [ж \,ху + с1ху], ., хп, хп ¿хп].

Можно показать, что процессы Vz и однозначно определяются своими корреляционными функциями, которые мы будем обозначать через т^ и соответственно, см. [37].

Функции г^ и р'п^ связаны (обратимым) интегральным преобразованием хп) = ! г тХпЗ-1) —. (1.3)

Первым основным результатом диссертации является следующее утверждение.

Теорема А ([20]). Для всякого 2 6 €\2 корреляционные функции процесса имеют вид где ядро К.(х,у) на К* задается формулами

1 А+(х)В+(у) - В+(х)А+(у)

К(х,у) =

Г(*)Г(*') х-у . л/ят-кг вт ттг' А+(х)А-(у) + I В+{х)В-(у) М х,-у) =---

7Г X + у г, х УЭИГТ^зЬТ^ А+(г/)А(ж) + ¿В+(г/)В(ж) М-•>'•?/) ------- — ~ для х, у > 0, где

7Г х + у

1 А-(х)В-(у) - В-(х)А.(у)

Г(-г)Г(- х-у

А+(ж) = 2 > (Ж)> 2

В+(х) = х~з\¥2+г>-1 * 2 ' 0), 2

А-(х) = 2 ' (х), 2

В-{х) = аГ^ТУ-,-,/-! «-«' (Ж),

Ж«, Дх) есть функция Уиттекера, г' — г, I — гг'.

Ядро 1С(х,у) мы называем ядром Уиттекера.

Корреляционные функции г^ тоже могут быть вычислены явно, однако, результат получается значительно более громоздким, см. [19].

Для доказательства теоремы А будет развит некоторый формализм, который мы описываем ниже.

Удобный метод изучения сферических функций ф £ Ф состоит в разложении сужений ф | <3(п), п — 1,2,., по экстремальным сферическим функциям конечных пар Гельфанда (С(п),К(п)) — (5(п) х 5(п), diag ¿"(п)), которые, по сути, являются неприводимыми нормированными характерами симметрических групп 5(п).

Обозначим через ¥ множество всех диаграмм Юнга и положим У„ = {Л £ У : |Л| = п}, где |Л| обозначает количество клеток диаграммы Л. Обозначим через %л неприводимый характер симметрической группы S(n), соответствующий диаграмме Л € Yra, и через dim Л — его размерность. Сопоставим каждой функции ф G Ф "распределение на графе Юнга ¥", которое является функцией М : Y —У R.4. такой, что ф I (S(n) X И) = Y, M(\)(xx/dim\), п= 1,2,. (1.4) ле¥п

Условие согласованности сужений ф на разные конечные симметрические группы имеет вид где Л е Yn, ¡jl € Yn+i, и символ ¡jl \ Л означает, что // отличается от Л добавлением одной клетки.

Из (1.5) следует, что М^ := М | ¥„ есть вероятностная мера на ¥„. Таким образом, М можно рассматривать как систему вероятностных распределений на конечных множествах Y„. Вся информация о функции ф неявным образом содержится в М. В частности, спектральная мера т может быть получена как предел мер если аппроксимировать симплекс Тома $7 множествами Yn, используя модифицированные координаты Фробениуса диаграмм Юнга, см. [30].

Для обобщенных регулярных представлений распределение М(А) может быть явно вычислено.

Предложение (Theorem 3.1, [31]). Пусть z 6 С \ {0}, t = \z\2, A G Y, n = |Л|. Тогда

Mz(\) = ((t)^-1 J] (z+j-i)(z+j-i). dim2X/n\. (1.6)

•j)e л

При г —у oo распределения Mz стремятся к распределению Плапшереля , ,,. dim2 Л

Моо(А) = (1.7)

Асимптотические свойства вероятностных распределений изучались в [35],

4], [7]. См. также обзор [18]. Вероятностные распределения являются новыми и до работы [31] в литературе не встречались.

В общей ситуации значения М(А) могут также рассматриваться как "моменты" спектральной меры т в следующем смысле.

Определим морфизм алгебры Л симметрических функций (ее определение можно найти в книге [14]) в алгебру C(Q) непрерывных функций на Q. Поскольку

Л = С[рх, р2,. ■ ■ ], где рк = — это суммы Ньютона, достаточно указать образы всех р^- Положим их равными

1, к = 1,

Рк(ш) 1 Е^Х-Е^Н*)*, к >2.

Образы функций Шура (см. [14]) при этом морфизме называются расширенными функциями Шура и обозначаются 3\ (см. [5]). Эти функции неотрицательны (см. [5], [30]).

Для всех разбиений Л имеет место равенство [5], [30],

М(Д) ( \ (А \

Для рассмотрения мер т'г нам понадобится немного более общая ситуация.

Обозначим через О, множество троек ш = (а,/?;г), где а = (а 1 > <%2 > • • ■ > о), (3 = (/?! > /?2 > •■• > 0), Т € К+ и + < т■ Мы снабжаем П слабейшей топологией, в которой аи Д и г являются непрерывными функциями. В этой топологии О локально компактно. Заметим, что О, гомеоморфно О,' = О х К+ по модулю отождествления множества ^ х {0} с одной точкой (0,0,0) € соответствующее отображение имеет вид а,/?), г) (та,г/?,т) € Й.

Определим вложение алгебры Л симметрических функций в алгебру С(11!) непрерывных функций на Достаточно указать образы всех рь Положим их равными (Л - / т' к = 1> к >2.

Образы функций Шура зд при этом вложении мы также будем называть расширенными функциями Шура и обозначать ¿'д.

Пусть Р — борелевская вероятностная мера на П, удовлетворяющая некоторым условиям, сформулированным в §1 главы 1. Поскольку & почти гомеоморфно 17', мы можем определить точечный случайный процесс V на М*, ассоциированный с мерой Р, как мы это делали для мер т'х (точные определения в §1 главы 1). Положим ф{ А)= /злИР(<Ч. (1-8)

Оказывается, можно вычислить корреляционные функции процесса V, исходя из интегралов (1.8).

Для точной формулировки результата нам понадобятся некоторые обозначения.

Обозначим через Ф(п,д 6 М) множество отображений р: {1,. ., го} —> {1,1';. ; «¿, с?'}, удовлетворяющих следующим условиям:

1) </з инъективно;

2) 1ту П {т, т'} ^ 0 для всех т = 1,., д.

Ясно, что Фп,й непусто, если и только если п/2 < с? < п.

Для всякой (обобщенной) функции Р[г\;.; г^, 5<г) от 2с? переменных и 99 Е ФП1сг определим (обобщенную) функцию (срР)(х 1,., хп) от п переменных следующим образом. Произведем следующее переименование переменных: обозначим гг через Хк, если <р(к) — г, и обозначим Sj через Хк, если <р{к) = причем проделаем это для всех г^, з], таких, что г,]' 6 1т(/5. Затем проинтегрируем Р по всем непоименованным переменным. Результат мы обозначаем через (ц>Р)(х\,., хп).

Нам будет часто удобно в дальнейшем пользоваться координатами Фробениуса для обозначения диаграмм Юнга: Л = (р1?. |д1,., ¿¡у).

Теорема Б. Пусть Р — вероятностная мера на О,, удовлетворяющая условиям (1.2) и (1.5) главы 1. Предположим, что для каждого <1 — 1,2,. существует обобщенная функция /¿(гх, . ; г^, принадлежащая классу )?2с1> определенному в начале главы 1, и такая, что

1) 1(1 ко со симметрична относительно перестановок множества (г1,.,г^) и перестановок множества (¿1,., я^);

2) зирр/й С

3) моменты 1(1 имеют вид ил1*?-"?*?) =

Ju

Тогда на множестве

ТП !(£!,.,Жп)|Д(хг-- Ж,-) 7^0 г<7 корреляционные функции процесса V имеют вид п рп{х 1.,ЖП)= \\ й>п/2 ' ^€Фп,сг где

ЯДгь^;.;^,^) = -—р--——-.

Пг=1(Гг' + 15г|)

Принадлежность обобщенных функций /¡г классам Угй, определенным в начале главы 1, обеспечивает корректность построения обобщенных функций (<рН^).

Далее, если интегралы (1.8) имеют детерминантный вид, см. ниже, то и корреляционные функции принимают детерминантный вид.

Теорема В. Во введенных выше обозначениях предположим, что для всех диаграмм Юнга А = (рх,. ,р<11 <71,.

1' и пусть существует обобщенная фунуция ^{г, в) с носителем в первом квадранте и моментами

Г1(г,з),гГз*) = ф(Ш)

Тогда корреляционные функции процесса V имеют вид где

К(х,у) = < рп(х!,.,хп) = ¿еЬ[К(Хг, Ж,-)]",■=!, f N(x,s)w(s,y)ds, %,У> О, я

Я{х,у), ж > 0, у < О, ffw(x,r)N(r,s)w(s,y)drds—w(x,y), х < О, у > О, г, в

J w(x,r)N(r,y)dr, х,У < О,

Щх, у) = 1г(х, -у), г»(х, у) = { -*+«'' * < 0' у > I), иначе.

По поводу корректности написанных выше формул см. замечание 1.2 в главе 2.

Мы покажем, что процессы "Р2, связанные с обобщенными регулярными представлениями, укладываются в изложенную общую схему, и вычисление корреляционного ядра доставляет ядро Уиттекера, приведенное в теореме А выше.

Естественно спросить, можно ли распространить теорию обобщенных регулярных представлений на другие группы. В главе 3 мы покажем, как получить проективный аналог обобщенных регулярных представлений для бесконечной симметрической группы.

Истинно-проективные представления конечных симметрических групп Я(п) и бесконечной симметрической группы б'(оо) находятся во взаимно-однозначном соответствии с обычными представлениями их двулистных накрытий 5(п) и ,5*(оо), см. [28].

Мы, однако, станем на другую точку зрения. Проективные представления группы ¿>(гг) параметризуются строгими (без повторяющихся частей) разбиениями числа п, или сдвинутыми диаграммами Юнга. Проективным аналогом сферических функций пары (Сг, К), или распределений на графе Юнга ¥, естественно считать распределения на графе Шура 3 сдвинутых диаграмм Юнга, определяемые следующим образом.

Функцию М : 8 —У К+ на множестве сдвинутых диаграмм Юнга мы будем называть распределением на графе Шура 8, если она равна 1 на пустой диаграмме, и выполнено следующее условие: для диаграммы Л с п клетками где суммирование ведется по всем сдвинутым диаграммам Юнга ц с п +1 клеткой, которые отличаются от Л одной клеткой, д" обозначает количество стандартных таблиц формы и, или, эквивалентно, количество путей в графе S, ведущих от пустой диаграммы к диаграмме Л, см. главу 3 для более детального объяснения.

Соотношение (1.9) является непосредственным аналогом условия согласования (1.5).

Из формулы (1.6) следует, что для распределений Mz на графе ¥ верно равенство

Mz{\) = Моо(Л) • П /(г,J) (ij)e л для функций f(i,j) = (z + j — %){z + j — г), g(k) = zz + к — l. Мы будем называть распределения, значения которых отличаются от планшерелевского произведением значений некоторой функции на клетках и нормировочным множителем, зависящим только от |А|, мультипликативными.

Оказывается, все мультипликативные распределения на графе Юнга имеют вид (1.10) с fihj) = {u+j - Í)(v+j - i), g(k) = uv + k-l, для некоторых параметров и и v, см. [16]. Это означает, что (если отвлечься от вырожденных случаев) мультипликативные распределения исчерпываются распределениями Mz и их "аналитическим продолжением" (т. н. дополнительная серия). Тем самым, мы получаем характеризацию распределений Mz.

Несложно выписать аналог планшерелевского распределения на графе Шура. Оно соответствует регулярному проективному представлению для бесконечной симметрической группы и имеет вид

М(А) = ^2»-«а>.(/)2, |А| = П, где /(А) — количество ненулевых частей разбиения А.

Вторым основным результатом диссертации является следующее утверждение. fe=i

1.10) и

Теорема Д ([2]). Все мультипликативные распределения на графе Шура параметризуются одним вещественным положительным параметром х. При этом функции fug имеют вид f(i,j) = U ~ i)(j ~ * + 1) + х, g(k) = 2k+ х.

Естественно считать проективные представления, соответствующие этим мультипликативным распределениям на графе Шура, проективными аналогами обобщенных регулярных представлений для бесконечной симметрической группы. Можно надеяться, что теория случайных процессов, связанных с этими представлениями, будет развита в ближайшем будущем.

Основные результаты диссертации (теоремы А и Д) были опубликованы в работах [2] и [20] (см. также недавнюю работу [3]). Позднее был найден другой подход к вычислению корреляционных функций, явно использующий предельный переход от вероятностных распределений на множествах Yn к спектральной мере на симплексе Тома О, см. [21], [22]. Этот альтернативный подход в диссертации не рассматривается, мы хотим лишь отметить, что он подтверждает естественность перехода от исходных (спектральных) мер mz на О к модифицированным мерам m'z на й': этот переход аналогичен образованию "большого канонического ансамбля", [21, §1].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бородин, Алексей Михайлович, 2000 год

1. Г. Вейтмен и А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, Москва, Наука, 1973.

2. А. М. Бородин, Мультипликативные центральные меры на графе Шура, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы (под ред. А. М. Вер-шика), Записки научных семинаров ПОМИ, 240, 44-52 (1997).

3. А. М. Бородин, Характеры симметрических групп и корреляционные функции точечных процессов, Функц. анализ и его прил. 34, вып. 1, 12-28 (2000).

4. А. М. Вершик, С. В. Керов, Асимптотика меры Планшерелл симметрической группы и предельная форма таблиц Юнга, ДАН СССР 233 (1977), 1024-1027.

5. А. М. Вершик, С. В. Керов, Асимптотическая теория характеров симметрической группы, Функц. анализ и его прил. 15, вып. 4, 15-27 (1981).

6. А. М. Вершик, С. В. Керов, Локально полупростые алгебры. Комбинаторная теория и Ко-функтор, Итоги науки. Современные проблемы математики. Новейшие достижения 26 (1985), 3-56.

7. А. М. Вершик, С. В. Керов, Асимптотика максимальной и типичной размерности неприводимых представлений симмметрической группы, Функц. анализ и его прил., 19-1 (1985), 25-36.

8. А. М. Вершик, А. А. Шмидт, Предельные меры, возникающие в асимптотической теории симметрических групп, I, Теория вероятн. и ее примен. 22 (1977), вып. 1, 72-87.

9. А. М. Вершик, А. А. Шмидт, Предельные меры, возникающие в асимптотической теории симметрических групп, II, Теория вероятн. и ее примен. 23 (1978), вып. 1, 42-54.

10. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними, Москва, Физмат, 1959.

11. В. JL Гончаров, Из области комбинаторики, Изв. АН СССР., сер. матем. 8 (1944), вып. 1, 3-48.

12. С. В. Керов, Комбинаторные примеры в теории AF-алгебр., Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика 10. Записки научных семинаров ЛОМИ, 172 (1989), 55-67.

13. В. Ф. Колчин, Случаные отображения, Москва, Наука, 1984.

14. И. Макдональд, Симметрические функции и многочлены Холла, Москва, Мир, 1985.

15. Г. И. Ольшанский, Унитарные представления (G, К)-пар, связанных с бесконечной симметрической группой S(oo), Алгебра и анализ, 1, вып. 4, 178-209 (1989).

16. Н. А. Рожковская, Мультипликативные распределения на графе Юнга, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы (под ред. А. М. Вер-шика), Записки научных семинаров ПОМИ, 240, 246-257 (1997).

17. В. Н. Сачков, Вероятностные методы в комбинаторном анализе, Москва, Наука, 1978.

18. D. Aldous and P. Diaconis, Longest increasing subsequences: from patience sorting to the Baik-Deift-Johansson theorem, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 36 (1999), no. 4, 413-432.

19. A. Borodin, Point processes and the infinite symmetric group. Part II: Higher correlation functions, Preprint, 1998, available via http://xxx.laril.gov/abs/math/9804087.

20. A. Borodin and G. Olshanski Point processes and the infinite symmetric group, Math. Res. Lett. 5 (1998), 799-816 (preprint version: http://xxx.lanl.gov/abs/math/9810015).

21. A. Borodin and G. Olshanski, Distribution on partitions, point processes, and the hypergeometric kernel, to appear in Comm. Math. Phys. (preprint version available via http://xxx.lanl.gov/abs/ math/9904010).

22. D. J. Daley, D. Vere—Jones, An introduction to the theory of point processes, Springer series in statistics, Springer, 1988.

23. W.J. Ewens,, Population Genetics Theory the Past and the Future, Mathematical and statistical developments of evolutionary theory. Proc. NATO ASI Symp. (S. Lessard, ed.), Kluwer, Dordrecht, 1990, pp. 117-228.

24. S. Fomin, Duality of Graded Graphs, J. Alg. Comb. 3 (1994), 357-404.

25. R. C. Griffiths, On the distribution of allele frequencies in a diffusion model, Theoret. Popul. Biology 15 (1979), 140-158.

26. R. C. Griffiths, On the distribution of points in a Poisson Dirichlet process, J. Appl. Prob. (1988), 336-345.

27. P. N. Hoffmann and J. F. Humpreys, Projective representations of the symmetric groups, Oxford Univ. Press, 1992.

28. S. V. Kerov, Gaussian limit for the Plancherel measure of the symmetric group, C.R. Acad. Sci. Paris, 316 (1993), 303-308.

29. S. Kerov, A. Okounkov, G. Olshanski, The boundary of Young graph with Jack edge multiplicities, Intern. Math. Res. Notices (1998), no. 4, 173-199.

30. S. Kerov, G. Olshanskii, and A. Vershik, Harmonic analysis on the infinite symmetric group. A deformation of the regular representation, C.R.Acad. Sci. Paris 316 Sériel (1993), 773-778.

31. S. V. Kerov and A. M. Vershik, The characters of the infinite symmetric group and probability properties of the Robinson Shensted - Knuth algorithm, SIAM J. of Alg. Discr. Math., 7 (1986), 116-127.

32. J. F. C. Kingman, The representation of partition strucrures, J. London Math. Soc., 18 (1978), 374-380.

33. J. F. C. Kingman, Random partitions in population genetics, Proc. R. Soc. Lond., A 361 (1978), 1-20.

34. B. F. Logan and L. A. Shepp, A variational problem for random Young tableaux, Adv. Math., 26 (1977), 206-222.

35. G. Olshanski, Point processes and the infinite symmetric group. Part I: The general formalism and the density function, Preprint, 1998, available via http://xxx.lanl.gov/ abs/math/9804086.

36. G. Olshanski, Point processes and the infinite symmetric group. Part V: Analysis of the matrix Whittaker kernel, Preprint, 1998, available via http://xxx.lanl.gov/abs/ math/9810014.

37. J. Pitman, Random Discrete Distributions Invariant Under Size-biased Permutation, University of California at Berkeley Technical Report 344 (1992), 1-17.

38. J. Pitman, The Two-parameter Generalization of Ewens' Random Partition Structure, University of California at Berkeley Technical Report 345 (1992), 1-23.

39. E. Tlioma, Die unzerlegbaren, positive-definiten Klassenfunktionen der abzahlbar unendlichen, symmetrischen Gruppe, Math. Zeitschr. 85 (1964), 40-61.

40. G. A. Watterson, The sampling theory of selectively neutral alleles, Adv. Appl. Prob. 6 (1974), 463-488.