Квазиклассический подход к описанию процессов квантовой электродинамики в поле тяжелого атома тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Ли, Роман Николаевич

• Ли, Роман Николаевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Ли, Роман Николаевич

Содержание

Введение

Глава 1. Функция Грина уравнения Дирака в локализованном внешнем поле

1.1. Функция Грина в кулоновском поле в пространстве ^ измерений

1.2. Квазиклассическая функция Грина в кулоновском поле

1.3. Квазиклассическая функция Грина в произвольном локализованном потенциале

1.4. Выводы к первой главе

Глава 2. Рассеяние электрона в поле тяжелого атома

и поправка к формуле Мольера

2.1. Рассеяние электрона в поле тяжелого атома

2.2. Квазиклассическая поправка к формуле Мольера

2.3. Выводы ко второй главе

Глава 3. Фоторождение электрон-позитронных пар

и тормозное излучение электрона в атомном поле 62 3.1. Рождение электрон-позитронных пар фотоном высокой энергии

3.2. Тормозное излучение электрона в поле тяжелого атома

3.3. Выводы к третьей главе

Глава 4. Дельбрюковское рассеяние при высоких энергиях

4.1. Дельбрюковское рассеяние в кулоновском поле

4.2. Влияние экранировки на амплитуду дельбрюковского рассеяния

4.3. Выводы к четвертой главе

Глава 5. Рождение пар в столкновениях ультрарелятивистских тяжелых ионов

5.1. Сечение сгт в подходе светового фронта

5.2. Кулоновские поправки к стг

5.3. Сечения ал, &в в следующем за главным логарифмическом приближении

5.4. Рождение пар при фиксированном прицельном параметре между ядрами

5.5. Унитарные поправки к сечению рождения пар

5.6. Выводы к пятой главе

Заключение

Приложение А. Формализм второго порядка для уравнения Дирака

А.1. Пример преобразования амплитуды

А.2. Замена переменных в континуальном интеграле

Литература

180

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазиклассический подход к описанию процессов квантовой электродинамики в поле тяжелого атома»

Введение

Для тяжелых атомов и ионов параметр 2а — зарядовый номер ядра, а = е2 ^ 1/137 — постоянная тонкой структуры, здесь и далее мы используем систему единиц Н — с = 1) не является малым. Поэтому при использовании теории возмущений по этому параметру вклад высоких порядков оказывается очень существенным. Между тем, сложность вычислений экспоненциально растет с порядком теории возмущений, поэтому пертурбатив-ный подход оказывается неэффективным. Вместо этого необходимо использовать диаграммную технику Фарри, позволяющую точно учесть влияние внешнего поля. В этом подходе внутренним и внешним линиям заряженных частиц соответствуют функции Грина и решения волновых уравнений во внешнем поле. Эти объекты находятся с помощью одночастичных волновых уравнений (уравнений Дирака и Клейна-Фока-Гордона) во внешнем поле.

Поле тяжелого атома У(г) в широком интервале расстояний Япис1 г <С ав^-1/3 (ЯпиС1 — радиус ядра, ав — боровский радиус, Z — заряд ядра) можно считать кулоновским, поэтому важными объектами являются волновые функции и функция Грина уравнения Дирака в кулоновском поле. Точные кулоновские волновые функции состояний непрерывного спектра, имеющих определенные полный момент и четность, были найдены сразу же после появления в 1928 году уравнения Дирака [1-3] и выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию. Обычно требуются волновые функции, имеющие на больших расстояниях вид плоской волны (плюс сходящаяся или расходящаяся сферическая волна). В неэкранированном кулоновском поле необходимо еще учесть слабые искажения за счет медленного спадания кулоновского потенциала. Такая волновая функция имеет вид суммы по угловым квантовым числам, которую, в отличие от нерелятивистской

функции, не удается выразить в замкнутом виде. Для описания процессов при высоких энергиях и малых передачах импульса используется приближение Фарри-Зоммерфельда-Мауэ [4, 5]. В этом приближении волновые функции выражаются через вырожденные гипергеометрические функции. Были сделаны попытки улучшить точность приближения Фарри-Зоммерфельда-Мауэ. Так в работе [6] использовалось приближение Za <С \з + 1/21 {з — угловой момент), но не предполагались малые углы и большие энергии. Получающиеся волновые функции имели правильный вид в борновском приближении 2а « 1 и в квазиклассическом приближении / ~ е/т 1 {I — орбитальный угловой момент, е и т — энергия и масса заряженной частицы). Однако, эти волновые функции для случая Za ~ 1 имели ту же точность, что и волновые функции Фарри-Зоммерфельда Мауэ. То же самое можно сказать и про волновые функции, полученные в работе [7], где использовалось формальное разложение по 1/г.

Для волновых функций в произвольном локализованном потенциале хорошо известно и широко используется приближение эйконала. В этом приближении вся зависимость волновой функции от потенциала V содержится в экспоненциальном множителе, в показателе которого стоит характерная эй-кональная фаза у~1 / с1гУ {у — скорость). Эйкональный вид волновой функции справедлив при условии, что поперечные квантовые флуктуации 5рд траектории частицы малы, так что в каждой точке траектории выполняется условие 5рд\\7±У\ |У|. Если это условие выполняется, квантовые флуктуации можно учесть по теории возмущений. Однако для многих процессов КЭД, таких как тормозное излучение или фоторождение электрон-позитрон-ной пары, оказывается существенной и область 5рС1\^±У\ ~ \У\. Поэтому для таких процессов эйкональное приближение для волновых функций является недостаточным. Необходимо вместо этого использовать квазиклассиче-

ское приближение, являющееся в определенном смысле обобщением приближения Фарри-Зоммерфельда-Мауэ на случай локализованного потенциала, отличного от кулоновского.

Замечательно, что оказывается возможным определить волновые функции уравнения Дирака в произвольном локализованном потенциале не только в главном квазиклассическом приближении, но и с учетом квазиклассических поправок. Это было сделано в работе [8]. Эффективным параметром разложения является 1/1е& 1, где — характерное значение углового момента в процессе. Для кулоновского случая квазиклассические волновые функции с учетом первой поправки были вычислены в недавней работе [9].

Функции Грина волновых уравнений во внешнем поле являются центральным объектом для формулирования теории возмущений в представлении Фарри. Получение для них удобных точных и приближенных представлений является критическим для приложений — вычисления амплитуд и сечений процессов во внешнем поле. Для функции Грина уравнения Шре-дингера в кулоновском поле выражение в координатном представлении в терминах вырожденных гипергеометрических функций было получено в [10]. Сразу после этого было найдено очень простое представление в импульсном представлении в виде однократного интеграла от элементарных функций [11, 12]. Выражение для нерелятивистской функции Грина в произвольном числе измерений в виде однократного интеграла было получено в [13]. Причина существования относительно простых представлений для нерелятивистской функции Грина состоит в наличии большой группы динамической симметрии (для (1 измерений это группа + 1,2)) в нерелятивистской

кулоновской задаче.

Функции Грина релятивистских уравнений (Дирака и Клейна-Фока-Гордона) являются более сложными объектами, поскольку эти уравнения

уже не обладают такой большой динамической симметрией. Характерным свойством точных функций Грина релятивистских уравнений является наличие парциальной суммы, которую не удается выразить в замкнутом виде. Представление функции Грина уравнения Дирака в кулоновском поле в виде парциального разложения по моментам было впервые получено в [14]. Каждый член суммы по моментам в полученном представлении содержит произведение двух вырожденных гипергеометрических функций, и поэтому это представление не очень удобно для приложений. Более удобное представление для кулоновской функции Грина уравнения Дирака было получено в работе [15]. Это представление также имеет вид суммы по моментам, однако каждый член суммы представляется теперь в виде однократного интеграла от выражения, содержащего лишь элементарные функции и функции Бесселя. Представление, полученное в [15], было использовано для решения множества задач в кулоновском поле [16-23].

При использовании точной функции Грина для вычисления характеристик процессов при высокой энергии возникает следующая проблема. Характерный угловой момент в таких процессах обычно оказывается большим по сравнению с единицей и поэтому сумма в парциальном разложении функции Грина сходится очень медленно. Медленная сходимость приводит к практической невозможности использовать точную функцию Грина для таких вычислений. К счастью, в такой ситуации можно использовать квазиклассическое приближение для функции Грина и волновых функций. Далее, для краткости, будем называть функцию Грина и волновые функции, полученные в этом приближении, соответственно, квазиклассической функцией Грина и квазиклассическими волновыми функциями. Впервые квазиклассическая функция Грина была получена в работах [24, 25]. Полученное в этих работах представление для квазиклассической функции Грина имеет вид од-

нократного интеграла от выражения, содержащего элементарные функции и функцию Бесселя, и было использовано в тех же работах для вычисления амплитуды дельбрюковского рассеяния при высокой энергии. При участии автора в работах [26-32] метод квазиклассических функций Грина получил дальнейшее развитие. Следующий существенный шаг в развитии этого метода был сделан в работе [8], где была вычислена квазиклассическая функция Грина уравнения Дирака в локализованном потенциале с учетом первой квазиклассической поправки. Полученное представление было впоследствии использовано для решения ряда задач в работах [33-37].

Результаты для волновых функций и функций Грина, полученных в работах [8, 9, 38] представлены в первой главе диссертации.

Как уже было отмечено, волновые функции и функции Грина во внешнем поле нужны для вычисления характеристик процессов в этом поле. Особенно важными с экспериментальной точки зрения являются процессы упругого рассеяния заряженных частиц, тормозного излучения и рождения пар фотоном в поле ядра или атома.

Во второй главе мы представляем вывод поправки к амплитуде упругого рассеяния из работе [8], а также вывод поправки к формуле Мольера из [37]. Упругое рассеяние заряженных частиц в кулоновском поле — базовый процесс квантовой электродинамики. Точная формула для амплитуды рассеяния в виде парциального разложения была получена еще Моттом в работе [39]. В той же работе было получено известное выражение для бор-новской формулы. Там же был приведен и результат для поправки ос (Яа;)3, который оказался неправильным. Вообще, история вычисления кулоновских поправок по теории возмущений в процессе рассеяния в кулоновском поле представляет собой любопытную смесь ошибочных вычислений, медленного прогресса и заблуждений. Так, в работе [40] было использовано квадриро-

ванное уравнение Дирака, в котором присутствуют члены порядка (Za)2. Используя борновское приближение для этого уравнения, был получен, по понятным причинам, неправильный результат для члена (2сх)ъ в дифференциальном сечении. Этот результат не совпадал и с поправкой, полученной Моттом. В работе [41] использовалась временная теория возмущений и был сделан неправильный вывод об отсутствии кулоновских поправок порядка (^а)3. Впервые правильный результат для первой кулоновской поправки к дифференциальному сечению был получен в работе [42] из парциального разложения амплитуды и затем в работе [43] с помощью систематического применения теории возмущений. Сечение рассеяния при высоких энергиях, точное по заряду ядра, но в ведущем порядке по параметрам т/е и в было получено в важной работе [5]. Весь эффект кулоновских поправок свелся к фазовому множителю, и дифференциальное сечение совпало с борновским результатом. Из формулы Мак-Кинли и Фешбаха [42] следует, что кулонов-ские поправки к дифференциальному сечению подавлены как в. Результат для первой поправки к дифференциальному сечению по углу рассеяния, точный по параметру Zo¿} был получен значительно позже, в работе [44] с помощью операторного квазиклассического метода. В работах [45, 46] амплитуда высокоэнергетического рассеяния с учетом первой поправки была получена в приближении эйконала для произвольного потенциала. В нашей работе [8] был использован квазиклассический подход, имеющий более широкую область применимости, чем эйкональное приближение. Оказалось, что в этом подходе получается формула, аналогичная полученной в [46], но с более слабыми ограничениями на область применимости. В работе [37] с помощью найденной поправки к амплитуде упругого рассеяния была найдена поправка, пропорциональная объемной плотности мишени, к формуле Мольера в задаче многократного рассеяния.

В третьей главе диссертации мы следуем работам [9, 33, 34, 47] в изложении результатов для рождения е+е~ пар и тормозного излучения в поле тяжелого атома. Теоретическое и экспериментальное изучение процесса рождения пар имеет долгую историю [6, 7, 48-77]. В борновском приближении дифференциальные и полные сечения этого процесса известны для произвольной энергии начальной частицы [49, 50]. В этом приближении учет эффектов экранировки сводится к простому умножению дифференциального сечения на квадрат атомного формфактора. Точный учет кулоновского поля является очень сложной задачей. Вычисление ведущего члена высокоэнергетической асимптотики кулоновских поправок к сечению было выполнено в классических работах [53, 54]. Из этой асимптотики видно, что для тяжелых атомов вклад борновского члена усилен лишь не очень большим параметром 1п(ш/т) (а для случая полной экранировки — 1п(тгзсг)) и кулоновские поправки в полном сечении могут достигать величины ~ 20%. Формально точное по энергии и параметру Za выражение для спектра рождения пар было получено в [55]. Это выражение имеет очень сложную структуру и содержит вложенные суммы от выражений, зависящих от гипергеометрических функций двух переменных. Вычислительные сложности при табулировании этого выражения столь велики, что численные результаты были получены только для сравнительно небольших энергий ш < 5МэВ. Технические усовершенствования в [70, 71, 74, 78] позволили в дальнейшем получить результаты для более высоких энергий фотона а; < 12МэВ, а в исключительных случаях и до ш ~ 20МэВ. Эти вычисления, а также экспериментальные результаты [61], ясно показывают, что высокоэнергетическая асимптотика [53, 54] кулоновских поправок плохо работает в области промежуточных энергий ш < ЮОМэВ. Используя низкоэнергетические результаты [55] и известную асимптотику [53, 54], в работе [79] была получена интерполяционная фор-

мула, описывающая полное сечение при промежуточных энергиях и дающая удовлетворительное согласие с экспериментом. В работах [33, 47] была вычислена первая по параметру т/и поправка к высокоэнергетической асимптотике спектра и полного сечения [53, 54]. Численный коэффициент в поправке к полному сечению оказался аномально велик — 20 Ч—30 для всех значений Z), что объясняет низкую точность ведущей асимптотики Бете-Максимона даже при достаточно больших энергиях. Вычисление в [33, 47] базировалось на использовании квазиклассической функции Грина с первой поправкой, полученной в [8]. В работе [9] была вычислена квазиклассическая поправка к дифференциальному сечению рождения пар. В отличие от ведущего члена, эта поправка антисимметрична по замене Za —» — Za и поэтому определяет зарядовую асимметрию сечения. Ранее, в работе [56] эта асимметрия была вычислена лишь в низшем по Za порядке в узкой области, в которой энергии частиц пары примерно равны.

Изучение процесса тормозного излучения электрона в поле тяжелого ядра также имеет долгую историю [6, 44, 49, 53, 54, 57, 64-66, 80-84]. Этот процесс является с точки зрения диаграммной техники перекрестным каналом процесса рождения пар фотоном. Поэтому очень часто этот процесс рассматривается параллельно с процессом рождения пар. Так, сечение в бор-новском приближении и высокоэнергетическая асимптотика кулоновских поправок были вычислены в работах [49, 53, 54], вместе с соответствующими величинами в рождении пар. Заметим, что полностью дифференциальное борновское сечение, а также, точное по Za проинтегрированное по углам конечного электрона сечение тормозного излучения получаются простым пересчетом из соответствующих результатов для процесса рождения пар. Однако это не так для полностью дифференциального точного по Za сечения. Это связано с тем, что перекрестная инвариантность переводит out-

состояния конечного позитрона в ои^состояния начального электрона , в то время, как в амплитуде тормозного излучения фигурируют т-состояния начального электрона. В частности, при высоких энергиях кулоновские поправки в процессе тормозного излучения в кулоновском поле существенны при малых передачах импульса на ядро Д_1_ ~ Атт « т, в то время как кулоновские поправки в процессе рождения пар фотоном существенны в области А^ ~ т. Важность больших расстояний для кулоновских поправок даже привела Бете и Максимона в работе [53] к ошибочному заключению об отсутствии кулоновских поправок к проинтегрированному сечению тормозного излучения в случае полной экранировки. На это было указано в работе Ольсена [85], аргументация которой базировалась на возможности заменить для проинтегрированного сечения набор т-состояний набором огй-состояний. К сожалению, рассмотрение Ольсена не отвечало на вопрос о кулоновских поправках к полностью дифференциальному сечению в случае полной или частичной экранировки. В частности, оставалось непонятным, каким образом кулоновские поправки к проинтегрированному сечению оказываются универсальными, если эти поправки к дифференциальному сечению существенно зависят от экранировки. В относительно недавней работе Ольсена [86] было сделано утверждение, что кулоновские поправки к дифференциальному сечению также слабо зависят от экранировки. Это естественно объясняет универсальность кулоновских поправок в проинтегрированном сечении. Однако, в работе [34] было показано, что это утверждение неверно. Оказалось, что кулоновские поправки, дифференциальные по передаче импульса на ядро стопроцентно зависят от экранировки, но интегрирование приводит к универсальной функции.

В четвертой главе диссертации мы следуем работам [8, 26, 32] в изложении результатов для дельбрюковского рассеяния. Дельбрюковское рассеяние

[87] — когерентное рассеяние фотона электрическим полем атома или иона. Этот процесс интересен тем, что в классической электродинамике справедлив принцип суперпозиции и поэтому влияние электрического поля на распространение электромагнитной волны отсутствует. Процесс дельбрюковско-го рассеяния интенсивно изучался как теоретически, так и экспериментально, см. обзор [88]. С теоретической точки зрения интерес к изучению этого процесса связан с тем, что в нем велика роль кулоновских поправок. Для эксперимента наиболее важным является дельбрюковское рассеяние при энергиях больших по сравнению с массой электрона [89, 90]. Существенный прогресс в повышении точности измерения сечения дельбрюковского рассеяния был достигнут в недавнем эксперименте [91], выполненном в Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера, для энергий фотонов в диапазоне 140 — 450 МэВ и углов рассеяния 2.6 — 16.6 мрад. Точные по амплитуды дельбрюковского рассеяния в кулоновском поле, справедливые при больших энергиях и малых углах рассеяния, были получены в работах [92-94] посредством суммирования в определенном приближении диаграмм теории возмущений по взаимодействию с внешним полем. Позднее эти амплитуды были вычислены с помощью квазиклассических функций Грина в неэкранированном [25, 32, 95] и экранированном [8, 26, 27] кулоновском поле. Другим интересным нелинейным процессом КЭД является расщепление фотона в атомном поле. Эксперимент по первому успешному наблюдению этого процесса был проведен в ИЯФ им. Г.И. Будкера [96]. Точные по Za амплитуды расщепления фотона для и) т были получены в работах [29-31].

Последняя глава диссертации посвящена изучению процесса рождения электрон-позитронных пар в столкновениях тяжелых ионов. Изложение этой главы основано на работах [35, 36, 97-99]. Изучение процесса рождения электрон-позитронных пар в столкновениях тяжелых ионов также имеет доволь-

но долгую историю [35, 36, 50, 97-128]. В борновском приближении при высоких энергиях сталкивающихся ионов полное сечение этого процесса было получено в работе Ландау и Лифшица [100] в главном логарифмическом приближении (ос In3(s/m)). Немного позднее результат был существенно улучшен Рака в работе [50], где было получено сечение со степенной точностью по параметру т/г <С 1. Интерес к этому процессу возрос в связи с экспериментами на больших ускорительных комплексах RHIC и LHC. С точки зрения поиска новой физики этот процесс является фоновым, поэтому знание его характеристик очень важно для такого поиска. Кулоновские поправки по одному из ядер были получены в работах [116, 120] с помощью подхода эквивалентных фотонов. В этом подходе кулоновские поправки к процессу выражаются через кулоновские поправки в процессе фоторождения е+е~ пар в поле иона. Примерно в то же время несколькими независимыми группами был развит подход светового фронта, использующий лоренцевское сжатие полей сталкивающихся ядер в с.ц.и. [112, 114, 117, 118, 121]. Неожиданным результатом этого подхода явилось совпадение точного сечения и борнов-ского результата. Однако, в работе [97] было показано, что вывод об отсутствии кулоновских поправок связан с некорректным изменением порядка интегрирования. При аккуратном же обращении с несобственными интегралами получаются кулоновские поправки, совпадающие с результатом метода эквивалентных фотонов. В работе [98] были также вычислены кулоновские поправки по двум ядрам и сечения рождения нескольких пар. Следует заметить, что зависимость полного сечения процесса от Za экспериментально изучалась в более ранних экспериментах на SPS [106, 107, 113]. Было установлено, что с хорошей точностью эта зависимость является квадратичной, что говорило по-крайней мере о малости кулоновских поправок по-сравне-нию с результатом, полученным в главном логарифмическом приближении.

В работе [36] были вычислены кулоновские поправки в следующем за главным логарифмическом приближении. Оказалось, что вычисленный вклад численно велик и имеет противоположный знак по сравнению с главным. Этот факт объясняет малость кулоновских поправок, наблюдаемую в эксперименте.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• Развитие квазиклассического подхода к описанию процессов КЭД в атомном поле при высоких энергиях. Получение квазиклассических функций Грина и волновых функций уравнений Дирака и Клейна-Фока-Гордона с учетом первой поправки.

• Применение квазиклассического подхода к процессам фоторождения электрон-позитронной пары и тормозного излучения в поле тяжелого атома при высоких энергиях. Вычисление квазиклассической поправки к сечениям этих процессов, анализ влияния атомной экранировки на кулоновские поправки.

• Применение квазиклассического подхода к различным задачам: получение поправки к формуле Мольера для вероятности многократного рассеяния, получение компактных формул для спиральных амплитуд, определение влияния экранировки на реальную часть амплитуды вперед в процессе дельбрюковского рассеяния при высоких энергиях.

• Вычисление кулоновских поправок в подходе светового фронта и с использованием квазиклассического подхода в процессе рождения элек-трон-позитронных пар в столкновениях ультрарелятивистских тяжелых ионов с учетом членов О(1117). Вычисление унитарных поправок и

сечений множественного рождения электрон-позитронных пар в столкновениях тяжелых ионов.

• Получение точной функции Грина уравнения Дирака в кулоновском поле в произвольной размерности пространства-времени.

Глава 1

Функция Грина уравнения Дирака в локализованном внешнем поле

При вычислении физических характеристик процессов в сильном внешнем поле необходимо использовать функции Грина соответствующих волновых уравнений. Поэтому получение удобных представлений для таких функций Грина является очень важным.

Кулоновское поле —Zoe/г в случае, когда параметр Za не мал, является, вероятно, наиболее важным для приложений примером сильного внешнего поля. Парциальные разложения для точных функций Грина уравнений Дирака и Клейна-Фока-Гордона в кулоновском поле были получены в [14, 15].

В первом разделе настоящей главы мы следуем работе [38], в которой были получены обобщения функций Грина релятивистских волновых уравнений в потенциале V(г) = — Za/r на случай d измерений. Такая функция Грина может использоваться для регуляризации петлевых интегралов при выполнении перенормировок в кулоновском поле. Следует, конечно, иметь в виду, что эта регуляризация, вообще говоря, отличается от стандартной раз-мерностной регуляризации, поскольку в последней модифицируется также и поведение потенциала (V(r) ос 1 /г1_е). Другая возможная область приложений найденных функций Грина — вычисления в пространстве с размерностью, отличной от 3. Эти вычисления могут быть актуальными в связи с приложениями в современной квантовой теории поля и в физике твердого тела, в частности, для двумерных материалов.

При рассмотрении процессов рассеяния частиц высокой энергии на ма-

лые углы часто справедливо квазиклассическое приближение. Элементарная оценка по соотношению неопределенности дает характерное значение для углового момента

и = 1/0» 1, (1.1)

где в — характерный угол рассеяния. Если основной вклад в полное сечение дают поперечные импульсы частиц порядка их массы, то 0 < т/е С 1, и полное сечение также может быть вычислено с помощью квазиклассической функции Грина.

Квазиклассическое приближение выполняется и для процессов КЭД при высоких энергиях, протекающих с рождением виртуальной электрон-позитронной пары. На языке диаграммной техники эта пара соответствует электронной петле. По соотношению неопределенности характерное время жизни пары в собственной системе, а также, характерное расстояние между частицами равняются 1/т. В лабораторной системе поперечный размер р остается величиной порядка 1/т. Время жизни же увеличивается в 7 = е/т раз, что приводит к характерному продольному размеру петли г ~ е/т2 ^ 1/т. Поэтому характерные аргументы г^ и е функции Грина удовлетворяют соотношениям

ег1>2 - е2р2 ~ е2/т2 » 1, (1.2)

Характерный угловой момент можно оценить как /хар = рр « ер 1, что означает применимость квазиклассического приближения.

Подчеркнем, что обсуждаемое квазиклассическое приближение отличается от эйконального. Дело в том, что эйкональное приближение для СЪ(Г2,Г1|£) справедливо при малости поперечного градиента потенциала на отрезке, соединяющем точки Г\ и Г2, стоящие в аргументах функции Грина.

При этом малость понимается в смысле выполнения условия

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ли, Роман Николаевич, 2013 год

Литература

1. Darwin С. G. The wave equations of the electron // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 1928. Vol. 118. P. 654-680.

2. Gordon W. Der Strom der Diracschen Elektronentheorie // Zeitschrift für Physik. 1928. Vol. 50. P. 630-632.

3. Gordon W. Die Energieniveaus des Wasserstoffatoms nach der Diracschen Quantentheorie des Elektrons // Zeitschrift für Physik. 1928. Vol. 48. P. 11-14.

4. Furry W. H. Approximate Wave Functions for High Energy Electrons in Coulomb Fields // Physical Review. 1934. Vol. 46. P. 391-396.

5. Sommerfeld A., Maue A. W. Verfahren zur näherungsweisen Anpassung einer Lösung der Schrödinger- an die Diracgleichung // Annalen der Physik. 1935. Vol. 414, no. 7. P. 629-642.

6. Fink J. K., Pratt R. H. Use of Furry-Sommerfeld-Maue Wave Functions in Pair Production and Bremsstrahlung // Physical Review A. 1973. Vol. 7. P. 392-403.

7. Roche G., Jousset J. Modified Sommerfeld-Maue wave function: Application to the pair-production process // Physical Review A. 1975. Vol. 12. P. 531-538.

8. Ли P. H., Милыптейн А. И., Страховенко В. M. Квазиклассическая функция Грина во внешнем поле и процессы рассеяния на малые углы // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 2000. Т. 117. С. 75.

9. Lee R., Milstein A., Strakhovenko V. Charge asymmetry in the differential cross section of high-energy e+e- photoproduction in the field of a heavy atom // Physical Review A. 2012. Vol. 85. P. 042104. arX-iv:hep-ph/l 111.5895.

10. Hostler L., Pratt R. Coulomb Green's Function in Closed Form // Physical Review Letters. 1963. Vol. 10. P. 469-470.

11. Hostler L. Nonrelativistic Coulomb Green's Function in Momentum Space // Journal of Mathematical Physics. 1964. Vol. 5. P. 1235-1240.

12. Schwinger J. Coulomb Green's Function // Journal of Mathematical Physics. 1964. Vol. 5. P. 1606-1608.

13. Hostler L. C. Coulomb Green's Function in f-Dimensional Space // Journal of Mathematical Physics. 1970. Vol. 11. P. 2966-2970.

14. Hostler L. Coulomb Greens Functions and the Furry Approximation // Journal of Mathematical Physics. 1964. Vol. 5. P. 591-611.

15. Milstein A. I., Strakhovenko V. M. The 0(2,1) Algebra and the Electron Green Function in a Coulomb Field // Physics Letters A. 1982. Vol. 90. P. 447-450.

16. Mil'shtein A. I., Strakhovenko V. M. Electron green function and vacuum polarization in a Coulomb field // Physics Letters A. 1982. Vol. 92. P. 381-384.

17. Milstein A. I., Yelkhovsky A. S. Vacuum polarization and magnetic moment of a heavy nucleus // Physics Letters B. 1989. Vol. 233. P. 11-15.

18. Milstein A. I., Yelkhovsky A. S. Vacuum polarization and the quadrupole moment of a heavy nucleus // Physics Letters B. 1990. Vol. 241. P. 184-188.

19. Lee R. N., Milstein A. I. Finite nuclear size and vacuum polarization in heavy atoms // Physics Letters A. 1994. Vol. 189. P. 72.

20. Ли P. H., Милыптейн А. И. О влиянии конечных размеров ядра на поляризацию вакуума в тяжелых атомах // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1994. Т. 106. С. 47-56.

21. Melnikov К., Yelkhovsky A. The b quark low scale running mass from Upsilon sum rules // Phys.Rev. 1999. Vol. D59. P. 114009. arX-iv:hep-ph/hep-ph /9805270.

22. С. M. А. И. Т. И. Рассеяние электрона малой энергии в сильном куло-новском поле // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 2004. Т. 125. С. 785-788. Arxiv:physics.atom-ph/0203053vl.

23. Kirilin G. G., Terekhov I. S. Coulomb corrections to the Delbrück scattering amplitude at low energies // Physical Review A. 2008. Vol. 77, no. 3. P. 032118.

24. Mil'shtein A., Strakhovenko V. Quasiclassical approach to the high-energy Delbrück scattering // Physics Letters A. 1983. Vol. 95. P. 135 - 138.

25. Милыптейн А. И., Страховенко В. M. Когерентное рассеяние фотонов высокой энергии в кулоновском поле // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1983. Т. 85. С. 14.

26. Lee R. N., Milstein А. I. Quasiclassical Green function and Delbrück scattering in a screened Coulomb field // Physics Letters A. 1995. Vol. 198. P. 217-224.

27. Ли Р., Мильштейн А. Квазиклассическая функция Грина и дельбрюков-ское рассеяние в экранированном кулоновском поле // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1995. Т. 107. С. 1393-1402.

28. Lee R. N., Milstein A. I., Strakhovenko V. М. Large Coulomb corrections in high-energy photon splitting. //BUDKER-INP-1997-85, 1997. arX-iv:hep-ph /9710493'.

29. Ли P. H., Мильштейн А. И., Страховенко В. M. Расщепление фотона высокой энергии в сильном кулоновском поле // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1997. Т. 112. С. 1921-1940.

30. Lee R. N., Milstein A. I., Strakhovenko V. М. Cross section of high-energy photon splitting in the electric fields of heavy atoms // Physical Review A. 1998. Vol. 58. P. 1757-1764.

31. Lee R. N., Milstein A. I., Strakhovenko V. M. High-energy photon splitting on heavy atoms // Physical Review A. 1998. Vol. 57. P. 2325-2338. arXiv:hep-ph/0903.0235.

32. Ли P., Мильштейн А., Страховенко В. Простое аналитическое представление для амплитуд дельбрюковского рассеяния при высоких энергиях. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1999. Т. 116. С. 78.

33. Lee R. N., Milstein A. I., Strakhovenko V. М. High-energy expansion of Coulomb corrections to the e+e~ photoproduction cross section // Physical Review A. 2004. Vol. 69. P. 022708.

34. Lee R. N., Milstein A. I., Strakhovenko V. M., Schwarz O. Y. Coulomb Corrections to Bremsstrahlung in the Electric Field of a Heavy Atom at

High Energies // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 2005. Т. 127. С. 5-17. arXiv:hep-ph/0404224.

35. Lee R. N., Milstein A. I. e+e~ pair production in ultrarelativistic heavy-ion collisions at intermediate impact parameters // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 2007. Т. 131. С. 472-479. arXiv:nucl-th/0610008.

36. Lee R. N., Milstein A. I. Strong suppression of Coulomb corrections to the cross section of e+e- pair production in ultrarelativistic nuclear collisions // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 2009. Т. 136. С. 1121-1126. arXiv:hep-ph/0903.0235.

37. Lee R. N., Milstein A. I. Correction to Moliere's Formula for Multiple Scattering // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 2009. Vol. 135. R 1125. arXiv:hep-ph/0812.2076.

38. Lee R., Milstein A., Terekhov I. Relativistic Coulomb Green's function in (¿-dimensions // J.Exp.Theor.Phys. 2011. Vol. 113. P. 202-206. arX-iv:physics.atom-ph/1101.5452.

39. Mott N. F. The scattering of fast electrons by atomic nuclei // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 1929. Vol. 124. P. 425-442.

40. Sexl T. Zur Kernstreuung von ^-Teilchen // Zeitschrift für Physik. 1933. Vol. 81. P. 178-185.

41. Sauter F. Zur stationären Behandlung der elastischen Streuung sehr schneller Elektronen // Zeitschrift für Physik. 1933. Vol. 86. P. 818-820.

42. McKinley W. A., Feshbach H. The Coulomb scattering of relativistic electrons by nuclei // Physical Review. 1948. - Dec. Vol. 74. P. 1759-1763.

43. Dalitz R. H. On Higher Born Approximations in Potential Scattering // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 1951. Vol. 206. P. 509-520.

44. Байер В., Катков В. Поправки к приближению эйконала и тормозное излучение электронов при высоких энергиях. // Доклады Академии наук СССР. 1976. Т. 227. С. 325.

45. Ахиезер А., Болдышев В., Шульга Н. К теории упругого рассеяния быстрых частиц в квазиклассическом приближении // Теоретическая и Математическая Физика. 1975. Т. 23. С. 11.

46. Ахиезер А., Болдышев В., Шульга Н. Теория упругого рассеяния и тормозного излучения быстрых заряженных частиц в кристаллах // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1979. Т. 10. С. 51-89.

47. Lee R. N., Milstein A. I., Strakhovenko V. М. Analytical calculation of Coulomb corrections to e+e- pair production at intermediate photon energies. 2003. arXiv:hep-ph/0307388.

48. Heitler W., Sauter F. Stopping of Fast Particles with Emission of Radiation and the Birth of Positive Electrons // Nature. 1933. Vol. 132. P. 892.

49. Bethe H., Heitler W. On the Stopping of fast particles and on the creation of positive electrons // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 1934. Vol. 146. P. 83-112.

50. Racah G. Sulla Nascita di Coppie per Urti di Particelle Elettrizzate //II Nuovo Cimento. 1937. Vol. 14. P. 93-113.

51. Jost R., Luttinger J.. Slotnick M. Distribution of recoil nucleus in pair production by photons /7 Physical Review. 1950. Vol. 80. P. 189-196.

52. Rosenblum E. S., Shrader E. F., Warner R. M. Absorption of 5.3-Mev, 10.3-Mev, and 17.6-Mev Gamma-Rays // Physical Review. 1952. Vol. 88. P. 612-617.

53. Bethe H. A., Maximon L. C. Theory of Bremsstrahlung and Pair Production. I. Differential Cross Section // Physical Review. 1954. Vol. 93. P. 768.

54. Davies H., Bethe H. A., Maximon L. C. Theory of Bremsstrahlung and Pair Production. II. Integral Cross Section for Pair Production // Physical Review. 1954. Vol. 93. P. 788.

55. 0verb0 I., Mork K. J., Olsen H. A. Exact calculation of pair production // Physical Review. 1968. Vol. 175. P. 1978. Overbo.

56. Brodsky S. J., Gillespie J. R. Second Born Corrections to Wide-angle High-energy Electron Pair Production and Bremsstrahlung // Physical Review. 1968. Vol. 173. P. 1011-1021.

57. Roche G., Isabelle D., Avan L. Calculs de la correction coulombienne dans le phénomène de production de paire par des rayons 7 d'energie comprise entre 2 et 20 MeV // Il Nuovo Cimento B. 1968. Vol. 57. P. 114-124.

58. Borie E., Arenhoevel H. On screening effects in pair production at intermediate and high energies // Zeitschrift für Physik. 1972. Vol. 255. P. 459-463.

59. 0verb0 I., Mork K. J., Olsen H. A. Pair Production by Photons: Exact Calculation for Unscreened Atomic Field // Physical Review A. 1973. Vol. 8. P. 668. Overbo.

60. Gimm H., Hubbell J. Total photon absorption cross section measurements, theoretical analysis and evaluations for energies above 10 MeV. //National Bureau of Standards Tech. Rep. NBS-TN-968, 1978.

61. Sherman N. K., Ross C. K., Lokan K. H. Photon-absorption cross sections between 3 and 30 MeV // Physical Review C. 1980. Vol. 21. P. 2328-2341.

62. Hubbell J. H., Gimm H. A., Overbo I. Pair, Triplet, and Total Atomic Cross Sections (and Mass Attenuation Coefficients) for 1 MeV-100 GeV Photons in Elements Z=1 to 100 // Journal of Physical and Chemical Reference Data. 1980. Vol. 9. P. 1023-1148.

63. Borie E. Use of Furry-Sommerfeld-Maue wave functions in pair production at medium and high energies // Zeitschrift fiir Physik A. 1981. Vol. 302. P. 219-222.

64. Knasel T. M. Incoherent-Scattering Function, Total Pair-Production Cross Section, and Pair-Production Length for Helium // Physical Review. 1968. Vol. 171. P. 1643-1647.

65. Tseng H. K., Pratt R. H. Exact Screened Calculations of Atomic-Field Pair Production and Low-Energy Screening // Physical Review A. 1971. — Nov. Vol. 4. P. 1835-1843.

66. Tsai Y.-S. Pair production and bremsstrahlung of charged leptons // Review of Modern Physics. 1974. Vol. 46. P. 815-851.

67. Dugne J. Analytically approximate screened calculations of atomic-field pair production cross sections // Physics Letters A. 1976. Vol. 56. P. 27 - 28.

68. Eickmeyer J., Gentile T., Michalowski S. et al. High-energy electron-pair photoproduction from nuclei: Comparison with theory // Physical Review D. 1980. Vol. 21. P. 3001-3004.

69. Tseng H. K. Screening effects in pair production by 10 and 15 mec2 photons // Physical Review A. 1990. Vol. 42. P. 6670-6673.

70. Sud K. K., Soto Vargas C. W. Calculation of electron-pair production by 7.5-MeV photons on Sn and U // Physical Review A. 1991. Vol. 43. P. 5124.

71. Sud K. K., Soto Vargas C. W. Distorted-wave Born approximation calculations of the pair-production cross section for 6.0-MeV photons // Physical Review A. 1994. Vol. 49. P. 4624.

72. Ivanov D., Melnikov K. Lepton pair production by a high energy photon in a strong electromagnetic field // Physical Review D. 1998. Vol. 57. P. 4025-4034.

73. Pratt R. H. Tseng's calculations of low energy pair production // Radiation Physics and Chemistry. 2006. Vol. 75. P. 624.

74. Sud K. K., Sharma D. K. Distorted wave Born approximation calculation of pair production cross section for 12.5 MeV photon // Radiation Physics and Chemistry. 2006. Vol. 75. P. 631 - 643.

75. Hubbell J. Electron-positron pair production by photons: A historical overview // Radiation Physics and Chemistry. 2006. Vol. 75. P. 614 -623.

76. Hubbell J. H. Review and history of photon cross section calculations // Physics in Medicine and Biology. 2006. Vol. 51. P. R245.

77. Di Piazza A., Milstein A. Angular distribution of high-energy e-l- e- photoproduction close to the end of the spectrum at large momentum transfer // Physical Review. 2012. Vol. 85. P. 042107.

78. Wright L. E., Sud K. K., Kosik D. W. Calculation of pair production by 10 and 20 MeV photons // Physical Review C. 1987. Vol. 36. P. 562.

79. 0verb0 I. The Coulomb Correction to Electron Pair Production by Intermediate-Energy Photons // Physics Letters B. 1977. Vol. 71. P. 412.

80. Racah G. Sopra L'irradiazione Nell'urto di Particelle Veloci // II Nuovo Cimento. 1934. Vol. 11. P. 461-476.

81. Olsen H., Maximon L. C., Wergeland H. Theory of High-Energy Bremsstrahlung and Pair Production in a Screened Field // Physical Review. 1957. Vol. 106. P. 27-46.

82. Olsen H., Maximon L. C. Photon and Electron Polarization in High-Energy Bremsstrahlung and Pair Production with Screening // Physical Review. 1959. Vol. 114. P. 887-904.

83. Elwert G., Haug E. Calculation of Bremsstrahlung Cross Sections with Som-merfeld-Maue Eigenfunctions // Physical Review. 1969. Vol. 183. P. 90-105.

84. Ахиезер А., Болдышев В., Шульга H. Теория тормозного излучения быстрых электронов // Ядерная физика. 1975. Т. 22. С. 1185-1195.

85. Olsen Н. Outgoing and Ingoing Waves in Final States and Bremsstrahlung // Physical Review. 1955. Vol. 99. P. 1335.

86. Olsen H. A. Differential bremsstrahlung and pair production cross sections at high energies // Physical Review D. 2003. Vol. 68. P. 033008.

87. Meitner L., Kösters H. Uber die Streuung kurzwelliger 7-Strahlen // Zeitschrift für Physik A. 1933. Vol. 84. P. 137-144.

88. Milstein A., Schumacher M. Present status of Delbrück scattering // Physics Reports. 1994. Vol. 243. P. 183-214.

89. Baumann A., Rullhusen P., Rose K. et al. Delbrück scattering of 30 -f- 100 MeV photons by Pb through angles of 15°^-30° // Nuclear Physics A. 1992. Vol. 536. P. 87-108.

90. Jarlskog G., Jönsson L., Prünster S. et al. Measurement of Delbrück Scattering and Observation of Photon Splitting at High Energies // Physical Review D. 1973. Vol. 8. P. 3813-3823.

91. Akhmadaliev S. Z., Kezerashvili G. Y., Klimenko S. G. et al. Delbrück scattering at energies of 140^-450 MeV // Physical Review C. 1998. Vol. 58. P. 2844-2850.

92. Cheng H., Wu T. T. High-Energy Delbrück Scattering from Nuclei // Physical Review D. 1972. Vol. 5. P. 3077-3087.

93. Cheng H., Wu T. T. High-Energy Delbrück Scattering Close to the Forward Direction // Physical Review D. 1970. Vol. 2. P. 2444-2457.

94. Cheng H., Wu T. T. High-Energy Collision Processes in Quantum Electrodynamics. Ill // Physical Review. 1969. Vol. 182. P. 1873-1898.

95. Milstein A. I., Strakhovenko V. M. Quasiclassical approach to the high-energy Delbrück scattering // Physics Letters A. 1983. Vol. 95. P. 135-138.

96. Akhmadaliev S. Z., Kezerashvili G., Klimenko S. G. et al. Experimental Investigation of High-Energy Photon Splitting in Atomic Fields // Physical Review Letters. 2001. Vol. 89. P. 061802.

97. Lee R. N., Milstein A. I. Coulomb corrections to the e+e- pair production in ultrarelativistic heavy-ion collisions // Physical Review A. 2000. Vol. 61. P. 032103. arXiv:hep-ph/9909452.

98. Lee R. N., Milstein A. I. Coulomb corrections and multiple e+e- pair production in ultrarelativistic nuclear collisions // Physical Review A. 2001. Vol. 64. P. 032106.

99. Lee R. N., Milstein A. I., Serbo V. G. Structure of the Coulomb and unitari-ty corrections to the cross section of e+e~ pair production in ultrarelativistic nuclear collisions // Physical Review A. 2002. Vol. 65. P. 022102.

100. Ландау Л., Лифшнц E. Об образовании электронов и позитронов при столкновении двух частиц // Phys. Z. 1934. Т. 6. С. 244.

101. Bertulani С. A., Baur G. Electromagnetic Processes in Relativistic Heavy Ion Collisions // Physics Reports. 1988. Vol. 163. P. 299.

102. Baur G. Multiple electron positron pair production in relativistic heavy ion collisions: A Strong field effect // Physical Review A. 1990. Vol. 42. P. 5736-5738.

103. Baur G. Unitarity and electron pair production in peripheral ultrarelativistic heavy-ion collisions // Physical Review D. 1990. Vol. 41. P. 3535-3536.

104. Rhoades-Brown M. J., Weneser J. Higher-order effects on pair creation by relativistic heavy-ion beams // Physical Review. 1991. Vol. 44. P. 330-336.

105. Best C., Greiner W., Soff G. Multiplicity distribution of electron-positron pairs created by strong external fields // Physical Review A. 1992. Vol. 46. P. 261-269.

106. Vane C. R., Datz S., Dittner P. F. et al. Electron-positron pair production in Coulomb collisions of ultrarelativistic sulfur ions with fixed targets // Physical Review Letters. 1992. Vol. 69. P. 1911-1914.

107. Vane C. R., Datz S., Dittner P. F. et al. Electron-positron pair production in Coulomb collisions by 6.4-TeV sulfur ions // Physical Review A. 1994. Vol. 50. P. 2313-2321.

108. Giiçlii M. C., Wells J. C., Umar A. S. et al. Impact-parameter dependence of multiple lepton-pair production from electromagnetic fields // Physical Review A. 1995. Vol. 51. P. 1836-1844.

109. Hencken K., Trautmann D., Baur G. Higher-order processes in the electromagnetic production of electron-positron pairs in relativistic heavy-ion collisions // Physical Review A. 1995. Vol. 51. P. 998-1014.

110. Hencken K., Trautmann D., Baur G. Impact Parameter Dependence Of The Total Probability For The Electromagnetic Electron - Positron Pair Production In Relativistic Heavy Ion Collisions. // Physical Review A. 1995. Vol. 51. P. 1874-1882.

111. Alscher A., Hencken K., Trautmann D., Baur G. Multiple electromagnetic electron-positron pair production in relativistic heavy-ion collisions // Physical Review A. 1997. Vol. 55. P. 396-401.

112. Baltz A. J. Exact Dirac Equation Calculation of Ionization and Pair Production Induced by Ultrarelativistic Heavy Ions // Physical Review Letters. 1997. Vol. 78. P. 1231.

113. Vane C. R., Datz S., Deveney E. F. et al. Measurements of positrons from pair production in Coulomb collisions of 33-TeV lead ions with fixed targets // Physical Review A. 1997. Vol. 56. P. 3682-3686.

114. Baltz A. J., McLerran L. D. Two center light cone calculation of pair pro-

duction induced by ultrarelativistic heavy ions. // Physical Review C. 1998. Vol. 58. P. 1679.

115. Baur G., Hencken K., Trautmann D. Photon-Photon Physics in Very Peripheral Collisions of Relativistic Heavy Ions // Journal of Physics G. 1998. Vol. 24. P. 1657-1692. hep-ph/9804348.

116. Ivanov D. Y., Kuraev E. A., Schiller A., Serbo V. G. Production of ee- pairs to all orders in Z for collisions of high-energy muons with heavy nuclei // Physics Letters B. 1998. Vol. 442. P. 453.

117. Segev B., Wells J. C. Light-fronts approach to electron-positron pair production in ultrarelativistic heavy-ion collisions // Physical Review A. 1998. Vol. 57. P. 1849.

118. Eichmann U., Reinhardt J., Schramm S., Greiner W. Coulomb effects on electromagnetic pair production in ultrarelativistic heavy-ion collisions // Physical Review A. 1999. Vol. 59. P. 1223-1237.

119. Hencken K., Trautmann D., Baur G. Calculation of Higher Order Effects in Electron-Positron Pair Production in Relativistic Heavy Ion Collisions // Physical Review C. 1999. Vol. 59. P. 841-844. arXiv:nucl-th/9808035.

120. Ivanov D. Y., Schiller A., Serbo V. G. Large Coulomb corrections to the e+ e- pair production at relativistic heavy ion colliders // Physics Letters B. 1999. Vol. 454. P. 155-160. arXiv:hep-ph/9809449.

121. Segev B., Wells J. C. Exact Z2 scaling of pair production in the high-energy limit of heavy ion collisions. // Physical Review C. 1999. Vol. 59. P. 2753.

122. Gùçliï M. C. Semi-analytic calculations for the impact parameter depen-

dence of electromagnetic multi-lepton pair production // Nuclear Physics A. 2000. Vol. 668. P. 149.

123. Baltz A. J., Gelis F., McLerran L., Peshier A. Coulomb corrections to e+e- production in ultra-relativistic nuclear collisions // Nuclear Physics A. 2001. Vol. 695. P. 395.

124. Baltz A. J. Coulomb corrections in the calculation of ultrarelativistic heavy ion production of continuum e+e- pairs // Physical Review C. 2003. Vol. 68. P. 034906.

125. Gevorkyan S. R., Kuraev E. A. Lepton pair production in relativistic ion collisions to all orders in Za with logarithmic accuracy // Journal of Physics G. 2003. Vol. 29, no. 6. P. 1227-1235.

126. Adams J., Aggarwal M. M., Ahammed Z. et al. Production ofe+e~ pairs accompanied by nuclear dissociation in ultraperipheral heavy-ion collisions // Physical Review C. 2004. Vol. 70. P. 031902.

127. Baltz A. Heavy ion e+e~ pairs to all orders in Za // Acta Physica Hungarica A. 2006. Vol. 27. P. 323-326.

128. Baltz A. J. Impact parameter dependence of heavy ione+e~ pair production to all orders in Za j j Physical Review C. 2006. Vol. 74. P. 054903.

129. Martin P. C., Glauber R. J. Relativistic Theory of Radiative Orbital Electron Capture // Physical R. 1958. Vol. 109. P. 1307.

130. Берестецкий В. Б., Лифшиц E. M., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. Москва "Наука", 1989.

131. Goudsmit S., Saunderson J. L. Multiple Scattering of Electrons // Physical Review. 1940. Vol. 57. P. 24-29.

132. Goudsmit S., Saunderson J. L. Multiple Scattering of Electrons. II // Physical Review. 1940. Vol. 58. P. 36-42.

133. Bethe H. A. Molière's Theory of Multiple Scattering // Physical Review. 1953. Vol. 89. P. 1256.

134. Molière G. Theorie der Streuung schneller geladener Teilchen I. Einzelstreuung am abgeschirmten Coulomb-Feld // Zeitschrift Naturforschung Teil A. 1947. Vol. 2. P. 133.

135. Molière G. Theorie der Streuung schneller geladener Teilchen II. Mehrfach-und Vielfachstreuung // Zeitschrift Naturforschung Teil A. 1948. Vol. 3. P. 78.

136. Fernandez-Varea J., Mayol R., Barö J., Salvat F. On the theory and simulation of multiple elastic scattering of electrons // Nuclear Instruments and Methods B. 1993. Vol. 73. P. 447-473.

137. Negreanu C., Llovet X., Chawla R., Salvat F. Calculation of multiple-scattering angular distributions of electrons and positrons // Radiation Physics and Chemistry. 2005. Vol. 74. P. 264 - 281.

138. Hanson A. O., Lanzl L. H., Lyman E. M., Scott M. B. Measurement of Multiple Scattering of 15.7-Mev Electrons // Physical Review. 1951. Vol. 84. P. 634-637.

139. Ross C. K., McEwen M. R., McDonald A. F. et al. Measurement of multiple scattering of 13 and 20 MeV electrons by thin foils // Medical Physics. 2008. Vol. 35. P. 4121-4131.

140. Lee R., Milstein A., Strakhovenko V., Schwartz О. Y. Electron-positron pair production and bremsstrahlung at intermediate energies in the field of heavy atoms // Radiation Physics and Chemistry. 2006. Vol. 75. P. 868-873.

141. Milstein A., Strakhovenko V. Production of a positron and a bound electron by high-energy photon in a strong Coulomb field // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1993. Т. 103. С. 1584-1592.

142. Rohrlich F. Coulomb corrections to Delbrück scattering // Physical Review. 1957. Vol. 108. P. 169-170.

143. Hubbell J. H., Overbo I. Relativistic atomic form factors and photon coherent scattering cross sections // Journal of Physical and Chemical Reference Data. 1979. Vol. 8. P. 69-106.

144. Nordsieck A. Reduction of an Integral in the Theory of Bremsstrahlung // Physical Review. 1954. Vol. 93. P. 785-787.

145. Hütt M., L'vov A., Milstein A., Schumacher M. Compton scattering by nuclei // Physics Reports. 2000. Vol. 323. P. 457-594. arX-iv:nucl-th / nucl-th / 9905026.

146. Schumacher M., Milstein A., Falkenberg H. et al. The enhancement of gi-ant-dipole strength and its consequences for the effective mass of the nucleon and the electromagnetic polarizabilities and quadrupole sum-rule of the nucleus // Nuclear Physics A. 1994. Vol. 576. P. 603-625.

147. Milstein A. I., Strakhovenko V. M. Coherent scattering of high-energy photons in a Coulomb field // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1983. Т. 85. С. 14.

148. Eichmann U., Reinhardt J., Schramm S., Greiner W. Electron Propagation in the Field of Colliding Nuclei at Ultrarelativistic Energies. //1998. arXiv:nucl-th/9804064.

149. Morgan A. Second order fermions in gauge theories // Physics Letters B. 1995. Vol. 351. P. 249 - 256.