Кватернионы и векторный анализ в XIX веке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 07.00.10, кандидат физико-математических наук Александрова, Надежда Вячеславовна

• Александрова, Надежда Вячеславовна
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Александрова, Надежда Вячеславовна

Введение

Глава I. ТЕОРИЯ КВАТЕРНИОНОВ В ТРУДАХ ГАМИЛЬТОНА И ТЭТА

§ I.I. Предыстория исчисления кватернионов

§ 1.2. Обоснование комплексных чисел в трудах Гамильтона - теория "числовых пар";здание теории "триплетов", переход к кватернионам

§ 1.3. Элементы векторного анализа в исчислении кватернионов

§ 1.4. Обсуждение вопроса о квадрате вектора

§ 1.5. Линейные операторы в теории кватернионов

§ 1.6. Методы теории кватернионов в трудах

Гамильтона

§ 1.7. Теория кватернионов в трудах Тэта и

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кватернионы и векторный анализ в XIX веке»

Геометрическое исчисление" или исчисление направленных отрезков вошло в математику вместе с геометрической интерпретацией комплексных чисел. Б работах конца ХУШ - начала XIX вв., посвященных этому вопросу, были рассмотрены операции с направленными отрезками, лежащими в одной плоскости, и таким образом построена алгебра компланарных векторов. В некоторых из этих работ предпринимались естественные попытки развить исчисление, оперирующее с направленными отрезками в пространстве. К ним относятся книги, статьи и заметки К.Вес-селя, Л.Карно, Ж.Аргана, М.Еюэ, Дж.Уоррена, Дж.Беллавитиса, К.Гаусса.

В алгебре необходимость обосновать действия с комплексными числами явилась причиной пересмотра основных понятий: алгебраического числа, алгебраической операции - и сыграла значительную роль в формировании новой алгебры /и в частности, теории алгебр/ и аксиоматического метода в алгебре. Именно к этому направлению принадлежали работы У.Р.Гамильтона 30-х годов XIX века, в том числе важная для векторного исчисления работа ТАеогу of foty-bUjede. Ti/sic/iosis •ог fcssau^ ь+ъ J-Pg.eJ'e.as 04 л £с*е*гее. of Tcsne

Здесь содержится обоснование действий с комплексными числами и попытка аксиоматического построения их теории как исчисления пар действительных чисел.

Уже в 1830 г. Гамильтон делает первые попытки построить теорию троек таких чисел, "триплетов", ^ ^^ через несколько лет он стал записывать триплеты в форме x+icf+jz . Триплеты соответствуют направленным отрезкам в пространстве. Гамильтон пытался определить произведение триплетов таким образом, чтобы имела место аналогия с произведением "пар чисел", то-есть, чтобы операции произведения соответствовало растяжение и вращение множителя вокруг некоторой оси. Это удалось сделать только в конце 1843 г.

Гамильтон пришел к заключению, что нужно рассматривать четверки чисел /то-есть, не триплеты, а кватернионы/ и считать, что числа - это вырожденная форма общего случая х.+ . Гамильтон положил, что умножение двух таких чисел производится по правилам: iz-j2=K. } то-есть (ос1ч-1у1 +<j£t + )C-X2 + i"yz+j2г * =

-ft a* ~ ftfc ~ zV*^ *

Всю остальную жизнь /до 1865 г./ Гамильтон посвятил развитию теории кватернионов.

Он был уверен, что создал универсальное исчисление. В "Lsctutcs on фс^шиегц'ш рассматривается связь теории кватернионов с аналитической геометрией, теорией детерминантов и т.д.; согласно Гамильтону, эта "связь" состоит в том, что теория кватернионов включает в себя различные разделы математики как частный случай и заменяет их. Уже в книгах Гамильтона можно заметить тенденцию, которая впоследствии была провозглашена как принцип, - исключить из исследований координаты.

Хотя теория кватернионов и не заменила собой всю математику /и тем более физику/, она связана многочисленными нитями с несколькими математическими и физическими науками, она доставила им важные идеи и стимулировала исследования по важнейшим направлениям. Назовем некоторые из них.

I. Теория гиперкомплексных чисел и теория ассоциативных алгебр.

Уникальное место исчисления кватернионов в этой теории определено теоремой Фробениуса: "Единственными ассоциативными алгебрами над полем реальных чисел, в которых произведение равно нулю только при равенстве нулю хотя бы одного множителя, являются поле реальных чисел, поле обыкновенных комплексных чисел и алгебра реальных кватернионов" [9, с .18J . Доказательство этой теоремы было опубликовано в 1878 г.

Ассоциативные алгебры исследованы американскими математиками ~ отцом и сыном - Б.Пирсом и Ч.С.Пирсом; последний доказал, что все линейные ассоциативные алгебры могут быть выражены в матричной форме. В частности, теория кватернионов с единицами d к тождественна матричной алгебре с матрицами i 0 0 О 0 -4 0 0 0 О -1 0 0 0 0 -1

0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 i 0 0 -1 0

0 0 1 0 0 0 0 -1 L 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 J 0 0 L 0 ) 0 -4 0 0 » 1 0 0 0

2. Линейная алгебра.

Многие основные понятия этой теории развились не из линей ных уравнений, а из теории кватернионов: Гамильтон ввел и развил теорию линейных сопряженных и самосопряженных операторов; он вывел характеристическое уравнение, которое называлось в XIX веке "уравнением Гамильтона-Кэли", установил существование собственных векторов линейного преобразования и т.д.

3. Векторный анализ.

Поскольку теория кватернионов содержала векторы и правила оперирования с ними, постольку она включала большую часть современного векторного исчисления, а именно: в теории кватернионов были введены многие основные понятия векторного анализа, развиты векторные методы, получены важные результаты, в значительной части создан язык векторного исчисления. Деление величин на векторные и скалярные /вместе с этими названиями/, алгебра векторов, приложения к геометрии прямой в плоскости и в пространстве . перенесены в современное векторное исчисление с изменениями, относящимися главным образом к форме и методам изложения. Теория векторной функции скалярного аргумента /вместе с ее терминологией/, эскизно изложенная Гамильтоном /впервые в 1846 г./, была детально изложена и проиллюстрирована примерами в 60-х годах XIX в. П.Г.Тэтом. В результате этот раздел теории приобрел вид, сохранившийся до нашего времени. Наряду с многочисленными другими операторами, Гамильтон ввел в рас

Гамильтон применил его к скалярной функции. В статьях Тэта этот оператор был применен к векторной функции; Тэт впервые привел примеры его использования в физике. смотрение "символический вектор

1846/

-84. Теория электричества и магнетизма.

Экспериментальные исследования по электричеству"/1839-1855/ Фарадея ждали математической обработки и соответствующего изложения. Максвелл был как раз тем человеком, который мог математически описать и обобщить эксперимент, так как он "владел обоими языками" /по его выражению/ - и проникся идеями Фарадея, и был математически образован, а главным образом, был знаком с теорией кватернионов; он мог перевести теорию Фарадея на язык "математических символов". Векторное исчисление, перенесенное в электромагнитную теорию, позволило на основании экспериментальных данных создать теорию и развить эту ветвь физики.

Вторым источником создания современного векторного анализа был труд Г.Грассмана UlissenseUa^i сйъ extensive п. fytosse е>с/ел oUe, Jutdej,мл/<urz£. net/e ЪъЦ^п. , dee Bcneaie /Ж//

В нем исчисление векторов было частным случаем построенного Грассманом геометрического исчисления над точками, над параллелограммами, тетраедрами и т.д. По оценке Кроу/47, с.80/, это -"наименее характерная часть" учения Грассмана: "Его сочинение., созданное почти в полной духовной изоляции, долгое время оставалось мало известным вследствие своей оригинальности, а также вследствие философских неясностей, которыми оно изобиловало.V Некоторые идеи Грассмана стали известными после их толкования и комментирования его последователями. Знаменательно, что Пеа-но, излагая учение Грассмана в 1888 г. [99], уже не захотел обойтись без языка векторов: его язык - скорее язык векторного анализа /частично Гиббса, частично Хевисайда/ - чем теории кватернионов.

Исчисление Грассмана, не понятое и не оцененное по достоинству при жизни автора, имело свои преимущества, среди них надо прежде всего отметить то, что теория развита вне связи с комплексными числами и для случая ft переменных; важно также, что она использовала аппарат теории определителей.

Побудительным толчко^м для введения векторных методов в физику, а затем для отделения векторного анализа от теории кватернионов послужили работы Максвелла, особенно 'J*te.a,ii$e олancf М^/гей-5т"/\Ъ1Ъ/. Он показал, что векторное исчисление может быть математическим аппаратом теории электричества и магнетизма. Но в середине прошлого века исчисление векторов существовало только как часть теории кватернионов. Из этой теории Максвелл целесообразно и экономно отобрал необходимое и создал удобный и эвристически продуктивный инструмент для описания физического поля. Он выделил ту часть теории кватернионов, которая должна быть включена в векторный анализ, и наметил направление, в котором желательно развитие методов. Это было сделано настолько ясно, что Гиббс и Хевисайд, начавшие создавать свои векторные системы после изучения Treatise , развили исчисления, отличающиеся лишь в деталях.

Гиббс развил метод диад и дал совершенно новое изложение теории линейных операторов, тем самым он изменил язык, технические приемы доказательств и "дух исчисления", существенно приблизив его к современному. Хевисайд же приспособил векторный анализ для решения проблем электричества и магнетизма и для изложения этой теории, открыв ему широкую дорогу и в другие фундаментальные области физики.

В 1890-94 гг. на страницах журнала 'Усьбилг " /главным образом/ развернулась жестокая дискуссия: процесс l/ectozs fMbu* j по выражению Хевисайда. В ней Гиббс и

Хевисайд проявили полное единодушие. Гиббс опубликовал четыре обстоятельные статьи [571 - /бо7, где он анализировал методы теории кватернионов и векторного анализа, сравнивал теорию кватернионов и учение Грассмана. Участие Хевисайда выразилось не только в двух статьях, опубликованных в этом журнале, его научные публикации также изобилуют выпадами против сторонников теории кватернионов.

Позиции последних заключались /в основных чертах/ в следующем: они были против каких-либо изменений в теории кватернионов, разрывающих связи теории с алгеброй и с теорией комплексных чисел. Основные протесты их были вызваны "догматическими и произвольными", по их мнению, определениями различных видов I произведений векторов и положением

Полемика сыграла важную роль в распространении векторного исчисления, она обнаружила единомыслие многих ученых, развивших независимо более или менее равноценные векторные системы, обнародовала эти системы; и познакомила с ними математиков и физиков. Без векторных методов физика не могла успешно развиваться, решался вопрос о форме, в которой векторное исчисление должно быть применено в физике: "векторы с кватернионами" или "векторы без кватернионов".

Невозможно лишь "попутно" говорить о таком сложном вопросе, как взаимное влияние математики и физики, в данном случае -векторного исчисления и теории различных физических полей. Но еще более невозможно не заметить, что выделение векторного

-панализа из теории кватернионов было вызвано потребностями тео-. рии электричества и магнетизма Фарадея-Максвелла, что современный векторный анализ в основном развит Гиббсом и Хевисайдом которые считали математику "не королевой, а служанкой науки". Знаменательно, что Гиббс же сыграл важную роль в математизации физики.

Некоторые понятия и операции, которые в дальнейшем вошли как необходимые элементы в векторное исчисление, впервые были введены в механике - сложение сил, а также в отдельных случаях те операции, которые мы теперь называем скалярным, векторным и смешанным произведениями. Естественно, что без неявного использования этих операций аналитическая механика не могла быть последовательно построена. Однако эти операции не только не были сколько-нибудь систематическими и не связывались в единую схему, но и тем более не рассматривались как элементы нового раздела математики, способного оказать существенную помощь в формулировании законов механики.

Несмотря на то, что все это происходило сравнительно недавно, возникновение исчисления и его борьба за место в науке быстро стали забытым эпизодом истории науки. До самого недавнего времени по истории векторного исчисления не было опубликовано ничего, кроме весьма кратких и беглых замечаний в монографиях; часто в них можно найти только отдельные строки, как у Н.Бур-баки /4, с.78-80,/ , Г.Вилейтнера / 6, с.399, 4007 или немногим больше - у Ф.Клейна /l3, с.214-219, 222-2287 , у А.П.Юшкевича /30, с.487, 509, 510, 519, 523, ЬЫ]. До сих пор, несмотря на всю ее важность для математики и физики, история векторного анализа не получила достаточного освещения в историко-матемаУ тической литературе.

Совсем недавно опубликованы первые работы, посвященные специально истории векторного исчисления, это - Ф.Д.Крамар "Бек-торное исчисление конца ХУШ и начала XIX вв."^1963,) и Сгои/е М "A Misiottf of tfecioi Jnettyscs' ("1967Л Автор первой работы ограничивается рассмотрением векторной алгебры и совершенно не касается вопросов истории векторного анализа.

Книга Кроу содержит богатый и уникальный материал - автор имел возможность ознакомиться с письмами Максвелла, заметками Гамильтона на полях книги Грассмана, перепиской Гиббса и т.д. Но даже в тех случаях, когда речь идет об опубликованных некогда материалах, автор вынужден приводить обширные цитаты, так как "многие источники для изучения - книги и журналы ограниченного обращения"/47, с.1Х/. Кроу проследил историю многих геометрических исчислений, а не только современного векторного анализа; в книге охвачен огромный промежуток времени: в первых строках - Египет и Вавилон, в последних - начало XX века. Труд представляет собой слишком обширное полотно; чтобы составить представление о многих важных деталях, потребуются дополнительные исследования.

Некоторые отдельные вопросы истории векторного исчисления /главным образом, применение векторов в механике/ затронуты в М, [19]. Наконец, в серии статей Л.Н.Астраханцевой, обобщенных в ее диссертации /1], рассмотрены алгебраические аспекты истории теории кватернионов. Этой стороны проблемы ^то-есть, развития теории алгебр, в частности, - линейных ассоциативных алгебр, формирования современных понятий "операции", "аксиомы", переход к построению алгебр, в которых не выполняется один из законов "обычной алгебры" и т.п.) мы практически не касаемся.

Говоря об имеющейся литературе по истории векторного исчисления, нельзя не отметить, что исторические справки в математических работах, как правило, полны неточностей и ошибок. Даже работы, близкие по времени к рождению теории, обнаруживают незнание истории предмета. Их авторы часто приписывают те или иные результаты математикам, в работах которых они впервые встретили эти сведения. В.С.Игнатовский, например, считает создателями векторного анализа Хевисайда и А.Фёппля.

Это же относится к истории терминологии и обозначений. Потребность в такой информации есть - из учебника в учебник десятилетиями переходит разъяснение смысла названий "дивергенция" и "ротор". Этих и только этих терминов. И почти невозможно узнать что значат слова "вектор", "набла", "орт" и т.д. Встречаются неверные объяснения. Мифы возникают поразительно быстро, например, в учебнике 1936 года [2б] Я.Н.Шпильрейн пишет, что термин "орт" - это "испорченное немецкое слово Oiiifeicto'i. Даже в таком точном справочном издании, как "M-istoty of j/otations Кэджори, не обходится без ошибок, когда речь идет о векторном исчислении: обозначение длины вектора знаком модуля fej приписано Гансу /42, т.П, с.133/ , тогда как его ввел известный физик Г.А.Лоренц /88, c.7lj.

В связи с этим в настоящей работе уделено особое внимание истории формирования языка и обозначений векторного анализа.

Цель данной работы - проследить развитие теории кватернионов и ее связей, в основном, с векторным исчислением и линейной алгеброй, т.е. установить возникновение основных понятий векторного анализа в рамках теории кватернионов, рассмотреть процесс формирования векторных методов, проследить появление многих важных понятий линейной алгебры в исчислении кватернионов, проанализировать дискуссии между сторонниками теории кватернионов и векторного анализа в конце XIX - начале XX вв«,при-приведшие к выделению векторного анализа в самостоятельный раздел математики и показать развитие языка векторного анализа.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «История науки и техники», Александрова, Надежда Вячеславовна

Заключение

В конце XIX - начале XX веков рассматриваемые теории обособились и развивались независимо. Теория Грассмана получила признание, главным образом, в Германии и Италии: здесь вышли книги Пеано, Бурали-Форти и Марколонго, З^унге. в некоторых работах авторы пытались "сочетать" исчисление Грассмана с векторным анализом. Именно это мы видим в первом варианте теории Пеано а также в книгах А.И.Богуславского /2/, /3/ и Хайда (MyoLt В. a$$nvct,rm £ tyqce Лпй^^е*- 490 6 J •

Наконец, развитие нашли и другие части теории Грассмана - метод внешних форм Картана, внешние алгебры Грассмана.

Теория кватернионов нашла развитие в.исследованиях по системам комплексных чисел. Одно из направлений восходит к "Предварительному очерку бикватернионов" /1873/ Клиффорда. Основополагающими трудами здесь являются "Теория винтов" /1876/ Болла и работы Александра Петровича,Котельникова /1865-1944/ по винтовому исчислению. Многие из важных результатов Котельникова были переоткрыты Штуди /1862-1930/, который связал исчисление с теорией групп. А.П.Котельникову посвящена книга /20/.

Теория Максвелла не встретила немедленного понимания; признания, основные причины этого были в следующем: 1.не было доказательств существования близкодействия; 2.вывод уравнений Максвеллом был крайне неубедительным; 3. математический аппарат векторное исчисление- вызывал противодействие со стороны физиков. Так история признания векторного исчисления оказалась неразрывно связанной с историей признания максвелловой теории электричества и магнетизма. Борьба, сопровождавшая признание теории Максвелла, хорошо известна физикам, но в обширной историко-научной литературе нет ни одной фразы о том, что в этой борьбе решалась и судьба векторного исчисления.

В 1889 г. Г.Герц /1857-1894/ окончательно установил электромагнитную природу света, доказав справедливость гипотезы Максвелла. Работы Герца означали победу теории Максвелла, вместе с которой в физику вошли и векторные методы. Отсюда - значение,ко-торае имела дискуссия "Векторы против Кватернионов", имевшая место именно в годы, когда возник интерес к электромагнитной теории.

В начале XX века векторное исчисление получило признание и заняло бесспорное место в математике. К этому же времени относится и замечательное распространение языка и аппарата векторного исчисления на функциональный анализ, в теорию интегральных уравнений. Когда в 1908 г. Шмидт /1876-1959/ перенес на случай гильбертова пространства геометрический язык, то новым был, по-существу, только один момент: результаты Пинкерле и Фреше излагались посредством векторного анализа.

В настоящей работе практически ничего не говорится о совершенно оригинальных исследованиях О.И.Сомова; в последнее время опубликовано несколько работ, посвященных Сомову, его механике и специально векторному исчислению в его работах /16/, /19/. В то время, когда Гиббс начинал читать первые курсы векторного анализа /1872/, в Петербурге Осип Иванович Сомов уже опубликовал литографированные лекции по теоретической механике в векторном изложении (в 1872, 74, 77 гг.).Ясно, что Сомов оказал существенное влияние на своего сына Павла Осиповача Сомова /18521919/, которому принадлежит одна из лучших книг /23/ среди курсов векторного исчисления "первого поколения". Таким образом, влияние Сомова-отца на формирования традиций изложения исчисления в русской математической литературе - несомненно.

Из работ по векторному анализу, опубликованных в России, необходимо еще упомянуть об оригинальных сочинениях Владимира Сергеевича Игнатовского /1875-1943/: /II/, /75/. Книга, изданная на немецком языке^оказала очевидное влияние на построение теории во многих немецких руководствах по векторному исчислению.

В течение XX века время от времени предпринимались попытки сделать теорию кватернионов языком современной физики. Так, шведский ученый О.Фишер написал две книги /1951 и 1957 гг./, в которых он излагает большую часть физики в терминах кватернионов Гамильтона. Тот факт, что матрицы, которым эквивалентны единицы k j совпадают с матрицами Паули, играющими важную роль в физике, является источником новых и новых надежд приложить теорию кватернионов к физическим наукам. В статье, написанной к столетнему юбилею теории кватернионов /48^7 Дирак делает попытку применить ее в теории относительности. Дирак устанавливает связь между кватернионом ф и вектором g в пространстве-времени таким образом, чтобы перенести в теорию относительности аппарат теории кватернионов.

Оказалось, что уравнения Максвелла, записанные в кватернион-ной форме, являются аналогом условий Коши-Римана, то-есть, условиями кватернионной аналитичности. Исследование ее роли в физике еще не завершено окончательно.

В последние годы возврат от векторов к кватернионам происходит в таких разделах физики, как квантовая электродинамика, теория элементарных частиц, теория твердого тела, теория калибровочных полей ( которая является обобщением теории Максвелла^, В диссертации Курочкина Ю.А. "Кватернионы и некоторые приложения их в физике" рассмотрены возможные направления приложений кватернионов и дан обзор таких работ.

В самое последнее время развиваются новые и тонкие методы для изучения геометрических свойств пространства-времени физического мира. Одним из создателей таких методов является американский физик Роджер Пенроуз. Он ввел в рассмотрение модель на основе четырехмерного комплексного векторного пространства. Его книга "Simdsute. Space-Ttте "(MY. ^q&g) переведена на русский язык /1972/ и уже породила обширную литературу, в частности, с ней связаны;статьи Ю.И.Манина "Калибровочные поля и голоморфная геометрия", С.Г.Гиндикина и Г.М.Хен кина "Преобразование Пенроуза и комплексная интегральная геометрия" в сборнике "Итоги науки. Современные проблемы математики" /т.17, 1981 г./.

Конечно, это важное и сложное направление должно быть предметом специального историко-научного анализа, сочетающего математический и физический подходы. Здесь же отметим только, что,

О О V во-первых, эти исследования охватывают широчаишии круг проблем: космологических /доказано необходимое существование син-гулярностей пространства-времени, связанных с наличием "черных дыр" и т.д./, квантовомеханических /туннельный переход/ и теории элементарных частиц, а во-вторых, что эти исследования потребовали разработки тонких и сложных математических методов и, в частности, использования теории кватернионов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Александрова, Надежда Вячеславовна, 1984 год

1. Астраханцева Л.Н. Возникновение теории алгебр: Автореф. Дисс, канд. физ.-мат. наук.- Москва,1973.-18с.

2. Богуславский А.И. Исчисление положения, краткое изложение алгебры плоскости и пространства. Харьков, 1894.-37 с.

3. Богуславский А.И. Алгебра плоскости и пространства или исчисление положения. М., 1891.- 229 с.

4. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.:ИЛ, 1963.-290 с.

5. Вигнер В. Этгодьго симметрии. М.:Мир, 1971.- 318 с.

6. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия, М.:Наука, 1966.-507 с.

7. Ганкель Г. Теория комплексных числовых систем, преимущественно обыкновенных мнимых чисел и кватернионов Гамильтона вместе с их геометрическим толкованием. Казань, 1912.- 242 с.

8. Грассман Г. Чистая математика и учение о протяженности.-сб. Новые идеи в математике, вып.1. Спб.,1913.

9. Диксон Л.Э. Линейные алгебры. ОНТИ. Харьков, 1935.-с.80.

10. Ермаков В.П. Теория векторов на плоскости. Киев, 1887.-88с.

11. Игнатовский B.C. Решение некоторых вопросов электростатики и электродинамики при помощи учения о векторах. Спб, 1902.223 с.

12. Карцев В.П. Максвелл.-2-е изд.-М.:Мол.Гвард.,1976.-333 с.

13. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.-Л. ОНТИ, 1937.- 430 с.

14. Крамар Ф.Д. Векторное исчисление конца ХУШ и начала XIX вв«-ИМИ, 1963, вып. 15, с.225-280.

15. Крамар Ф.Д. К истории векторного исчисления.-Уч. Зап. Казах. Ун-та, 1957, т.30, вып. 5, с.99-106.-16616. Крамар Ф.Д., Молюков И.Д. Иосиф Иванович Сомов /18151876/ математик, механик, педагог. Алма-Ата, 1965.-123 с.

16. Максвелл Дж.К. Речи и статьи. М.-Л.:Гостехиздат, 1940.-228с.

17. Максвелл Дд.К. Статьи и речи. М.:Наука, 1968.-422 с.

18. Никифорова Т.Р. Осип Иванович Сомов. М.-Л.:Наука, 1964т-128 с.

19. Путята Т.В., Лаптев Б.Л., Розенфельд Б.А., Фрадлин Б.Н. Александр Петрович Котельников. М.:Наука, 1968.-122 с.

20. Рабинович Ю. Аналитические векторфункции и дифференциальные уравнения, которым они удовлетворяют. Казань, I9I8.-I33 с.

21. Ромер П.Э. Основные начала метода кватернёнов. Киев, 1867. 146 с.

22. Сомов П.О. Векториальный анализ и его приложения. СПб., 1907.-256 с.

23. Сомов П.О. Основания теоретической механики. СПб.,1904.756с.

24. Франкфурт У.И., Френк A.M. Джозайя Виллард Гиббс. М.: Наука, 1964.-279 с.

25. Шпильрейн Я.Н. Векторное исчисление для инженеров-электриков и физиков. М.-Л.: ОНТИ, 1936.-216 с.

26. Шпильрейн Я.Н. Векторное исчисление. М.-Л.: Госиздат, 1925.-324.с.

27. Шпильрейн Я,Н. Теория поля М.: изд.НЭО, 1931. -55 с.

28. Штурм Р., Шрёдер Е., Зонке Л. Германн Грассман. Его жизнь и учено-литературная деятельность. М., 1886.-56 с.

29. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 г. М.: Наука, 1968.- 591 с.-16731 .Abraham M. Geometrische Grundbegrffe. Encyklopadie der ma-thematischen Wissenschaften. Bd.IV^^, 19o1-1908, S.3-4-7.

30. Abraham M., Foppl A. Theorie der Elektrizitat, Leipzig1. Berlin, 1921. 242 S.

31. Bacharach M. Abriss der Geschichte der Potential Theorie.1. Gottingen, 1883. 78 S.

32. Ball R.S. The Discussion on Quaternions.-Nature, 1893, 48, p.391.

33. ЗЗ.Вогк A.M. ^Vectors versus Quaternions"- The Lettres in Nature. -American Journal of Physics, 1966,34, p.202-206.

34. ВогЗкA.M. Maxwell and the Vector Potential. -Isis, 1967, 52, p.210-212.

35. Burali-Forti C.f Marcolongo R. Notations rationelles pour le systeme vectoriel minimum proposles par les professeurs C.Burali-Forti et R.Marcolongo. -L1 Enseignement de mathlma38tique, Paris-Geneve, 1909,11, p.41-45.

36. Burali-F orti C.f Marcolongo R. Reponse a M.M. H.E.Timer-ding et E.B.Wilson. -L'Ens.de math., 1909,11, p.459-466.

37. Burali-Forti C.f Marcolongo R. Reponse J M.M. E.Carvallo, C.G.Knott et A.Macfarlane.-L1 Ens.de math. ,1910, 12, p.46-53

38. Burali-Forti C.f Marcolongo R. A propos de l1article de M. E.B.Wilson. -L1Ens.de math., 1910, 12, p.138-148.

39. Burali-Forti C.f Marcolongo R. Sur les dyads et dyadics de Gibbs. -L*Ens.de math.,1914, 14, p.276-282.

40. Cajori F. A History of Mathematical Notations. Chicago, 1928-1930, v.I 451 p, v.2 367 p.

41. Cartan E. Les systemes differetiels extlrieurs et leur applications geometrug.ues. Paris, 1945.-213 p.

42. Caylay A, Coordinates versus Quaternions. -Proc. of Roy. Soc. of Edinburgh. 1893-94, 20, p.271-275.

43. Clifford W.K. Mathematical Papers. N.Y., 1968. 658 p.

44. Coffin J.G. Calcul vectoriel avec application aux mathemati-ques et a la physique. Paris, 1914. -210 p.

45. Crowe M. A history ov vector analysis. London-Notre Dame, 1967. 270 p.

46. Dirac P.A.M. Application of Quaternions to Lorentz Transformations. -Proc. of Roy. Irish Academy, 1945, 5Q, p.261-270.

47. Engel F. Grassmanns Leben. Leipzig, 1911. 400 S.

48. Foppl A. Einfuhrung in die Maxwellsche Theorie der Elektri-zitat. Leipzig, 1894. 413 S.

49. Foppl A. Die Geometrie der Wirhelfelder. Leipzig, 1897, 108S.

50. Frobenius F.G. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. -Journ. fur die reine und ang.Math.,1878, 84, S. 1-6353*Gans B. Einfuhrung in die Vektoranalysis mit Anwendungen auf die mathematische Physik. Leipzig-Berlin, 1909. -119 S.

51. Gauss C.F. Werke, 1900, Bd.VIII, S.357-562; 1917, Bd.X, Abt. 1, S.436.55*Gibbs J«V/, Elements of vector analysis. -The scientific papers. London, N.Y., Bombay, 1906, v.2,p.17-90.

52. Gibbs J.W. Multiple Algebra. Sc. papers, v.2, p.91-117.

53. Gibbs J.W. On the Bole of Quaternions in the Algebra of Vec tors. -Nature, 1891p.511-513.

54. Gibbs J.W. Quaternions and the Algebra of Vectors. -Nature, 1891, 44, p.79-82.59♦Gibbs J.W* Quaternions and the Ausdehnungslehre. -Nature, 1893,4£> p.463-464.

55. Gibbs J.W# Quaternions and the Vector Analysis. -Nature, 1893, Mi p.364-367.

56. Gibbs J.W., Wilson E.B. Vector Analysis, a Text-book arranged for the Use of Students of Mathematics and Physics.

57. New-Haven, 1925. 456 p. 62.Gibbs J.W.(?) Vector Algebra. -Nature, 1895,iiZ, p.11. 65.Gibbs, Josiah Willard. -Nature, 1905, §8, p.11

58. Grassmann H.G. Gesammelte mathematische und physikalische Werke. Berlin, 1894-1911. Bd,I. 455 S.

59. Grassmann H. Die Ausdehnungslehre vollstandig und in stren-ger Form bearbeitet. Berlin, 1862. 588 S,

60. Hamilton W.R, Elements of Quaternions. N.-Y.,1969. 800 p.

61. НапТппя Th.L. Sir William Rowan Hamilton. Baltimore and London, 1980. 476 p.

62. Heaviside 0. Electro-magnetic Theory, London, 1952. 586 p.

63. Heaviside 0. Electrical Papers. London, N.-Y.,1892,v.I,560 p.

64. Eelland P., Tait P.G, Introduction to Quaternions♦ London, 1882. 227 p.

65. Kennedy H. James Mills Peirs and the cult of quaternions, -Historia Mathematica, 1979, 6. p.425,

66. Knott C.G. Life and scientific work of PeiH? Guthrie Tait, Cambridge, 1911. 579 p.79«Knott C.G. Recent innovations in vector theory. -Nature, 1895, itZ, p.590-595.

67. Knott C.G. An Abstract. -Nature, 1895, p.287«

68. Knott 0,G» Remarques sur les "Notations rationelles." -L'Ens.de math., 1910, 12, p.59-45.

69. Knott C.G. "Vector Analysis, a Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics upon the Lectures of prof. J.Willard Gibbs. By Dr. Edwin Wilson" -Phil.Magazine and Journal of Science. 6-serie, 4 (1902), p.614-622.

70. Knott C.G. Hamilton1s Quaternion Vector Analysis. -Jahres-bericht der deutschen Mathematiker Vereinigung, 1905» 1ft» S. 167-171.

71. Lam! G. Lemons sur les coordonnee curvilignes et leur diverses applications. Paris, 1854, 568 p.

72. Lam! G. Lemons sur les fonctions inverses des transcenden-tes et leur surfaces isothermes. Paris, 1857, 521 p.

73. Lam! G. Lemons sur la th!orie mathlmatique de 1' elasticite des corps solides. Paris, 1852. 555 p.

74. Lee G. Oliver Heaviside and mathematical theory of electrical communications. London, N.Y., Toronto, 1947, 52 p.

75. Lorentz H.A. Maxwell's elektromagnetische Theorie. -Enc.d. math. Wiss., 1904-1922, Bd.V2, S. 65-280.89«Lotze A., Betsch Chr. Systeme geometrischer Analyse (II).-Enc.d. math, Wiss., 1914-1951, Bd.III^, S. 1425-1592.

76. McAulay A. Quaternions. -Nature, 1895, 4£, p.151.

77. Macfarlane A. La lettre sur "Notations rationelles." -L'Ens. de math. 1910, 12, p.45-46.

78. Massau, Junius (1855-1909). -L'Ens. de math.,1910, 12, p.187

79. Maxwell J.C. A Treatise on Electricity and Magnetism. London,1873. v.I 506 p., v.2 500 p.

80. Maxwell J.C. (?) Quaternions. -Nature, 1873,2» P»137.

81. May Ch. James Clerc Maxwell and electromagnetism. N.Y., . 1962, 152 p.96>Minchin G. Vectors and rotors. -Nature, 1903,68, p.617.

82. Muir Th. The theory of determinants in the historical order of development. London, 1906.

83. Peano G. Opere scelte. Roma, 1959, v.III , pp.41-71, 114157, 158-166, 167-186, 187—202, 381-382.

84. Peano G. Die Grundzuge des geometrischen Calculus. Leipzig, 1891. 48 S.

85. Rothe H. Systeme geometrischer Analyse (I), -Enc.d.math. Wiss., 1914-1931, Bd.IIIsj, s.1277-1423.1C)/,.Runge C. Vektoranalysis. Leipzig, 1926. 195 S.

86. Stephenson R.J. Development of Vector Analysis frdm Quaternions . -American Journal of Physics, 1966, j54f p.195-201.

87. Tait P.G. Traitl Illmentaire des quaternions. Paris, 1882, part I 306 p., part II - 312 p.

88. Tait P.G. On the Importance of Quaternions in Physics. -Phil. Mag., 1890, 2^, p.84-97.

89. Tait P.G. On the Intrinsic Nature of the Quaternion Metho-de. -Proc. of Roy. Soc. of Edinburgh, 1893-94, 20, p.276-284109« Tait P.G. Quaternions and the Ausdehnungslehre. -Nature, 1895, ££. P. 105-106

90. Tait P.G. Role of Quaternions in the algebra of vectors.-Nature, 1891, 608

91. Tait P.G. Vector Analysis. -Nature, 1893, ££. p.225-22£

92. Timerding H.E. Geometrische Grundlegung der Mechanik eines starren Korpers. -Enc.d.math. Wiss*, Bd.I?2, 1901-1908.113* Timerding H.E. La lettre a L'Eneeignement de math6matique.-L'Ens. de math., 1909, Ц. p. 129-124.

93. Thomson S.P. The life of William Thomson baron Kelvin of Large*. London, 1910.

94. Wheeler J. Josiah Willard Gibbs. New-Haven, 1951.

95. Wills A.P. Vector Analysis. With the introduction to Tensor Analysis. N.-Y., 1958. p. 285.

96. Wilson E.B. The contributions of Gibbs to Vector Analysis and and Multiple Algebra.- A commentary of the scientific writtings of J.Willard Gibbs. London, 1936, V.2. p. 284.

97. Wilson E.B. Notations rationelles pour le systeme vectori-el. -L'Ens. d. math., 19Ю, 12. p.391-393