Математическое моделирование безударного сильного сжатия теплопроводного невязкого газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чернышов, Юрий Юрьевич

• Чернышов, Юрий Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чернышов, Юрий Юрьевич

Введение.

Глава 1. Безударное сильное сжатие одномерных слоев теплопроводного невязкого газа.

§ 1. Система уравнений для описания одномерных течений теплопроводного невязкого газа.

§ 2. Задача о получении конечного наперед заданного одномерного распределения плотности.

§ 3. Одномерный аналог центрированной волны для течений теплопроводного невязкого газа.

§ 4. Приближенные закономерности неограниченного сжатия одномерных слоев теплопроводного невязкого газа.

§ 5. Построение составного течения

Глава 2. Безударное сильное сжатие двумерных слоев теплопроводного невязкого газа.

§ 6. Система уравнений для описания двумерных течений теплопроводного невязкого газа.

§ 7. Задача о получении конечного наперед заданного двумерного распределения плотности

§ 8. Двумерный аналог центрированной волны для течений теплопроводного невязкого газа.

§ 9. Приближенные закономерности неограниченного сжатия двумерных слоев теплопроводного невязкого газа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование безударного сильного сжатия теплопроводного невязкого газа»

Диссертация посвящена применению математического моделирования и численных методов для исследования проблемы, имеющей как теоретический, так и прикладной аспекты: описание процессов безударного сильного сжатия сплошных сред при учете влияния дополнительных физических эффектов, характерных для среды с большими значениями плотности и температуры - равновесного излучения и комптоновского механизма рассеивания фотонов.

Исследование явлений неограниченной кумуляции энергии актуально в связи с различными приложениями в науке и технике. Одной из задач, связанных с эффектом неограниченной кумуляции, является управляемый термоядерный лазерный синтез, описанный, например, в книге Е.И. Забабахина, И.Е. Забабахина [29]. При термоядерном лазерном синтезе для инициирования термоядерных процессов необходимо получить очень большие значения плотности и температуры. С точки зрения минимизации энергетических затрат для достижения требуемых значений параметров наибольший интерес представляют режимы, при которых осуществляется безударное сжатие вещества. Кроме этого, именно режимы безударного сильного сжатия позволяют получить большие значения плотности газа.

Решение задачи безударного сильного сжатия невозможно без математического моделирования, которое позволяет исследовать возникающие процессы без дорогостоящего, а иногда и просто невозможного физического эксперимента. В качестве математической модели, достаточно адекватно описывающей процессы сжатия, часто используется модель идеального газа. Система уравнений газовой динамики для нетеплопроводного невязкого газа имеет гиперболический тип, и поэтому в такой среде, в частности, возможны течения газа со слабыми разрывами на звуковых или контактных характеристиках. Наличие звуковых характеристик, распространяющихся с конечной скоростью, позволяет решать многие актуальные задачи газовой динамики, в том числе задачу о безударном сильном сжатии.

Математическое моделирование безударного сильного сжатия газа ведется в различных направлениях.

Первое направление математического моделирования безударного сильного сжатия газа состоит в использовании точных решений систем уравнений газовой динамики для политропного газа.

Для такого газа наиболее исследованными являются одномерные неустановившиеся течения. Для описания некоторых плоскосимметричных течений газа применяется центрированная волна Римана - классическое решение системы уравнений газовой динамики, обладающее особенностью где Х\ - независимые переменные, вектор и задает параметры течения газа. При £ < центрированная волна Римана описывает течение, возникающее при безударном сильном сжатии плоского слоя в идеальном газе, что описано в работе К.П. Станюковича [57]. Е.И. Забабхиным, И.Е. Забабахиным [29] указано, что впервые центрированная волна Римана применена Гюгонио [62] и Релеем [63] для описания сжатия плоского слоя газа до сколь угодно большой плотности.

В случае цилиндрически и сферически симметричных течений особенностью, аналогичной особенности в центрированной волне Римана, обладают автомодельные решения Л.И. Седова [48] с помощью которых осуществляется описание безударного сильного сжатия первоначально однородного и покоящегося в цилиндре или в шаре идеального политропного газа. Интерпретации этих решений для задач о безударном сильном сжатии газа посвящены работы Я.М. Каждана [35, 36, 37], И.Е. За-бабахина, В.А. Симоненко [31], А.Н. Крайко, Н.И. Тилляевой [40].

В работе В.А. Сучкова [58] описано одно точное двумерное автомодельное решение, примененное к описанию истечения газа в вакуум с наклонной стенки в случае, когда показатель политропы газа 7 и угол наклона стенки согласованы. Это решение было обобщено А.Ф. Сидоровым [49] на случай трехмерных автомодельных течений и использовано для описания истечения газа в вакуум из трехгранного угла при согласованных значениях 7 и двугранных углов. Полученные в работах [49, 58] два точных решения задачи об истечении газа в вакуум были применены А.Ф. Сидоровым [52] для описания безударного сильного сжатия до бесконечной плотности газа, который в начальный момент покоится внутри призмы или многогранника при согласованных значениях показателя политропы газа 7 и угла призмы или двугранного угла многогранника. Из построенных в [52] аналитических решений, описывающих двух- и трехмерное безударное сильное сжатие идеального газа, следует, что использование сжимающего поршня специальной формы или организация специальных граничных условий позволяют получать кумуляцию выше, чем в сферически-симметричном случае. Данная гипотеза А.Ф. Сидорова, высказанная им на основе двух точных решений, для случая по-литропного газа подтверждена результатами A.B. Рощупкина [47].

Второе направление математического моделирования безударного сильного сжатия газа связано с приближенными аналитическими, численными и комбинированными численно-аналитическими методами. Г.В. Долголевой, A.B. Забродиным [24, 25, 27, 28, 32] для течений с плоской, сферической и цилиндрической симметрией рассмотрена задача о достижении больших по плотности степеней сжатия и требуемого нагрева при минимально необходимом вложении энергии для зажигания термоядерной микромишени оболо-чечной структуры. Для этой задачи указан способ построения оболочечных систем и установлена зависимость вложения энергии от времени, реализация которой позволяет воспроизвести в средней части мишени необходимые для начала термоядерной реакции значения параметров среды. Эти значения, в том числе скорости и плотности газа, согласованы между собой в соответствии со значениями в центрированной волне Римана.

В монографии С.П. Баутина [7] предложен единый подход к математическому моделированию безударного сильного сжатия газа. При этом сначала ставятся начально-краевые задачи, описывающие процесс безударного сильного сжатия произвольного, локально аналитического фонового течения на произвольной, локально аналитической поверхности. Для поставленных начально-краевых задач доказываются теоремы существования и единственности аналитических и кусочно-аналитических решений. Решения рассматриваемых задач представляются в виде бесконечных рядов с коэффициентами, рекуррентно определяемыми в явном виде или через квадратуры. Исследуются свойства решений, устанавливаются приближенные закономерности поведения газодинамических параметров при неограниченном росте плотности. С использованием полученных математических свойств исследуемых процессов решаются конкретные задачи, моделирующие процессы безударного сильного сжатия газа. В том числе, для конкретных конфигураций сжимаемых объемов, используемых в физических экспериментах, а также при учете дополнительных физических факторов (излучение, теплопроводность) и реальных уравнений состояния. Многие полученные ранее точные решения, в том числе центрированная волна Римана, вкладываются в решения, найденные с использованием методики С.П. Баутина, как частные случаи, при которых обрываются соответствующие ряды и получаются конечные формулы. Этот подход получил дальнейшее развитие при математическом моделировании газовых течений как в работах С.П. Баутина [8-14, 64, 65], так и в работах его учеников: C.JI. Дерябина, A.JI. Казакова, Ю.В. Николаева, A.B. Рощупкина, С.А. Ягупова [15-23, 43, 47, 61] и автора [64-68].

Использование реальных уравнений состояния и учет влияния дополнительных физических эффектов являются наиболее актуальными и востребованными практикой направлениями исследования процессов безударного сильного сжатия газа. В том числе и потому, что ранее высказывалось предположение, что процесс кумуляции ослабляется такими физическими факторами как теплопроводность, учет реальных уравнений состояния вещества и т.д. [52, 55]. Рассмотрение дополнительных физических эффектов приводит к необходимости учитывать влияние диссипативных процессов. Системы дифференциальных уравнений, описывающие эти процессы, свойством гиперболичности уже не обладают. В частности, полная система уравнений Навье - Стокса, описывающая течения теплопроводного вязкого газа, имеет смешанный тип. В течениях такой сплошной среды также могут быть слабые разрывы на фронте тепловой волны, распространяющейся по холодному фону, либо на контактной поверхности, что исследовано в работах С.П. Баутина [4, 5].

В задачах о получении больших значений температуры и плотности для более адекватного описания возникающих течений необходимо учитывать равновесное излучение и комптоновский механизм рассеивания фотонов. Эти процессы описаны в работах Е.И. Забабахина, И.Е. Забабахина [29], Я.Б. Зельдовича, Ю.П. Райзера [33], Е.И. Забабахина, В.А. Симоненко [30]. Течения с такими свойствами, в том числе при больших значениях температуры, описываются с использованием математической модели теплопроводного невязкого газа. В работах С.П. Баутина [12, 13] показано, что в течениях теплопроводного невязкого газа могут присутствовать слабые разрывы трех типов: на звуковых характеристиках, на контактных поверхностях и на фронте тепловой волны, распространяющейся по холодному фону. При этом скорость распространения звуковых характеристик в теплопроводном газе равна

VT с R ск = —= = —, 7 =--hi, it, cv - const, уТ \ЛУ Cv где с - скорость распространения звуковых характеристик в идеальном газе, то есть ск не зависит от коэффициента теплопроводности и строго меньше с. Наличие звуковых характеристик в течениях теплопроводного невязкого газа, распространяющихся с конечной скоростью, позволяет строить решения, описывающие безударное сильное сжатие газа (в частности, с помощью бесконечных сходящихся рядов), и затем состыковывать построенные решения через характеристики с заданными течениями.

Влияние лучистой теплопроводности на процесс кумуляции плоского слоя газа численно было исследовано М.Г. Анучиным с использованием комплекса программ "Тигр" [1].

Цель работы.

Целями данной работы являются:

1. Исследование процесса безударного сильного сжатия при учете влияния равновесного излучения и комптон-эффекта с использованием математической модели теплопроводного невязкого газа. А именно, решение задач о получении конечного наперед заданного распределения плотности и о получении вертикального распределения плотности в одномерном и двумерном случаях.

2. Уточнение области применимости построенных решений и обоснование возможности их использования для описания течений с большими значениями плотности. В том числе, получение приближенных закономерностей изменения параметров газа на сжимающем поршне.

3. Применение полученных приближенных аналитических представлений для численного восстановления полей течений, возникающих при безударном сильном сжатии одномерных и двумерных слоев теплопроводного невязкого газа.

Методы исследования.

В работе использованы аналитические и численные методы исследования математической модели - нелинейной системы дифференциальных уравнений для теплопроводного невязкого газа. Учет теплопроводности приводит к тому, что рассматриваемая система дифференциальных уравнений имеет смешанный тип - уравнение энергии является уравнением параболического типа, а уравнения неразрывности и импульса образуют гиперболическую часть системы. Решения представляются в виде сходящихся рядов, для которых исследуется область сходимости и устанавливается возможность их применения для описания течений с большими значениями плотности. Начальные отрезки построенных рядов используются для приближенного описания возникающих течений с помощью численных методов, а также для установления приближенных закономерностей сильного сжатия теплопроводного невязкого газа.

Структура и основные результаты диссертации.

Работа состоит из введения, двух глав, содержащих девять параграфов, имеющих сквозную нумерацию, заключения, списка литературы и рисунков.

В первой главе рассматривается задача безударного сильного сжатия одномерных слоев газа при учете равновесного излучения и комптоновского механизма рассеивания фотонов. Для учета данных физических явлений используется математическая модель теплопроводного невязкого газа.

Глава содержит 5 параграфов.

В первом параграфе приводится и преобразуется система дифференциальных уравнений для одномерных течений теплопроводного невязкого газа. Учет равновесного излучения приводит к тому, что в качестве уравнений состояния принимаются соотношения гр 4 гр 4 р = RpT + а— , е = cvT + а— ; R, а, cv = const > О, 3 р где а - постоянная Стефана-Больцмана. Коэффициент теплопроводности к берется в соответствии с комптоновским механизмом рассеивания фотонов

2 Г3 R к =-<тс*а— ; 7 — 1 = — >0, с*, a — const.

7-1 р cv

В рассматриваемой системе стандартным способом вводятся независимые переменные и новая искомая функция в = In р. При решении задачи о получении вертикального распределения плотности у искомого течения при t —у — 0 обращается в бесконечность производная вг, как это происходит в простой центрированной волне Римана. Для раскрытия этой особенности делается замена t = tf, r = r(t',e).

Во втором параграфе рассматривается задача о получении конечного наперед заданного одномерного распределения плотности. Решение этой задачи в момент t = t* особенности не имеет и строится в виде специального бесконечного сходящегося ряда по степеням независимой переменной в пространстве переменных (t, г). Для выделения единственного решения задается еще одно условие где функция 9 — 0*(г) является аналитической, известной и связанной соотношением 0*(г) = 1п/о*(г) с наперед заданным в момент t = t* распределением плотности р = р*(г).

Для понижения порядка системы, а также для упрощения исследования задачи вводится новая искомая функция F\ = Тх. В задаче, в соответствии со стандартной методикой [7], делаются преобразования с использованием невырожденных матриц Т\(у) и ТЦ?/). В матрице Т\АТ2\Х=0 элементы нижней строки и правого столбца тождественно равны нулю, а элемент в правом нижнем углу матрицы Т\ВТ2\Х=0 отличен от нуля, как это и требуется при сведении к характеристической задаче Коши стандартного вида. Определяется вектор новых неизвестных функций = Т21Т?(х, у). В конце параграфа находятся необходимые условия разрешимости задачи.

В третьем параграфе рассматривается задача о получении вертикального распределения плотности при безударном сильном сжатии одномерных слоев теплопроводного невязкого газа. При этом искомое течение в точке (t = г — г*) обладает особенностью, аналогичной особенности у центрированной волны Римана [57], то есть график функции в = 6(t, 7")li=const<i, при t —> t* — 0 переходит в вертикальную прямую г = г*, что приводит к дополнительному "условию вертикали" [7] rW)\t=u=r*

Особенность в рассматриваемой задаче раскрывается с помощью замены t = t', r = r(t',d), которая является вырожденной в точке (¿*, г*). Искомое течение описывается с помощью специального бесконечного сходящегося ряда, и примыкает через звуковую характеристику в теплопроводном невязком газе С*, которая в пространстве независимых переменных (t, в) задается соотношением в = 9oo(t), к некоторому фоновому течению, параметры которого на звуковой характеристике С^ r(t,e)\c±=ro(t), u{t,9)\c± = uoo{t), r(i,0)b=Too(f),

Te(t,e)\c± =T10(t), связаны дополнительным дифференциальным соотношением droMooW)

--= —

При исследовании задачи о получении вертикального распределения плотности использован новый способ сведения к характеристической задаче Коши стандартного вида [7]. А именно, в рассматриваемой системе вводится новая искомая функция ЩТТУ которая в момент t = t* особенности не имеет. Получающаяся при такой замене нелинейная система дифференциальных уранений первого порядка проще для исследования. Заметим, что функция W(t, 9) задает производную Тг в параметрическом виде.

Для уточнения области существования решения задачи о получении вертикального распределения плотности, это решение строится в виде степенного ряда

Too(t)' fc=о к\ ' dtk t=u

В явном виде найдены начальные коэффициенты ряда, для коэффициентов с произвольным номером к > 1 получены рекуррентные формулы. Построенные аналитические решения применяются для численного описания течений, возникающих при безударном сильном сжатии одномерных слоев теплопроводного невязкого газа. С помощью конечных отрезков ряда численно восстанавливаются поля течений для плотности, скорости и температуры.

При исследовании структуры коэффициентов ряда установлено, что при 9 = 1пр —> оо его область сходимости задается соотношением

Me26\t — < 1, М — const > О, то есть эта область является неограниченной по переменной 9. С использованием этого свойства обосновано применение построенного ряда для описания закона движения поршня, сжимающего газ до больших значений плотности.

С учетом найденных начальных коэффициентов решение задачи может быть записано в виде 7 иоо - 1 ± ии Л

-100 \

Я-т-т+тт-и),

1-00 ъ — и=± т°° в + и00 + в){г -1,), Т = Т0о + #)(* - и), 7 где функции f(t,в), д{Ь,в), - аналитические функции. По теореме о существовании неявно заданной функции первое из этих соотношений определяет 0 как функцию от переменных (г — г*) / (£ — £*) и Ь. Следовательно и и Т также являются функциями этих переменных. Таким образом построенное решение обладает особенностью, аналогичной особенности в центрированной волне Римана.

В четвертом параграфе с использованием построенного аналитического решения определяется приближенная зависимость изменения плотности газа при £ —у — 0 на сжимающем поршне, которая имеет вид р\т=гр{1) ~ ^^г» 1 < Р* =

Из сравнения последнего соотношения с аналогичными формулами для по-литропного газа следует, что при сжатии одномерных слоев теплопроводного невязкого газа с учетом равновесного излучения и комптон-эффекта степени кумуляции плотности будут строго больше чем в случае, когда лучистая теплопроводность не учитывается. Из последней формулы также следует, что степень кумуляции в рассматриваемом случае не зависит от показателя политропы 7 и постоянной Стефана-Больцмана а.

С использованием найденных соотношений в работе установлен следующий факт: для любой наперед заданной плотности р\ > 1 существует ненулевая масса покоящегося и однородного газа, которую под действием непроницаемого поршня можно безударно сжать до плотности р\. Тем самым обосновано применение построенного аналитического решения для описания движения поршня, сжимающего газ до больших значений плотности.

В пятом параграфе описано построение составного течения с одной точкой переключения режима сжатия. В этом течении через звуковую характеристику С^г состыкованы решения задачи о получении конечного наперед заданного распределения плотности и задачи о получении вертикального распределения плотности - обобщения центрированной волны Римана на случай одномерных течений теплопроводного невязкого газа.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию течений, возникающих при безударном сильном сжатии двумерных слоев газа с учетом равновесного излучения и комптон-эффекта. Для учета указанных физических эффектов также используется математическая модель теплопроводного невязкого газа.

Глава содержит четыре параграфа.

В шестом параграфе приводится и преобразуется система дифференциальных уравнений для двумерных течений теплопроводного невязкого газа. В этой системе делается переход к новым ортогональным криволинейным координатам при котором специальным образом учитывается геометрия кривой и значения газодинамических параметров на ней.

Для описания особенности, возникающей в течении газа в момент сильного сжатия, меняются ролями искомая функция 9 и независимая переменная г/ = 4 = Л?)

Якобиан преобразования равен 770, при условии, что г]? и имеют конечное значение, и обращается в нуль, когда в физическом пространстве независимых переменных ту, £) значение производной вп обратится в бесконечность. При этом в пространстве независимых переменных (£', в, £') производная щ равна нулю и особенностей у решения г] = в, £') нет.

В седьмом параграфе исследована задача о получении наперед заданного конечного двумерного распределения плотности. В этой задаче у искомого решения в момент Ь — особенности нет, поэтому для описания возникающего течения можно строить решение в пространстве физических независимых переменных (¿,77,^) в виде бесконечного сходящегося ряда. Звуковая характеристика в теплопроводном невязком газе С^ в пространстве независимых переменных (¿, 77, £) задается соотношением 7] = £). Начальные данные для рассматриваемой системы на звуковой характеристике С* имеют вид г)=ф{1£) что позволяет также однозначно определить функцию

97?

4=^(4,0

Функции фонового течергая £/оо(^> £) связаны дополнительным дифференциальным соотношением 7

1 . о, определяющим закон движения характеристической поверхности 77 = ?/>(£,£) в пространстве независимых переменных 77, £).

Так как кратность звуковой характеристики, на которой задаются начальные данные, равна единице, то для выделения единственного решения необходимо задать еще одно дополнительное условие где функция 0 = С) считается аналитической, известной и связанной соотношением 0*(т7,£) = (77, £) с наперед заданным в момент t = требуемым двумерным распределением плотности р = р*(т7,£).

При исследовании задачи стандартным способом понижается порядок дифференциальных уравнений, входящих в рассматриваемую систему. Затем исследуются условия, при которых задача является характеристической. При этом также получены необходимые условия разрешимости характеристической задачи.

В восьмом параграфе исследуется задача о получении вертикального распределения плотности при безударном сильном сжатии двумерных слоев теплопроводного невязкого газа. В этой задаче в момент времени £ = у искомого решения есть особенность, которая раскрывается с помощью перемены ролей независимой переменной 7] и искомой функции 9, то есть с помощью замены

Поэтому для описания течения, требуемого для получения вертикального распределения плотности, ищется решение системы с данными Коши на звуковой характеристике С^, которая в пространстве независимых переменных в, £) задается соотношением

0 = ми) = ыин).

Искомые функции на звуковой характеристике С^ задаются в следующем виде

0=000 («,о ФАС) х что позволяет также однозначно определить функцию дт(г,в,0 дв т10(*,О. а

Для выделения единственного решения задачи необходимо задать дополнительное условие вертикали

ФАО= которое является следствием того, что сжатие происходит до бесконечной плотности и в момент £ = возникает бесконечный градиент.

При исследовании рассматриваемой задачи используется новый способ сведения задачи к стандартному виду, аналогичный использованому в первой главе. А именно - вводится новая искомая функция понижающая порядок дифференциальных уравнений, входящих в рассматриваемую систему, и существенно упрощающая задачу. При этом также упрощается процедура построения коэффициентов ряда, являющегося решением задачи о получении вертикального распределения плотности.

Для уточнения области существования решения задачи о получении вертикального распределения плотности, это решение строится в виде ряда к~° ' ь=и

В явном виде найдены начальные коэффициенты ряда. Для коэффициентов с произвольным номером к > 1 получены рекуррентные соотношения. Построенные аналитические решения применяются для численного описания течений, возникающих при безударном сильном сжатии двумерных слоев теплопроводного невязкого газа. О помощью конечных отрезков ряда численно восстанавливаются поля течений для плотности и температуры.

При анализе структуры коэффициентов построенного ряда установлено, что область его сходимости задается соотношением

М^)е29\1-и\ < 1, где М(£) - некоторая аналитическая функция, мажорирующая нуль. Таким образом, область сходимости построенного решения является неограниченной по переменной в в некоторой окрестности точки £ =

С использованием вида начальных коэффициентов построенного решения справедливы следующие формулы в = т -1) + я*, в, т - и), и = + и°(0 + д(Ь, 9, № - и),

V = ^^о1^9 + + в' ~ где f(t,ê,^), g(t,0, £), h(t,0,Ç), q(t,6, £) - аналитические функции. По теореме о существовании неявно заданной функции первое из этих соотношений определяет в как функцию от переменных (г\ — 77* ) / {t — £*), t, Следовательно три других газодинамических параметра и, v и Т можно считать функциями этих переменных. Таким образом построенное решение обладает особенностью, аналогичной особенности в центрированной волне Римана.

В девятом параграфе определяется приближенная закономерность для изменения плотности на сжимающем поршне. При этом получено соотношение

0I ~ t < t откуда следует, что при учете равновесного излучения и комптон-эффекта степени кумуляции будут больше, чем в случае идеального газа. Кроме этого, степень кумуляции в рассматриваемом случае, так же как и для одномерных течений, полученных в первой главе, не зависит от показателя политропы 7 и постоянной Стефана-Больцмана ст.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

В приложении 1 описана процедура построения решения задачи о получении вертикального распределения плотности при безударном сильном сжатии одномерных слоев теплопроводного невязкого газа после введения новой искомой функции W(t,thêta).

В приложении 2 приведены выкладки для перехода к криволинейным ортогональным координатам (77, £) в системе для описания двумерных течений теплопроводного невязкого газа.

В приложении 3 описано построение решения задачи о получении вертикального распределения плотности при безударном сильном сжатии двумерных слоев теплопроводного невязкого газа в виде ряда по степеням независимой переменной (t —

В приложении 4 изложено получение функции z), необходимой для постановки начальных условий для функции W = Те/1le

Список литературы содержит ссылки на 85 работ и составлен в алфабитном порядке. В конце его приведены работы автора по теме диссертации (см. [64] - [85]).

Апробация работы. Результаты работы докладывались

• на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001 г.;

• на 19 Всероссийской школе-семинаре 'Аналитические методы и оптимизация процессов механики жидкости и газа" (САМГОП — 2002), Снежинск, РФЯЦ - ВНИИТФ, 2002 г.;

• на Международной конференции "VI Забабахинские научные чтения", Снежинск, РФЯЦ - ВНИИТФ, 2001 г.;

• на Международной конференции "VII Забабахинские научные чтения", Снежинск, РФЯЦ - ВНИИТФ, 2003 г.;

• на Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика" (RDAMM — 2001), посвященной 80-летию академика Н.Н. Яненко, Новосибирск, ИВТ СО РАН, 2001 г.;

• на Всероссийской конференции "Аэродинамика и газовая динамика в XXI веке", посвященной 80-летию академика Г.Г.Черного, Москва, МГУ, 2003 г-;

• на Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной 70-летию со дня рождения академика А.Ф.Сидорова, Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2003 г.;

• на Международной конференции "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, ИВМ СО РАН, 2001 г.;

• на Всероссийской конференции молодых ученых "Проблемы исследований и разработок по созданию силовых и энергетических установок XXI века", Москва, ЦИАМ им. П.И.Баранова, 2000 г.;

• на конференции молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике, Новосибирск, ИВТ СО РАН, 2001 г.;

• на Международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Новосибирск, ИВТ СО РАН, 2002 г.;

• на IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, ИВТ СО РАН, 2003 г.;

• на Межотраслевой научно-практической конференции "Снежинск и наука", Снежинск, 2000, 2003 г.г.

• на XXXIII Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2002 г-;

• на научном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения", УрГУПС, Екатеринбург, 1999-2004 г.;

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чернышов, Юрий Юрьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе математически описан процесс безударного сильного сжатия одномерных и двумерных слоев газа при учете дополнительных физических эффектов, характерных для среды с большими значениями плотности и температуры: равновесного излучения и комптоновского механизма рассеивания фотонов. Для описания соответствующих течений использована модель теплопроводного невязкого газа.

Поставлены и решены две задачи о безударном сильном сжатии одномерных и двумерных слоев теплопроводного невязкого газа:

1) получение наперед заданного конечного распределения плотности,

2) получение вертикального распределения плотности.

Начальные данные для рассмотренных задач задаются на звуковых характеристиках в теплопроводном невязком газе. Установлены существование и единственность локально аналитических решений соответствующих характеристических задач Коши с помощью сведения к стандартному виду, для которого ранее был доказан аналог теоремы Ковалевской. Решение задач построено в виде специальных бесконечных сходящихся рядов. Исследованы свойства построенных решений, описывающих опрокидывание волны сжатия в заданный момент времени, и показано, что эти решения являются аналогами центрированной волны Римана для одномерных и двумерных течений теплопроводного невязкого газа.

Для уточнения области существования решения детально проанализирована структура коэффициентов построенных рядов и доказано, что эти ряды имеют ненулевой радиус сходимости при бесконечном увеличении плотности. Тем самым обоснована возможность применения построенного решения для описания течений с большими значениями плотности.

Получены приближенные закономерности изменения плотности на сжимающем поршне и доказано, что в рассматриваемом случае степени кумуляции будут больше, чем без учета теплопроводности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чернышов, Юрий Юрьевич, 2004 год

1. Анучин М.Г. Влияние теплопроводности на неограниченное безударное сжатие плоского газового слоя // Прикладная механика и техническая физика. 1998. - Т. 39, № 4. - С. 25-32.

2. Баутин С. П. Аналитические решения задачи о движении поршня // Численные методы механики сплошной среды. 1973. - Т. 4, X5 1. - С. 3-15.

3. Баутин С. П. Характеристическая задача Коши для квазилинейной аналитической системы // Дифференциальные уравнения. 1976. - Т. 12. № 11. - С. 2052-2063

4. Баутин С. П. Представление решений системы уравнений Навье Стокса с помощью характеристических рядов // Динамика сплошной среды. -1987. - вып. 83. - С. 11-31

5. Баутин С. П. Представление решений системы уравнений Навье Стокса в окрестности контактной характеристики // Прикладная математика и механика. - 1987. - Т. 51, вып. 4. - С. 574-584

6. Баутин С. П. Аналитическое построение течений вязкого газа с помощью последовательности линеаризованных систем Навье Стокса // Прикладная математика и механика. - 1988. - Т. 52, вып. 4. - С. 579-589

7. Баутин С. П. Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа. Новосибирск: Наука, 1997.

8. Баутин С. П. О возможности изэнтропического перехода от однородного покоя в другое однородное покоящееся состояние идеального газа // Доклады Академии наук. 1998. - Т. 362, № 5 - С. 621-624.

9. Баутин С. П. Асимптотические законы безударного сильного сжатия квазиодномерных слоев газа // Прикладная математика и механика. 1999. - Т. 63, вып. 3. - С. 415-423.

10. Баутин С.П. О задаче получения наперед заданных распределений параметров газа // Прикладная математика и механика. 1999. - Т. 63, вып. 6. - С. 938-946.

11. В ay тин С.П. О существовании решений задачи А.Н. Крайко // Прикладная механика и техническая физика. 2000. - Т. 41, № 3 - С. 48^55.

12. Bay тин С. П. Слабые разрывы в течениях теплопроводного невязкого газа // Доклады Академии наук. 2001. - Т. 377, № 4. - С. 481-484

13. Ваутин С. П. Характеристические поверхности в течениях газа // Прикладная математика и механика. 2001. - Т. 65, вып. 5. - С. 862-873

14. Ваутин С. П. Математическое исследование безударного сжатия газа // Успехи механики. 2002. - Т. 1, № 2 - С. 3-36.

15. Ваутин С.П., Дерябин С. Л. Истечение идеального газа в вакуум // Доклады АН СССР. 1983. - Т. 273, № 4. - С. 817-820.

16. Ваутин С.П., Дерябин С.Л. Двумерное истечение в вакуум // Точные и приближенные методы исследования задач механики сплошной среды. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 3-15.

17. Ваутин С.П., Дерябин С.Л. Задача об истечении в вакуум нормального газа // Динамика сплошной среды. 1993. - вып. 107. - С. 26-38.

18. Ваутин С.П., Казаков А.Л. Течения газа с ударными волнами, расходящимися от оси или центра симметрии с конечной скоростью // Прикладная математика и механика. 1996. - Т. 60, вып. 3. - С. 465-474.

19. Ваутин С.П., Николаев Ю.В. Об одном методе расчета безударного сильного сжатия одномерных слоев газа // Вычислительные технологии. -2000. Т. 5, № 4. - С. 3-12.

20. Ваутин С.П., Ягупое С.А. Анализ возможности изэнтропического сжатия водорода с реальным уравнением состояния // Прикладная математика и механика. 2003. - Т. 67, вып. 1. - С. 42-48.

21. Дерябин С. Л. Трехмерное истечение в вакуум из состояния покоя // Численные методы механики сплошной среды. 1983. - Т. 14, № 4. - С. 58-73.

22. Дерябин С.Л. Трехмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа // Динамика сплошной среды. 1984. - вып. 65. - С. 56-74.

23. Дерябин С.Л., Чуев П.П. Сферически-симметричное истечение самогра-витирующего идеального газа в вакуум // Прикладная математика и механика. 1994. - Т. 58, вып. 2. - С. 77-84.

24. Долголева Г.В., Забродин A.B. Построение последовательности прибле-женных решений для определения величины кумулирующей энергии при схождении слоистой системы оболочек // Известия Академии наук. Механика жидкости и газа. 1999. - № 2. - С. 115-123.

25. Долголева Г.В., Забродин A.B. Воспроизведение безударного сжатия в оболочных конструкциях микромишений. — Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 1999, № 53.

26. Дородницын A.A. Некоторые случаи осесимметричных сверхзвуковых течений газа // Сборник теоретических работ по аэродинамике. — М.: Обо-ронгиз, 1957, с. 77-88.

27. Жуков В. Т., Забродин A.B., Феодоритова О.Б. Схема решения нестационарного двумерных уравнений газовой динамики с теплопроводностью на подвижных криволинейных сетках. — Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 1991, № 18.

28. Жуков В.Т., Забродин A.B., Имшенник B.C., Феодоритова О.Б. Численное моделирование мишени тяжелоионного термоядерного синтеза в приближении теплопроводной газодинамики. — Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 1993, № 41.

29. Забабахин Е.И., Забабахин И.Е. Явления неограниченной кумуляции. -М.: Наука, 1988. 173 с.

30. Забабахин Е.И., Симоненко В. А. Сходящаяся ударная волна в теплопроводном газе // Прикладная математика и механика. 1965. - Т. 29, вып. 2. - С. 334-336.

31. Забабахин И.Е., Симоненко В.А. Сферическая центрированная волна сжатия // Прикладная математика и механика. 1978. - Т. 42, вып. 3. - С. 573-576.

32. Забродин A.B., Плинер Л.А., Северин A.B. Численные расчеты некоторых режимов безударного сжатия. — Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 1996, № 4.

33. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966. - 686 с.

34. Зубов E.H., Сидоров А.Ф.О решении одной краевой задачи для неустановившегося течения газа и распространение слабых ударных волн // Численные методы механики сплошной среды. 1972. - Т. 3, № 3. - С. 32-50.

35. Каждан Я.М. Сферический разлет газа к центру. — Препринт института прикладной математики им. М.В. Келдыша, 1969, N2 150.

36. Каждан Я.М. К вопросу об адиабатическом сжатии газа под действием сферического поршня // Журнал прикладной механики и технической физики. 1977. - № 1. - С. 23-30.

37. Каждан Я.М. Адиабатическое сжатие газа под действием цилиндрического поршня. — Препринт института прикладной математики им. М.В. Келдыша, 1980, № 56.

38. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976, 576 с.

39. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. - 304 с.

40. Крайко А.Н., Тилляева Н.И. Автомодельное сжатие газа // Теплофизика высоких температур. 1998. - Т. 36, № 1. - С. 120-128.

41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Т. VI. Гидродинамика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 736 с.

42. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. - 904 с.

43. Николаев Ю.В. О численном решении задачи безударного сильного сжатия одномерных слоев газа // Вычислительные технологии. 2001. - Т. 6, № 2 - С. 104-109.

44. Овсянников Л. В. Лекции по уравнениям газовой динамики. М.: Наука, 1981. - 448 с.

45. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978.

46. Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.: Физматгиз. 1961. - 304 с.

47. Рощупкин A.B. Исследование некоторых характеристических задач Ко-ши, возникающих при решении неодномерных задач безударного сильного сжатия газа // Вычислительные технологии. 2002. - Т. 7, № 4 - С. 96103.

48. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. — М.: Наука, 1981.

49. Сидоров А.Ф. Два точных решения уравнений гидродинамики типа тройной волны // Прикладная математика и механика. 1964. - Т. 28, вып. 6. - С. 1139-1142.

50. Сидоров А.Ф. Метод решения некоторых краевых задач для нелинейных уравнений гиперболического типа и распространение слабых ударных волн // Прикладная математика и механика. 1972. - Т. 36, вып. 3. -С.426 434.

51. Сидоров А.Ф. Об оптимальном безударном сжатии газовых слоев // Доклады АН СССР. 1990. - Т. 313, № 2. - С. 283-287.

52. Сидоров А.Ф. Некоторые оценки степени кумуляции энергии при плоском и пространственном сжатии газа // Доклады АН СССР. 1991. - Т. 318, № 3. - С. 548-552.

53. Сидоров А.Ф. Безударное сжатие баратропного газа // Прикладная математика и механика. 1991. - Т. 55, вып. 5. - С. 769-779.

54. Сидоров А.Ф. Оценки предельных степеней кумуляции энергии при безударном сжатии газа // Доклады АН СССР. 1993. - Т. 329, № 4. - С. 444-448.

55. Сидоров А.Ф. Избранные труды. Математика. Механика. — М.: Физмат-лит, 2001. 769-779.

56. Сидоров А.Ф., Хайрулина О.Б. Процессы безударного конического сжатия и разлета // Прикладная математика и механика. 1994. - Т. 58, вып. 4. - С. 81-92.

57. Станюкович К.П. Неустановившиеся двиэюения сплошной среды. М.: Гостехтеоретиздат, 1955. - 804 с.

58. Сучков В.А. Истечение в вакуум на косой стенке // Прикладная математика и механика. 1963. - Т. 27, вып. 4. - С. 739-740.

59. Тешуков В.М. Пространственный аналог центрированных волн Римана и Прандля-Майера // Журнал прикладной механики и технической физики. 1982. - № 4. - С. 98-106.

60. Тешуков В.М. Центрированные волны в пространственных течениях // Динамика сплошной среды. 1979. - вып. 39. - С. 102-118.

61. Ягупов С.А. Безударное сильное сжатие газа с реальными уравнениями состояния // Вопросы атомной науки и техники. Серия "Математическое моделирование физических процессов" 2001. - вып. 2. - С. 49-58.

62. Hugoniot P.H. Sur la propagation du mouvement dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits, II // Journal de l'Ecole Polytechnique. 1889, № 5, p. 1-125.

63. Lord Rayleigh (Strutt J. W.) Aerial plane of finite amplitude // Proceedings of the Royal Society of London 1910, vol. 84A, p. 247-284.

64. Публикации автора по теме диссертации

65. Баутин С.П., Чернышов Ю.Ю. Аналог центрированной волны Римана в теплопроводном невязком газе // Доклады Академии Наук. 2001. - Т. 380, № 1 - С. 43-47.

66. Баутин С.П., Чернышов Ю.Ю. Одно течение теплопроводного газа, аналогичное центрированной волне Римана // Прикладная математика и механика. 2002. - Т. 66, вып. 1 - С. 87-94.

67. Чернышов Ю.Ю. Двумерная центрированная волна в теплопроводном невязком газе // Вычислительные технологии. 2002. - Т. 7, № 4 - С. 107-115.

68. Чернышов Ю.Ю. О некоторых одномерных течениях теплопроводного невязкого газа. Екатеринбург: УрГУПС, 2003, Деп. в ВИНИТИ от 20.08.2003 за № 1609-В2003, 87 с.

69. Чернышов Ю.Ю. Двумерный аналог центрированной волны Римана для течений теплопроводного невязкого газа. Екатеринбург: УрГУПС, 2004, Деп. в ВИНИТИ от 21.04.2004 за № 666-В2004, 106 с.

70. Чернышов Ю.Ю. О двумерном аналоге центрированной волны в течениях теплопроводного невязкого газа. Тезисы докладов Международнойконференции "VI Забабахинские научные чтения". Снежинск: РФЯЦ -ВНИИТФ, 2001. С. 20-21.

71. Чернышов Ю.Ю. О некоторых течениях теплопроводного невязкого газа. Тезисы докладов Международной конференции "VII Забабахинские научные чтения". Снежинск: РФЯЦ ВНИИТФ, 2003. - С. 26-27.

72. Баутин С.П., Чернышов Ю.Ю. Математическое моделирование сильного сжатия газа в условиях интенсивного излучения // Тезисы докладов XVIII Международной конференции "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество". ИТЭС РАН, 2003. С. 67-68.

73. Баутин С.П., Чернышов Ю.Ю. Математическое моделирование сильного сжатия газа в условиях интенсивного излучения // "Физика экстремальных состояний вещества-2003". Черноголовка: ИПХФ, ИТЭС РАН, 2003. С. 86-87.

74. Чернышов Ю.Ю. Об одном обобщении центрированной волны Римана на случай двумерных течений теплопроводного невязкого газа. Труды Международной конференции "Математические модели и методы их исследования", Т. 2. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. С. 247-248.

75. Чернышов Ю.Ю. Двумерная центрированная волна в теплопроводном невязком газе. Тезисы докладов конференции молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2001. С. 43.

76. Чернышов Ю.Ю. О некоторых течениях теплопроводного невязкого газа. Тезисы докладов IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Красноярск: ИВТ СО РАН, 2003. С. 52.

77. Чернышов Ю.Ю. Одно представление обобщения центрированной волны Римана. Тезисы докладов Межотраслевой научно-практической конференции "Снежинск и наука-2000". Снежинск: СФТИ, 2000. С. 29-30.

78. Чернышов Ю.Ю. Оценки степеней кумуляции плотности при безударном сжатии двумерных слоев теплопроводного невязкого газа. Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции "Снежинск и наука-2003". Снежинск: СГФТА, 2003. С. 82-84.

79. Чернышов Ю.Ю. Одно двумерное нестационарное течение теплопроводного газа. Труды XXXIII Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург: УрО РАН, 2002. С. 205-209.1. РИСУНКИ

80. Рис. 1. Звуковая характеристика С^ в теплопроводном невязком газе, отделяющая фоновое течение от волны сжатия в пространчтве (£, г).о < и

81. Рис. 3. Звуковая характеристика С* в теплопроводном невязком газе, отделяющая фоновое течение от волны сжатия в пространстве (¿,0).

82. Рис. 4. Графики для функции г) = 1пг) для одномерной хзК1 в моменты времени0 < и

83. Рис. 5. График функции и(Ь,г), построенный с использованием конечного отрезка ряда3.25)

84. Рис. 6. График функции 0(£,г), построенный с использованием конечного отрезка ряда3.25)

85. Рис. 7. Приближенная закономерность изменения плотности на сжимающем поршне (кчетвертому параграфу).

86. Рис. 8. Состыковка решений хзК1 и хзК2 (к пятому параграфу).

87. Рис. 9. Состыковка решений хзК1 и хзК2 (к пятому параграфу).при безударном сильном сжатии (хзК2).

88. Рис. 11. Получение вертикального распределения плотности при безударном сильномсжатии двумерных слоев газа (хзК1).в1. Рис. 12.