Квазисовершенные принципы оптимальности в классических кооперативных играх тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Васецов, Матвей Евгеньевич

• Васецов, Матвей Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Васецов, Матвей Евгеньевич

Введение

Глава 1. Элементы динамической теории классических кооперативных игр для задачи распределения

§1.1. Задача распределения и задача дележа в теории классических кооперативных игр.

§1.2. Определение понятий компромисса и его базы для задачи распределения.

§1.3. Принципы оптимальности в классических кооперативных играх для задачи распределения.

§1.4. Финально совершенные и существенно монотонные принципы оптимальности в динамической теории классических кооперативных игр.

Глава 2. Принцип минимакса для задачи дележа

§2.1. Основные понятия динамической теории классических кооперативных игр для задачи дележа и определение принципа минимакса.

§2.2. Теорема о финальной совершенности принципа минимакса для задачи дележа.

§2.3. Теорема о квазисовершенности принципа минимакса для задачи дележа.

§2.4. Эквивалентность одной итерации принципа минимакса задачам линейного программирования.

§2.5. Принцип минимакса для задачи распределения.

Глава 3. Численные исследования принципа минимакса и принципа минимума диспропорции

§3.1. Исходные данные для численных исследований принципа минимакса и принципа минимума диспропорции.

§3.2. Численные исследования принципа минимакса.

3.2.1. Результаты вычислений для игры четырех лиц

3.2.2. Результаты вычислений для игры трех лиц.

§3.3. Принцип минимума диспропорции для задачи дележа

3.3.1. Определение принципа минимума диспропорции

3.3.2. Эквивалентность одной итерации принципа минимума диспропорции задачам линейного программирования

§3.4. Численные исследования принципа минимума диспропорции

3.4.1. Результаты вычислений для игры четырех лиц

3.4.2. Результаты вычислений для игры трех лиц

§3.5. Замечания к сравнительному анализу исследуемых принципов оптимальности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазисовершенные принципы оптимальности в классических кооперативных играх»

Диссертация посвящена развитию динамического аспекта фундаментальной проблемы распределения, изучаемой обычно в рамках теории классических кооперативных игр.

Актуальность темы. Проблема распределения некоторого общего блага, произведенного в результате разумной человеческой деятельности или же предоставленного природой, является неотъемлемой частью экономической жизни человека в современном обществе.

По своему характеру процесс принятия решения человеком о том или ином распределении такого блага не всегда является "одноактным" действием. Это связано со многими причинами, основа которых заложена и в человеческой природе.

Человек, принимая те или иные решения о "справедливом" распределении или о выборе способов такого распределения, просто вынужден учитывать, и учитывает, предпочтения тех или иных людей, причастных к распределяемому благу. Таким образом, многогранность и динамичность подхода к решению поставленной задачи распределения обусловлена наличием различных интересов у людей, принимающих решения. Нельзя все же, не отметить, что участники распределения, в общем, стремятся к достижению определенного согласия (компромисса) в выборе принципов разумного поведения. В противном случае они могут остаться ни с чем. Все это, в известной мере, предопределяет не однократный подход в разработке методов анализа и расчета разумного человеческого выбора.

Определенную методологическую основу для расчета согласия и при5 нятия коллективных решений предоставляет, как известно, теория игр и, в частности, одно из её направлений — теория классических кооперативных игр.

Предметом этой теории обычно является так называемая, задача распределения (дележа), которая в содержательных терминах может быть описана следующим образом.

Предположим, что члены некоторого сообщества /, называемые далее игроками, в рамках того или иного совместного предприятия получили или могут получить определенный доход. Требуется разделить этот доход между всеми игроками так, чтобы не только удовлетворить известным претензиям каждого игрока в отношении "причитающейся" ему части общего дохода, но и, по возможности, полнее удовлетворить аналогичным претензиям любой из коалиций игроков, то есть любой обособленной их группы 5 из I.

Подчеркнем, что в этих задачах заранее не исключается, что претензиям одновременно всех коалиций удовлетворить невозможно. В последнем случае можно сказать, что претензии коалиций несбалансированны. В то же время, в отличие от задачи распределения, в задаче дележа предполагается, что индивидуальные претензии игроков сбалансированы, то есть все они могут, а по условию и должны быть, удовлетворены одновременно.

Как негласно предполагается, также особая роль коалиций и коалиционных претензий в рассматриваемой задаче состоит в том, что свои интересы, а именно желание получить возможно большую часть общего дохода, игроки могут отстаивать, объединяясь в коалиции и определенным, мотивированным образом выдвигая такие коллективные требования, которые, возможно, превышают сумму индивидуальных претензий всех членов соответствующей коалиции. Имея в виду сказанное здесь, задачу распределения иногда представляют как задачу наиболее справедливого распределения общего дохода без обязательного для выполнения учета индивидуальных претензий игроков, но все же с учетом претензий 6 объединений игроков.

Отметим, что более подробно содержание и проблематика задач распределения и дележа обсуждаются в первой главе диссертационной работы.

Далее, касаясь приложений теории классических кооперативных игр, отметим, что результаты этой теории используются в различных распределительных задачах экономики, среди которых можно назвать модель страхования автомобилей [55], модель распространения инноваций [58], модель голосования [23, 30], модель процессов ценообразования в сфере государственных заказов [44]. По поводу последней модели отметим, что в ней при помощи кооперативной теории решается вопрос об определении "справедливых" цен по договорам субподряда, с целью ограничений монополий и поддержки малого бизнеса.

Со времени своего возникновения и до недавнего времени теория классических кооперативных игр развивалась как статическая теория, т. е. как такая теория, в которой принятие решения о дележе или о распределении общего блага рассматривалось как одноактное действие. Одноактное распределение, однако, не всегда соответствует реальности, в которой окончательный компромисс о распределении благ достигается не мгновенно, а является исходом сложного многошагового процесса согласования интересов и взаимных уступок заинтересованных сторон. Возможно, имея это в виду, основоположники классической кооперативной теории игр Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн в своей монографии "Теория игр и экономическое поведение" писали: "Несомненно, динамическая теория была бы более полной и поэтому более предпочтительной" [31, с. 70].

На необходимость моделирования и анализа динамического процесса достижения согласия, по вопросу распределения некоторого блага, указывалось и в работе Дж. Бьюкенена "Границы свободы" [7], в которой с точки зрения теории общественного выбора была изложена одна из возможных концептуальных схем такого процесса. 7

Заметим, кстати, что работы Дж. Бьюкенена [7], как и многие другие (например [2, 29, 61]), свидетельствуют о том, что теория кооперативных игр стала языком экономического анализа и служит основой для моделирования различных прикладных задач распределения в экономике.

Стоит отметить также, что теория кооперативных игр, в качестве своего экономического приложения содержит и теорию совершенных рынков или иначе — теорию общего экономического равновесия. В ней обычно рассматриваются две группы участников процесса распределения ресурсов — сторона спроса и сторона предложения, и, кроме того, решается проблема существования в некотором смысле равновесного распределения [1, 42]. Однако и в этой теории не предполагается какого-либо многошагового подхода к отысканию решения в задаче распределения ресурсов.

По-видимому, впервые определенный подход к построению динамической теории классических кооперативных игр был предложен в работе C.B. Чистякова [49], в которой, хотя бы и ограниченная определенными рамками, сделана попытка построения целостной такой теории. В данной теории окончательный, совершенный компромисс в интересах сторон, участвующих в задаче дележа, рассматривался как предел итеративной последовательности, моделирующей в соответствии с первоначально избранным принципом оптимальности, или, иначе, принципом достижения окончательного компромисса, многошаговый процесс принятия решения о распределении общего блага. При этом итерационный оператор отождествлялся с соответствующим принципом оптимальности, а в случае сходимости указанной последовательности к однозначному решению, т. е. к дележу, этот оператор назывался финально совершенным.

Изложению основ динамической теории классических кооперативных игр, а также её распространению с задачи дележа на задачу распределения, посвящена первая глава диссертационной работы. 8

До недавнего времени одним из наиболее содержательных определений понятия принципа оптимальности было такое определение [13, 45], в рамках которого принцип оптимальности отождествлялся с отображением, ставящим в соответствие любой игре из заданного их множества, определенный компромисс (непустое подмножество множества дележей или распределений) в этой игре. Предложенное в работе C.B. Чистякова [49], новое определение принципа оптимальности трактует его как отображение заданного множества игр (точнее заданного подпространства игр (см. §1.3, §2.1 диссертационной работы)), в себя. Примечательно, что новое определение вполне согласуется со старым — они почти равносильны, точнее соотносятся друг с другом примерно так, как соотносятся понятия выпуклого множества и его опорной функции. Однако главное, пожалуй, то, что в рамках нового определения принципа оптимальности имеется возможность моделировать динамику процесса достижения окончательного, в некотором смысле, компромисса. Более того, отметим, что это новое определение позволяет конструировать новые принципы оптимальности на основе старых, используя то, что каждая итерация динамического процесса связана содержательно с промежуточным пересмотром текущих амбиций индивидуальных игроков и их коалиций.

Рассматривая в качестве модели процесса согласования интересов определенную итеративную последовательность, естественно возникает вопрос об изучении характера её сходимости, исследование которого и определяет выбор темы диссертационной работы. В связи с этим, наиболее актуальным является вопрос о том, не будет ли некоторая степень данного финально совершенного оператора значения совершенным оператором значения, т.е. таким оператором, который каждой игре ставит в соответствие однозначное ее решение. Постановка последнего вопроса — вопроса о квазисовершенности принципа оптимальности — предполагает исследование природы определения изучаемого оператора.

Цель работы заключается в развитии упомянутой выше динамической теории классических кооперативных игр. Предлагаемое развитие, 9 в частности, состоит в распространении этой теории с задачи дележа на более общую задачу распределения, а в основном — в изучении вопроса о квазисовершенности параметрического семейства принципов оптимальности типа принципа минимакса [49].

Доказательству квазисовершенности упомянутого выше семейства принципов оптимальности посвящена вторая глава диссертации.

Научная новизна. Свойство квазисовершенности принципов оптимальности, как и вопрос распространения упомянутой выше динамической теории с задачи дележа на задачу распределения, изучается впервые. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность полученных результатов, с одной стороны, состоит в том, что они расширяют сферу возможных приложений динамической теории классических кооперативных игр, а с другой стороны, — в том, что установленное свойство квазисовершенности рассматриваемых принципов оптимальности позволяет предложить эффективные алгоритмы поиска соответствующих совершенных компромиссов на основе решения конечного числа задач линейного программирования. В свою очередь, это составляет естественную основу для исследования разнообразных распределительных задач экономики.

Основные научные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем: предложен и обоснован новый динамический подход к решению общей задачи распределения в теории классических кооперативных игр; для параметрического семейства принципов оптимальности типа принципа минимакса доказано, что они обладают свойством квазисовершенности и установлена оценка сверху для числа шагов за которое сходится соответствующие им итерационные процессы вне зависимости от выбранной исходной игры; показано, что принцип минимакса не является совершенным, т.е.

10 соответствующая итерационная последовательность в общем случае сходится более чем за одну итерацию. Аналогичный результат установлен и для принципа минимума диспропорции; описаны задачи линейного программирования, к решению которых сводится реализация исследуемых принципов оптимальности (принцип минимакса и принцип минимума диспропорции); на модельных примерах проведен сравнительный анализ принципа минимакса, принципа минимума диспропорции, вектора Шепли и п-ядра.

Численные исследования рассматриваемых принципов оптимальности и упомянутый выше сравнительный анализ этих принципов рассмотрены в третьей главе диссертационной работе.

Отметим также, что основные положения диссертации, выносимые на защиту, более подробно изложены и прокомментированы в заключении.

Апробация работы. Результаты исследований, представленных в работе, докладывались на международной научной конференции "Game Theory and Economics" (Санкт-Петербург, 1996г.), на XXIV научной конференции факультета прикладной математики-процессов управления СПбГУ "Процессы управления и устойчивость" (Санкт-Петербург, 1998г.), на семинаре в Институте математики и механики Уральского отделения РАН (Екатеринбург, 1998г.), на семинаре лаборатории теории игр и принятия решений Санкт-Петербургского экономико-математического института РАН (Санкт-Петербург, 1998г.), на городском семинаре по теории игр под руководством проф. JI.A. Петросяна (Санкт-Петербург), а также на семинарах кафедры математической статистики, теории надежности и массового обслуживания факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Диссертация выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и проводилась по проекту №98-01-01056.

Публикации. Результаты диссертации нашли отражение в работах [9, 10, 11] и [56], приводимых в библиографическом списке использои ванной литературы в конце диссертационной работы.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы из 70 наименований и имеет общий объем 123 страницы.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Васецов, Матвей Евгеньевич

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Предложен и обоснован новый динамический подход к решению общей задачи распределения в теории классических кооперативных игр. В рамках этого подхода принятие решения трактуется не как одноактное действие, что имеет место в других известных подходах, а как многошаговый процесс, определяемый выбором принципа оптимальности, который отождествляется с отображением пространства классических кооперативных игр в себя.

2. Исследовано параметрическое семейство принципов оптимальности типа принципа минимакса. Для этого семейства упомянутый выше многошаговый процесс сходится к аддитивной игре, которая однозначно определяет распределение в исходной игре. Доказано, что каждый принцип оптимальности из этого семейства обладает свойством квазисовершенности и установлена оценка сверху для числа шагов, за которое сходится соответствующий выбранному принципу оптимальности итерационный процесс, вне зависимости от выбранной исходной игры. Отдельные из этого семейства принципов оптимальности имеют ясный экономический смысл, что служит основой возможного их приложения к решению прикладных задач.

3. Даны описания задач линейного программирования, к решению которых сводится реализация исследуемых принципов оптимальности (принцип минимакса и принцип минимума диспропорции). Таким образом показано, что вычисление элементов итеративной последовательности, соответствующих исследуемым принципам оптимальности, может

116 быть проведено с помощью известных методов теории линейного программирования.

4. С помощью методов этой теории установлено, что принцип мини-макса, при единичных значениях его параметров, вообще говоря, не является совершенным. В свою очередь, это означает, что соответствующая итерационная последовательность в общем случае сходится более чем за одну итерацию. Аналогичный результат установлен и для принципа минимума диспропорции, также при выборе единичных значений соответствующих параметров.

5. При помощи соответствующих задач линейного программирования на модельных примерах проведен сравнительный анализ принципа ми-нимакса, принципа минимума диспропорции, вектора Шепли и п-ядра.

Далее, прокомментируем, кратко, отдельные из сформулированных выше основных положений диссертационной работы, а также коснемся, возможных направлений развития полученных результатов.

За рамками этой теории остаются многие актуальные проблемы соответствующей теории, которые в работе до сих пор не упоминались. Так, например, остается открытым вопрос о квазисовершенности принципа минимума диспропорции, хотя, положительное решение этого вопроса кажется вполне правдоподобным.

Стоит заметить также, что известный аксиоматический подход [41] к решению задач распределения или дележа следует, быть может, пересмотреть на основе положений динамической теории классических кооперативных игр, поскольку некоторые из известных аксиом, возможно, будут не соответствовать динамической природе рассматриваемой многошаговой модели, а некоторые — не полностью характеризовать динамический процесс достижения совершенного компромисса.

В качестве перспективных направлений исследований следует указать построение аналогов динамической теории классических кооперативных игр для арбитражных схем [18, 24, 27, 41], игр поиска [37] и многокритериальных задач оптимизации [21, 34, 35]. Одним из интересных

117 направлений распространения многошагового подхода может представлять собой и динамический подход к теории нечетких кооперативных игр [17, 53].

Актуальными, в связи с возможными приложениями к экономике, будут являться пересмотренные в рамках динамической теории классических кооперативных игр задачи исследования модели рынков, модели обмена [1, 42, 53, 61], модели поведения фирм на рынке [47], модели внутрифирменной организации [2] и другие различные модели экономического взаимодействия [25].

Касаясь дальнейшего распространения динамического подхода, отметим, что на основе этого подхода интенсивно развивающаяся в настоящее время теория кооперативных дифференциальных игр [8, 22, 38, 40, 50] также могла бы найти одно из направлений своего развития.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Васецов, Матвей Евгеньевич, 1998 год

1. Алипрантис К., Браун Д., Бёркеншо О. Существование и оптимальность конкурентного равновесия. — М.: Мир, 1995. — 384 с.

2. Аоки М. Фирма в японской экономике. — СПб.: Лениздат, 1995. — 431 с.

3. Ашманов С.А. Линейное программирование. — М.: Наука, 1981. — 340 с.

4. Ашманов С.А., Тимохов A.B. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. — М.: Наука, 1991. — 446 с.

5. Берж К. Общая теория игр нескольких лиц. — М.: Гос. Изд.-во Физ.-Мат. Лит., 1961. — 128 с.

6. Бондарева O.A. Некоторые применения методов линейного программирования к теории кооперативных игр. — Проблемы кибернетики, 1963, №10. — С. 119-140.

7. Бьюкенен Дж. Сочинения. — М.: Таурус Альфа, 1997. — 560 с. — (Нобелевские лауреаты по экономике, Т.1).

8. Вайсборд Э.М., Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения. — М.: Советское радио, 1980. — 304 с.

9. Васецов М.Е. К вопросу о совершенности двух принципов оптимальности в кооперативных играх // Процессы управления и устойчивость: Труды XXIX научной конференции. — СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1998. — С. 300 308.119

10. Васецов М.Е., Чистяков C.B. Об одном классе квазисовершенных принципов оптимальности в классических кооперативных играх. Деп. в ВИНИТИ, №3352-В97, от 17.11.97.

11. Васецов М.Е., Чистяков C.B. О некоторых квазисовершенных принципах оптимальности в кооперативных играх // Вестн. С.Петербург. ун.-та. Сер. 1. 1998. Вып. 4. (№22).

12. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.1. М.: Наука, 1980. — 552 с.и

13. Вилкас Э.И. Оптимальность в играх и решениях. — М.: Наука, 1990. — 256 с.

14. Воробьев H.H. Теория игр для экономистов-кибернетиков. — М.: Наука, 1985. —■ 272 с.

15. Гавурин М.К., Малоземов В.Н. Экстремальные задачи с линейными ограничениями. — JL: Изд-во ЛГУ, 1984. — 176 с.

16. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. — М.: Наука, 1972. — 368 с.

17. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. — М.: Наука, 1990. — 432 с.

18. Дюбин Г.А., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр.1. М.: Наука, 1981. — 336 с.

19. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. 4.1.1. М.: Наука, 1982. — 616 с.

20. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. — М.: Мир, 1964. — 840 с.

21. Кини P.JL, Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. — М.: Радио и связь, 1981. — 560 с.

22. Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. — Екатеринбург.: Наука, 1993. — 185 с.120

23. Кулаковская Т.Е., Наумова Н. И. Некоторые методы нестатистического анализа социологических и экспертных данных // Сб. Математические методы в социально-экономических исследованиях.

24. СПб.: ТОО ТК "Петрополис", 1996. — С. 79-99.

25. Кукушкин Н.С., Морозов В.В. Теория неантагонистических игр.

26. М.: Изд-во МГУ, 1984. — 104 с.

27. Левин М.И., Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математические модели экономического взаимодействия. — М.: Физматлит, 1993. — 376 с. — (Теория и модели системного анализа).

28. Линейные неравенства и смежные вопросы. Сб. Статей под редакцией Г.У. Куна и А.У. Таккера. — М.: ИЛ, 1959. — 472 с.

29. Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. — М.: ИЛ, 1961. — 642 с.

30. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. — М.: Физматгиз, 1960.420 с.

31. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики.1. М.: Мир, 1985. — 200 с.

32. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. — М.: Мир, 1991. — 464 с.

33. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970. — 709 с.

34. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. — М., Мир, 1988. — 510 с.

35. Оуэн Г. Теория игр. — М.: Мир, 1971. — 232 с.

36. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. — М.: Советское радио, 1975. — 192 с.

37. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. — М.: Наука, 1982. — 256 с.121

38. Партхасаратхи Т., Рагхаван Т. Некоторые вопросы теории игр двух лиц. — М.: Мир, 1974. — 296 с.

39. Петросян JI.A., Гарнаев А.Ю. Игры поиска. — СПб.: Изд.-во СПбГУ, 1992. — 216 с.

40. Петросян JI.A., Данилов H.H. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. — Томск.: Изд.-во Томск, ун-та, 1985. — 276 с.

41. Петросян JI.A., Зенкевич H.A., Семина Е.А. Теория игр. — М.: Высш. шк., Кн. дом "Университет", 1998. — 340 с.

42. Петросян JI.A., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения. — JL: Изд.-во Ленингр. ун-та, 1982. — 252 с.

43. Печерский C.JL, Соболев А.И. Проблема оптимального распределения в социально-экономических задачах и кооперативные игры.1. JL: Наука, 1983. — 176 с.

44. Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. — М.: Мир, 1974.160 с.

45. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973. — 472 с.

46. Смирнов Р.О.,Чистяков C.B. О механизме размещения государственного заказа на конкурсной основе // Вестник ЛГУ. Сер. 5, 1989. Вып.4. (№26).

47. Современное состояние теории исследования операций // Под ред. H.H. Моисеева. — М.: Наука, 1979. — 464 с.

48. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. Т. 1. — М.: Мир, 1991. — 360 с.

49. Тироль Ж. Рынки и рыночная власть: Теория организации промышленности. — СПб.: Экономическая школа, 1996. — XLII + 745 с.

50. Федоров В.В. Численные методы максимина. — М.: Наука, 1979.280 с.122

51. Чистяков С.В. Динамический аспект решения классических кооперативных игр // Докл. АН. — 1993. — Т. 330, №6. — С. 707-709.

52. Чистяков С.В. О построении сильно динамически устойчивых решений кооперативных дифференциальных игр // Вестник ЛГУ. Сер.1, 1992. Вып. 1. (№1).

53. Чистяков С.В. Процессы управления в условиях конфликта и неопределенности // Дис. . докт. физ.-мат. наук. СПб. 1993.

54. Banzhaf J. F. Weighted voting doesn't work: a mathematical analysis // Rutgers Law Rev. — 1965. — V. 19 — R 317-343.

55. Billot A. Economic Theory of Fuzzy Equilibria. — Springer-Verlag, 1992. — 167 p.

56. Bird Ch. A Class of Convex Nuclei Solution Concepts From Difference In Coalition Excesses // SIAM Journal of Applied Mathematics. — Vol. 29, No. 3, November 1975. — R 503-510.

57. Borch K. Application of Game Theory to some Problems in Automobile Insurance // The ASTIN Bulletin. — 1962. — Vol. 2, No 2. — R 208-221.

58. Chistykov S.V., Vasetsov M.Y. Quasiperfect Optimality Principles for Classical Cooperative Games // Game Theory and Economics. N.N. Vorob'ev memorial conference. June 27-30, 1996. Abstracts. — P. 11.

59. Davis M., Maschler M. The kernel of a cooperative game // Naval Res. Log. Quart., 1965, Vol.12. — P. 223-259.

60. Driessen Т., Muto S., Nakayama M. A Cooperative Game of Information Trading: The Core, the Nucleolus and the Kernel // ZOR Methods and models of Operations Research. — 1992. — No 36. — P. 55-72.

61. Gillies D.B. Solution to general non-zero games // Contributions to the theory of games. — V. IV, Ann. Math. Studies., 1959. V. 40. — P. 48-85.123

62. Ichiishi T. Comparative Cooperative Game Theory // International Journal of Game Theory. — 1990. — Vol. 19, Issue 2. — P. 139-152.

63. Ichiishi T. Game Theory for Economic Analysis. Academic Press. NY, 1983.

64. Kohlberg E. On the nucleolus of a characteristic function game // SIAM Journal of Applied Mathematics. — Vol. 20, No. 1, January 1971. — P. 62-66.

65. Rabie M. E. A note an exact games // International Journal of Game Theory.-1981. V10, No 3/4. — P. 131-132.

66. Schmeidler D. Cores of Exact Games, I. // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — No 40. 1972. — P. 214-225.

67. Schmeidler D. The nucleolus of a characteristic function game // SIAM J. Appl. Math. — 1969. V.17. — P. 1163-1170.

68. Shapley L.S. A value for n-person games // Contributions to the theory of games. — V. 11; Ann. Math. Studies. V 28. — Princenton: Princenton Univ. Press, — 1953. — P. 307-318.

69. Shapley L.S. Cores of convex games // International Journal of Game Theory. — 1971. No 1. — P. 11-26.

70. Shapley L.S. On balanced sets and cores // Naval Res. Log. Quart. — 1967. — V. 14. — P. 453-460.

71. Sharkey W.W. Cooperative Games with Large Cores // International Journal of Game Theory. — 1982. — 11. No 1, 2. — P. 175-182.

72. Walkup, Wets. Lifting projections of convex polyhedra // Pacific J. Math., — 1969. — No. 28. — P. 465-475.