Критические конфигурации шарнирных многоугольников и цепей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Жукова, Алена Михайловна

• Жукова, Алена Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жукова, Алена Михайловна

1 Введение

1.1 История вопроса: шарнирные механизмы.

1.2 История вопроса: шарнирные многоугольники.

1.3 История вопроса: ориентированная площадь шарнирного многоугольника

1.4 История вопроса: циклические многоугольники.

1.5 История вопроса: шарнирные цепи.

1.6 Основные результаты работы.

1.7 Обозначения.

1.7.1 Обозначения для шарнирных многоугольников

1.7.2 Обозначения для шарнирных цепей.

2 Шарнирные многоугольники

2.1 Условия типичности шарнирного многоугольника.

2.2 Локальная диагональная система координат.

2.3 Динамика морсовских точек. Вычисление знака определителя гессиана.

2.4 Вычисление индекса Морса по индукции.

2.5 Формула для индекса Морса.

2.С Локальные экстремумы шарнирных многоугольников

3 Шарнирные цепи

3.1 Формула для вычисления индекса Морса.

3.2 Локальные экстремумы шарнирных цепей.

4 Примеры

4.1 Примеры шарнирных многоугольников.

4.2 Шарнирные пятиугольники

4.3 Примеры шарнирных цепей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Критические конфигурации шарнирных многоугольников и цепей»

Данная работа посвящена исследованию критических конфигураций двух частных случаев шарнирных механизмов шарнирных многоугольников и шарнирных цепей. С одной стороны, эта тема относится к топологической робототехнике - относительно повой математической дисциплине, чье развитие сейчас весьма динамично. С другой стороны, тема тестю связана с обобщениями полинома Герона и формулы Брахмагупты - полиномами Роб б и и са-В арф о л ом еева для в п и сан, н ых мп о гоуг о л ь н и к о в.

1.1 История вопроса: шарнирные механизмы

Шарнирный механизм это граф без петель и кратных ребер, для каждого ребра которого задано положительное число - его длина. Реализацией шарнирного механизма., или его конфигурацией называется его вложение в некоторое объемлющее метрическое пространство (например, в М2). такое, что для каждого ребра длина отрезка, его реализующего, равна заданной длине ребра. При этом положение некоторых вершин может быть задало заранее. Все возможные конфигурации шарнирного механизма формируют конфигурационное пространство шарнирного механизма или его пространство модулей. Его наделяют естественной топологией, порождаемой топологией пространства. в которое вкладывается шарнирный механизм. Пространство модулей шарнирного механизма может быть довольпо сложным топологическим объектом, в частности, известно несколько примеров шарнирных механизмов с переменной размерностью пространств модулей (иными словами, с переменной степенью свободы шарнирного механизма), (см. например. |8|).

Шарнирные механизмы и их конфигурационные пространства ■ тема, давно ставшая классической. Еще в 1876 г. Альфред Кемгге в [39J сформулировал и доказал (правда, с некоторыми пробелами) первый важный теоретический результат, сейчас известный как Теорема Универсальности для шарнирных механизмов:

Теорема. Для любого пересечения алгебраической кривой с замкнутым диском на вещественной евклидовой плоскости найдется шарнирный механизм на 'плоскости, вычерчивающий эту часть :кривой. □

У. Терстон переформулировал ее как "теорему о подписи": Для каждой подписи существует шарнирный механизм на плоскости, с какой угодно точностью "подделывающий" ее.

В 2000 году М. Капович и Д. Миллсот-т в |38j уточнили результат Кемпе на языке алгебраической геометрии, усилили его и исправили имевшиеся ошибки. В частности, они доказали следующую теорему:

Теорема. Для, любого алгебраического множества А в пространстве К'" существует шарнирный механизм на плоскости, конфигурационное пространство которого изоморфно по Нэшу дизъюнктному объединению конечного количества копий А. □

Инженерные задачи мотивировали разработку темы в более практическом ключе. Шарнирные механизмы широко применяются для решения механических задач. Классическим примером такого применения являются механизмы П.Л. Чебьттпева, модели которых можно увидеть в музее СПбГУ. Среди них есть механизм, преобразующий вращательное движение в движение. приближенное к прямолинейному, на основе которого была создана первая в мире шагающая машина "стопоход". Также П.Л. Чебыггтеп создал механизм с парадоксальными свойствами. имеющий в конфигурационном пространстве точку бифуркации. Еще один известный шарнирный механизм прямило Липкина Поселе. изобретенное в 1864 г., - переводит движение по дуге окружности в точное прямолинейное движение.

В последнее время сформировалась новая математическая дисциплина, занимающаяся изучением конфигурационных пространств различных объектов, в том числе и шарнирных механизмов. - топологическая робототехника. В этой дисциплине выделяются два основных течения: во-первых, изучение чисто топологических задач, порожденных робототехникой и управлением. и. во-вторых, применение топологических идей, топологического языка и результатов алгебраической топологии к специализированным задачам управления и программирования.

Одним из подходов к изучению пространств модулей шарнирных механизмов в тех случаях, когда их пространства модулей являются гладкими многообразиями, является теория Морса. Она используется для вычисления чисел Бетти этих многообразий. Диссертация выполнена в русле этого подхода. Однако упомянем и о других аспектах топологической робототехники.

Во многих практических сферах, таких, например, как молекулярная биология, длины ребер шарнирного механизма известит»! лишь приблизительно; поэтому существует необходимость изучать математические ожидания топологических инвариантов пространств модулей шарнирных механизмов. Некоторые недавние результаты описывают асимптотику чисел Бетти пространств модулей шарнирных многоугольников при стремлении числа ребер к бесконечности.

Задачи робототехники, связанные с планированием движений. порождают интересный гомотопический ит-твариаптТС(Х) топологических пространств, являющийся мерой "навигационной сложности" пространства X. рассматриваемого как конфигурационное пространство некоторой системы. ТС(Х) - топологическая мера сложности планирования непрерывного пути па конфигурационном пространстве в зависимости от конечных точек этого пути. Вычисление этой меры сложности - пример чисто топологической задачи, порожденной физическими системами. Можно вычислять ТС'(Х). используя когомологическую алгебру X и действия когомологических операций.

Топологическая робототехника является частью области математики, называемой "вычислительная топология"'. Эта область посвящена созданию эффективных алгоритмов для решения топологических проблем с помощью компьютера и применению топологических методов для решения прикладных задач, связанных с компьютерным моделированием, автоматическим проектированием, компьютерной графикой п визуализацией.

Одним из способов развить идею шарнирного механизма является понятие свободного шарнирного механизма связного графа, без заданных длин ребер, но с предписанными положениями некоторых вершин в объемлющем пространстве. Отображение. сопоставляющее положениям остальных вершин свободного шарнирного механизма квадраты длин ребер соответствующей реализации графа, называется рычажным отображением. При этом прообраз каждой точки пространство модулей обычного шарнирного механизма с набором длин ребер, задаваемым координатами этой точки. М.Д. Ковалев получил ряд результатов о рычажных отображениях в [?|

С шарнирными механизмами связана теория комбинаторной жесткости, основным предметом которой являются схемы. Схема - математический объект, состоящий из конечного графа {V, Е) и его вложения в евклидово пространство некоторой размерности. То есть, схема может быть рассмотрена как конфигурация некоторого шарнирного механизма, полученного из графа (V, Е) приписыванием длин его ребрам. Схемы подразделяются на жесткие и изгибаемые, и это подразделение является фундаментальной задачей теории жесткости. Известный пример жестких схем - лалшновы графы. вложенные в плос кость (ламнтгавым графом с п вершинами называют такой граф. что. во-первых, граф имеет ровно 2п-3 ребра, и, во-вторых, любой его подграф, содержащий к вершин, имеет не более, чем 2к-3 ребра). Разумеется, жесткость схемы зависит и от графа (V. Е). и от его вложения. Таким образом, вопрос жесткости схемы включает в себя комбинаторный и геометрический аспекты. Теории жесткости посвящена книга [26] и множество других работ Д. Гравера. Б. Серватиус и Г. Серватиус.

Одна из конструкций, связанная с шарнирными механизмами и рассматриваемая в теории жесткости, стрессы шарнирного механизма. Основная идея состоит в приписывании ребрам шарнирного механизма некоторых скаляров напряжений в ребрах. Эти скаляры можно рассматривать как силу, с которой ребро воздействует па свои верттшны, расталкивая или стягивая их в зависимости от знака скаляра. Стресс, пли внутреннее напряжение шарнирного механизма, такой набор напряжений в ребрах, что для любой вертпины графа равнодействующая всех сил. приложенных к ней со стороны ребер, равна пулю. Эта конструкция связана с изгибаниями шарнирного механизма и. в частности, использовалась в решении задачи о складном метре. о которой будет сказано ниже. Также привлекал внимание исследователей вопрос об условиях восстаиовимостп шарнирного механизма по его пространству напряжений. М. Д. Ковалевым в [9] были найдены достаточные, а в случае шарнирного механизма. лежащего на прямой, и необходимые геометрические условия существования восстанавливающего напряжения.

В данной работе рассматриваются два частных случая шарнирных механизмов шарнирные многоугольники и шарнирные цепи.